Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 6, с. 401 - 407

Биения квантовых осцилляций сопротивления в двухподзонных

электронных системах в наклонных магнитных полях

А. А. Быков^+∗1), И. С. Стрыгин⁺, А. В. Горан⁺, И. В. Марчишин⁺, Д. В. Номоконов⁺, А. К. Бакаров⁺,

С. Албеди^×2), С. А. Виткалов^×2)

⁺Институт физики полупроводников им. А. В. Ржанова Сибирского отделения РАН, 630090 Новосибирск, Россия

^∗Новосибирский государственный университет, 630090 Новосибирск, Россия

^×Physics Department, City College of the City University of New York, 10031 New York, USA

Поступила в редакцию 5 декабря 2018 г.

После переработки 18 января 2019 г.

Принята к публикации 22 января 2019 г.

Исследован электронный транспорт в одиночных GaAs квантовых ямах шириной от 22 до 46 нм с

двумя заполненными подзонами размерного квантования E^S и E^AS при температуре T = 4.2 К в на-

клонных магнитных полях B < 2 Тл. Угол α между вектором внешнего магнитного поля и нормалью к

планарной поверхности изучаемых структур варьировался от 0 до 90^◦. В перпендикулярном магнитном

поле (α = 0) во всех исследуемых ямах наблюдались магнето-межподзонные осцилляции сопротивления,

период которых определялся соотношением: ΔSAS = E^AS - E^S = jℏωc, где ωc - циклотронная частота,

а j - целое положительное число. Показано, что в наклонных B максимумы магнето-межподзонных

осцилляций смещаются в более сильные поля B cos(α). Смещение магнето-межподзонных максимумов

объясняется увеличением энергетической щели ΔSAS с ростом компоненты B sin(α). В ямах 46 и 36 нм

при углах α > 72^◦ и α > 85^◦, соответственно, обнаружены биения магнето-межподзонных осцилляций.

Обсуждаются причины такого неожиданного поведения магнето-межподзонных осцилляций в наклон-

ных магнитных полях.

DOI: 10.1134/S0370274X19060110

В магнетосопротивлении высокоподвижных ква-

≫ Δ_SAS осцилляции ШДГ в слабых магнитных по-

зидвумерных систем с несколькими заполненными

лях испытывают биения, и величина Δ_SAS может

энергетическими подзонами наиболее ярко проявля-

быть определена из положения узлов биений [1, 2].

ются два типа квантовых осцилляций. Один из них -

Другим типом осцилляций сопротивления, обу-

широко известные осцилляции Шубникова-де Газа

словленных квантованием орбитального движения

(ШДГ). Эти осцилляции сопротивления возникают

электронов в магнитном поле B, являются магнето-

при изменении магнитного поля B, перпендикуляр-

межподзонные (ММП) осцилляции [3-6]. Эти ос-

ного квазидвумерной системе вследствие последова-

цилляции магнетосопротивления возникают вслед-

тельного пересечения уровнями Ландау энергетиче-

ствие упругого межподзонного рассеяния электро-

ского уровня Ферми E_F . В электронных системах

нов, которое становится резонансным при пересе-

с двумя заполненными подзонами размерного кван-

чении уровней Ландау, принадлежащих различным

тования E^S и E^AS, помещенных в магнитное поле,

подзонам. Такие пересечения в двухподзонных систе-

каждой подзоне соответствует своя лестница уров-

мах возникают при выполнении равенства:

ней Ландау, что приводит к возникновению двух се-

рий осцилляций ШДГ. Так как разность электрон-

Δ_SAS = jℏω_c,

(1)

ных концентраций в подзонах задается величиной

где j - целое положительное число, ω_c = eB/m^∗ -

Δ_SAS = E^AS - E^S, то ее величина может быть опре-

циклотронная частота, m∗ - эффективная масса

делена при помощи фурье-анализа из разности час-

электронов. Положения максимумов ММП осцилля-

тот осцилляций ШДГ в обратном магнитном поле.

ций сопротивления в перпендикулярном магнитном

При выполнении условия ε_F = [E_F -(E^S +E^AS )/2] ≫

поле определяются соотношением (1). ММП осцил-

ляции, как и осцилляции ШДГ, периодичны в обрат-

¹⁾e-mail: bykov@isp.nsc.ru

ном магнитном поле, но, в отличие от осцилляций

²⁾S. Albedi, S. A. Vitkalov.

ШДГ, не подавляются температурным уширением

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

401

402

А. А. Быков, И. С. Стрыгин, А. В. Горан и др.,

функции распределения Ферми. Поэтому ММП ос-

[1]. Однако даже для B_z = 0 выражение (4) спра-

цилляции сопротивления широко используются для

ведливо лишь в условиях, когда магнитная длина

исследования квантового транспорта в области тем-

(ℏ/eB_x)^1/2 > d/2 [1, 2].

ператур T , где осцилляции ШДГ уже подавлены,

В настоящее время для экспериментального изу-

ℏω_c ≪ k_BT [7-15].

чения энергетического спектра электронов в квази-

Влияние параллельной компоненты наклонного

двумерных системах в наклонных магнитных полях

магнитного поля B = (B_x, 0, B_z) на поведение осцил-

наиболее широко используются осцилляции ШДГ и

ляций ШДГ в двухподзонной электронной системе в

квантовый эффект Холла [1, 16, 17]. Однако недавно

условиях ε_F ≫ Δ_SAS исследовалось эксперименталь-

было показано, что для таких исследований можно

но и теоретически в работах [1, 2]. Было установлено,

использовать ММП осцилляции [18], так как положе-

что параллельная компонента B_x = B sin(α) сдвига-

ния их максимумов в магнитном поле определяется

ет узлы биений в более сильные перпендикулярные

величинами межподзонных энергетических расщеп-

магнитные поля B_z = B cos(α), где α - угол меж-

лений. Одним из преимуществ ММП осцилляций, по

ду вектором B и нормалью к планарной поверхно-

сравнению с осцилляциями ШДГ и квантовым эф-

сти квазидвумерной системы. Полученные экспери-

фектом Холла, является то, что они позволяют ис-

ментальные результаты были объяснены увеличени-

следовать квантовый транспорт в слабых магнитных

ем Δ_SAS с ростом B_x.

полях. Тем не менее поведение ММП осцилляций

Влияние

наклонного

магнитного

поля

в наклонных магнитных полях до сих пор остается

B = (B_x,0,B_z) на энергетический спектр электронов

слабоизученным [18-20]. Настоящая работа направ-

в потенциале V (z) описывается гамильтонианом [16]:

лена на дальнейшее изучение особенностей квантово-

го транспорта электронов в двухподзонных системах

H = ℏ²k^2x/2m^∗ + e²B^2zx²/2m^∗ + ℏ²k^2z/2m^∗ +

в наклонных магнитных полях при помощи ММП

+ V (z) + e²B^2xz²/2m^∗ - e²B_xB_zxz/m^∗.

(2)

осцилляций. Одной из целей нашей работы являет-

ся экспериментальное изучение зависимости Δ_SAS

Первые четыре члена этого гамильтониана описыва-

от величины параллельной компоненты наклонного

ют электроны в перпендикулярном магнитном поле

магнитного поля в одиночных GaAs квантовых ямах

B_z, а два последних члена возникают благодаря па-

различной ширины.

раллельной компоненте B_x. В двухподзонной систе-

В настоящей работе изучались симметрично

ме зависимость энергии уровня Ландау E^S,ASN от маг-

легированные GaAs квантовые ямы шириной 46,

нитного поля B_z определяется следующим выраже-

36,

22 нм. В качестве боковых барьеров к

нием:

квантовым ямам использовались короткопериод-

ные сверхрешетки AlAs/GaAs [21, 22]. Результаты

E^S,ASN = ℏω_cz(N + 1/2) - (+)Δ_SAS/2,

(3)

самосогласованного расчета ограничивающего по-

тенциала U_Γ, U_X и электронных волновых функций

где ω_cz = eB_z/m^∗, а N - номер уровня Ландау.

для квантовой ямы шириной 46 нм представлены

Решение уравнения (2) в наклонном магнитном

на рис. 1. Гетеротруктуры выращивались методом

поле для двух параллельных двумерных слоев нуле-

молекулярно-лучевой эпитаксии на

(100) GaAs

вой толщины дает следующую величину межподзон-

подложках. Образцы для магнетотранспортных из-

ного расщепления [2, 17]:

мерений представляли собой мостики Холла длиной

L = 450мкм и шириной W = 50мкм.

Δ_SAS = Δ^0SAS(1 + γ²)^1/2(2/π)E(γ/(1 + γ²)^1/2),

(4)

Исследования проводились при T = 4.2 К в полях

где Δ^0SAS - межподзонное расщепление в нулевом

B < 2Тл при различных углах α между нормалью

магнитном поле, γ = ℏω_cxk_F d/Δ^0SAS , ω_cx = eB_x/m^∗,

к планарной плоскости квантовой ямы и вектором

d - расстояние между двумерными слоями, а k_F -

магнитного поля. Угол α изменялся путем поворо-

квазиимпульс Ферми, E(γ/(1 + γ²)^1/2) - полный эл-

та образца вокруг продольной оси мостика Холла.

липтический интеграл второго рода. Соотношение

То есть в процессе измерений варьировались толь-

(4) справедливо для случая слабого B_z, когда вы-

ко лишь две компоненты магнитного поля B_z и B_x.

полняется условие ℏω_cz ≪ Δ^0SAS и эффекты магнит-

Сопротивления R_yy и R_xy измерялись в линейном

ного пробоя пренебережимо малы [2]. В этом прибли-

режиме на переменном электрическом токе, часто-

жении Δ_SAS зависит лишь от параллельной компо-

та которого составляла 888 Гц, а его амплитуда не

ненты B_x и с ее ростом увеличивается в полном со-

превышала 1 мкА. Общая концентрация электронов

гласии с экспериментальными результатами работы

в квантовых ямах n_T вычислялась из сопротивления

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

Биения квантовых осцилляций сопротивления. . .

403

Таблица 1. Параметры образцов: d_W - ширина квантовой ямы; n_T - общая концентрация; n_S - концентрация в первой подзоне;

n_AS - концентрация во второй подзоне; µy - общая электронная подвижность; Δ^expSAS - энергетическое расщепление, определенное

из периода ММП осцилляций; Δ^theoSAS - энергетическое расщепление, определенное из самосогласованного расчета

Номер образца d_W (нм) n_T (10¹⁵ м^-2) n_S (10¹⁵ м^-2) n_AS (10¹⁵ м^-2) µy (м²/Вс) Δ^expSAS (мэВ) Δ^theoSAS (мэВ)

8.4

4.4

4.0

153

1.44

1.3

8.4

4.9

3.5

162

4.76

4.6

6.8

4.8

2.0

255

9.95

10.9

8.1

1.9

121

21.7

23.3

В области полей B_z > 0.5 Тл ММП пик, соответ-

ствующий номеру j = 1, сосуществует с осцилля-

циями ШДГ. На рисунке 2b представлены веерные

диаграммы для двух серий уровней Ландау, показы-

вающие, что максимумы ММП осцилляций возника-

ют в условиях, когда энергетические уровни первой

(E^SN ) и второй подзон (E^ASN ) пересекаются. При этом

разность номеров пересекающихся уровней Ландау

δN = N^AS - N^S равна номеру j = ℏω_cz/Δ^0SAS, а

энергетические уровни E^SN и E^ASN с одинаковыми но-

мерами не пересекаются. Кроме того, веерные диа-

граммы показывают, что пересечения уровней Лан-

дау для каждого из значений j = δN происходят при

одних и тех же величинах магнитных полей B_zj . Та-

кие пересечения на рис. 2b отмечены вертикальными

линиями.

На рисунке 3a приведены экспериментальные за-

висимости R_yy/R₀ от обратного магнитного поля

1/B_z для трех различных углов α. Анализ данных,

приведенных на рис. 3а, показал, что ММП осцилля-

ции в наклонных магнитных полях уже не периодич-

ны по 1/B_z. Зависимости R_yy(1/B_z)/R₀ демонстри-

руют, что в наклонном B максимумы ММП осцил-

ляций смещаются в более сильные магнитные поля

Рис. 1. (Цветной онлайн) (a) - Самосогласованный рас-

B_z по сравнению с углом α = 0. Такое поведение

чет ограничивающих потенциалов UΓ(z), UX (z) и по-

наблюдалось ранее в GaAs квантовой яме шириной

ложения уровня Ферми EF для широкой GaAs кван-

56 нм [18], однако из-за малой величины Δ^0SAS не бы-

товой ямы с боковыми сверхрешеточными барьера-

ло изучено в широком диапазоне магнитных полей.

ми AlAs/GaAs. Стрелками указаны δ-легированные

Формула (1) позволяет, зная номер ММП максимума

слои. (b) - Волновые функции Γ-электронов для S

j и его положение в магнитном поле B_zj, определить

и AS подзон в GaAs квантовой яме шириной dW =

= 46 нм и волновые функция X-электронов для S под-

величину энергетического расщепления Δ_SAS и тем

зоны в AlAs квантовых ямах, расположенных вблизи

самым изучить зависимость Δ_SAS(B_x).

δ-легированных слоев

При больших номерах уровней Ландау в условиях

ℏω_cz ≪ Δ^0SAS электроны совершают квазиклассиче-

R_xy в магнитном поле B = 0.5 Тл при α = 0. Подвиж-

ское движение вдоль траекторий, соответствующих

ности электронов µ_y вычислялись из n_T и величин

симметричному E^S и антисимметричному E^AS со-

сопротивлений в нулевом магнитном поле R₀. Пара-

стояниям. Для α = 0 квазиклассическим траектори-

метры образцов приведены в табл. 1.

ям электронов с энергией ε_F в пространстве квази-

На рисунке 2a приведена зависимость R_yy/R₀ от

импульсов k соответствуют концентрические окруж-

магнитного поля B_z = B для квантовой ямы ши-

ности с радиусами Ферми k_FS и k_FAS , площади ко-

риной 46 нм. Как следует из зависимости, ММП ос-

торых определяются электронными концентрациями

цилляции начинают проявляться при B_z > 0.05 Тл.

в подзонах n_S и n_AS . В этом случае Δ_SAS не зави-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

8^∗

404

А. А. Быков, И. С. Стрыгин, А. В. Горан и др.,

Рис. 3. (Цветной онлайн) (a)

- Зависимости

Рис. 2. (Цветной онлайн) (a) - Зависимость Ryy(Bz)/R0

Ryy(1/Bz )/R0 для образца # 1 при T = 4.2 К для раз-

при T = 4.2 К для образца #1. Угол наклона α = 0.

личных углов наклона α: 1 - α = 0; 2 - α ≈ 63.1^◦; 3 -

Стрелками обозначены ММП максимумы под номера-

α ≈ 70.1^◦. Стрелками обозначены ММП максимумы

ми j = 2 и 3, и значения Bz1 и Bz2. (b) - Зависимости

под номером j = 10. Кривые 2 и 3 для наглядности

E^SN и E^ASN от Bz для уровней Ландау в S и AS подзо-

смещены вниз по вертикальной оси. (b) - Зависимости

нах, рассчитанные по формуле (3): ΔSAS = 1.44 мэВ;

ΔSAS(Bx) для образца # 1. Треугольники, окруж-

m^∗ = 0.068m0. Вертикальными линиями обозначены

ности и квадраты - значения ΔSAS, полученные из

значения Bz , при которых пересекаются уровни Лан-

позиций ММП максимумов под номерами j = 2, 5 и 10

дау с разностями номеров δN = 1, 2 и 3

соответственно. Сплошная линия - расчет по формуле

(4) для Δ0SAS = 1.44 мэВ, dkF

= 4.22. На вставке

изображена упрощенная экспериментальная схема.

сит от k [1, 2]. Увеличение B_x приводит к возрас-

Стрелкой указано направление Bx

танию разницы между площадями, охватываемыми

электронными траекториями симметричного и анти-

симметричного состояний и, соответственно, к уве-

Следует отметить, что величина подгоночного па-

личению Δ_SAS .

раметра dk_F = 4.22 отличается от величины dk_F =

Экспериментальные значения Δ_SAS (B_x), полу-

= 5.42, полученной для образца #1 из произведения

ченные из значений B_zj для номеров j = 2, 5 и 10

(k_FS + k_FAS )/2 = 1.62 × 10⁸ м^-1 и расстояния между

представлены на рис. 3b треугольниками, окружно-

максимумами волновых функций Ψ_SΓ и Ψ_ASΓ, d_Ψ =

стями, и квадратами соответственно. Расчетная за-

33.4 нм (рис.1b). На рисунке 4 приведены расчетные

висимость Δ_SAS (B_x), полученная по формуле (4) для

и экспериментальные данные Δ_SAS(B_x) для кванто-

подгоночного параметра dk_F = 4.22 изображена на

вых ям шириной 36, 30 и 22 нм. Для всех ям наблю-

рис. 3b сплошной кривой. Хорошее согласие расчет-

дается хорошее согласие эксперимента и квазиклас-

ной зависимости с экспериментальными данными на-

сической теории. Однако, как и для образца # 1, для

блюдается для ММП максимумов с номерами j > 10.

образцов #2, 3 и 4 нет согласия подгоночных вели-

Отклонение расчетных значений Δ_SAS от экспери-

чин dk_F с величинами этого параметра, определен-

ментальных величин для j = 2 и 5 указывает на то,

ными из k_F = (k_FS + k_FAS )/2 и d_Ψ.

что в этом случае влиянием B_z на энергетический

На рисунке 5a приведена зависимость R_yy/R₀ от

спектр электронов пренебрегать уже нельзя [18].

магнитного поля B_z для квантовой ямы шириной

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

Биения квантовых осцилляций сопротивления. . .

405

Рис. 4. (Цветной онлайн) Зависимости ΔSAS(Bx) для

Рис. 5. (Цветной онлайн) (a) - Зависимость Ryy(Bz )/R0

образцов # 2, 3 и 4. Окружности, треугольники и квад-

при T = 4.2 К для образца # 1. Угол наклона α ≈ 59.9^◦.

раты - экспериментальные значения ΔSAS , получен-

Стрелками обозначены ММП максимумы под номера-

ные для квантовых ям шириной 36, 30 и 22 нм из по-

ми j = 6, 7 и 8, и значения Bz6 и Bz7. (b) - Зависимости

зиций ММП максимумов под номерами j = 21, 20 и

E^SN и E^ASN от Bz для уровней Ландау в S и AS подзо-

40, соответственно. Сплошные линии - расчет по фор-

нах, рассчитанные по формулам (3) и (4): Δ^0SAS = 1.44

муле (4): (a) - Δ0SAS = 4.76 мэВ; dkF = 2.92; (b) -

мэВ; m^∗ = 0.068m0 и dkF = 4.22. Вертикальными ли-

Δ^0SAS = 9.92 мэВ; dkF = 2.14; (c) - ΔSAS = 21.7 мэВ;

ниями обозначены значения Bz, при которых пересе-

dkF = 1.93

каются уровни Ландау с разностями номеров δN = 6,

7и 8

46 нм для угла α ≈ 60^◦. В этой зависимости ММП

максимумы с номерами j < 6 отсутствуют. На ри-

На рисунке

6a приведена зависимость

сунке 5b представлены веерные диаграммы для двух

R_yy(1/B_z)/R₀ для угла α

≈ 74^◦. В зависимости

серий уровней Ландау, рассчитанные по формуле (3).

наблюдается сбой фазы ММП осцилляций между

Зависимость Δ_SAS(B_x) в наклонном магнитном по-

номерами j = 13 и 14. Видно, что при этом угле

ле B учитывалась при помощи соотношения (4) с

наклона для номеров j > 13 фаза осцилляций из-

величиной подгоночного параметра dk_F = 4.22. От-

меняется на π. Такое поведение ММП осцилляций в

сутствие ММП максимумов с номерами j < 6 обу-

наклонных магнитных полях ранее не наблюдалось

словлено зависимостью Δ_SAS (B_x). Эта зависимость

[18, 20]. Сбой фазы ММП осцилляций происходит в

приводит к тому, что уровни Ландау с δN < 6 для

области магнитных полей, где выполняется условие

α ≈ 60^◦, в отличие от α = 0, не пересекаются. Ве-

ℏω_cz ≪ Δ^0SAS и, соответственно, справедливо соотно-

ерные диаграммы показывают (рис. 5b), что уровни

шение (4). В этом случае должно наблюдаться лишь

Ландау различных подзон для δN > 5 пересекают-

плавное смещение максимумов ММП осцилляций

ся при одних и тех же величинах магнитных полей,

в область более сильных B_z, обусловленное зави-

как и для α = 0. Такие пересечения на рис. 5b отме-

симостью Δ_SAS (B_x). Сбой фазы ММП осцилляций

чены вертикальными линиями. Однако ММП мак-

также наблюдался для квантовой ямы шириной 36

симум j = 6 смещен в более сильные поля по срав-

нм при углах наклона более 85^◦. В более узких ямах

нению с положением пересечений для δN = 6. Это

сбой фазы нам обнаружить не удалось.

обусловлено тем, что формула (4) справедлива лишь

Используя величину параметра dk_F = 4.22, мы

для j > 10 (рис. 3b).

рассчитали по формуле (4) зависимости B_xj (1/B_z)

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

406

А. А. Быков, И. С. Стрыгин, А. В. Горан и др.,

ков, а не к биениям [23]. К тому же мы не видим

влияния расщепления Зеемана на осцилляции ШДГ

в магнитном поле B_z ∼ 2 Тл, что позволяет исклю-

чить эту причину из рассмотрения. Так как биения

ММП осцилляций наблюдаются в области полей B_z,

где осцилляции ШДГ уже подавлены, то они могут

быть связаны только лишь с пересечениями уровней

Ландау. То есть при увеличении α одна серия пересе-

чений уровней Ландау с номерами j распадается на

две серии, что приводит к ММП осцилляциям с близ-

кими периодами и, соответственно, к их биениям. В

работах [16, 20, 24] было показано, что при больших

углах α пересечения уровней Ландау для одной и той

же разности номеров δN = j происходят уже не при

одном и том же магнитном поле B_zj , а при различ-

ных. Мы считаем, что такая трансформация пересе-

чений и приводит к биениям ММП осцилляций.

Таким образом, нами показано, что для одиноч-

ных GaAs квантовых ям шириной от 22 до 46 нм

с двумя заполненными подзонами E^S и E^AS экс-

периментальные зависимости Δ_SAS (B_x) в условиях

ℏω_cz ≪ Δ_SAS и (ℏ/eB_x)^1/2 > d/2 хорошо описывают-

ся уравнением (4) с одним подгоночным параметром

Рис. 6. (Цветной онлайн) (a) - Зависимость Ryy(Bz)/R0

при T = 4.2 К для образца # 1. Угол наклона α ≈ 74^◦.

dk_F . Кроме того, показано, что исчезновение ММП

Стрелками отмечены ММП максимумы. (b) - Сплош-

осцилляций с малыми номерами в наклонных маг-

ные линии - положения ММП максимумов в плоско-

нитных полях хорошо описывается с помощью фор-

сти координат (Bx, 1/Bz ) для квантовой ямы шири-

мул (3) и (4). В квантовых ямах шириной 46 и

ной dW = 46 нм, расчетные по формуле (4): ΔSAS =

36 нм при углах наклона магнитного поля α > 72^◦ и

= 1.44 мэВ; dkF = 4.22; j = 5, 6, 7,...,20. Окружности,

α > 85^◦ соответственно, обнаружены биения ММП

треугольники и квадраты - экспериментальные пози-

осцилляций. Теоретическая интерпретация такого

ции ММП максимумов для углов α = 0, 59.9^◦ и 74.0^◦,

неожиданного поведения ММП осцилляций пока от-

соответственно

сутствует.

Авторы благодарят Алексея Ненашева за плодо-

для ММП максимумов с номерами j > 5. Резуль-

таты расчетов представлены на рис. 6b сплошными

творные обсуждения экспериментальных результа-

тов.

кривыми. Позиции ММП максимумов для углов на-

клона α = 0, 59.9^◦ и 74.0^◦ на этом рисунке обозна-

Работа была выполнена при поддержке Россий-

чены окружностями, треугольниками и квадратами,

ского фонда фундаментальных исследований, про-

ект: # 16-02-00592 и Национальный научного фонда

соответственно. Для углов α < 72^◦ все максимумы

ложатся на расчетные зависимости, как это показа-

(Отдел материаловедения, грант # 1702594).

но на рис. 6b для угла α = 59.9^◦. Для углов α > 72^◦

ММП максимумы до точки сбоя ложатся также на

1. G. S. Boebinger, A. Passner, L. N. Pfeiffer, and

расчетные зависимости, однако после сбоя они рас-

K. W. West, Phys. Rev. B 43, 12673(R) (1991).

полагаются между ними. Это означает, что ММП

2. J. Hu and A. H. MacDonald, Phys. Rev. B 46, 12554

максимумам сопротивления после точки сбоя соот-

(1992).

ветствуют полуцелые значения j. Другими словами,

3. V. M. Polyanovskii, Fizika i Tekhnika Poluprovodnikov

ММП осцилляции после сбоя меняют фазу на π.

22, 2230 (1988) [Sov. Phys.-Semicond. 22, 1408 (1988)].

Одной из умозрительных причин биений ММП

4. D. R. Leadley, R. Fletcher, R. J. Nicholas, F. Tao,

осцилляции может быть расщепление Зеемана, кото-

C. T. Foxon, and J. J. Harris, Phys. Rev. B 46, 12439

рое возрастает с увеличением угла α в области полей

(1992).

B_z, где биения наблюдаются. Однако величина это-

5. M. E. Raikh and T. V. Shahbazyan, Phys. Rev. B 49,

го расщепления зависит линейно от B, поэтому оно

5531 (1994).

должно приводить лишь к расщеплению ММП пи-

6. O. E. Raichev, Phys. Rev. B 78, 125304 (2008).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019

Биения квантовых осцилляций сопротивления. . .

407

7. A. A. Bykov, D. R. Islamov, A. V. Goran, and

16. N. Kumada, K. Iwata, K. Tagashira, Y. Shimoda,

A.I. Toropov, JETP Lett. 87, 477 (2008).

K. Muraki, Y. Hirayama, and A. Sawada, Phys. Rev.

8. N. C. Mamani, G. M. Gusev, T. E. Lamas,

B 77, 155324 (2008).

A.K. Bakarov, and O. E. Raichev, Phys. Rev. B

17. I. A. Larkin, S. Ujevic, S. Wiedmann, N. Mamani,

77, 205327 (2008).

G. M. Gusev, A. K. Bakarov, and J. C. Portal, J. Phys.:

9. A. V. Goran, A. A. Bykov, A. I. Toropov, and

Conf. Ser. 456, 012025 (2013).

S. A. Vitkalov, Phys. Rev. B 80, 193305 (2009).

18. W. Mayer, J. Kanter, J. Shabani, S. Vitkalov,

10. A. A. Bykov, A. V. Goran, and S. A. Vitkalov, Phys.

A. K. Bakarov, and A.A. Bykov, Phys. Rev. B 93,

Rev. B 81, 155322 (2010).

115309 (2016).

11. S. Wiedmann, G. M. Gusev, O. E. Raichev,

19. W. Mayer, S. Vitkalov, and A. A. Bykov, Phys. Rev. B

A.K. Bakarov, and J. C. Portal, Phys. Rev. B

93, 245436 (2016).

82, 165333 (2010).

20. W. Mayer, S. Vitkalov, and A. A. Bykov, Phys. Rev. B

12. А. А. Быков, Письма в ЖЭТФ 100, 891 (2014) [JETP

96, 045436 (2017).

Lett. 100, 786 (2015)].

21. K.-J. Friedland, R. Hey, H. Kostial, R. Klann, and

13. S. Dietrich, J. Kanter, W. Mayer, S. Vitkalov,

K. Ploog, Phys. Rev. Lett. 77, 4616 (1996).

D. V. Dmitriev, and A.A. Bykov, Phys. Rev. B 92,

22. D. V. Dmitriev, I. S. Strygin, A. A. Bykov, S. Dietrich,

155411 (2015).

and S. A. Vitkalov, JETP Lett. 95, 420 (2012).

14. A. A. Bykov, A. V. Goran, and A. K. Bakarov, J. Phys.

D: Appl. Phys. 51, 28LT01 (2018).

23. С. А. Тарасенко, Н. С. Аверкиев, Письма в ЖЭТФ

75, 669 (2002) [JETP Lett. 75, 552 (2002)].

15. I. L. Drichko, I. Yu. Smirnov, M. O. Nestoklon,

A.V. Suslov, D. Kamburov, K. W. Baldwin,

24. Yu. G. Arapov, V. N. Neverov, G. I. Harus,

L. N. Pfeiffer, K. W. West, and L. E. Golub, Phys.

N. G. Shelushinina, and M. Ya. Yakunin, Low Temp.

Rev. B 97, 075427 (2018).

Phys. 35, 133 (2009).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 5 - 6

2019