Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 8, с. 557 - 563

Термодинамика симметричной спин-орбитальной модели:

одномерный и двумерный случаи¹⁾

В.Э.Валиулин^+∗, А.В.Михеенков^+∗×2), К.И.Кугель^◦∇, А.Ф.Барабанов^×

⁺Московский физико-технический институт, 141701 Долгопрудный, Россия

^∗Национальный исследовательский центр “Курчатовский институт”, 123182 Москва, Россия

^×Институт физики высоких давлений им. Л. Ф. Верещагина РАН, 108840 Троицк, Москва, Россия

^◦Институт теоретической и прикладной электродинамики РАН, 125412 Москва, Россия

^∇Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики, 101000 Москва, Россия

Поступила в редакцию 6 марта 2019 г.

После переработки 20 марта 2019 г.

Принята к публикации 20 марта 2019 г.

В рамках сферически симметричного самосогласованного подхода рассчитаны теплоемкость и вос-

приимчивости двумерной и одномерной спин-орбитальной модели при различных температурах и со-

отношениях между параметрами системы. Показано, что даже в отсутствие дальнего спинового и ор-

битального порядка в системе возникают особенности поведения термодинамических величин, харак-

терные для фазовых переходов. Такие особенности оказываются связанными с появлением квантовой

запутанности при взаимодействии спиновых и орбитальных степеней свободы.

DOI: 10.1134/S0370274X19080125

1. Введение. Проблема формирования запутан-

системах, в которых, в силу низкой размерности,

ных (entangled) квантовых состояний играет важную

отсутствует какой-либо спиновый или орбиталь-

роль во многих областях физики, привлекая к себе

ный порядок. Так, для симметричной двумерной

особое внимание в вопросах квантовых вычислений

модели оказывается характерным обращение спин-

и их возможной реализации [1, 2]. При этом речь ча-

орбитальных корреляций в нуль при некоторых

ще всего идет о смешивании состояний, отвечающих

пороговых значениях температуры или параметров

различным проекциям спина. Не менее интересные

модели [10]. При этом поведение спиновой и орби-

задачи возникают и в двухспиновых системах, где

тальной корреляционных функций не демонстрирует

эта запутанность понимается как некоторое коррели-

каких-либо особенностей.

рованное состояние двух спиновых переменных [3].

Мотивация работы состоит в том, чтобы вы-

Сами двухспиновые модели характерны обычно

яснить, как эта необычная особенность спин-

для описания особенностей соединений переходных

орбитальных корреляций проявляется в термо-

металлов со взаимосвязанными спиновыми и орби-

динамических характеристиках рассматриваемых

тальными степенями свободы, поэтому такие модели

систем. Ниже мы показываем, что, несмотря на

часто называются спин-орбитальными [4-6]. Необыч-

обусловленное низкой размерностью отсутствие

ные эффекты, связанные со спин-орбитальными кор-

дальнего порядка, при некоторой величине меж-

реляциями и соответствующей квантовой запутан-

подсистемного обмена одновременно с пороговым

ностью, широко обсуждались в литературе. В част-

ростом спин-орбитальных корреляций четко прояв-

ности, отмечалась возможность своеобразных типов

ляются особенности термодинамических величин,

спин-орбитальных квантовых состояний и переходов

напоминающие фазовый переход. Появление этих

между ними [7-9].

особенностей мы интепретируем как возникнове-

Интересно, что необычное поведение спин-

ние квантового запутанного спин-орбитального

орбитальных корреляций может проявляться и в

состояния.

Рассматриваются одномерный (1D) двумерный

случаи (2D), использован сферически симметричный

¹⁾См. дополнительные материалы к данной статье на сайте

нашего журнала www.jetpletters.ac.ru

самосогласованный подход, который дает достаточ-

²⁾e-mail: mikheen@bk.ru

но надежные результаты для низкоразмерных си-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 7 - 8

2019

557

558

В.Э.Валиулин, А.В.Михеенков, К.И.Кугель, А.Ф.Барабанов

стем [10, 11]. Причем корреляционные и термодина-

же равны нулю (SU(2) симметрии в спиновом и

мические особенности проявляются разным образом

псевдоспиновом пространствах не нарушены)

в разных размерностях. В частности, в рамках при-

S^αi

S^βj〉 = 0,

T^αi

T^βj〉 = 0,

S^αi

T^βj〉 = 0.

(3)

нятого подхода оказывается, что в 1D, в отличие от

2D, возможен возвратный (по температуре) переход

Условия i-iii автоматически выполняются в кван-

в состояние с межподсистемными корреляциями.

товом сферически симметричном самосогласованном

2. Модель и метод. Будем исходить из симмет-

подходе (СССП) (см., например, [11, 16, 17]), кото-

ричного варианта квантовой спин-орбитальной мо-

рый и используется ниже.

дели (симметричной модели Кугеля-Хомского) на

Как и в [10], рассматриваются спин-спиновая и

квадратной (или линейной) решетке. Гамильтониан

спин-псевдоспиновая запаздывающие функции Гри-

системы имеет вид

на:

∑

G_q = S^zq | S^z-qω ,

(4)

H= J S_iS_j + I T_iT_j + K (S_iS_j) (T_iT_j),

〈i,j〉

R_q = T^zq | S^z-qω .

(5)

Очевидно, T^zq | T^z-qω = S^zq | S^z-qω, поскольку

J+

I+

(1)

рассматривается симметричный случай I = J.

где 〈i, j〉 означает суммирование по связям ближай-

Вычисления в рамках стандартной схемы СССП

ших соседей на квадратной решетки или линейной

(см., например, [10, 11]) с учетом принятых в [10]

цепочке;Si и

Ti - операторы спина и операторы псев-

приближений для

K и доминирующего вклада внут-

доспина, отвечающего за орбитальные степени свобо-

риузельного межподсистемного обмена приводят к

ды, S = 1/2, T = 1/2.

следующим выражениям для G_q и R_q.

Рассматривается случай антиферромагнит-

F_ac(q)

F_opt(q)

ного (АФМ) спин-спинового и псевдоспин-

G_q =

(6)

ω² - ω^2ac(q)

ω² - ω^2opt(q)

псевдоспинового взаимодействий J

= I

> 0 и

отрицательного обмена между подсистемами K < 0

F_ac(q)

F_opt(q)

(везде далее все энергетические величины приве-

R_q =

(7)

ω² - ω^2ac(q)

ω² - ω^2opt(q)

дены в единицах J = I = 1). Как показано в [12],

на примере симметричной спин-орбитальной моде-

Громоздкие выражения для числителей функций

ли, при таком соотношении обменных параметров

Грина и спектров оптической и акустической ветвей

взаимодействия спиновых и псевдоспиновых (орби-

возбуждений см. в дополнительных материалах.

тальных) степеней свободы проявляется наиболее

В (6) и (7) входят спин-спиновые корреляторы. В

наглядно и приводят к “запутанности” спиновых и

двумерном случае

псевдоспиновых степеней свободы [13, 14].

c_r =

S^zi

S^zi+r〉, r = g, d, 2g

(8)

В соответствии с теоремой Мермина-Вагнера [15]

для несвязанных подсистем (K = 0) в 2D и 1D даль-

– спин-спиновые корреляторы, соответственно, для

ний порядок невозможен при любой T = 0. Есте-

первого (сторона квадрата) c_g ≡ c₁, второго (диаго-

ственно считать, что с включением межподсистем-

наль) c_d ≡ c₂ и третьего (удвоенная сторона) c_2g ≡ c₃

ного взаимодействия K

= 0 роль температурных

ближайших соседей. В одномерном же случае, оче-

и квантовых флуктуаций только растет, и дальнего

видно, отсутствуют корреляторы по диагонали.

порядка нет. Ниже мы ограничиваемся ненулевыми

Спин-псевдоспиновые корреляторы

- внутри-

температурами.

узельный m₀ и межузельный m_g ≡ m₁ равны

С учетом сказанного вычисления в работе исхо-

дят из предположения, что:

m₀ = 〈S^ziT^zi〉, m_g = 〈S^ziT^zi+g〉,

(9)

i) все узлы в системе равноправны (трансляцион-

Далее численная процедура состоит в следую-

ная симметрия не нарушена);

щем: все корреляторы - c_r, m₀, m_g находятся само-

ii) одноузельные средние равны нулю (отсутству-

согласованно через функции Грина G и R.

ет дальний порядок)

3. Результаты и обсуждение. Случай 2D.

S_i〉 =

T_i〉 = 0;

(2)

Важный качественный результат в 2D отмечался

уже в работе [10]. А именно, при фиксированной тем-

iii) корреляционные функции для различных

пературе и малом параметре межподсистемного вза-

компонент спина и псевдоспина (α

= β) так-

имодействия |K| спин-псевдоспиновые корреляторы

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 7 - 8

2019

Термодинамика симметричной спин-орбитальной модели. . .

559

m₀ и m₁ равны нулю. Но с ростом |K| при достиже-

нии некоего порогового значения K_c корреляторы m₀

и m₁ становятся отличными от нуля и нарастают сте-

пенным образом. Аналогичная ситуация имеет место

при фиксированном K и падении температуры. Кор-

реляторы m₀ и m₁ начинают нарастать степенным

образом при достижении пороговой температуры T_c.

В обоих случаях внутриподсистемные (спин-

спиновые) корреляторы c_r меняются слабо и не

проявляют каких-либо аномалий в критической

точке. Для удобства соответствующие кривые из

[10] приведены в дополнительных материалах.

Очевидно, что возникновение межподсистемных

корреляций должно существенным образом влиять

на термодинамические свойства. Энергия в рас-

сматриваемом подходе полностью определяется од-

ноузельными и двухузельными корреляторам. По-

этому естественно ожидать, что резкий рост спин-

псевдоспиновых корреляторов в запутанном состоя-

нии приведет к особенности теплоемкости.

На рисунке 1 показана эволюция теплоемкости в

зависимости от K при фиксированных T (рис.1а) и

в зависимости от T при фиксированных K (рис.1b).

Как и следовало ожидать, при входе в область с

межподсистемными корреляциями теплоемкость ис-

пытывает скачок. Чем выше критическая температу-

ра T_c, тем больше величина этого скачка. Из рисун-

Рис. 1. (Цветной онлайн) 2D решетка. (a) - Теплоем-

ка 1b также видно, что при высоких температурах

кость в зависимости от межподсистемного обмена K

все кривые выходят на единую асимптотику, а при

при фиксированных температурах T. Цвета отвечают

T → 0 для всех кривых C → 0 (теорема Нернста

различным температурам (значения T указаны спра-

выполняется).

ва). (b) - Теплоемкость в зависимости от температуры

T при фиксированном обмене K. Цвета отвечают раз-

На следующей иллюстрации - рис.2 представле-

личным K (значения K указаны на пиках)

на спин-спиновая χ_ss и спин-псевдоспиновая χ_st вос-

приимчивости вдоль тех же линий на фазовой плос-

кости - в зависимость от K при фиксированных T

(рис. 2а) и зависимость от T при фиксированных K

Принятый здесь подход является среднеполевым,

(рис. 2b). Как и теплоемкость, восприимчивость ис-

в том смысле, что затухание спиновых возбуждений

пытывает скачок в критических точках.

в функциях Грина (6), (7) равно нулю. Однако в 1D

Вне перехода восприимчивость слабо зависит от

его результаты, в силу заложенных условий i-iii (см.

T и K. Поведение спин-спиновой восприимчивости

раздел 2), приводят к хорошему согласию с данными

при малых |K| согласуется с хорошо изученным слу-

точного решения, а при наличии фрустрации, когда

чаем модели Гейзенберга [17].

нет точного решения, - с численными результатами

Таким образом, в 2D случае, т.е. на квадратной

для конечных цепочек [18-20].

решетке при любой температуре с ростом межпод-

Приведем сразу фазовую диаграммы - совмест-

системного взаимодействия K возникает состояние с

но для обеих размерностей, см. рис. 3. Видно, что

запутанными спиновой и псевдоспиновой степенями

одномерный случай качественно отличается от дву-

свободы.

мерного. В отличие от 2D случая, в 1D линия, раз-

4. Результаты и обсуждение. Случай 1D.

деляющая области с нулевыми и ненулевыми спин-

Вычисления в одномерном случае аналогичны при-

псевдоспиновыми корреляциями, начинается при ко-

веденным выше для 2D (соответствующие выраже-

нечном межподсистемном обмене, в точке (K

≈

ния см. в дополнительных материалах).

≈ -2.44, T = 0). Кроме того, граница раздела немо-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 7 - 8

2019

560

В.Э.Валиулин, А.В.Михеенков, К.И.Кугель, А.Ф.Барабанов

Рис. 3. (Цветной онлайн) 1D и 2D случаи. Области с

нулевыми и ненулевыми спин-псевдоспиновыми корре-

ляциями. Черная линия - фазовая граница в 1D, синяя

- в 2D. Прямые со стрелками - траектории, вдоль ко-

торых представлены результаты в 1D (рис. 4-6)

началом степенного роста спин-псевдоспиновых кор-

реляторов (внутриузельного m₀ и межузельного m₁)

спин-спиновый коррелятор c₁ испытывает излом.

Наиболее заметная особенность рис.4b - “пузырь”

при K = -2.3 - обусловлена именно возвратным пе-

Рис. 2. (Цветной онлайн) 2D решетка. (a) - Восприим-

реходом по температуре в перепутанную область и

чивость в зависимости от межподсистемного обмена K

обратно. На рисунке 4а также видно, что в точке K_c,

при фиксированных температурах T. (b) - Восприим-

одновременно с ростом спин-псевдоспиновых корре-

чивость в зависимости от температуры T при фикси-

ляторов спин-спиновый коррелятор c₁ испытывает

рованном межподсистемном обмене K. На обоих ри-

излом и внутри перепутанной области резко убывает

сунках пунктир - спин-спиновая восприимчивость χss,

по модулю с ростом |K|.

сплошная линия - спин-псевдоспиновая восприимчи-

Интуитивно понятно, что наличие в 1D одновре-

вость χst. Цвета отвечают различным значениям T (a)

менных особенностей у корреляторов обоих типов -

и K (b)

внутриподсистемного и межподсистемного, - в отли-

чие от 2D, где особенность есть только у межподси-

нотонна, что делает возможным возвратный переход

стемных корреляторов, может привести к существен-

в перепутанную область по температуре.

ному различию поведения, по крайней мере, тепло-

Эта немонотонность сказывается, разумеется, и

емкости в этих двух размерностях.

на остальных результатах. На рисунке 4a, и 4b

И это действительно видно на рис.5 (аналог рис.1

(аналог рис. S1 и S3 для 2D из дополнительных

для 2D). Как и в двумерном случае, при входе в пе-

материалов) для 1D решетки показана эволюция

репутанную область наблюдается скачок теплоемко-

спин-спиновых и спин-псевдоспиновых корреляторов

сти. Однако, в отличие от двумерного случая, знак

вдоль горизонтальных и вертикальных траекторий

этого скачка зависит от температуры перехода. На

рис. 3 (зависимость от K при фиксированных T и

нижней части 1D фазовой границы (см. рис. 3) ска-

зависимость от T при фиксированных K).

чок положительный, но на верхней - отрицатель-

Рисунок 4a гораздо менее нагляден, чем пред-

ный. Такое поведение не согласуется с интуитивным

ставляющий аналогичные зависимости в 2D рис. S1,

представлением о скачке теплоемкости при перехо-

поскольку линии, отвечающие температурам по обе

де в более упорядоченную фазу и обусловлено сов-

стороны от точки перегиба фазовой границы, накла-

местным влиянием разнонаправленных изменений

дываются. Еще одно качественное отличие от дву-

внутриподсистемных и межподсистемных корреля-

мерного случая в том, что в точке K_c одновременно с

торов. При низких температурах резкий рост спин-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 7 - 8

2019

Термодинамика симметричной спин-орбитальной модели. . .

561

Рис. 4. (Цветной онлайн) 1D решетка. (a) - Коррелято-

Рис. 5. (Цветной онлайн) 1D решетка. (a) - Теплоем-

ры в зависимости от межподсистемного обмена K при

кость в зависимости от межподсистемного обмена K

фиксированных температурах T. (b) - Корреляторы

при фиксированных температурах T. Цвета отвечают

в зависимости от температуры T при фиксированных

различным температурам (значения T указаны спра-

значениях обмена K. Пунктир - внутриузельный спин-

ва). (b) - Теплоемкость в зависимости от температу-

псевдоспиновый коррелятор m0, верхние сплошные ли-

ры T при фиксированном межподсистемном обмене K.

нии - спин-псевдоспиновый коррелятор m1 на ближай-

Цвета отвечают различным K (значения K указаны на

ших соседях, нижние сплошные - спин-спиновый кор-

пиках). Сравните с рис. 1

релятор c1 на ближайших соседях. Цвета отвечают, со-

ответственно, различным значениям T (a) и K (b)

торий рис.3. Рисунок 6a, как и аналогичный рисунок

псевдоспиновых корреляторов превалирует над па-

для корреляторов, не очень нагляден из-за наложе-

дением спин-спинового коррелятора, при температу-

ния линий, отвечающих температурам по обе сторо-

рах выше точки перегиба фазовой границы ситуация

ны от точки перегиба фазовой границы. Заметно, од-

обратная.

нако, быстрое падение спин-спинового коррелятора с

ростом |K|.

Асимптотическое поведение кривых теплоемко-

сти в пределах высоких и низких температур для

Двусторонние ступени на рис.6b, как и “пузырь”

всех значений K в 1D качественно такое же, как и

для коррелятора m₁ на рис. 4b, очевидно, обусловле-

в 2D: при высоких температурах все кривые выхо-

ны возвратным переходом по температуре в перепу-

дят на единую асимптотику, а при T → 0 для всех

танную область и обратно.

кривых C → 0.

В остальном поведение обеих восприимчивостей

И, наконец, последняя иллюстрация

- рис. 6

качественно аналогично ситуации в двумерном слу-

(аналог рис. 2 для 2D), где демонстрируется спин-

чае. И спин-спиновая χ_ss, и спин-псевдоспиновая χ_st

спиновая χ_ss и спин-псевдоспиновая χ_st восприимчи-

восприимчивости испытывают скачок в критических

вости вдоль горизонтальных и вертикальных траек-

точках.

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 7 - 8

2019

562

В.Э.Валиулин, А.В.Михеенков, К.И.Кугель, А.Ф.Барабанов

ность квантовой запутанности в спин-орбитальных

моделях широко обсуждалась в литературе (см.,

например, [6, 12, 14, 22, 23]), однако обычно при

другом соотношении параметров (в частности, когда

K > 0 при одинаковых знаках I и J), что приводит

к возникновению запутанности в довольно ограни-

ченной области фазовой диаграммы. Подчеркнем,

что изученные особенности термодинамических

характеристик имеют, по-видимому, чисто кванто-

вую природу. Действительно, проведенный анализ

точного решения одномерной спин-орбитальной

модели для классических спинов [21] не выявляет

аналогичных особенностей спин-орбитальной кор-

реляционной функции (резкого обращения ее в

нуль при некоторых конкретных значениях темпе-

ратуры и параметров модели) и, соответственно,

особенностей термодинамики системы.

Работа выполнена при финансовой поддержке

Российского Фонда Фундаментальных Исследова-

ний, проекты # 17-52-53014 и 19-02-00509. Работа

К.И.Кугеля выполнена также при поддержке про-

ектов #17-02-00323 и 17-02-00135.

1. I. Bengtsson and K. Zyczkowski, Geometry of Quantum

States: An Introduction to Quantum Entanglement,

Cambridge University Press, Cambridge (2006).

Рис. 6. (Цветной онлайн) 1D решетка. (a) - Восприим-

2. G. Benenti, G. Casati, and G. Strini, Principles

чивость в зависимости от межподсистемного обмена K

of Quantum Computation and Information, World

при фиксированных температурах T. (b) - Восприим-

Scientific, Singapore (2007).

чивость в зависимости от температуры T при фикси-

3. W.-L. You, A. M. Oles, and P. Horsch, New J. Phys.

рованном обмене K. Пунктир - спин-спиновая воспри-

17, 083009 (2015).

имчивость χss, сплошная линия - спин-псевдоспиновая

4. К. И. Кугель, Д. И. Хомский, УФН 136, 621 (1982).

восприимчивость χst. Цвета отвечают, соответственно,

5. A. M. Oles, Acta Phys. Pol. A 115, 36 (2009).

различным значениям T (a) и K (b). Сравните с рис. 2

6. A. M. Oles, J. Phys.: Condens. Matter 24,

313201

(2012).

7. A. M. Belemuk, N. M. Chtchelkatchev, A. V. Mikheyen-

5. Заключение. Отметим, что полученные

kov, and K. I. Kugel, Phys. Rev. B 96, 094435 (2017).

результаты наглядно демонстрируют возможность

8. A. M. Belemuk, N. M. Chtchelkatchev, A. V. Mikheyen-

перехода в состояние с квантовой запутанностью в

kov, and K. I. Kugel, New J. Phys. 20, 063039 (2018).

спин-орбитальных системах даже при отсутствии

9. W. Brzezicki, M. Cuoco, F. Forte, and A. M. Oles,

дальнего порядка. Такой переход, характеризующий-

J. Supercond. Novel Magn. 31, 639 (2018).

ся пороговым возникновением спин-орбитальных

10. М. Ю. Каган, К. И. Кугель, А. В. Михеенков,

корреляций, имеет явную аналогию с обычными

А. Ф. Барабанов, Письма в ЖЭТФ 100, 207 (2014).

фазовыми переходами (четко проявляющиеся осо-

11. А. Ф. Барабанов, А. В. Михеенков, А. В. Шварцберг,

бенности в теплоемкости и восприимчивостях).

ТМФ 168, 389 (2011).

Фактически, мы тут имеем дело с фазовым пе-

12. S. K. Pati, R. R. P. Singh, and D. I. Khomskii, Phys.

реходом в некоторой квантовой жидкости, что

Rev. Lett. 81, 5406 (1998).

позволяет предположить возможность таких явле-

13. W.-L. You, A. M. Oles, and P. Horsch, Phys. Rev. B

ний и в других системах с квантовой запутанностью.

86, 094412 (2012).

Отметим, что при выбранном знаке параметров

14. R. Lundgren, V. Chua, and G. A. Fiete, Phys. Rev. B

модели (I, J

> 0, K < 0), запутанное состояние

86, 224422 (2012).

реализуется в широком интервале температур и

15. N. D. Mermin and H. Wagner, Phys. Rev. Lett. 17, 1133

значений параметров. Заметим здесь, что возмож-

(1966).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 7 - 8

2019