Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 8, с. 564 - 569

Квантовый эффект Телбота для цепочки частично

коррелированных конденсатов Бозе-Эйнштейна

(Миниобзор)

В.Б.Махалов, А.В.Турлапов¹⁾

Институт прикладной физики РАН, 603950 Нижний Новгород, Россия

Поступила в редакцию 18 марта 2019 г.

После переработки 18 марта 2019 г.

Принята к публикации 19 марта 2019 г.

Картина интерференции материальных волн, возникающая в рамках квантового эффекта Телбота,

качественно меняется в ответ на сколь угодно малую разупорядоченность фаз источников. В простран-

ственном спектре возникают пики с волновыми векторами, которых нет в случае равных фаз. Приведена

математическая модель эффекта. Обсуждаются проявления разупорядоченности фаз в экспериментах с

цепочками интерферирующих бозе-конденсатов атомов и молекул. Предложена термометрия на основе

наблюдаемых последствий разупорядоченности фаз.

DOI: 10.1134/S0370274X19080137

1. Введение. В классической оптике эффект

терференционной картины от эффекта Телбота [11].

Телбота [1] состоит в самоотображении поля, имею-

В спектре пространственного распределения с од-

щего периодическое распределение в исходной плос-

ной стороны частично сохраняются пики с волно-

кости. Позже подобные эффекты наблюдались для

вым вектором k = 2π/d, отвечающие исходному про-

акустических волн [2, 3], волновых функций ато-

странственному периоду модуляции, а с другой - по-

мов [4] и электронов [5, 6], плазмонов [7] и спино-

являются пики с волновыми векторами k < 2π/d,

вых волн [8]. В оптике начальное распределение по-

что наблюдалось в эксперименте с цепочкой бозе-

ля воспроизводится в параксиальном приближении.

конденсатов [11].

В квантовой механике эффект точен для периодиче-

Данная работа посвящена интерференции цепоч-

ской волновой функции ψ(z + d) = ψ(z) и гамильто-

ки бозе-конденсатов, фазы которых коррелирова-

ниана свободной частицы

Ĥ = p²/2M. В квантовом

ны лишь частично. В разделе 2 изложена модель

случае не требуется перемещение волнового фронта

интерференции для предельных случаев полностью

в пространстве - периодическое распределение вол-

коррелированных и полностью некоррелированных

новой функции может восстанавливаться в том же

фаз, и выполнен расчет для промежуточного слу-

месте.

чая частично коррелированных фаз. Раздел 3 посвя-

В квантовой системе многих тел, ограниченной

щен экспериментам по интерференции конденсатов с

по x и y, из-за флуктуаций фазы оказывается слож-

флуктуирующими фазами. В разделе 4 предлагает-

ным или невозможным выполнить исходное усло-

ся метод термометрии для цепочки бозе-конденсатов

вие эффекта Телбота, создать точно периодическое

на основе обнаруженного вклада флуктуаций фазы

по z распределение источников в начальный мо-

в пространственный спектр интерференции. Заклю-

мент времени. В вытянутом по z бозе-конденсате фа-

чение представлено в разделе 5.

за флуктуирует вплоть до температур существенно

2. Модель интерференции для цепочки ис-

меньших, чем температура конденсации [9]. В беско-

точников с произвольными фазами. В качестве

нечно длинной цепочке сверхпроводников или бозе-

модели рассмотрим цепочку локализованных волно-

конденсатов присутствуют длинноволновые флукту-

вых функций

√

ации фазы даже при нулевой температуре [10], и сле-

∑

довательно фазы соседних источников хотя бы ча-

ψ(z, t = 0) =

√

e-(z-jd)2/4σ2 eiϕj ,

(1)

стично некоррелированы. Сколь угодно малая флук-

2π_j=1

туация фазы приводит к качественному отличию ин-

где σ ≪ d, а цепочка длинная, т.е. K → ∞. Соответ-

ствующая этой волновой функции плотность перио-

¹⁾e-mail: turlapov@appl.sci-nnov.ru

дична - |ψ(z + d)|² = |ψ(z)|². Ограничения на фазы

564

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 7 - 8

2019

Квантовый эффект Телбота для цепочки частично коррелированных конденсатов Бозе-Эйнштейна...

565

ϕ_j в общем случае отсутствуют. Волновая функция

(1) соответствует цепочке бозе-конденсатов в оптиче-

ской решетке, показанной на рис. 1a, а сама волновая

функция (1) приведена на рис.1b.

Рис. 1. (Цветной онлайн) (a) - Бозе-эйнштейновские

конденсаты (БЭК - BECs) в оптической решетке непо-

Рис. 2. (Цветной онлайн) Модуль спектра (3) при t =

средственно перед ее отключением, началом разле-

= T_d. Основная гармоника при k = π/d отвечает про-

та и интерференции. Конденсаты показаны темно-

странственному периоду 2d

красным, а интенсивность стоячей оптической волны -

светло-сиреневым. (b) - Начальная волновая функция

интерферирующих конденсатов - модуль периодичен,

времени t спектр представляет собой сумму гармо-

в то время как на разности фаз соседних конденсатов

ник с волновыми векторами k = jπT_d/(td), j ∈ N,

в общем случае нет ограничений

а само 1-мерное распределение концентрации n₁(z, t)

имеет пространственный период

В случае равных фаз ϕ_j = inv(j) волновая функ-

2π

ция (1) соответствует начальному условию эффек-

2t .

(4)

T_d

та Телбота. Применяя оператор эволюции в свобод-

ном пространстве exp(-ip²t/(2Mℏ)) для бозона мас-

Период линейно растет со временем. Интересно, что

сы M, можно найти волновую функцию в произволь-

n₁(z, t) периодична несмотря на случайное распреде-

ный момент времени t и увидеть, что в любой мо-

ление фаз. Величина пространственного периода яв-

мент времени ψ(z, t) пространственно периодична с

ляется качественным отличием от эффекта Телбота,

периодом d, а в моменты, кратные времени Телбо-

в котором отсутствуют периоды длиннее, чем d.

та T_d ≡ Md²/πℏ, начальное распределение волно-

Для промежуточного случая частично коррели-

вой функции восстанавливается, т.е. ψ(z, t = nT_d) =

рованных фаз на данный момент аналитическое ре-

= ψ(z, t = 0), где n ∈ N.

шение не известно. Эволюцию волновой функции (1)

Рассмотрим другой предельный случай - фазы

можно рассчитать численно. Модуль пространствен-

конденсатов ϕ_j полностью случайны относительно

ного спектра, |ñ₁(k)|, вычисленный для t = T_d, по-

друг друга. В этом случае снова можно вычислить

казан на рис. 3. Можно видеть, что в спектре соче-

эволюцию волновой функции (1) в свободном про-

таются черты как эффекта Телбота, так и интерфе-

странстве, а затем рассчитать спектр распределения

ренции некоррелированных источников. Узкий пик

плотности

при k = 2π/d соответствует частично сохраняюще-

∫∞

муся эффекту Телбота, а широкие пики с центрами

ñ₁(k, t) =

|ψ(z, t)|²e^-ikz dz.

(2)

при k = π/d и k = 2π/d возникают из-за частич-

−∞

ной разупорядоченности фаз. Расчет выполнен для

K = 51 конденсата, отношения σ/d = 0.1, величины

В пределе длинной цепочки K → ∞ спектр ñ₁(k, t)

корреляции 〈cos(ϕ_j+1 - ϕ_j )〉 = 0.57. Модуль спектра

имеет вид [11]

|ñ₁(k, t = T_d)| усреднен по 100 повторениям.

√

2π

πK

3. Проявление флуктуаций фазы в экспе-

ñ₁(k, t) ∝

δ(k) +

e-k2σ²/2 ×

рименте. Конденсация Бозе-Эйнштейна является

∑

предметом активных исследований [12-18], что во

e-(j-kdt/Tdπ)2d²/8σ2 eiϕj ,

(3)

многом связано с развитием лазерного охлаждения

j=-∞, j=0

и пленения [19-21].

где ϕ^′j - случайные фазы, подчиняющиеся условию

Влияние флуктуаций фазы конденсатов на эф-

ϕ′j = -ϕ′-j. Благодаря условию σ ≪ d, спектр (3)

фект Телбота наблюдалось в эксперименте [22]. На-

состоит из последовательности пиков, что видно, на-

чальные условия близки рис. 1a. В минимумах оп-

пример, на рис. 2. В общем случае для произвольного

тического потенциала, отстоящих друг от друга на

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 7 - 8

2019

566

В.Б.Махалов, А.В.Турлапов

Рис. 3. (Цветной онлайн) Рассчитанный модуль спек-

тра |ñ1(k, t = Td)| при частичной корреляции. Вели-

чина корреляции 〈cos(ϕj+1 - ϕj)〉 = 0.57 выбрана так,

чтобы отношение высот узкого и широкого пиков при

k = 2π/d было близко к полученному в эксперименте,

результат которого показан на рис. 5c

Рис. 4. (Цветной онлайн) Зависимость размера разле-

тевшегося облака от времени интерференции t. Мень-

шие значения параметра tQ отвечают предыстории,

d = 547нм, удерживаются бозе-конденсаты атомов

способствующей флуктуациям. Из работы [22]

⁸⁷Rb. При t = 0 удержание вдоль z резко отключа-

ется, удержание в плоскости xy остается. Конденса-

ты расплываются и интерферируют вплоть до мо-

ружено в работе [11]. Начальные условия соответ-

мента времени t, в который потенциал решетки рез-

ствуют рис.1a. Цепочка бозе-конденсатов молекул

ко восстанавливается. Для полностью когерентных

⁶Li₂ приготовлена в оптической решетке с расстоя-

конденсатов, при ϕ_j = ϕ_j+1, восстановление решет-

нием между минимумами d = 5.3 мкм. В каждом

ки при t = nT_d приводило бы к точному восстанов-

конденсате N

∼ 1000 бозонов. В момент времени

лению начального состояния конденсатов в решет-

t = 0 пленяющее поле отключается и конденсаты

ке. Если же t = nT_d или ϕ_j

= ϕ_j+1, то частич-

расширяются в свободном пространстве, интерфери-

но населяются возбужденные зоны Блоха, и в ре-

руя друг с другом. Интерференция прекращается в

зультате восстановления решетки в систему, таким

момент t, в который происходит съемка, разрушаю-

образом, вводится энергия. Для обнаружения вво-

щая квантовую систему. На рисунке 5a показана це-

да энергии система термализуется, затем пленение

почка бозе-конденсатов при t = 0, в момент отклю-

полностью отключается, и газ разлетается в свобод-

чения оптической решетки. В спектре |ñ₁(k, t = 0)|

ном пространстве. Введенная энергия проявляется в

видна гармоника с волновым вектором k = 2π/d, со-

более быстром разлете. Экспериментальная зависи-

ответствующая начальной модуляции. На рис.5b,c

мость размера разлетевшегося облака от времени ин-

показана система при t = T_d. Рисунок 5b соответ-

терференции t показана на рис.4. Три зависимости

ствует меньшей, а рис.5c большей флуктуации фазы.

отвечают разной предыстории приготовления цепоч-

Для небольших флуктуаций фазы, на рис. 5b, мож-

ки конденсатов. Графики сверху вниз расположены

но видеть эффект Телбота - начальное распределе-

в порядке убывания флуктуации разности фаз кон-

ние концентрации вдоль z восстанавливается почти

денсатов. На каждом из трех графиков можно ви-

точно. В спектре явно доминирует пик при k = 2π/d.

деть, что при t = nT_d возникают локальные миниму-

На снимке рис.5c в спектре проявляется как ча-

мы энергии, которые отвечают частичному восста-

стичная корреляция фаз, так и разупорядочение. О

новлению начальной волновой функции. В момент

частичной корреляции свидетельствует узкий пик

t = T_d эксперимент с наименьшими флуктуациями

при k = 2π/d, отвечающий эффекту Телбота. О ча-

(нижний график рис. 4) соответствует наименьшему

стичном разупорядочении фаз говорят уширенные

вводу энергии при восстановлении исходного потен-

пики вблизи k = π/d и k = 2π/d.

циала.

Спектр с рис. 5c близок к расчетному |ñ₁(k, T_d)|,

Качественное проявление флуктуаций фаз, состо-

который показан на рис. 3. В эксперименте и расче-

ящее в изменении пространственного спектра, обна-

те одинаковое отношение высот узкого и широкого

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 7 - 8

2019

Квантовый эффект Телбота для цепочки частично коррелированных конденсатов Бозе-Эйнштейна...

567

Рис. 5. (Цветной онлайн) Интерференция цепочек бозе-конденсатов в разные моменты времени и для разного уровня

корреляций - снимки слева, и пространственные спектры |ñ1(k)| справа. (a) - При t = 0, в момент выпуска конденса-

тов из решетки. (b) - При t = T_d, для сильно коррелированных конденсатов. Виден эффект Телбота. (c) - При t = T_d,

для конденсатов с меньшей степенью корреляции. Присутствует признак эффекта Телбота - узкий пик при k = 2π/d.

Также видны признаки разупорядоченности фаз - широкие пики вблизи k = π/d и k = 2π/d

пиков при k = 2π/d. Это отношение определяется

непосредственно в ловушке. Двухкомпонентная (би-

величиной корреляции 〈cos(ϕ_j+1 - ϕ_j)〉. Таким об-

модальная) подгоночная функция позволяет опреде-

разом, сравнение экспериментального и расчетного

лить N₀/N - отношение числа частиц в конденсате

спектров позволяет установить 〈cos(ϕ_j+1 -ϕ_j )〉 в экс-

к полному числу. Температура в свою очередь опре-

периментальной системе.

деляется из уравнения

У экспериментального спектра рис.5c и расчет-

)_D

N₀

ного с рис. 3 два различия. Во-первых, спектр рис. 5c

=1-

(5)

T_c

существенно более шумный. Это связано с тем, что

представлен результат единичного эксперимента, в

где D = 2 или 3 - кинематическая размерность,

то время как в расчете |ñ₁(k, t = T_d)| усреднен по 100

T_c(N, D) - температура бозе-конденсации. При ма-

повторениям. Во-вторых, в эксперименте уширенные

лых T/T_c тепловая фракция мала, и температу-

пики сдвинуты слегка влево, что связано со средним

ра неопределима. Например в работе [23] нижняя

полем межбозонных взаимодействий [11], которое не

граница применимости указанного метода состави-

учтено в расчете.

ла T = T_c/2. Для двух связанных конденсатов низ-

4. Термометрия для цепочки конденсатов

котемпературная термометрия достигнута на основе

на основе интерференции. Наиболее популярный

интерференции выпущенных из ловушки конденса-

метод термометрии бозе-конденсатов основан на под-

тов [23, 24]. Температура определяется по флукту-

гонке профиля концентрации конденсата, либо после

ации положения интерференционных полос в повто-

выпуска из ловушки и последующего разлета, либо

рениях эксперимента. Метод требует неоднократного

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 7 - 8

2019

568

В.Б.Махалов, А.В.Турлапов

приготовления идентичных конденсатов и наблюде-

При условии µ ≪ ℏω_z волновые функции ψ_j (z) мож-

ния интерференции.

но приблизить слагаемыми суммы (1), причем σ =

√

Для цепочки конденсатов в оптической решет-

=l_z/

2 = d/(π

2√s). Прямое вычисление дает

ке температуру можно измерить в однократном ин-

√

ℏ² Nde-d2/8σ2

ℏ²

√

терференционном эксперименте. Температура может

E_J =

√

Nπ²

π s

√se-π2√s/4.

M σ³2

2π

Md²

быть определена из пространственного спектра, по-

(10)

добного изображенному на рис. 5c. По соотношению

Стоит отметить, что использование гауссовых функ-

пиков, отвечающих, соответственно, эффекту Телбо-

ций с шириной σ заужает волновую функцию кон-

та и некогерентной интерференции можно устано-

денсата и, таким образом, дает оценку E_J снизу, ко-

вить флуктуацию фаз соседних конденсатов 〈(ϕ_j+1 -

торая приближается к точному значению с ростом

- ϕ_j)²〉. В свою очередь модель [25] позволяет уста-

глубины s.

новить связь между 〈(ϕ_j+1 -ϕ_j)²〉 и температурой T .

Рассмотрим случай малых квантовых флуктуа-

Применим модель [25] к цепочке бозе-конденсатов

ций фазы. Квантовая часть флуктуаций вычисляет-

в оптической решетке с потенциалом

ся из гамильтониана (7) при T = 0, что дает условие

ее малости

[

]

√

V_s(x) = sE_rec

1 - e-2MErec(x2+y2)/(ℏλ)2 cos2 κz

(6)

〈(ϕ_j+1 - ϕ_j )²〉 =

≪ 1.

(11)

E_J

где x ≡ (x, y, z), κ - волновой вектор световой вол-

Также предположим, что тепловые флуктуации до-

ны, E_rec = ℏ²κ²/2M - энергия отдачи фотона, s -

минируют. В этом случае [25]

безразмерная глубина, λ ≫ 1 - степень анизотропии

〈cos(ϕ_j - ϕ_l)〉 = α^|j-l|,

(12)

плоской ячейки. Период потенциала d = π/κ. Вбли-

зи минимумов потенциал V_s(x) гармонический с ча-

где α - функция температуры, задаваемая выраже-

стотами ω_z ≡ 2√sErec/ℏ, ω⊥ = ωz/λ. Описание кон-

нием [25, 24]

денсатов в каждой ячейке при помощи 1-частичных

I₁(E_J/T)

α(T ) =

(13)

волновых функций позволяет перейти к джозефсо-

I₀(E_J/T)

новскому гамильтониану [25]

а I_ν - модифицированная функция Бесселя. Выра-

жение (12) упрощается при условии T ≪ E_J:

∑

∂

- E_J cos(ϕ_j+1 - ϕ_j),

(7)

〈(ϕ_j - ϕ_l)²〉 = |j - l|

(14)

∂ϕ²

E_J

j=1

Выражение (12) и его частный случай (14) устанав-

где ℏ/E_J - характерное время туннелирования, E_c =

ливают связь между температурой и флуктуация-

= 2dµ/dN и µ - характерная внутренняя энергия и

ми фаз конденсатов в пренебрежении квантовыми

химический потенциал одного конденсата, соответ-

флуктуациями. Таким образом, формулы (12), (14)

ственно. Рассчитаем параметры для кинематически

совместно с анализом спектров, подобных приведен-

двумерного конденсата в решетке (6). Химический

ным на рис. 3 и 5, могут служить основой для тер-

потенциал

мометрии.

5. Заключение. Частичное разупорядочивание

√

фаз источников приводит к изменению в эффекте

a_b

µ = ℏω_⊥

(8)

Телбота. Количественно это выражается в умень-

l_z

шении контраста интерференции. Качественное из-

√

менение состоит в появлении новых пиков в про-

где l_z ≡

ℏ/(Mω_z), a_b - длина s-рассеяния бозонов.

странственном спектре интерференции. Эти измене-

Предположим, что в кинематически двумерном бозе-

ния пространственного спектра могут быть исполь-

конденсате волновая функция разделяется на ради-

зованы для термометрии.

альную и аксиальную часть Ψ_j(x) = ψ_j (z)Ψ(ρ), при-

В.Б.Махалов благодарит за финансовую под-

чем радиальная часть для всех конденсатов одина-

держку Российский Фонд Фундаментальных Ис-

кова. Это позволяет записать E_J в виде [26]

следований, гранты #15-02-08464 и 18-42-520024.

А. В. Турлапов благодарит Российский научный

(

)



ℏ

dψ_j+1

dψ_j

фонд, грант #18-12-00002.



E_J =

ψ_j

-ψ_j+1

(9)



z=(j+1/2)d

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 7 - 8

2019

Квантовый эффект Телбота для цепочки частично коррелированных конденсатов Бозе-Эйнштейна...

569

1. H. F. Talbot, Phil. Mag. 6, 401 (1836).

13. Л. В. Ильичев, П. Л. Чаповский, Квантовая электро-

2. N. Saiga and Y. Ichioka, Appl. Opt. 24(10), 1459 (1985).

ника 47(5), 463 (2017).

3. А. Н. Морозов, М. П. Крикунова, Б. Г. Скуйбин,

14. Ю. В. Лиханова, С. Б. Медведев, М. П. Федорук,

Е. В. Смирнов, Письма в ЖЭТФ 106(1), 26 (2017).

П. Л. Чаповский, Квантовая электроника 47(5), 484

(2017).

4. M. S. Chapman, Ch. R. Ekstrom, T. D. Hammond,

J. Schmiedmayer, B. E. Tannian, S. Wehinger, and

15. В. П. Рубан, Письма в ЖЭТФ 108, 638 (2018).

D. E. Pritchard, Phys. Rev. A 51, R14 (1995).

16. F. Dalfovo, R. N. Bisset, C. Mordini, G. Lamporesi, and

5. V. L. Bratman, G. G. Denisov, N. S. Ginzburg,

G. Ferrari, ЖЭТФ 154, 949 (2018).

B. D. Kol’chugin, N. Y. Peskov, S. V. Samsonov, and

17. С. Стрингари, ЖЭТФ 154, 964 (2018).

A.B. Volkov, IEEE Transactions on Plasma Science

18. В. М. Порозова, В. А. Пивоваров, Л. В. Герасимов,

24(3), 744 (1996).

Д. В. Куприянов, Письма в ЖЭТФ 108, 726 (2018).

6. T. G. A. Verhoeven, W. A. Bongers, V. L. Bratman,

19. V. I. Balykin, V. G. Minogin, and V. S. Letokhov, Rep.

M. Caplan, G. G. Denisov, C. A. J. van der Geer,

Progr. Phys. 63(9), 1429 (2000).

P. Manintveld, A. J. Poelman, J. Plomp, A. V. Savilov,

20. Р. Онофрио, УФН 186(11), 1229 (2016) [R. Onofio,

P. H. M. Smeets, A. B. Sterk, and W. H. Urbanus, IEEE

Phys. Usp. 59, 1129 (2016)].

Transactions on Plasma Science 27(4), 1084 (1999).

21. О. Н. Прудников, А. В. Тайченачев, В. И. Юдин,

7. W. Zhang, C. Zhao, J. Wang, and J. Zhang. Opt.

Квантовая электроника 47(5), 438 (2017).

Express 17(22), 19757 (2009).

22. B. Santra, Ch. Baals, R. Labouvie, A. B. Bhattacherjee,

8. S. Mansfeld, J. Topp, K. Martens, J. N. Toedt,

A. Pelster, and H. Ott, Nature Comm. 8, 15601 (2017).

W. Hansen, D. Heitmann, and S. Mendach, Phys. Rev.

23. R. Gati, B. Hemmerling, J. Fölling, M. Albiez, and

Lett. 108, 047204 (2012).

M. K. Oberthaler, Phys. Rev. Lett. 96, 130404 (2006).

9. D. S. Petrov, G. V. Shlyapnikov, and J. T. M. Walraven,

24. R. Gati, J. Esteve, B. Hemmerling, T. B. Ottenstein,

Phys. Rev. Lett. 87, 050404 (2001).

J. Appmeier, A. Weller, and M. K. Oberthaler, New J.

10. R. M. Bradley and S. Doniach, Phys. Rev. B 30, 1138

Phys. 8(9), 189 (2006).

(1984).

25. L. Pitaevskii and S. Stringari, Phys. Rev. Lett. 87,

11. V. Makhalov and A. Turlapov, Phys. Rev. Lett. 122,

180402 (2001).

090403 (2019).

26. P. Pedri, L. Pitaevskii, S. Stringari, C. Fort, S. Burger,

12. I. Bloch, J. Dalibard, and W. Zwerger, Rev. Mod. Phys.

F. S. Cataliotti, P. Maddaloni, F. Minardi, and

80(3), 885 (2008).

M. Inguscio, Phys. Rev. Lett. 87, 220401 (2001).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 7 - 8

2019