Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 9, с. 610 - 614

Фазовая диаграмма антиферромагнитной модели Гейзенберга

на кубической решетке

М. К. Рамазанов¹⁾, А. К. Муртазаев

Институт физики Дагестанского научного центра РАН, 367003 Махачкала, Россия

Поступила в редакцию 18 марта 2019 г.

После переработки 25 марта 2019 г.

Принята к публикации 25 марта 2019 г.

На основе репличного алгоритма методом Монте-Карло выполнены исследования фазовых перехо-

дов антиферромагнитной модели Гейзенберга на кубической решетке с учетом внутрислойных взаимо-

действий вторых ближайших соседей. Рассмотрен диапазон значений величины взаимодействия вторых

ближайших соседей 0.0 ≤ r ≤ 1.0. На основе гистограммного метода и метода кумулянтов Биндера про-

веден анализ характера фазовых переходов. Построена фазовая диаграмма зависимости критической

температуры от величины взаимодействия вторых ближайших соседей. Показано, что в рассмотренном

интервале значений r наблюдается фазовый переход второго рода. Обнаружено, что в данной модели

учет взаимодействий вторых ближайших соседей внутри слоев не приводит к смене фазового перехода.

DOI: 10.1134/S0370274X1909008X

1. Введение. Исследование фазовых переходов

имодействий вторых ближайших соседей было про-

(ФП) и критических свойств в спиновых системах

ведено в работе [14]. В этой работе авторами по-

с конкурирующим обменным взаимодействием явля-

строена фазовая диаграмма зависимости критиче-

ется актуальной задачей в современной физике кон-

ской температуры от величины взаимодействия вто-

денсированного состояния [1-3]. Конкуренция обмен-

рых ближайших соседей в интервале 0.0 ≤ r ≤ 0.5,

ного взаимодействия может привести к фрустрации.

где r = J₂/J₁ (J₁ и J₂ - константы обменного вза-

Исследование спиновых систем с фрустрациями име-

имодействия первых и вторых ближайших соседей,

ет особый интерес. Это связано с тем, что такие

соответственно). Было показано, что на диаграмме

системы во многом проявляют свойства, отличные

вблизи точки r = 0.25 пересекаются три различные

от соответствующих нефрустрированных систем. В

фазы: ферромагнитная, парамагнитная и суперан-

частности, такое отличие выражается в богатом раз-

тиферромагнитная. Магнитная структура основного

нообразии фаз и ФП [4].

состояния суперантиферромагнитной фазы была на-

В последние годы большое внимание уделяют ис-

ми подробно рассмотрена в работе [11], а что касает-

следованию двумерной и трехмерной модели Изин-

ся ферромагнитной и парамагнитной фаз, то их маг-

га с конкурирующими обменными взаимодействия-

нитные структуры хорошо известны. Согласно ре-

ми [5-12]. Эти модели изучены достаточно хорошо и

зультатам работы [14], для r < 0.25 реализуется ФП

многие их свойства известны. Модель Гейзенберга,

второго рода, когда как для r > 0.25 имеет место

где фрустрации обусловлены конкуренцией обмен-

ФП первого рода. Для определения типа ФП автора-

ных взаимодействий, до сих пор остается малоизу-

ми был использован гистограммный анализ данных

ченной. ФП антиферромагнитной модели Гейзенбер-

метода МК. Как видно из работы, расчеты проводи-

га на кубической решетке с учетом внутрислойных

лись лишь для систем с малыми линейными размера-

взаимодействий вторых ближайших соседей практи-

ми (L ≤ 18), что вызывает сомнение в правильности

чески не исследованы. Учет антиферромагнитных

полученных результатов. Как было показано ранее в

взаимодействий вторых ближайших соседей в клас-

работах [11, 12, 15] для определения типа ФП в спи-

сических трехмерных моделях сопровождается вы-

новых системах с фрустрациями необходимо иссле-

рождением основного состояния, появлением фруст-

довать системы с большими линейными размерами

раций, различных фаз и ФП [13].

(L ≥ 90).

Исследование методом Монте-Карло (МК) моде-

В работе [16] нами методом МК были проведе-

ли Гейзенберга на кубической решетке с учетом вза-

ны исследования ФП и критических свойств анти-

ферромагнитной модели Гейзенберга на кубической

¹⁾e-mail: sheikh77@mail.ru

решетке с учетом взаимодействий вторых ближай-

610

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 9 - 10

2019

Фазовая диаграмма антиферромагнитной модели Гейзенберга на кубической решетке

611

ших соседей внутри слоев. Было обнаружено, что в

3. Результаты моделирования. Расчеты про-

исследуемой модели переход из суперантиферромаг-

водились для систем с периодическими граничными

нитной фазы в парамагнитную реализуется как ФП

условиями и с линейными размерами L × L × L = N,

второго рода для случая r = 1.0. Эта модель явля-

L = 24 ÷ 120. Для вывода системы в состояние тер-

ется частным случаем модели, исследуемой в работе

модинамического равновесия отсекался участок дли-

[14], когда взаимодействие вторых ближайших сосе-

ной τ₀ = 4 × 10⁵ МКшагов/спин, что в несколько раз

дей между слоями равно нулю.

больше длины неравновесного участка. Усреднение

В данной работе, нами на основе метода МК ис-

термодинамических величин проводилось вдоль мар-

следуется природа ФП антиферромагнитной модели

ковской цепи длиной τ = 500τ₀ МКшагов/спин.

Гейзенберга на кубической решетке с учетом взаимо-

Параметр порядка системы m вычислялся, ис-

действий вторых ближайших соседей внутри слоев

пользуя выражения:

в интервале значений 0.0 ≤ r ≤ 1.0. Интерес к ис-

4∑

следуемой модели обусловлен тем, что при учете ан-

m_λ =

(-1)^zS_i, где λ = 1, 2, 3, 4,

(2)

тиферромагнитных взаимодействий вторых ближай-

i∈λ

ших соседей внутри слоев данная модель становится

m^a = [m₁ + m₂ - (m₃ + m₄)]/4,

(3)

фрустрированной. В спиновых системах с фрустра-

циями многие физические свойства сильно зависят

m^b = [m₁ + m₄ - (m₂ + m₃)]/4,

(4)

от величины взаимодействия вторых ближайших со-

√

седей. Поэтому исследование этой модели на основе

m = (m^a)² + (m^b)²,

(5)

современных методов и идей позволит получить от-

где m₁, m₂, m₃, m₄ - параметр порядка по подрешет-

вет на ряд вопросов, связанных с характером и при-

кам, z - номер слоя решетки.

родой ФП фрустрированных спиновых систем.

Для определения критической температуры T_N

2. Модель и метод исследования. Антифер-

был использован метод кумулянтов Биндера U_L чет-

ромагнитная модель Гейзенберга с учетом взаимо-

вертого порядка [23]:

действий первых и вторых ближайших соседей опи-

сывается следующим гамильтонианом:

〈m⁴〉_L

∑

U_L = 1 -

(6)

H = -J₁

(S_i · S_j ) - J₂

(S_i · S_l),

(1)

3〈m²〉²

〈i,j〉

Согласно теории конечно-размерного скейлинга,

где S_i - трехкомпонентный единичный вектор, S_i =

точка пересечения всех кривых U_L(T) является кри-

= (Sxi , Syi , Szi ). Решетка состоит из двумерных квад-

тической точкой. Выражение (6) позволяет опреде-

ратных слоев, сложенных по ортогональной оси.

лить критическую температуру T_N с большой точ-

Первый член в формуле (1) характеризует антифер-

ностью. Следует отметить, что применение метода

ромагнитное взаимодействие всех ближайших сосе-

кумулянтов Биндера позволяет также хорошо тести-

дей, которое берется одинаковым как внутри слоев,

ровать тип ФП в системе. В случае ФП второго ро-

так и между слоями (J₁ < 0). Второй член харак-

да кривые температурной зависимости кумулянтов

теризует антиферромагнитное взаимодействие вто-

Биндера U_L имеют четко выраженную точку пересе-

рых ближайших соседей, находящихся в том же слое

чения [23].

(J₂ < 0).

На рисунках 1 и 2 представлены характерные за-

В настоящее время ФП фрустрированных спино-

висимости U_L от температуры для r = 0.2 и r = 0.8

вых систем на основе микроскопических гамильто-

при различных значениях L (здесь и на всех по-

нианов довольно успешно изучаются методами МК

следующих рисунках статистическая погрешность не

[17-21]. Методы МК позволяют исследовать физи-

превышает размеров символов использованных для

ческие свойства спиновых систем практически лю-

построения зависимостей). Эти рисунки демонстри-

бой сложности. На их основе, на сегодняшний день,

руют точность определения критической температу-

изучены целые классы спиновых систем и рассчита-

ры. Из графиков видно, что в критической области

ны критические индексы широкого спектра моделей.

наблюдаются четко выраженные точки пересечения

В данном исследовании был использован репличный

(T_N = 1.1600(2) для r = 0.2 и T_N = 1.0960(2) для

обменный алгоритм метода МК [22], который явля-

r = 0.8 (здесь и далее температура дана в едини-

ется наиболее мощным и эффективным для иссле-

цах |J₁|/k_B)), что свидетельствует о ФП второго ро-

дования фрустрированных спиновых систем. Более

да. Аналогичным образом были определены крити-

подробно этот алгоритм описан нами в работе [6].

ческие температуры и для остальных значений r.

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 9 - 10

2019

3^∗

612

М. К. Рамазанов, А. К. Муртазаев

Рис. 3. Фазовая диаграмма зависимости критической

Рис. 1. Зависимость кумулянта Биндера UL от темпе-

температуры от величины взаимодействия вторых бли-

ратуры kBT /|J1| для r = 0.2

жайших соседей. I - антиферромагнитная фаза, II -

парамагнитная фаза, III - суперантиферромагнитная

фаза

це этих фаз имеется область сосуществования обеих

фаз.

Для подробного анализа рода ФП нами исполь-

зовался гистограммный анализ данных метода МК

[24, 25]. Этот метод позволяет надежно определить

род ФП. Методика определения рода ФП этим мето-

дом подробно описана нами в работе [26].

Результаты нашей работы показывают, что пере-

ход из антиферромагнитной фазы в парамагнитную

фазу является ФП второго рода. Это продемонстри-

ровано на рис. 4. На этом рисунке представлены ги-

Рис. 2. Зависимость кумулянта Биндера UL от темпе-

ратуры kBT /|J1| для r = 0.8

На рисунке 3 приведена фазовая диаграмма за-

висимости критической температуры от величины

взаимодействия вторых ближайших соседей. На диа-

грамме видно, что вблизи значения r = 0.5 пересе-

каются три различные фазы: антиферромагнитная -

I, парамагнитная - II и суперантиферромагнитная -

III.

В данной работе нами изучались переходы из

антиферромагнитной фазы в парамагнитную и из

суперантиферромагнитной фазы в парамагнитную.

Переход из антиферромагнитной фазы в суперан-

Рис. 4. Гистограмма распределения энергии для r = 0.2

тиферромагнитную нами не рассматривался (пунк-

тирная линия вблизи значения r = 0.5 на рис. 3).

стограммы распределения энергии для систем с ли-

Достоверных сведений о данном переходе до сих

нейными размерами L = 30, L = 60 и L = 90 для слу-

пор не существует. Мы предполагаем, что на грани-

чая r = 0.2. Графики построены вблизи критической

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 9 - 10

2019

Фазовая диаграмма антиферромагнитной модели Гейзенберга на кубической решетке

613

температуры. Из рисунка 4 видно, что на зависимо-

сти вероятности P(U) от энергии U для всех линей-

ных размеров наблюдается один хорошо выражен-

ный максимум, который растет с увеличением линей-

ных размеров системы. Такое поведение свидетель-

ствует в пользу ФП второго рода. Аналогичная кар-

тина наблюдается во всем интервале 0.0 ≤ r ≤ 0.5.

Что касается перехода из суперантиферромагнит-

ной фазы в парамагнитную фазу, мы обнаружили,

что в интервале значений 0.5 < r ≤ 1.0 также на-

блюдается ФП второго рода. Это показано на рис. 5.

На этом рисунке представлены гистограммы распре-

Рис. 6. Гистограмма распределения энергии для r = 0.9

переход из суперантиферромагнитной фазы в пара-

магнитную происходит как ФП первого рода. Такое

несоответствие может быть обусловлено либо тем,

что нами в данном исследовании не учитывалось

межслойное обменное взаимодействие вторых бли-

жайших соседей, либо тем, что в работе [14] иссле-

довались системы с малыми линейными размерами,

что не позволяет надежно определять тип ФП.

Таким образом, на диаграмме, представленной на

рис. 3, мы видим, что переход из фазы I в фазу II, а

Рис. 5. Гистограмма распределения энергии для r = 0.8

также переход из фазы III в фазу II являются ФП

второго рода.

деления энергии при r = 0.8 для систем с линейными

Аналогичные исследования для модели Изинга на

размерами L = 30, L = 60 и L = 90. Из рисунка вид-

кубической решетке с учетом внутрислойного вза-

но, что на зависимости вероятности P (U) от энергии

имодействия вторых ближайших соседей показали,

U для всех линейных размеров наблюдается один хо-

что на диаграмме зависимости критической темпера-

рошо выраженный максимум, который растет с уве-

туры от величины взаимодействия вторых ближай-

личением линейных размеров системы. Наличие од-

ших соседей существует область (0.6 ≤ r ≤ 0.8), где

ного максимума на гистограмме распределения энер-

наблюдается ФП первого рода [12]. В отличие от мо-

гии является достаточным условием для ФП второго

дели Изинга, в модели Гейзенберга учет взаимодей-

рода.

ствий вторых ближайших соседей внутри слоев не

В работе [26] нами ранее было показано, что для

приводит к смене ФП.

систем с большими линейными размерами на гисто-

4. Заключение. Исследование фазовых перехо-

грамме распределения энергии может появиться вто-

дов антиферромагнитной модели Гейзенберга на ку-

рой максимум, который отсутствует для систем с ма-

бической решетке с учетом внутрислойного взаимо-

лыми линейными размерами. Поэтому нами на рис. 6

действия вторых ближайших соседей в диапазоне

представлены гистограммы распределения энергии

значений 0.0 ≤ r ≤ 1.0 выполнено с использованием

для системы с линейными размерами L = 120 при

высокоэффективного репличного алгоритма метода

r = 0.9. Графики построены при различных темпера-

Монте-Карло. На основе гистограммного метода ана-

турах, близких к критической температуре. Как вид-

лиза данных и метода кумулянтов Биндера четвер-

но на рис. 6, для всех значений T наблюдается один

того порядка проведен анализ характера фазовых

максимум. Это позволяет утверждать о наличии в

переходов. Показано, что в исследуемой модели во

системе ФП второго рода. Наши данные противоре-

всем рассмотренном интервале значений r наблюда-

чат с результатами, полученными в работе [14], где

ется фазовый переход второго рода.

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 9 - 10

2019

614

М. К. Рамазанов, А. К. Муртазаев

Исследование выполнено при финансовой под-

13. D. P. Landau and K. Binder, Monte Carlo Simulations

держке Российского Фонда Фундаментальных Ис-

in Statistical Physics, Cambridge University Press,

следований в рамках научных проектов #19-02-

Cambridge (2000).

00153-а и 18-32-20098-мол-а-вед.

14. C. Pinettes and H. T. Diep, J. Appl. Phys. 83, 6317

(1998).

15. V. Thanh Ngo and H. T. Diep, Phys. Rev. E 78, 031119

1. В. С. Доценко, УФН 165, 481 (1995).

(2008).

2. С. Е. Коршунов, УФН 176, 233 (2006).

16. М. К. Рамазанов, А. К. Муртазаев, Письма в ЖЭТФ

3. A. Malakis, P. Kalozoumis, and N. Tyraskis, Eur. Phys.

106, 72 (2017).

J. B 50, 63 (2006).

17. А. К. Муртазаев, М. А. Магомедов, М. К. Рамазанов,

4. С. С. Сосин, Л. А. Прозорова, А. И. Смирнов, УФН

Письма в ЖЭТФ 107, 265 (2018).

175, 92 (2005).

18. A. Mailhot, M. L. Plumer, and A. Caille, Phys. Rev. B

5. А. К. Муртазаев, М. К. Рамазанов, М. К. Бадиев,

50, 6854 (1994-II).

ФНТ 37, 1258 (2011).

19. A. K. Murtazaev, M. K. Ramazanov, and M. K. Badiev,

6. А. К. Муртазаев, М. К. Рамазанов, Ф. А. Касан-

Physica B: Condensed Matter 476, 1 (2015).

Оглы, М. К. Бадиев, ЖЭТФ 144, 1239 (2013).

20. M. K. Ramazanov, A. K. Murtazaev, and M. A. Mago-

7. F. A. Kassan-Ogly, B. N. Filippov, A. K. Murtazaev,

medov, Solid State Commun. 233, 35 (2016).

M. K. Ramazanov, and M. K. Badiev, J. Mag. Mag.

21. М. К. Бадиев, А. К. Муртазаев, М. К. Рамазанов,

Mater. 324, 3418 (2012).

ЖЭТФ 150, 722 (2016).

8. A. Kalz and A. Honecker, Phys. Rev. B 86, 134410

22. A. Mitsutake, Y. Sugita, and Y. Okamoto, Biopolymers

(2012).

(Peptide Science) 60, 96 (2001).

9. S. Jin, A. Sen, and A. W. Sandvik, Phys. Rev. Lett. 108,

23. К. Биндер, Д. В. Хеерман, Моделирование методом

045702 (2012).

Монте-Карло в статистической физике, Наука, М.

10. S. Jin, A. Sen, W. Guo, and A. W. Sandvik, Phys. Rev.

(1995).

B 87, 144406 (2013).

24. F. Wang and D. P. Landau, Phys. Rev. Lett. 86, 2050

11. М. К. Рамазанов, А. К. Муртазаев, Письма в ЖЭТФ

(2001).

101, 793 (2015).

25. F. Wang and D. P. Landau, Phys. Rev. E 64, 056101

12. М. К. Рамазанов, А. К. Муртазаев, Письма в ЖЭТФ

(2001).

103, 522 (2016).

26. М. К. Рамазанов, Письма в ЖЭТФ 94, 335 (2011).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 9 - 10

2019