Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 10, с. 666 - 676

Генерация и преобразование световых пучков и импульсов,

содержащих сингулярности поляризации, в средах

с нелокальностью нелинейно-оптического отклика

(Миниобзор)

К.С.Григорьев^+∗, В.А.Макаров^+∗1)

⁺Физический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова, 119991 Москва, Россия

^∗Международный Лазерный Центр МГУ им. М. В. Ломоносова, 119991 Москва, Россия

Поступила в редакцию 14 апреля 2019 г.

После переработки 16 апреля 2019 г.

Принята к публикации 16 апреля 2019 г.

Обсуждаются полученные аналитические выражения, связывающие значения двух параметров, ха-

рактеризующих топологический тип сингулярностей линейной и круговой поляризации в непаракси-

альных световых полях, со значениями компонент комплексной амплитуды электрического поля и их

первых пространственных производных. Описаны необходимые условия для возникновения светового

импульса на удвоенной частоте в объеме изотропной гиротропной среды с частотной дисперсией квад-

ратичной нелинейности, налагаемые на поперечную структуру неоднородно поляризованного импульса

основного излучения и на его временную развертку. Описано электрическое поле светового пучка, отра-

женного от поверхности изотропной гиротропной среды с пространственной дисперсией квадратичной

нелинейности, при произвольной структуре и геометрии падения неоднородно поляризованных пучков

основного излучения. Определены области параметров эллиптически поляризованного гауссова пучка и

среды с локальной и нелокальной кубичной нелинейностью, при которых в поперечных сечениях пучка,

самофокусирующегося в среде, происходит формирование линий сингулярности круговой поляризации.

DOI: 10.1134/S0370274X19100059

1. Введение. В конце XX столетия в свет вы-

точки сингулярности вдоль малого замкнутого кон-

шла книга Дж. Ф. Ная “Естественная фокусировка

тура. Аналогичные структуры были предсказаны и

и тонкая структура света” [1]. Этот фундаменталь-

обнаружены в неоднородно поляризованных свето-

ный труд обобщал результаты более двадцати пред-

вых полях и получили название поляризационных

шествующих лет исследований, на основании кото-

сингулярностей (C-точек). Так были названы те точ-

рых возник новый раздел современной оптики - син-

ки светового поля, в которых оно имеет чисто круго-

гулярная оптика. Предметом ее изучения являются

вую поляризацию и в которых из-за этого невозмож-

оптические сингулярности точки в распространя-

но однозначно определить ориентацию большой по-

ющемся электромагнитном излучении, в которых од-

луоси эллипса. Вблизи такой точки эллипсы поляри-

на из его характеристик имеет особенность поведе-

зации имеют все возможные ориентации, что позво-

ния. Классическим примером оптических сингуляр-

ляет определить топологический индекс таких точек,

ностей в однородно поляризованных световых полях

как количество оборотов поляризационного эллипса,

являются точки фазовых дислокаций, также назы-

сосчитанное при обходе сингулярности по малому за-

ваемые фазовыми или оптическими вихрями. В та-

мкнутому контуру. Сингулярности фазы и поляри-

ких точках интенсивность поля равна нулю, а фа-

зации электромагнитного поля обладают устойчиво-

за его колебаний не определена. Вблизи точки син-

стью к его малым возмущениям и преобразуются при

гулярности фронт распространяющейся волны име-

его распространении по строго определенным зако-

ет спиралевидную структуру, что позволяет харак-

нам [2]. Линии тока вектора Умова-Пойнтинга вбли-

теризовать каждую сингулярность топологическим

зи точек сингулярности фазы или поляризации име-

индексом, который определяется как нормированное

ют вихревую структуру, поэтому исследование оп-

на 2π изменение фазы поля, сосчитанное при обходе

тических сингулярностей тесно связано с разделом

¹⁾e-mail: vamakarov@phys.msu.ru

666

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 9 - 10

2019

Генерация и преобразование световых пучков и импульсов, содержащих сингулярности поляризации. . . 667

оптики, изучающим угловой момент электромагнит-

ма широк и имеет богатую историю. Так, исследо-

ного излучения [3].

вания трехволнового смешения световых пучков с

Уже в 1990-х гг. были описаны и реализованы

фазовыми сингулярностями были начаты более два-

эксперименты, в которых основная поперечная мо-

дцати лет назад [34-37]. Одним из ключевых предме-

да лазерного излучения посредством цилиндриче-

тов исследования является соотношение между топо-

ских линз преобразовывалась в лагерр-гауссовы мо-

логическими индексами сингулярностей в сигналь-

ды, содержащие фазовую сингулярность [4, 5]. Сре-

ном и основном излучении. Столь же давнюю ис-

ди возникших в то время устройств для формирова-

торию имеют и исследования нелинейной рефрак-

ния световых полей, содержащих сингулярности фа-

ции лазерного излучения, которой сопутствует об-

зы, можно также отметить спиральные фазовые пла-

разование оптических вихрей в поперечном сече-

стинки и голографические фазовые элементы [6, 7].

нии распространяющейся электромагнитной волны

Большим прорывом для экспериментальной сингу-

[38, 39]. Как правило, в вышеупомянутых иссле-

лярной оптики стала разработка компактных жид-

дованиях нелинейная среда имела упорядоченную

кокристаллических элементов, позволяющих форми-

структуру (кристаллы, жидкие кристаллы или фо-

ровать оптические вихри с произвольной структу-

тонные кристаллы). В то же время, рождение и

рой, и систем микрозеркал с цифровым управлением,

преобразование сингулярностей фазы возможно осу-

позволяющих не только создавать световые пучки

ществить даже в изотропных нелинейных средах

со сколь угодно сложной структурой фазового про-

таких, как воздух, благородные газы или плазма

филя, но и осуществлять быстрое (за десятые доли

[40-43].

миллисекунд) переключение между генерируемыми

Как уже было отмечено, нелинейные процессы,

структурами [8-12]. Столь же стремительно развива-

в которых участвуют неоднородно поляризованные

лись и методики создания неоднородно поляризован-

световые пучки и импульсы, содержащие сингуляр-

ного излучения с заданным распределением поляри-

ности поляризации, освещены в значительно мень-

зации. Одним из них является простое конструиро-

шем количестве работ. Среди них можно отметить

вание лазерного пучка из суперпозиции поперечных

исследования формирования поляризационных син-

мод с различными состояниями поляризации [13, 14].

гулярностей при распространении циркулярно по-

Более сложные методы, позволяющие формировать

ляризованного излучения в одноосном кристалле

неоднородно поляризованные лазерные пучки и им-

KDP, симметрия которого нарушается приложенным

пульсы, базируются на использовании оптических

к кристаллу внешним электрическим полем [44], ана-

элементов с наведенным двулучепреломлением [15-

лиз стабилизации распространения светового пучка,

17]. Наконец, современные цифровые микрозеркаль-

содержащего сингулярность поляризации на своей

ные устройства позволяют создавать излучение, со-

оси [45], а также классическую для нелинейной опти-

держащее сингулярности поляризации произвольно-

ки задачу генерации второй гармоники в кристалле

го типа, в широком диапазоне длин волн [18].

KTP с использованием излучения с поляризацион-

На сегодняшний день существует большое коли-

ной сингулярностью [46]. Стимулом для проведения

чество теоретических и экспериментальных иссле-

подобных экспериментов является построение стро-

дований в линейной оптике, связанных с сингуляр-

гой теории взаимодействия неоднородно поляризо-

ностями поляризации электромагнитного излучения.

ванного излучения с веществом. Особый интерес с

Среди них можно отметить работы, посвященные

точки зрения сингулярной поляризационной опти-

сингулярностям в когерентных световых полях, ста-

ки представляют среды с нелокальным нелинейно-

тистике сингулярностей в случайных полях, их воз-

оптическим откликом, исключительно чувствитель-

никновению в задачах линейной фотоники и плазмо-

ным к состоянию поляризации распространяющего-

ники, и даже в рассеянном солнечном свете [19-28].

ся в них света. Ранее в серии оригинальных иссле-

Подобному росту научного интереса к поляриза-

дований [47-53] было теоретически предсказано фор-

ционным сингулярностям сопутствует развитие ме-

мирование в таких средах неоднородно поляризован-

тодов их детектирования: от классических интерфе-

ных световых пучков даже в том случае, когда пучки

ренционных до современных методов ближнеполь-

основного излучения имеют гауссов поперечный про-

ной микроскопии и квантовой оптики [24, 29-33]. Ис-

филь и однородную поляризацию. Ниже приведен

следования в области нелинейной сингулярной опти-

обзор недавно полученных результатов исследований

ки в большей степени посвящены фазовым, а не по-

аналогичных задач, направленных на поиск режи-

ляризационным сингулярностям светового поля. В

мов генерации поляризационных сингулярностей и

то же время, спектр подобных исследований весь-

изучение законов преобразования излучения, изна-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 9 - 10

2019

668

К.С.Григорьев, В.А.Макаров

чально содержащего сингулярности, в изотропных

сингулярности характеризуются топологическим ин-

средах с нелокальным нелинейным откликом.

дексом, который равен изменению характеристики

2. Топологические характеристики сингу-

q, сосчитанному при обходе точки сингулярности по

лярностей электромагнитного поля. Простран-

малому замкнутому контуру γ и нормированному

∮

ственное распределение напряженности электриче-

на 2π:

I =

dq.

(4)

ского поля

E параксиального квазимонохроматиче-

2π

ского светового импульса и его зависимость от вре-

Топологический индекс фазовой сингулярности при-

мени могут быть выражены с использованием ком-

нимает значения 1 или -1, что соответствует воз-

плексной амплитуды E:

растанию или убыванию фазы любой из циркуляр-

E(r, z, t) = E(r, z, t) exp(-iωt + ikz) + c.c.

(1)

но поляризованных компонент E_± при обходе точ-

ки сингулярности. Поляризационные сингулярности

Здесь ω - несущая частота импульса, k волновое

характеризуются полуцелым индексом 1/2 или -1/2,

число, соответствующее этой частоте. Импульс, опи-

поскольку эллипс поляризации тождественен сам се-

сываемый (1), распространяется вдоль положитель-

бе уже при повороте на пол-оборота. Для более де-

ного направления оси Oz, при этом r = {x, y} являет-

тального описания световых сингулярностей каждо-

ся компонентой радиус-вектора, перпендикулярной

му их типу ставится в соответствие комплексная ве-

направлению распространения импульса. Комплекс-

личина U, равная нулю в самой точке сингулярно-

ная амплитуда E является медленно меняющейся

сти. Аргумент величины U связан с характеристи-

функцией своих аргументов на масштабах порядка

кой q и для фазовых сингулярностей в качестве U

периода электромагнитных колебаний T

= 2π/ω и

можно выбирать любую из амплитуд E_±. Для по-

длины волны λ = 2π/k. Компонента E_⊥ векторной

ляризационных сингулярностей U = E₊E^∗-, причем

комплексной амплитуды неоднородно поляризован-

argU = 2Ψ. Вблизи сингулярной точки, имеющей в

ного светового импульса, перпендикулярная его на-

некотором поперечном сечении координаты (x₀, y₀)

правлению распространения, может быть представ-

комплексную характеристику U можно разложить в

лена в виде следующей суммы:

ряд Тейлора:

E_⊥(r, z, t) = e₊E₊(r, z, t) + e_-E_-(r, z, t).

(2)

U ≈ A[(x-x₀)+i(y-y₀)]+B[(x-x₀)-i(y-y₀)]. (5)

√

Здесь e_± = (e_x ∓ ie_y)/

2 - единичные комплексные

Коэффициенты разложения позволяют построить

векторы волн с правой и левой круговой поляриза-

√

важную характеристику световой сингулярности -

цией, а E_± = (E_x ± iE_y )/

2 - комплексные амплиту-

параметр изотропии:

ды циркулярно поляризованных компонент импуль-

|A|² - |B|²

са. Форму и ориентацию эллипса можно задать дву-

Υ=

(6)

|A|² + |B|²

мя величинами:

Эта величина, в отличие от топологического индекса,

|E₊|² - |E_-|

не дискретна и может принимать любые значения от

M =

Ψ=

arg(E₊E^∗-).

(3)

|E₊|² + |E_-|²

-1 до 1. Поляризационная сингулярность характе-

Первая из них называется степенью эллиптичности,

ризуется дополнительным вторым параметром, вы-

а вторая - это угол между главной осью эллипса и

ражаемым через коэффициенты A и B следующим

осью Ox. Степень эллиптичности принимает значе-

образом:

{(

)

}

η = arg

A³

^∗B

(7)

ния от -1 (левая круговая поляризация) до 1 (правая

Наряду с параксиальными световыми полями в

круговая поляризация), и ее знак определяет направ-

современной оптике все чаще рассматриваются пол-

ление вращения вектора электрического поля.

ностью трехмерные поля, которые являются супер-

Существует два основных типа сингулярностей

позицией плоских волн, распространяющихся в су-

фазовые и поляризационные. Каждому типу сингу-

щественно разных направлениях. Зависимость век-

лярностей соответствует величина q, неопределенная

тора их электрического поля от координат и времени

в самой сингулярной точке и принимающая в ее ма-

может быть представлена в следующем виде:

лой окрестности все допустимые значения. В одно-

родно поляризованных световых полях величина q -

E(r, z, t) = E(R, t) exp(-iωt) + c.c,

(8)

это фаза скалярной комплексной амплитуды E₊ или

где R = {x, y, z} - радиус-вектор точки простран-

E_-, которые в однородных полях отличаются друг

ства. Плоскость эллипсов поляризации таких полей

от друга постоянным множителем. В неоднородно

может иметь произвольную ориентацию, а их син-

поляризованных полях в качестве характеристиче-

гулярностями являются точки, в которых поле име-

ской величины q рассматривается угол Ψ. Световые

ет круговую или линейную поляризацию (C^T -точки

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 9 - 10

2019

Генерация и преобразование световых пучков и импульсов, содержащих сингулярности поляризации. . . 669

и L^T-точки соответственно). Вблизи C^T точки все

коллинеарно и соосно распространяющиеся в объеме

эллипсы поляризации лежат практически в одной

такой среды, порождают поле нелинейной поляриза-

плоскости, поэтому ее можно, как и поляризацион-

ции вещества

P₃ с частотой ω₃ = ω₁ +ω₂ и волновым

ную сингулярность параксиального светового поля,

вектором k_Σ = k₁ + k₂. Вклад в сигнал от объема

характеризовать двумя параметрами Υ и η, анало-

нелинейной среды дает только вихревая часть нели-

гичным (6) и (7). Эти параметры связаны с ком-

нейной поляризации, амплитуду поперечной компо-

плексной амплитудой поля [54]:

ненты которой можно найти при помощи следующе-

го приближенного выражения [55]:

|E^∗ · ∇(E · E)|² - |E · ∇(E · E)|

Υ_C =

(9)

[

(

|E^∗ · ∇(E · E)|² + |E · ∇(E · E)|²

(s)

≈χ⁽²⁾

ie_z ×

k^-11E_2⊥∇ · E_1⊥) -

{

}

3⊥

)]

η_C = arg

[E · ∇(E^∗ · E^∗)]³ E · ∇(E · E) ,

(10)

− k^-12E_1⊥(∇ · E_2⊥) + k^-1Σ[∇ × [E_1⊥ × E_2⊥]]

(13)

где ∇ = {∂_x, ∂_y, ∂_z }. Точки линейной поляризации

где χ⁽²⁾ - единственная независимая компонента тен-

поля интересны тем, что все эллипсы поляризации

зора локальной квадратичной восприимчивости изо-

в их малых окрестностях ориентированы преимуще-

тропной гиротропной среды. Из-за взаимодействия

ственно вдоль одного направления, а единичные нор-

продольных и поперечных компонент импульсов ос-

мали n к этим эллипсам поляризации лежат практи-

новного излучения вихревая часть нелинейной поля-

чески в одной плоскости, перпендикулярной этому

ризации вещества зависит не только от поперечных

направлению, но имеют в ней все возможные ориен-

полей E_1⊥ и E_2⊥, но и от их пространственных про-

тации. Соответственно, определяя характеристику q

изводных. Электрическое поле импульса на суммар-

как угол между нормалью к эллипсу поляризации и

ной частоте в приближении заданного поля находит-

выбранным направлением в этой плоскости, можно

ся интегрированием неоднородного параболического

определить топологический индекс L^T точек по об-

уравнения

щей формуле (4). Кроме того, вводя в плоскости нор-

малей ортогональный базис Oζη, можно определить

[(

)

]

∂

ik′′3 ∂2

комплексную характеристику U = n_ζ + in_η, где n_ζ ,

Δ_⊥ +

E_3⊥ =

∂z

v₃ ∂t

2k₃

∂t²

n_η проекции нормали на выбранный базис. Харак-

2πik₃

теристика U позволяет построить два параметра для

P^(s)3⊥ exp(i(k_Σ - k₃)z).

(14)

описания L^T точки по аналогии с (9) и (10), которые

n²

также можно выразить через комплексную амплиту-

Здесь n₃ и k₃ - показатель преломления и волновое

ду поля [54]:

число импульса на суммарной частоте, v₃ и k^′′3 - груп-

|E|⁶e_ilme_jpq T_plT_qmE_iE^∗j

повая скорость импульса и коэффициент ее диспер-

Υ_L=

∑

[(|E|²δ_rl - E_rE^∗l)(|E|²δ_sm - E_sE^∗m)T_lm]²

сии, Δ_⊥ = ∂^2x+∂^2y. Начальные условия для уравнения

r,s=x,y,z

(14) выбираются нулевыми: E_3⊥(r, 0, t) = 0.

(11)

Рассмотрим случай однородной поляризации им-

пульсов основного излучения. Состоящий из супер-

η_L = arg {Im(E^∗ · [∇ × E])+

(

)}

позиции соосных лагерр-гауссовых мод импульс с но-

0.5(E^∗ · ∇)(E · E) - |E|²(∇ · E)

+ iIm

√

(12)

мером m = 1, 2 может содержать в своих поперечных

(E · E)

сечениях фазовые сингулярности, суммарный топо-

. Здесь и да-

логический индекс которых равен I_Um

В формуле (11) символы δ и e обозначают тензо-

лее индекс U показывает, что рассматривается за-

ры Кронекера и Леви-Чивиты соответственно, и по

ряд фазовых сингулярностей. Эта величина одина-

повторяющимся индек(ам производи)ся суммирова-

√

кова для сингулярностей в любом поперечном сече-

ние, а тензор T_ij = Im

(E · E)∂_iE_j

нии импульса и не зависит от времени. Рождающий-

3. Возникновение сингулярностей поляри-

ся в объеме среды импульс на суммарной частоте

зации в световых импульсах на суммарной,

в общем случае поляризован неоднородно, поэтому

удвоенной и утроенной частотах в объеме изо-

имеет смысл рассматривать суммарные топологиче-

тропной среды c нелокальным оптическим от-

ские индексы сингулярностей правой (I_C+) и левой

кликом. Сигнал на суммарной частоте в объеме изо-

круговой (I_C-) поляризации. Значения этих суммар-

тропной среды может возникать в том случае, когда

ных индексов также не зависят от выбора поперечно-

она обладает хиральностью. Два импульса вида (1)

го сечения сигнального импульса и момента времени

с частотами ω₁ и ω₂ и волновыми числами k₁ и k₂,

и определяются значениями степеней эллиптичности

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 9 - 10

2019

670

К.С.Григорьев, В.А.Макаров

пучков основного излучения M₁ и M₂ и углом Ψ меж-

Здесь E_g, E_v

- амплитуды циркулярно-

ду осями их эллипсов поляризации [56]. Если угол

поляризованных компонент импульса с единичными

√

векторами поляризации e_S

= (e_x - iM_Se_y)/

2 и

)

(k^2Σµ^21±µ^22± - k²¹µ^21±µ^22∓ - k²²µ^21∓µ^22±

e^∗S, w - характерный поперечный размер импуль-

Ψ_c±=

arccos

2k₁k₂µ₁₊µ_1-µ₂₊µ_2-

са. В любой момент времени на его оси в любом

(15)

поперечном сечении лежит точка сингулярности

где µ_m± =

√1 ± M_m, имеет физический смысл (мо-

круговой поляризации со степенью эллиптичности

дуль выражения в скобках меньше единицы), то

M_S, которая может быть равна 1 или -1. Несмотря

справедливо соотношение

на сложную структуру импульса основного излу-

чения, сигнальный импульс на удвоенной частоте

IU1 + IU2

IC3± = ∓

sgn(Ψ_c∓ - Ψ).

(16)

имеет однородную поляризацию, причем его степень

эллиптичности M₃ с точностью до знака равна

В противном случае, для вычисления суммарных ин-

параметру изотропии C-точки в импульсе накачки:

дексов I_C3± в формуле (16) вместо второго слага-

|p|² - |q|²

емого надо подставлять 1/2 при выполнении нера-

M₃ =

sgnM_S = Υ_C sgnM_S.

(19)

|p|² + |q|²

венства |k1µ1±µ2∓ - k2µ1∓µ2±|

< k_Σµ_1±µ_2± или

-1/2

при выполнении неравенства k_Σµ_1±µ_2±

Импульс на удвоенной частоте также может воз-

>k₁µ_1±µ_2∓ + k₂µ_1∓µ_2±.

никать в объеме изотропной хиральной среды с

Генерация второй гармоники в объеме изотроп-

частотной дисперсией квадратичной нелинейности.

ной среды возможна в том случае, когда последняя

Материальное уравнение, связывающее амплитуду

обладает пространственной или частотной дисперси-

поля нелинейной поляризации вещества и амплиту-

ей квадратичного отклика. В первом случае матери-

ду электрического поля импульса накачки в первом

альное уравнение для поля нелинейной поляризации

приближении теории дисперсии имеет вид:

среды имеет вид

]

[∂E₁

P₃ = iD_χ

×E₁ ,

(20)

P₃ = γ₁ E₁(∇·E1)+1γ2∇(E1·E1)+γ3(E1·∇)E1, (17)

∂t

где γ₁ - γ₃ - независимые компоненты тензора нело-

где D_χ = ∂χ⁽²⁾/∂ω - коэффициент частотной дис-

персии квадратичной нелинейности. Чтобы вихревая

кальной квадратичной восприимчивости. В соответ-

часть нелинейной поляризации, выделенная из (20),

ствии с приближением заданного поля, первое сла-

была отлична от нуля, необходимо, чтобы импульс

гаемое в (17) равно нулю, как того требует соответ-

основного излучения был неоднородно поляризован

ствующее уравнение Максвелла. Второе слагаемое в

как в пространстве, так и во времени [57]. В качестве

материальном уравнении представляет собой потен-

такого импульса рассмотрим суперпозицию импуль-

циальное векторное поле, а, следовательно, не да-

ет вклада в нелинейный отклик, зарождающийся в

сов (18), следующих друг за другом с временным от-

ставанием 2δ, причем второй импульс получается из

толще среды. Третье слагаемое, напротив, являет-

первого при помощи двупреломляющей фазовой пла-

ся преимущественно поперечным векторным полем.

стинки. В этом случае импульс на удвоенной частоте,

Таким образом, интенсивность сигнала на удвоенной

как и в среде с нелокальной квадратичной нелиней-

частоте, сгенерированного в объеме изотропной сре-

ностью, однородно поляризован в пространстве и во

ды с нелокальным откликом, пропорциональна толь-

времени, а его степень эллиптичности равна пара-

ко одной материальной константе γ₃. Решая уравне-

метру изотропии сингулярности в основном импуль-

ние (14) с новым материальным уравнением для

P₃,

се:

можно показать, что сигнальный импульс на удвоен-

|p|² - |q²|

ной частоте не может возникнуть в толще среды при

M₃ =

=Υ_C.

(21)

|p|² + |q²|

однородной поляризации импульса основного излу-

чения. В настоящей работе рассмотрен пример им-

Важно подчеркнуть, что этот результат не зависит

пульса основного излучения, имеющего следующее

от типа двупреломляющей фазовой пластинки и по-

распределение электрического поля в перетяжке [57]:

рядка следования импульсов.

В заключение этого раздела рассмотрим задачу

E₁(r) = [E_ge_S +

о генерации третьей гармоники в изотропной сре-

]

(

)

p(x - iM_S y) + q(x + iM_Sy)

r²

де с локальным откликом [58]. В качестве импуль-

+E_v

e^∗

exp

.(18)

са основного излучения выбирался импульс (18). В

w²

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 9 - 10

2019

Генерация и преобразование световых пучков и импульсов, содержащих сингулярности поляризации. . . 671

отличие от предыдущих случаев, количество свето-

тензоров линейной и нелинейной восприимчивости

вых сингулярностей в сигнальном импульсе подчи-

среды и ее поверхности.

няется “стандартным правилам”, а именно, в три ра-

Особо интересными для сингулярной оптики яв-

за превышает количество сингулярностей в основном

ляются ситуации, когда первая группа слагаемых

импульсе. Однако, только две C-точки сигнального

в (22), пропорциональная c_αβγ , обращается в нуль.

импульса из трех имеют то же вращение поляриза-

При использовании двух однородно поляризован-

ции, что и исходная C-точка и схожее с ней значение

ных пучков основного излучения подобной ситуации

параметра изотропии. Эти сингулярности рождают-

можно достичь при любых углах падения, подбирая

ся на оси импульса третьей гармоники, но по мере

специальным образом состояние их поляризации (в

его распространения расходятся от нее. Образуемые

общем случае существуют две пары таких состоя-

ими в пространстве траектории имеют форму спира-

ний). Если среда обладает только локальной квадра-

лей, причем закрученность спирали зависит от знака

тичной нелинейностью, а влиянием приповерхност-

фазовой расстройки. Третья поляризационная син-

ного слоя можно пренебречь, пучки основного излу-

гулярность все время лежит на оси сигнального им-

чения должны быть линейно поляризованы для об-

пульса, но вращение ее поляризации и параметр изо-

ращения в нуль первой группы слагаемых в (22). В

тропии противоположны соответствующим характе-

случае, если плоскости падения пучков основного из-

ристикам исходной C-точки.

лучения совпадают, они должны быть поляризованы

4. Появление сингулярностей поляризации

перпендикулярно этой плоскости, а в случае неком-

в световых пучках, возникающих в процес-

планарной геометрии падения углы Ψ₁ и Ψ₂, зада-

сах трехволнового смешения на поверхности

ющие ориентацию направления колебаний векторов

изотропной среды с нелокальной квадратич-

электрического поля пучков в их собственных систе-

ной нелинейностью. Из-за взаимодействия про-

мах координат, сложным образом зависят от углов

дольных и поперечных компонент пучков основного

падения пучков, соотношения их частот и показате-

излучения, а также из-за нелокального характера от-

лей преломления среды. Отраженный сигнал на сум-

клика среды в случае вырождения их частот, нели-

марной частоте оказывается при этом линейно неод-

нейный сигнал от поверхности среды пропорциона-

нородно поляризованным (см. рис. 1) и содержит

лен не только попарным произведениям компонент

пучков основного излучения, но и попарным произ-

ведениям компонент на их пространственные произ-

водные [59]:

(

∂

E_3α(r₃) = c_αβγ + d⁽¹³⁾

αβγδ

∂u_δ

)

∂

+d⁽²³⁾

(22)

^αβγδ ∂v_δ

E_1β(u)E_2γ(v)|_u=(Π1 Π^-13)^T r3

v=(^Π2Π-13)^T

Выражение

(22) позволяет найти распределение

электрического поля отраженного сигнального

пучка E₃ в точках, задаваемых поперечным радиус-

вектором r₃

= {x₃, y₃} в сечении с центром на

поверхности нелинейной среды, при помощи из-

вестных распределений полей пучков основного

излучения E₁ и E₂ в аналогичных сечениях. Каж-

Рис. 1. Пример поперечного распределения поляриза-

дое распределение задано в собственной системе

ции в пучке на суммарной частоте, сгенерированном

координат падающего пучка, ось аппликат которой

двумя линейно поляризованными гауссовыми пучками,

направлена вдоль направления распространения

падающими на поверхность среды под углами θ1 = π/4

пучка, и для переходов между тремя координатны-

и θ2 = π/3. Попереч√ е координаты x3 и y3 нормиро-

ми системами используются операторы

Π₁-Π3. В

ваны на w3 = w1w2/

w²¹ + w²²

формуле (22) индексы α-δ принимают значения x,

y, соответствующие системам координат пучков, а

поляризационные сингулярности даже в том случае,

коэффициенты c_αβγ , d^(13)αβγδ и d^(23)αβγδ сложным образом

когда падающие пучки имеют гауссов профиль ин-

зависят от геометрии падения пучков и компонент

тенсивности и сингулярностей не содержат.

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 9 - 10

2019

672

К.С.Григорьев, В.А.Макаров

В задаче о генерации второй гармоники, когда

том случае, когда световой пучок основного излуче-

на среду падает только один пучок, обращение в

ния содержит уединенную сингулярность левой по-

нуль первой группы слагаемых в (22) в общем слу-

ляризации на своей оси [60]. Из-за нелокальности от-

чае нельзя достичь подбором его состояния поляри-

клика толщи среды и ее поверхности, а также из-за

зации. Однако при нормальном падении пучка ко-

пространственной ограниченности падающего и от-

эффициенты c_αβγ равны нулю. Отраженный свето-

раженного пучков, последний в общем случае содер-

вой пучок на удвоенной частоте возникает даже в

жит более одной точки сингулярности как правой,

том случае, когда падающий пучок имеет однород-

так и левой круговой поляризации. В случае, когда

ную поляризацию и гауссов профиль интенсивности

поверхностным откликом среды можно пренебречь,

[59]. Каждая циркулярно-поляризованная компонен-

отраженный сигнальный пучок на удвоенной часто-

та сигнального пучка в этом случае состоит из двух

те возникает за счет нелокального отклика ее толщи

лагерр-гауссовых мод первого порядка, и интенсив-

и содержит по крайней мере две C-точки. Каждая

ность пучка на его оси равна нулю. За исключением

из них имеет топологический индекс 1/2 вне зави-

особых случаев можно подобрать такую степень эл-

симости от индекса сингулярности в падающем пуч-

липтичности падающего на среду пучка, при которой

ке. От его знака зависит только направление вра-

амплитуды лагерр-гауссовых мод, входящих в состав

щения поляризации двух сгенерированных C-точек.

левополяризованной или правополяризованной ком-

В сигнальном пучке также могут присутствовать и

поненты отраженного пучка, будут равны. При этом

дополнительные C-точки с противоположной поля-

в любом его поперечном сечении будет лежать линия

ризацией, однако их суммарный топологический ин-

сингулярности правой или левой поляризации соот-

декс равен нулю. Если же поверхностный отклик сре-

ветственно (рис.2).

ды сравним по амплитуде с ее объемным откликом,

структура сигнального пучка усложняется. В част-

ности, суммарный топологический индекс сингуляр-

ностей отраженного пучка с правой поляризацией

имеет иные значения, нежели в случае чисто объ-

емного отклика среды (рис. 3).

5. Возникновение сингулярностей поляри-

зации в процессе самовоздействия эллипти-

чески поляризованного света в средах с ло-

кальным и нелокальным кубическим откли-

ком. Распространение эллиптически поляризован-

ного светового пучка в среде с локальным кубично-

нелинейным откликом описывается следующей си-

стемой уравнений для амплитуд E_± циркулярно-

поляризованных компонент его электрического поля

[61, 62]:

)

∂E_±

(∂²E_±

∂²E_±

∂z

∂x²

∂y²

4iπk

(

)

χ₁|E_±|² + (χ₁ + χ₂)|E_∓|²

E_±.

(23)

Рис. 2. (Цветной онлайн) Поперечное распределение

n²

поляризации в отраженном пучке на удвоенной частоте

Здесь k и n волновое число и показатель пре-

при специально подобранном состоянии поляризации

ломления среды на частоте светового пучка, распро-

нормально падающего на среду гауссова пучка основ-

страняющегося вдоль оси Oz, а χ₁ и χ₂ незави-

ного излучения. Точки сингулярности правой поляри-

симые компоненты тензора кубической восприимчи-

зации в поперечном сечении отраженного пучка лежат

вости среды. Соотношение между ними определяет-

вдоль прямой, отмеченной символами C-C, попереч-

ные координаты нормированы на полуширину падаю-

ся природой нелинейного отклика среды и типичны-

щего пучка w

ми значениями дроби β = χ₂/χ₁ являются 0 (теп-

ловая нелинейность), 1 (электронная нелинейность)

Завершая этот раздел, рассмотрим генерацию

и 6 (ориентационная нелинейность). Отметим, что

второй гармоники от поверхности изотропной хи-

независимо от механизма нелинейности самофокуси-

ральной среды в геометрии нормального падения в

ровка пучка с заданной мощностью протекает оди-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 9 - 10

2019

Генерация и преобразование световых пучков и импульсов, содержащих сингулярности поляризации. . . 673

механизма нелинейного отклика распространяющий-

ся пучок сохраняет свою однородную поляризацию,

и возникающие в нем линии фазовой сингулярно-

сти также лежат далеко от его оси. Напротив, при

электронном и ориентационном механизме нелиней-

ности циркулярно-поляризованные компоненты пуч-

ка ведут себя существенно разным образом, вслед-

ствие чего пучок становится неоднородно поляризо-

ванным в поперечном сечении. Если начальная по-

ляризация пучка достаточно далека от линейной,

циркулярно- поляризованная компонента с меньшей

начальной интенсивностью обращается в нуль на ли-

ниях, лежащих достаточно близко к оси пучка, так

что контрастность сингулярной линии V , определяе-

мая как отношение интенсивности пучка на этих ли-

ниях к интенсивности поля на его оси, может дости-

гать значений порядка 10^-1. Рисунок 4 иллюстриру-

ет зависимость контрастности V для первой возника-

Рис. 4. (Цветной онлайн) Отношение V интенсивности

поля в первой линии сингулярности поляризации, об-

разующейся в поле светового пучка, и интенсивности

поля на оси пучка в том же сечении при различных

Рис. 3. (Цветной онлайн) Поперечное распределение

поляризации в сигнальном пучке в случае наличия (a),

значениях его мощности P, выраженной в относитель-

ных единицах, и начальных степенях эллиптичности

отсутствия (b) поверхностного нелинейного отклика

среды. Падающий на среду пучок содержит уединен-

гауссового пучка M0 для случаев электронной (a), ори-

ентационной (b) нелинейности среды. Границы обла-

ную поляризационную сингулярность с индексом -1/2

сти, в которых V ≥ 10^-3, отмечены пунктирной лини-

ей. Сплошной линией показана зависимость пороговой

мощности самофокусировки от начальной степени эл-

наковым образом, если он имеет круговую поляри-

липтичности пучка M0

зацию. При распространении такого пучка его по-

ляризация не меняется, и в его поле могут возни-

кать линии фазовой сингулярности вследствие нели-

ющей линии сингулярности от начального состояния

нейной аберрации. Из-за осевой симметрии задачи

поляризации пучка и его полной мощности, выра-

эти линии имеют форму окружностей с центром на

женной в безразмерных единицах. Этот рисунок на-

оси пучка. Плоскости, в которых они лежат, перпен-

глядно демонстрирует, что C-линии в поле светового

дикулярны этой оси [63]. Однако эти окружности

пучка имеют большую заметность и возникают в бо-

имеют достаточно большой радиус и представляют

лее широком диапазоне параметров пучка в случае

малую практическую ценность. В случае теплового

ориентационного отклика среды.

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 9 - 10

2019

674

К.С.Григорьев, В.А.Макаров

Рис. 5. (Цветной онлайн) Распределение фазы правополяризованной (а), (d) и левополяризованной (c), (f) компонен-

ты гауссова пучка при его самофокусировке в изотропной фазе НЖК. Зависимости пиковых амплитуд компонент

изображены на графиках (b), (e). Синими кружками отмечены точки с неопределенным значением arg U+ или arg U-,

соответствующие кольцеобразным линиям сингулярности поляризации. Начальная степень эллиптичности пучка рав-

на 0.85 (a)-(c), 0.4 (d)-(f). Координата z нормирована на дифракционную длину пучка

Нелокальность нелинейного оптического откли-

самовоздействие светового пучка в НЖК [64]. Нело-

ка значительно усложняет описанную выше карти-

кальность отклика НЖК препятствует нелинейному

ну возникновения сингулярностей поляризации. В

коллапсу пучка, в результате чего в толще кристал-

качестве примера рассмотрим теперь находящийся

ла возникают чередующиеся области с локальными

в изотропной фазе нематический жидкий кристалл

максимумами и минимумами пиковой интенсивности

(НЖК), температура которого близка к температу-

пучка - своего рода многофокусная структура. Каж-

ре перехода в мезофазу. Распространение светового

дый ее пик сопровождается образованием линий син-

пучка в такой среде описывается системой связанных

гулярности как правой, так и левой поляризации, ле-

дифференциальных уравнений для амплитуд E_± и

жащими достаточно близко к оси пучка, так что их

комбинаций Q и q_± компонент тензора параметра по-

контрастность V превышает 10^-3. Образование за-

рядка кристалла:

метных линий сингулярности поляризации не пре-



кращается, даже если начальное состояние поляри-

∂E_±

2iπkΔχ



Δ_⊥E_± =

(QE_± + q_±E_∓) ,



зации гауссового пучка близко к линейному (рис.5).



∂z

3n²

Δχ

Заключение. Приведенные выше аналитиче-

(aΔT - L₁Δ_⊥)Q =

(|E₊|² + |E_-|²),

(24)



ские выражения и математические законы позво-



ляют получить всестороннее представление о тон-

 (aΔT - L₁Δ_⊥)q_± =ΔχE±E∗∓.

ких деталях нелинейно-оптических процессов и мо-

В системе (24) a, L₁ и Δχ - характеристики НЖК,

гут быть использованы для создания методами нели-

ΔT - разность его температуры и температуры фа-

нейной оптики световых пучков и импульсов с неод-

зового перехода. Если предположить, что параметр

нородным распределением электрического поля, со-

L₁ = 0, система (24) может быть упрощена до одного

держащим сингулярности поляризации. Описанные

уравнения (23) с отношением χ₂/χ₁ = 6. Однако, в

методы управления количеством и суммарным то-

жидком кристалле L₁ > 0, и если поперечный раз-

пологическим индексом возникающих сингулярно-

мер пучка достаточно мал, нелокальность нелиней-

стей путем изменения состояния поляризации пуч-

ного отклика, описываемая двумя последними урав-

ков и импульсов основного излучения перспективны

нениями в (24), вносит значительные изменения в

для применения в квантово-информационных опти-

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 9 - 10

2019

Генерация и преобразование световых пучков и импульсов, содержащих сингулярности поляризации. . . 675

ческих системах. Условия возникновения сингуляр-

18.

K. Mitchell, N. Radwell, S. Franke-Arnold, M. Padgett,

ностей поляризации в сигнальных пучках и импуль-

and D. Phillips, Opt. Express 25, 25079 (2017).

сах могут быть использованы в задачах нелиней-

19.

F. Flossmann, U. T. Schwarz, M. Maier, and

ной спектроскопии толщи и поверхности изотропной

M. R. Dennis, Phys. Rev. Lett. 95, 253901 (2005).

гиротропной среды с пространственной дисперсией

20.

S. Vyas, Y. Kozawa, and S. Sato, Opt. Express 21, 8972

квадратичной нелинейности. Все это делает даль-

(2013).

нейший поиск режимов генерации поляризационных

21.

M. V. Berry and M. R. Dennis, Proc. R. Soc. A 457, 141

сингулярностей и изучение законов преобразования

(2001).

излучения, изначально содержащего сингулярности,

22.

M. R. Dennis, Opt. Commun. 213, 201 (2002).

весьма актуальным.

23.

F. Flossmann, K. O‘Holleran, M. R. Dennis, and

Работа выполнена при финансовой поддержке

M. J. Padgett, Phys. Rev. Lett. 100, 203902 (2008).

Российского фонда фундаментальных исследований

24.

M. Burresi, R. Engelen, A. Opheij, D. van Oosten,

(гранты 13-02-00324 и 16-02-00154) и фонда развития

D. Mori, T. Baba, and L. Kuipers, Phys. Rev. Lett.

102, 033902 (2009).

теоретической физики и математики “БАЗИС”.

Авторы благодарны И. А. Пережогину за полез-

25.

A. de Hoogh, L. Kuipers, T. D. Visser, and

N. Rotenberg, Photonics 2, 553 (2015).

ные обсуждения.

26.

M. V. Berry, M. R. Dennis, and R. L. Lee Jr., New J.

Phys. 6, 162 (2004).

J. F. Nye, Natural Focusing and Fine Structure of Light,

27.

А. А. Чернышов, Г. В. Богатырева, П. В. Полянский,

Institute of Physics Publishing: Bristol and Philadelphia

М. С. Соскин, Письма в ЖЭТФ 88, 490 (2008).

(1999).

28.

В. И. Васильев, М. С. Соскин, Письма в ЖЭТФ 87,

M. R. Dennis, K. O’Holleran, and M. J. Padgett,

90 (2008).

Progress in Oprics 53, 293 (2009).

29.

O. Angelsky, I. Mokhun, A. Mokhun, and M. Soskin,

L. Allen, S. M. Barnett, and M. J. Padgett, Optical

Phys. Rev. E 65, 036602 (2002).

Angular Momentum, CRC Press (2003).

30.

T. Bauer, P. Banzer, E. Karimi, S. Orlov, A. Rubano,

E. Abramochkin and V. Volostnikov, Opt. Commun. 83,

L. Marrucci, E. Santamato, R. W. Boyd, and G. Leuchs,

123 (1991).

Science 347, 964 (2015).

L. Allen, M. Beijersbergen, R. Spreeuw, and

31.

T. Bauer, S. Orlov, U. Peschel, P. Banzer, and

J. Woerdman, Phys. Rev. A 45, 8185 (1992).

G. Leuchs, Nature Photon. 8, 23 (2013).

K. Sueda, G. Miyaji, N. Miyanaga, and M. Nakatsuka,

32.

N. Radwell, M. A. Boukhet, and S. Franke-Arnold, Opt.

Opt. Express 12, 3548 (2004).

Express 21, 22215 (2013).

H. He, N. R. Heckenberg, and H. Rubinsztein-Dunlop,

33.

K. E. Ballantine, J. F. Donegan, and P. R. Eastham, Sci.

J. Mod. Opt. 42, 217 (1995).

Adv. 2, 1501748 (2016).

E. Brasselet, N. Murazawa, H. Misawa, and

34.

I. V. Basistiy, V.Yu. Bazhenov, M. S. Soskin, and

S. Juodkazis, Phys. Rev. Lett. 103, 103903 (2009).

M. V. Vasnetsov, Opt. Commun. 103, 422 (1998).

B. Yang and E. Brasselet, J. Opt. 15, 044021 (2013).

35.

Y. Toda, S. Honda, and R. Morita, Opt. Express 18,

10.

E. Brasselet, G. Gervinskas, G. Seniutinas, and

17796 (2010).

S. Juodkazis, Phys. Rev. Lett. 111, 193901 (2013).

36.

A. Stabinis, S. Orlov, and V. Jarutis, Opt. Commun.

11.

M. Mirhosseini, O. S. Maga na Loaiza, C. Chen,

197 419 (2001).

B. Rodenburg, M. Malik, and R. W. Boyd, Opt. Express

21, 30196 (2013).

37.

A. Dreischuh, D.N. Neshev, V. Z. Kolev, S. Saltiel,

M. Samoc, W. Krolikowski, and Y. S. Kivshar, Opt.

12.

N. Radwell, D. Briäkus, T. W. Clark, and S. Franke-

Express 16, 5406 (2008).

Arnold, Opt. Express 22, 12845 (2014).

38.

A. V. Ilyenkov, A. I. Khiznyak, L. V. Kreminskaya,

13.

E. J. Galvez, B. L. Rojec, V. Kumar, and

M. S. Soskin, and M. V. Vasnetsov, Appl. Phys. B 62,

N.K. Viswanathan, Phys. Rev. A 89, 031801 (2014).

465 (1996).

14.

E. J. Galvez, S. Khadka, W. H. Schubert, and

S. Nomoto, Appl. Opt. 51, 2925 (2012).

39.

M. S. Soskin and M. V. Vasnetsov, Pure and Applied

Optics A 7, 301 (1998).

15.

A.M. Beckley, T. G. Brown, and M. A. Alonso, Opt.

Express 18, 10777 (2010).

40.

M. Beresna, P. G. Kazansky, Y. Svirko, M. Barkauskas,

16.

F. Cardano, E. Karimi, L. Marrucci, C. de Lisio, and

and R. Danielius, Appl. Phys. Lett. 95, 121502 (2009).

E. Santamato, Opt. Express 21, 8815 (2013).

41.

M. Zürch, C. Kern, P. Hansinger, A. Dreischuh, and

17.

H. Larocque, J. Gagnon-Bischoff, F. Bouchard,

Ch. Spielmann, Nature Phys. 8, 743 (2012).

R. Fickler, J. Upham, R. W. Boyd, and E. Karimi,

42.

G. Maleshkov, D. N. Neshev, E. Petrova, and

J. Opt. 18, 124002 (2016).

A. Dreischuh, J. Opt. 13, 064015 (2011).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 9 - 10

2019

7^∗

676

К.С.Григорьев, В.А.Макаров

43. V. Jukna, C. Milián, C. Xie, T. Itina, J. Dudley,

Technologies 3, 18 (2011).

F. Courvoisier, and A. Couairon, Opt. Express 22,

54. K. S. Grigoriev, N. Yu. Kuznetsov, Yu. V. Vladimirova,

25410 (2014).

and V. A. Makarov, Phys. Rev. A 98, 063805 (2018).

44. X. Lu, Z. Wu, W. Zhang, and L. Chen, Sci. Rep. 4, 4865

55. K. S. Grigoriev, V. A. Makarov, and I. A. Perezhogin,

(2014).

Phys. Rev. A 92, 023814 (2015).

45. F. Bouchard, H. Larocque, A. M. Yao, C. Travis,

56. K. S. Grigoriev, V. A. Makarov, and P. S. Ryzhikov,

I. De Leon, A. Rubano, E. Karimi, G.-L. Oppo, and

Laser Phys. Lett. 16, 045402 (2019).

R.W. Boyd, Phys. Rev. Lett. 117, 233903 (2016).

57. K. S. Grigoriev, N. Yu. Kuznetsov, E. B. Cherepetskaya,

46. L. Zhang, X. Qiu, F. Li, H. Liu, X. Chen, and L. Chen,

and V. A. Makarov, Opt. Express 25, 6253 (2017).

Opt. Express 26, 11678 (2018).

58. K. S. Grigoriev, P. S. Ryzhikov, E. B. Cherepetskaya,

47. N. I. Koroteev, V. A. Makarov, and S. N. Volkov, Opt.

and V. A. Makarov, Opt. Express 25, 25416 (2017).

Commun. 157, 111 (1998).

59. К. С. Григорьев, В. А. Макаров, И. А. Пережогин,

48. N. I. Koroteev, V. A. Makarov, and S. N. Volkov, Laser

Н. Н. Потравкин, Квантовая электроника 41, 993

Phys. 9, 655 (1999).

(2011).

49. С. Н. Волков, В. А. Макаров, И. А. Пережогин, Кван-

60. K. S. Grigoriev, V. A. Makarov, and I. A. Perezhogin,

товая электроника 36, 860 (2006).

J. Opt. 18, 014004 (2016).

50. V. A. Makarov and I. A. Perezhogin, Opt. Commun.

61. С. В. Чекалин, В. П. Кандидов, УФН 56, 123 (2013).

281, 3906 (2008).

62. R. W. Boyd, Nonlinear Optics, 3-ed., Academic Press,

51. V. A. Makarov and I. A. Perezhogin, J. Optics A 11,

Inc., Orlando, FL, USA (2008).

074008 (2009).

63. N. A. Panov, V. A. Makarov, K. S. Grigoriev,

52. V. A. Makarov and I. A. Perezhogin, Quantum

M. S. Yatskevitch, and O. G. Kosareva, Physica D

Electronics 39, 627 (2009).

332, 73 (2016).

53. V. A. Makarov, I. A. Perezhogin, and N. N. Potravkin,

64. V. A. Makarov, K. S. Grigoriev, and G. M. Shishkov,

Radioelectronics.

Nanosystems.

Information

Molecular Crystals and Liquid Crystals 650, 23 (2017).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 9 - 10

2019