Письма в ЖЭТФ, том 109, вып. 10, с. 694 - 698

Температурно-аномальная диффузия в периодических наклонных

потенциалах

И.Г.Марченко^+∗1), И.И.Марченко^×, В.И.Ткаченко^+∗

⁺Национальный научный центр “Харьковский физико-технический институт”, 61108 Харьков, Украина

^∗Харьковский национальный университет им. В. Н. Каразина, 61022 Харьков, Украина

^× Национальный технический университет “Харьковский политехнический институт”, 61022 Харьков, Украина

Поступила в редакцию 7 марта 2019 г.

После переработки

7 марта 2019 г.

Принята к публикации 4 апреля 2019 г.

В работе изучена диффузия частиц в наклонных пространственно-периодических потенциалах в ши-

роком диапазоне температур. Исследованы системы с различным уровнем трения γ^′. Показано, что в

системах с γ^′ < 1.1 существует интервал сил, в котором наблюдается температурно-аномальная диф-

фузия. При температурно-аномальной диффузии коэффициент диффузии D возрастает с понижением

температуры. В то же время при больших значениях γ^′ температурно-аномальная диффузия отсут-

ствует и диффузия всегда усиливается с ростом температуры. В работе исследовано, каким образом с

ростом γ^′ осуществляется переход от аномальной температурной зависимости коэффициента диффу-

зии к обычной. Установлено, что при определенных значениях коэффициента трения возникает “окно”

температурно-аномальной диффузии. В некотором интервале сил коэффициент диффузии сначала воз-

растает с уменьшением температуры, а затем снова начинает падать. Построены диаграммы существо-

вания таких областей.

DOI: 10.1134/S0370274X19100126

Процессы диффузии играют важную роль в раз-

γ^′ ≪ 1. Было показано, что для недодемпфированых

личных областях физики, химии и биологии. Интен-

систем в поведении ансамбля частиц важную роль

сивность диффузии определяется величиной коэф-

играет существование двух различных решений. Ес-

фициента диффузии D. Как правило, с увеличением

ли внешняя сила F превышает некоторое пороговое

температуры D возрастет. Это соответствует нашим

значение, то возникает бифуркация. Тогда вместо од-

интуитивным представлениям о процессах диффу-

ного решения, возникает два: так называемые “лока-

зионного переноса. Вместе с тем, в последнее вре-

лизованное” и “бегущее”. Реализация того или иного

мя появились как экспериментальные, так и тео-

решения зависит от начальных условий.

ретические исследования, в которых коэффициент

Диффузия в периодических наклонных потенци-

диффузии может возрастать с понижением темпе-

алах систематически исследовались Ф. Марчезони и

ратуры [1-3]. Одним из важных примеров систем,

др. методами компьютерного моделирования [5, 6].

в которых возможна такая аномальная температур-

Ими было установлено, что коэффициент диффу-

ная зависимость, является движение броуновских

зии частиц достигает максимального значения D_max

частиц в пространственно-периодических структу-

при определенном значении внешней силы. Даль-

рах под воздействием внешней силы [4].

нейшее изучение процессов диффузии в недодемп-

При рассмотрении задачи диффузии броуновских

фированых системах связано с работами группы

частиц в среде с безразмерным коэффициентом тре-

К.Линденберг [7]. Было показано, что в наклонных

ния γ^′ обычно разделяют два предельных случая:

периодических потенциалах коэффициент D_max ве-

случай недодемпфированого движения (γ^′ ≪ 1) и

дет себя аномальным образом. При некотором зна-

передемпфированого движения (γ^′ ≫ 1). Особенно-

чении силы он возрастал с понижением температу-

сти движения ансамбля частиц в периодическом по-

ры. В работах И. Марченко и др. [8, 9] было уста-

тенциале впервые систематически были исследованы

новлено, что диффузия в таких системах возраста-

Х. Рискеном [4] как для случая γ^′ ≫ 1 , так и для

ет экспоненциальным образом с обратной температу-

рой: D_max ∝ exp(ǫ/kT ). Этот явление было названо

¹⁾e-mail: march@kipt.kharkov.ua

температурно-аномальной диффузией (ТАД) [10].

694

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 9 - 10

2019

Температурно-аномальная диффузия в периодических наклонных потенциалах

695

С другой стороны, для систем с большим тре-

где скобки 〈...〉 обозначают усреднение по ансамблю.

нием диффузия частиц в периодическом наклонном

При анализе результатов моделирования удобно

потенциале всегда возрастает с температурой. Для

перейти к безразмерным величинам. Наиболее час-

передемпфированого случая Риман и соавторы [11]

то используются безразмерные величины, введенные

установили, что максимальное усиление диффузии

Х. Рискеном [4], при котором уравнение (1) принима-

происходит при некоторой критической силе. Ими

ет максимально простой вид:

аналитически было показано, что с температурой

√

максимальный коэффициент диффузии в косинусо-

x^′ = - sinx^′ - γ^′ x^′ + F^′ +

2γ^′Q^′ξ(t^′).

(4)

идальном потенциале растет, как D_max ∝ T^1/3 . То

Безразмерные единицы связаны с силой, коэф-

есть в системах с большим γ^′ наблюдается традици-

фициентом трения и температурой следующим об-

онное возрастание D с температурой. Однако неясно,

разом:

каким образом функциональная зависимость D_max

изменяется с аномальной на нормальную темпера-

τ₀

2kT

γ^′ = γ

, F^′ =

, Q^′ =

(5)

турную зависимость с увеличением γ^′.

2πm

F₀

U₀

Целью данной работы является исследование из-

менения температурной зависимости коэффициента

где τ₀ = a (2m/U₀)^1/2 - период собственных малых

диффузии с изменением трения, а также определе-

колебаний частиц.

ние области параметров, в которой существует ТАД

Для описания характера колебаний в различ-

в пространственно-периодических наклонных потен-

ных системах обычно вводят коэффициент затуха-

циалах.

ния [13]: Λ =^γ2mω

, где ω₀ - частота собственных

Движение броуновских частиц в наклонном пери-

колебаний. При 0 < Λ < 1 колебания называют недо-

одическом потенциале описывалось уравнением Лан-

демпфироваными, а при Λ > 1 - передемпфированы-

жевена:

ми. В случае Λ = 1 говорят о критическом демпфи-

∂

√

ровании. Для уравнений (1) и (2) критическое демп-

mx=-

U (x) - γ x + F +

2γQξ(t),

(1)

∂x

фирование малых колебаний частиц около положе-

где x - координата частицы, t - время, m - ее мас-

ния равновесия будет происходить при γ^′ = 2.

са, γ - коэффициент трения, F - действующая на

В работах [8-10] было показано, что в недодемп-

частицу постоянная сила, задающая наклон потен-

фированных системах с косинусоидальным потенци-

циала, ξ(t) - гауссов белый шум с интенсивностью,

алом существует интервал значений сил (зона ТАД),

равной единице. Точка сверху означает дифференци-

зависящий от коэффициента трения, при котором ко-

рование по времени. Тепловая энергия Q = kT , где

эффициент диффузии D бесконечно возрастает с по-

k - постоянная Больцмана, T - температура.

нижением температуры. Вместе с тем для периоди-

Периодический потенциал частицы в решетке

ческого воздействия [14, 15] было установлено, что

был равен:

такой рост D наблюдается только в ограниченном

(

)

U₀

2π

интервале температур. Поэтому в дальнейшем обла-

U (x) = -

cos

(2)

стью ТАД мы будем называть область параметров

∂D(T,F,γ)

(T, F, γ), в которой частная производная

где a - период одномерной решетки, а U₀ - высота

∂T

меньше нуля.

потенциального барьера. На частицу, помимо посто-

Для определения области ТАД были проведены

янной внешней силы, действовала сила со стороны

(_2π

)

вычисления зависимостей коэффициента диффузии

решетки: -dUdx

= F0 sin

, где F₀

= πU₀/a

от действующей силы для различных коэффициен-

[12]. Параметры используемого пространственно-

тов трения и температур. На рисунке 1 приведены

периодического потенциала были теми же, что и в

примеры таких вычислений. Косой штриховкой от-

работах [8-10]: U₀ = 0.08 эВ, a = 2.0Å. Масса частиц

мечена область, в которой коэффициент диффузии

была равна 1 атомной единице массы.

монотонно возрастал с уменьшением температуры.

Стохастическое уравнение (1) решалось числен-

Горизонтальной штриховкой выделен интервал сил,

но. Методика расчетов описана в [8-10]. Коэффици-

в котором коэффициент диффузии в низкотемпера-

ент диффузии вычислялся по дисперсии σ² в распре-

турной области сначала возрастал с уменьшением

делении ансамбля движущихся частиц при стремле-

температуры, а затем начинал падать. На рисунке 2

нии времени к бесконечности:

приведены температурные зависимости коэффици-

(x - 〈x〉)²

ента диффузии D^′ для различных действующих сил

D = lim

(3)

в этой области. Видно, что ∂D^′/∂T′ < 0 лишь в

t→∞

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 9 - 10

2019

696

И.Г.Марченко, И.И.Марченко, В.И.Ткаченко

В работах [8-10] было установлено, что в недо-

демпфированых системах в области ТАД коэффи-

циент диффузии достигает максимального значения

D_max при действующей силе F_mx. В низкотемпера-

турной области значение F_mx постоянно и не зависит

от температуры. Рассмотрим, как изменяется темпе-

ратурная зависимость D_max в зависимости от коэф-

фициента трения. На рисунке 3 показаны темпера-

Рис. 1. (Цветной онлайн) Зависимость D^′ от силы

для различных значений температуры при γ^′ = 0.32.

Штриховкой выделена область ТАД. Область разделе-

на на 2 подобласти

определенном интервале температур. То есть в об-

ласти, выделенной горизонтальной штриховкой на

рис. 1, существует температурное “окно” ТАД. Воз-

можность такого рода зависимости обсуждалась в

работе Б. Линднера и И. Соколова [17]. На основа-

Рис. 3. (Цветной онлайн) Зависимость Dγ/U0 от тем-

пературы для различных γ^′. Δ - передемфированные

нии аппроксимации зависимости скорости переходов

системы, ∇ - γ^′ = 2.0 - решение уравнения (1). Штри-

между “бегущими” и “локализованными” состояния-

ховой линией нанесена зависимость T^′, пунктирной -

ми они пришли к выводу о существовании ограни-

зависимость T^0.33

ченного снизу по температуре интервала ТАД. Ри-

сунки 1,2 показывают, что такая зависимость дей-

турные зависимости D_max для различных коэффи-

ствительно реализуется.

циентов трения. Видно, что при значениях γ^′ ≥ 2

коэффициент диффузии всегда возрастает с темпе-

ратурой. При низких температурах D_max ∝ T^1/3 ,

что совпадает с аналитическим результатом Рэйма-

на и др. [11], полученного для косинусоидального по-

тенциала. В области высоких температур D_max ∝ T,

так как структура среды перестает оказывать влия-

ние на движение броуновских частиц.

При уменьшении γ^′ ниже значения 1.1 коэффи-

циент диффузии в области низких температур ведет

себя аномальным образом: он возрастает с умень-

шением температуры. На рисунке 4 приведены за-

висимости Dγ/U₀ от обратной температуры для ма-

лых γ^′. Видно, что в низкотемпературной области

D_max ∝ exp(ε_mx/Q^′).

Как следует из рис.4, с увеличением γ^′ значе-

ние ε_mx убывает. На рисунке 5 приведена зависи-

Рис. 2. (Цветной онлайн) Температурные зависимости

мость ε_mx от коэффициента трения. Изменение зна-

коэффициента диффузии D^′ для различных действую-

чения ε_mx связано с изменением потенциального ре-

щих сил F^′ при γ^′ = 0.32. Горизонтальной штриховкой

льефа, в котором движется броуновская частица.

выделено температурное “окно” ТАД для F^′ = 0.58

Активационный барьер в X-пространстве с ростом

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 9 - 10

2019

Температурно-аномальная диффузия в периодических наклонных потенциалах

697

мится к нулю при γ^′ > 1. Таким образом, с увеличе-

нием γ^′ ТАД исчезает, так как исчезает экспоненци-

альная зависимость ТАД от обратной температуры.

Теперь рассмотрим, каким образом с увеличени-

ем γ^′ изменяется интервал сил, в котором реализу-

ется ТАД. На рисунке 6 приведена итоговая “диа-

грамма” существования ТАД. Заполненными марке-

рами приведены минимальные и максимальные зна-

чения сил, при котором наблюдалось ТАД с учетом

температурного “окна”. Незаштрихованная область в

центре рис. 6 - это область ТАД, в которой диффу-

Рис. 4. (Цветной онлайн) Зависимость Dγ/U0 от об-

ратной температуры для различных γ^′. Пунктирной и

штриховой линиями приведена аппроксимация зависи-

мостью Dmax ∝ exp(εmx/Q^′)

Рис. 6. (Цветной онлайн) Диаграмма существования

области ТАД. Кружками обозначено нижнее значение

области возникновения ТАД, квадратами - значения,

при которых ТАД исчезает. Незаполненными кружка-

ми отмечены значения c максимальной диффузией. За-

штрихована область “окна” ТАД

Рис. 5. (Цветной онлайн) Зависимости величины барье-

зия монотонно возрастала с уменьшением темпера-

ра εmx от величины γ^′. Пунктирной линией показано

туры (данные из работы [16]). Полыми маркерами

изменение потенциального барьера ΔU(γ^′)/U0 в про-

в этой области приведены значения силы, при ко-

странственном периодическом наклонном потенциале

торой коэффициент диффузии максимален для дан-

ного коэффициента трения. Штриховкой выделены

силы уменьшается, как это схематично представле-

две области температурного “окна” ТАД. Как видно

но на вставке к рис. 5. Это изменение под действи-

из рис. 6, эти области соразмерны по величине обла-

ем силы F описывается следующей зависимостью:

сти абсолютной ТАД. Кроме того, верхняя и нижняя

ΔU(F )/ΔU(0) = (1 - F²)^1/2 - F arccos(F ) [17].

области различаются. При γ^′ > 1.1 ширина силово-

Уменьшение барьера в X-пространстве приводит

го интервала, в котором наблюдается ∂D/∂T < 0,

к убыванию величины барьера в пространстве ско-

стремится к нулю.

ростей и, соответственно, к уменьшению ε_mx(γ^′).

Таким образом, в работе изучена диффузия час-

Величины ε_mx/U₀ представлены на рис.5 полыми

тиц в наклонных пространственно-периодических

маркерами. Пунктирной линией показано изменение

потенциалах в широком диапазоне температур и с

потенциального барьера ΔU (F_mx(γ^′)) в простран-

различным коэффициентом трения γ^′. Исследовано,

ственной решетке. Видно, что зависимости ΔU(γ^′) и

каким образом осуществляется переход от экспонен-

ε_mx(γ^′) хорошо коррелируют между собой при γ^′ >

циальной зависимости ТАД от обратной температу-

> 0.3. Из рисунка 5 видно, что величина ε_mx стре-

ры к обычной степенной температурной зависимости

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 9 - 10

2019

698

И.Г.Марченко, И.И.Марченко, В.И.Ткаченко

с ростом γ^′. Показано, что с увеличением коэффици-

5. G. Costantini and F. Marchesoni, Europhys. Lett. 48,

ента трения энергетический барьер ε, разделяющий

491 (1999).

“бегущие” и “локализованные” решения, уменьшает-

6. M. Borromeo, G. Costantini, and F. Marchesoni, Phys.

Rev. Lett. 82, 2820 (1999).

ся. При γ^′ > 1.1 величина ε близка к нулю.

7. K. Lindenberg, A. M. Lacasta, J. M. Sancho, and

Установлено, что в области промежуточных зна-

A. H. Romero, New J. Phys. 7, 29 (2005).

чений коэффициента трения 0.1 < γ^′ < 1.1 возника-

8. I. G. Marchenko and I. I. Marchenko, Europhisics

ет температурное “окно” ТАД. В некотором интерва-

Letters 100, 5005 (2012).

ле сил коэффициент диффузии сначала возрастает с

9. I. G. Marchenko, I. I. Marchenko, and A. V. Zhiglo, Eur.

уменьшением температуры, а затем снова начинает

Phys. J. B 87, 10 (2014).

падать. Построены диаграммы существования таких

10. I. G. Marchenko, I. I. Marchenko, and V. I. Tkachenko,

областей.

JETP Lett. 106, 242 (2017).

Полученные результаты открывают перспективы

11. P. Reimann, C. Van den Broeck, H. Linke, P. Hänggi,

создания новых технологий управления процессами

J. M. Rubi, and A. Pérez-Madrid, Phys. Rev. E 65,

диффузии, что имеет большое значение для различ-

031104 (2002).

ных областей физики, химии и биологии.

12. K. Lindenberg, J. M. Sancho, A. M. Lacasta, and

I. M. Sokolov, Phys. Rev. Lett. 98, 020602 (2007).

13. D. G. Alciatore and M. B. Histand, Introduction to

1. A. N. Gan’shin, V. N. Grigor’ev, V. A. Maidanov,

Mechatronics and Measurement Systems, McGraw Hill,

N.F. Omelaenko, A.A. Penzev, E. Ya. Rudavskii, and

N.Y. (2007), 553 p.

A.S. Rybalko, Low Temp. Phys. 25, 259 (1999).

14. I. G. Marchenko, I. I. Marchenko, and A. V. Zhiglo,

2. M. Guo, H. Gelman, and M. Gruebele, PLoS ONE 9,

Phys. Rev. E 97, 012121 (2018).

e113040 (2014).

15. I. G. Marchenko and I. I. Marchenko, JETP Lett. 95(3),

3. W. S. Tung, P. J. Griffin, J. S. Meth, N. Clarke,

137 (2012).

R.J. Composto, and K. Winey, ACS Macro Lett. 5, 735

16. B. Lindner and I. M. Sokolov, Phys. Rev. E 93, 042106

(2016).

4. H. Risken, The Fokker-Planck Equation and Methods of

17. M. Buttiker, E. P. Harris, and R. Landauer, Phys. Rev.

Solution and Applications, Springer (1989), 485 p.

B 28, 1268 (1983).

Письма в ЖЭТФ том 109 вып. 9 - 10

2019