Письма в ЖЭТФ, том 110, вып. 11, с. 723 - 726

Интегрируемая gl(n|n) теория Тоды и дуальная ей сигма-модель

А. В. Литвинов¹⁾

Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН, 142432 Черноголовка, Россия

Национальный исследовательский университет “Высшая школа экономики”, 119048 Москва, Россия

Поступила в редакцию 29 октября 2019 г.

После переработки 29 октября 2019 г.

Принята к публикации 31 октября 2019 г.

Исследуется явление дуальности между сигма-моделями и квантовыми теориями Тоды. Сдела-

но утверждение о том, что gl(n|n) аффинная теория Тоды ведет себя в режиме сильной связи как

η-деформированная CP(n - 1) сигма-модель, взаимодействующая с бозонным полем.

DOI: 10.1134/S0370274X19230012

∫ (1

Дуальность - интересное явление в современной

A^′n =

(∂_aΦ · ∂_aΦ) +

(∂_aφ · ∂_aφ) +

теоретической физике [1]. Особенно дуальность типа

8π

“ weak/strong coupling”. Она связывает сильно взаи-

∑(

))

+Λ

eb(hk·Φ)-iβ(hk·φ) + eiβ(hk·φ)-b(hk+1·Φ)

d²ξ, (3)

модействующий режим одной теории с пертурбатив-

k=1

ным режимом другой и наоборот. В этой статье бу-

дет исследована дуальность между интегрируемыми

квантовыми теориями Тоды и η-деформированными

где h_k = e_k -¹ⁿ (e₁ + . . . + e_n) и h_k = e_k -^β-1nβ (e₁ +

сигма-моделями, следуя логике недавних работ [2, 3].

+ ··· + e_n), а вектора e_k образуют ортонормирован-

ный базис в Rⁿ. Из действия (3) сразу видно, что

Мы рассмотрим gl(n|n) аффинную теорию Тоды

∑

поле “центра масс”_k Φ_k тривиально отщепляется.

[4, 5]

Для того чтобы определить квантовую теорию

∫ (1

поля (1) корректно, необходимо также задать об-

A_n =

(∂_aΦ · ∂_aΦ) +

(∂_aφ · ∂_aφ) +

ласть изменения константы связи b. Имеется два ре-

8π

жима: область слабой связи b → 0 и область сильной

∑(

))

+Λ

ebΦk-iβφk + eiβφk-bΦk+1

d²ξ,

(1)

связи b → ∞. В области b → 0 к действию (1) необ-

k=1

ходимо добавить члены, регуляризующие ультрафи-

олетовое поведение

√

где β =

1 + b², φ = (φ₁,...,φ_n), Φ = (Φ₁,...,Φ_n) -

∫

∑

= Φ₁.

πΛ²

eb(Φk-Φk+1) d²ξ.

(4)

Параметр b играет роль константы связи теории.

2b²

k=1

Каждая экспонента в (1) имеет фермионные скей-

линговые размерности Δ =

Δ =¹² и поэтому пара-

Модель описываемая действием (1) является ин-

метр Λ имеет размерность массы. Теория (1) содер-

тегрируемой в смысле разложения по параметру Λ.

жит тривиальную U(1) часть χ = β

∑Φ_k - ib∑φ_k,

В пределе Λ → 0 можно построить бесконечную

которая ни с чем не взаимодействует. Для того чтобы

башню локальных интегралов движения всех спинов

ее явно выделить, рассмотрим следующее преобразо-

∑_n

(I^s0),Is0)), s = 1, 2, . . .

вание полей (здесь Z =

(Φ_k + iφ_k))

k=1

)

∮ (_n∑(

)

Z → (β + b)Z,

Z →(β-b

(2)

I^(0)s =

b^s-2(∂Φ_k)^s + (iβ)^s-2(∂φ_k)^s

+ ... dξ,

k=1

(5)

После этого преобразования действие приобретает

I(0)

и аналогичное выражение для

. Используя ана-

вид

лог квантового преобразования Миуры [6], можно,

в принципе, написать явные формулы для простей-

¹⁾e-mail: litvinov@itp.ac.ru

ших интегралов. Имеется эквивалентный способ за-

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

723

724

А. В. Литвинов

дать эту систему интегралов движения, как комму-

члены. Полное перенормированное действие будет

тант набора экранирующих операторов

иметь вид сигма-модели

∮

∫

S_k = ebΦk-iβφkdξ,

S_k = eiβφk-bΦk+1dξ,

A_n =

G_µν(X|Λ, b²)∂_aX^µ∂_aX^νd²ξ,

(6)

8π

(9)

k = 1,...,n,

X = (Φ₁,...,Φ_n,φ₁,...,φ_n).

которые отвечают экспоненциальным членам в дей-

Естественно, что явный вид метрики G_µν (X|Λ, b²)

ствии (1). Следует подчеркнуть что интегралы I^s0)

может быть очень сложным. К тому же, он будет яв-

определены в теории свободного безмассового бозон-

ным образом зависеть от выбранной схемы регуляри-

ного поля. Они являются пределами полных инте-

зации. Единственное, что можно сделать, это найти

гралов при Λ → 0. Нахождение поправок по Λ явля-

его в квазиклассическом приближении b → ∞. Опре-

ется, вообще говоря, очень сложной задачей.

делим перемасштабированные координаты

Другой тест на интегрируемость можно провести

в рамках пертурбативного анализа по b → 0 с фик-

(x₁, . . . , x_n, y₁, . . . , y_n) = b^-1(Φ₁, . . . , Φ_n, φ₁, . . . , φ_n),

сированным параметром Λ. Для этих целей удобно

Λb² = e^t,

использовать дуальность Колемана-Мандельштама

(10)

и заменить бозонные поля φ_k на дираковские фер-

и сделаем следующий анзац для метрики, который

мионы ψ_k. Эта замена приводит к теории n взаимо-

согласован с симметрией задачи (здесь z_k = x_k -iy_k)

действующих дираковских фермионов и n бозонных

полей Φ_k, имеющей скрытую gl(n) симметрию. Ра-

(

)₂

∑

ботая пертурбативно по параметру b, можно пока-

ds²

= dz_kdz_k + µ(t)

dz_k

зать, что рассеяние фундаментальных частиц в этой

k=1

теории имеет все свойства факторизованного рассе-

∑

яния [7]. В частности, обнаруживается отсутствие

dz²

λ_l(t)e(αk+···+αk+l-1,x),

(11)

множественного рождения - одно из замечательных

k=1

l=1

свойств интегрируемых квантовых теорий поля. Точ-

где α_k = α_n+k являются простыми корнями алгеб-

ная S-матрица для этой теории была недавно полу-

ры sl(n): (α_k, x) = x_k - x_k+1, x_k+n = x_k. Метри-

чена в работе [7].

ка (11) должна эволюционировать с ростом ренорм-

В режиме сильной связи b → ∞ действие (1) не

групового времени -∞ < t < t₀ согласно уравнениям

имеет смысла. Однако, можно использовать следу-

потока Риччи [8]

ющее наблюдение. Каждая пара фермионных скри-

нингов (6) задает конформную алгебру SU(2)_κ/U(1)

R_µν + ∇_µV_ν + ∇_νV_µ = -

Ġ_µν,

V_µ = ∇_µΦ,

(12)

косета с параметром κ = -2 - b². Хорошо известно,

что та же алгебра может быть задана при помощи

где векторное поле V_µ описывает эффект перенор-

оператора

мировки полей. Предположим, для простоты, что

∮

это векторное поле является градиентом скалярной

W = (b∂Φ_k - iβ∂φ_k)eb-1(Φk-Φk+1)dξ,

(7)

функции: V_µ = ∇_µΦ. Тогда можно найти решение

уравнений (12) с желаемой ультрафиолетовой асимп-

известного как экранирующий заряд Вакимото. Этот

тотикой

факт можно интерпретировать таким образом, что

∑

теория

e^nt

e^kt

µ(t) = -

, λ_k(t) =

, Φ=

x_k.

(13)

∫ (

ne^nt -1

e^nt - 1

k=1

A_n =

(∂_aΦ · ∂_aΦ) +

(∂_aφ · ∂_aφ) +

8π

Удобно сделать преобразование буста

)

∑

+ Λ

|b∂Φ_k - iβ∂φ_k|² e(Φk-bk+1)

d²ξ,

(8)

∑

z_k → ν z_k,

→ν^-1

zk,

(14)

k=1

имеет ту же самую интегрируемую структуру в пре-

деле

Λ→ 0, что и теория (1) в пределе Λ → 0. На са-

которое эффективно приводит к отщеплению коор-

∑

мом деле действие (8) имеет смысл только в области

динаты “центра-масс”_k z_k при стремлении ν → 0.

b → ∞. Для того чтобы регуляризовать его ультра-

Это эквивалентно преобразованию исходных полей

фиолетовое поведение, необходимо добавить контр-

(2), которое фактически изменяет поведение полей в

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

Интегрируемая gl(n|n) теория Тоды и дуальная ей сигма-модель

725

квазиклассическом пределе b → ∞. Результирующая

метрика принимает вид









-i

∑









ds² = |dz|² +

(h_k, dz)²f_k(x),

t₅ =

0

0, t6 =

0

,

e^nt - 1

k=1

(15)

∑









(22)

f_k(x) =

e^lte(αk+···+αk+l-1,x).









l=1

t₇ =

0

1, t8 =

0

-i.

Заметим, что для n = 2 метрика (15) равна

(

)

ds² = dzdz +

e^t+x + e^t-x + 2e^2t

dz².

(16)

Генераторы

{t₁, t₂, t₃, t₄} образуют подалгебру

e^2t - 1

h = su(2) ⊕ u(1). Удобно параметризовать элемент

Ее можно преобразовать к метрике, которая T -

фактор-пространства следующим образом

дуальна “sausage” метрике [9]

i(ψ-φ)

√

κdζ

4(1 - κ²ζ²)dϕ²

g^-1 = e

t⁴ e

t⁵ ei(χ+2 )t7 .

(23)

ds² =

4(1 - ζ²)(1 - κ²ζ²)

κ(1 - ζ²)

(17)

Для этого выбора координат φ и ψ, очевидно, отве-

κ = -tanht,

чают изометрическим направлениям. Используя эту

при помощи простой замены координат

параметризацию, можно явно вычислить метрику и

1+ζ

( (1 - ζ)(1 + κζ))

B-поле b проделать преобразование T-дуальности по

coshx =

- ilog

1-ζ²

(1 + ζ)(1 - κζ)

отношению к изометрическим координатам φ и ψ.

(18)

В результате вычисления оказывается, что B-поле

Хорошо известно, что “sausage” модель совпадает

тождественно исчезает, а метрика принимает вид

с η-деформированной CP(1) сигма-моделью. Можно

(

sin² χ

предположить что наша общая метрика (15) совпа-

ds² = κ dχ² +

dθ² -

дает с η-деформированной метрикой CP(n - 1) =

(

)

= SU(n)/SU(n - 1)U(1) сигма-модели после приме-

− 2i sinθdθ

dψ

sin² χ - csc² θ

+ dφ cot θ csc θ

(

)

нения преобразования T -дуальности по всем изомет-

− 4i tanχdχ

dφ cot² χ - dψ cos θ

(

)

рическим направлениям.

4dφ²

(1 - κ²) csc² θ csc² χ + κ²

Действие общей η-деформированной (здесь мы

κ²

выбираем η = iκ) G/H сигма-модели имеет вид [10]

8dψdφ(κ² - 1) cot θ csc θ csc² χ

∫ (

)

κ²

S =

Tr g∂g^-1

P_c

∂g^-1 d²ξ,

(

)

1 - iκR_g ◦ P_c

dψ²

1-κ²

csc² θ csc² χ + 2κ² sin² θ cos2χ

(19)

κ²

где g ∈ G, R_g = Ad g ◦ R ◦ Ad g^-1 и P_c - проектор

+ 3(cos2θ + 3)dψ² -

на фактор-пространство G/H. В нашем случае G =

(

))

)

dψ²

2 sec² χ

κ² cos2θ + κ² - 2

= SU(n) и H = U(n-1) = U(1)⊗SU(n-1). Оператор

−

(24)

κ²

R действует на алгебре Ли g = c ⊕_α>0 g_α ⊕_α>0 g_-α

следующим образом

Можно проверить, что эта метрика удо-



влетворяет уравнению потока Риччи

(12) с

R

= 0,

R

= i,

R

= -i,

(20)

gα

g-α

Φ = -log(sin2χsinχsinθ)-8iφ и κ = -tanh6t. Уди-

вительно, но (24) в точности совпадает с метрикой

и по определению R_g = A^-1RA, A_ab = 〈t_a g t_b g^-1〉.

(15) для n = 3 и q = e^8t при следующей довольно

Рассмотрим для примера случай G = SU(3). Выбе-

сложной замене координат

рем следующий базис в алгебре Ли su(3)









-i

e-(α1,x) =

(

)









t₁ =

1

0, t2 =

i

0,

= q-1 sin²

tan² χ q² + (1 - q² ) cos² θ

sin² χ









(21)









e(α2,x) =

(

)

t₃ =

0

-1

0, t4 =

√

0



=q^-

² cos²

tan² χ

1 - (1 - q²)sin² θ

sin² χ

-2

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

726

А. В. Литвинов

(α₁, y) = 8ϕ -

Результаты, полученные в настоящей работе, до-

(

))

пускают различные обобщения. Наиболее интерес-

- 2i log tan

q2 + (1 - q²

)cos²

sin² χ

ным, на наш взгляд, является вопрос об интегриру-

емых деформациях N = (2, 2) суперсимметричных

сигма-моделей и их дуальном описании. При этом

(α₁ + α₂, y) = 4ϕ - 12ψ -

из-за существования расширенной суперсимметрии

(

))

возникает другой подход, основанный на суперсим-

− 2i log sin

tan χ

1 - (1 - q²)sin²

sin² χ

метричной локализации и возможности точного вы-

числения статсуммы (см., например, [11, 12]). Срав-

Мы также проверили аналогичное утверждение для

нение этих двух подходов является, на наш взгляд,

CP(3) сигма-модели, подтвердив таким образом на-

достаточно интересным.

шу общую гипотезу. Явные формулы в этом случае

Работа выполнена при поддержке Лаборатории

слишком сложны, чтобы их приводить здесь явно.

зеркальной симметрии НИУ ВШЭ, грант Правитель-

Результаты полученные в этой работе, подтвер-

ства РФ Договор #14.641.31.0001.

ждают гипотезу о том, что gl(n|n) квантовая тео-

рия Тоды ведет себя в режиме сильной связи как

модель T -дуальная η-деформированной CP(n - 1)

1. J. Polchinski, Stud. Hist. Philos. Mod. Phys. 59, 6

сигма-модели. На первый взгляд, это утверждение

(2017); arXiv:1412.5704.

выглядит противоречивым. Хорошо известно, что

2. V. A. Fateev and A. V. Litvinov, JHEP 11, 204 (2018);

CP(n - 1) сигма-модель не является интегрируемой

arXiv:1804.0339.

на квантовом уровне. С другой стороны, из явно-

3. A. V. Litvinov and L. A. Spodyneiko, JHEP 11, 139

го вида действия (3) можно заметить, что в преде-

(2018); arXiv:1804.0708.

∑

ле b → ∞ происходит отщепление поля_k φ_k. Та-

4. A. Litvinov and L. Spodyneiko, JHEP 11, 138 (2016);

arXiv:1609.0627.

ким образом в пределе b = ∞ теория, действитель-

5. M. Bershtein, B. Feigin, and G. Merzon, Sel. Math. New

но, совпадает с деформированной CP(n - 1) сигма-

Ser. 24, 21 (2018); arXiv:1512.0877.

моделью плюс невзаимодейтсвующее свободное поле.

6. T. Procházka and M. Rapčák, JHEP 05, 159 (2019);

При вычислении петлевых поправок взаимодействие

arXiv:1808.0883.

между двумя частями должно появиться таким об-

7. V. Fateev, arXiv:1902.0281.

разом, чтобы восстановить квантовую интегрируе-

8. D. H. Friedan, Ann. Phys. 163, 318 (1985).

мость. Точный механизм этого явления не известен

9. V. A. Fateev, E. Onofri, and A. B. Zamolodchikov, Nucl.

и заслуживает того, чтобы быть исследованным.

Phys. B 406, 521 (1993).

Естественно, что наша гипотеза об эквивалент-

10. F. Delduc, M. Magro, and B. Vicedo, JHEP 11, 192

ности двух теорий нуждается в дальнейших тестах.

(2013); arXiv:1308.3581.

Дополнительные проверки были сделаны В. Фатее-

11. K. Aleshkin and A. Belavin, JETP Lett. 108(10), 705

вым в [7]. Им же были независимо получены неко-

(2018); arXiv:1806.02772 [hep-th].

торые из результатов этой работы. Автор выражает

12. K. Aleshkin, A. Belavin, and A. Litvinov, Pis’ma

ему благодарность за сообщение своих результатов и

v ZhETF 108(10), 725 (2018) [JETP Lett. 108(10), 710

за научное руководство на протяжении многих лет.

(2018)].

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019