Письма в ЖЭТФ, том 110, вып. 11, с. 741 - 747

Топология электронного спектра и гигантские особенности

плотности состояний в кубических решетках¹⁾

П.А.Игошев²⁾, В.Ю.Ирхин

Институт физики металлов им. М. Н. Михеева Уральского отделения РАН, 620108 Екатеринбург, Россия

Уральский федеральный университет, 620002 Екатеринбург, Россия

Поступила в редакцию 8 октября 2019 г.

После переработки 22 октября 2019 г.

Принята к публикации 22 октября 2019 г.

Детально исследована топология изоэнергетических поверхностей в обратном пространстве для про-

стой (ПК), объемноцентрированной (ОЦК) и гранецентрированной (ГЦК) кубических решеток в при-

ближении сильной связи с учетом интегралов переноса между ближайшими и следующими соседями t

и t^′. Показано, что при значениях τ = t^′/t = τ∗, соответствующих изменению топологии поверхностей,

могут формироваться линии и поверхности k-точек ван Хова. При малом отклонении τ от этих особых

значений спектр в окрестности линии (поверхности) ван Хова заменяется на слабую зависимость от k

в окрестности нескольких точек ван Хова, имеющих гигантскую массу, пропорциональную |τ - τ∗|^-1.

Рассматриваются сингулярные вклады в плотность состояний вблизи особых значений τ ; получены ана-

литические выражения для плотности состояний в терминах эллиптических интегралов. Показано, что в

ряде случаев максимальное значение плотности состояний достигается при энергиях, соответствующих

не k-точкам на грани зоны Бриллюэна, а ее внутренним k-точкам на высокосимметричных направ-

лениях. Обсуждаются соответствующие вклады в электронные и магнитные свойства, в том числе в

применении к слабым зонным магнетикам.

DOI: 10.1134/S0370274X1923005X

1. Введение. Как известно, ван-хововские осо-

ет сильные магнитные свойства никеля (“магнетика

бенности электронного спектра и, в частности, плот-

ван Хова”) и поведение его восприимчивости выше

ности состояний (density of states, DOS) ρ(ǫ) как

температуры Кюри [5].

функции энергии ǫ приводят к особенностям ряда

Сильные особенности DOS как функции энер-

электронных и магнитных свойств; соответствующие

гии возникают от окрестности близко расположен-

сингулярные вклады в термодинамические величи-

ных k-точек ван Хова (структур ван Хова). Влияние

ны способствуют возникновению структурных и маг-

таких структур на электронные и решеточные свой-

нитных фазовых переходов [1]. Геометрическое про-

ства, включая многоэлектронные аномалии экрани-

исхождение электронных пиков DOS было детально

рования, рассмотрено в работах [1, 6, 7]. Формиро-

исследовано в [1, 2]. Простыми примерами являются

вание узких ван-хововских пиков DOS приводит к

ОЦК-фаза Ca и ГЦК-фаза Sr, где слабодисперсион-

локализации электронных состояний и увеличению

ные одномерные многообразия (линии ван Хова) на

роли корреляционных эффектов.

гранях зоны Бриллюэна расположены вблизи уров-

Целью данной работы является детальный топо-

ня Ферми. В ОЦК Ca им приближенно соответству-

логический анализ изоэнергетических поверхностей

ют части линий P-N и N-H, а в ГЦК Sr - X-U, U-L,

для кубических решеток при учете линий и поверх-

L-K, K-U, K-W. Анализ [1] показывает, что линия D

ностей ван Хова с дальнейшим применением к об-

ОЦК-решетки обычно выглядит как линия ван Хова

суждению физических свойств.

в Li, V, Cr, Fe, Ba [3, 4].

2. Анализ особенностей ван Хова. Существу-

Точка L на грани зоны Бриллюэна, которой со-

ет общая связь особенностей плотности состояний

ответствует большая эффективная масса (для спек-

(DOS) и топологических свойств спектра возбужде-

тра, вычисленного в парамагнитной фазе), определя-

ний t(k) [8]. k называется точкой ван Хова, если ско-

рость возбуждений v(k) = ∂t(k)/∂k = 0. Уровни

энергии ǫ = t(k), соответствующие точкам ван Хова,

¹⁾См. дополнительные материалы к данной статье на сайте

нашего журнала.

и только они соответствуют особенностям ρ(ǫ) как

²⁾e-mail: igoshev_pa@imp.uran.ru

функции ǫ. Тип этой особенности, соответствующей

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

741

742

П.А.Игошев, В.Ю.Ирхин

изолированной точке ван Хова k, задается сигнату-

τ = τ^sc∗ линия ван Хова Δ распадается на три близко-

рой квадратичной формы с матрицей ∂²t(k)/∂k_i∂k_j

лежащих точки ван Хова Γ, Σ^∗/ + 1/, Λ^∗/ - 1/. Кри-

(индекс в косых скобках), определяющей поведение

вая ρ(ǫ, τ) при τ > τ^sc∗ образует квазисимметричное

спектра в окрестности этой точки (см. дополнитель-

плато между энергиями w^scΣ∗, w^scΛ∗ с высотой порядка

ный материал).

(τ -τ^sc∗)^-1/2, шириной вершины 4(τ -τ^sc∗)²/τ и с уни-

Таким образом, особенно важный вклад в DOS

версальной зависимостью от относительного положе-

происходит от точек ван Хова с гигантской массой

ния уровня энергии на этом плато (см. рис. S2a, S3a в

или от слияния k-точек ван Хова, которое, как бу-

дополнительном материале). Изменение DOS на вер-

дет видно из дальнейшего анализа, тесно связано с

шине плато довольно слабо - это связано с тем, что

увеличением одной или нескольких масс.

для обеих k-точек Σ^∗ и Λ^∗ все три массы расходятся

Если спектр, полученный в рамках первоприн-

одинаково быстро. Cправа от плато имеется резкое

ципных расчетов, является слабодисперсионным

падение ρ(ǫ, τ) между уровнями w^scΛ∗ и w^scΓ. Впрочем,

на некотором участке в каком-то направлении

разница между последними уровнями существенно

k-пространства, то в окрестности этого участка

больше, чем ширина плато. При τ > τ^sc∗ максималь-

имеется или точка с большой массой, или пара

ное значение DOS достигается при ǫ = wscΣ∗ или

таких точек.

w^scΛ∗ (см. рис.S3a в дополнительном материале), со-

Мы предполагаем, что имеется перенос только

ответствующих внутренним k-точкам ван Хова зоны

между первыми (интеграл t) и вторыми (t^′ = τt)

Бриллюэна.

координационными сферами: t(k; τ). Учитывая, что

При τ = τ^sc∗ плато полностью исчезает и форми-

для бипартитных решеток ρ(-ǫ; -τ) = ρ(ǫ; τ), ниже

руется гигантская сингулярность ван Хова, происхо-

мы полагаем t = 1, τ ≥ 0.

дящая от долин глобального минимума, образован-

Аналитические выражения для DOS и решеточ-

ных линией Δ,

√

ных функций Грина были получены для ряда трех-

ρ_sc(-3 + δǫ, τ^sc∗) = A_sc/⁴

δǫ + o(1),

(1)

мерных решеток в приближении ближайших сосе-

√

дей, что дает симметричную функцию энергии ρ(ǫ, 0)

где A_sc =

Γ(5/4)/Γ³(3/4) = 0.222.

для бипартитных решеток (ПК, ОЦК) [9, 10]. Од-

Для ОЦК решетки топология электронного спек-

нако для ряда проблем современной физики кон-

тра меняется при τ^bcc∗ = 1, см. рис. S1b и табл. 2 в

денсированного состояния решающее значение имеет

дополнительном материале. При 0 < τ < τ^bcc∗ име-

влияние асимметрии и переноса между следующими

ются две k-точки локального минимума Γ и P, точка

за ближайшими соседями (например, электронный

максимума H и две седловых точки Λ^∗/+1/ и N/-1/.

спектр сверхпроводящих купратов, переход металл-

При τ = 0 точка Λ^∗ совпадает c P, а уровни w^bccN, w^bccP

изолятор в антиферромагнитной фазе [11]); соответ-

сливаются - образуется линия k-точек ван Хова D =

ствующие результаты для DOS приведены в допол-

= {(π/2, π/2, k_z), -π/2 < k_z < π/2}, производящая

нительном материале.

особенность DOS в центре зоны ρ_bcc(ǫ, τ

= 0) =

Для ПК решетки топология электронного спек-

= (4/π³)[ln²(64/|ǫ|)-π²/16]+o(ǫ) [10]. Причина такой

тра существенно меняется при увеличении τ выше

зависимости в том, что обратные поперечные массы

значения τ^sc∗ = 1/4 (при этом значении k точки фор-

m^-1D(k_z) = ±8 cosk_z на линии D линейно обращают-

мируют целую линию ван Хова Δ; точка Γ меняет

ся в нуль в точке P. При отклонении τ от нуля линия

свой тип с минимума на максимум, а точка X - с

ван Хова D распадается на структуру ван Хова, об-

седловой точки на локальный минимум), см. рис.S1a

разованную тремя точками: P(минимум), Λ^∗/ + 1/ и

и табл. 1 в дополнительном материале. При τ < τ^sc∗

N/ - 1/, причем w^scΛ∗ - w^scP ≪ w^scN - w^scΛ∗ , причем в

имеется 4 точки ван Хова: точка минимума Γ, точка

пределе τ → 0 для точек Λ^∗ и P расходятся три мас-

максимума R и две седловые точки с противополож-

сы, а для N - только одна. На узком интервале (w^scP,

ными сигнатурами X/ + 1/ и M/ - 1/ соответственно.

w^scΛ∗ ) DOS резко спадает, а на интервале (w^scΛ∗ , w^scN)

Между ними график ρ_sc(ǫ, τ) как функции ǫ образует

DOS образует асимметричное плато с существенно

широкое плато. При τ > τ^sc∗ от точки Γ отщепляются

большим значением DOS при ǫ = w^scΛ∗.

две дополнительные k-точки ван Хова, лежащие на

При увеличении τ k-точка ван Хова Λ^∗ смещает-

линиях Σ и Λ (см. табл. 1 в дополнительном матери-

ся от точки P к точке Γ вдоль линии Λ. При τ > 2/3

але); обозначим эти точки как Σ^∗, Λ^∗. При дальней-

точки P и Γ меняются ролями. Когда τ достигает

шем увеличении τ эти точки удаляются от точки Γ.

τ = τ^bcc∗, уровни w^bccN и w^bccΓ сливаются - образуется

Для каждой из этих точек все три массы расходят-

линия k-точек ван Хова Σ. При τ ≲ τ^bcc∗ формирует-

ся как |τ - τ^sc∗|^-1 при τ → τ^sc∗. Таким образом, при

ся трехточечная структура, полностью аналогичная

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

Топология электронного спектра. . .

743

эна для ПК и ОЦК решеток приведены на рис. S1 в

дополнительном материале.

При τ = τ^bcc∗ DOS имеет асимптотику

ρ_bcc(-2 + δǫ, 1) =

{

√

B_bcc/⁴

-δǫ,

δǫ < 0

√

+ o(1),

(2)

= -2π2 ⁺

A_bcc/⁴

δǫ,

δǫ > 0

∫

√

где A_bcc

dtK(1 - t²)/

= 0.333, B_bcc =

2π³

∫

√

=1π3

dtK(-t²)/

t = 0.314, K - полный эллипти-

ческий интеграл первого рода, см. дополнительный

материал.

Прямое исследование k-точек ван Хова для ГЦК

представлено в табл. 3 в дополнительном материа-

ле. Из рисунка 2 видно, что при выделенных зна-

Рис. 1. (Цветной онлайн) τ -зависимость уровней ван

Хова w. (a) - ПК решетка. (b) - ОЦК решетка. Сплош-

ная линия соответствует локальному максимуму, пунк-

тирная - локальному минимуму, короткий пунктир -

седловой точке

описанной выше с заменой P→ Γ (см. рис. 1b). В слу-

Рис. 2. (Цветной онлайн) τ -зависимость уровней ван

чае τ > τ^bcc∗ сигнатуры всех трех точек меняют знак,

Хова w для ГЦК решетки. Обозначения такие же, как

а роль точки Λ^∗ играет точка Δ^∗, отщепляющаяся от

и на рис. 1. Нижняя панель: зона Бриллюэна ГЦК ре-

Γ при τ = τ^bcc∗, которая при увеличении τ мигриру-

шетки с указанием стандартных обозначений высоко-

ет вдоль направления Δ, удаляясь от точки Γ. При

симметричных k-точек и линий

этом энергетические уровни ведут себя аналогично

случаям 0 < τ ≪ τ^bcc∗ и τ ≲ τ^bcc∗, рассмотренным вы-

чениях τ = -1, -1/2, 0, 1/2, 1 изоэнергетические по-

ше. Как и для точки Λ^∗ при τ < τ^bcc∗, для точки Δ^∗

верхности спектра испытывают топологические пе-

все три массы расходятся при τ → τ^bcc∗. Это означа-

реходы (смена типа точек ван Хова). При этом для

∗

на

τ = -1/2 формируется целая поверхность ван Хова,

графике ρ_bcc(ǫ, τ) формируется асимметричное пла-

задаваемая уравнением cosk_x + cosk_y + cosk_z = 0.

∗

,τ) много больше ρ_bcc(w^bccN,τ),

Уровень энергии для этой поверхности соответству-

∗

и w^bccΓ DOS резко

ет слиянию уровней точек W и L. При τ = 0 форми-

спадает. Максимальное значение DOS при τ < τ^bcc∗

руется линия ван Хова V , соответствующая слиянию

∗ ,

уровней энергии точек W и X (и соединяющая их).

соответствующих внутренним k-точкам ван Хова зо-

При τ = 1 формулируется линия ван Хова Λ,

ны Бриллюэна, см. рис. S3b в дополнительном мате-

соответствующая слиянию уровней точек Γ и L (и

риале. Таким образом, для ОЦК решетки линии ван

соединяющая эти точки). Переход τ через каждую

Хова D и Σ всегда распадаются на трехточечную

особую точку τ = -1/2, 0, 1 сопровождается расхо-

структуру ван Хова: широкое асимметричное плато

димостью одной или нескольких масс. Это означа-

и примыкающий к нему участок резкого спада DOS.

ет, что при отклонении τ от “критического” значе-

Примеры расчета электронного спектра для различ-

ния линия или поверхность ван Хова распадается на

ных τ в симметричных направлениях зоны Бриллю-

несколько точек ван Хова с большой массой. Так,

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

744

П.А.Игошев, В.Ю.Ирхин

Рис. 3. (Цветной онлайн) Температурная зависимость теплоемкости C (левая ось, сплошные линии) и коэффициента

γ = C/T (правая ось, пунктир) при различных положениях уровня Ферми. (a) - ПК решетка (τ = 0.3): w^scΣ∗ = -2.533,

w^scΛ∗ = -2.500, w^center = (1/2)(w^scΣ∗ + w^scΛ∗ ) = -2.517, w^scleft = -2.550, w^scright = -2.480. (b) - ОЦК решетка (τ = 1.1):

∗ =-1.436, w^bccΓ =-1.400, w

enter

= -1.418, w^bccleft = -1.470, w^bccright = -1.370

при τ

≲ -1/2 формируются две точки ван Хова

Таким образом, поверхность ван Хова производит

W/ + 1/ и Σ^∗/ - 1/, уровни энергии которых близки

на потолке зоны гигантскую “одномерную” сингуляр-

(wfc∗Σ (τ) - w^fccW(τ) ∼ τ + 1/2), так что между этими

ность ρ_fcc(ǫ) ∼ (3 - ǫ)^-1/2.

уровнями формируется узкое плато DOS.

При τ

для линии ван Хова V

При -1/2 < τ < 0 k-точками формируется струк-

= {(0, π, k_z), -π/2

< k_z

< π/2} мы имеем для

тура ван Хова, соответствующая энергии в узком ин-

обратных поперечных масс m^-1V(k_z) = -4(1±cosk_z).

тервале (wfc∗Σ , w^fccW) (его ширина не превышает 0.35).

Лишь одна из этих обратных масс обращается в

Пара этих уровней дает сильный перепад DOS с

нуль квадратично, так что среднее геометрическое

уровня максимума до уровня седловой точки с боль-

масс обращается в нуль линейно. Это означает,

шими массами. Заметим, что согласно табл. 3 в до-

что сингулярность ван Хова, происходящая от

полнительном материале, внутренняя точка ван Хо-

окрестности линии V , имеет вид

ва Δ^∗ существует при |τ| > 1, а Σ^∗ - при |τ - 1/2| >

ρ_fcc(ǫ; τ = 0) ≃ (3/8π²)ln[8/(4 - ǫ)].

(4)

> 1/2. Наименее интересный случай 0 < τ < 1 был

детально проанализирован в работе [12]. В этом слу-

При τ = 1 для линии Λ = {k_x = k_y = k_z =

чае отсутствуют какие-либо внутренние точки ван

k_λ, -π/2 < k_λ < π/2} мы имеем совпадающие об-

Хова, а также линии и поверхности ван Хова. При

ратные поперечные массы m^-1Λ(k_Λ) = 12 sin² k_Λ, об-

τ ≳ +1 линия ван Хова Λ, имеющаяся при τ = +1,

ращающиеся в нуль квадратично при k_Λ = 0. Таким

распадается на три точки ван Хова: Δ^∗, Σ^∗, Γ. При

образом, среднее геометрическое этих масс обраща-

этом уровни энергий первых двух точек образуют

ется в нуль уже квадратично, что приводит к тому,

типичное узкое плато (wfc∗Σ (τ) - wfc∗Δ (τ) ∼ (τ - 1)²)

что ρ_fcc(ǫ; τ = +1) ∼ [θ(ǫ - 6)(ǫ - 6)]^-1/4 и дает новую

между уровнями седловых точек с противоположны-

гигантскую сингулярность ван Хова (θ(x) - функция

ми сигнатурами. Эти ситуация полностью аналогич-

Хевисайда).

на распаду Σ-линии ван Хова для ПК решетки, ко-

3. Электронные свойства. На рисунке 3 по-

торый производит узкое квазисимметричное плато и

казаны результаты для электронной теплоемкости

∫

участок резкого спада. Таким образом, мы можем

C(T ; E_F)

= -^1T

dǫρ(ǫ)(ǫ - E_F)²f^′(ǫ), для ПК и

сделать априорное заключение о существовании уз-

ОЦК решеток при низких температурах в прибли-

кого устойчивого плато на графике DOS при τ ≳ +1.

жении свободных электронов с точной плотностью

Исследуем характер сингулярностей DOS для

состояний, приведенной в дополнительном материа-

найденных поверхности и линий ван Хова. По-

ле; f(E) = (exp[(E -E_F)/T ]+1)^-1 - функция Ферми.

скольку при τ

= -1/2 t^fcck(τ

= -1/2)

= 3 -

Были выбраны значения τ, близкие к соответствую-

− (1/2) (tsck (τ = 0))² [13], мы получим

щим топологическим переходам, и уровнем Ферми

√

E_F, находящимcя внутри или вблизи уровней струк-

ρ_fcc(ǫ; τ = -1/2) =

√

ρ_sc(

2(3 - ǫ); τ = 0).

2(3 - ǫ)

туры ван Хова, которая остается от распада линии

(3)

ван Хова Δ для ПК решетки и Σ для ОЦК решет-

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

Топология электронного спектра. . .

745

Рис. 4. (Цветной онлайн) Температурная зависимость магнитной восприимчивости χ при различных положениях уров-

ня Ферми. (a) - ПК решетка (τ = 0.3). (b) - ОЦК решетка (τ = 1.1)

ки, см. обсуждение выше. Для наглядности пока-

электронов в смысле поведения магнитной воспри-

зан также расчет для E_F = 0, когда уровень Фер-

имчивости, близкого к кюри-вейссовскому. Если

ми удален от всех особенностей. В этом же прибли-

уровень Ферми находится на вершине плато, а τ

жении были вычислены магнитная восприимчивость

достаточно близко к τ^sc∗, величина DOS велика и

∫

(в единицах µ^2B) χ(T ; E_F) = -

dǫρ(ǫ)f^′(ǫ) и тер-

практически не чувствительна к изменению уровня

моэлектродвижущая сила (термоЭДС) S(T ; E_F) =

Ферми в пределах вершины плато. Это означает, что

∫

= -[1/Tσ(T; E_F)]

dǫ(ǫ - E_F)σ_c(ǫ)f^′(ǫ), где прово-

ферромагнетизм будет достаточно стабилен, в том

∫

димость определена как σ(T ; E_F) = -

dǫσ_c(ǫ)f^′(ǫ),

числе по отношению к корреляционным эффектам

σ_c(ǫ) - функция проводимости, пропорциональная

(более высокая температура Кюри), в отличие от

плотности состояний [1].

ферромагнетизма, происходящего от точки ван Хова

Видно, что теплоемкость для ПК и ОЦК реше-

с высокой массой (см. обсуждение во Введении).

ток увеличена и сильно отклоняется от стандартной

Выход уровня Ферми за пределы плато приводит

линейной температурной зависимости (при E_F = 0),

к максимуму χ(T ), а следовательно возможному

причем это поведение сохраняется далеко за преде-

формированию

температурно-индуцированного

лами температурного масштаба порядка ширины пи-

ферромагнетизма

[14]. Для ОЦК решетки тем-

ка T_∗ ≈ 0.03. Если выбрать t ∼ 0.5 эВ, то T_∗ ∼ 200 K.

пературная зависимость χ более слабая, хотя ее

Имеется также существенная зависимость от поло-

низкотемпературное значение существенно зависит

жения уровня Ферми в пределах структуры ван Хова

от E_F.

при T ≪ T_∗. Если E_F находится на плато DOS ПК

Асимметрия плотности состояний относительно

решетки (см. рис. S2а дополнительного материала),

E_F приводит к большой величине термоЭДС. Для

теплоемкость будет линейной (с гигантским коэффи-

обеих решеток она немонотонно зависит от темпера-

циентом γ) лишь в узком интервале низких темпера-

туры, причем характер этой зависимости существен-

тур; при отклонении E_F влево или вправо от границ

но зависит от положения E_F (рис. 5). Для ПК решет-

плато γ(T ) приобретает максимум. Для ОЦК решет-

ки получается температурная зависимость, симмет-

ки на поведение γ влияет наличие асимметричного

ричная по величине и антисимметричная по знаку

пика в энергетическом интервале (wb∗cΛ, w^bccΓ) - в

по отношению к положению уровня Ферми, отсчи-

случае, когда E_F = wb∗cΛ или левее, имеет место мо-

танного от центра плато.

нотонное убывание γ с ростом температуры; когда

4. Заключение. Мы показали, что в приближе-

E_F > wb∗cΛ, γ(T) приобретает пик при низких темпе-

нии ближайших и следующих за ближайшими со-

ратурах. При T ≳ T_∗ нелинейное поведение теплоем-

седями изоэнергетические поверхности, находящие-

кости сохраняется, хотя зависимость от положения

ся в окрестности k-точки ван Хова, могут испыты-

уровня Ферми практически исчезает.

вать топологические переходы при изменении пара-

Магнитная восприимчивость χ (рис. 4) име-

метров электронного спектра. При таком переходе

ет непаулиевское поведение: возникает сильная

уровни энергии точек ван Хова сливаются, форми-

температурная зависимость. Для ПК решетки на-

руя линии (или поверхности) ван Хова, производя-

личие узкого плато в DOS приводит к локализации

щие гигантские (логарифмическую или степенную)

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

746

П.А.Игошев, В.Ю.Ирхин

Рис. 5. (Цветной онлайн) Температурная зависимость термоЭДС S при различных положениях уровня Ферми. (a) -

ПК решетка (τ = 0.3). (b) - ОЦК решетка (τ = 1.1)

сингулярности в плотности состояний. Наличие этих

Большая масса в k-точке ван Хова R обеспечива-

сингулярностей может привести к новым неустойчи-

ет слабый ферромагнетизм (температура Кюри 41 K)

востям (магнитным, сверхпроводящей) и необычным

Ni₃Al [16]. Слабый коллективизированный ферро-

температурным зависимостям наблюдаемых физиче-

магнетик Y₂Ni₇ демонстрирует низкую температуру

ских величин. Вблизи топологического перехода ли-

Кюри 58 K и малый момент насыщения 0.44 µ_B [17,

нии и поверхности ван Хова распадаются на трехто-

18]. Расчеты зонной структуры показывают спектр

чечные структуры ван Хова: либо узкое плато, при-

типа плоских зон в окрестности точки ван Хова Γ и

водящее к локализации части электронных состоя-

бездисперсионный спектр в P-Z-направлении ромбо-

ний (тогда термодинамические величины являются

эдрической зоны Бриллюэна (возможная линия ван

суммой двух вкладов - от локализованных и дело-

Хова или пара точек ван Хова с большой массой) [19].

кализованных электронных состояний), с примыка-

Проведенный нами анализ может быть полезен

ющим к нему более широкому участку резкого спа-

как дополнение вычислительных методов, использу-

да DOS, либо участок резкого спада DOS и при-

емых для расчета электронного спектра и свойств

мыкающему к нему участку асимметричного плато

реальных материалов. В частности, влияние точек

(что приводит к промежуточному “полулокализован-

ван Хова на величину плотности электронных состо-

ному” поведению соответствующего термодинамиче-

яний не может быть удовлетворительно исследовано

ского вклада).

в рамках метода тетраэдров [20]. В качестве альтер-

Соответствующие эффекты должны усиливать-

нативы может быть предложена аналитическая ап-

ся при учете корреляций [1]. Таким образом, по-

проксимация спектра в окрестности высокосиммет-

лученные результаты (в применении к спектру как

ричных точек, где спектр почти плоский (слабодис-

фермиевских, так и бозевских возбуждений) могут

персионный) [21].

быть использованы при исследовании магнитных и

Авторы

благодарят

М. И. Кацнельсона,

электронных свойств в различных микроскопиче-

А. О. Анохина, А. А. Катанина за ценные об-

ских многоэлектронных моделях, например моделях

суждения. Исследование проводилось в рам-

Гейзенберга, Кондо и Хаббарда.

ках госзадания Минобрнауки (тема

“Квант”

Взаимосвязь точек ван Хова высокой массы и

# AAAA-A18-118020190095-4) и при поддержке

появления ферромагнетизма может быть проиллю-

Программы

211

Правительства РФ, соглашение

стрирована на ряде примеров. ZnZn₂ близок к пере-

02.A03.21.0006.

ходу И. М. Лифшица, проявляющемуся в изменении

топологии поверхности Ферми при смещении E_F [15].

Причиной слабого ферромагнетизма ZrZn₂, вероят-

1. С. В. Вонсовский, М. И. Кацнельсон, А. В. Трефилов,

ФММ 76(3), 3 (1993).

но, является вклад в плотность состояний, происхо-

дящий от точек ван Хова вблизи граней зоны Брил-

2. М. И. Кацнельсон, Г. В. Песчанских, А. В. Трефилов,

люэна (X, L и K). Большие, но конечные значения со-

ФТТ 32, 470 (1990).

ответствующих эффективных масс, вычисленные из

3. V. L. Moruzzy, J. P. Janak, and A. R. Williams,

первых принципов [15], приводят к обрезанию сингу-

Calculated Electronic Properties of Metals, Plenum

лярности плотности состояний вблизи E_F.

Press, N.Y. (1978).

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019