Письма в ЖЭТФ, том 110, вып. 12, с. 777 - 792

Формирование магнитного порядка в трехмерных топологических

изоляторах для реализации квантового аномального эффекта Холла

(Миниобзор)

В.Н.Меньшов^+∗×1), И.А.Швец^+∗, Е.В.Чулков^◦+∇∗

⁺Санкт-Петербургский государственный университет, 199034 С.-Петербург, Россия

^∗Томский государственный университет, 634050 Томск, Россия

^×Национальный исследовательский центр “Курчатовский институт”, 123182 Москва, Россия

^◦Departamento de Fisica de Materiales, Facultad de Ciencias Quimicas, UPV/EHU and Centro de Fisica de Materiales CFM-MPC,

Centro Mixto CSIC-UPV/EHU, 20080 San Sebastian, Basque Country, Spain

^∇Donostia International Physics Center (DIPC), 20018 San Sebastian/Donostia, Basque Country, Spain

Поступила в редакцию 22 октября 2019 г.

После переработки 6 ноября 2019 г.

Принята к публикации 7 ноября 2019 г.

Предложен авторский взгляд на актуальную проблему реализации собственной поперечной проводи-

мости в магнитных гетероструктурах на основе топологических изоляторов. В этой связи мы представ-

ляем краткий обзор выполненных нами в последние годы теоретических исследований, развивающих

универсальный подход для аналитического моделирования квантового аномального эффекта Холла при

различных способах введения магнитного порядка в пленку топологического изолятора. Наша модель

отличается последовательным описанием электронных состояний системы, определяющих квантовый

аномальный эффект Холла, с понижением размерности: от трехмерных объемных через двумерные

интерфейсные к одномерным краевым - что позволило подчеркнуть особую роль физических границ,

таких как интерфейсы и боковые грани, для спин-зависящего транспорта в гетероструктурах. Мы также

представляем ряд новых результатов, полученных недавно в рамках предложенного подхода. В свете

наших теоретических результатов обсуждаются данные экспериментов, проведенных в последнее время

на новых магнитных материалах и структурах.

DOI: 10.1134/S0370274X19240032

1. Введение. В последнее десятилетие многочис-

(ТИ), когда комбинация сильного спин-орбитального

ленные исследования в области конденсированного

взаимодействия и ферромагнитного порядка (ФМ)

состояния вещества проходят под знаком топологии

порождает на интерфейсах и боковых гранях пленки

[1, 2]. В частности, были открыты многие немагнит-

топологически защищенные фермионы дираковско-

ные полупроводниковые материалы, в которых спин-

го типа [7-10]. Возможность манипулировать интер-

орбитальное взаимодействие приводит к инвертиро-

фейсными и краевыми бездиссипативными состояни-

ванию краев запрещенной зоны и, соответственно,

ями, на основе которых осуществляется транспорт

к появлению топологического состояния [3-6]. По-

в магнитных гетероструктурах с трехмерными ТИ,

иск принципиально новых полупроводников, сочета-

позволила бы существенно расширить перспективы

ющих нетривиальную топологию электронной зон-

для спинтронных приложений [11, 12].

ной структуры и магнитный порядок, является весь-

На сегодняшний день можно выделить четыре ос-

ма актуальной проблемой физики материалов в све-

новных подхода для формирования магнитного по-

те проявления ими особых свойств на макроскопиче-

рядка в гетероструктурах на основе ТИ (которые

ском уровне. Ярким примером здесь является кван-

схематически представлены на рис. 1) с целью обес-

товый аномальный эффект Холла (КАЭХ), возника-

печить платформу для реализации КАЭХ:

ющий в отсутствие внешнего магнитного поля в тон-

1. Базовыми материалами для ТИ служат со-

ких пленках трехмерных топологических изоляторов

единения из семейства тетрадимитоподобных полу-

проводников с инвертированной запрещенной зоной,

¹⁾e-mail: vnmenshov@mail.ru

таких как Bi₂Se₃, Bi₂Te₃, Sb₂Te₃, или их твердых

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

777

778

В.Н.Меньшов, И.А.Швец, Е.В.Чулков

межутками. Стандартная практика получения фер-

ромагнитного порядка в ТИ заключается в их объем-

ном легировании атомами (несколько атомных про-

центов) 3d-металла, Cr, V, Mn или Fe, замещающими

атомы Bi или Sb [7-10]. На рисунке 1a изображена

пленка ферромагнитного топологического изолято-

ра (ФМТИ), заключенная между пленками нормаль-

ного (т.е. топологически тривиального) изолятора

(НИ). В магнито-транспортных экспериментах на

пленках разбавленных ФМТИ Cr_x(Bi1-ySb_y)2-xTe₃ и

V_x(Bi1-ySb_y)2-xTe₃ толщиной в несколько пятислой-

ных блоков был впервые зарегистрирован КАЭХ

[13, 14]. Однако квантование проводимости Холла

наблюдалось при ультранизких температурах, ни-

же 100 мK, несмотря на сравнительно высокую тем-

пературу T_c

≈ 30 К ферромагнитного упорядоче-

ния примесных магнитных моментов [15]. Обычно

сравнительно низкую температуру КАЭХ связыва-

ют с пространственными флуктуациями распределе-

ния магнитных ионов в пленке ФМТИ на масшта-

бе в несколько нанометров, что ведет к возникнове-

нию неоднородного обменного поля. Как следствие,

края энергетических зон ТИ заметно размываются,

так что проводимость в транспортных измерениях

становится чувствительной к термическим возбуж-

дениям квазичастиц через спектральную щель. За-

метим, что недавно [16] удалось заметно увеличить

температуру квантования поперечной проводимости

в пленках (Bi,Sb)₂Te₃ благодаря колегированию Cr

и V, приводящему к более однородной намагничен-

Рис. 1. (Цветной онлайн) Схематическое представление

ности.

основных подходов в формировании магнитного поряд-

ка в гетероструктурах на основе ТИ. В четырех раз-

2. Недостатки, свойственные объемному легиро-

личных трехслойных структурах тонкая пленка ТИ ти-

ванию, отчасти удалось преодолеть благодаря при-

па Bi2Te3 (светло-зеленая область “TI”), толщиной в

менению методики модуляционного легирования, ко-

несколько пятислойных блоков, заключена между об-

торая позволяет контролировать профиль распре-

кладками НИ (область “NI”). (a) - Пленка ТИ объ-

деления допирующих 3d-атомов вдоль направления

емно легирована магнитными атомами. (b) - Пленка

эпитаксиального роста пленки ТИ (рис. 1b). Ав-

ТИ селективно легирована магнитными атомами. (с) -

торы работы [17] вырастили тонкие пленки ТИ

Пленка ТИ контактирует с ФМНИ (лиловая область

(Bi1-ySb_y)₂Te₃, в которых определенные пятислой-

“FMNI”). (d) - Крайние пятислойные блоки пленки ТИ

ные блоки обогащались атомами Cr. Такое селек-

замещены семислойными блоками (зеленые области)

тивное легирование (часто именуемое ферромаг-

собственного магнитного ТИ типа MnBi2Te4. Кривые

красного цвета качественно изображают квадрат оги-

нитной дельта-вставкой) позволяет локально уси-

бающей функции интерфейсного состояния, кривые си-

лить величину обменного расщепления интерфейс-

него цвета - профиль распределения намагниченности

ных/поверхностных топологических состояний [18] и

вдоль направления роста гетероструктуры

одновременно уменьшить влияние рассеяния на маг-

нитных примесях. В работах [17, 19, 20] КАЭХ на-

блюдался при температуре 2 K, что более чем на

растворов (Bi,Sb)₂(Se,Te)₃. Вдоль направления кри-

порядок превосходит температуру наблюдения этого

сталлического роста такое соединение имеет слои-

эффекта в объемно легированных атомами Cr плен-

стую структуру, состоящую из чередующихся пя-

ках (Bi1-ySb_y)₂Te₃ при сопоставимой интегральной

тислойных блоков (например, Te-Bi-Te-Bi-Te в слу-

концентрации атомов 3d-металла. Также было пока-

чае Bi₂Te₃), разделенных ван-дер-ваальсовыми про-

зано, что вариация позиции ферромагнитной встав-

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

Формирование магнитного порядка в трехмерных топологических изоляторах. . .

779

ки и состава материала ТИ, y, позволяет стабилизи-

может существенно отразиться на других. Напри-

ровать режим КАЭХ в широком диапазоне напряже-

мер, в случае объемного легирования матрицы ТИ

ния на затворе при максимальной рабочей темпера-

при увеличении концентрации атомов 3d-металла с

туре.

целью усиления ферромагнитного порядка, помимо

3. Большие надежды связаны с гетероструктура-

очевидного роста рассеяния на 3d-примесях и допол-

ми, состоящими из тонких пленок ТИ и ферромаг-

нительных свободных носителей, может понизить-

нитного или ферримагнитного нормального изоля-

ся величина спин-орбитального взаимодействия до

тора (ФМНИ) (рис.1c). Предполагается, что в та-

уровня, недостаточного для инвертирования краев

ких системах благодаря эффекту магнитной бли-

запрещенной зоны. Чтобы зафиксировать уровень

зости на интерфейсе между ТИ и ФМНИ может

Ферми в запрещенной зоне ТИ и регулировать его

возникнуть однородное в плоскости интерфейса об-

положение относительно точки Дирака топологиче-

менное поле при довольно высокой температуре,

ских поверхностных состояний, обычно эмпирически

близкой к точке Кюри ФМНИ. В работе [21] со-

подбирают состав материала ТИ. Данный метод ис-

общается об индуцировании посредством эффекта

пользуют как в случае объемного магнитного леги-

близости сравнительно большой аномальной про-

рования [7-10, 13, 14], так и в случае структур на базе

водимости Холла, σ_xy

≈ 0.2e²/h, в трехслойной

собственных АФМ ТИ [25]. Интересная ситуация на-

структуре ФМНИ/ТИ/ФМНИ, где ТИ = (Bi,Sb)₂Te₃

блюдается в пленках Mn(Bi1-ySb_y)₂Te₄ [25]. Приго-

и ФМНИ = Cr₂Ge₂Te₆. Вслед за этим авторы ра-

товленные образцы, имеющие номинальный стехио-

боты [22], проведя тонкую подгонку состава ТИ и

метрический состав MnBi₂Te₄, являются вырожден-

ФМНИ, реализовали режим КАЭХ в гетерострукту-

ными полупроводниками n-типа. Частичное замеще-

ре (Zn,Cr)Te/(Bi,Sb)₂Te₃/(Zn,Cr)Te при температуре

ние висмута на сурьму в катионной подрешетке поз-

∼ 0.1 K.

воляет сместить химический потенциал в запрещен-

4. Прямой путь минимизации магнитного беспо-

ную зону и получить полную компенсацию избыточ-

рядка и получения большого внутреннего обменно-

ных носителей при y ≈ 0.1. Однако с дальнейшим

го поля - это синтезировать ТИ, обладающие соб-

увеличением содержания сурьмы размер запрещен-

ственным магнитным порядком. Значительный про-

ной зоны уменьшается, так что уже при y ≈ 0.5 про-

гресс в этом направлении связан с работами [23-

исходит квантовый переход из топологической фа-

28], где было теоретически обосновано и подтвер-

зы в тривиальную. С другой стороны, как известно

ждено экспериментально существование собственно-

[35], для компенсированных полупроводников харак-

го антиферромагнитного (АФМ) ТИ в тройном со-

терны сильные пространственные флуктуации элек-

единении MnBi₂Te₄. Сегодня топологические и маг-

тростатического потенциала, которые проявляются

нитные свойства соединения MnBi₂Te₄ и твердых

в формировании электронных и дырочных “луж”

растворов MnBi2-ySb_yTe₄ в объемной и тонкопле-

(puddles). Подобные эффекты определяют низкотем-

ночной геометрии, а также в так называемых “на-

пературную проводимость в твердых растворах ТИ,

туральных ван-дер-ваальсовых сверхрешетках” типа

особенно в тонкопленочной геометрии [36].

MnBi_2nTe_3n+1 (MnBi₄Te₇, MnBi₆Te₁₀ и т.д.), стали

Другой важный аспект явления квантования про-

предметом интенсивных исследований [23-31]. Ван-

водимости в гетероструктурах на основе ТИ связан

дер-ваальсова структура, в которой слои собствен-

с граничными эффектами. Согласно “принципу соот-

ного АФМ ТИ разделены прослойкой немагнитного

ветствия” на границе ТИ проявляются особые свой-

ТИ, изображена на рис. 1d. В [32-34] сообщается о

ства, заложенные в его объемной зонной структу-

достижении квантованной холловской проводимости

ре [1, 2], а именно, на интерфейсах и боковых гра-

с σ_xy = e²/h в пленках MnBi₂Te₄ толщиной несколь-

нях ТИ формируются топологически обусловленные

ко семислойных блоков во внешнем поле.

электронные состояния, которые отвечают за кван-

Три базисных требования: топологическая нетри-

тованную проводимость Холла [7-11]. Образцы для

виальность электронных состояний, спонтанная на-

магнито-транспортных измерений приготавливают-

магниченность, направленная нормально к интер-

ся как гетероструктуры, в которых пленки трехмер-

фейсам ТИ пленки, и подавление объемного канала

ного ТИ контактируют с топологически тривиаль-

проводимости - должны быть выполнены для созда-

ными материалами и ограничены как в направле-

ния необходимых условий получения КАЭХ. Однако

нии роста, так и плоскости интерфейса. В качестве

в описанных выше материалах и структурах элек-

материалов для подложки или защитного слоя для

тронные, магнитные и транспортные свойства силь-

пленки ТИ используют широкозонные НИ, что поз-

но взаимосвязаны, и попытка изменить одно из них

воляет сохранить топологические особенности элек-

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

780

В.Н.Меньшов, И.А.Швец, Е.В.Чулков

тронных интерфейсных состояний. В то же время

ируется из p_z-орбиталей халькогенов-анионов (Se)

характеристики этих состояний могут серьезно мо-

и металлов-катионов (Bi), где +/- обозначает чет-

дифицироваться под влиянием ТИ/НИ интерфейсов,

ность, ↑ / ↓ - спин [48, 49]. В таком случае в основу

и роль последних в транспортных свойствах пленки

аналитического описания электронных свойств трех-

ТИ возрастает с уменьшением ее толщины. Кроме

мерных ТИ естественно положить модельный k · p-

того, чтобы минимизировать эффекты шероховато-

гамильтониан, записанный в базисе u_Γ, как разложе-

сти интерфейсов и флуктуаций интерфейсного по-

ние по степеням волнового вектора k:

тенциала, необходимо подобрать гетеропару из ТИ и

H_t(k) = (Ξ₀ - Bk²)τ_z ⊗ σ₀ + Aτ_x ⊗ (σ · k).

(1)

НИ с близкими постоянными решетки в плоскости

интерфейса, как было сделано при эпитаксиальном

Здесь σ_α и τ_β - матрицы Паули, действующие в спи-

росте гетероструктуры в работе [22].

новом и орбитальном пространствах, соответствен-

Приведенные аргументы говорят о необходимо-

но. Сильное спин-орбитальное взаимодействие ведет

сти сформировать общий взгляд на проблему реали-

к инвертированному энергетическому спектру в точ-

зации КАЭХ в магнитных гетероструктурах на ос-

ке Γ, где край зоны проводимости формируется ор-

нове ТИ. Для этого требуется универсальный теоре-

биталями анионов, а край валентной зоны - орбита-

тический подход, который позволяет моделировать

лями катионов, что выражается условием Ξ₀B > 0

явление квантованной поперечной проводимости при

(ниже для определенности полагаем B > 0). Чтобы

различных способах введения ферромагнитного по-

не усложнять анализ, используется изотропный по k

рядка, принимая во внимание такие принципиаль-

и симметричный по энергии 4 × 4 гамильтониан (1).

ные аспекты, как особенности зонной структуры ТИ

Для определенности далее будем вести речь о

в геометрии тонкой пленки и условия на границах.

гетероструктуре НИ/ТИ/НИ, где в зависимости от

Попытка развить такую теорию была предпринята в

ситуации компоненты структуры, ТИ и НИ, могут

цикле исследований [37-42]. В данной работе мы, с

быть как магнитными так и немагнитными изоля-

одной стороны, обозреваем в едином контексте ана-

торами. Чтобы учесть влияние границ на электрон-

литические методы и достижения, сделанные в [37-

ные состояния в ограниченной пленке ТИ, мы вве-

42], с другой стороны, представляем новые результа-

дем “ограничивающий” потенциал W(r), r = (x, y, z).

ты. Учитывая многогранность явления и сложность

В континуальном приближении функционал полной

его описания, мы разложили теоретический анализ

энергии запишем в виде [40, 46]:

КАЭХ на несколько уровней. А именно, мы даем по-

∫

следовательное описание КАЭХ в магнитных гетеро-

Ω = drΘ⁺(r)[H_t(-i∇) + H_ex(r) + W(r)]Θ(r),

(2)

структурах в терминах электронных состояний раз-

личной размерности: исходим от гамильтониана объ-

где слагаемое H_ex(r) отвечает за существование об-

емного трехмерного ТИ; на базисе низкоэнергетиче-

менного поля внутри пленки. Длинноволновая оги-

ских интерфейсных состояний строим эффективный

бающая волновой функции Θ(r) определена внутри

двумерный гамильтониан, определяющий топологи-

пленки ТИ, ограниченной интерфейсами с НИ при

ческие фазы в пленке ТИ конечной толщины; изу-

|z| = l. Кроме того, полагаем, что пленка ограничена

чаем вклад в проводимость одномерных краевых со-

боковыми гранями в интерфейсной плоскости (x, y)

стояний на боковых гранях такой пленки. Кроме то-

вдоль кривой γ(x, y) = 0. Тогда полный “ограничи-

го, мы интерпретируем недавние экспериментальные

вающий” потенциал запишем в виде

данные в свете наших теоретических результатов.

W(r) ≈ dU_pδ(|z| - l) + tVδ[γ(x, y)],

(3)

2. Модельный подход к описанию магнит-

ных гетероструктур на основе ТИ. В этом разде-

где δ(z) - дельта-функция. Матрица U_p определя-

ле мы кратко остановимся только на основных поло-

ет независящее от спина возмущение, возникающее

жениях аналитического моделирования электронных

в пленке ТИ на масштабе ∼ d вблизи интерфейса

состояний в слоистых магнитных гетероструктурах

ТИ/НИ. В базисе u_Γ она записывается в диагональ-

на основе трехмерного ТИ. Более подробное изложе-

ной форме U_p

= diag{U₁, U₂, U₁, U₂}. Физический

ние данной тематики можно найти в оригинальных

смысл параметров U₁ и U₂ подробно разъясняется в

работах [37-47].

рамках концепции эффективного интерфейсного по-

В узкозонных тетрадимитоподобных полупровод-

тенциала, которая была разработана в работах [41-

никах типа Bi₂Se₃ базис низколежащих блоховских

43]. Эта концепция применялась для анализа эффек-

состояний u_Γ = {|+ ↑〉, |- ↑〉, |+ ↓〉, |- ↓〉}, возни-

та магнитной близости [44, 45] и квантованной про-

кающих вблизи точки Γ зоны Бриллюэна, констру-

водимости в различных гетероструктурах на основе

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

Формирование магнитного порядка в трехмерных топологических изоляторах. . .

781

ТИ [37-40, 46, 47]. По аналогии с интерфейсным по-

Варьируя функционал (2), включающий объем-

тенциалом, с помощью матрицы V можно ввести эф-

ную и граничную (3) компоненты, мы приходим к

фективный краевой потенциал, локализованный на

задаче на собственные значения, которая определяет

масштабе ∼ t вблизи периметра пленки γ(x, y) = 0.

состояния в пленке ТИ. Ограничимся рассмотрением

Полагая, что характерный масштаб ξ изменения оги-

гетероструктуры НИ/ТИ/НИ, обладающей идеаль-

бающей функции Θ(r) значительно превосходит дли-

но плоскими интерфейсами и бесконечной в плос-

ны d и t, мы вправе использовать в (3) локальную

кости (x, y). В такой геометрии продольный квази-

аппроксимацию для W(r).

импульс κ = (k_x, k_y) является хорошим квантовым

числом, и мы можем точно решить задачу с нату-

Заметим, что наш подход позволяет моделиро-

вать различные способы формирования в системе на-

ральными граничными условиями на интерфейсах

[40, 43, 46]. Полученные собственные состояния элек-

магниченности, направленной ортогонально интер-

фейсу ТИ/НИ. Например, в случае пленки ФМТИ,

тронов в пленке ТИ, заключенной между НИ, яв-

ным образом зависят от ее толщины 2l, параметров

полученной в результате ее объемного легирова-

ния атомами 3d-металла (рис. 1a), примесные маг-

зонной структуры топологического изолятора Ξ₀, B,

A и матричных элементов интерфейсного потенциа-

нитные моменты спонтанно выстраиваются фер-

ла U. Интерфейсы могут существенно модифициро-

ромагнитным образом со средней намагниченно-

вать топологические состояния, искажая линейный

стью

〈S〉 вдоль оси z. Элементы матрицы H_ex

вид спектральных ветвей и сдвигая их по энергии

в базисе u_Γ прямо связаны с намагниченностью:

Hex = diag{G, F, -G, -F }, где G ∼ cjA〈S〉, F

∼

[41-43, 46]. Состояния становятся щелевыми в тонких

пленках и поляризованными по спину в присутствии

∼ cj_C〈S〉, c - примесная концентрация, j_A/C - ин-

тегралы перекрытия 3d-орбиталей примесных ато-

магнитного порядка [39, 40, 46, 47]. Действуя в согла-

сии с процедурой [40, 46, 51], т.е. развивая теорию

мов с p-орбиталями соседних анионов/катионов мат-

рицы [37]. В ином случае, когда пленка ТИ под-

возмущений по малым значениям κ с использовани-

ем минимального ортогонального базиса из четырех

вергается селективному легированию (рис.1b), фер-

самых низких по энергии состояний, мы можем све-

ромагнитное упорядочение формируется в ультра-

сти проблему к эффективному двумерному гамиль-

тонком слое толщиной dδ ≪ ξ, обогащенном ато-

тониану. В случае симметричной вдоль направления

мами переходного металла. Влияние ФМ дельта-

z гетероструктуры НИ/ТИ/НИ такой гамильтони-

вставки, плоскость которой параллельна интерфей-

ан может быть записан в блок-диагональной форме

су, можно аппроксимировать посредством H_ex(z) =

= d_δdiag{G,F,-G,-F}δ(z - z₀), где z₀ - местополо-

[37, 38, 40, 46]:

жение вставки в пределах пленки ТИ (|z₀| < l), а

H_eff(κ) = diag{E^⇑(κ) + F^⇑(κ), E^⇓(κ) + F^⇓(κ)},

(4)

матричные элементы G и F имеют фактически тот

(

)

же смысл, что в случае однородно намагниченной

Δ^⇑(κ) Ak_-

пленки [38]. В гетероструктурах ФМНИ/ТИ/ФМНИ

F^⇑(κ) =

A^∗k₊

-Δ^⇑(κ)

(рис. 1c) эффект магнитной близости, возникаю-

(

)

(5)

щий на интерфейсах, можно феноменологически

-Δ^⇓(κ)

-A^∗k_-

учесть, если сделать в (3) замену Up

→ U =

F^⇓(κ) =

-Ak₊ Δ^⇓(κ)

U_p + U_ex, т.е. ввести в интерфейсный потенци-

ал дополнительную зависящую от спина компо-

где E^Σ(κ) = E^Σ0 - D^Σκ², Δ^Σ(κ) = Δ^Σ0 - b^Σκ², k_± =

ненту Uex = diag{G, F, -G, -F }. Здесь естествен-

= k_x ± ik_y, κ = |κ|. Формальное разделение на неза-

но связать матричные элементы G

∼ J_AM и

висимые блоки говорит о наличии в системе специ-

F ∼ J_CM с намагниченностью ФМНИ M = zM

фического квантового числа - так называемого псев-

и с интегралами прямого перекрытия через ин-

доспина [51]. Каждому блоку соответствует своя про-

терфейс между электронными состояниями ТИ и

екция псевдоспина, Σ = ⇑ и Σ = ⇓. Важно отметить,

спин-поляризованными состояниями ФМНИ J_A и

что в нашем подходе входящие в (4)-(5) коэффициен-

J_C. Следует отметить, эффект магнитной близо-

ты E^Σ0, D^Σ, Δ^Σ0, b^Σ зависят не только от деталей спек-

сти на интерфейсе ТИ/ФМНИ имеет более слож-

тра трехмерного ТИ, но также от условий на интер-

ный механизм, как показано в работах [44, 45, 50].

фейсах ТИ/НИ и толщины пленки ТИ. Соответству-

В рамках нашего подхода допустимо качественное

ющие зависимости E^Σ0(l, U_1,2F, G), D^Σ(l, U_1,2, F, G),

описание ван-дер-ваальсовых гетероструктур, вклю-

Δ^Σ0(l, U_1,2, F, G), b^Σ(l, U_1,2, F, G) можно установить

чающих слои собственных магнитных материалов

для конкретного способа введения ферромагнитного

(рис. 1d).

порядка в пленку ТИ. Их удается вывести в явной

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

782

В.Н.Меньшов, И.А.Швец, Е.В.Чулков

аналитической форме в некоторых предельных слу-

[1, 2, 7-11]. Когда химический потенциал лежит внут-

чаях или представить как результат численных вы-

ри спектральной щели двумерных состояний (имен-

√

числений в широкой области изменения параметров

но, |µ| < 2|Δ^Σ|

Λ^Σ(1 - Λ^Σ), если Λ^Σ < 1/2, и |µ| <

модели для различных магнитных гетероструктур,

|Δ^Σ0| в ином случае), интеграл от кривизны Берри

рассмотренных в [37-40].

по зоне Бриллюэна квантуется. Как результат, хол-

Коэффициенты E^Σ0 и D^Σ, отвечающие за

ловский отклик для блока Σ, σ^Σxy = C^Σe²/h, выра-

электрон-дырочную асимметрию системы, опре-

жается через число Черна в (4)-(5), которое прини-

деляются главным образом потенциальными компо-

мает целочисленное значение C^Σ = ±1 в топологи-

нентами интерфейсного потенциала U₁ и U₂ и слабо

ческой фазе или нулевое значение C^Σ = 0 в три-

зависят от обменных компонент F и G, и толщины

виальной фазе [37, 40]. Зарядовый отклик с факто-

2l. Члены на главной диагонали в гамильтониане

ром C^C = (C^⇑ + C^⇓)/2 идентифицирует КАЭХ, в

F^Σ(κ) (5) определяют электронные топологические

то время как спиновый отклик с фактором C^S =

свойства системы. По результатам цикла работ

= (C^⇑ - C^⇓)/2 - квантовый спиновый эффект Хол-

[37-40, 46] характерные черты зависимостей Δ^Σ0 и

ла (КСЭХ). Эти факторы можно переписать че-

b^Σ от параметров модели оказываются общими для

рез параметры гамильтониана (4)-(5) [37, 40]: C^S =

любого из вышеперечисленных способов формиро-

= ⌊sgn(|Δ^⇑0) + sgn(Δ^⇓0) + sgn(b^⇑) + sgn(b^⇓)⌋/4 и C^C =

вания ферромагнитного порядка в пленке ТИ. Как

= ⌊sgn(|Δ^⇑0) - sgn(Δ^⇓0) + sgn(b^⇑) - sgn(b^⇓)⌋/4. При

правило, коэффициенты Δ^Σ0 и b^Σ можно представить

нарушении симметрии по отношению к обращению

в аддитивном виде:

времени фактор C^C может принять нетривиальное

значение. Вообще говоря, конкуренция между гибри-

Δ^Σ0 = Δ₀ + sgn(Σ)ω, b^Σ = β -

B χsgn(Σ)ω,

(6)

дизационным и обменным вкладами в Δ^Σ0 и b^Σ (6) яв-

Ξ₀

ляется тем механизмом, который управляет кванто-

вым фазовым переходом из тривиальной изолирую-

где sgn(Σ = ⇑ / ⇓) = +/-, множитель χ может ва-

щей фазы (C^C = C^S = 0) или фазы КСЭХ (C^C = 0 и

рьироваться в пределах 0 ≤ χ ≤ 1 в зависимости

C^S = 0) в смешанную фазу КАЭХ+ КСЭХ (C^C = 0

от конкретной модели. Вклады Δ₀ и β формируют-

и C^S = 0). Переход между фазами происходит, ко-

ся благодаря гибридизации состояний, индуцирован-

гда меняется знак Δ^Σ0 или b^Σ. Поэтому знание пове-

ных противоположными интерфейсами ТИ/НИ при

дения коэффициентов Δ^Σ0 и b^Σ в зависимости от зон-

z = ±l, и экспоненциально падают с ростом толщи-

ной структуры материала ТИ, условий на интерфей-

ны пленки. Когда 0 < λ < 1, где λ =|A|2 - параметр_4BΞ

сах, толщины пленки и способа введения ферромаг-

зонной структуры трехмерного ТИ, спад сопровож-

нитного порядка позволяет контролировать режи-

дается осцилляциями:

мы квантованной проводимости в гетероструктуре

НИ/ТИ/НИ. Остановимся на этом вопросе несколь-

Δ₀ ∼|A|2B^sin(2w0^l+φ)exp(-2p0^l),

ко подробнее.

(7)

β ∼ -|A|lcos(2w₀l + φ)exp(-2p₀l),

3. Анализ интерфейсных и геометриче-

ских эффектов на квантование проводимости

√

где p₀ = |A|/2B и w₀ = p₀

λ^-1 - 1 зависят толь-

Холла в магнитных гетероструктурах на ос-

ко от деталей объемной зонной структуры ТИ, в то

нове ТИ. Низкоэнергетический гамильтониан (4)-

время как интерфейсный потенциал определяет фа-

(5) имеет универсальный характер в том смысле,

зу φ = φ(U_1,2). Заметим, что интерфейсный потенци-

что позволяет описать КАЭХ для любого спосо-

ал определяет также амплитуду огибающей функции

ба введения магнитного порядка в систему, в ко-

на интерфейсах. Как видно из (6), благодаря присут-

торой базовым элементом является гетероструктура

ствию обменного поля в пленке ТИ, блоки с проти-

НИ/ТИ/НИ. Опираясь на изложенный выше под-

воположными проекциями псевдоспиновой степени

ход, в работах [37-40] были теоретически установ-

свободы в (4)-(5) не эквивалентны друг другу при

лены важные черты топологических фазовых диа-

обращении времени, что является одним из условий

грамм, свойственные магнитным гетероструктурам

для возникновения КАЭХ. Обменный вклад в (6),

на основе ТИ. Когда химический потенциал лежит

∼ω, пропорционален F и G, и, кроме того, суще-

внутри спектральной щели, предсказано, что в за-

ственно зависит от U₁ и U₂.

висимости от толщины пленки ТИ, величины ин-

В кристаллах зонных изоляторов холловский от-

терфейсного потенциала и обменного расщепления

клик σ^Σxy связан с топологией зонной структуры,

топологических состояний система допускает суще-

что может быть выражено через кривизну Берри

ствование трех топологически различных фаз: три-

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

Формирование магнитного порядка в трехмерных топологических изоляторах. . .

783

виальной фазы, фазы КСЭХ и смешанной фазы КА-

ЭХ + КСЭХ. В последнем случае можно ожидать

квантование аномальной проводимости Холла. Если

параметр зонной структуры ТИ 0 < λ < 1, в широ-

кой области изменения компонент интерфейсного по-

тенциала U₁ и U₂ и обменного взаимодействия F и G

могут многократно совершаться квантовые переходы

между этими фазами с ростом толщины пленки ТИ

в силу осциллирующего поведения функций Δ₀(l) и

β(l) (7) [37, 40]. При этом возможность обнаружить

систему в смешанной фазе КАЭХ + КСЭХ увели-

чивается с ростом обменного расщепления. Приме-

чательно, что систему можно перевести в смешан-

ную фазу КАЭХ + КСЭХ либо из тривиальной фа-

зы, либо из фазы с КСЭХ несколькими различными

способами. Это хорошо иллюстрирует рис. 2, на ко-

тором представлена трехпараметрическая фазовая

диаграмма в координатах “толщина пленки - интер-

фейсный потенциал - обменное расщепление” для ге-

тероструктуры ФМНИ/ТИ/ФМНИ. Видим, что, ме-

няя один из параметров, зафиксировав два других,

Рис. 2. (Цветной онлайн) Фазовая диаграмма в коор-

можно индуцировать топологический фазовый пере-

динатах “толщина пленки - интерфейсный потенци-

ход. Отметим, что квантовые переходы между обо-

ал - обменное расщепление” для трехслойной гетеро-

значенными фазами в магнитной гетероструктуре

структуры ФМНИ/ТИ/ФМНИ с U1 = -U2 = U и

могут произойти, также при λ > 1, но при определен-

F = G. Поверхности, маркированные голубым и крас-

ных условиях на интерфейсе [39]. Когда химический

ным цветами, описывают критическую величину об-

потенциал выходит за пределы спектральной щели,

менного расщепления, |ωc(l, U)|, выше которой, т.е. при

двумерные интерфейсные состояния вносят вклад в

|ω| > |ωc(l, U)|, система находится в тривиальной фа-

холловский отклик, таким образом, нарушая его це-

зе. В противоположном случае, когда |ω| < |ωc(l, U)|,

лочисленное значение [37].

система может оказаться не только в тривиальной фа-

зе, но также в фазе КСЭХ или в смешанной фазе

В работе

[40] на примере гетероструктуры

КАЭХ+ КСЭХ. Границы между фазами определяют-

ФМНИ/ТИ/ФМНИ (рис. 1c) дано последовательное

ся условиями Δ^Σ0(l, U, ω) = 0 и bΣ(l,U,ω) = 0. Се-

описание КАЭХ, наведенного в немагнитной пленке

чения областей существования этих фаз плоскостью

ТИ, контактирующей с топологически тривиальным

(l, U = 0, ω) закрашены белым, зеленым и желтым цве-

широкозонным изолятором, обладающим ферро-

тами, соответственно. Использованы безразмерные па-√

√

магнитным порядком. В основе явления лежит

Ũ= √ dU

раметры:

l= 2lΞ0

ω=^ω

BΞ₀

2|A|√Ξ0

магнитный эффект близости, важные аспекты ко-

торого для интерфейса ТИ/ФМНИ были выявлены

в рамках вычислений из первых принципов [44, 50]

благодаря потенциальному рассеянию на интерфей-

и модельной схемы [45]. В общем случае вблизи

се ω ∼^G

+ F

. С другой стороны, в случае слабого

ТИ/НИ интерфейса возникает перераспределение

U²¹

U²

зарядовой плотности, сопровождающееся заметным

интерфейсного потенциала, |U₁ +U₂|Ξ^-10 ≪ 1, ампли-

изгибом зон

∼1эВ, что ведет к существенному

туда огибающей функции достигает максимального

ослаблению индуцированной спиновой поляризации

значения строго на интерфейсе, и обменное расщеп-

интерфейсных топологических состояний. В при-

ление пропорционально ω ∼ G + F. Эти оценки,

ближении, использованном в

[40], интерфейсные

вытекающие из континуального подхода, нахо-

электростатические процессы эффективно учтены

дятся в принципиальном согласии с результатами

в интерфейсном потенциале U_p. Здесь показано,

исследований из первых принципов

[52], где на

что в случае сильного интерфейсного потенциала,

микроскопическом уровне проведен сравнительный

|U^-11 + U^-12|Ξ0 ≪ 1, огибающая функция спадает

анализ зонной структуры двух различных ван-дер-

на интерфейсе как |Θ(±l)|

∼ |U^-11 + U^-12|, и ин-

ваальсовых систем CrBi₂Se₄/Bi₂Se₃ и CrI₃/Bi₂Se₃.

дуцированное обменное расщепление подавляется

В одном случае, когда на подложке ТИ Bi₂Se₃ ле-

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

784

В.Н.Меньшов, И.А.Швец, Е.В.Чулков

жит ферромагнитный семислойный блок CrBi₂Se₄,

фермионы осуществляют непрямое взаимодействие

обменное расщепление конуса Дирака достигает

между ее локальными магнитными моментами.

большой величины, 92 мэВ, в другом случае, когда

Такой механизм обменной связи был рассмотрен

на той же подложке расположен слой двумерного

в работе [56]. Таким образом, взаимосвязь интер-

изинговского ферромагнитного изолятора CrI₃, оно

фейсных топологических состояний и магнитного

не превышает 19 мэВ. Показано [52], что величина

порядка в дельта-вставке раскрывает физическую

спектральной щели прямо связана с длиной про-

причину предпочтительности с точки зрения реа-

никновения волновой функции топологического со-

лизации КАЭХ модуляционного легирования перед

стояния в ферромагнитный слой (см. схематическое

объемным легированием, которая была установлена

изображение на рис. 1d), которая, в свою очередь,

экспериментально в [17].

определяется потенциальным барьером на границе

4. Влияние состава ТИ на квантование про-

между компонентами структуры. Для интерфейса

водимости Холла в магнитных гетерострукту-

CrBi₂Se₄/Bi₂Se₃ такой барьер почти не отличается

рах НИ/ТИ/НИ. Выше мы обсудили роль “внеш-

от скачка потенциала на ван-дер-ваальсовом про-

них” факторов, таких как геометрия системы и на-

межутке между пятислойными блоками в объеме

личие интерфейсов, на топологические характери-

Bi₂Se₃, что в континуальном приближении отвечает

стики тонкой пленки ТИ. Далее рассмотрим, как

предельно слабому интерфейсному потенциалу. С

“внутренние” факторы, сопряженные с деталями зон-

другой стороны, на границе между CrI₃ и Bi₂Se₃

ной структуры материала трехмерного ТИ, прояв-

высота и ширина барьера заметно возрастают по

ляются в поведении холловского отклика соответ-

сравнению с ван-дер-ваальсовым барьером, что в

ствующей тонкой пленки. Действительно, чтобы под-

аналитической схеме эффективно означает присут-

готовить базу для топологически обусловленного

ствие сильного интерфейсного потенциала. Можно

транспорта, необходим материал с достаточно ши-

сказать, что в случае CrI₃/Bi₂Se₃ интерфейсные

рокой инвертированной запрещенной зоной, в сере-

состояния в ТИ поляризуются по сценарию эф-

дине которой расположена точка Дирака поверх-

фекта близости

[44, 45]. Напротив, для системы

ностных/интерфейсных состояний; в то же время,

CrBi₂Se₄/Bi₂Se₃, компоненты которой обладают

химический потенциал фиксирован как можно бли-

сходными химическим составом и кристалличе-

же к точке Дирака. Часто на практике эту проблему

ской структурой и почти идеальным интерфейсом,

удается решить, используя тройные или четверные

топологическое состояние плавно

“перетекает” в

твердые растворы в качестве материалов ТИ и эмпи-

магнитный блок в согласии с так называемым

рически оптимизируя их химический состав. Конеч-

эффектом магнитного продолжения [29,53].

но, изучение эволюции зонной структуры материала

В работе

[38] подробно исследован вопрос,

с изменением его состава остается за специалистами

как использовать магнитный модуляционный

по численным расчетам. Однако ниже мы попытаем-

допинг в тонкой пленке ТИ для манипуляции

ся понять определенную тенденцию композиционно-

спин-зависящим транспортом в магнитных гетеро-

го эффекта на квантование проводимости Холла в

структурах НИ/ТИ/НИ (рис.1b). Показано, что ФМ

тонкой пленке ТИ, оставаясь в рамках континуаль-

дельта-вставки, внедренные в пленку ТИ, сильно

ного подхода.

поляризуют по спину топологические состояния

Напомним, положительный знак Ξ₀ в исходном

системы. Этот факт подтверждается численными

k · p-гамильтониане (1), описывающем энергетиче-

расчетами на основе функционала электронной

ский спектр тетрадимитоподобных соединений, ука-

плотности

[54] и аналитической моделью

[55].

зывает на то, что трехмерный зонный изолятор нахо-

Амплитуда спиновой поляризации состояний силь-

дится в топологической фазе. В этом смысле, просто

но зависит от позиции вставки в пленке вдоль

подразумевая, что Ξ₀ ∼ γ - γ₀, фазовую трансфор-

направления роста структуры НИ/ТИ/НИ (как

мацию в объеме можно качественно ассоциировать

схематически показано на рис. 1b) [38]. Оптималь-

с изменением спин-орбитального взаимодействия, γ,

ная для достижения максимальной поляризации

таких материалов. В случае твердых растворов халь-

позиция была определена как функция параметров

когенидов, таких как (Bi1-ySb_y)₂(Se,Te)₃, сила спин-

материала ТИ, толщины пленки и интерфейсного

орбитального взаимодействия может быть связана

потенциала. Необходимо отметить, что интерфейс-

с номинальным составом, y, катионной подрешетки.

ное топологическое состояние может оказывать

Так как γ на атомах Sb намного меньше, чем на ато-

усиливающее влияние на магнитный порядок в

мах Bi, инвертированная щель 2Ξ₀ в точке Γ сужает-

самой дельта-вставке. Действительно, дираковские

ся с ростом y. Когда концентрация сурьмы достигает

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

Формирование магнитного порядка в трехмерных топологических изоляторах. . .

785

критического значения y₀ (которому соответствует

в пределах энергетической щели двумерных состоя-

γ₀), твердый раствор переходит из топологической

ний гамильтониана (4)-(5). Переход из одной фазы в

фазы в тривиальную. В окрестности точки перехо-

другую сопровождается существенной перестройкой

да поведение запрещенной зоны можно интерполи-

электронного спектра двумерных топологических

ровать как 2Ξ₀ ∼ y₀ - y. Фазовый переход по соста-

состояний. Рисунок 4 демонстрирует относительную

ву y наблюдался как в традиционных соединениях

перегруппировку низкоэнергетических состояний

(Bi1-ySb_y)₂(Se,Te)₃ [57-59], так и в недавно откры-

гамильтониана (4)-(5), лежащих внутри объемной

тых АФМ ТИ Mn(Bi1-ySb_y)₂Te₄ [25].

запрещенной зоны, с изменением параметра λ. Каж-

Зададимся вопросом, как состав трехмерного ТИ,

дой фазе соответствует своя последовательность

определяющий его зонную структуру, может повли-

расположения состояний вдоль энергетической оси.

ять на холловский отклик гетероструктуры. Зафик-

Следует также обратить внимание на важный

сируем толщину 2l и матричные элементы ИП U_1,2.

аспект, касающийся эффекта пространственных

Согласно уравнениям (6)-(7) компоненты Δ^Σ0 и b^Σ,

флуктуаций состава пленки ТИ на ее тополо-

определяющие топологические свойства эффектив-

гический режим. Например, в твердом растворе

ного двумерного гамильтониана (4)-(5), зависят от

(Bi1-ySb_y)₂(Se,Te)₃ распределение атомов Bi и Sb

обменного расщепления ω и энергии запрещенной

в катионной подрешетке является случайным и

зоны 2Ξ₀. Принимая во внимание эти зависимо-

неоднородным в плоскости пленки, т.е. y(x, y), хотя

сти, мы можем воспроизвести на плоскости (ω, λ)

в химической формуле фигурирует номинальное

границы между фазами с различным холловским

значение состава, равное среднему y

= 〈y(x, y)〉.

откликом, где безразмерный параметр трехмерной

Для описания влияния такого типа беспорядка на

зонной структуры λ связан с составом материала

топологический транспорт можно использовать

как λ

∼ Ξ-10 ∼ (y0 - y)-1. Квантовая фазовая

методику согласованного массового оператора,

диаграмма трехслойной магнитной гетероструктуры

как сделано в работе [60] для случая флуктуаций

НИ/ТИ/НИ, представленная на рис.3, позволяет ин-

намагниченности в пленке ТИ. Композиционные

терпретировать влияние химического состава плен-

флуктуации состава могут привести к определенной

ки ТИ на возникновение КАЭХ. Видно, что вариа-

корректировке фазовой диаграммы на рис. 3 в силу

ция состава материала y (при фиксированных зна-

〈(y(x, y) - y)²〉 = 0.

чениях ω, 2l и U_1,2) может вызвать переход систе-

5. Краевые состояния. Топологические инва-

мы между возможными фазами: тривиальной, КС-

рианты зонного изолятора определены в простран-

ЭХ, смешанной КАЭХ + КСЭХ. Нетрудно заметить,

стве квазиимпульсов, т.е. в неограниченном объеме,

что на фазовой диаграмме присутствуют особые точ-

но проявиться топологические свойства могут только

ки (ω = 0, λ^∗) (например, λ^∗ ≈ 0.72 при

l= 3), в

через поверхностные/интерфейсные/краевые состо-

которых сходятся все три фазы. В окрестности та-

яния, существующие на внешней границе системы.

кой точки достаточно малого обменного расщепле-

Для регистрации отклика Холла в транспортных из-

ния, |ω| ≪ |ωA|, для перевода системы в смешан-

мерениях обычно используют образцы гетерострук-

ную фазу КАЭХ + КСЭХ; напротив, если параметр

тур НИ/ТИ/НИ, выполненные в специальной гео-

λ далеко от точки λ^∗, для этого потребуется конеч-

метрии, где пленка ТИ ограниченна как в направле-

ное значение |ω| > |ω_A|. Причем, как видно из рис. 3,

нии роста, так и в интерфейсной плоскости вдоль ее

|ω_A(l)| уменьшается с ростом толщины пленки. Од-

боковых граней. Выше мы описали эволюцию топо-

нако небольшое критическое значение |ω_A| сопря-

логических изолирующих фаз в пленке ТИ, неогра-

жено с небольшой энергией гибридизационной щели

ниченной в планарном направлении, с изменением

Δ₀ (см. формулу (6)). В такой ситуации возраста-

толщины и состава пленки, обменного расщепления,

ет нестабильность КАЭХ относительно термических

а также силы интерфейсного потенциала. Холлов-

возбуждений носителей через щель и размытия са-

ский отклик гетероструктуры НИ/ТИ/НИ прояв-

мой щели из-за присутствия беспорядка в реальных

ляется посредством одномерных проводящих кана-

образцах.

лов, образованных краевыми электронными состоя-

Таким образом, принципиально показано, что,

ниями на боковых гранях пленки ТИ вдоль пери-

варьируя химический состав материала, можно

метра γ(x, y) = 0 [7-11]. В нашем подходе влия-

управлять собственным поперечным откликом тон-

ние боковой грани на состояния в пленке ассоцииро-

кой пленки ТИ. Вместе с тем необходимо удерживать

вано с эффективным краевым потенциалом V, вве-

интерфейсные состояния в пределах проекции объ-

денным в (2)-(3). Как показано в [46] на примере

емной запрещенной зоны, а химический потенциал -

КСЭХ, краевой потенциал может оказывать суще-

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

786

В.Н.Меньшов, И.А.Швец, Е.В.Чулков

Рис. 3. (Цветной онлайн) Топологическая фазовая диаграмма трехслойной структуры ФМНИ/ТИ/ФМНИ в пара-

метрическом пространстве “обменное расщепление - параметр зонной структуры” в случае сильного интерфейсного

потенциала, построенная для трех пленок ТИ различной толщины. Присутствуют три топологически различных изо-

лирующих фазы, которые представлены областями соответствующего цвета: белый - тривиальная фаза; зеленый -

фаза КСЭХ; желтый - смешанная фаза КАЭХ + КСЭХ. На панели

l= 3 синей пунктирной кривой выделена зависи-

мость ωA(l) и показана особая точка λ^∗

Рис. 4. (Цветной онлайн) Эволюция электронных спектров магнитной гетероструктуры с изменением параметра объ-

емной зонной структуры ТИ λ. Четыре панели с изображениями спектров, индексированные как I, II, III и IV, соот-

ветствуют четырем значениям параметра λ (0.1, 0.4, 0.7, 1.3), выделенным на рис. 3 для структуры с

l= 2 и ω = 0.1

лиловыми кружками c теми же индексами. Дисперсионные зависимости двумерных интерфейсных состояний изобра-

жены непрерывными толстыми кривыми, в свою очередь, дисперсионные зависимости одномерных топологических

краевых состояний изображены пунктирными кривыми. Красная и оранжевая кривые отвечают поляризации ⇓, в

то время как синяя и голубая кривые - поляризации ⇑. Можно видеть, как меняются местами, т.е. инвертируются,

спектральные ветви двумерных состояний при переходе из одной фазы в другую и, соответственно, возникают или√

исчезают краевые состояния. Здесь

k= kx,yΞ

ственное воздействие на краевые состояния. Обоб-

Пусть пленка ТИ, занимающая полуплоскость

щая подход [46], ниже мы исследуем роль краевого

(x > 0, y), граничит с тривиальной средой вдоль ли-

потенциала в реализации режима аномальной кван-

нии x = 0. Краевое электронное состояние в плен-

тованной проводимости в магнитных гетерострукту-

ке описывается спинором огибающей функции η^Σ(x),

рах.

удовлетворяющей уравнению F^Σ(-i∂_x, k_y)η^Σ(x) =

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

Формирование магнитного порядка в трехмерных топологических изоляторах. . .

787

(

)

t²u²

= ε^Σ(k_y)η^Σ(x) с натуральными граничными усло-

где εΣ0 = -sgn(u)|ΔΣ0|

. При от-

|b^ΣΔ^Σ0|(1+|Λ^Σ|)

виями, включающими потенциал V [40, 46]. Блоки

клонении от точки k_y = 0 дисперсия быстро теря-

F^Σ(κ) (5) определены выше; здесь мы опускаем

ет линейный вид и приобретает характер состояния

топологически несущественные слагаемые E^Σ(κ) и

типа Бычкова-Рашбы [61].

полагаем, что краевой потенциал имеет вид V =

Выше мы показали, что включение в модель крае-

diag{u, u, u, u}. Асимптотическое поведение огибаю-

вого потенциала конечной величины, имитирующего

щей вдали от боковой грани определяется характе-

влияние физической боковой грани на электронную

ристическим импульсом q^Σ:

плотность в тонкой пленке ТИ, привносит опреде-

η^Σ(x, y) ∼ exp(ik_yx)exp(-q^Σx),

(8)

ленные особенности в формирование краевых состо-

[

√

]

яний внутри как инвертированной щели (в тополо-

sgn(b^ΣΔ^Σ)

гической фазе внутри пленки с b^ΣΔ^Σ0 > 0), так и

q^Σ =

|A| - A² - 4b^ΣΔ^Σ

(9)

2|b^Σ|

нормальной щели (в тривиальной фазе с b^ΣΔ^Σ0 < 0).

Вблизи боковой грани при q^Σx < 1 поведение огиба-

Этот частный пример позволяет сказать, что инфор-

ющей существенно зависит от краевого потенциала.

мации о топологическом индексе (в данном случае

В топологической фазе, где b^ΣΔ^Σ0 > 0, краевые со-

числе Черна) электронной структуры зонного изо-

стояния имеют линейный спектр вблизи k_y = 0:

лятора недостаточно, чтобы однозначно утверждать

о реализации режима квантованной проводимости

ε^Σ(k_y) = ε^Σ0 + sgn(Σb^Σ)|A|k_y,

(10)

Холла. Необходим детальный анализ условий суще-

ствования и спектральных характеристик краевых

где знак sgn(Σ) отвечает ориентации псевдоспина

топологических и тривиальных состояний под вли-

sgn(⇑ / ⇓) = +/-. Смещение точки Дирака отно-

янием краевого потенциала.

сительно середины спектральной щели связано с си-

лой краевого потенциала, ε^Σ0 = ε^Σ0(u). Также следует

Рисунок 5 подробно иллюстрирует, как под вли-

подчеркнуть, что смещение ε^Σ0 зависит от обменного

янием краевого потенциала появляются и исчеза-

расщепления, другими словами, ε^⇑0 = ε^⇓0. Можно по-

ют одномерные краевые состояния в запрещенной

0 |

казать, что ε^Σ0 = -^2|A||Δ

, если краевой потенциал

зоне двумерных состояний на примере гетерострук-

√

2|A|tu

сильный, t|u| ≫

b^ΣΔ^Σ0, и ε^Σ0 =

, если он

тур ФМНИ/ТИ/ФМНИ с различной толщиной плен-

b^Σ(1+Λ^Σ)

√

ки ТИ [40]. На панели (a) дан характерный фрагмент

слабый, t|u| ≪

b^ΣΔ^Σ0, т.е. в обоих предельных си-

фазовой диаграммы в координатах “толщина плен-

туациях смещение ε^Σ0 незначительное. В каждом из

ки - обменное расщепление” для квантованного хол-

этих двух предельных случаев одномерное тополо-

ловского отклика системы, неограниченной в плос-

гически защищенное состояние (8) перекрывает дву-

мерную энергетическую щель и характеризуется ли-

кости интерфейса. Таблица на панели (b) классифи-

нейным законом дисперсии со скоростью |А|. Одна-

цирует допустимые комбинации внутрищелевых (in-

ко для промежуточных значений краевого потенци-

gap) краевых состояний (“topological + trivial”), лока-

√

порядка единицы, зави-

лизованных на боковой грани полубесконечной плен-

b^ΣΔ^Σ

ки. Боковая грань пленки, схематически изображен-

симость ε^Σ(k_y) может сильно отклоняться от линей-

ная на панели (c), содержит одномерный проводя-

ной при удалении от точки k_y = 0 [46]. При этом

щий киральный канал, направление распростране-

точка Дирака значительно отклоняется от середины

ния которого связано с ориентацией псевдоспина

спектральной щели и может оказаться в двумерном

фермиона. Классификация проводится по факту ло-

континууме при условии, что значение лежит в неко-

кализации точки ε^Σ(k_y = 0) = ε^Σ0 соответствующего

тором интервале u^Σ+ > |u| > u^Σ-.

краевого состояния внутри щели в двумерном спек-

Кроме того, в тривиальной фазе, где b^ΣΔ^Σ0 < 0,

тре. На панели (d) на параметрической плоскости

краевой потенциал может индуцировать появление

внутри щели связанного состояния, если значение

“краевой потенциал - обменное расщепление” каж-

потенциала находится в конечном интервале u^Σ+ >

дая комбинация, отличающаяся числом и типом кра-

√

евых состояний, занимает свою область, цвет кото-

|u| > u^Σ-. Например, если t|u| ≈

|b^ΣΔ^Σ0|

1 + |Λ^Σ|,

рой задан в таблице на панели (b). Зеленым цветом

энергия такого состояния в низшем порядке по k_y

описывается дисперсионным соотношением

показана область, характеризующаяся появлением

√

на краю пленки пары киральных состояний с про-

|Λ^Σ|

тивоположным направлением распространения и, со-

ε^Σ(k_y) = ε^Σ0 - sgn(Σb^Σ)

|A|k_y,

(11)

1 + |Λ^Σ|

ответственно, противоположной псевдоспиновой по-

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

5^∗

788

В.Н.Меньшов, И.А.Швец, Е.В.Чулков

Рис. 5. (Цветной онлайн) Влияние краевого потенциала на возникновение одномерных краевых состояний в спек-

тральной щели двумерных состояний в случае трехслойной гетероструктуры ФМНИ/ТИ/ФМНИ. (a) - Фрагмент

топологической фазовой диаграммы гетероструктуры, неограниченной в плоскости интерфейса в координатах “об-

менное расщепление - толщина пленки”. (b) - Таблица возможных внутрищелевых краевых состояний, возникающих

на боковой грани полубесконечной пленки ТИ благодаря конечной силе краевого потенциала в топологически раз-

личных фазах. (c) - Схематическое изображение боковой грани пленки ТИ, несущей одномерный проводящий канал,

связанный с киральным краевым состоянием с поляризацией ⇑. (d) - Области существования различных конфигура-

ций краевых состояний на параметрической плоскости “обменное расщепление - краевой потенциал” для трех толщин

пленки. Каждой конфигурации отвечает цвет, введенный в таблице на панели (b). Используются безразмерные еди-

ницы: ũ

√

, λ = 0.1

βΔ₀

ляризацией. Желтым цветом показана область, ха-

тирные кривые) при переходах между топологиче-

рактеризующаяся появлением на краю пленки одно-

ски различными фазами с изменением параметра λ

го кирального состояния. Белым цветом закрашена

в случае предельно сильного краевого потенциала.

область, где отсутствуют какие-либо краевые состоя-

Однако, в случае потенциала промежуточной ве-

ния внутри щели. Мы использовали такую расцвет-

√

- порядка единицы, при-

ку областей, чтобы подчеркнуть связь (в согласии

|b^ΣΔ^Σ0|

сутствие или отсутствие внутрищелевых краевых

с “теоремой соответствия” [1,2]) квантованного по-

состояний однозначно не определяется двумерны-

перечного отклика неограниченной пленки (панель

ми топологическими инвариантами. Например, ес-

(a)) с числом и типом краевых состояний. Заметим,

ли пленка находится в фазе КСЭХ, краевой по-

что в нашей модели такая связь четко проявляется

тенциал может “вытолкнуть” либо одно (светло-

либо для предельно сильного, либо для предельно

коричневая область на панели (d)), либо оба (темно-

слабого краевого потенциала. Картина спектров на

серая область) топологических состояния из запре-

рис. 4 отражает эволюцию краевых состояний (пунк-

щенной зоны в двумерный континуум. Если пленка -

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

Формирование магнитного порядка в трехмерных топологических изоляторах. . .

789

в фазе КСЭХ+ КАЭХ, краевой потенциал может

ки, показывающие тенденции изучения квантованно-

“вытолкнуть” топологическое состояние из запре-

го спин-зависящего транспорта в гетероструктурах.

щенной зоны (светло-серая область) и/или породить

На сегодняшний день множество магнитных ге-

в ней одно тривиальное состояние (синяя/красная

тероструктур ФМНИ/ТИ/ФМНИ было предложе-

область). Если пленка - в тривиальной фазе, краевой

но теоретически и синтезировано на практике (со-

потенциал может породить в щели одно или два три-

ответствующие ссылки можно найти в [40]). Хотя

виальных состояния (голубая или розовая область).

эти исследования показали определенный потенци-

В желтой и светло-коричневой областях на панели

ал для реализации КАЭХ за счет эффекта близо-

(d) должно наблюдаться плато с точным квантова-

сти, индуцированное обменное расщепление интер-

нием аномальной проводимости Холла, σ_xy = e²/h,

фейсных состояний в пленке ТИ остается намного

а в зеленой области - плато с точным квантованием

слабее, чем ожидалось. Относительным успехом сле-

спиновой проводимости Холла, σ_xy = 2e²/h. В синей,

дует признать результат работы [22]. Наши аналити-

красной, голубой и розовой областях, где присут-

ческие доводы [40], поддержанные численными рас-

ствуют тривиальные краевые состояния, квантова-

четами [52], дают рациональное объяснение такому

ние поперечной проводимости нарушается, хотя хи-

положению дел.

мический потенциал расположен в щели. В белой,

Модуляционно легированные магнитные струк-

светло-серой и темно-серой областях проводимость

туры с относительно высокой температурой реали-

показывает тривиальное значение, σ_xy = 0. Таким

зации режима КАЭХ обеспечивают сегодня главную

образом, мы установили, что рассеяние электронов

платформу для экспериментирования с экзотиче-

на физической боковой грани пленки ТИ может су-

скими явлениями, возникающими из топологической

щественно влиять на режим квантования проводи-

организации электронной зонной структуры. В рабо-

мости Холла в магнитной гетероструктуре.

те [62] сообщается о наблюдении размытой границы

6. Обсуждение недавних эксперименталь-

между фазой с КАЭХ и фазой тривиального изо-

ных результатов по КАЭХ в магнитных ге-

лятора с изменением ориентации намагниченности

тероструктурах на основе ТИ. Можно выделить

системы. Магнетотранспортные измерения прово-

ряд ключевых на наш взгляд событий, на сегодняш-

дились на модуляционно легированных структурах

ний день отражающих развитие в области экспери-

Cr_x(Bi,Sb)2-xTe₃/(Bi,Sb)₂Te₃/Cr_x(Bi,Sb)2-xTe₃, где

ментальной реализации КАЭХ. В 2013 году удалось

x = 0.12, толщина немагнитной прослойки менялась

обнаружить КАЭХ при ультранизких температурах

от

до

12 нм. Примечательно, что полученные

в тонких пленках ТИ, объемно допированных ато-

при различных температурах кривые зависимо-

мами 3d переходных металлов, Cr_x(Bi,Sb)2-xTe₃ и

сти проводимости Холла от угла θ отклонения

V_x(Bi,Sb)2-xTe₃ [13,14]. Через два года японские ис-

намагниченности от нормали к плоскости пленки

следователи [17, 19] смогли поднять на два поряд-

ТИ, σ_xy(θ), при переходе от тривиального плато

ка температуру выхода проводимости σ_xy на пла-

σ_xy(π/2) = 0 к аномальному плато с σ_xy(0) = e²/h

то e²/h в пленках (Bi,Sb)₂Te₃, селективно легиро-

(и очень малым продольным сопротивлением,

ванных атомами Cr. Совсем недавно зарегистриро-

R_xx

→ 0) показывали критическое поведение.

вана квантованная аномальная проводимость Хол-

В другой работе [63], где также использовались

ла, индуцированная благодаря эффекту магнитной

модуляционно легированные магнитные структу-

близости в пленке (Bi,Sb)₂Te₃, заключенной между

ры, исследовался переход из фазы КАЭХ в фазу

пленками разбавленных ферромагнитных изолято-

аксионного изолятора во внешнем магнитном поле.

ров (Zn,Cr)Te [22]. И наконец, в пленках собствен-

Было установлено, что температурная зависимость

ного АФМ ТИ MnBi₂Te₄ наблюдались квантование

производной продольной проводимости по внешнему

аномальной проводимости Холла и переход в состо-

полю имеет универсальное скейлинговое поведение.

яние аксионного изолятора во внешнем магнитном

С теоретической точки зрения движущей силой

поле [32-34]. Хотя пока рабочая температура кванто-

топологических фазовых переходов в магнитных

вания σ_xy не превышает в лучшем случае нескольких

гетероструктурах типа НИ/ТИ/НИ при любом

градусов Кельвина, разнообразие магнитных гетеро-

способе введения магнитного порядка в пленку

структур, на практике реализующих режим КАЭХ,

ТИ является конкуренция гибридизационной щели

вселяет надежду на дальнейший прогресс в этой об-

и обменного расщепления, что явно описывает

ласти. Поэтому представляется уместным обсудить

формула (6) и иллюстрирует фазовая диаграмма

в контексте вышеизложенных теоретических резуль-

на рис. 2 или 3. Поэтому в рамках нашего подхода

татов некоторые недавние экспериментальные наход-

в принципе понятен зарегистрированный в

[62]

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

790

В.Н.Меньшов, И.А.Швец, Е.В.Чулков

переход из одной фазы в другую, с изменением ори-

из-за флуктуаций толщины пленки АФМ ТИ, сопря-

ентации намагниченности для пленок ТИ различной

женных с шероховатостью поверхности. Как мы от-

толщины. С другой стороны, в реальных образцах

мечали [40], такого рода несовершенства могут стать

неизбежно присутствие беспорядка различного рода,

причиной пространственно неоднородной магнитной

например, пространственные флуктуации толщины

и топологической структуры образца, что препят-

пленки ТИ, ее состава и намагниченности, а также

ствует реализации режима квантованной проводи-

неоднородности интерфейсов и боковых граней.

мости Холла. На сложную структурную и магнит-

В развитом континуальном приближении влияние

ную конфигурацию поверхности реального АФМ ТИ

беспорядка можно учесть квазиклассическим об-

MnBi₂Te₄ указывают также авторы [66].

разом, рассматривая коэффициенты двумерного

Безусловно, не претендуя на освещение всей про-

гамильтониана (4)-(5) как зависящие от координаты

блематики КАЭХ, мы выделили те факты, что от-

(x, y) случайные величины [40]. Как показано нами

ражают наши интересы и предпочтения. Несмотря

[40], под влиянием беспорядка тонкая пленка

на многие замечательные открытия, эта область ис-

трехмерного ТИ приобретает тенденцию к распаду

следований пока находится на ранней стадии. Мы

на домены с топологически различными фазами,

полагаем, что для реализации устойчивого режима

а на границах между доменами возникают “внут-

квантованной проводимости в приемлемом темпера-

ренние” одномерные состояния, наподобие краевых

турном диапазоне наиболее перспективными явля-

дираковских состояний. Как следствие, зарядовый

ются два типа магнитных гетероструктур: построен-

и спиновый транспорт в пленке осуществляется по

ные на основе ТИ с собственным магнитным поряд-

случайной сетке одномерных проводящих каналов,

ком; сформированные методом селективного легиро-

различающихся ориентацией в плоскости (x, y),

вания пленок ТИ. Проведенный анализ показывает

киральностью, спектральными характеристиками.

чувствительность КАЭХ к геометрическим и мате-

Обнаруженное в

[62, 63] критическое поведение

риальным факторам системы. Надеемся, что разви-

магнетотранспортных характеристик при переходе

тый теоретический формализм, объясняющий специ-

между различными режимами квантованной прово-

фику эффекта при различных способах конструиро-

димости естественно рассматривать как перколяцию

вания магнитного порядка в гетероструктурах, по-

на случайной сетке топологически обусловленных

может в проектировании спинтронных устройств с

одномерных каналов.

новыми функциональными возможностями.

Настоящая работа выполнена при финансовой

Соединение MnBi₂Te₄ показывает инвертирован-

ную зонную структуру и собственный АФМ порядок

поддержке Российского научного фонда (грант

#18-12-00169), гранта на НИР за счет средств СПб-

с легкой осью, нормальной к поверхности (0001) [23-

28]. Поверхностные топологические состояния глав-

ГУ (Pure ID 40990069), программы “Научный фонд

им. Д. И. Менделеева” Томского государственного

ным образом локализованы в крайнем семислойном

блоке. Благодаря эффекту магнитного продолжения

университета

(# 8.1.01.2018), Российского фонда

фундаментальных исследований в рамках научного

[29, 53] обменная связь между поверхностными дира-

проекта # 18-52-06009. Вычисления были проведены

ковскими фермионами и магнитными моментами на

атомах Mn в блоке настолько сильная, что дает щель

с использованием оборудования Ресурсного центра

“Вычислительный центр СПбГУ” (http://cc.spbu.ru)

≈ 0.1 эВ в спектре [23,64,65]. Объемный трехмерный

гамильтониан MnBi₂Te₄ аналогичен гамильтониану

и на суперкомпьютере SKIF-Cyberia Томского

государственного университета.

для тетрадимитоподобных материалов [64]. Поэто-

му вопрос описания квантования проводимости Хол-

ла в идеальной тонкой пленке АФМ ТИ MnBi₂Te₄

1. M. Z. Hasan and C. L. Kane, Rev. Mod. Phys. 82, 3045

с нечетным числом семислойных блоков (так что

(2010).

крайние верхний и нижний семислойные блоки име-

2. X.-L. Qi and S.-C. Zhang, Rev. Mod. Phys. 83, 1057

ют параллельное направление намагниченности) мог

(2011).

бы быть сведен к двумерному низкоэнергетическо-

3. S. V. Eremeev, Yu. M. Koroteev, and E. V. Chulkov,

му эффективному гамильтониану (4)-(5). Примеча-

JETP Lett. 91, 387 (2010).

тельно, КАЭХ в тонких пленках MnBi₂Te₄ наблю-

4. K. Miyamoto, A. Kimura, T. Okuda, H. Miyahara,

дался во внешнем поле, не создающем уровни Лан-

K. Kuroda, H. Namatame, M. Taniguchi, S. V. Eremeev,

дау, но достаточном, чтобы развернуть намагничен-

T. V. Menshchikova, E. V. Chulkov, K. A. Kokh, and

ности подрешеток [32, 33]. Возможно, причина это-

O. E. Tereshchenko, Phys. Rev. Lett.

109,

166802

го заключается в неидеальности образцов, например,

(2012).

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

Формирование магнитного порядка в трехмерных топологических изоляторах. . .

791

S. V. Eremeev, G. Landolt, T. M. Menshchikova et al.

27.

C.-W. Hu, X. Zhou, P. Liu, J. Liu, P. Hao,

(Collaboration), Nat. Commun. 3, 635 (2012).

E. Emmanouilidou, H. Sun, Y. Liu, H. Brawer,

A. Bansil, H. Lin, and T. Das, Rev. Mod. Phys. 88,

A. P. Ramirez, H. Cao, Q. Liu, D. Dessau, and N. Ni,

021004 (2016).

arXiv:1905.02154.

H. Weng, R. Yu, X. Hu, X. Dai, and Z. Fang, Adv. Phys.

28.

J.-Z. Wu, F. Liu, M. Sasase, K. Ienaga, Y. Obata,

64, 227 (2015).

R. Yukawa, K. Horiba, H. Kumigashira, S. Okuma,

T. Inoshita, and H. Hosono, arXiv:1905.02385.

X. Kou, Y. Fan, M. Lang, P. Upadhyaya, and

29.

M. M. Otrokov, T. V. Menshchikova, I. P. Rusinov,

K. L. Wang, Solid State Commun. 215-216, 34 (2015).

M. G. Vergniory, V. M. Kuznetsov, and E. V. Chulkov,

C.-Z. Chang and M. Li, J. Phys.: Condens. Matter 28,

JETP Lett. 105, 297 (2017).

123002 (2016).

30.

M. M. Otrokov, I. P. Rusinov, M. Blanco-Rey,

10.

C.-X. Liu, S.-C. Zhang, and X.-L. Qi, Annu. Rev.

M. Hoffmann, A. Yu. Vyazovskaya, S. V. Eremeev,

Condens. Matter Phys. 7, 301 (2016).

A. Ernst, P. M. Echenique, A. Arnau, and E. V. Chulkov,

11.

Y. Tokura, K. Yasuda, and A. Tsukazaki, Nat. Rev.

Phys. Rev. Lett. 122, 107202 (2019).

Phys. 1, 143 (2019).

31.

J.-Q. Yan, S. Okamoto, M. A. McGuire, A. F. May,

12.

Y. Fan and K. L. Wang, SPIN 6, 1640001 (2016).

R. J. McQueeney, and B. C. Sales, Phys. Rev. B 100,

13.

C.-Z. Chang, J. Zhang, X. Feng et al. (Collaboration),

104409 (2019).

Science 340, 167 (2013).

32.

Y.-J. Deng, Y. Yu, M. Z. Shi, J. Wang, X. H. Chen, and

14.

A.J. Bestwick, E. J. Fox, X. Kou, L. Pan, K. L. Wang,

Y. Zhang, arXiv:1904.11468.

and D. Goldhaber-Gordon, Phys. Rev. Lett.

114,

33.

J. Ge, Y. Liu, J. Li, H. Li, T. Luo, Y. Wu, Y. Xu, and

187201 (2015).

J. Wang, arXiv:1907.09947.

15.

X.F. Kou, W. J. Jiang, M. R. Lang, F. X. Xiu, L. He,

34.

C. Liu, Y. Wang, H. Li, Y. Wu, Y. Li, J. Li, K. He,

Y. Wang, Y. Wang, X. X. Yu, A.V. Fedorov, P. Zhang,

Y. Xu, J. Zhang, and Y. Wang, arXiv:1905.00715.

and K. L. Wang, J. Appl. Phys. 112, 063912 (2012).

35.

A. L. Efros and B. I. Shklovskii, Electronic Properties

16.

Y. Ou, C. Liu, G. Jiang et al. (Collaboration), Adv.

of Doped Semiconductors, Springer, Berlin Heidelberg

Mater. 30, 1703062 (2018).

(1984).

17.

M. Mogi, R. Yoshimi, A. Tsukazaki, K. Yasuda,

36.

N. Borgwardt, J. Lux, I. Vergara, Z. Wang, A.A. Taskin,

Y. Kozuka, K. S. Takahashi, M. Kawasaki, and

K. Segawa, P. H. M. van Loosdrecht, Y. Ando, A. Rosch,

Y. Tokura, Appl. Phys. Lett. 107, 182401 (2015).

and M. Grüninger, Phys. Rev. B 93, 245149 (2016).

18.

J. Henk, M. Flieger, I. V. Maznichenko, I. Mertig,

37.

V. N. Men’shov, V. V. Tugushev, and E. V. Chulkov,

A. Ernst, S. V. Eremeev, and E. V. Chulkov, Phys. Rev.

Europhys. Lett. 114, 37003 (2016).

Lett. 109, 076801 (2012).

38.

V. N. Men’shov, V. V. Tugushev, and E. V. Chulkov,

19.

K. N. Okada, Y. Takahashi, M. Mogi, R. Yoshimi,

JETP Lett. 104, 453 (2016).

A. Tsukazaki, K.S. Takahashi, N. Ogawa, M. Kawasaki,

39.

V. V. Tugushev, V. N. Men’shov, I.A. Shvets, and

and Y. Tokura, Nat. Commun. 7, 12245 (2016).

E. V. Chulkov, J. Magn. Magn. Mater. 459, 335 (2018).

20.

M. Mogi, M. Kawamura, A. Tsukazaki, R. Yoshimi,

40.

V. N. Men’shov, I. A. Shvets, and E. V. Chulkov, Phys.

K. S. Takahashi, M. Kawasaki, and Y. Tokura, Sci. Adv.

Rev. B 99, 115301 (2019).

3, eaao1669 (2017).

41.

V. N. Men’shov, V. V. Tugushev, T. V. Menshchikova,

21.

M. Mogi, T. Nakajima, V. Ukleev, A. Tsukazaki,

S. V. Eremeev, P. M. Echenique, and E. V. Chulkov,

R. Yoshimi, M. Kawamura, K. S. Takahashi,

J. Phys.: Condens. Matter 26, 485003 (2014).

T. Hanashima, K. Kakurai, T. Arima, M. Kawasaki,

42.

V. N. Men’shov, V. V. Tugushev, S. V. Eremeev, P. M.

and Y. Tokura, Phys. Rev. Lett. 123, 016804 (2019).

Echenique, and E. V. Chulkov, Phys. Rev. B 91, 075307

22.

R. Watanabe, R. Yoshimi, M. Kawamura, M. Mogi,

(2015).

A. Tsukazaki, X. Z. Yu, K. Nakajima, K. S. Takahashi,

43.

V. N. Men’shov, V. V. Tugushev, and E. V. Chulkov,

M. Kawasaki, and Y. Tokura, Appl. Phys. Lett. 115,

JETP Lett. 97, 258 (2013).

102403 (2019).

44.

S. V. Eremeev, V.N. Men’shov, V. V. Tugushev,

23.

M. M. Otrokov, I. I. Klimovskikh, H. Bentmann et

P. M. Echenique, and E. V. Chulkov, Phys. Rev. B 88,

al. (Collaboration), Nature, accepted for publication;

144430 (2013).

arXiv:1809.07389.

45.

V. N. Men’shov, V. V. Tugushev, S. V. Eremeev,

24.

R.C. Vidal, H. Bentmann, T. R. F. Peixoto et al.

P. M. Echenique, and E. V. Chulkov, Phys. Rev. B 88,

(Collaboration), Phys. Rev. B 100, 121104 (2019).

224401 (2013).

25.

B. Chen, F. Fei, D. Zhang et al. (Collaboration), Nat.

46.

V. N. Men’shov, I. A. Shvets, V. V. Tugushev, and

Commun 10, 4469 (2019).

E. V. Chulkov, Phys. Rev. B 96, 075302 (2017).

26.

S. H. Lee, Y. Zhu, Y. Wang et al. (Collaboration), Phys.

47.

V. N. Men’shov, I. A. Shvets, V. V. Tugushev, and

Rev. Research 1, 012011(R) (2019).

E. V. Chulkov, J. Magn. Magn. Mater. 459, 231 (2018).

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

792

В.Н.Меньшов, И.А.Швец, Е.В.Чулков

48. S.-Q. Shen, Topological Insulators, Springer, Berlin,

V. V. Tugushev, and E. V. Chulkov, JETP Lett. 94, 629

Heidelberg (2012).

(2011)].

49. H. J. Zhang, C. X. Liu, X. L. Qi, X. Dai, Z. Fang, and

57. J. Zhang, C.-Z. Chang, Z. Zhang, J. Wen, X. Feng, K. Li,

S. C. Zhang, Nat. Phys. 5, 438 (2009).

M. Liu, K. He, L. Wang, X. Chen, Q.-K. Xue, X. Ma,

and Y. Wang, Nat. Commun. 2, 574 (2011).

50. S. V. Eremeev, V. N. Men’shov, V. V. Tugushev, and

E. V. Chulkov, J. Magn. Magn. Mater. 383, 30 (2015).

58. K. L. Scipioni, Z. Wang, Y. Maximenko, F. Katmis,

C. Steiner, and V. Madhavan, Phys. Rev. B 97, 125150

51. H.-Z. Lu, W.-Y. Shan, W. Yao, Q. Niu, and S.-Q. Shen,

(2018).

Phys. Rev. B 81, 115407 (2010).

59. L. B. Abdalla, E. P. José, T. M. Schmidt, R. H. Miwa,

52. Е. К. Петров, И. В. Силкин, Т. В. Меньщикова,

and A. Fazzio, J. Phys.: Condens. Matter 27, 255501

Е. В. Чулков, Письма в ЖЭТФ 109, 118 (2019)

(2015).

[E. K. Petrov, I. V. Silkin, T. V. Menshchikova, and

60. A. Haim, R. Ilan, and J. Alicea, Phys. Rev. Lett. 123,

E. V. Chulkov, JETP Lett. 109, 121 (2019)].

046801 (2019).

53. M. M. Otrokov, T. V. Menshchikova, M. G. Vergniory,

61. Ю. А. Бычков, Е. И. Рашба, Письма в ЖЭТФ 39, 66

I. P. Rusinov, A.Yu. Vyazovskaya, Yu.M. Koroteev,

(1984).

G. Bihlmayer, A. Ernst, P. M. Echenique, A. Arnau, and

62. M. Kawamura, M. Mogi, R. Yoshimi, A. Tsukazaki,

E. V. Chulkov, 2D Mater. 4, 025082 (2017).

Y. Kozuka, K. S. Takahashi, M. Kawasaki, and

54. Э. Т. Кулатов, В. Н. Меньшов, В. В. Тугушев,

Y. Tokura, Phys. Rev. B 98, 140404(R) (2018).

Ю. А. Успенский, Письма в ЖЭТФ 109, 98 (2019)

63. X. Wu, D. Xiao, C.-Z. Chen, J. Sun, L. Zhang,

[E. T. Kulatov, V. N. Men’shov, V. V. Tugushev, and

M. H. W. Chan, N. Samarth, X. C. Xie, X. Lin, and

Yu. A. Uspenskii, JETP Lett. 109, 102 (2019)].

C.-Z. Chang, arXiv:1909.04831.

55. V. N. Men’shov, V. V. Tugushev, and E. V. Chulkov,

64. D. Zhang, M. Shi, K. He, D. Xing, H. Zhang, and

Письма в ЖЭТФ 96, 492 (2012) [V. N. Men’shov,

J. Wang, Phys. Rev. Lett. 122, 206401 (2019).

V.V. Tugushev, and E. V. Chulkov, JETP Lett. 96, 445

65. Y. Gong, J. Guo, J. Li et al. (Collaboration), Chin.

(2012)].

Phys. Lett. 36, 076801 (2019).

56. V. N. Men’shov, V. V. Tugushev, and E. V. Chulkov,

66. Y.-J. Hao, P. Liu, Y. Feng et al. (Collaboration),

Письма в ЖЭТФ 94, 672 (2011) [V. N. Men’shov,

arXiv:1907.03722.

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019