Письма в ЖЭТФ, том 110, вып. 3, с. 149 - 154

Ферромагнитный резонанс и динамика магнитного момента

в системе “джозефсоновский переход-наномагнит”

Ю. М. Шукринов^+∗1), М. Нашаат^+×2), И. Р. Рахмонов^+◦, К. В. Куликов⁺

⁺Объединенный институт ядерных исследований, 141980 Дубна, Россия

^∗Государственный университет “Дубна”, 141980 Дубна, Россия

^×Department of Physics, Cairo University, 12613 Cairo, Egypt

^◦Физико-технический институт им. С. У. Умарова АН РТ, 734063 Душанбе, Таджикистан

Поступила в редакцию 7 мая 2019 г.

После переработки 11 июня 2019 г.

Принята к публикации 11 июня 2019 г.

Нами исследована динамика наномагнита, связанного с джозефсоновским переходом. Несмотря на

очень слабое магнитное поле, создаваемое сверхпроводящим током в переходе, приложенное напряжение

может инициировать нелинейную динамику наномагнита, которая приводит к ряду интересных явлений.

Нами показана возможность ферромагнитного резонанса, когда частота джозефсоновских осцилляций

сравнивается с собственной частотой магнитной системы. Продемонстрирована переориентация легкой

оси наномагнита при увеличении отношения джозефсоновской энергии к магнитной, а также величины

параметра связи джозефсоновского тока с магнитным моментом и частоты джозефсоновских колебаний.

Показана возможность переворота магнитного момента наномагнита импульсом тока, что открывает но-

вые перспективы использования данной системы в области сверхпроводящей спинтроники.

DOI: 10.1134/S0370274X19150025

В последнее время большое внимание привлека-

управления магнитными свойствами барьера посред-

ют модели, описывающие взаимодействие сверхпро-

ством сверхпроводящего тока, а также, в свою оче-

водящего тока и магнитного момента в различных

редь, возможность влияния на джозефсоновский ток

структурах типа

“сверхпроводник-ферромагнетик-

магнитным моментом барьера [1-11]. В работах [3, 6]

сверхпроводник”, которые важны для ряда задач

сообщалось о возможности переориентации легкой

сверхпроводниковой спинтроники [1-4]. В работе [1]

оси намагниченности при наличии спин-орбитальной

было отмечено, что исследования в области спин-

связи. Предполагая начальное положение легкой оси

троники позволяют понять фундаментальные спин-

вдоль оси z, было продемонстрировано, что под дей-

зависящие явления, а также развить приложения

ствием сверхпроводящего тока стабильной ориента-

для компьютерных технологий. В частности, кон-

цией намагниченности становится определенное на-

тролирование магнитного состояния сверхпроводи-

правление между осями z и y, в зависимости от пара-

мостью открывает новые возможности для развития

метров системы. Полученные результаты открыва-

ультрабыстрой криогенной памяти.

ют возможность для разработки эффективного ме-

Связь джозефсоновского перехода (ДП) и магни-

тода определения величины спин-орбитального вза-

та, находящихся в непосредственной близости друг

имодействия в ферромагнитных металлах. Большой

от друга, может быть обусловлена различными меха-

интерес для различных применений вызывает разра-

низмами. Так, спин-орбитальное взаимодействие ти-

ботка новых эффективных методов переворота маг-

па Рашбы приводит к фазовому сдвигу в джозефсо-

нитного момента, в частности, импульсом тока. Та-

новском переходе, пропорциональному магнитному

кие исследования позволят создать элементы памя-

моменту в барьере. В результате возникает так на-

ти и другие элементы для квантовых компьютеров,

зываемый ϕ₀-переход, в котором разность фаз непо-

а также основы для разработки новых устройств для

средственно связана с магнитным моментом в барье-

сверхпроводящей спинтроники.

ре [5, 6], что обусловливает уникальные возможности

Другой механизм связи исследовался работе [11],

где рассматривалось электромагнитное взаимодей-

¹⁾e-mail: shukrinv@theor.jinr.ru

ствие наномагнита с джозефсоновским переходом,

²⁾M. Nashaat.

при котором магнитное поле наномагнита изменяет

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 3 - 4

2019

149

150

Ю. М. Шукринов, М. Нашаат, И. Р. Рахмонов, К. В. Куликов

сверхпроводящий ток, текущий через переход, тогда

[14, 15], которое в нормированных единицах имеет

как магнитное поле, генерируемое в ДП, воздейству-

вид

ет на магнитный момент наномагнита. Отличие от

[

dm_x

Ω_F

работы [6] заключалось в другой геометрии струк-

h_y (m_z - αm_xm_y) -

(1 + m²α²)

туры, характере взаимодействия и конечном нор-

]

(

)

мальном сопротивлении слабой связи, которое учи-

− h_z (αm_xm_z + m_y) + αh_x

m^2y + m^2z

тывалось в данной работе в рамках RSJ (resistively

[

shunted junction) модели [13]. Притягательность мо-

dm_y

Ω_F

- hx (αm_xm_y + m_z) +

дели с чистым электромагнитным взаимодействием

(1 + m²α²)

]

заключается в отсутствии неизвестных параметров,

(

)

что должно быть существенным для ее эксперимен-

+ h_z (m_x - αm_ym_z) + αh_y

m^2x + m^2z

(1)

тальной реализации [11].

dm_z

Ω_F

В настоящей работе нами исследована динами-

1 + m²α² + Ω_Fαǫk(m^2x + m^2y)

ка наномагнита, связанного с джозефсоновским пе-

[

(

)

реходом. Показано проявление ферромагнитного ре-

× αǫ[sin(V t - km_z) + V ]

m^2x + m^2y

зонанса (ФМР) на зависимости максимальной ам-

]

плитуды осцилляций наномагнита от приложенного

- h_y (m_x + αm_ym_z) + hx (m_y - αm_xm_z) ,

к джозефсоновскому переходу напряжения и про-

демонстрирована переориентация легкой оси нано-

где m_i = M_i/M_s - нормированная компонента маг-

магнита при изменении параметров системы. С це-

нитного момента, M_s - магнитный момент насыще-

лью демонстрации перспектив практического приме-

ния, Ω_F = ω_F /ω_c - нормированная частота ферро-

нения исследуемой системы, мы показываем возмож-

магнитного резонанса, ω_c = 2eRI_c/ℏ, I_c - критиче-

ность переворота магнитного момента наномагнита

µ₀M_sl

2π

импульсом тока.

ский ток, k =

√

, a = |rM |, Φ0 - квант

Φ⁰ a

l² + a²

Схематический вид рассматриваемой системы,

магнитного потока, m - абсолютное значение маг-

состоящей из джозефсоновского перехода и свя-

нитного момента, α - параметр гильбертовского за-

занного с ним наномагнита, представлен на рис.1.

тухания, время t нормировано на ω^-1c, напряжение V

Джозефсоновский переход имеет длину l, наномаг-

нормировано на ℏω_c/(2e). Компоненты эффективно-

го магнитного поля h_i в нормированных величинах

определяются выражениями [11]

h_x = 0,

h_y = m_y,

dm_z

h_z = ǫ[sin(V t - km_z) + V ] - ǫk

(2)

где ǫ = Gk, G = ǫ_J /K_anv, ǫ_J = Φ₀I_c/(2π) - джозеф-

соновская энергия, v - объем наномагнита, K_an - по-

стоянная магнитной анизотропии. Компоненты эф-

фективного магнитного поля нормированы на H_F =

= ω_F/γ, где γ - гиромагнитное отношение.

Джозефсоновские осцилляции в переходе воз-

Рис. 1. (Цветной онлайн) Схематический вид рассмат-

буждают прецессию магнитного момента наномагни-

риваемой системы с эквивалентной схемой электриче-

та, что приводит к ферромагнитному резонансу, ко-

ской цепи

гда частота прецессии становится равной собствен-

ной частоте магнитной системы Ω_F . Для описания

нит находится на расстояние a от его центра. Пред-

резонанса система уравнений (1) решалась методом

полагается, что легкая ось наномагнита направлена

Гаусса-Лежандра [12] при фиксированном значении

вдоль y и к джозефсоновскому переходу приложено

напряжения V , в результате чего определялись вре-

напряжение V .

менные зависимости компонент магнитного момен-

Динамика магнитного момента описывается

та, а также рассчитывалась максимальная ампли-

уравнением Ландау-Лифшица-Гильберта (ЛЛГ)

туда осцилляций компонент магнитного момента во

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 3 - 4

2019

Ферромагнитный резонанс и динамика магнитного момента . . .

151

временном домене для каждого заданного значения

ности, если отклонение магнитного момента от рав-

напряжения.

новесного направления из-за взаимодействия с джо-

На рисунке 2a представлены результаты расче-

зефсоновским током мало, т.е., G < 1, и k m_z < 1,

та максимальной амплитуды осцилляций m^maxz как

уравнение ЛЛГ можно линеаризовать. В этом слу-

функции напряжения V на ДП при Ω_F

= 0.5 и

чае резонансная частота определяется выражением

двух значениях параметра затухания α = 0.001 и

√

α = 0.3. В выбранной нами нормировке V

= Ω_J,

√

-a₂ +

a²² - 4a₁

поэтому при напряжении, соответствующем частоте

Ω_Res =

(3)

2a₁

джозефсоновских осцилляций Ω_J = 0.5, наблюдает-

ся пик ферромагнитного резонанснса. Для m^maxx ре-

(

)₂

зультат качественно одинаков, и поэтому не приво-

где a₁ =

α² + αkΩ_F ǫ + 1

и a₂ = 2α² + k²Ω^2Fǫ² +

дится. Увеличение затухания в системе приводит к

+ 2αkΩ_F ǫ - 2.

увеличению ширины резонанса и его сдвигу в сто-

Так, при G = 0.3, k = 0.01. и Ω_F

= 0.5, для

рону меньших частот, что и наблюдается на рис. 2a

α = 0.001 резонансная частота равна Ω_Res ≈ 0.5, а

при α = 0.3. Положение пиков при малых затухани-

для α = 0.3 - Ω_Res ≈ 0.46, что достаточно близко к

значениям, полученным численно (см. рис. 2a).

Ширина резонанса зависит от параметра гиль-

бертовского затухания α, отношения джозефсонов-

ской энергии к энергии наномагнита G, а также па-

раметра связи k. Рисунок 2b демонстрирует влияние

отношения джозефсоновской энергии к энергии на-

номагнита (параметр G) на свойства ферромагнит-

ного резонанса. С ростом G наблюдается уменьшение

резонансной частоты и асимметрия резонансного пи-

ка относительно Ω_J = Ω_F . Аналитические выраже-

ния в этом случае дают Ω_Res ≈ 0.492 при α = 0.1,

G = 0.1, k = 0.01 и Ω_F = 0.5. Однако, при G = 3π

аналитические результаты приводят к завышенным

значениям, это означает необходимость учета членов

более высокого порядка при G ≫ 1. Таким образом,

отклонение m_z в резонансе при определенных значе-

ниях G, k, и α может быть достаточно сильным и

проявляться в экспериментальных условиях.

Другим интересным результатом настоящей ста-

тьи является демонстрация переориентации легкой

оси наномагнита при увеличении отношения джо-

зефсоновской энергии к магнитной, т.е., своеобраз-

ное проявления свойств маятника Капицы в систе-

ме “джозефсоновский переход-наномагнит”. На ри-

сунке 3a показана динамика компонент магнитного

момента m_y(t) и m_z(t) при разных значениях пара-

метра G. Подчеркнем, что в начальный момент вре-

мени магнитный момент направлен вдоль легкой оси

(ось y). Мы видим, что в зависимости от величины

Рис. 2. (Цветной онлайн) (a) - Проявление ФМР на за-

висимости m^maxz(V ). Числа указывают величину гиль-

G при его малых значениях временная зависимость

бертовского затухания α. (b) - Влияние отношения

компоненты m_z(t) выходит на определенное посто-

джозефсоновской энергии к энергии наномагнита G на

янное значение. С ростом G эта зависимость суще-

ширину ФМР для mz. Числа указывают величину G

ственно изменяется, и при G = 3π, осциллируя, m_z(t)

стремиться к единице, т.е., m_y обращается в ноль. Та-

ях хорошо согласуется со значениями частот, следу-

ким образом, происходит переориентация легкой оси

ющих из аналитических формул, полученных нами

наномагнита. В промежуточных состояниях магнит-

на основании линеаризации уравнений ЛЛГ. В част-

ный момент наномагнита ориентирован между ося-

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 3 - 4

2019

152

Ю. М. Шукринов, М. Нашаат, И. Р. Рахмонов, К. В. Куликов

Рис. 3. (Цветной онлайн) Динамика компоненты mz в

зависимости от величины параметра G при k = 0.05,

α = 0.1

ми y и z. Время переориентации уменьшается с рос-

том G.

Динамика m_z при различных значениях джозеф-

соновской частоты Ω_J представлена на рис.4. Мы ви-

дим, что при малых Ω_J компонента m_z прецессиру-

ет вблизи определенного фиксированного значения,

а при больших Ω_J , осциллируя, выходит на единицу.

Известно, что положение устойчивого равновесия

Рис. 4. (Цветной онлайн) (a) - Динамика компоненты

маятника изменяется, если его точка подвеса совер-

mz при ΩJ = 0.5. Пунктирная линия указывает сред-

шает колебания с большой частотой [16] . Отношение

нее значение mz . (b) - То же при ΩJ = 1. (c) - То же

при ΩJ = 2, 3 и 5

джозефсоновской энергии к магнитной (G) соответ-

ствует амплитуде переменной силы в задаче о маят-

нике Капицы, что должно способствовать переори-

где A_s - амплитуда импульса тока, Δt - его длитель-

ентации легкой оси ферромагнетика. Характер на-

ность. Уравнение (4) численно решается совместно c

растания среднего значения m_z в зависимости от от-

системой уравнений (1) с учетом эффективного по-

ношения джозефсоновской энергии к магнитной (G)

ля (2). Отметим, что в (1) и (2) V t заменяется на ϕ,

представлен на рис. 5, который также демонстрирует

а V заменяется на dϕ/dt. Результаты расчета пред-

аналогию с маятником Капицы. Аналогичное пове-

ставлены на рис. 6. В отличии от работы [11] (рис. 3),

дение наблюдается при увеличении параметра связи

где переворот осуществлялся посредством специфи-

джозефсоновской и магнитной подсистем k.

ческого изменения напряжения (линейно уменьша-

Покажем возможность переворота магнитного

ющегося) во времени, в случае использования им-

момента под воздействием импульса внешнего тока.

пульса тока длительность переворота оказывается на

Уравнение, связывающее импульс тока с разностью

два порядка короче по величине, что является суще-

фаз, имеет вид

ственным преимуществом. Отметим, что параметры

расчета в обоих случаях были одинаковыми.

dϕ

dm_z

= I_pulse - sin(ϕ - km_z) + k

;

(4)

До сих пор мы рассматривали влияние джозефсо-

новских осциляций на динамику магнитного момен-

где импульс внешнего тока I_pulse определяется выра-

та наномагнита. Опишем теперь кратко обратный

жением

эффект, т.е., влияние динамики магнитного момен-

{

та на вольт-амперную характеристику джозефсонов-

A_s, t ∈ [t₀ - 1/2Δt, t₀ + 1/2Δt];

ского перехода [17]. Расчет вольт-амперной характе-

Ipulse(t) =

(5)

в остальном интервале,

ристики (ВАХ) проводится для перехода с заданным

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 3 - 4

2019

Ферромагнитный резонанс и динамика магнитного момента . . .

153

для эффективного поля (2) необходимо произвести

замену V t на ϕ.

На рисунке 7 представлены вольт-амперная ха-

рактеристика ДП с наномагнитом и без него (ВАХ

Рис. 5. (Цветной онлайн) Зависимость среднего значе-

ния mz от отношения джозефсоновской энергии к маг-

нитной (G). Числа указывают значение джозефсонов-

ской частоты

Рис. 7. (Цветной онлайн) Вольт-амперная характери-

стика ДП с наномагнитом (сплошная линия, cvc) и без

него (пунктирная линия) вместе с зависимостью мак-

симальной амплитуды mz от напряжения

SIS-перехода) вместе с зависимостью максималь-

ной компоненты m_z от напряжения. Использован-

ные параметры расчета приведены на данном рисун-

ке. ВАХ ДП с наномагнитом демонстрирует особен-

ность, указанную стрелкой, которая отсутствует на

ВАХ ДП без наномагнита. Мы видим, что положе-

ние этой особенности по напряжению соответствует

положению резонансного пика m_z. Таким образом,

прецессия наномагнита проявляется на ВАХ ДП, что

может служить методом контроля его динамики.

Приведем обоснование выбранных значений па-

раметров. Представленные на рис. 2a результаты со-

ответствуют значениям G = 0.3 и k = 0.01, кото-

Рис. 6. (Цветной онлайн) Демонстрация переворота my

импульсом базового тока. На вставке показана форма

рые могут быть достигнуты для джозефсоновского

импульса

перехода с энергией 4.9 · 10^-20 Дж, и наномагнита

радиусом 20 нм и толщиной 6 нм с константой анизо-

током. В этом случае в рамках RCSJ-модели система

тропии 20 кДж/м³ и намагниченностью насыщения

уравнений имеет следующий вид

1420 кА/м, расположенного на расстоянии 300 нм.

[

]

Близкие значения параметров были использованы в

dm_z

I - sin[ϕ - km_z] + V - k

(6)

работах [20-23]. Величины G = 3π, k = 0.05, при

β_c

которых происходит переориентации легкой оси на-

dϕ

номагнита (рис.3), и G = 0.05, k = 0.05, при которых

= V,

(7)

происходит переворот компоненты m_y наномагнита

где ϕ - разность фаз в джозефсоновском переходе,

(рис.6), получаются для джозефсоновских переходов

β_c - параметр МакКамбера. Кроме этого, для рас-

с энергиями 3.3 · 10^-21 Дж и 1.45· 10^-18 Дж, соответ-

чета ВАХ в системе уравнений (1) и в выражение

ственно, с наномагнитом, расположенным на рассто-

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 3 - 4

2019

154

Ю. М. Шукринов, М. Нашаат, И. Р. Рахмонов, К. В. Куликов

янии 65 нм. Приведенные оценки указывают на воз-

L. Cai, D. A. Garanin, and E. M. Chudnovsky, Phys.

можность экспериментальной реализации получен-

Rev. B 87, 024418 (2013).

ных результатов. Отметим, что обоснование исполь-

A. Buzdin, Phys. Rev. Lett. 101, 107005 (2008).

зуемых нами значений параметров и их соответствие

F. Konschelle and A. Buzdin, Phys. Rev. Lett. 102,

экспериментальным условиям обсуждалось также в

017001 (2009).

работах [4, 11].

I. Zutic, J. Fabian, and S. Das Sarma, Rev. Mod. Phys.

В заключение отметим, что нами исследована ди-

76, 323 (2004).

намика наномагнита, связанного с джозефсоновским

A. A. Golubov, M. Y. Kupriyanov, and E. Ilichev, Rev.

переходом, которая обладает целым рядом инте-

Mod. Phys. 76, 411 (2004).

ресных особенностей. Прецессия магнитного момен-

A. I. Buzdin, Rev. Mod. Phys. 77, 935 (2005).

та, обусловленная сверхпроводящим током, приво-

10.

S. Mai, E. Kandelaki, A. F. Volkov, and K. B. Efetov,

дит к ферромагнитному резонансу. Нами продемон-

Phys. Rev. B 84, 144519 (2011).

стрирована переориентация легкой оси наномагнита

11.

L. Cai and E. M. Chudnovsky, Phys. Rev. B 82, 104429

при увеличении частоты джозефсоновских колеба-

(2010).

ний, отношения джозефсоновской энергии к магнит-

12.

P. K. Atanasova, S. A. Panayotova, E. V. Zemlyanaya,

ной, а также величины параметра связи джозефсо-

Yu. M. Shukrinov, I. R. Rahmonov, Lecture Notes in

новского тока с магнитным моментом.

Computer Science 11189, 301 (2019).

Вместе с тем остается ряд неисследованных

13.

К. К. Лихарев, Введение в динамику джозефсонов-

свойств данной системы. В частности, периодиче-

ских переходов, Наука, М. (1985).

ское воздействие на нелинейную систему может

14.

L. D. Landau and E. Lifshitz, Phys. Z. Sowjetunion 8,

приводить к возникновению хаотических состояний

153 (1935).

[18]. Хаос в ДП под действием внешнего электромаг-

15.

T. L. Gilbert, IEEE Transactions on Magnetics 40, 3443

нитного излучения, которое моделируется добавкой

(2004).

к базовому току члена Asinωt ( ω - частота, а A -

16.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика,

амплитуда излучения), рассматривался подробно в

Т. I. Механика, 4-е изд., Наука, М. (1988).

работе [19]. Мы полагаем, что в исследуемой нами

17.

R. Ghosh, M. Maiti, Y. M. Shukrinov, and K. Sengupta,

системе прецессия магнитного момента под действи-

Phys. Rev. B 96, 174517 (2017).

ем сверхпроводящих осцилляций в ДП также может

18.

Yu. M. Shukrinov, A. E. Botha, S. Yu. Medvedeva,

приводить к возникновению хаотических состояний.

M. R. Kolahchi, and A. Irie, Chaos 24, 033115 (2014).

Исследования в этом направлении до настоящего

19.

R. L. Kautz and R. Monaco, J. Appl. Phys. 57, 875

времени не проводились, но, несомнено, являются

(1985).

важными для практических применений данных

20.

P. Mangin and R. Kahn, Superconductivity: an

систем.

introduction, Co-publishing by Springer International

Исследование выполнено при финансовой под-

Publishing AG, Cham, Switzerland and Grenoble

Sciences, Grenoble Cedex 9, France (2017).

держке Российского фонда фундаментальных иссле-

дований в рамках научных проектов 18-02-00318, 18-

21.

R. P. Cowburn, A.O. Adeyeye, and M. E. Welland, New

J. Phys. 1(1), 16 (1999).

32-00950 и 18-52-45011. Численные расчеты в данной

работе выполнены за счет гранта РНФ в рамках про-

22.

L. F. Yin, D. H. Wei, N. Lei, L. H. Zhou, C. S. Tian,

G. S. Dong, X. F. Jin, L. P. Guo, Q. J. Jia, and R. Q. Wu,

екта 18-71-10095.

Magnetocrystalline Anisotropy in Permalloy Revisited -

PRL 97, 067203 (2006).

1. A. Golubov, M. Yu. Kupriyanov, Nature Materials 16,

23.

K. H. J. Buschow, Concise Encyclopedia of Magnetic

156 (2017).

and Superconducting Materials, Elsevier Science,

2. J. Linder and W. A. Jason Robinson, Nat. Phys. 11,

Amsterdam, Netherlands (2005).

307 (2015).

24.

Yu. M. Shukrinov, A. Mazanik, I. R. Rahmonov,

3. Yu. M. Shukrinov, I. R. Rahmonov, K. Sengupta, and

A. E. Botha, and A. Buzdin, Europhys. Lett. 122, 37001

A. Buzdin, Appl. Phys. Lett. 110, 182407 (2017).

(2018).

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 3 - 4

2019