Письма в ЖЭТФ, том 110, вып. 6, с. 368 - 375

Катализ 〈bb〉 конденсата в модели составного хиггса

А. А. Осипов⁺¹⁾, М. М. Халифа^∗×1)

⁺Объединенный институт ядерных исследований, 141980 Дубна, Россия

^∗Московский физико-технический институт, 141701 Долгопрудный, Россия

^×Department of Physics, Al-Azhar University, 11751 Cairo, Egypt

Поступила в редакцию 11 июня 2019 г.

После переработки 12 августа 2019 г.

Принята к публикации 22 августа 2019 г.

Изучается проблема возникновения масс кварков на основе механизма динамического нарушения

SU(2)L × U(1)R симметрии электрослабых взаимодействий. С этой целью используется модель с че-

тырехкварковыми локальными связями, приводящими к формированию 〈tt〉 конденсата и составных

хиггсовских бозонов. Мы показываем, что данный процесс является катализатором

bb конденсации при

наличии сколь угодно малого взаимодействия т’хофтовского типа. Вычислен спектр составных скаляр-

ных возбуждений. Получено выражение для массы стандартного хиггсовского бозона, которое суще-

ственно улучшает согласие модели топ-конденсации с экспериментом. Отмечается, что при выполне-

нии правил сумм Намбу, стандартный бозон Хиггса должен иметь трех партнеров одинаковой массы

∼ 245 ГэВ, отличающихся электрическими зарядами. Обсуждается возможность перехода системы в

кирально-симметричную фазу, что сопровождается соответствующим изменением спектра элементар-

ных возбуждений.

DOI: 10.1134/S0370274X19180036

Проблема возникновения масс в калибровочных

Идея составного хиггсовского бозона, образован-

теориях, включая Стандартную Модель (СМ) элек-

ного в результате действия новой силы (техницвет),

трослабых взаимодействий, решается посредством

приводящей к динамическому нарушению симмет-

механизма Хиггса. При этом бозон Хиггса рассмат-

рии, впервые обсуждалась Вайнбергом [5, 6] и неза-

ривается как фундаментальная частица, а природа

висимо Сасскиндом [7] почти сразу после возникно-

хиггсовского потенциала остается загадкой. Наряду

вения СМ. Однако с появлением точных феномено-

с этим изучаются всевозможные сценарии динами-

логических данных модель техницвета столкнулась с

ческого образования составного хиггсовского бозона.

рядом трудностей [8], что послужило толчком к раз-

Этот механизм навеян плодотворной идеей, незави-

витию моделей, не ставящих перед собой цель объ-

симо высказанной сразу несколькими учеными: Нам-

яснить природу новой фундаментальной силы. Как

бу [1, 2], Ваксом и Ларкиным [3], а также Арбузо-

правило, это модели, обладающие высокой группой

вым, Тавхелидзе, и Фаустовым [4]. Ее суть заключа-

симметрии, за нарушение которой отвечает еще неиз-

ется в том, что теория безмассового фермионного по-

вестная нам динамика (ввиду огромного числа ра-

ля с четырехфермионными взаимодействиями может

бот, появившихся в последнее время, мы ссылаемся

приводить к динамическому нарушению симметрии,

на свежий обзор [9], отражающий современные пред-

как только константа связи данных взаимодействий

ставления о физике, связанной с бозоном Хиггса).

превысит некоторую критическую величину. Нали-

Вопрос динамического нарушения симметрии в

чие критической связи ведет к образованию щели в

теориях с сильной связью интенсивно изучается, и в

фермионном спектре и выпадению бозонного конден-

настоящее время лежит в основе ряда современных

сата. Коллективные возбуждения конденсата прояв-

версий происхождения масс за рамками СМ [10-14].

ляются в виде бозонных мод, а их динамика описы-

Примером тому может служить теория 〈tt〉 конденса-

вается эффективным действием, которое несложно

ции, трактующая огромную (по сравнению с осталь-

установить.

ными кварками) массу топ-кварка, как следствие фа-

зового перехода, связанного с динамическим наруше-

нием SU(2)_L×U(1)_R симметрии электрослабых взаи-

¹⁾e-mail: aaosipov@jinr.ru; mkhalifa@phystech.edu

модействий. Она была развита в работах Теразавы с

368

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 5 - 6

2019

Катализ 〈bb〉 конденсата в модели составного хиггса

369

сотрудниками [15-18]. Идея была поддержана Нам-

В заключение, мы обсудим физические следствия

бу [19], а затем изучалась Миранским, Танабаши и

применения правила сумм Намбу [30], связывающе-

Ямаваки [20, 21] в контексте специфической модели с

го спектр бозонных мод в определенном канале с

четырехкварковыми взаимодействиями. Дальнейшее

доминирующей массой кваркового конденсата m_f ,

развитие идеи связано с работами Марциано [22, 23],

∑m^2boson = 4m^2f. Первоначально это правило обсуж-

а также Бардина, Хилла и Линднера [24]. В послед-

далось Намбу для сверхтекучего³He-B и БКШ мо-

ней работе проведен детальный анализ проблемы tt

дели сверхпроводимости. Позднее [31, 32], оно было

конденсации, который учитывает эффекты ренорм-

обобщено на целый ряд систем, относящихся как к

группового подхода, улучшающие согласие теории с

физике конденсированых сред, так и к релятивист-

экспериментом. В результате было установлено, что

ской теории поля, включая модели топ-конденсации.

хиггсовский бозон может быть сильно связным tt со-

Мы покажем, что правило сумм выполняется и в мо-

стоянием [25], а массы топ-кварка и бозона Хиггса

дели [20], позволяя предсказать массу партнеров ос-

могут быть ассоциированы с наличием стабильной

новного хиггсовского состояния.

инфракрасной фиксированной точки уравнений ре-

Нашей отправной точкой является лагранже-

нормгруппы [26-28].

ва плотность модели [20, 21], которая описывает

Основной проблемой данного подхода, известной

SU(2)_L × U(1)_R калибровочно инвариантные четы-

уже более сорока лет и, в частности, еще раз отме-

рехкварковые взаимодействия, эффективно аппрок-

ченной в недавнем докладе Ямаваки [29], является

симирующие неизвестную нам физику выше некото-

неудовлетворительное описание массы бозона Хиггса

рого масштаба Λ ≫ Λ_EW ≃ 250 ГэВ

m_H = 2m_t. Этот результат был получен в лидирую-

)

щем порядке 1/N_c разложения (здесь m_t = 173 ГэВ -

L_4ψ = g₁

ψ^aLψ^bR

ψ^bRψ^aL

)

масса топ-кварка, а N_c - число цветов у кварково-

+g₂

ψ^aLψ^bR

(iτ₂)^ac (iτ₂)^be

ψ^cLψ^eR

го поля), и основывается на суммировании планар-

)

+g₃

ψ^aLψ^bR

τ^bc3

ψ^cRψ^aL

+ h.c.

(1)

ных однопетлевых фермионных диаграмм, генериру-

емых четырехфермионным взаимодействием tttt, в

Чтобы не загромождать обозначения, мы явно не

скалярном канале, при условии, что константа этого

указываем цветовые степени свободы кварков, по

взаимодействия превышает свое критическое значе-

которым проводится неявное суммирование меж-

ние. При этом обычно предполагается, что

bb кон-

ду полями, указанными в круглых скобках. Здесь

денсат отсутствует, ввиду малости соответствующей

также предполагается суммирование по латинским

константы связи. Мы покажем, что даже при отсут-

(a, b, c, e = 1, 2) повторяющимся индексам, которые

ствии

bb конденсата, четырехкварковые взаимодей-

отвечают ароматическим степеням свободы кварко-

ствия, ответственные за нарушение пространствен-

вых полей. Для простоты анализа мы рассматриваем

ной четности, в лидирующем 1/N_c приближении ве-

кварки третьего поколения. В этом случае

дут к формированию вакуума, в котором масса хигг-

√

(

)

(

)

совской моды выражается формулой m_H =

2m_t,

ψ₁

t_L

что открывает путь к успешному вычислению массы

ψ_L =

(2)

ψ₂

b_L

бозона Хиггса и тем самым решает вышеуказанную

проблему.

Операторы проецирования на киральные состояния

Другой нашей целью является интересное след-

имеют стандартный вид P_R =¹² (1 + γ₅), P_L =¹² (1 -

ствие теории [20, 21], касающееся механизма форми-

- γ₅), где ψ_L = P_Lψ, ψ_R = P_Rψ. Три независимые

рования

bb конденсата. Основываясь на эффектив-

константы g_i имеют размерность [g_i] = M^-2.

ном потенциале теории, полученном в лидирующем

Выражению (1) можно придать несколько иной

по 1/N_c приближении, мы показываем, что катализа-

вид, если отказаться от киральных переменных в

тором

bb конденсации выступают четырехкварковые

пользу билинейных по кварк-антикварковым полям

взаимодействия, отвечающие за образование состав-

комбинаций

ного (tt) бозона Хиггса. При этом другое четырех-

кварковое взаимодействие т’хофтовского типа (при

s_α =

ψτ_αψ, p_α =

ψiγ₅τ_αψ,

(3)

любой сколь угодно малой величине константы свя-

зи) индуцирует процесс выпадения

bb конденсата и

которые можно собрать в 2×2 комплексную матрицу

генерации массы b кварка. Данное физическое явле-

ние имеет отдаленное сходство с эффектом магнит-

Σ=

(s_α + ip_α)τ_α.

(4)

ного катализа, которое мы вкратце обсудим.

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 5 - 6

2019

370

А. А. Осипов, М. М. Халифа

(

)

N_c

[(

)₂

Λ²

Предполагается, что греческий индекс α пробегает

V_eff(σ_α, π_α) =

σ^2α + π^2α

значения α = 0, 1, 2, 3, при этом τ₀ = 1, а τ_i, i = 1, 2, 3

8π²

σ^2α + π²

(

)]

- обычные матрицы Паули. Тогда для (1) имеем

(

)

σ^2α + π^2α

Λ² - Λ⁴ ln

Λ²

g₁

(

)

g₂

(

)

L_4ψ =

Σ^†Σ

det Σ + det Σ^†

+ V (σ_α,π_α),

(10)

g₃

(

)

Σ^†Στ₃

(5)

где мы ввели ковариантное обрезание Λ, чтобы

устранить ультрафиолетовые расходимости в инте-

Отсюда ясно, что первое слагаемое инвариантно от-

грале по 4-импульсам. Наряду с константами че-

носительно локальных U(2)_L×U(2)_R киральных пре-

тырехкварковых взаимодействий, данный параметр

образований, второе (взаимодействие т’хофтовского

рассматривается как естественный атрибут теории,

типа) относительно локальных SU(2)_L ×SU(2)_R пре-

характеризующий масштаб, на котором происходит

образований, а последнее слагаемое не изменяется

динамическое нарушение калибровочной симметрии,

при действии калибровочной группы SU(2)_L×U(1)_R.

генерирующее появление составного хиггсовского со-

Для дальнейшего важно отметить, что взаимодей-

стояния.

ствие с константой связи g₃ нарушает пространствен-

Предполагая, что вакууные ожидания полей σ₀

ную четность и изотопическую симметрию.

и σ₃ могут отличаться от нуля: 〈σ₀〉 = -m₀, 〈σ₃〉 =

Полная теория описывается SU(2)_L × U(1)_R ка-

= -m₃, находим условия минимальности потенци-

либровочно инвариантной лагранжевой плотностью

альной энергии (уравнения щели) для определения

m₀ и m₃.

ψ_Liγ^µD_µψ_L +

ψ^aRiγ^µD_µψ^aR + L_4ψ,

(6)

[m₀(g₁ - g₂) - m₃g₃] = m₀I₀(m²),

(11)

где мы не приводим явные выражения для ковари-

антных производных, поскольку они стандартны и не

[m₃(g₁ + g₂) - m₀g₃] = m₃I₀(m²),

(12)

g²

потребуются в дальнейшем, а также опускаем несу-

щественные для дальнейшего члены электрослабого

где

[

(

)]

лагранжиана.

N_c

Λ²

Чтобы исследовать вакуумную структуру тео-

I₀(m²) =

Λ² - m² ln

(13)

4π²

m²

рии, необходимо получить эффективный потенциал.

С этой целью введем бозонные переменные π_α и σ_α,

и введены следующие обозначения: m² = m²⁰ + m²³ =

в терминах которых лагранжева плотность (6) при-

= (m^2t + m^2b)/2, m_t = m₀ + m₃, m_b = m₀ - m₃.

нимает следующую эквивалентную форму

Массы кварков сильно отличаются, m_t ≫ m_b,

поэтому феноменологически приемлемое решение

ψ (iγ^µD_µ + σ + iγ₅π) ψ - V (π_α, σ_α),

(7)

уравнений щели следует искать вблизи равных зна-

√

[

чений m₀ = m₃ = m/

2, что соответствует массам

√

V (π_α, σ_α) =

(g₁ + g₂)(π²⁰ + σ²ⁱ) +

g²

m_t =

2m, m_b = 0. Данное решение существует, ес-

ли система уравнений (11)-(12) совместна, что ведет

+ (g₁ - g₂)(σ²⁰ + π2i ) -

к условию g₂ = 0 и единственному уравнению

- 2g₃(π₀π₃ + σ₀σ₃ - σ₁π₂ + σ₂π₁)] ,

(8)

[

]

1 - (g₁ + g₃)I₀(m²)

= 0,

(14)

где g² = g²¹ - g²² - g²³. Данная форма удобна для 1/N_c

разложения теории, поскольку здесь можно проин-

которое имеет нетривиальное решение, m = 0, ес-

тегрировать по кварковым полям. В результате ин-

ли сумма g₁ + g₃ превышает критическую величину

тегрирования в однопетлевом приближении имеем

g_c = 4π²/(N_cΛ²).

Итак, уравнение щели имеет решение m_b = 0,

L = iN_cTrln(iγ^µD_µ + σ + iγ₅π) - V (π_α,σ_α).

(9)

только если g₂ = 0. Обратное утверждение, вообще

говоря, неверно. Предположив, что g₂ = 0, помимо

Для получения эффективного потенциала оста-

найденного выше решения, уравнение щели содер-

лось вычислить бесконечную сумму из однопетлевых

жит другое: g₂ = g₃ = 0, m₀ = m₃, где m₀ и m₃

кварковых диаграмм с внешними бозонными полями

являются решением уравнения 1 = g₁I₀(m²). Ясно,

при нулевых значениях их импульсов. Она содержит-

что U(2)_L × U(2)_R кирально симметричное взаимо-

ся в действительной части первого слагаемого. В ре-

действие с константой g₁ > g_c может привести толь-

зультате находим

ко к единственному отвечающему данной симметрии

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 5 - 6

2019

Катализ 〈bb〉 конденсата в модели составного хиггса

371

решению m₃ = 0 и m₀ = m, т.е., m_t = m_b = m. В ре-

В литературе имеются различные точки зрения

зультате можно сделать вывод, что если отсутствует

на происхождение массы b кварка. Так в [20] обсуж-

SU(2)_L×SU(2)_R кирально симметричное взаимодей-

дается механизм, когда b кварк приобретает массу

ствие (g₂ = 0), то масса b-кварка равна нулю. При

от tt конденсата за счет пертурбативного учета че-

этом предполагается, что константы связи удовле-

тырехкваркового взаимодействия с g₂. В работе [11]

творяют условиям: g₁ +g₃ > g_c, g₁ ≤ g_c и g₃ = 0. Дру-

отмечается возможность образования

bb конденсата

гими словами, наличие взаимодействия с отличной

при выполнении условия g₁ + g₃ > g₁ - g₃ > g_c,

от нуля константой связи g₃ - существенное условие

предполагающего тонкую настройку между констан-

для динамической генерации малой массы b-кварка.

тантами g₁, g₃. Установленный здесь механизм суще-

Чтобы продвинуться дальше, нам потребуются

ственно отличается от вышеизложенных. В отличие

уравнения (11) и (12), которые мы запишем в тер-

от [20], мы показали, что, несмотря на малую величи-

минах масс кварков

ну константы связи g₂, имеет место непертурбатив-

ный процесс с образованиемbb конденсата. В отличие

(

)

m^2t + m^2b

от [11], мы установили, что образованиеbb конденса-

1- g₁ +g₂

I₀(m²) = 0,

(15)

2m_tm_b

та никак не связано с величиной разности g₁ - g₃.

m^2t - m^2b

В некотором смысле, обсуждаемый нами фено-

g₃ =

g₂.

(16)

2m_tm_b

мен напоминает хорошо известное явление магнит-

ного катализа, когда наличие постоянного магнит-

Подчеркнем, что данные уравнения содержат всю

ного поля H = 0 является катализатором динами-

информацию о частном случае m_b = 0, рассмотрен-

ческого нарушения киральной симметрии, что ве-

ном выше. Действительно, уравнение (16) позволяет

дет к генерации массы фермионного поля при сколь

вычислить предел

угодно малом притягивающем четырехфермионном

g₂

g₃

взаимодействии между частицами [33-38]. В нашем

lim

(17)

случае роль магнитного поля играет составное поле

g2,mb→0 m_b

m_t

Хиггса, а роль “слабого” четырехфермионного вза-

а уравнение (15) в данном пределе переходит в урав-

имодействия - четырехфермионная вершина с кон-

нение (14). С другой стороны, они описывают более

стантой связи g₂, которая генерирует массу b кварка

общий случай с m_b = 0.

при сколь угодно малой величине данной констан-

Переписав (15) в виде

ты. Конечно, это только поверхностная аналогия, по-

скольку здесь нет уровней Ландау, индуцирующих

g_c

процесс конденсации.

ln (1 + x) ,

(18)

g₁ + αg₂

Для полноты картины имеет смысл привести мас-

совые формулы бозонных мод

где α = (m^2t + m^2b)/(2m_tm_b) и x = Λ²/m², замечаем,

что для существования нетривиального решения, от-

вечающего случаю m_b = 0, должно быть выполнено

m^2˜σ

= 2(m^2t + m^2b),

(20)

условие (g₁ + αg₂) > g_c. С помощью (16) легко уста-

m² = 0,

(21)

πi

новить, что

2g₂

(m^2t +m^2b)

m^2˜π

=m^2˜σ

(22)

(

)

2m^2b

g²I₁(m²)

m_tm

g₁ + αg₂ = g₁ +

g₃ > g₁ + g₃.

(19)

m^2t - m²

где появление фактора

Отсюда следует, что если g₁ + g₃ > g_c, неравенство

(g₁ + αg₂) > g_c будет выполнено. Как нам уже из-

[

(

)

]

N_c

Λ²

вестно, первое неравенство является условием обра-

I₁(m²) =

(23)

4π²

m²

Λ² + m²

зования 〈tt〉 конденсата при 〈bb〉 = 0. Теперь мы ви-

дим, что при наличии сколь угодно малого взаимо-

действия с g₂ > 0, это же условие ведет к формирова-

связано с переопределением полей σ_α → (1/√I1)σα,

нию 〈bb〉 конденсата. Можно сделать вывод, что вза-

π_α → (1/√I1)πα так, чтобы их кинетические члены

имодействие, описываемое вершинами с константами

имели стандартный вид. Массы получены из эффек-

g₁, g₃, которые подчиняются условиям g₁ + g₃ > g_c,

тивного потенциала (10) в Намбу-Голдстоуновской

g₁ < g_c, играет роль катализатора для формирова-

фазе. Для этого была выделена квадратичная по по-

ния ненулевой массы b кварка.

лям часть потенциала и проведена диагонализация

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 5 - 6

2019

6^∗

372

А. А. Осипов, М. М. Халифа

полученной квадратичной формы посредством орто-

mσ0 = 2m_t, но этот случай отвечает слишком тяже-

гонального преобразования

лому b кварку m_b = m_t, так как здесь m₃ = 0.

С уменьшением g₁ константа достигает своего

(x)( cosθ - sinθ

) (x)

(24)

критического значения g₁ = g_c. В подкритической

sin θ

cosθ

области g₁ < g_c для существования нетривиального

где используется следующая идентификация пар

решения необходимо, чтобы величина константы g₃

(x, y) = (σ₃, σ₀), (σ₂, π₁), (π₀, π₃), (π₂, σ₁) и углов

отличалась от нуля, так чтобы в сумме g₁ + g₃ > g_c.

В этом случае решением уравнения щели будут зна-

m_t + m_b

m_t - m_b

cosθ =

√

sin θ =

√

(25)

чения m₀ ≃ m₃. Данный переход сопровождается из-

2(m^2t + m^2b)

менением симметрии лагранжиана, что характерно

Угол близок к θ ≃ π/4, так как m_t ≫ m_b. Следу-

для фазовых переходов второго рода.

ет подчеркнуть, что переход к новым переменным,

Изменение структуры вакуума ведет к измене-

обозначаемым волнистой линией, ведет к состояниям

нию спектра. Действительно, масса хиггсовского бо-

смешанного типа. Так нейтральная голдстоуновская

зона здесь описывается формулой (20). Из которой,

мода π₀ является смесью двух псевдоскалярных со-

в частности, следует, что если пренебречь массой b

стояний π₀ и π₃, а заряженные голдстоуновские моды

√

кварка, масса стандартного хиггсовского бозона при-

√

π₁ ±iπ₂ =

2π^∓ не являются ни скалярами, ни псев-

нимает вид mσ0

2m_t. Фазовый переход отра-

доскалярами, поскольку, как это следует из (24), со-

зился на величине массы составного состояния σ₀,

√

стоят из смеси скалярных σ₁, σ₂ и псевдоскалярных

уменьшив ее в

2 раз. Этот результат принципи-

π₁, π₂ полей.

ально отличается от известного в литературе утвер-

Чтобы выделить дублеты, отвечающие полям

ждения (см., например, [11]) о массе хиггсовского со-

Хиггса, выпишем часть лагранжевой плотности (7),

стояния (m_H = 2m_t), и потенциально может приве-

которая описывает юкавовские взаимодействия ска-

сти к успешному решению проблемы массы хиггса.

лярных бозонов

Действительно, хорошо известно, что учет поправок,

ψ (σ + iγ₅π) ψ = g_bψLH1bR + gt

ψ^aLe_abH^∗1bt_R +

связанных с эффектом калибровочных взаимодей-

ствий в СМ, приводит к возникновению демпфиру-

+g_tψLH2bR - gb

ψ^aLe_abH^∗2bt_R + h.c.,

(26)

√

ющего фактора ≃ 1/

2 [24, 21, 39, 40]. Кроме того,

где отличные от нуля компоненты полностью анти-

учет поправок следующего порядка по 1/N_c (“гра-

симметричного единичного тензора ǫ_ab определены

ничное условие композитности” плюс уравнения ре-

как ǫ₁₂ = -ǫ₂₁ = 1. Здесь мы также ввели два ска-

нормгруппы [24]), дает дополнительный фактор при-

лярных изодублета

мерно той же величины. С учетом данных поправок,

)

(

)

(π₂ + iπ₁

σ₁ - iσ₂

наша формула ведет к феноменологически успешно-

√

H₁ =

H₂ =

(27)

му предсказанию m_H ≃ m_t/

2 = 122ГэВ.

σ₀ - iπ₃

-σ₃ + iπ₀

В качестве дополнительного аргумента в поль-

H₁ отвечает стандартному полю Хиггса, а H₂ второй

√

зу соотношения mσ0 ≃

2m_t приведем соображе-

хиггсовской моде.

ния, аналогичные изложенным в работе [24], а имен-

Юкавовские константы g_t и g_b имеют вид

но, вместо использованного выше метода эффек-

2m_t

2m_b

g_t =

√

g_b =

√

(28)

тивного потенциала, рассмотрим подход, основан-

mσ0

I₁

mσ0

I₁

ный на прямом вычислении однопетлевых фермион-

ных диаграмм. Эти вычисления удобнее всего про-

Сравнивая эти выражения с известным результатом

√

вести в симметричной фазе, хотя они полностью

СМ y_t =

2m_t/v ∼

2g_t, делаем вывод, что

√

эквивалентны аналогичным вычислениям в Намбу-

v = (m^2t + m^2b)I₁/2 ≃ 246ГэВ,

(29)

Голдстоуновском вакууме.

Итак, рассмотрим лагранжеву плотность (7), ко-

где v - вакуумное ожидание поля Хиггса. По нему

торую перепишем в виде

и по известным значениям масс тяжелых кварков

m_t = 173 ГэВ, m_b = 4.18 ГэВ устанавливаем величи-

ну обрезания Λ = 3.0 × 10¹⁰ ГэВ. Она характеризует

(

масштаб, на котором образуется tt конденсат.

L=L_kin +

λ_bψLH1bR + λt

ψ^aLe_abH^∗1bt_R +

)

Заметим, что только в частном случае, когда

+ λ_tψLH2bR - λb

ψ^aLe_abH^∗2bt_R + h.c.

g₂ = g₃ = 0, g₁ > g_c масса H₁ выражается харак-

)

терной для модели Намбу-Иона-Лазинио формулой

m^20H

H^†1H₁ + m^20H

H^†H2

(30)

- 2

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 5 - 6

2019

Катализ 〈bb〉 конденсата в модели составного хиггса

373

где L_kin - кинетическая часть (7), а массовые части

нас интересует только хиггсовская часть модели.

вспомогательных полей H₁ и H₂ и константы λ_t, λ_b

Отметим, что при µ → Λ константы Z_H и λ₀ обра-

имеют вид

щаются в нуль, и лагранжиан переходит в исходный

четырехкварковый. Этим граничным условием до-

m^20H

√

(31)

стигается самосогласованность подхода. Механизм

g₁ +

g²² + g²

спонтанного нарушения симметрии содержится

в выражении

(39), которое при малых значени-

m^20H

√

(32)

g₁ -

g²² + g²

ях µ2 и соответствующем условии на константы,

√

λ_t = cosθ + sinθ,

(33)

g₁ +

g²² + g²³ > g_c, становится отрицательным, что

ведет к ненулевому вакуумному среднему для поля

λ_b = cosθ - sinθ,

(34)

√

〈σ₀〉 = 0.

cosθ =

√

1+g2

(35)

g²²+g²

Чтобы получить спектр, переопределим поля

H_1,2 →

√

H_1,2. При этом имеем

Z_H

√

g₂

sin θ =

√

(36)

λ_t,b

y_t,b

g²² + g²

λ_t,b →

√ ,

(41)

√Z_H =

и θ - угол смешивания, который сейчас выражен

λ₀

λ₀ →

= λ,

(42)

только через константы четырехкварковых взаимо-

Z²

действий, поскольку уравнения щели не используют-

m^2H

1,2

ся. Если мы исключим вспомогательные поля H₁ и

m^2H

→

=M²

(43)

1,2

Z_H

H₂, то придем к исходной четырехфермионной тео-

рии (1). Напротив, для рассмотрения низкоэнергети-

Теперь необходимо перейти к истинному вакуумному

ческой физики можно оставить эффективные хигг-

состоянию σ₀ → σ₀ - v. Это сообщает массу кваркам

совские поля, дополнив лагранжиан индуцирован-

ными калибровочно инвариантными кинетическими

m_t =

√

λ_t, m_b =

√ λ_b,

(44)

Z_H

и 4-бозонными членами, которые можно получить,

выделив лидирующие вклады соответствующих од-

а условием минимума потенциала Хиггса будет

нопетлевых кварковых диаграмм. В результате мы

M² +v²λ = 0. Несложно найти и спектр скалярных_H

приходим к эффективному действию с плотностью

возбуждений

лагранжиана

m^2˜σ

= 2v²λ,

(45)

(

L=L_kin +

λ_bψLH1bR + λt

ψ^aLe_abH^∗1bt_R +

m²

= 0,

(46)

)

πi

√

+ λ_tψLH2bR - λb

ψ^aLe_abH^∗2bt_R + h.c.

g²² + g²³

(

)

m2˜π0 = m^2˜σ

=M^2H

+ λv² =

(47)

+ ΔL_gauge -

m^2H

H^†1H₁ + m^2H

H^†H2

g²Z_H

Z_H

(

)

Первая из этих формул есть обычное выражение для

|D_µH₁|² + |D_µH₂|²

массы хиггсовского бозона в СМ. Рассматриваемая

(

)₂

λ₀

нами модель позволяет представить этот результат

H^†1H₁ + H^†2H₂

(37)

в терминах масс кварков. Действительно,

где при вычислении индуцированных вкладов мы

2v²

v2 (

)

ввели обрезания как на верхнем Λ, так и на нижнем

v²λ =

λ^2t + λ^2b

=m^2t +m^2b.

(48)

Z_H

пределе µ. Эффективные константы имеют вид

Таким образом, прямое вычисление кварковых пе-

N_c

λ₀ = 2Z_H =

(38)

тель в лидирующем по 1/N_c приближении дает уже

2π²

µ²

знакомый нам результат (20).

N_c

(

)

m^2H

=m^20H

Λ² - µ²

(39)

Как хорошо известно, в силу калибровочной

2π²

SU(2) × U(1) симметрии, голдстоуновский бозон

N_c

(

)

m^2H

=m^20H

Λ² - µ²

(40)

поглощается калибровочными полями (механизм

2π²

Хиггса), а фаза комплексного поля -σ₃ + iπ₀ может

Мы не приводим здесь выражения для вклада

быть обращена в нуль. Таким образом, физический

ΔL_gauge, связанного с перенормировкой калибро-

спектр модели представлен четырьмя хиггсовски-

вочных констант фермионными петлями, поскольку

ми состояниями: нейтральными модами

σ₀, σ₃

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 5 - 6

2019

374

А. А. Осипов, М. М. Халифа

√

заряженной модой σ^± = (σ₁ ∓ iσ₂)/

2. Масса σ₀

гический подход, позволяющий получить не толь-

описывается формулой (20), а масса трехкратно

ко эффективный лагранжиан электрослабых взаи-

вырожденной моды σ_i формулой (22). Изложенных

модействий хиггсовских полей, но и использовать

выше аргументов недостаточно, чтобы получить

условия композитности составного хиггсовского по-

численную оценку для массы состояния H₂. За-

ля Z_H = 0, λ₀ = 0, в качестве граничных условий

метим, что формула

(22) охватывает интервал

при последующем рассмотрении уравнений ренорм-

0 ≤ mH2 ≤ ∞. Его нижняя граница достигается в

группы.

точке фазового перехода, где данное состояние ста-

А. А. Осипов благодарит С. Т. Хилл (C. T. Hill)

новится голдстоуновской модой. Верхняя граница

за интерес к работе, поддержку, и полезные об-

достигается при ограничении на константы связи

суждения. А.А.Осипов благодарит Х.Теразава

g² = 0.

(H. Terazawa) за полезную корреспонденцию, а

Формулы (45)-(47) удобны для дальнейшего изу-

также выражает благодарность за поддержку, ока-

чения проблемы путем использования методов ре-

занную Европейской организацией сотрудничества

нормгруппы, например, как это было сделано в [24].

в области науки и технологий в рамках программы

Ниже мы обсудим альтернативный подход, основан-

COST Action CA16201.

ный на использовании правил сумм Намбу [30-32],

которые в данном случае имеют вид

Y. Nambu and G. Jona-Lasinio, Phys. Rev. 122, 345

(1961).

m^2˜σ

+m^2˜σ

≃ 4m^2t,

(49)

Y. Nambu and G. Jona-Lasinio, Phys. Rev. 124, 246

m^2˜σ+ + m^2˜σ- ≃ 4m^t.

(50)

(1961).

√

В. Г. Вакс, А. И. Ларкин, ЖЭТФ 40(1), 282 (1961).

Из них следует, что mσi ≃

2m_t, так как mσ0 ≃

√

Б. А. Арбузов, А. Н. Тавхелидзе, Р. Н. Фаустов, До-

≃

2m_t, т.е. спектр становится почти вырожденным

клады Академии наук СССР 139(2), 345 (1961).

(с точностью до учета ненулевого значения массы b-

S. Weinberg, Phys. Rev. 13, 974 (1976).

кварка).

S. Weinberg, Phys. Rev. 19, 1277 (1979).

Отметим, что аналогичный вывод был сделан в

L. Susskind, Phys. Rev. D 20, 2619 (1979).

работе [32]. Основываясь на глубокой связи процесса

A. Belyaev, A. Coupe, N. Evans, D. Locke, and M. Scott,

спонтанного нарушения симметрии в сверхтекучем

Phys. Rev. D 99, 095006 (2019).

³He-A (который осуществляется по тому же сцена-

S. Dawson, C. Englert, and T. Plehn, Phys. Rep. 816,

рию, т.е., по той же калибровочной группе симмет-

1 (2019).

рии, что и в СМ) и правилах сумм Намбу, авторы

10.

C. T. Hill and E. H. Simmons, arXiv:hep-ph/0203079

высказали гипотезу о существовании двух заряжен-

(2003).

√

ных хиггсовских частиц с массой

2m_t = 245 ГэВ, и

11.

K. Yamawaki, arXiv:1605.01951 [hep-ph] (2016).

нейтрального партнера стандартного бозона Хиггса

12.

J. M. No, V. Sanz, and J. Setford, Phys. Rev. D 93,

с массой около 325 ГэВ. Единственным отличием на-

095010 (2016).

шего рассмотрения является вывод о том, что эти со-

13.

C. T. Hill, P. A. N. Machado, A. E. Thomsen, and

J. Turner, arXiv:1904.04257 [hep-ph] (2019).

стояния вырождены по массе. Таким образом, можно

√

14.

H. Terazawa, QUARK MATTER: From Subquarks to

заключить, что результат mσ0 ≃

2m_t, не противо-

the Universe, Nova Science Publishers, N.Y. (2018).

речит правилу сумм Намбу, но, тем не менее, тре-

15.

H. Terazawa, Y. Chikashige, and K. Akama, Phys. Rev.

бует дальнейшего изучения, которое мы, в первую

D 15, 480 (1977).

очередь, связываем с применением метода ренорм-

16.

H. Terazawa, Phys. Rev. D 22, 184 (1980).

группы.

17.

H. Terazawa, Phys. Rev. D 22, 2921 (1980).

Отдавая предпочтение ренормгрупповому подхо-

18.

H. Terazawa, Phys. Rev. D 41, 3541(E) (1990).

ду, мы опираемся на строгое (при больших N_c) утвер-

19.

Y. Nambu, Quasisupersymmetry, bootstrap symmetry

ждение, что теория составного хиггсовского поля мо-

breaking and fermion masses, in Proc. of 1988 Int.

жет быть ассоциирована с траекторией ренормгруп-

Workshop New Trends in Strong Coupling Gauge

пы СМ [24]. Выход за рамки лидирующего по 1/N_c

Theories, Nagoya, Japan, Aug 24-27 (1988), ed. by

приближения при Λ ≫ m_t может существенно по-

M. Bando, T. Muta, and K. Yamawaki, World Scientific,

влиять на полученные выше результаты [41]. Поэто-

Singapore

(1989); and EFI Report

(89-08),

1989

му, пренебрегая высшими по 1/N_c поправками, мы,

(unpublished).

тем самым, рассматриваем модель с четырехквар-

20.

V. A. Miransky, M. Tanabashi, and K. Yamawaki, Phys.

ковыми взаимодействиями как чисто феноменоло-

Lett. B 221, 177 (1989).

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 5 - 6

2019