Письма в ЖЭТФ, том 110, вып. 7, с. 449 - 455

Взаимное усиление брюнелевских гармоник

В.А.Костин^+∗, Н.В.Введенский^+∗1)

⁺Институт прикладной физики РАН, 603950 Нижний Новгород, Россия

^∗Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, 603950 Н. Новгород, Россия

Поступила в редакцию 29 апреля 2019 г.

После переработки 19 августа 2019 г.

Принята к публикации 29 августа 2019 г.

Предложен и исследован механизм значительного увеличения выхода брюнелевских гармоник - низ-

ших нечетных гармоник, генерируемых в плазме в процессе туннельной ионизации атомов и молекул

интенсивным лазерным импульсом. Этот механизм основан на взаимном усилении гармоник при пара-

метрическом взаимодействии с полем на основной частоте вследствие вырожденного ионизационного

многоволнового смешения, что, как показывают результаты аналитических и численных расчетов, при-

водит к возможности увеличения на несколько порядков интенсивностей генерируемых гармоник.

DOI: 10.1134/S0370274X19190044

Сильное нелинейное взаимодействие атомов и мо-

торой вследствие резкой зависимости скорости тун-

лекул с интенсивными лазерными полями вызывает

нельной ионизации от напряженности поля растет

генерацию гармоник, спектр которых содержит низ-

скачками на каждом полупериоде. Выход таких гар-

коэнергетическую часть (приблизительно до потен-

моник, также называемых брюнелевскими (по имени

циала ионизации мишени) и высокоэнергетическую

автора работы [6]), сильно падает как с увеличени-

часть, содержащую плато (протяженность которого

ем номера гармоники, так и с уменьшением интен-

определяется пондеромоторной энергией свободного

сивности ионизирующего поля, практически исчезая

электрона в лазерном поле) и область резкого за-

при переходе от туннельного к многофотонному ре-

тухания интенсивности гармоник [1, 2]. Физический

жиму ионизации [8]. Для таких сравнительно низко-

механизм генерации высоких гармоник может быть

интенсивных полей оказывается существенным дру-

качественно объяснен на основе трехстадийной моде-

гой механизм генерации низших гармоник, обуслов-

ли, включающей ионизацию, ускорение высвободив-

ленный нелинейным откликом электронов, находя-

шегося электрона полем и рекомбинацию электрона

щихся в связанных состояниях нейтральных атомов

с испусканием фотона [3]. Хотя этот механизм мо-

и ионов [8, 9].

жет также приводить и к генерации низших гармо-

Генерация низших, в частности, брюнелевских,

ник (с энергией фотона меньше потенциала иониза-

гармоник является одним из наиболее перспек-

ции) [4, 5], генерация таких гармоник может быть

тивных способов получения интенсивных ультра-

не связана с рекомбинацией электрона с родитель-

коротких импульсов когерентного излучения в

ским ионом (как и с другими особенностями внут-

длинноволновой части вакуумного ультрафиоле-

риатомной динамики) [6-8]. Такая ситуация соответ-

тового спектрального диапазона (с длинами волн

ствует условиям достаточно сильных полей, когда,

∼100 . . .200 нм). Поскольку этим длинам волн

во-первых, реализуется режим туннельной иониза-

соответствуют частоты переходов электронов в воз-

ции (приводящей к сравнительно высоким значени-

бужденные состояния в атомах и молекулах, такие

ям степени ионизации плазмы) и, во-вторых, можно

источники чрезвычайно востребованы для решения

пренебречь влиянием рекомбинации и особенностей

широкого круга фундаментальных и прикладных

структуры атомных уровней на генерацию гармоник

задач, связанных с диагностикой и спектроскопией

и учитывать только динамику свободных электро-

различных материалов и сред

[10, 11]. Так как

нов в ионизирующем поле. В этом случае генери-

эффективность генерации гармоник, как правило,

руемые гармоники могут быть идентифицированы

достаточно мала (и, кроме того, обычно падает с уве-

как нечетные гармоники в плотности тока свободных

личением номера гармоники), важной и актуальной

электронов в нестационарной плазме, плотность ко-

проблемой для создания соответствующих источ-

ников излучения является поиск путей усиления

¹⁾e-mail: vved@appl.sci-nnov.ru

выхода гармоник [12-15].

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019

449

450

В.А.Костин, Н.В.Введенский

В настоящей работе предлагается и исследуется

нельной, а вероятность ионизации в единицу времени

новый физический механизм значительного увели-

w(|E(t)|) - функцией мгновенного значения модуля

чения выхода брюнелевских гармоник, который ос-

напряженности поля. При этом плотность тока сво-

нован на эффекте их взаимного усиления в процес-

бодных электронов j(t) и плотность плазмы N(t) на-

се параметрического взаимодействия с полем накач-

ходятся из уравнений [6, 8, 9, 16-18]

ки на основной частоте вследствие ионизационно-

∂N

∂j

q^2e

го многоволнового смешения. Как было показано в

= (N_m - N)w(|E(t)|),

(1)

∂t

m_e

предыдущих работах, большое число смешивающих-

ся волн обеспечивается резкой зависимостью вероят-

с нулевыми начальными условиями при t → -∞, где

ности ионизации от напряженности поля, что при-

N_m - плотность нейтральных частиц до начала иони-

водит к возможности эффективной генерации из-

зации.

лучения на комбинационных частотах в различных

Если длительность ионизации τ_i (характерное

спектральных диапазонах [16-18]. Рассматриваемая

время создания плазмы [16-18]) велико по сравнению

в данной работе ситуация представляет собой уни-

с π/ω₁, то вероятность ионизации является прибли-

кальный, не исследовавшийся ранее, пример вырож-

женно периодической функцией t с периодом π/ω₁,

денного ионизационного смешения, когда частота ге-

и, вводя W (t) = w(|E(t)|), удобно записать

нерируемой гармоники может быть множеством раз-

∑

личных способов представлена как комбинационная

W (t) =

W_2k(t)e-2ikω1t,

(2)

частота поля накачки и других брюнелевских гар-

k=-∞

моник. Этим способам, или фотонным каналам вол-

где W_2k(t) = W^∗-2k(t) - плавные комплекснозначные

нового смешения, соответствуют свои вклады в ско-

функции. Здесь W₀ ≡

W - усредненная по π/ω₁ веро-

рость роста поля брюнелевских гармоник, различ-

ятность ионизации, которая оп

[

]

ным образом зависящие от амплитуд и фаз других

∫t

плотность плазмы

N (t) = N_m

1-e^-

-∞

W (t^′) dt^′ в

гармоник.

В первой части данной работы рассмотрим двух-

соответствии с уравнением ∂

N/∂t = (N_m -

Подставляя разложение (2) в первое из уравне-

цветный ионизирующий импульс, состоящий из по-

ля на основной частоте ω₁ и поля его нечетной гар-

ний (1), заменяя в правой части уравнения N на

N, интегрируя получившееся выражение и вынося

моники с номером 2p + 1, и найдем плотность тока,

возбуждаемого этим импульсом в плазме на частоте

медленные (в масштабах периода второй гармоники

другой нечетной гармоники с номером 2q + 1, p = q,

π/ω₁) огибающие W_2k за знак интеграла, получаем

где p, q = 1, 2,

При этом в качестве гармоники

∑

2p + 1 может выступать как поле брюнелевской гар-

N (t) =

N (t) + Re

N_2k(t)e-2ikω1t,

(3)

моники, сгенерированной в плазме в результате ре-

k=1

ализации ионизационного механизма, так и поле (в

где медленные комплексные амплитуды четных гар-

том числе и достаточно интенсивное) низшей нечет-

моник в плотности плазмы N_2k(t), k ≥ 1, даются вы-

ной гармоники, полученной другими методами [19].

ражениями

Запишем зависимость напряженности электрическо-

(

)

N_m -

W_2k

∂ N

W_2k

го поля E от времени t в виде

N_2k ≈

kω₁

kω₁ ∂t

[

]

E(t) = Re A₁(t)e-iω1t + A_2p+1(t)e-i(2p+1)ω1t x0,

Подставляя разложение (3) во второе из уравне-

ний (1), получаем, что

где A_l(t) = E_l(t)e-iϕl (t) - медленная комплексная ам-

∑

∂j

плитуда одноцветной компоненты поля на частоте

= Re F_2q+1(t)e-i(2q+1)ω1t,

∂t

lω₁ с действительной амплитудой E_l(t) > 0 и абсо-

q=0

лютной фазой ϕ_l(t), x₀ - единичный вектор. Рассмат-

где F_2q+1 = F_2q+1x₀ - искомые медленные комплекс-

риваются только низшие гармоники с частотами,

ные амплитуды нечетных гармоник в ∂j/∂t. Для

меньшими атомной. Кроме этого, предполагается,

q = 0,p имеем

что максимальное значение пондеромоторного по-

тенциала q^2eE²¹/4m_eω²¹ велико по сравнению с потен-

iq^2e

∂ N

(W_2qA₁

W_2q+2A^∗1

F_2q+1 ≈

циалом ионизации нейтральных частиц газа, здесь q_e

2m_eω₁

∂t

q+1

)

и m_e - заряд и масса электрона, соответственно.Ука-

W_2q-2pA_2p+1

W_2q+2p+2A^∗2p+1

(4)

занные условия позволяют считать ионизацию тун-

q-p

q+p+1

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019

Взаимное усиление брюнелевских гармоник

451

Чтобы найти W_2k(t), воспользуемся следующим

области интегрирования. Тем самым сведем W_α,β к

приемом. Обозначим фазы одноцветных компонент

произведению двух табличных интегралов для моди-

поля как ζ = ω₁t + ϕ₁ и η = (2p + 1)ω₁t + ϕ_2p+1. Тогда

фицированных функций Бесселя I_k(z) и получим

при любом t вероятность ионизации можно рассмат-

W_α,β(t) ≈ 2w(E₁ + E_2p+1) ×

ривать как значение периодической функции от ζ и

(

) (

)

η, W(t) = w (|E₁(t)cos ζ + E_2p+1(t)cosη|). Расклады-

nE₁

nE_2p+1

×e^-n

Iβ

(8)

вая ее в двойной ряд Фурье, получим

I^α E₁ + E_2p+1

E₁ + E_2p+1

Действуя аналогичным образом, можно показать,

∑

W (t) =

W_α,β(t)e^-iαζ-iβη,

(5)

что выражение (8) справедливо и при E₁ < E_2p+1.

α,β=-∞

Подставим теперь (8) в (7), а (7) в (4) и получим

где коэффициенты Фурье W_α,β даются интегралом

i(2q + 1)e-i(2q+1)ϕ1 j_oscw(E₁ + E_2p+1)

F_2q+1 ≈

q(q + 1)n

W_α,β(t) =

∫t

∑

∫ π

^W(t^′)dt^′

∫ π

×e^-n-

-∞

f_2q+1,βe-iβψ2p+1 ,

(9)

w (|E₁(t)cosζ + E_2p+1(t)cos η|) ×

β=-∞

2π²

-π

-^π

× e^iαζ+iβη dζ dη

(6)

где δ

= nE_2p+1/(E₁ + E_2p+1), j_osc

= N_mq^2e(E₁ +

+ E_2p+1)/m_eω₁ и

для четных α + β и W_α,β ≡ 0 для нечетных. Сравни-

W = 2w(E₁ + E_2p+1)e^-n ×

вая разложения (2) и (5), получаем

∑

I(2p+1)β (n - δ)Iβ (δ)e-iβψ2p+1 ,

(10)

W_2k(t) = e-2ikϕ1

W_{2k-(2p+1)β,β}(t)e-iβψ2p+1 ,

β=-∞

(7)

f_2q+1,β = (n - δ)I^{′2q+1-(2p+1)β}(n - δ)I_β(δ) +

где ψ_2p+1 = ϕ_2p+1 -(2p+1)ϕ₁ - фазовый сдвиг между

δq(q + 1)

гармоникой 2p + 1 и полем на основной частоте.

I_{2q+1-(2p+1)β}(n - δ)I^′β(δ) +

(q - p)(q + p + 1)

Поскольку w(E) - быстрорастущая функция E,

(

)

то основной вклад в интеграл (6) дают области, где

βp(p + 1)(2p + 1)

+ 1+

аргумент w близок к своему максимальному значе-

(q - p)(q + p + 1)(2q + 1)

нию: |E₁(t) cos ζ + E_2p+1(t) cos η| ≈ E₁(t)+E_2p+1(t). Та-

× I_{2q+1-(2p+1)β}(n - δ)I_β(δ).

(11)

ким образом, в этом интеграле можно использовать

В получившемся выражении (9) происходит сум-

приближение w(E) ≈ w(E₁ + E_2p+1)e^-nenE/(E1+E2p+1),

мирование по различным фотонным каналам много-

в котором приближающая функция сохраняет зна-

волнового ионизационного смешения, т.е. по различ-

чение и первую производную при E = E₁ + E_2p+1

ным способам представления частоты (2q + 1)ω₁ как

и быстро спадает с уменьшением E, где n = (E₁ +

комбинации частот ω₁ и (2p+1)ω₁, а величины f_2q+1,β

+ E_2p+1)w^′(E₁ + E_2p+1)/w(E₁ + E_2p+1) ≫ 1 определя-

можно рассматривать как парциальные амплитуды

ет порядок ионизационного волнового смешения [16-

(или “силы”) различных каналов. Величина |β| при

18]. В результате получим

этом играет роль минимального числа задействован-

e^-nw (E₁ + E_2p+1)

ных квантов гармоники 2p + 1. Множественность та-

W_α,β(t) ≈

2π²

ких представлений отражает вырожденный харак-

∫ π



∫ π



cos ζ

nE2p+1

cos η



 n

тер волнового смешения в рассматриваемом случае

E1+E2p+1

^e^iαζ+iβη

dζ dη.

(когда основное поле смешивается со своей нечет-

-π

-^π

ной гармоникой), что отличает его от работ [16-18],

Пусть E₁ ≥ E_2p+1, тогда область, где величина под

где рассматриваются невырожденные случаи и сме-

модулем отрицательна, дает малый вклад в интеграл

шение обеспечивается лишь одним фотонным кана-

(так как значение модуля в экспоненте оказывает-

лом. Именно это вырождение обуславливает описан-

ся малым по сравнению с максимальным значени-

ные далее более сложные зависимости амплитуды ге-

ем, равным 1) и знак модуля можно опустить. При

нерируемой брюнелевской гармоники от параметров

этом интервал интегрирования по ζ можно расши-

ионизирующего импульса (в частности, от фазового

рить до (-π, π), так как подынтегральное выраже-

сдвига ψ_2p+1) и лежит в основе эффекта взаимно-

ние оказывается пренебрежимо мало в добавленной

го усиления гармоник. Обратим внимание на то, что

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019

2^∗

452

В.А.Костин, Н.В.Введенский

выражение (10) для усредненной вероятности иони-

моники 2q + 1 по сравнению с одноцветным случаем,

зации усложняется по сравнению с невырожденным

а при ψ_2p+1 = π каналы полностью компенсируют

случаем и также представляет собой суммирование

друг друга и генерация гармоники 2q + 1 оказывает-

по различным “фотонным каналам ионизации”, т.е.

ся подавленной (полагается, что nE_c/2E₁ ≪ 1). Чем

по различным способам представления нулевой час-

больше q, тем меньше E_c и при тем более слабых

тоты как комбинации ω₁ и (2p + 1)ω₁. Важно отме-

гармониках 2p + 1 канал с β = 1 начинает домини-

тить, что в сумме (10) необходимо учитывать сла-

ровать и определять процесс генерации гармоники

гаемые с β = 0 уже при достаточно слабых доба-

2q + 1. Как ясно из представленного вывода, полу-

вочных гармониках. Это, в частности, проявляется в

ченные аналитические формулы могут быть исполь-

том, что наличие слабых добавочных гармоник мо-

зованы и в одноцветном случае. В частности, фор-

жет привести к значительному изменению (завися-

мула (12) удобна для анализа формы спектра гармо-

щему от ψ_2p+1) усредненной вероятности ионизации.

ник, например, из нее непосредственно следует, что

Этот эффект также присущ именно вырожденному

масштаб спадания амплитуд гармоник с увеличени-

случаю и отсутствует в невырожденном, например,

ем номера определяется

√n.

при добавлении к полю на основной частоте его чет-

Полученные аналитические результаты подтвер-

ных гармоник.

ждаются численным решением уравнений (1), из ко-

Как известно, при фиксированном аргументе мо-

торого находился нормированный выход гармоник

дифицированные функции Бесселя быстро спадают

)₂

∫ ∞^(∂j

2q+1

с ростом порядка; для больших аргументов харак-

Y_2q+1 =

dt,

(15)

(q_eN_mv_a)²ω_a

∂t

терный масштаб спадания определяется корнем из

-∞

аргумента. Поэтому для не слишком больших n ∼

где v_a ≈ 2.19 × 10⁸ см/с и ω_a ≈ 4.13 × 10¹⁶ с^-1 - атом-

∼ 10 . . .100 лишь несколько слагаемых в суммах (9)

ные единицы скорости и частоты, а j_2q+1 получается

и (10) оказываются существенными, а формула (11)

из j с помощью идеального полосового фильтра с по-

предоставляет инструмент для оценки того, какие

лосой пропускания от 2qω₁ до 2(q + 1)ω₁. Использо-

фотонные каналы ионизационного смешения нужно

валась эмпирическая формула для вероятности тун-

учитывать. При nE_2p+1 ≪ 2E₁ для соседних нечет-

нельной ионизации атома водорода [20]

ных гармоник, когда q = p ± 1, важны лишь каналы

с β = 0 и β = 1. Канал с β = 0 - единственный

E_a

-12^EE

w(E) = 4ω_a

e-3

a ,

(16)

канал, который присутствует и в одноцветном слу-

чае, при E_2p+1 = 0. Для его реализации необходимо

где E_a ≈ 5.14 × 10⁹ В/см - атомная единица поля.

2q + 1 квантов основного поля и ноль квантов гар-

Выбирались гауссовы огибающие компонент поля,

√

моники 2p + 1. Для канала c β = 1 - всего два кван-

E_l =

8πS_l/ce-t2/2τ2 , где S_l - максимальные интен-

та основного поля и один квант более слабого поля

сивности компонент, c - скорость света в вакууме и

√

гармоники 2p + 1. При достаточно больших 2q + 1

τ = τp/

(4 ln 2), где τp - полная длительность по

канал с β = 0 может оказаться менее существенным

уровню 1/2 от максимальной интенсивности.

даже для очень слабой гармоники 2p + 1, в чем мож-

На рисунке 1 показаны зависимости максималь-

но убедиться, сопоставив значения соответствующих

ного и минимального по ψ_2p+1 выхода гармоники

коэффициентов:

Y_2q+1 от S_2p+1. Как видно, лучше усиливаются гар-

моники с q > p (рис. 1a-c), при этом усиление мо-

f_2q+1,0 ≈ nI^′2q+1(n) + I_2q+1(n),

(12)

жет происходить на несколько порядков. Из рисун-

(

q² + q + 1

)δ

ков 1a, b можно видеть, например, что к увеличению

f_2q+1,1 ≈ nI^′2(n) ± 2

I₂(n)

(13)

2q + 1

более, чем на порядок выхода 5-й и 7-й гармоник мо-

жет привести добавление 3-й гармоники с интенсив-

Конкуренция между двумя каналами обу-

ностью порядка 1 % от накачки, а из рис. 1c, - что

славливает зависимость выхода гармоники

при добавлении 5-й гармоники усиление 7-й на поря-

2q + 1 от ψ_2p+1 и амплитуды E_2p+1,

|F_2q+1|²

∝



док происходит уже при интенсивностях на 4 . . . 5 по-

∝

f_2q+1,0 + f_2q+1,1e-iψ2p+1

². При E_2p+1

= E_c,

рядков меньших интенсивности основного поля. Из

где

рисунка 1c также видно, что уже при относитель-

(n)

2E1 nI′2q+1(n) + I2q+1

E_c ≈

(14)

но слабых добавочных гармониках минимальный по

n nI^′2(n) ± 2q2+q+12q+1 I₂(n)

ψ_2p+1 выход Y_2q+1 превышает уровень, соответству-

вклады от обоих каналов сравниваются по модулю.

ющий отсутствию добавочной гармоники, и усиле-

При ψ_2p+1 = 0 происходит удвоение амплитуды гар-

ние имеет место при любых ψ_2p+1. Это означает, что

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019

Взаимное усиление брюнелевских гармоник

453

Рис. 1. (Цветной онлайн) Найденные из численного решения уравнений (1), (16) зависимости максимального (сплош-

ные кривые) и минимального (штриховые кривые) по фазовому сдвигу нормированного выхода Y2q+1, даваемого

формулой (15), гармоники с номером 2q + 1 от интенсивности S2p+1 гармоники с номером 2p + 1. Точечные гори-

зонтальные прямые отмечают значения Y2q+1 при S2p+1 = 0. Параметры ионизирующего импульса: длительность -

τp = 50 фс, интенсивность основного поля - S1 = 10¹⁴ Вт/см² (кривые 1) и 3 × 10¹⁴ Вт/см² (кривые 2), его абсолютная

фаза - ϕ1 = 0, (a) p = 1, q = 2, (b) p = 1, q = 3, (c) p = 2, q = 3, (d) p = 2, q = 1, (e) p = 3, q = 1, (f) p = 3, q = 2

в этом случае становятся не столь существенными

≈ (1+f_2q+1,1/f_2q+1,0)². В частности, с помощью этих

требования на обеспечение определенного фазового

формул можно сопоставить между собой уровни пла-

сдвига и его стабильности, в частности, на фазовый

тообразных участков кривых при больших интенсив-

синхронизм между полем на основной частоте и до-

ностях. Эти плато соответствуют условиям, когда

бавочной гармоникой при их совместном распростра-

существенны эффекты истощения нейтральных час-

нении на длинные дистанции.

тиц и финальная степень ионизации близка к едини-

На рисунке 2 изображены зависимости от S₁

це (при интенсивностях выше 4 × 10¹⁴ Вт/см²), при

максимальных по ψ_2p+1 коэффициентов усиления

этом значение n почти не зависит от интенсивности

H_2q+1 = Y_2q+1(S_2p+1 = εS₁)/Y_2q+1(S_2p+1 = 0) гар-

и оказывается примерно равным 5. Следует также

моники 2q + 1 при добавлении гармоники 2p + 1 с

отметить, что приведенные на рис.2 графики демон-

максимальной интенсивностью на уровне ε = 10^-2 и

стрируют, что наличие добавочной гармоники 2p + 1

10^-3 от S₁. Показаны результаты, полученные как с

может сильно увеличить выход гармоники 2q + 1 в

помощью прямого численного интегрирования урав-

условиях, когда существенно истощение нейтраль-

нений (1) и (16), так и на основе полуаналитических

ных частиц и простое увеличение интенсивности ос-

∫_∞

оценок Y_2q+1

≈ (2ω_a)^-1(q_eN_mv_a)^-2

|F_2q+1|² dt,

новного поля практически не меняет выхода гармо-

-∞

где F_2q+1 определяется формулами (9)-(11). При

ник и лишь приводит к уменьшению эффективно-

этом в сумме (9) по фотонным каналам β оставля-

сти обратно пропорционально интенсивности S₁ (см.

лись лишь два (для соседних гармоник |q - p| = 1)

вставку на рис.2e, где показаны выходы брюнелев-

или три (для |q-p| = 2) канала, а в сумме (10) - лишь

ских гармоник в зависимости от интенсивности ос-

каналы с |β| ≤ 1. Как видно, даже в условиях, когда

новного поля при отсутствии добавочных гармоник).

δ ≳ 1 и формулы (12) и (13), строго говоря, неприме-

Во второй части работы рассмотрим вопрос о том,

нимы, усиление соседних гармоник (рис. 2a, c, d, f) хо-

генерируются ли гармоники в таких фазах, чтобы

рошо интерпретируется влиянием всего двух фотон-

взаимно усиливать друг друга. Для ответа на этот

ных каналов. При этом поведение кривых качествен-

вопрос рассмотрим взаимодействие между полем на

но описывается формулами (12) и (13) при H_2q+1 ≈

основной частоте и соседними нечетными гармони-

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019

454

В.А.Костин, Н.В.Введенский

Рис. 2. (Цветной онлайн) Зависимости максимального по фазовому сдвигу коэффициента усиления H2q+1

= Y2q+1(S2p+1 = εS1)/Y2q+1(S2p+1 = 0) выхода гармоники 2q + 1 при добавлении гармоники 2p + 1 с максималь-

ной интенсивностью на уровне ε = 0.01 (кривые 1) и 0.001 (кривые 2) от максимальной интенсивности S1 по-

ля на основной частоте. Сплошные кривые соответствуют нормированным выходам Y2q+1, найденным с помощью

формулы (15) из численного решения уравнений (1), (16); штриховые - оценкам нормированных выходов Y2q+1 =

∫_∞

= (2ωa)^-1(qeNmva)^-2

-∞

|F2q+1|² dt, полученным с помощью аналитических формул (9)-(11), при этом в ряде (9)

оставлялись только два слагаемых с β = 0, 1 для панелей (a), (c), (d), (f) и три слагаемых с β = 0, 1, 2 для панелей (b)

и (e), а в ряде (10) - только слагаемые с β = -1, 0, 1. На вставке панели (e) изображены зависимости выхода гармоник

Y2q+1 от S1 при отсутствии добавочной гармоники для q = 1, 2, 3; отметки в квадратах на кривых показывают номер

гармоники 2q + 1. Параметры ионизирующего импульса: длительность - τp = 50 фс, его абсолютная фаза - ϕ1 = 0, (a)

p = 1, q = 2, (b) p = 1, q = 3, (c) p = 2, q = 3, (d) p = 2, q = 1, (e) p = 3, q = 1, (f) p = 3, q = 2

ками 2s ± 1, где s = 2, 3

Для описания эффектов

гаемых с β = 0 и 1, которые даются формулами (12)

распространения гармоник в пространстве в прене-

и (13). В результате получим линейную систему

брежении дисперсией запишем полное (трехцветное)

∂A_2s±1

поле в виде

=R_±e-i(2s±1)ϕ1 + Q_±e∓2iϕ1A_2s∓1,

(17)

∂z

[

где R_± и Q_±

- положительные константы.

E(z, t) = x₀ Re

A₁(ξ, z)e-iω1ξ +

Когда

∂N¯/∂t максимально, можно записать

]

+ A_2s-1(ξ, z)e-i(2s-1)ω1ξ + A_2s+1(ξ, z)e-i(2s+1)ω1ξ

(4πq^2e/m_e)∂

N/∂t ≈ ω^2p/τ_i и

ω^2p

I^′2s±1(n) + I_2s±1(n)/n

где ξ = t - z/c, z - координата вдоль направления

R_± ≈

|A₁| ,

4ω²¹cτ_is(s ± 1)

I₀(n)

распространения волн. Будем считать, что амплиту-

(

)

ω^2p

±s² + s ± 1

да сильного поля на основной частоте меняется слабо

Q_± ≈

n+2

при распространении и ∂A₁/∂z = 0. Для полей гар-

8ω²¹cτ_is(s ± 1)

2s ± 1

моник можно записать укороченные уравнения [21]

где ω_p = [4πN(ξ → +∞)q^2e/m_e]^1/2 - плазменная час-

тота после прохождения ионизирующего импульса,

∂A_2s±1

2πi

F_2s±1.

τ_i - длительность ионизации. Решая уравнения (17)

∂z

(2s ± 1)ω₁c

с начальными условиями A_2s±1(z = 0) = 0, находим,

что гармоники генерируются в фазах, обеспечиваю-

Для нахождения F_2s±1 используется уравнение (9) с

щих их взаимное параметрическое усиление:

q = s, p = s - 1 для верхнего знака и q = s - 1, p = s

ei(2s±1)ϕ1 A_2s±1 = E_c± (coshγz - 1) + E_o± sinhγz,

для нижнего при δ ≪ 1. В сумме остаются два сла-

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019

Взаимное усиление брюнелевских гармоник

455

где

A. L’Huillier, K. J. Schafer, and K.C. Kulander, J. Phys.

B: At. Mol. Opt. Phys. 24, 3315 (1991).

√

γ =

Q₊Q_- =

В. В. Стрелков, В. Т. Платоненко, А. Ф. Стержантов,

√

[

(

)]

М. Ю. Рябикин, УФН 186, 449 (2016).

ω^2p

4s²(n + 1)² -

n+2

s² + 1

(18)

P. B. Corkum, Phys. Rev. Lett. 71, 1994 (1993).

8sω²¹cτ_i

(4s² - 1)(s² - 1)

J. A. Hostetter, J. L. Tate, K. J. Schafer, and

M. B. Gaarde, Phys. Rev. A 82, 023401 (2010).

– пространственный инкремент роста амплитуд гар-

W.-H. Xiong, J.-W. Geng, J.-Y. Tang, L.-Y. Peng, and

моник, E_c± = R_∓/Q_∓ - характерные поля (14), при

Q. Gong, Phys. Rev. Lett. 112, 233001 (2014).

которых сравниваются вклады от двух каналов мно-

F. Brunel, J. Opt. Soc. Am. B 7, 521 (1990).

говолнового смешения, E_o± = R_±/γ - характерное

Н. Е. Андреев, М. Е. Вейсман, М. В. Чеготов, ЖЭТФ

поле гармоники 2s ± 1, которое генерировалось бы

124, 612 (2003).

в плазме длины L = 1/γ без взаимного усиления

E. E. Serebryannikov and A. M. Zheltikov, Phys. Rev.

гармоник. Для длины волны основного поля 800 нм,

Lett. 113, 043901 (2014).

длительности ионизации τ_i ≈ 5 фс, n ≈ 5 и плотно-

U. Sapaev, A. Husakou, and J. Herrmann, Opt. Express

сти плазмы, отвечающей полной ионизации газа ат-

21, 25582 (2013).

мосферного давления, получаем характерные длины

10.

M. Chini, X. Wang, Y. Cheng, Y. Wu, D. Zhao,

усиления L ≈ 0.5 мм для 3-й и 5-й гармоник (s = 2)

D. A. Telnov, S.-I Chu, and Z. Chang, Sci. Rep. 3, 1105

и L ≈ 1.5мм - для 5-й и 7-й (s = 3).

(2013).

В заключение, как показали результаты анали-

11.

H. Tao, T. K. Allison, T. W. Wright, A. M. Stooke,

тических и численных исследований, взаимное уси-

C. Khurmi, J. van Tilborg, Y. Liu, R. W. Falcone,

ление низших нечетных (брюнелевских) гармоник

A. Belkacem, and T. J. Martinez, J. Chem. Phys. 134,

в процессе их параметрического взаимодействия с

244306 (2011).

производящим туннельную ионизацию полем накач-

12.

K. Schiessl, E. Persson, A. Scrinzi, and J. Burgdörfer,

ки может на несколько порядков увеличить их ин-

Phys. Rev. A 74, 053412 (2006).

тенсивность и обеспечить также сильную перекач-

13.

S. V. Popruzhenko, D.F. Zaretsky, and W. Becker, Phys.

Rev. A 81, 063417 (2010).

ку энергии вверх по спектру, компенсируя спадание

14.

G. Lambert, A. Andreev, J. Gautier, L. Giannessi,

амплитуд гармоник с ростом их номеров. При этом

V. Malka, A. Petralia, S. Sebban, S. Stremoukhov,

вследствие резкой зависимости скорости ионизации

F. Tissandier, B. Vodungbo, and P. Zeitoun, Sci. Rep.

от напряженности поля и, соответственно, большого

5, 7786 (2015).

числа смешивающихся волн, данный эффект соглас-

15.

Q.-L. Guo, P.-C. Li, X.-X. Zhou, and S.-I Chu, Opt.

но формуле (18) в случае подавления вызванной дис-

Commun. 410, 262 (2018).

персией фазовой рассинхронизации (например, с ис-

16.

V. A. Kostin, I. D. Laryushin, A. A. Silaev, and

пользованием методов, применяемых при генерации

N. V. Vvedenskii, Phys. Rev. Lett. 117, 035003 (2016).

высоких гармоник [2, 21]), может быть достигнут на

17.

А. А. Силаев, В. А. Костин, И. Д. Ларюшин,

весьма умеренных (∼ 1 мм) трассах взаимодействия.

Н. В. Введенский, Письма в ЖЭТФ 107, 160 (2018).

Работа в части выполнения численных расче-

18.

V. A. Kostin and N.V. Vvedenskii, Phys. Rev. Lett. 120,

тов поддержана Российским научным фондом (грант

065002 (2018).

#18-72-00103).Аналитические исследования поддер-

19.

D. Rompotis, T. Gebert, M. Wieland, F. Karimi, and

жаны Российским фондом фундаментальных иссле-

M. Drescher, Opt. Lett. 40, 1675 (2015).

дований (гранты # 18-02-01150 и 19-52-12053) и фон-

20.

X. M. Tong and C. D. Lin, J. Phys. B: At. Mol. Opt.

дом “Базис” (грант # 19-1-2-52-1).

Phys. 38, 2593 (2005).

21.

V. V. Strelkov, Phys. Rev. A 93, 053812 (2016).

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019