Письма в ЖЭТФ, том 110, вып. 7, с. 465 - 473

Нестационарное резонансное туннелирование в диодной

двухбарьерной структуре

М. В. Давидович¹⁾

Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского,

410012 Саратов, Россия

Поступила в редакцию 18 июня 2019 г.

После переработки 17 августа 2019 г.

Принята к публикации 19 августа 2019 г.

Представлена новая модель нестационарного туннелирования без введения граничных условий, опи-

сывающая совместное решение нестационарного уравнения Шредингера и уравнения Пуассона. Модель

основана на интегральном уравнении, полученном методом нестационарной функции Грина. Эта функ-

ция реализует пространственную нелокальность волнового пакета, но решение достаточно искать в ко-

нечной области. Рассмотрение выполнено для двухбарьерного резонансно-туннельного диода.

DOI: 10.1134/S0370274X19190068

Нестационарное резонансное туннелирование ле-

рывности плотности потока и возникновения cкач-

жит в основе работы туннельных вакуумных диод-

ка производной волновой функции (ВФ), пропорци-

ных и триодных структур [1-4], туннельных дио-

ональной множителю перед дельта-функцией. Урав-

дов, транзисторов, приборах на эффекте Джозефсо-

нение Шредингера решается совместно с уравнением

на, а также в основе принципов работы ряда дру-

Пуассона.

гих устройств и структур [5-20]. Весьма интерес-

В ряде работ [15-21] применены нестационар-

ный для них эффект - резонансное туннелирова-

ные когерентные модели на основе УШ и уравнения

ние [5-20], на котором основана работа резонанс-

Пуассона, использующие приближенные локальные

ных туннельных диодов (РТД) [5] и резонансных

в пространстве граничные условия (см. [31-34]) при

туннельных транзисторов (РТТ). Как вакуумные

более строгой ступенчатой аппроксимации потенци-

РТД и РТТ c многоэлектродной управляющей сет-

альной функции. Получение согласованных (не даю-

кой [3, 4], так и аналогичные полупроводниковые

щих отражения поглощающих) граничных условий

структуры перспективны для освоения ТГц диа-

для УШ и волновых уравнений рассмотрено в ря-

пазона [5-21]. Резонансное туннелирование также

де работ, например, [31-33]. Следует отметить, что

рассмотрено в углеродных нанотрубках [22], графе-

вводимые граничные условия достаточно сложны и

новых структурах [23], диодных и транзисторных

не локальны во времени [33], поэтому часто они за-

структурах с квантовыми точками [24-27], вклю-

меняются на приближенные [20]. Другой подход ос-

чая одноэлектронные транзисторы. Важным явля-

нован на туннельном гамильтониане, представлен-

ется расчет переходных и других временных про-

ном через операторы рождения-уничтожения час-

цессов. Переходные процессы для РТД рассчитаны

тиц на двух берегах туннеля и коэффициенты тун-

в ряде работ [16, 17, 20, 21, 25-30]. Для нестационар-

нелирования [29]. Общим подходом можно считать

ного туннелирования в литературе используется ряд

статистический метод неравновесных функций Гри-

моделей. В [12-21] использованы модели на осно-

на, позволяющий учесть ряд эффектов, таких как

ве уравнения Шредингера (УШ) и уравнения Пуас-

электрон- фононное или электрон-электронное взаи-

сона в конечной области с использованием локаль-

модействия в области барьера, релаксацию импуль-

ных в пространстве граничных условий. В частно-

са, многочастичность, туннельный термоток и ряд

сти, в [12-16] рассмотрены модели РТД с резонанс-

других эффектов. Однако общность подхода услож-

ным туннелированием, когда барьеры представляют

няет окончательные результаты. Используются так-

собой дельта-функцию, при этом используются ре-

же кинетические подходы на основе формализма

шения УШ во внутрибарьерной и внебарьерной об-

Вигнера, включающего самосогласованные потенци-

ластях, которые затем сшиваются из условий непре-

алы и граничные условия [30, 34]. Основная проблема

во всех подходах - нелокальность волновой функ-

¹⁾e-mail: davidovichmv@info.sgu.ru

ции, нелокальность матрицы плотности и функции

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019

465

466

М. В. Давидович

Вигнера-Вейля, открытость и неравновесность. Это

требует введения специальных согласованных гра-

ничных условий [31-34] для моделирования в конеч-

ной области.

В данной работе на основе нестационарного УШ

предложена простая модель, не требующая введения

граничных условий и учитывающая пространствен-

ную нелокальность волновой функции (ВФ). Модель

основана на функции Грина (ФГ) для УШ. Имен-

но, рассмотрены конечные барьеры с их аппрокси-

мацией трапецеидальной и прямоугольной формами,

а ВФ считается единой и нелокальной в простран-

стве и времени, удовлетворяющей УШ, при этом по-

тенциал считается отличным от нуля в конечной об-

Рис. 1. Профиль потенциальной функции V (x) для

ласти. Наиболее просто модель реализуется для од-

симметричной двухбарьерной структуры (a) (отсчет

носкоростного падающего со стороны истока потока

энергии от дна зоны проводимости катода), и его иска-

частиц. Пространственная нелокальность ВФ - ос-

жение (b) при подаче на анод напряжения Ua (отсчет

новное свойство решений нестационарного УШ [15-

энергии от дна зоны проводимости анода)

21,33-39]. Эта нелокальность - одна из причин труд-

ности определения времени туннелирования волно-

можно взять за максимум E = E_F + 0.026 эВ. При

вого пакета (ВП) через барьер (далее ВФ и ВП для

этом токи обоих направлений одинаковы, а полный

нестационарного УШ считаем синонимами). Имеет-

ток равен нулю. В случае подачи на анод постоян-

ся несколько различных определений времен тунне-

ного анодного напряжения U_a барьеры искажаются,

лирования, но нет единого общепринятого (см. [36-

а уровни электронов на катоде повышаются на ве-

38]). Около 60 лет известен эффект Хартмана, утвер-

личину eU_a (рис. 1b). Далее в упрощенной модели

ждающий возможность туннелирования со сверхсве-

мы отсчитываем энергии от дна зоны проводимости

товой скоростью (см., например, [38]), который на са-

стока при максимально возможном потенциале U_a

мом деле является парадоксом [39]. Поэтому получе-

(рис. 1b). Это позволяет считать потенциал отлич-

ние нестационарных моделей туннелирования и изу-

ным от нуля только в области 0 < z < d+2t, при этом

чение переходных процессов - важная практическая

изменение (уменьшение) потенциала приводит к из-

и теоретическая задача. В частности, рассчитанные в

менению высоты барьеров относительно максималь-

ряде работ переходные процессы демонстрируют ко-

ных энергии электронов в левой и правой областях.

нечные времена установления, сопоставимые с про-

Именно, уровень слева опускается, а справа подни-

летом структуры частицей с набегающей на барьер

мается. При этом высоты барьеров также меняются.

скоростью [15, 17, 30].

При U_a = 0 высоты выравниваются, структура ста-

Двухбарьерную структуру профиля потенциаль-

новится симметричной, а ток отсутствует. Принци-

ной функции рис. 1 можно изготовить в различных

пиально профили V (x) без учета пространственно-

полупроводниковых структурах, например, выпол-

го заряда можно построить методом многократных

няя внешние электроды из n-GaAs, области барье-

изображений [3, 4]. Электроны с катода туннелиру-

ров из Al_xGa_1-xAs, а область ямы из GaAs. Про-

ют легче, чем с анода, и появляется анодный ток

филь барьеров зависит от профиля легирования и

как разность токов туннелирования слева и спра-

их ширины. При резком однородном легировании он

ва. Для вычисления тока следует проводить усред-

определяется силами изображений и обычно имеет

нение коэффициентов прозрачности |T^±|² по энер-

колоколообразную форму [2, 3], которую для просто-

гиям [1-4], т.е. рассматривать многоскоростные по-

ты можно считать прямоугольной (рис.1a) с рез-

токи и распределение по энергиям. Для симметрич-

кими углами. В случае такого барьера со стороны

ной структуры рис. 1 при отсутствии падающего по-

катода (истока) и анода (стока) на структуру на-

тока в зависимости от конфигурации имеют место

бегают электроны с разными энергиями, отсчиты-

метастабильные уровни. Наличие падающего одно-

ваемыми от дна зоны проводимости с максималь-

скоростного потока с энергией частиц, совпадающей

ной энергией Ферми E_F (считаем электронный газ

с одним из уровней, приводит к резонансному стаци-

в сильно легированных областях электродов вырож-

онарному туннелированию, при котором коэффици-

денным и холодным). При комнатной температуре

ент отражения R = 0 [9]. Решим указанную задачу,

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019

Нестационарное резонансное туннелирование в диодной двухбарьерной структуре

467

когда имеется только один падающий слева поток с

и справа от структуры реально реализуется посред-

ВФ ψ⁺(x) = A₀ exp(ikx), x < 0. Мы используем УШ

ством замыкания через источник напряжения: ухо-

в виде

дящие направо к аноду заряды проходят через ис-

точник и возвращаются на катод. Реально носите-

iℏ∂_tψ(x, t) =

Ĥψ(x, t) = [p_x/µ_e + V (x, t)] ψ(x, t),

(1)

ли заряда имеют импульсы всех направлений, поэто-

му есть и обратный ток. В силу отсутствия симмет-

где

px = -iℏ∂x - импульс, µe - удвоенная масса

рии обычно |T^-| экспоненциально меньше |T⁺|, хотя

(для квазичастиц - удвоенная эффективная масса).

при некоторых условиях резонансного туннелирова-

В стационарном случае имеем зависимость от вре-

нии в обратном направлении (справа налево) возмо-

мени exp(-iEtℏ), и для V (x) = 0, соответственно

жен резонанс при отсутствии такового в прямом на-

E = p^2x/µ_e = (kℏ)²/µ_e. В области потенциального

√

правлении. Для коэффициентов обоих направлений

барьера будем писать

k =

µ_e(E - V )/ℏ, если вы-

√

|R^±|² + |T^±|² = 1.

полнено условие E > V , и

k= iκ = i

µ_e(V - E)/ℏ,

Рассмотрим условия существования метастабиль-

если E < V , т.е. имеет место туннелирование. Со-

ных уровней для симметричной структуры в отсут-

ответственно, волна, идущая слева, приобретает вид

ствии потоков. Возбуждение квантовой ямы не мо-

ψ⁺(x)

= A+ exp(ikx) = A+ exp(-κx). Для реше-

жет существовать бесконечно долго из-за просачи-

ния стационарного УШ удобно использовать импе-

вания ВФ через барьеры, поэтому энергия таких со-

дансный подход [10] и метод матриц передачи [40].

стояний должна быть комплексной: E = E^′ - iE^′′ c

Мы определим импеданс с размерностью длины как

зависимостью от времени exp(-itE^′/ℏ)exp(-tE^′′/ℏ).

z = ±iψ^±(x)/∂_xψ^±(x). Он определен там, где потен-

Мы применим метод трансформации импеданса от

циальная функция постоянна или отсутствует. В по-

правой области, где z = 1 к центру структуры. В си-

следнем случае z

= k^-1, в области без туннели-

лу симметрии импеданс в центре равен либо нулю,

рования z =

k^-1, а в области с туннелированием

либо бесконечности. Это зависит от того, нуль или

z = -iκ^-1. Далее использованы нормированные (без-

пучность ВФ имеет место. В случае нуля имеем урав-

размерные) импедансы z = zk. Строго решить зада-

нение

чу с профилем рис. 1b можно только численно. Для

аналитического решения мы будем заменять слож-

1 + i(k/κ₀)tanh(κ₀t)

+ itan(kd/2) = 0,

(3)

ные барьеры прямоугольными. Всего их три. Норми-

1 - tanh(κ₀t)

рованная классическая матрица передачи однород-

а в случае пучности

ного участка имеет вид [40]

[

]

1 + i(k/κ₀)tan(κ₀t)

1 + itanh(kd/2)

= 0.

(4)

cos(knd_n)

izn sin(knd_n)

1 - tanh(κ₀t)

â_n =

(2)

iz^-1nsin(knd_n)

cos(knd_n)

Это комплексные трансцендентные уравнения отно-

Полная матрица передачи есть произведение: â =

сительно E. При приложении потенциала структу-

= â₁â₂â₃. Имеем d₁ = d₃ = t, d₂ = d. Для симмет-

ра барьеров несимметричная, ВФ содержит четную

√

ричной структуры

k =

k₃ = iκ₀ = i

µ_e(V₀ - E)/ℏ,

и нечетную части, и оба условия приобретают вид

k₂ = k, z₁ = z₃ = -ik/κ₀, z₂ = 1. Для несимметрич-

равенства единице входного импеданса z_in = 1 со

ной структуры определим их далее. Слева мы ищем

стороны набегающих электронов. Это означает от-

решение УШ в виде ψ(z) = A₀[exp(ikx)+R exp(ikx)],

сутствие отражения. Выражение для z_in достаточ-

а справа в виде ψ(z) = A₀T exp(ik(x - l)). Здесь

но сложное. Если барьеры сложной непрямоуголь-

l = d + 2t - полная длина структуры. Очевидно,

ной формы, то для определения z_in нужно решать

теперь 1 + R = a₁₁T + a₁₂T, 1 - R = a₂₁T + a₂₂T,

интегральное уравнение (ИУ), как и для задачи ди-

откуда T

= 2/[a₁₁ + a₂₂ + a₁₂ + a₂₁]. Коэффици-

фракции с целью определения R и T . Такие стацио-

ент отражения можно найти из формулы, опреде-

нарное ИУ мы не приводим. Можно также использо-

ляющей нормированный входной импеданс структу-

вать ступенчатую аппроксимацию с методом матриц

ры z_in = (1 + R)/(1 - R) = (a₁₁ + a₁₂)/(a₂₁ + a₂₂).

передачи [4], или интегрирование УШ.

Мы нашли коэффициенты при задании потока слева,

Стационарную ВФ будем искать в виде ψ₀(x) =

т.е. фактически определили величину T⁺. Волновая

= A+n exp(ik_n(x - x_n)) + A-n exp(-ik_n(x - x_n)), где

функция ψ⁺(x) = A₀ exp(ikx) при A₀ = 1 нормиро-

x₁ = 0, x₂ = t, x₃ = d + t. Ее квадрат модуля опре-

вана на дельта-функцию, при этом |ψ⁺(x)|² = |A₀|²

деляет плотность частиц ρ(x) = |ψ(x)|². В плотном

имеет смысл нормировки на плотность частиц |A₀|²

неоднородном потоке следует учитывать вклад в по-

в падающем потоке. Бесконечность областей слева

тенциальную энергию от вариации плотности, кото-

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019

3^∗

468

М. В. Давидович

рый дает решение уравнения Пуассона (считаем час-

Рассмотрим следующую модель. До момента t =

тицы отрицательно заряженными):

= 0 имеется стационарное решение с ВФ ψ₀(x,t) =

(x) exp(-iEt/ℏ) с профилем

V (x), возникающим

=ψ₀

∂^2xΦ(x) = eρ(x)/(ε₀ε).

(5)

при постоянном напряжении U_a. Очевидно, его мож-

но уточнить, определив плотность ρ₀(x) = |ψ₀(x)|²:

Для определения плотности следует найти амплиту-

ды A^±n. Имеем 1+R = A⁺¹ +A^-1, 1-R = (A⁺¹ -A^-1)/z₁,

ρ₀(x) = |A⁺²|² +|A^-2|² +2Re(A⁺²A^-∗2)cos(2k2(x -t)) -

1 + R = (â₁)₁₁A⁺² + (â₁)₁₂A-2 , 1 - R = (â₁)₂₁A⁺² +

+(â₁)₂₂A^-2, 1+R = (â₁â₂)₁₁A⁺³ +(â₁â₂)₁₂A^-3, 1-R =

- 2Im(A+2 A^-∗2)sin(2k2(x - t)).

(7)

= (â₁â₂)₂₁A+3 +(â₁â₂)₂₂A-3 . Можно написать и другие

Эта плотность записана для ямы, поскольку на ба-

соотношения. Из приведенных формул определяют-

рьерах она сказывается слабо. Уточнение следует де-

ся все амплитуды. Рассмотрим форму V (x) при ма-

лать методом итераций, поскольку амплитуды зави-

лой плотности и напряжении на аноде U_a. Считаем,

сят от ВФ и от ρ(x). Модель на основе итераций с на-

что в приближении прямоугольных барьеров потен-

чальным значением (7) может быть только числен-

циальная функция спадает линейно. В области пер-

ной, поскольку потенциальная функция приобрета-

вого барьера V (x) = V₀ + eU_a - αx. В области ямы

ет сложный профиль. Мы предположим, что на на-

имеем V (x) = eU_a - αt - β(x - t). В области второго

чальном этапе плотность не влияет на

V (x). Пусть

барьера V (x) = V₀ + eU_a - αt - βd - α(x - d - t).

в момент t = 0 включается переменный анодный

В конце структуры V (l) = eU_a - 2αt - βd = 0.

потенциал U(t) = U_a(1 + γ sin(ω₀t)), т.е. включает-

Еще раз заметим, что отсчет энергии для удобства

ся переменная, составляющая U_aγ sin(ω₀t) анодного

идет от дна зоны проводимости на аноде, рис. 1b.

напряжения. Заметим, что максимальное значение

Поскольку в области ямы плотность носителей су-

потенциала, которое следует учитывать в расчетах,

щественно выше, чем в области барьера, а диэлек-

U_a(1 + γ). Также заметим, что не важно, целиком

трические проницаемости также могут различаться,

ли включать потенциал U(t) в указанный момент,

то α ≫ β. Задавая коэффициент δ = β/α ≪ 1, свя-

или только его переменную часть, считая постоян-

занный с уровнями легирования барьеров, определя-

ную часть уже действующей. Первая постановка бо-

ем α = eU_a/(2t + δd). Линейное изменение потенциа-

лее простая, поскольку начальный барьер симмет-

ла удовлетворяет уравнению Лапласа при подаче на-

ричный, а начальная ВФ ψ₀(x, t) проще. При этом

пряжения на анод. Теперь можно определить высоты

начальный ток отсутствует. ВФ ищем в виде ψ(x, t) =

барьеров для упрощенной модели:

= ψ₀(x, t)+δψ(x, t). Эта ВФ удовлетворяет УШ (1) с

V₁ = V₁ + eU_a - αt/2,

V (x, t) =

V₀(x) +

V (x, t), где

V₀(x) определяет на-

чальную форму барьера, а

V (x, t) - ее вариацию

V₂ = eU_a - αt - δαd/2,

со временем. Очевидно, V (x, t) получается заменой

V₃ = V₀ + eU_a - 3αt/2 - δαd.

во всех формулах U_a на U(t), а

V (x, t) пропорцио-

нальна U_aγ sin(ω₀t). Обозначим оператор Шрединге-

По ним определяем величины

kn, импедансы zn и вы-

ра

S(x, t) = iℏ∂_t + ℏ²µ^-1e∂^2x и введем пропагаторную

числяем ВФ. Влияние плотности на потенциальную

√

ФГ K₀(x, t) =

µ_e/(4iπℏt)exp(ix²µ_e/(4ℏt)) [41,42]

энергию определяем из решения уравнения Пуассона

свободного поля ψ(z, t) (при V

= 0). Эта ФГ име-

(5) в виде

ет размерность, обратную длине, удовлетворяет гра-

∑

ничному условию K₀(x, t) = 0 для t ≤ 0 и отвечает за

Φ(x) =

α_n sin(nπx/l),

движение свободного ВП ϕ(z, t), заданного в момент

m=1

^′:

(6)

∫

-2e

α_n =

ρ(x) sin(nπx/l)dx.

ψ(z, t) = K₀(x - x^′, t - t^′)ϕ(x^′, t^′)dx^′.

ε₀εd

Решение в форме

(6) добавляет потенциальную

Интегрировать следует по всей области задания ВП.

функцию -eΦ(x) к V (x). Высоколегированные об-

Если ВП не локальный, то a = -∞, b = ∞. Ес-

ласти электродов можно считать идеальными элек-

ли область значений ВП конечная, т.е. он в мо-

трическими стенками, поэтому в (6) взяты нулевые

мент t^′ локальный, то в любой момент t > t^′ ВП

граничные условия. Если решать уравнение Пуассо-

становится бесконечно распределенным в простран-

на только в области ямы, то следует использовать

стве, т.е. нелокальным. Если в момент t₀ частица

функции sin(nπ(x - t)/d).

локализована в точке x₀, т.е. ϕ(x, t₀) = δ(x - x₀),

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019

Нестационарное резонансное туннелирование в диодной двухбарьерной структуре

469

то ψ(z, t) = K₀(x - x₀, t - t₀). Функция Грина K₀

ψ₀(x, t) = ψ₀(x, t) +

(12)

с точностью до множителя iℏ есть функция ис-

∫

точника для оператора Шредингера [41], поскольку

+ iℏ^-1

K₀(x - x^′, t - t^′

V₀(x^′)ψ₀(x^′, t^′)dx^′dt^′.

S(x, t)K₀(x, t) = iℏδ(t)δ(z). Действительно, этот ре-

зультат получается из приведенного УШ с дельта-

Входящая в (11) функция (12) вычисляется через

функциями методом Фурье и путем вычисления ин-

известные величины. Для нее выполнено

ψ(x, 0) =

тегралов методом вычетов. Для непосредственной

= ψ₀(x, 0). Поскольку

V₀(x)ψ₀(x, t) =

S(x, t)ψ₀(x, t),

проверки дифференцированием введенную ФГ сле-

(12) можно проинтегрировать по частям, но это не

дует понимать как умноженную на функцию Хеви-

целесообразно. Заметим, что ИУ (11) определяет ВФ

сайда χ(t): K₀(x, t) → χ(t)K₀(x, t) [41]. Тогда, учи-

во всей бесконечной области в любой момент, одна-

тывая, что ∂_tχ(t) = δ(t) и K₀(x, 0) = δ(x), получа-

ко находить его решение достаточно в конечной об-

ем указанный результат. Поэтому с помощью ФГ K₀

ласти. Если вдруг в момент τ потенциал U(t) пре-

можно записать ИУ, которому удовлетворяет ВП в

кратил действовать, то в верхнем пределе интегра-

произвольном потенциальном поле. Пишем

ла в (11) следует взять τ. Если же он вовсе не

[

]

начинал действовать, интегралы исчезают, и тогда

S(x, t) - V (x, t) ψ(x, t) =

˜0(x, t) = ψ0(x, t), ψ(x, t) = ψ0(x, t), т.е. имеем ста-

[

]

ционарное решение. Интегральное уравнение (8) не

S(x, t) -

V₀(x) -

V (x, t) (ψ₀(x, t) + δψ(x, t)) = 0.

удобно для использования из-за бесконечных границ,

[

]

в которых надо определять ВФ. Заметим также, что

Поскольку

S(x, t) -

V₀(x) ψ₀(x, t) = 0, имеем урав-

можно ввести ФГ G(x, t) для УШ (1), удовлетворя-

нения

ющую ИУ

ψ(x, t) =

(8)

∫∞

G(x, t; x^′, t^′) = K₀(x - x^′, t - t^′) - iℏ^-1 ×

= -iℏ^-1

K₀(x-x^′, t-t^′)V (x^′, t^′)ψ(x^′, t^′)dx^′dt^′,

∫∫

× K₀(x-x^′′, t-t^′′)V (x^′′, t^′′)G(x^′′, t^′′; x^′, t^′)dx^′′dt^′′,

-∞ -∞

S(x, t)δψ(x, t) =

V₀(x)δψ(x, t) +

V (x, t)ψ(x, t).

(9)

представив ее в виде ряда теории возмущений ин-

тегральных операторов

, упорядоченных по вре-

Уравнение (9) позволяет определить δψ(x, t), следо-

мени [41]. В этом случае уравнение (8) можно пе-

вательно, и ВФ:

реписать, формально заменив K₀V на G. Возможно

∫t

∫

применение диаграммной техники Фейнмана. Одна-

δψ(x, t) = -iℏ^-1

K₀(x - x^′, t - t^′) ×

ко использовать теорию возмущений для поиска ВФ

в бесконечной области не очень удобно. Проверить,

[

]

что ИУ для ФВ (11) удовлетворяет УШ (1) можно,

V₀(x^′)δψ(x^′, t^′) +

V (x^′, t^′)ψ(x^′, t^′) dx^′dt^′.

(10)

подействовав на нее оператором

S и учитывая, что

K₀(x, 0) = 0 [41,42].

В этом уравнении интеграл взят по конечной обла-

Будем решать ИУ (11) методом дискретного вре-

сти пространства-времени, поскольку именно там от-

мени, разбивая временной промежуток на моменты

личена от нуля величина

V (x, t), а также и

V (x)

t_m = mΔt, m = 0, 1, 2,... Для ФВ (12) имеем квадра-

в произведении

V (x)δψ(x, t). Сама функция δψ(x, t)

турные формулы

определена везде. Теперь ИУ приобретает вид

∫

ψ(x, t_m) = ψ₀(x, t_m) + iℏ^-1Δt

V₀(x^′) ×

ψ(x, t) = ψ₀(x, t) - iℏ^-1

K₀(x - x^′, t - t^′) ×

[

]

∑

× K₀(x-x^′, (m-n+1/2)Δt)ψ₀(x^′, (n-1/2)Δt)dx^′.

V₀(x^′)(ψ(x^′, t^′) - ψ₀(x^′, t^′)) +

V (x^′, t^′)ψ(x^′, t^′) dx^′dt

^′.

n=1

Его можно записать так:

Точно также для (11) получаем

ψ(x, t) =

ψ₀(x, t) -

(11)

ψ(x, t_m) =

ψ₀(x, t_m) - iℏ^-1Δt ×

(13)

∫^t

∫

∑

-iℏ^-1

K₀(x-x^′, t-t^′)V (x-x^′, t-t^′)ψ(x^′, t^′))dx^′dt^′,

K₀(x-x^′, t_m-t_n+Δt/2)V (x^′, t_n)ψ₀(x^′, t_n)dx^′dt^′.

n=1

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019

470

М. В. Давидович

Для определения ВФ из ИУ (13) его следует решать

Односкоростная ВФ получается из (16), если ρ(k) =

численно. При этом в потенциальную энергию

= ρ(k)δ(k - k^′). При этом имеет место соответствие

необходимо добавлять электростатическую часть

ρ(k^′) = |ρ(k^′)|². Волновой пакет (16) задан на входе,

-eΦ(x), вычисленную на каждом временном шаге.

поскольку задание его на -∞ невозможно в силу его

Для решения (13) используем метод Галеркина и

расплывания при движении. Зная падающую одно-

разложения

скоростную ВФ ρ(k) exp(ikx-iℏk²t/µ_e), можно опре-

делить ВФ ψ₀(x, t, k), фигурирующую в (11), (12).

∑

[

(nπx)

(nπx)]

Тогда ток вычисляется по формуле

ψ(x, t_m) =

α^mn cos

+ βmn sin

∫

n=0

(14)

J (x, t_m) = 2eℏµ^-1

ρ(k)Im(∂_xψ_k(x, t_m)ψ^∗k(x, t_m))dk,

Функции в (14) ортогональны. Каждая из систем

(17)

функций полна, а всего в (14) 2N +1 (β^m0 = 0) функ-

в которой ВФ определены для заданного значе-

ций. Две системы функций взяты, поскольку первая

ния k. Плотность набегающих на барьер электронов

из них имеет нулевые граничные условия для про-

определяется величиной ρ(k) = µ_ek_BT (2πℏ)^-2 ln(1 +

извольных, а вторая - нулевые для самих функций

exp((E_F - (kℏ)²/µ_e)/(k_BT))). Здесь T - температу-

на границах области, поэтому на граничные условия

ра. В полупроводниковых структурах эффективная

ВФ (14) не наложены жесткие граничные условия.

величина µ_e от слоя к слою может меняться, а так-

Мы не приводим явный вид получающихся матриц

же может зависеть от k, что следует учитывать при

для системы линейных алгебраических уравнений

определении ФВ и ФГ. Мы рассмотрели в качестве

(СЛАУ). Численное вычисление матриц и решение

носителей заряда только электроны. Переменный по-

СЛАУ на каждом временном шаге занимает основ-

тенциал создает переменные, расходящиеся от струк-

ное время алгоритма. Найдя коэффициенты, мож-

туры, потоки. В стационарном случае баланс рассе-

но вычислить плотность тока (направление взято от

янных (расходящихся от структуры) потоков дается

анода к катоду):

выражением |R|² + |T |² = 1. Поскольку в модель не

J (x, t_m) = -ieℏµ^-1e[∂_xψ(x, t_m)ψ^∗(x, t_m) -

заложены процессы ионизации и рекомбинации, ба-

ланс в среднем по идее также должен сохраняться.

- ψ^∗(x, t_m)∂_xψ^∗(x, t_m)].

(15)

Однако проверка возможна только численно. Отра-

Эта величина имеет размерность A/м², если входной

женный поток следует определять по части ВФ в об-

односкоростной поток |A₀|² определяет число частиц

ласти x < 0, вычленив из нее A₀ exp(ikx). Поскольку

в единице объема. Если же размерность |A₀|² есть

падающий справа поток в решении не рассмотрен,

м^-1 (число частиц на единицу длины), то (15) опре-

прошедший поток можно определить из (13), сокра-

деляет ток. Строгое вычисление тока требует решать

тив на заряд электрона. С учетом (14) имеем одно-

задачу для разных энергий набегающих частиц с

скоростной ток на выходе структуры

усреднением величины (15) по функции распределе-

J_ot(t_m) = J(l, t_m) =

ния электронов по импульсам, а также учитывать и

обратный ток. Вычисление плотности падающего по-

∑

тока ρ(k)dk = |A₀|² возможно на основе знания кон-

= -2eℏµ^-1

(-1)n+n′ nπ

(18)

Im(β^mnαm∗n′ ),

центрации носителей и определения числа носите-

n=1 n^′=0

и ток на ее входе

лей, набегающих нормально на границу катод-барьер

с заданной величиной импульса в интервале импуль-

∑

∑ nπ

сов ℏk ≤ px ≤ ℏ(k + dk). Соответственно, ρ(k) -

J_in(t_m) = J(0, t_m) = -2eℏµ^-1

ln(β^mnαm∗n′ ).

плотность на единичный интервал в k-пространстве.

n=1 n^′=0

(19)

Нормируя ВФ ψ⁺ на ρ(k)dk, интегральную величину

Количество втекающего в секунду в структуру заря-

(15) следует получать интегрированием по всей об-

да подчиняется уравнению

ласти значений k. При этом для каждого k следует

решать односкоростную задачу по определению ВФ

∂_tQ(t_m) = J_ot(t_m) - J_in(t_m) = ∂_tU(t_m)C_d,

ψ_k(x, t), а затем уже интегрировать по k для опре-

деления тока. Можно сформировать падающую ВФ

где C_d - ее полная диффузионная емкость. В моде-

в форме многоскоростного ВП, определенного при

ли электростатическая емкость явно не учтена. Ее

x = 0:

можно оценить, зная структуру барьеров и площадь

∫

поперечного сечения. Соответственно в модель сле-

ψ⁺(x, t) =

ρ(k) exp(ikx - iℏk²t/µ_e)dk.

(16)

дует добавить ток смещения J_c(t_m) = -∂_tU(t_m)C.

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019

Нестационарное резонансное туннелирование в диодной двухбарьерной структуре

471

Наличие емкости не позволяет мгновенно включить

случае со всплеском. Имеющиеся в [17, 21] осцилля-

потенциал.

ции связаны с плазменными колебаниями простран-

В качестве примера возьмем односкоростной по-

ственного заряда, который в рассматриваемой моде-

ток со значением плотности |A₀|² = 10²² м^-3, дву-

ли не учтен.

мя барьерами V₀ = 0.6 эВ с ширинами 4 нм и рас-

Для теоретического определения времени тунне-

стоянием между ними 6 нм, величиной U_a = 0.3 В,

лирования удобно рассмотреть одиночный прямо-

= 0.3, δ

= 0.1, частотой ω₀

= 10¹³ Гц, удво-

угольный барьер V (x) = V₀ при 0 < x < d с уче-

енной эффективной массой µ_e = 0.14m_e, энергией

том одностороннего потока. Для него ВФ имеет хо-

набегающих частиц E = 0.072 эВ и их скоростью

рошо известный вид, при этом J = |A₀|²|T |²v. Пусть

v = 0.5 · 106 м/с. На рисунке 2 приведены рассчи-

в момент t = 0 барьер пропадает на время Δt, а

танные зависимости U(t) и J(t). Уравнение Пуас-

затем возникает вновь. Начинается переходный про-

цесс, отклик в котором в виде тока возникает мгно-

венно. Это связано с тем, что частицы противопо-

ложных потоков “присутствуют” в области барьера.

Вид переходного процесса сильно зависит от шири-

ны барьера и Δt. Можно рассматривать и Δt = ∞,

т.е. “выключение” барьера с переключением тока до

максимального значения J₀ = |A₀|²v. Переключение

потенциала изменяет энергию системы и энергию от-

дельного электрона, которая при малых временах не

определена. После завершения переходного процесса

УШ снова можно считать стационарным, а энергию

отдельной частицы в потоке заданной. Более про-

сто задача решается для свободного потока с ВФ

ψ₀ = A₀ exp(i(kx - Et/ℏ)), когда потенциал включа-

ется на время Δt. В этом случае ВФ удовлетворяет

уравнению

ψ(x, t) = ψ₀(x, t) -

Рис. 2. (Цветной онлайн) Напряжение U(t), В (1) и

∫

плотность тока (2) J(t) · 10^-8, А/м² в зависимости от

- iℏ^-1V0

K₀(x - x^′, t - t^′)ψ(x^′, t^′)dx^′dt^′.

(20)

нормированного времени t = ω0t/(2π)

При t < 0 имеем начальное условие ψ(x, t) = ψ₀(x, t).

сона не решалось, бралась упрошенная структура с

При t < Δt верхний предел t = t. При t > Δt верхний

тремя прямоугольными барьерами и использовалось

предел t = Δt. При t ≫ Δt ФГ стремится к нулю, по-

значение N = 40. Из рисунка 2 видно, что имеет

этому ψ(x, t) → ψ₀(x, t). Изменение потенциала силь-

место сдвиг по фазе, примерно равный π, что гово-

но изменяет ВФ в области барьера, поэтому для ее

рит в пользу того, что при данных параметрах ре-

определения при t > Δt удобно вычислить интеграл

ализуется отрицательная дифференциальная прово-

по теореме о среднем, вынося из-под знака интеграла

димость, а структура может функционировать как

среднее значение K₀:

генератор частот ω₀ и 3ω₀. Отклик структуры начи-

нается мгновенно в силу свойств ФГ для УШ и того,

V₀

√iµ_e

ψdΔt

что частицы присутствуют во всей рассматриваемой

ψ(x, t) = ψ₀(x, t) -

√

exp(iΦ(x, t)).

2ℏ

πℏ|t - Δt/2|

области. Однако установление переходного процесса

(21)

требует времени. Это время порядка времен пролета

Здесь обозначена фаза

структуры τ = 3 · 10^-14 с и жизни метастабильного

уровня, что меньше периода T₀ = 2π/ω₀. В работах

(x - d/2)²µ_e

Φ(xt) =

[17, 21] для структуры, близкой к рассмотренной, по-

4ℏ|t - Δt/2|

лучены времена переходных процессов в диапазоне

2 · 10^-14-10-12 с. Вычисленные по модели переход-

ψ означает ВФ, усредненную по области барьера и

ные процессы при включении напряжений U_a, рав-

за время Δt. Ее можно найти, усредняя (21). Усред-

ных 0.1 и 0.25 В, устанавливаются от нуля примерно

нение ψ₀ по времени дает множитель sinc(EΔt/(2ℏ)),

за 200 фс в первом случае монотонно, а во втором

где обозначена функция sinc(t) = sin(t)/t. Усредняя

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019

472

М. В. Давидович

)

2ρ exp(-κd)

(EΔt

эту ВФ по координате, имеем

ψ₀ = A₀ exp(ikd/2 -

≈

√

sinc

iEΔt/(2ℏ))sinc(kd/2)sinc(EΔt/(2ℏ)). Усредняя пра-

κd

1+ρ²

2ℏ

вую часть в (21), учтем, что при t ≈ Δt/2 экспонента

Для применимости расчета должно быть Δt

быстро осциллирует, поэтому полагаем t = Δt и, ис-

< 2πℏ/E, что в нашем случае выполняется. На ри-

пользуя метод стационарной фазы, имеем

сунке 3 приведены результаты расчета по формуле

∫

√

(

)

(22) и на основе решения ИУ (20). Видно, что ос-

exp(iΦ(x, t))

id²µ

новная часть переходного процесса занимает время

dxdt ≈

Δtd

|t - Δt/2|^1/2

Δt

24ℏΔt

τ = d/v.

Окончательно получаем

∕[

√

(

)]

V₀d

2iµ_eΔt

id²µ_e

ψ≈

ψ₀

ℏ

πℏ

24ℏΔt

Приближенно

ψ можно найти другим способом,

усреднив стационарную ВФ внутри барьера, что не

принципиально, поскольку эта величина определяет

только множитель в (21). Отбросим малую экспонен-

циально нарастающую часть ВФ, взяв ее простран-

ственную часть в виде ψ(x) = A₀T exp(-κ(x-d))(1-

√

ik/κ)/2. Обозначив η = k/κ =

E(V₀ - E), теперь

получаем

(

)

A₀T(1 - iη)

κd

EΔt

ψ=

exp

-i

2ℏ

)

sinh(κd/2)

(EΔt

sinc

κd/2

2ℏ

Рис. 3. (Цветной онлайн) Переходный процесс (время

В обоих случаях имеем

ψ = A₀ξ exp(iϕ), где ξ - по-

в фс) при включении потенциала для d = 2 нм, V0 =

= 0.5 эВ, E = 0.47 эВ (1), E = 0.45 эВ (2, 3): Δt = 10 фс

ложительная величина, а ϕ - фаза. В нее входит и

(1, 2); Δt = 50 фс (3). Штриховая линия - вычисление

фаза коэффициента прохождения. Введем убываю-

на основе решения ИУ (20)

щую функцию времени

√

V₀ξdΔt

µ_e

Описанная процедура изменения тока при из-

α(t) =

2ℏ

πℏ|t - Δt/2|

менении потенциала может быть проверена экспе-

риментально. Именно, пусть односкоростной элек-

и запишем ВФ (21) в виде ψ(x, t) = A₀[exp(ikx -

тронный поток создает автоэмиссионная электрон-

iEt/ℏ)-β(t)exp(iΦ(x, t))]. Здесь β(t) = α(t)exp(i(ϕ+

ная пушка. Пучок проходит отверстие в аноде и

+ π/4)). Используем эту ВФ для вычисления тока

попадает на наноразмерную сетку с потенциалом

(15) в точке x = d:

U = -V₀/e относительно анода. Сетка имитирует ба-

J (d, t)

µ_edα²(t)

рьер. Прошедший сетку ток измеряется как ток кол-

=1-

J₀

4kℏ|t - Δt/2|

лектора. Проблема измерения малых времен может

(

)

быть решена разными способами, например, моду-

µ_ed

+ 1-

α(t) cos(Θ(t)).

(22)

ляцией двух пучков с выделением тока разностной

4kℏ|t - Δt/2|

частоты. Среднее время переходного процесса нель-

Здесь J₀ = J(d, t). Поскольку коэффициент прохож-

зя непосредственно связать со временем туннелиро-

дения имеет вид

вания отдельной частицей, поскольку туннелирова-

-4iη exp(-κd)

4iη exp(-κd)

ние - квантовый волновой (интерференционный и

T =

≈-

(1 - iη)² - (1 - iη)² exp(-2κd)

(1 - iη)²

многочастичный) процесс. Однако в стационарном

случае средняя скорость частиц потока на выходе

фаза Θ в (22) определена как Θ(t) = Φ(d, t) - kd +

барьера равна v (частицы как бы проходят барьер

π/4 - arctan(ρ^-1). Имеем также

без потери энергии). Поэтому время τ = d/v можно

(

2ρ

3κd

) sinh(κd/2)

(EΔt)

рассматривать как минимальное время установления

ξ=

√

exp

sinc

≈

κd/2

2ℏ

переходного процесса.

1+ρ²

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019

Нестационарное резонансное туннелирование в диодной двухбарьерной структуре

473

В работе предложена новая модель нестационар-

19.

И. И. Абрамов, И. А. Гончаренко, Н. В. Коломейцева,

ного туннелирования, основанная на ФГ и ИУ неста-

ФТПП 41(11), 1395 (2007).

ционарного одночастичного УШ, пригодная для опи-

20.

J. F. Mennemann, A. Jüngel, and H. Kosina, J. Comp.

сания нестационарного РТД и других структур с

Phys. 239, 187 (2013).

несколькими барьерами, изменяющимися во време-

21.

К. С. Гришаков, В. Ф. Елесин, ФТПП 50(8), 1113

ни в конечной области. Методом Фурье получено

(2016).

решение уравнения Пуассона, которое можно нахо-

22.

K. Grove-Rasmussen, H. Jorgensen, T. Hayashi,

дить совместно с определением ВФ с использовани-

P. E. Lindelof, and T. Fujisawa, Nano Lett. 8, 1055

ем модели. По сравнению с известными подходами

(2008).

на основе УШ модель не требует введения гранич-

23.

S. Moriyama, D. Tsuya, E. Watanabe, S. Uji,

ных условий, представляющих основную сложность

M. Shimizu, T. Mori, T. Yamaguchi, and K. Ishibashi,

при расчете. В частности, она может быть использо-

Nano Lett. 9, 2891 (2009).

вана для решения открытого до сих пор вопроса о

24.

S. J. Angus, A. J. Ferguson, A. S. Dzurak, and

времени туннелирования ВП [38].

R. G. Clark, Nano Lett. 7, 2051 (2007).

Работа была поддержана грантом Российского

25.

L. D. Contreras-Pulido, J. Splettstoesser, M. Governale,

научного фонда, проект # 16-19-10033.

J. König, and M. Büttiker, Phys. Rev. B: Condens.

Matter 85, 075301 (2012).

26.

V. N. Mantsevich, N.S. Maslova, and P. I. Arseyev, Solid

1. G. N. Fursey, Field emission in vacuum micro-

State Commun. 152(16), 1545 (2012).

electronics, Kluwer Academic/Plenum Publishers, N.Y.

27.

V. N. Mantsevich, N.S. Maslova, and P. I. Arseyev, Solid

(2005).

State Comm. 168, 36 (2013).

2. J. G. Simmons, J. Appl. Phys. 34(6), 1793 (1963).

28.

N. S. Maslova, P. I. Arseyev, and V. N. Mantsevich, Solid

3. М. В. Давидович, Р. К. Яфаров, ЖТФ 88(2), 283

State Comm. 248, 21 (2016).

(2018).

29.

П. И. Арсеев, Н. С. Маслова, ЖЭТФ 149(3), 467

4. М. В. Давидович, Р. К. Яфаров, ЖТФ 89(8), 1282

(2016).

(2019).

30.

N. C. Kluksdahl, A. M. Kriman, and D. K. Ferry, Phys.

5. L. Esaki, Phys. Rev. 109, 603 (1958).

Rev. B 39(11), 7720 (1989).

6. Ю. Кениг, Х. Шеллер, Г. Шен, УФН 168(2), 170

31.

B. Engquist and A. Majda, Math. Comp. 31, 629 (1977).

(1998).

32.

V. A. Baskakov and A. V. Popov, Wave Motion 14(2),

7. А. А. Абрикосов, УФН 168(6), 683 (1998).

123 (1991).

8. В. Н. Мурзин, Ю. А. Митягин, УФН 169(4),

464

33.

A. Arnold, VLSI Design 6(1-4), 313 (1998).

(1999).

34.

W. R. Erensley, Rev. Modern Phys. 62(3), 745 (1990).

9. Е. С. Солдатов, А. С. Трифонов, В. В. Ханин,

С. П. Губин, С. А. Яковенко, Г. Б. Хомутов, УФН

35.

Л. А. Халфин, УФН 166(6), 688 (1996).

166(8), 903 (1996).

36.

N. Yamada, Phys. Rev. Lett. 93(17), 170401 (2004).

10. Е. А. Нелин, УФН 177(3), 307 (2007).

37.

Y. Ban, E. Ya. Sherman, J. G. Muga, and M. Buttiker,

11. П. И. Арсеев, В. Н. Манцевич, Н. С. Маслова,

Phys. Rev. A 82(6), 062121 (2010).

В. И. Панов, УФН 187(11), 1147 (2017).

38.

А. Б. Шварцбург, УФН 177(1), 43 (2007).

12. В. Ф. Елесин, ЖЭТФ 116(2), 704 (1999).

39.

М. В. Давидович, УФН 179(4), 443 (2009).

13. В. Ф. Елесин, ЖЭТФ 119(4), 816 (2001).

40.

М. В. Давидович, Квантовая электроника 47(6), 567

14. В. Ф. Елесин, ЖЭТФ 121(4), 925 (2002).

(2017).

15. В. Ф. Елесин, ЖЭТФ 144(5), 1086 (2013).

41.

В. Н. Грибов, Квантовая электродинамика, НИЦ

16. В. Ф. Елесин, ЖЭТФ 145(6), 1078 (2014).

“Регулярная и хаотическая динамика”, Москва-

17. O. Pinaud, J. Appl. Phys. 92(4), 1987 (2002).

Ижевск (2001).

18. И. И. Абрамов, И. А. Гончаренко, Н. В. Коломейцева,

42.

А. Н. Тихонов, А.А. Самарский, Уравнения матема-

ФТПП 39(9), 1138 (2005).

тической физики, Наука, М. (1977).

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019