Письма в ЖЭТФ, том 110, вып. 8, с. 539 - 544

Коалесценция островов различной толщины

в смектических нанопленках

П.В.Долганов⁺, Н.С.Шуравин⁺, Е.И.Кац^∗1), В.К.Долганов⁺

⁺Институт физики твердого тела РАН, 142432 Черноголовка, Россия

^∗Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН, 142432 Черноголовка, Россия

Поступила в редакцию 5 сентября 2019 г.

После переработки 6 сентября 2019 г.

Принята к публикации 6 сентября 2019 г.

В смектических нанопленках исследована коалесценция островов (участков большей толщины, чем

смектическая нанопленка) различной толщины и радиальных размеров. Начальный этап коалесценции

(объединение островов) имеет дислокационную природу и связан с изменением энергии дислокационных

петель. Второй этап коалесценции с коллапсом одного из островов происходит с увеличением размеров

другого острова. Проведенные оценки показывают, что определяющую роль на этом этапе играет измене-

ние энергии дислокационных петель и взаимодействие поверхностей смектической нанопленки. В работе

обнаружен также неожиданный эффект смещения центра масс пары островов в процессе коалесценции.

Эффект связан с коллективной динамикой потоков вещества островов и смектической нанопленки.

DOI: 10.1134/S0370274X19200050

Коалесценция - одно из наиболее распростра-

рованный вязкий (intertially limited viscous)) также

ненных природных явлений, имеющее разнообраз-

проводились, как правило, для 2D систем. В связи

ные технические приложения. Интерес фундамен-

со сложностью расчетов широко применялся скей-

тальной физики к коалесценции связан с кардиналь-

линговый подход, хорошо зарекомендовавший себя в

ной трансформацией формы частиц, которая мо-

различных разделах физики [7-10]. Таким образом,

жет происходить в результате различных физиче-

большинство известных теоретических результатов

ских механизмов движения вещества. Коалесценция

получены для 2D систем, тогда как эксперименты

относится к классу явлений, происходящих в систе-

в основном проводились на трехмерных (3D) каплях

мах со свободной поверхностью. Движущей силой

жидкости. Наиболее близкими к 2D геометрии явля-

коалесценции в наиболее простом случае слияния

ются эксперименты на свободно подвешенных смек-

капель является поверхностное натяжение. Деталь-

тических нанопленках [11]. Нанопленки образованы

ные экспериментальные и теоретические исследова-

смектическими слоями, параллельными свободным

ния коалесценции начались около 30 лет назад. То-

поверхностям нанопленки. Исследования коалесцен-

гда же был получен ряд фундаментальных результа-

ции смектических островов (участков большей тол-

тов, которые лежат в основе современных представ-

щины, чем нанопленка) показали перспективность

лений о коалесценции. Хоппером [1, 2] была реше-

изучения динамики 2D коалесценции с использова-

на задача о коалесценции двух бесконечных цилин-

нием смектических нанопленок [12, 13]. При исследо-

дров в вязком (Стоксовом) режиме. Уникальность

вании коалесценции островов одинаковой толщины

этого результата в том, что были получены анали-

[12-14] могут быть использованы существующие тео-

тические выражения, описывающие изменение фор-

рии, описывающие различные режимы коалесцен-

мы на различных этапах трансформации структу-

ции. Движущей силой коалесценции островов одина-

ры. Поскольку Хоппером рассматривалось движе-

ковой толщины является линейное натяжение дис-

ние жидкости в плоскости, перпендикулярной оси

локации на границе островов и нанопленки. Суще-

цилиндров, была фактически решена задача о дву-

ственно более сложные процессы происходят при ко-

мерной (2D) коалесценции. Численные расчеты [3-

алесценции островов различной толщины [13]. Ко-

6] для различных режимов коалесценции (вязкий,

алесценция включает в себя два существенно различ-

инерционный, так называемый инерционно лимити-

ных по динамике и механизму коалесценции этапа.

При контакте толстого острова меньшего размера с

тонким островом толстый остров “впрыгивает” в бо-

¹⁾e-mail: efim.i.kats@gmail.com

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019

539

540

П.В.Долганов, Н.С.Шуравин, Е.И.Кац, В.К.Долганов

лее тонкий остров и затем “втягивает” в себя веще-

ство тонкого острова, увеличиваясь в размерах [13].

Если тонкий остров меньше толстого по радиаль-

ным размерам, он растекается по границе толстого

острова. Затем, как и в первом случае, толстый ост-

ров “втягивает” в себя вещество тонкого острова [13].

Сложность и необычность процессов, происходящих

при коалесценции островов различной толщины, тре-

бует дальнейших экспериментальных исследований.

В настоящей работе в свободно подвешенных

смектических нанопленках проведены исследования

коалесценции островов различных размеров и тол-

щин, количественно описана временная трансформа-

ция структур при коалесценции. Показано, что на-

чальный этап коалесценции имеет дислокационную

природу. Конечный этап коалесценции может про-

исходить по-различному. Проведенные оценки пока-

зывают, что на этом этапе движущей силой коалес-

ценции может быть как энергия дислокационных пе-

тель вокруг островов, так и взаимодействие поверх-

ностей смектической нанопленки. Обнаружено не на-

блюдавшееся ранее существенное смещение центра

масс пары островов на двух этапах коалесценции.

Исследование коалесценции островов прове-

дено на нанопленках жидкого кристалла

4-n-

октилцианобифенил

(8CB, Kingston Chemicals),

образующего смектическую A (SmA) фазу при

комнатной температуре. Свободно подвешенные

смектические нанопленки и острова в наноплен-

ках приготовлялись по методике, описанной ранее

[15, 16]. Исследовалась коалесценция в нанопленках

толщиной меньше 10 смектических слоев. Толщина

смектического слоя d около 3.17 нм [17]. Типичная

толщина коалесцирующих островов была от порядка

10 до порядка 50 смектических слоев, радиус от 10 до

40 мкм. При исследованиях коалесценции наноплен-

ка с островами находилась в термостатированной

ячейке, позволяющей проводить оптические иссле-

дования. В измерениях использовался микроскоп

Olympus BX51, оборудованный высокоскоростной

видеокамерой Mikrotron EoSens. Типичная скорость

Рис. 1. (Цветной онлайн) Два акта (левая колонка (a)-

съемки составляла 2500 кадров в секунду, простран-

(f) и правая (g)-(l)) слияния островов различной тол-

ственное разрешение порядка 0.7 мкм, размер кадра

щины в смектической нанопленке. Кадры (a) и (g) -

396 × 264 мкм. После приготовления нанопленки с

острова до начала коалесценции. В конечном состоянии

островами острова могли двигаться в ее плоскости

образуется остров однородной толщины. Фотографии

вследствие диффузии слабых потоков воздуха в

сделаны в отраженном свете. Горизонтальный размер

ячейке и приходить в соприкосновение. Как пра-

кадров 141 мкм (a)-(f), 92 мкм (g)-(l)

вило, в таком состоянии они могли находиться

продолжительное время от десятка секунд до минут,

прежде чем начиналась коалесценция.

фии (a) и (g) на рис. 1 - контактирующие острова

Серия фотографий на рис. 1 демонстрирует ти-

до начала коалесценции. Общая картина коалесцен-

пичные процессы коалесценции островов. Фотогра-

ции, представленная на рис. 1, согласуется с описан-

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019

Коалесценция островов различной толщины в смектических нанопленках

541

ной ранее [13]. Рисунок 1 иллюстрирует два акта ко-

алесценции (левая колонка (a)-(f) и правая (g)-(l))

более тонкого острова 1 с толстым островом 2. На

начальном этапе коалесценции более толстый ост-

ров 2 меньшего радиального размера “впрыгивает”

в тонкий остров (b), (c). Затем толстый остров “по-

глощает” вещество более тонкого острова, увеличи-

ваясь в размерах (фото (d)-(f)). Рисунок 1 g-l ил-

люстрирует коалесценцию тонкого острова меньших

радиальных размеров 1 с толстым островом больше-

го радиуса 2. Толстый остров не может полностью

“впрыгнуть” в тонкий остров. На начальной стадии

материал тонкого острова растекается вдоль грани-

цы толстого (фото (h)-(i)), затем толстый остров по-

глощает тонкий, увеличивая за счет этого свой ра-

диус (фото (j)-(l)). На рисунке 2 приведены времен-

Рис. 3. (Цветной онлайн) Слияние островов различной

толщины. На первом этапе более толстый остров 2

“впрыгивает” внутрь более тонкого острова 1. Затем

более толстый остров уменьшается в размерах. В ко-

нечном состоянии образуется один остров однородной

толщины, равной толщине исходного острова 1. Гори-

зонтальный размер кадров 141 мкм

лапсирует не тонкий, а толстый остров, уменьшаясь

в размерах и увеличивая радиус тонкого острова.

Рассмотрим более подробно многообразие наблюдае-

мых явлений при коалесценции, причины первого и

второго этапов коалесценции островов.

Рис. 2. (Цветной онлайн) Зависимость большего раз-

Свободно подвешенные смектические нанопленки

мера коалесцирующих островов L, нормированного на

являются уникальными 2D объектами, погруженны-

конечный диаметр острова De, от времени. Квадра-

ми в 3D среду [18, 19]. Несмотря на кажущуюся про-

тами и кружками показаны результаты для двух ак-

стоту 2D коалесценции в нанопленках по сравнению

тов коалесценции. Острова, образованные в результате

с 3D системами, в них возможна существенно боль-

коалесценции, имеют толщину, равную толщине более

шая вариация геометрических и физических пара-

толстого исходного острова

метров системы по сравнению с 3D коалесценцией

капель. Наличие третьего измерения может приво-

ные зависимости отношения большего размера пары

дить к существенной модификации движущей силы

коалесцирующих островов L к конечному диаметру

и механизма коалесценции. Свободная энергия ост-

острова D_e. Начальный этап коалесценции (“впрыги-

рова толщиной N слоев радиуса R в смектической

вание” толстого острова в тонкий) и поглощение тол-

нанопленке толщиной N₀ слоев может быть записа-

стым островом вещества тонкого острова характери-

на в следующем виде [20]:

зуются существенно различными временами. Соот-

ношение времен зависит от относительной толщины

F = 2πγ(N - N₀)R + πR²ΔpNd + πR²f(Nd).

(1)

островов и их размеров.

Нами обнаружен процесс коалесценции островов,

Первое слагаемое - энергия дислокационной петли,

не наблюдавшийся ранее (рис. 3). На начальном эта-

которая для краевых дислокаций пропорциональна

пе коалесценции, как и ранее наблюдалось, более

вектору Бюргерса [20], второе слагаемое - упругая

толстый остров 2 “впрыгивает” в тонкий (рис.3a,b).

энергия, связанная с создаваемой мениском разно-

Однако второй этап коалесценции (рис. 3b-d) диа-

стью давлений Δp в острове и окружающей среде,

метрально противоположен описанному ранее. Кол-

третье слагаемое - энергия взаимодействия поверх-

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019

542

П.В.Долганов, Н.С.Шуравин, Е.И.Кац, В.К.Долганов

ностей острова. γ - энергия единичной дислокации

и учитывать только изменение энергии из-за измене-

на единицу длины, f(Nd) - энергия взаимодействия

ния площади нанопленки толщиной N₀

поверхностей на единицу площади (f(Nd) < 0). Рас-

смотрим коалесценцию тонкого острова толщиной

ΔF⁽²⁾³ = πf(N₀d)R²¹(N₂ - N₁)/(N₂ - N₀).

(4)

N₁ слоев и радиуса R₁ с толстым островом толщи-

Взаимодействие поверхностей уменьшает энергию

ной N₂ > N₁ и радиуса R₂ в нанопленке толщиной

пленки (ΔF⁽²⁾³ < 0) и для тонких пленок может быть

N₀ слоев. В результате коалесценции образуется один

по абсолютной величине значительным [20, 21]. От-

остров толщиной N₂ или N₁.

метим, что дислокация с большой величиной векто-

Первый этап коалесценции: толстый остров

ра Бюргерса b может трансформироваться в две дис-

“впрыгивает” в тонкий. Обозначим ΔF⁽¹⁾ разность

клинации противоположного знака [20] с силой ±1/2,

энергии конечного и начального состояний на пер-

что уменьшает энергию. При образовании дисклина-

вом этапе коалесценции. ΔF⁽¹⁾ состоит из трех сла-

ций следует ожидать более слабую, чем линейная, за-

гаемых ΔF⁽¹⁾ = ΔF⁽¹⁾¹ + ΔF⁽¹⁾² + ΔF⁽¹⁾³, соответству-

висимость от |b|. Это приведет к уменьшению энер-

ющих трем слагаемым в уравнении (1). На первом

гии ΔF⁽²⁾¹ по сравнению с (3). Из проведенного ана-

(быстром) этапе коалесценции можно считать, что

лиза второй стадии коалесценции островов можно за-

площадь островов и их объем не изменились. В этом

ключить, что втягивание материала тонкого острова

случае ΔF⁽¹⁾² = 0 и ΔF⁽¹⁾³ = 0 и изменения энергии

в толстый может быть связано с взаимодействием по-

связаны с первым слагаемым в (1):

верхностей пленок и нелинейной зависимостью энер-

(√

)

гии дисклинаций от модуля вектора Бюргерса.

ΔF⁽¹⁾ = 2πγ(N₁ - N₀) R²¹ + R²² - (R₁ + R₂)

Рассмотрим теперь причину коллапса толсто-

(2)

го острова (рис.3). При дислокационном механизме

ΔF(1) < 0 и первый этап коалесценции связан с

коллапса для ΔF⁽²⁾¹ получим:

уменьшением энергии дислокационных петель при

“впрыгивании” толстого острова в тонкий.

ΔF⁽²⁾¹=2πγ[(R²¹(N₁-N₀)²+R²²(N₂-N₀)(N₁-N₀))^1/2-

Второй этап коалесценции: коллапс тонкого или

- ((R²¹ + R²²)^1/2(N₁ - N₀) + R₂(N₂ - N₁))],

(5)

толстого острова. На втором этапе ситуация бо-

лее сложная. Изменение энергии на втором этапе

где первое слагаемое, как и раньше,

- энергия

ΔF⁽²⁾ = ΔF⁽²⁾¹ + ΔF⁽²⁾² + ΔF⁽²⁾³. Рассмотрим сна-

конечного состояния, последние два - энергия на-

чала ситуацию, когда коллапсирует тонкий остров.

чального состояния. ΔF⁽²⁾¹ < 0, что также можно

При дислокационном механизме коллапса получим

видеть, вычислив разность квадратов этих энергий:

√

для ΔF⁽²⁾¹:

4π²γ²R₂(N₂ - N₁)((R₂ - 2

R²¹ + R²²)(N₁ - N₀) -

- R₂(N₂ - N₁)). Изменение энергии взаимодействия

ΔF⁽²⁾¹=2πγ[(R²¹(N₁-N₀)(N₂-N₀)+R²²(N₂-N₀)²)^1/2-

поверхностей в данном случае положительно:

ΔF(2)3 = -πf(N0d)R22(N2 - N1)/(N1 - N0). Таким

− ((R²¹ + R²²)^1/2(N₁ - N₀) + R₂(N₂ - N₁))],

(3)

образом, дислокационные петли способствуют анни-

гиляции толстого острова, взаимодействие поверх-

где первое слагаемое - энергия конечного состоя-

ностей препятствует ей. Из проведенного анализа

ния, последние два - энергия начального состоя-

следует, что два различных механизма коалесценции

ния. ΔF⁽²⁾¹ > 0, что можно легко увидеть, вычислив

на втором этапе могут быть связаны с конкуренцией

разность квадратов конечной и начальной энергии:

энергии дислокационных петель и взаимодействия

√

4π²γ²(N₁ -N₀)(N₂ -N₁)(

R²¹ + R²² -R₂)². Таким об-

поверхностей смектической нанопленки.

разом, дислокационные петли способствуют коалес-

Смещение центра масс островов при их коалес-

ценции островов на первом этапе и препятствуют

ценции. Коалесценция приводит к нетривиальному

трансформации структур (образованию острова од-

эффекту смещения центра масс островов. Это непо-

нородной толщины) на втором этапе. Второе слага-

средственно видно из серии фотографий на рис. 1.

емое в ΔF⁽²⁾, как и на первом этапе коалесценции,

Без учета окружающей острова среды при прямом

равно нулю, ΔF⁽²⁾² = 0. Взаимодействие поверхно-

взаимодействии двух островов их центр масс дол-

стей (третье слагаемое в (1)) существенно уменьша-

жен оставаться на месте. Его смещение должно быть

ется с увеличением толщины пленок. Поскольку тол-

связано с взаимодействием островов с нанопленкой и

щина островов заметно превосходит толщину плен-

окружающим воздухом. На рисунке 4 приведено сме-

ки, вкладом в ΔF⁽²⁾³ от островов можно пренебречь

щение центра масс пары островов от времени при

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019

Коалесценция островов различной толщины в смектических нанопленках

543

коллапсе тонкого острова. Два этапа коалесценции

характеризуются различной зависимостью смещения

от времени. На первом этапе скорость смещения цен-

тра масс большая. Второй этап (поглощение толстым

островом материала более тонкого острова), как пра-

вило, более продолжителен. В конце второго этапа

иногда наблюдалось смещение центра масс в обрат-

ную сторону (рис. 4). В настоящее время не суще-

Рис. 4. (Цветной онлайн) Зависимость смещения цен-

тра масс пары коалесцирующих островов от времени.

В ряде случаев на финальном этапе процесса наблю-

далось смещение центра масс в обратном направлении

(кадры (e)-(f), рис. 1; квадраты, рис. 4). Острова, обра-

зованные в результате коалесценции, имеют толщину,

равную толщине более толстого исходного острова

ствует теоретического описания движения частиц в

двумерной нанопленке, перемещение которых связа-

но с энергией дислокаций, взаимодействием поверх-

ностей или с переконденсацией.

В SmA нанопленках смектические слои могут

скользить друг относительно друга благодаря мало-

му сцеплению между слоями. Однако существующее

Рис. 5. (Цветной онлайн) Острова 1 и 2 коалесцируют с

сцепление приводит к динамической связи между

образованием острова 3. Фотографии пленки с острова-

островами через смектическую нанопленку. Коалес-

ми, сделанные с промежутком 180 мс: до начала коалес-

ценция островов вызывает не только движение пото-

ценции (a), непосредственно перед началом коалесцен-

ков вещества в нанопленке, но и коллективную ди-

ции островов 1 и 2 (b), после окончания коалесценции

намику как коалесцирующих, так и соседних с ними

(c). Светлыми окружностями на рис. (a)-(c) показаны

островов (рис.5). На рисунке 5b приведена фотогра-

положения островов через 180 мс после момента вре-

фия пленки до коалесценции островов 1 и 2, положе-

мени, когда сделано фото. Крестиками на (b) показано

ние островов после коалесценции показано светлы-

положение центра масс островов 1 и 2 до коалесценции

ми окружностями. Крестиками показано положение

(темный крестик) и острова 3 (светлый крестик). Об-

центра масс островов 1 и 2 до коалесценции (темный

разующийся в результате коалесценции остров 3 имеет

толщину, равную толщине более толстого острова 2.

крестик) и острова 3, образовавшегося в результа-

Горизонтальный размер кадров 354 мкм

те коалесценции (светлый крестик). Смещение цен-

тра масс коалесцирующих островов (светлая стрел-

ка) приводит к движению соседних, более мелких

окружности на рис. 5a, c показывают положение ост-

островов (темные стрелки). Фотографии и светлые

ровов до начала (a) и после окончания коалесценции

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019

544

П.В.Долганов, Н.С.Шуравин, Е.И.Кац, В.К.Долганов

(c), через тот же промежуток времени (180 мс), что

J. D. Paulsen, Phys. Rev. E 88, 063010 (2013).

и на рисунке (b). Видно, что движение двух неболь-

J. E. Sprittles and Y. D. Shikhmurzaev, Phys. Rev. E

ших островов связано именно с коалесценцией ост-

89, 063008 (2014).

ровов 1 и 2. Существенный поток вещества охваты-

M. Wu, T. Cubaud, and C. Ho, Phys. Fluids 16, L51

вает значительный участок нанопленки. Только ост-

(2004).

ров, находящийся на большом расстоянии (левый на

W. Yao, H. J. Maris, P. Pennington, and G. M. Seidel,

рис. 5) не смещается при коалесценции. Острова, рас-

Phys. Rev. E 71, 016309 (2005).

положенные вдоль направления смещения двух ко-

J. C. Burton and P. Taborek, Phys. Rev. Lett. 98,

224502 (2007).

алесцирующих островов 1 и 2, движутся в направле-

10.

C. R. Anthony, P. M. Kamat, S. S. Thete, J. P. Munro,

нии, совпадающем с направлением движения центра

J. R. Lister, and M. T. Harris, Phys. Rev. Fluids 2,

масс коалесцирующих островов. Частицы по бокам

083601 (2017).

от коалесцирующих островов движутся в направле-

11.

P. Pieranski, L. Beliard, J.-Ph. Tourellec, X. Leoncini,

нии, откуда уходят коалесцирующие острова. Есте-

C. Furtlehner, J.-P. Palaric, J. Hueving, B. Cartier, and

ственно, что общая величина количества движения

I. Kraus, Physica A 194, 364 (1993).

в островах, нанопленке и окружающем пленку воз-

12.

D. H. Nguyen, Smectic Liquid Crystal Freely

духе должна сохраняться.

Suspended Films: Testing Beds for the Physics

Анализ коалесценции островов различной толщи-

Thin

Membranes,

Ph. D.

dissertation,

ны в смектических пленках показывает, что началь-

University

Colorado,

Boulder

(2011);

ный этап коалесценции имеет дислокационную при-

https://scholar.colorado.edu/phys_gradetds/41.

роду. Образование на конечном этапе коалесценции

13.

R. Stannarius and K. Harth, Inclusions in freely

более толстого или тонкого острова связано с конку-

suspended smectic films, in Liquid Crystals with Nano

ренцией энергии дислокационных петель и взаимо-

and Microparticles, ed. by J. P. F. Lagerwal and

действия поверхностей в смектической нанопленке.

G. Scalia, World Scientific, Singapore (2017).

Формирование мениска между островом и пленкой,

14.

N. S. Shuravin, P. V. Dolganov, and V. K. Dolganov,

между островами может оказывать влияние на ско-

Phys. Rev. E 99, 062702 (2019).

рость коллапса островов. Нами наблюдался необыч-

15.

P. V. Dolganov, N. S. Shuravin, and A. Fukuda, Phys.

ный эффект смещения центра масс островов, связан-

Rev. E 93, 032704 (2016).

ный с их взаимодействием с окружающей средой. Де-

16.

П. В. Долганов, Е. И. Кац, В. К. Долганов, Письма в

тальный анализ коалесценции и механизмов движе-

ЖЭТФ 106, 214 (2017).

ния вещества в нанопленке и островах будет прове-

17.

D. Davidov, C. R. Safinya, M. Kaplan, S. S. Danar, and

ден в дальнейшем.

R. Schaetzing, Phys. Rev. B 19, 1657 (1979).

18.

E. I. Kats and V. V. Lebedev, Phys. Rev. B 89, 125433

Работа выполнена при поддержке Российского

(2014).

научного фонда, грант # 18-12-00108.

19.

F. R. Klinkhamer and G. E. Volovik, Pis’ma v ZhETF

103, 711 (2016).

1. R. W. Hopper, J. Am. Ceram. Soc. (Commun.) 67,

20.

P. Oswald and P. Pieranski, Smectic and Columnar

C-262 (1984).

Liquid Crystals: Concepts and Physical Properties

2. R. W. Hopper, J. Am. Ceram. Soc. 76, 2947 (1993).

Illustrated by Experiments, Taylor and Francis, Boca

3. H. K. Kuiken, J. Fluid Mech. 214, 503 (1990).

Raton (2005).

4. J. Eggers, J. R. Lister, and H. A. Stone, J. Fluid Mech.

21.

F. Picano, P. Oswald, and E. I. Kats, Phys. Rev. E 63,

401, 293 (1999).

021705 (2001).

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019