Письма в ЖЭТФ, том 110, вып. 8, с. 563 - 568

Поляризационный анализ для выделения резонансного вклада

в разрешенные рентгеновcкие отражения

Е. Н. Овчинникова⁺¹⁾, В. Е. Дмитриенко^∗, K. A. Козловская⁺, А. Рогалев^×

⁺Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, 119991 Москва, Россия

^∗Институт кристаллографии им. А. В. Шубникова Федерального научного центра “Кристаллография и фотоника” РАН,

119333 Москва, Россия

^×European Synchrotron Radiation Facility (ESRF), 38043 Grenoble, France

Поступила в редакцию 10 сентября 2019 г.

После переработки 19 сентября 2019 г.

Принята к публикации 20 сентября 2019 г.

Показано, что в разрешенных брэгговских отражениях могут присутствовать каналы резонансно-

го рассеяния рентгеновского излучения с изменением поляризации. Измерение энергетической и ази-

мутальной зависимости брэгговских отражений с изменением поляризации дает возможность изучать

резонансную дифракцию в кристаллах симморфных групп, которые часто описывают симметрию функ-

циональных материалов. Это может быть эффективно использовано для изучения структурных измене-

ний при фазовых переходах или внешних воздействиях, а также для разделения вкладов в резонансное

рассеяние от кристаллографически неэквивалентных положений атомов. В качестве простого приме-

ра продемонстрировано резкое увеличение интенсивности рассеяния π-поляризованного излучения в

σ-поляризованное на примере понижения симметрии кристалла SrTiO3 в результате перехода из куби-

ческой фазы в тетрагональную. Отмечается также, что изучение кругового рентгеновского дихроизма

брэгговских отражений может быть использовано взамен поляризационного анализа рассеянного излу-

чения.

DOI: 10.1134/S0370274X19200098

Дифракция рентгеновского излучения являет-

дихроизм) [9, 10], а в геометрии дифракции приводят

ся методом исследования структуры вещества, раз-

к появлению запрещенных отражений [11-14]. Изуче-

витие которого связано с совершенствованием ис-

ние энергетических спектров брэгговских отражений

точников излучения и новых аппаратурных мето-

вблизи краев поглощения является предметом ис-

дов. Многие исследования проводятся с использо-

следования в методе DAFS [15, 16]. Преимуществом

ванием синхротронных источников, преимуществом

дифракционных методов является их селективность

которых является не только мощность, но так-

по отношению к положениям атомов, поскольку в

же возможность варьирования энергии, поляриза-

дифракции вследствие фазовых соотношений может

ция и когерентность. Поляризационные свойства

участвовать только часть резонансных атомов, в то

взаимодействия рентгеновского излучения с веще-

время как все атомы одного химического элемента

ством ярко проявляются вблизи энергий падающе-

дают вклад в сигнал в геометрии поглощения. Одна-

го излучения, близких к краям поглощения ато-

ко в методе DAFS поляризационные свойства резо-

мов вещества, и активно используются в экспери-

нансного рассеяния рентгеновского излучения не иг-

ментах в геометрии поглощения - XMCD (X-ray

рают роли, поскольку резонансный вклад очень мал

Magnetic Circular Dichroism - рентгеновский магнит-

по сравнению с вкладом, обусловленным нерезонанс-

ный круговой дихроизм) [1-4], XNCD (X-ray Natural

ным томсоновским рассеянием, а энергетическая за-

Circular Dichroism

- рентгеновский естественный

висимость брэгговских отражений обусловлена, в ос-

круговой дихроизм) [5-7], XMLD (X-ray Magnetic

новном, энергетической зависимостью коэффициен-

Linear Dichroism - рентгеновский магнитный ли-

та поглощения и изотропных дисперсионных попра-

нейный дихроизм) [8], XNLD (X-ray Natural Linear

вок к амплитуде рассеяния.

Dichroism - рентгеновский естественный линейный

Kогда нерезонансный вклад в амплитуду рассея-

ния мал (хотя отражения не являются запрещенны-

¹⁾e-mail: en_ovchinnikova@physics.msu.ru

ми), то изотропные дисперсионные поправки суще-

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019

563

9^∗

564

Е. Н. Овчинникова, В. Е. Дмитриенко, K. A. Козловская, А. Рогалев

ственно влияют на форму энергетического спектра

щественному развитию техники рентгеновских поля-

дифракционного отражения. В работе [17] показано,

ризационных измерений, в частности, широкого ис-

что изучение таких слабых дифракционных отраже-

пользования круговых поляризаций. Хотя, как бу-

ний позволяет определять смещения атомов (стати-

дет показано далее, резонансные вклады в рассеяние

ческие или динамические) с рекордной пикометровой

рентгеновских лучей существуют всегда, вопрос о це-

точностью. Это особенно важно, когда исследуются

лесообразности такого рода исследований должен ре-

малые смещения атомов при фазовых переходах или

шаться, учитывая свойства конкретного объекта.

при внешних воздействиях. Форма энергетического

Интенсивность брэгговского отражения H

спектра этих отражений имеет форму провала (что

= (hkl) вблизи краев поглощения является функцией

связано с поглощением), тогда как энергетические

энергии падающего излучения E и в кинематическом

спектры запрещенных отражений имеют форму пи-

приближении имеет вид [16]:

ков. В работе [18], напротив, изучалось запрещенное

отражение 222 в кристалле германия, в котором при-

| F(E,H) |² [1 - exp^-(

sin α

+^1sinβ )µ(E)t]

сутствует слабый нерезонансный вклад, обусловлен-

I(hkl) ∼

(1)

µ(E)(1 +^sinαsinβ )

ный анизотропией электронной плотности или теп-

ловых колебаний. При низких температурах нерезо-

нансный вклад в структурную амплитуду этого ре-

здесь t - толщина кристалла, µ(E) - коэффициент

флекса больше, чем резонансный, но они оба опре-

поглощения, α и β - углы входа и выхода лучей отно-

деляют форму энергетического спектра. Проведен-

сительно поверхности, а F (E, H) - структурная ам-

ные в [18] расчеты показывают, что с ростом темпе-

плитуда, описывающая рассеяние рентгеновских лу-

ратуры резонансный вклад в амплитуду рассеяния

чей элементарной ячейкой:

растет, т.е. возможна перестройка спектра с прова-

ла на пик. Рост резонансного вклада в амплитуду

F (E, H) = Σ_sf^sij (E, H) exp-Ms expiHrs,

(2)

рассеяния обусловлен появлением добавки к диполь-

дипольной компоненте из-за деформации окружения

где суммирование ведется по атомам внутри эле-

резонансных атомов в результате тепловых колеба-

ментарной ячейки, f^sij (E, H) - атомный фактор s-

ний - термоиндуцированного механизма рассеяния.

го атома, exp-Ms - фактор Дебая-Валлера. M_s =

Запрещенные отражения, в которых отсутству-

=¹² 〈(H · u_s)〉², u_s - смещение атома из положения

ет нерезонансное рассеяние, а также резонансное

равновесия.

диполь-дипольное рассеяние, очень чувствительны

В случае малых смещений r_s = r^0s + u_s f^sij(E, H)

к малым атомным смещениям из-за тепловых ко-

можно разложить по степеням смещений (до второго

лебаний, дефектов или других факторов [19]. Это

порядка малости):

позволило наблюдать скачок интенсивности отраже-

ний при фазовом переходе в KDP, а также выделить

F_ij(E, H) = Σ_s[(f^s0 + f^′,p(E) + if^′′,p(E))δ_ij +

вклад от скачков водорода в параэлектрической фа-

зе KDP и RDP [20-22]. К сожалению, метод изу-

+ f^pij(E,H,r_p)]expiHrs(1 + i(H_k〈u^sk〉) -

чения запрещенных отражений ограничен тем, что

H_kH_l〈u^sku^sl〉),

(3)

симметрия структуры должна принадлежать несим-

морфной пространственной группе, т.е. в числе ге-

нераторов группы должны присутствовать винтовые

где суммирование проводится по всем атомам, но

оси или плоскости скользящего отражения, в то вре-

дисперсионные и анизотропные поправки существен-

мя как многие функциональные материалы описыва-

ны только для атомов p, к краю поглощения которых

ются симморфными группами. Даже если использо-

близка энергия падающего излучения. Для динами-

вать метод, развитый в [17], анизотропная резонанс-

ческих смещений произведение изотропных вкладов

ная часть амплитуды рассеяния настолько мала по

в амплитуду на член разложения, линейный по вели-

сравнению с изотропными вкладами, что ее невоз-

чине смещений, обращается в нуль после усреднения,

можно выделить в эксперименте.

но для статических смещений он может сохраниться.

В настоящей работе мы предлагаем использовать

При малой величине структурной амплитуды, соот-

поляризационный анализ для выделения анизотроп-

ветствующей средним положениям атомов, даже ма-

ного резонансного вклада в брэгговских разрешен-

лые смещения сильно влияют на спектральную фор-

ных отражениях при энергиях вблизи краев погло-

му дифракционных отражений, что и лежит в основе

щения. Такая возможность появилась благодаря су-

метода, развитого в [17].

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019

Поляризационный анализ для выделения резонансного вклада ...

565

Резонансный вклад в атомный фактор может

по величине, хотя могут иметь разную спектраль-

быть представлен в виде [23, 24]:

ную зависимость. Еще одно их отличие в том, что

термоиндуцированный вклад растет с увеличением

∑

〈g|O^′∗j|f〉〈f|O_k|g〉

амплитуды колебаний атомов, т.е. с ростом темпе-

f^′jk+if^′′jk =

(E_f -E_g)³

ℏ³ω

ℏω - (E_f - E_g) - iΓ/2ℏ

ратуры. Интерференция этих вкладов приводит к

f,g

тому, что спектральная форма таких запрещенных

(4)

отражений меняется с температурой, и это позволя-

где E_f и E_g соответствуют конечному и начальному

ет извлечь из результатов измерений физическую

состоянию,

Ô и

Ô^′ включают дипольный и квадру-

информацию [21, 22, 25, 26]. Часто запрещенные

польный члены: O_j = D_j + iQ_jmk_m/2, O^′j = D_j +

∑

отражения содержат только каналы рассеяния с

+iQ_jmk^′m/2; D_j =_i rⁱ, Q_jm =_i r^ijr^im, и суммиро-

изменением σ поляризации падающего излучения

вание ведется по всем электронам в атоме, Γ - шири-

на π поляризацию рассеянного или наоборот. Эти

на возбужденного электронно-дырочного состояния.

каналы совершенно запрещены в нерезонансном

Из уравнения (4) следует, что тензорный атом-

томсоновском рассеянии, при котором не происхо-

ный фактор может быть представлен в виде вкладов

дит изменения поляризации излучения. Особенно

разных порядков: диполь-дипольного, диполь-

часто σ

→ π^′ и π → σ каналы присутствуют в

квадрупольного и квадруполь-квадрупольного.

рассеянии рентгеновского излучения на магнитной

Каждый описывается тензором соответствующего

структуре, причем не обязательно резонансном.

ранга, причем величина вклада с увеличением

Однако рассеяние с изменением поляризации суще-

мультипольности обычно уменьшается. Для того,

ствует и в немагнитных кристаллах, например, в

чтобы вычислить амплитуду рассеяния, надо задать

запрещенных отражениях в гематите [27] или оксиде

векторы поляризации падающей и рассеянной волн

цинка [28]. Интерференция нерезонансного магнит-

и осуществить свертку тензора с этими векторами.

ного и резонансного квадрупольного рассеяния в

В результате амплитуда рассеяния представляется

σ → π канале позволило определить знак взаимо-

матрицей размерности 2 × 2 в базисе линейных или

действия Дзялошинского-Мории в борате железа и

круговых поляризаций.

карбонатах переходных металлов [29, 30]. Измерение

Зависяший от атомных смещений анизотропный

σ → π резонансного рассеяния рентгеновского из-

вклад в атомный фактор может быть представлен в

лучения требует контроля поляризации падающего

виде:

излучения и наличия кристалла-анализатора, что

∑

∂f^dd(E, r^0p)

не представляет особой сложности для аппара-

f^pij(E, H, r_p) = f^ddij(E, r^0p) +

u^pk

туры, установленной на современных источниках

∂u^s

синхротронного излучения.

+ f^dqijk(E,H,r^0p) + f^qqijkl(E,H,r^0p),

(5)

Рассмотрим несколько тривиальных примеров,

иллюстрирующих наличие канала рассеяния в груп-

где f^ddij(E, r^0p) - диполь-дипольный, f^dqijk(E, H, r^0p) -

пах симметрии, которые описывают широко извест-

диполь-квадрупольный, f^qqijkl (E, H, r^0p) - квадруполь-

ные функциональные материалы. Часто важна не

квадрупольный вклады в резонансный атомный

сама группа, а та локальная симметрия, которая

фактор,∂fdd(E,r

- производная диполь-дипольного

соответствует положению резонансного атома. На-

∂u^s

вклада по смещениям как самого резонансного

пример, атомы α-железа (группа Im3m), атомы γ-

атома, так и его окружения. Вклады более высоких

железа (симметрия F m3m), атомы в структуре пе-

порядков и их производные пренебрежимо малы.

ровскита (P m3m) занимают позиции с симметри-

В случае несимморфной пространственной группы

ей m3m. В этом случае диполь-дипольный вклад

существуют брэгговские рефлексы, для которых

в резонансное рентгеновское рассеяние описывает-

изотропная часть структурной амплитуды обраща-

ся изотропным тензором, и не может дать вклад в

ется в нуль, но анизотропная может присутствовать.

σ → π^′ рассеяние, а диполь-квадрупольный вклад

В некоторых случаях диполь-дипольный вклад,

запрещен из-за присутствия центра инверсии. Разре-

соответствующей средним положениям атомов

шен только квадруполь-квадрупольный вклад и со-

f^ddij(E, r^0p), также подавлен, но может присутство-

ответствующий тензор четвертого ранга, симметрич-

вать диполь-квадрупольный вклад в совокупности

ный по перестановкам двух первых и двух послед-

с термоиндуцированным, который обусловлен про-

них индексов, содержит три независимые компонен-

изведением члена с производной на линейный по

ты Q_xxxx = Q_yyyy = Q_zzzz, Q_xxyy = Q_xxzz = Q_yyzz,

смещениям член в (3). Эти вклады обычно сравнимы

Q_xyxy = Q_yzyz = Q_xzxz (плюс перестановки индек-

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019

566

Е. Н. Овчинникова, В. Е. Дмитриенко, K. A. Козловская, А. Рогалев

сов, так как в кубической группе оси x, y, z равно-

тенсивности отражения h0l или другого в σ → π^′

правны) [31]. В результате в брэгговских отражениях

или π → σ каналах рассеяния. При этом не столь

может появиться канал рассеяния σ → π^′, но отраже-

важно, является ли нерезонансное рассеяние силь-

ния будут достаточно слабы, поскольку это квадру-

ным или слабым, так как оно не дает вклада в

польное рассеяние. Более интересными представля-

этот канал. Сложность таких экспериментов связана

ются случаи, когда резонансные атомы не находят-

с возможностью вкладов от рефлексов Реннингера,

ся в центре симметрии, и тогда разрешены диполь-

обусловленных многократным отражением, которые

квадрупольный и термоиндуцированный вклады.

также всегда сопутствуют и запрещенным отражени-

Рассмотрим еще пример: переход из кубической

ям. Опыт уже имеющихся измерений позволяет от-

фазы в SrTiO₃ (пр.группа Pm3m), в тетрагональ-

строиться от них, подбирая удобный азимутальный

ную полярную фазу симметрией P 4mm при нало-

угол. На рисунке 1а приведен расчет энергетическо-

жении внешнего электрического поля, который на-

го спектра отражения 405 в кубической и полярной

блюдался в [17] и сопровождался малыми смещени-

фазах при энергии вблизи К-края стронция (16105

ями атомов. Обе группы симметрии являются сим-

эВ), выполненный с помощью программы FDMNES

морфными, т.е. запрещенные отражения отсутству-

[32]. Явно видно усиление величины отражения при

ют, а форма энергетических спектров имеет вид про-

переходе из кубической в полярную фазу, а также

вала. В кубической фазе атомы стронция и титана

заметная разница в интенсивности σ → π^′ и π → σ

находятся в положениях 1(a) и 1(b) с симметрией

каналов рассеяния.

m3m, поэтому разрешено только квадрупольное рас-

Изучение σ → π канала рассеяния для разных

сеяние. Однако в полярной фазе титаната стронция

брэгговских отражений может также быть полез-

симметрия положения атомов титана и стронция по-

но для разделения вкладов в резонансное рассеяние

нижается до 4mm, и тензор второго ранга, описы-

от кристаллографически неэквивалентных положе-

вающий диполь-дипольное рассеяние, является диа-

ний резонансных атомов. Например, кристаллы се-

гональным, но D_zz = D_xx = D_yy. Степень искаже-

мейства лангаситов описываются симморфной про-

ния тензора по сравнению с изотропным зависит от

странственной группой P321, в которой атомы гал-

степени искажения симметрии окружения резонанс-

лия занимают три неэквивалентных положения. В

ных атомов. В результате в разрешенных отражени-

работе [33] разделение вкладов в коэффициент по-

ях возникает σ → π^′ рассеяние, которое значительно

глощения и сигнал естественного кругового дихро-

сильнее, чем квадрупольное. Для примера, амплиту-

изма при энергии вблизи К-края галлия выполнено

да рассеяния для отражения типа h0l имеет вид:

путем сопоставления расчетов ab initio с эксперимен-

тальными данными. Измерение σ → π каналов рассе-

I(h0l) ∼ |

(D_zz - D_xx)(± sin 2φ sin² α sin θ +

яния для разных брэгговских отражений позволяет,

в принципе, разделить вклады в резонансное рассе-

+ cosθ cosφsin2α) |²,

(6)

яние от разных атомов галлия, так как эти вклады

имеют различные спектральные и азимутальные за-

где

“+” берется, когда падающее излучение σ-

висимости.

поляризовано, а рассеянное π-поляризовано, а “-”,

когда падающее π-поляризованное рассеивается в

Вместо σ → π канала рассеяния рентгеновско-

го излучения можно измерять круговой дихроизм

σ-поляризованное, φ - азимутальный угол, описы-

вающий поворот волнового вектора вокруг нормали

как разность интенсивности брэгговских отражений

для право- и левополяризованного падающего излу-

к плоскости (h0l), θ - угол Брэгга, α - угол между

нормалью к отражающей плоскости и осью z.

чения. Переходя от матрицы амплитуды рассеяния в

линейных поляризациях к круговым поляризациям,

Из выражения (6) следует, что интенсивность

можно показать, что круговой дихроизм ΔI(hkl) в

рассеяния I_σπ′ (h0l) отличается от интенсивности I_πσ,

брэгговском отражении hkl равен [34]:

а также, что I(h0l)_σπ′ и I(h0l)_πσ обращаются в нуль,

если D_xx = D_yy = D_zz. Коэффициенты, входящие

ΔI(hkl) = I₊ - I_- = 2[F^′π′_πF^′′π′_σ - F^′′π′_πF^′π′_σ +

в выражение (6), зависят от энергии падающего из-

+ F^′′σσF^′σπ - F^′σσF^′′σπ],

(7)

лучения резонансным образом, они являются ком-

плексными и определяются диполь-дипольным резо-

где F^′ и F^′′ - действительные и мнимые части коэф-

нансным рассеянием, которое значительно превосхо-

фициентов матрицы амплитуды рассеяния в линей-

дит квадрупольный вклад в кубической фазе. Таким

ном базисе. Из выражения (7) следует, что ΔI(hkl) =

образом, можно зафиксировать образование тетра-

= 0 только при наличии σ

→ π канала рассея-

гональной фазы и детали ее строения по скачку ин-

ния и обращается в нуль для нерезонансного рас-

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019

Поляризационный анализ для выделения резонансного вклада ...

567

Рис. 1. (Цветной онлайн) (а) - Энергетические спектры отражения 405 в кубической P m3m и полярной P 4mm фазах

в титанате стронция для σ → π^′ и π → σ каналов рассеяния. (b) - Энергетическая зависимость разности интенсив-

ностей отражения 405 для двух круговых поляризаций падающего излучения I+ - I- при азимутальном угле 45^◦ в

кубической и полярной фазах титаната стронция. E_edge = 16105 эВ

сеяния рентгеновского излучения. Расчеты, прове-

денные для перехода из кубической в тетрагональ-

1. G. Schütz, W. Wagner, W. Wilhelm, P. Kienle, R. Zeller,

ныю фазу в титанате стронция, показывают резкое

R. Frahm, and G. Materlik, Phys. Rev. Lett. 58, 737

(на два порядка) усиление величины ΔI(hkl) в по-

(1987).

лярной фазе по сравнению с кубической фазой (см.

2. B. T. Thole, G. van der Laan, and G. Sawatsky, Phys.

рис. 1b). Применение круговых поляризаций рентге-

Rev. Lett. 55, 1943 (1985).

новского излучения хорошо отработано на синхро-

3. C. T. Chen, F. Sette, Y. Ma, and S. Modesti, Phys. Rev.

тронах третьего поколения. Например, они рутин-

B 42, 7269 (1990).

но используются на станции ID12 синхротрона ESRF

4. A. Rogalev, F. Wilhelm, N. Jaouen, J. Goulon, and

(Гренобль, Франция).

J.-P Kappler, in Magnetism: A Synchrotron Radiation

Авторы признательны Д-ру М. Жорнаку

Approach, Springer, Lecture Notes in Physics, ed.

(M. Zschornak) за полезные дискуссии. Работа

by E. Beaurepaire, H. Bulou, F. Scheurer, and

выполнена при поддержке Российского фонда фун-

J.-P. Kappler, Berlin (2006), v. 697, p. 71.

даментальных исследований (грант # 19-52-12029 в

5. L. Alagna, T. Prosperi, S. Turchini, J. Goulon,

части рассмотрения влияния внешних воздействий и

A. Rogalev, Ch. Goulon-Ginet, C. R. Natoli,

грант # 19-02-00483 в части использования круговых

R. D. Peacock, and B. Stewart, Phys. Rev. Lett.

поляризаций), а также Министерства науки и выс-

80, 4799 (1998).

шего образования РФ в рамках Государственного

6. R. Natoli, Ch. Brouder, Ph. Sainctavit, J. Goulon,

задания ФНИЦ

“Кристаллография и фотоника”

Ch. Goulon-Ginet, and A. Rogalev, Eur. Phys. J. B 4,

РАН в части изучения влияния реннингеровских

1 (1998).

отражений.

7. P. Carra and R. Benoist, Phys. Rev. B 62, R7703 (2000).

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019

568

Е. Н. Овчинникова, В. Е. Дмитриенко, K. A. Козловская, А. Рогалев

G. van der Laan, B. T. Thole, G. A. Sawatzky,

J. Strempfer, M. Zschornak, E. Mehner, D. C. Meyer,

J. B. Goedkoop, J. C. Fuggle, J.-M. Esteva,

and V. E. Dmitrienko, Phys. Rev. B 89, 094110 (2014).

R. Karnatak, J. P. Remeika, and H. A. Dabkowska,

23.

M. Blume, in Resonant Anomalous X-Ray Scattering,

Phys. Rev. B 34, 6529 (1986).

ed. by G. Materlik, C. J. Sparks, and K. Fisher, Elsevier,

A. Kirfel and A. Petkov, Zeitschrift fur Kristallographie

Amsterdam (1994), p. 495.

195, 1 (1991).

24.

Ch. Brouder, J. Phys.: Condens. Matter 2, 701 (1990).

10.

A. Sahiner, M. Croft, S. Guha, I. Perez, Z. Zhang,

25.

E. N. Ovchinnikova, V. E. Dmitrienko, A. P. Oreshko,

M. Greenblatt, P. A. Metcalf, H. Jahns, and G. Liang,

G. Beutier, and S. P. Collins, J. Phys.: Condens. Matter

Phys. Rev. 51, 5879 (1995).

22, 355404 (2010).

11.

V.E. Dmitrienko, Acta Crystallogr. A 39, 29 (1983).

26.

A. P. Oreshko, E. N. Ovchinnikova, G. Beutier,

12.

V.E. Dmitrienko, Acta Crystallogr. A 40, 89 (1984).

S. P. Collins, G. Nisbet, A. M. Kolchinskaya, and

13.

D. H. Templeton and L. K. Templeton, Acta Crystallogr.

V. E. Dmitrienko, J. Phys.: Condens. Matter.

24,

A 41, 365 (1985).

245403 (2012).

14.

V.E. Dmitrenko, K. Ishida, A. Kirfel, and

27.

Kokubun, A. Watanabe, M. Uehara,

E. N. Ovchinnikova, Acta Crystallogr. A

61,

481

E. N. Ovchinnikova, V. E. Dmitrienko, A. P. Oreshko,

(2005).

G. Beutier, and S. P. Collins, Phys. Rev. B 78, 115112

15.

J.-L. Hodeau, V. Favre-Nikolin, S. Bos, H. Renevier,

(2008).

E. Lorenzo, and J.-F. Berar, Chem. Rev. 101, 1843

28.

S. P. Collins, D. Laundy, V. E. Dmitrienko, D. Mannix,

(2001).

and P. Thompson, Phys. Rev. B 68, 064110 (2003).

16.

D. C. Meyer, A. Kupsch, and P. Paufler, J. Synchrotron

29.

V. E. Dmitrienko, E. N. Ovchinnikova, S. Collins,

Radiat. 10, 144 (2003).

G. Nisbet, G. Beutier, Y. O. Kvashnin, V. V. Mazurenko,

17.

C. Richter, M. Zschornak, D. Novikov, E. Mehner,

A. I. Lichtenstein, and M. I. Katsnelson, Nat. Phys. 10,

M. Nentwich, J. Hanzig, S. Gorfman, and D. C. Meyer,

202 (2014).

Nat. Commun. 9, 178 (2018).

30.

G. Beutier, S. P. Collins, O. V. Dimitrova,

18.

Э. Х. Мухамеджанов, Б. Б. Борисов, А. Н. Морковин,

V. E. Dmitrienko, M. I. Katsnelson, Y. O. Kvashnin,

A.A. Антоненко, А. П. Орешко, Е. Н. Овчинникова,

A. I. Lichtenstein, V. V. Mazurenko, G. Nisbet,

В. Е. Дмитриенко, Письма в ЖЭТФ 86, 896 (2007).

E. N. Ovchinnikova, and D. Pincini, Phys. Rev. Lett.

19.

V.E. Dmitrienko and E. N. Ovchinnikova, Acta Cryst.

119, 167201 (2017).

A 56, 340 (2000).

31.

Ю. И. Сиротин, М. П. Шаскольская, Основы кри-

20.

G. Beutier, S. P. Collins, E. N. Ovchinnikova, G. Nisbet,

сталлофизики, Наука, М. (1975).

and V. E. Dmitrienko, J. Phys.: Conference Series 519,

32.

Y. Joly, Phys. Rev. B 63, 125120 (2001);

012006 (2014).

http://www-cristallo.grenoble.cnrs.fr/simulation.

21.

G. Beutier, S. P. Collins, G. Nisbet, K. Akimova,

33.

A. P. Oreshko, E. N. Ovchinnikova, and A. Rogalev,

E. N.

Ovchinnikova,

A. P.

Oreshko,

and

J. Synchrotron Rad. 25, 222 (2018).

V.E. Dmitrienko, Phys. Rev. B 92, 214116 (2015).

34.

E. N. Ovchinnikova, A. Rogalev, F. Wilhelm,

22.

C. Richter, D. Novikov, E. Kh. Mukhamedzhanov,

F. de Bergevin, V. E. Dmitrienko, A. P. Oreshko,

K. A. Akimova, E. N. Ovchinnikova, A. P. Oreshko,

and K. A. Kozlovskaya, in press.

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 7 - 8

2019