Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 1, с. 3 - 9

Вклады высших порядков в амплитуды КХД

в реджевской кинематике

(Миниобзор)

В. С. Фадин¹⁾

Институт ядерной физики им. Г. И. Будкера Сибирского отделения РАН, 630090 Новосибирск, Россия

Новосибирский государственный университет, 630090 Новосибирск, Россия

Поступила в редакцию 13 ноября 2019 г.

После переработки 13 ноября 2019 г.

Принята к публикации 14 ноября 2019 г.

Знаменитое уравнение Балицкого-Фадина-Кураева-Липатова (БФКЛ) было получено с использова-

нием гипотезы о том, что амплитуды неабелевых калибровочных теорий с присоединенным представле-

нием калибровочной группы в кросс-каналах даются вкладом реджезованного калибровочного бозона.

Гипотеза верна в главном логарифмическом приближении, в котором уравнение было первоначально

выведено, и в следующем за ним. Но в следующем за следующим приближении это не так, поскольку

в этом приближении начинают вносить свой вклад реджевские разрезы. Обсуждаются вычисления их

вклада в амплитуды упругого рассеяния в квантовой хромодинамике и их роль в выводе уравнения

БФКЛ.

DOI: 10.31857/S0370274X20010014

1. Введение. Одно из фундаментальных урав-

Это относится не только к упругим амплитудам, но

нений квантовой хромодинамики (КХД), уравне-

и к амплитудам в мульти-реджевской кинематике

ние Балицкого-Фадина-Кураева-Липатова (БФКЛ)

(МРК), в которой все частицы имеют фиксиро-

[1-4], основано на замечательном свойстве КХД - ре-

ванные (не растущие с s) поперечные импульсы и

джезации глюона. КХД оказалась уникальной тео-

объединяются в струи с ограниченной инвариантной

рией поля, в которой реджезуются все элементарные

массой каждой струи и большими (растущими с s)

частицы - и кварк, и глюон [5-9].

инвариантными массами любой пары струй. Редже-

Реджезация элементарных частиц очень важна

зация глюона позволяет выразить бесконечное число

для теоретического описания высокоэнергетических

таких амплитуд через несколько реджевских вершин

процессов. Реджезация глюона особенно важна, по-

и траекторию реджзованного глюона. Поскольку

скольку она определяет поведение при высоких энер-

они дают доминирующий вклад в скачки амплитуд

гиях неубывающих с энергией сечений в возмущен-

с фиксированной передачей импульса в соотноше-

ческой КХД.

ниях унитарности, это обеспечивает простой вывод

В главном логарифмическом приближении

уравнения БФКЛ не только в ГЛП, но также и в

(ГЛП), когда в каждом порядке теории возмущений

СГЛП.

сохраняются только члены с высшими степеня-

Полюсная реджевская форма доказана во всех

ми логарифма энергии в системе центра инерции

порядках теории возмущений как в ГЛП [10], так и

(с.ц.и.)

√s, и в следующем за главным (СГЛП),

в СГЛП (см. [11, 12] и ссылки в них).

где удерживаются члены с меньшими на единицу,

Однако эта форма нарушается в ССГЛП. Впер-

чем главные, степенями ln s, реджезация глюона

вые нарушение полюсной формы было обнаружено

означает, что амплитуды с присоединенным пред-

в [13] при рассмотрении высоко-энергетического пре-

ставлением цветовой группы в кросс- каналах и

дела двухпетлевых амплитудах gg, gq и qq рассеяния.

отрицательной сигнатурой (симметрией относитель-

Позднее инфракрасно сингулярные члены, наруша-

но замены s ↔ u ≃ -s) определяются вкладами

ющие полюсную форму, были найдены в трех петлях

глюонного полюса Редже и имеют простую факто-

с использованием метода инфракрасной факториза-

ризованную форму (полюсную реджевскую форму).

ции [14-16].

Нарушение полюсной реджевской формы следо-

¹⁾e-mail: fadin@inp.nsk.su

вало ожидать, потому что хорошо известно, что по-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

В. С. Фадин

люса Редже в плоскости комплексных угловых мо-

инфракрасно сингулярных членов с использовани-

ментов порождают реджевские разрезы. Более то-

ем методов инфракрасной факторизации в рабо-

го, в амплитудах с положительной сигнатурой ред-

тах [14-16]. В этих работах было подтверждено на-

жевские разрезы появляются уже в ГЛП. В частно-

рушение двухпетлевыми нелогарифмическими чле-

сти, БФКЛ померон является двух-режеонным раз-

нами и были найдены инфракрасно сингулярные

резом. Но в амплитудах с отрицательной сигнатурой

одно-логарифмические члены, нарушающие полюс-

реджевские разрезы должны быть, по крайней ме-

ную форму, в трех петлях.

ре, трех-реджеонными и могут появляться только в

Для сравнения реджевской и инфракрасной фак-

ССГЛП. Поэтому было естественно ожидать, что на-

торизаций была введена функция нефакторизующе-

блюдаемое нарушение связано с вкладом разрезов.

гося остатка, и амплитуды рассеяния с присоединен-

Первое объяснение наблюдаемого нарушения бы-

ным представлением цветовой группы в t-канале и

ло дано в [17], где было показано, что члены, наруша-

отрицательной сигнатурой были записаны в виде

ющие полюсную реджевскую форму, могут идти от

вкладов трех-режеонного разреза. Но почти в то же

= A^RAB(s,t) + Γ(0)c s_A′_A

Γ(0)cB′_B RAB,

(3)

самое время было дано другое объяснение [18], где

вклад разреза отличается от [17] (см. также [19, 20]),

где A^RAB(s, t) определена в (1), верхний индекс (0)

и помимо разреза используется смешивание разреза

обозначает низший порядок, а R_AB представляет

и полюса.

нефакторизующийся остаток. С трехпетлевой точно-

Здесь мы представляем результаты расчета чле-

стью этот остаток можно представить в ССГЛП как

нов, нарушающих полюсную форму, и их объяснение

)₂ [

]

⁽α_s

⁽α_s)

в обоих подходах.

R_AB =

R(0)AB +

R(1)AB lns

(4)

2. Полюсная реджевская форма амплитуд

КХД и ее нарушение. Для процессов упругого

Для двухпетлевого вклада с использованием [13]

рассеяния A+ B → A^′ + B^′ в реджевской кинематике

имеем:

(s ≃ -u → ∞, t фиксировано (не растет с s)) редже-

(

)(

)

π²

зация означает, что амплитуды рассеяния с кванто-

R(0)qq =

1 - ϵ²ζ(2) ,

(5)

выми числами глюонов в t-канале и отрицательной

4ϵ²

N²

сигнатурой записываются в виде

(

)

3π²

R⁽⁰⁾

1 - ϵ²ζ(2) ,

(6)

= A^RAB(s,t) =

2ϵ²

]

)j(t)

(

)j(t)

(

)

[(-s

π²

=Γ^c

(1)

R(0)qg = -

1 - ϵ²ζ(2) ,

(7)

A^′A

Γ^cB′B,

-t

4ϵ²

где ϵ = (D - 4)/2, D - размерность пространства-

где Γ^cP ′_P

- вершины частица-частицa-реджеон

времени. В R(0)AB опущены только члены, исчезающие

(ЧЧР), или вершины рассеяния, “c”

- цветовые

индексы реджеона; j(t) = 1 + ω(t) - траектория

при ϵ → 0. Значения R(1)AB были получены с использо-

реджеона.

ванием инфракрасной факторизации, так что члены

Важным свойством полюсов Редже является

нулевого порядка по ϵ также опущены:

факторизация их вкладов

(

)

⁽αS )3 π² 2N2c - 5

(

)

(

)₂

R(1)qq = -

ϵ²ζ(2)

+ O

ϵ⁰

π ϵ³

12N_c

(2)

(8)

(

)

являющейся следствием того, что три амплитуды

⁽αS )3 π² 2

(

)

R(1)gg =

N_c

ϵ²ζ(2)

+ O

ϵ⁰

(9)

выражаются через две вершины ЧЧР.

π ϵ³ 3

Впервые нарушение полюсной реджевской фор-

)

⁽αS )3 π² N_c (

(

)

мы было обнаружено в [13] при сравнении двухпет-

R(1)qg =

ϵ²ζ(2)

+ O

ϵ⁰

(10)

π ϵ³

левых амплитуд рассеяния gg, gq и qq в пределе вы-

соких энергий. Низшие члены ССГЛП - это нелога-

Надо сказать, что трехпетлевые результаты (8)-(10)

рифмические двухпетлевые члены. В [13] было об-

были получены с использованием так называемой

наружено, что ограничения, накладываемые на них

дипольной формы [21-25] матрицы инфракрасных

условием факторизации (2), не выполняются.

аномальных размерностей. Оказывается, эта форма

Рассмотрение нарушения полюсной реджевской

верна только до двух петель. Недавно была вычис-

формы в трех петлях было выполнено только для

лена квадрупольная поправка, появляющаяся в трех

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Вклады высших порядков в амплитуды КХД в реджевской кинематике

петлях [24]. Однако в ССГЛП эта поправка оказы-

для всех представлений, (T^a)^bc = -if_abc для глю-

вается существенна только для амплитуд с положи-

TbP) =

онов, (T^a)α′α

= (t^a)α′α для кварков; Tr(

тельной сигнатурой [18], так что она не меняет ре-

= T_Pδ_ab, T_q = 1/2, T_g = N_c. Цветовые множители

зультаты (8)-(10).

можно разложить по неприводимым представлениям

3. Вклады реджевских разрезов. Ненулевая

R цветовой группы в t-канале:

функция остатка R_AB была объяснена с помощью

(

)α^′β^′

∑

′

трех-реджеонных разрезов в двух работах [17, 18].

C(0)σ

[PRAB ]α′βαβ

G(R)(0)σAB ,

(13)

αβ

Это можно было бы считать хорошей новостью, ес-

ли бы объяснения были одинаковыми. К сожалению,

где

′

∑

[PRAB ]α′βαβ

(14)

это не так. Различия в объяснениях начинаются с ис-

[PR,nA]α′α[P^B,n∗]ββ′ ,

пользуемых подходов. Подход, используемый в [17]

(см. также [19, 20]), можно назвать диаграммным,

PR,n является волновой функцией состояния n в

поскольку он исходит из диаграмм Фейнмана. На-

представлении R в пространстве цветовых индексов

против, подход, использованный в [18], не имеет от-

с нормировкой

ношения к диаграммам Фейнмана и основан на пред-

[PR,nP]^αβ [PR′,n′ ∗P]^αβ = T_P δR,R′ δ_n,n′ ,

(15)

ставлении амплитуд рассеяния при высоких энерги-

ях вильсоновскими линиями. Оба подхода объясня-

так что

ют нарушение полюсной формы в трех петлях, но

G(R)(0)σAB =

по-разному.

(Tc1A

N_R T_A T_B

3.1. Диаграммный подход.

(

)_β′

′

Tc³

[PR∗AB ]α′βαβ

(16)

3.1.1. Появление разреза. Из-за сохранения сиг-

× Tc1B

натуры разрез с отрицательной сигнатурой должен

N_R - размерность представления R.

быть трех-реджеонным. Поскольку наш реджеон яв-

В отличие от реджеона, который вносит вклад

ляется реджезованным глюоном, трех-реджеонный

только в амплитуды с присоединенным представле-

разрез начинается со вклада амплитуд, отвечающих

нием цветовой группы (цветовой октет в КХД) в t-

диаграммам Фейнмана с тремя глюонами в t-канале,

канале, разрез может вносить вклад в амплитуды с

отличающимися перестановками σ глюонных вер-

различными представлениями.

шин (σ принимает значения a, b, c, d, e, f). Амплиту-

Возможными представлениями для кварк-

можно записать в виде суммы по переста-

кваркового и кварк-глюонного рассеяния являются

новкам σ произведений цветовых множителей и не

только синглет

(1) и октет

(8), тогда как для

зависящих от цвета матричных элементов:

глюон-глюонного рассеяния существуют синглет

(1), симметричный

8_s и антисимметричный

8_a

= (χ^∗A′ )α′ (χB ′ )β′ ×

∑(

)_α′β^′

октеты, 10, 10^∗ и 27. Учет бозе-статистики глю-

C(0)σ

(χ_A)^α(χ_B )^β M(0)σAB(s, t),

(11)

онов и симметрии представлений 1, 8_s и 27 дает,

αβ

что возможными представлениями в амплитудах

с отрицательной сигнатурой являются

8_a,

где χ обозначает цветовую часть волновых функций,

10^∗ для глюон-глюонного рассеяния, 1 и 8 для

α и β (α^′ и β^′) - цветовые индексы начальных (ко-

кварк-кваркового рассеяния и только 8 для кварк-

нечных) частиц A и B соответственно.

глюонного рассеяния. Имеет смысл сказать, что при

Здесь одинаковые буквы используются для цвето-

N_c > 3 ситуация существенно не меняется, посколь-

вых индексов кварка и глюона; однако следует пом-

ку появляется только дополнительное симметричное

нить, что для глюонов нет разницы между верхним

представление для двухглюонной системы.

и нижним индексами (принимающими значения от 1

Важным является само существование в ампли-

до N2c - 1), тогда как для кварков нижний и верхний

тудах с отрицательной сигнатурой представлений

индексы (принимающие значения от 1 до N_c) отно-

цветовой группы, отличных от присоединенного, что

сятся к взаимно сопряженным представлениям.

означает существование особенностей, отличных от

Цветовые множители

полюса Редже, в плоскости комплексных моментов

(

)α^′β^′

(

)_β′

импульса.

C(0)σ

= (T_A

)α′

Tc³

(12)

Tc²A

Tc¹B

αβ

Операторы проектирования для октетного пред-

ставления (далее опускаем индекс a в 8_a):

где T^a являются генераторами цветовой группы в

соответствующих представлениях, [T^a, T^b] = if_abcT^c

[P8gg ]^aba′_b′ = -faa′cfbb′c

(17)

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

В. С. Фадин

для глюон-глюонного рассеяния,

G(8)(0)aAB + G(8)(0)fAB входит в амплитуды с отрицатель-

ной сигнатурой. Оказывается, что

(18)

= -if^caa′(t^c)β′β

[

]

G(8)(0)aAB + G(8)(0)f

= G(8)(0)AB +

(26)

для глюон-кваркового рассеяния, и

(19)

тогда как для всех других диаграмм (σ = b, c, d, e)

= (t^c)α′α (t^c)

G(8)(0)σAB = G(8)(0)AB . Реджевская полюсная фактори-

для кварк-кваркового рассеяния.

зация требует равенства

Каналы 10 и 10^∗ существуют только для глюон-

глюонного рассеяния. Операторы проектирования

G(8)(0)gg + G(8)(0)qq = 2G(8)(0)gq.

(27)

(

N_c

Поскольку

[P10gg ]^aba′_b′′ =

δ_abδ_a′_b′ - δ_ab′ δ_a′_b -

(

)

f_aa′_cf_bb′_c

G(8)(0)gg =

, G(8)(0)gq =

, G(8)(0)qq =

-1 +

-2

+ if_ba′_cd_b′_ac + id_ba′_cf_b′_ac

(20)

N²

N_C

^c(28)

(

очевидно, что полюсная факторизация нарушена.

]^aba′_b′′ =

[P10gg ]^aba′_b′′

)^∗.

(21)

Но видно также, что члены, нарушающие полюс-

ную факторизацию, имеют σ-независимые цветовые

И, наконец, канал 1 в отрицательной сигнатуре суще-

коэффициенты, так что зависящие от импульсов ко-

ствует только для кварк-кваркового рассеяния; опе-

эффициенты для них суммируются в эйкональные

ратор проектирования

амплитуды.

Однако цветовые множители (28) могут быть не

(22)

δα′αδ

2N_c

полностью отнесены к вкладам разреза. В самом де-

ле, разделение вкладов полюса и разреза невозможно

Для представлений R, отличных от присоединен-

в двухпетлевом приближении из-за неоднозначности

ного, цветовые коэффициенты G(R)(0)σAB не зависят от

выделения части амплитуд, нарушающих фактори-

σ; они равны

зацию: всегда можно записать

(N2c-4)(N2c-1)

G(10 + 10^∗)(0)σgg= -

N_c, G(1)(0)σqq=

G(8)(0)AB = G(8)(0)cutAB + G(8)(0)poleAB,

8N²

(23)

с G(8_a)(0)poleAB, удовлетворяющими условию фактори-

для любых σ. Поэтому зависящие от импульсов мно-

зации, но в остальном произвольными.

жители для таких представлений суммируются в эй-

3.1.2. Три петли. Разделение становится возмож-

кональную амплитуду

ным в более высоких петлях, из-за различной энер-

∑

гетической зависимости вкладов полюса и разреза.

⁽-4π² )

M(0)σAB(s, t) = A^eik = g⁶ s

q² A₂(q_⊥),

Энергетическая зависимость вклада полюса опре-

деляется (помимо множителя s) фактором Редже

(24)

exp(ω(t)ln s), где 1 + ω(t) - траектория глюона,

где

∫

d2+2ϵl

d2+2ϵl₁d2+2ϵl₂

ω(t) = -g²N_cq

(29)

A₂(q_⊥) =

(25)

2(2π)(3+2ϵ)l²(q - l)²

(2π)2(3+2ϵ)l²¹l²²(q - l₁ - l₂)²

в то время как для разреза с тремя реджеонами это

Этот результат очень важен, потому что вклад раз-

exp(^K lns), где

реза должен быть калибровочно-инвариантным, то-

гда как M(0)σAB, взятые отдельно, зависят от калиб-

K= ω₁ + ω₂ + ω₃ +

K_r(1, 2)+

K_r(1, 3)+

K_r(2, 3), (30)

ровки.

В канале реджезованного глюона цветовые коэф-

ω_i обозначает траекторию i-го реджеона, а

K_r(m, n) -

фициенты G(R)(0)σAB зависят от σ. Однако эта зави-

реальная часть ядра БФКЛ, описывающая взаимо-

симость имеет специфическую форму. Пусть σ = a

действие между реджеонами m и n. Явная форма

(σ = f) относится к диаграмме без u- (s-) каналь-

реальной части ядра, описывающая взаимодействие

ных разрезов. Обратим внимание, что, поскольку

между двумя реджеонами с поперечными импульса-

M(0)aAB и M(0)fAB связаны заменой s ↔ u, только сумма

ми q₁ и q₂ и цветовыми индексами c₁ и c₂

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Вклады высших порядков в амплитуды КХД в реджевской кинематике

′

[K_r(q₁, q₂; k)]^c

c′2 =

c1c2

G(8)^g

]

g²

^[q²¹q′22 + q²²q′21

(38)

= -T^ac

T^ac

-q2 ,

(31)

3(1 - N²)

1c¹

2c^′

(2π)D-1

k²

G(8)qqut) =

4N²

где q₁ + q₂ = q′1 + q′2 = q, q₁ - q′1 = q′2 - q₂ = k.

3.2. Подход вильсоновских линий. Объяснение на-

Трехпетлевой цветовой коэффициент G(R)(1)σAB

рушения полюсной реджевской формы, приведенное

просто пропорционален G(R)(0)σAB. Что касается вкла-

в [18], отличается от описанного выше. Связь трех-

да траектории, то это очевидно. Это также верно

реджеонных разрезов с диаграммами Фейнмана в

для вкладов реальной части, потому что оператор

∑₃

этой статье не была прослежена. Цветовые коэффи-

T^c(i

T^c(j) действует на состояние Ψ(R), для

i>j=1

циенты G(R)(0)CAB для вкладов разреза в ней берутся

которого, благодаря сохранению цвета,

как

(

)

∑

T^c(i) +

T c(R) Ψ(R) = 0,

(32)

G(R)(0)CAB =

(Tc1A

6!N_R T_A T_B

i=1

)

β^′

(∑

где

T c(R) - генератор цветовой группы в представ-

Tc³

[PR∗AB ]^αβα′_β′ .

(39)

Tc¹B

лении R. Это дает

∑

Что касается зависящей от импульсов части, она при-

T^c(i

T^c(j)Ψ(R) =

(C₂(R) - 3C₂(8))Ψ(R),

нимается равной A^eik (24). Для представлений R,

i>j=1

отличных от присоединенного, это согласуется с диа-

(33)

граммным подходом, поскольку цветовые коэффици-

где C₂(R) - значение оператора Казимира в пред-

енты G(R)(0)σAB не зависят от σ для таких представ-

ставлении R; C₂(8) = N_c. Следовательно, в ССГЛП

лений (см. (23)). Поэтому в обоих подходах вклады

трехпетлевая поправка равна

)

((

)

разрезов одинаковы для этих представлений.

⁽-4π

Но это не так для присоединенного представле-

G(R)(cut)AB g⁸ s

q²

N_c - C₂(8)

ния, где цветовые коэффициенты G(8)(0)CAB работы

)

[18] равны

× Ab3(q_⊥) -

(3N_c - C₂(8)) Ac3(q_⊥) ln s,

(34)

где

G(8)(0)CAB = G(8)(0)AB +

(40)

∫

d2+2ϵl₁ d2+2ϵl₂d2+2ϵl₃

Ab3(q_⊥) = -

G(R)(0)AB даются (28). Что касается зависящей от им-

(2π)3(3+2ϵ)l²¹l²²l²³(q - l₁ - l₂ - l₃)²

(35)

пульсов части, она также принимается равной A^eik

∫

d2+2ϵl₁ d2+2ϵl₂d2+2ϵl₃(q - l₁)

(24). Это выглядит странно с точки зрения диа-

Ac3(q_⊥)=

(2π)3(3+2ϵ)l²¹l²²l²³(q - l₁ - l₂)²(q - l₁ - l₃)²

граммного подхода, поскольку для появления A^eik

(36)

требуется равенство всех слагаемых в сумме по σ в

Расчет трехпетлевых поправок [20] показывает,

(39). В двух петлях разница Δ_AB между двумя под-

что нарушение полюсной реджевской формы, обна-

ходами такова, что

руженное в этом приближении с помощью инфра-

красной факторизации, можно объяснить вкладом

Δ_gg + Δ_qq = 2Δ_gq

(41)

полюса и разреза. Ограничения, накладываемые ин-

и, следовательно, она может быть отнесена к вкла-

фракрасной факторизацией на амплитуды партонно-

ду полюса. Для этого достаточно изменить двухпет-

го рассеяния с присоединенным представлением цве-

левые вклады в вершины глюон-глюон-реджеон и

товой группы в t-канале и отрицательной сигнату-

кварк-кварк-реджеон в (1).

рой, могут выполняться в ССГЛП в двух и трех пет-

Но в трех петлях вклады разреза оказываются

лях, если, кроме вклада полюса Редже, есть вклад

равными

реджевского разреза

)

⁽-4π

⁽-4π² )

G(8)(cut)AB g⁶ s

q² ×

G(8)(0)CAB g⁶ s

q² ×

(

))

(

))

× A₂(q_⊥) + g²Nc lns

Ab3(q_⊥) - Ac3(q_⊥)

(37)

× A₂(q_⊥) + g²Nc lns

Ab3(q_⊥) - Ac3(q_⊥) lns, (42)

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

В. С. Фадин

и объяснить нарушение полюсной формы, только

Это не сложно и для произведений виртуальных и

разрезом невозможно. Это можно сделать только ес-

реальных частей из-за свойства (32). Оно дает

ли ввести смешивание полюса и разреза [18] с цвето-

выми коэффициентами

G(R)(2)σAB,VR =Nc

(C₂(R) - 3N_c) G(R)(0)σAB .

(48)

∑ (

)

G(8)(1)mixAB=

Tr T^cg

g Tgc3

Однако, это довольно сложно для квадрата реальной

6(N²

- 1) T_A T_B

части. Он содержит матричные элементы

× [T_AT r (T^cBTc1B

Tc³B)+TBTr(

Tc¹A

T c³A )].

∑

(43)

〈Ψ^σB|

T^c(i

T^c(j

T^d(i

T^d(j)|Ψ_A〉

(49)

Смешивание дает вклад только начиная с трех пе-

i=j=1

тель.

Следует отметить, что в подходе, используемом в

[18], вклад разреза не подавлен при больших N_c, т.е.

∑

〈Ψ^σB|

T^c(i

T^c(j

T^d(i

T^d(k)|Ψ_A〉.

(50)

он существует в планарной N = 4 SYM, что противо-

i=j=k=1

речит общему представлению, что в пределе высоких

энергий четырехточечные амплитуды в этой теории

Из-за (32) их разница равна

даются вкладом реджезованного глюона.

3.3. Четыре петли в диаграммном подходе.

(C₂(R) - 3N_c)² G(R)(0)σAB,

(51)

Представленные выше трехпетлевые результаты не

позволяют отвергнуть какой-либо из подходов. Это

поэтому достаточно получить первый.

можно было бы сделать, сравнивая их результаты в

Довольно утомительные расчеты дают его вклад

высших петлях с результатами вычислений методом

G(8)(s)σAB в G(R)(2)σAB:

инфракрасной факторизации. К сожалению, они

еще не известны. Некоторые результаты известны

G(8)(s)bAB = G(8)(s)cAB = G(8)(s)dAB = G(8)(s)eAB = G(8)(s)AB ,

только в диаграммном подходе.

(52)

)

В четырех петлях есть три типа вкладов. Пер-

1⁽

⁽N4c

3N2c

G(8)(s)aAB + G(8)(s)f

= G(8)(s)AB +

вый (самый простой) идет от реджевских траекто-

рий каждого из трех реджеонов. Второй тип содер-

(53)

жит поправки от произведений траекторий и реаль-

Важно заметить, что члены, нарушающие полюс-

ных частей ядра БФКЛ, а третий - от реджеон-

ную факторизацию, имеют σ-независимые цветовые

реджеонных взаимодействий. Зависимая от импуль-

коэффициенты, что обеспечивает их калибровочную

са часть всех этих поправок выражается через инте-

инвариантность так же, как в двух и трех петлях.

гралы

4. Обсуждение. Полюсная реджевская фор-

∫

ма амплитуд КХД, являющаяся основой уравнения

d2+2ϵl₁ d2+2ϵl₂ d2+2ϵl₃

Ii =

F_iδ3+2ϵ(q - l₁ - l₂ - l₃),

БФКЛ и справедливая в ГЛП и в СГЛП, наруша-

(2π)3(3+2ϵ)l²¹l²²l²

ется в ССГЛП. Естественно думать, что причиной

(44)

нарушения являются трех-реджеонные разрезы. Эта

где

мысль подтверждается тем фактом, что наблюдае-

F_a = f₁(l₁)f₁(l₂), F_b = f₁(l₁)f₁(l₁), F_c = f₂(l₁ + l₂),

мое нарушение может быть объяснено реджевскими

разрезами [17, 18]. Но объяснения, приведенные в [17]

F_d = f₁(l₁ + l₂)f₁(l₁ + l₂), F_e = f₁(q - l₁)f₁(q - l₃),

(см. также [19, 20]) и [18], различаются. В [17] на-

(45)

∫

рушение объясняется только вкладом разреза, в то

d2+2ϵl

f₁(k) = k²

время как в [18] вводится также смешивание полюса

(2π)(3+2ϵ)l²(l - k)²

и разреза. Подходы [17, 18] согласуются в трех пет-

∫

(46)

d2+2ϵlf1(l)

лях, но должны расходиться в более высоких петлях.

f₂(k) =

(2π)(3+2ϵ)l²(l - k)²

Возможный выбор между ними может быть сделан

в четырех петлях.

Вычисление цветовых факторов G(R)(2)σAB не легко.

Но полное доказательство того, что амплитуды

Конечно, это тривиально для квадратов вирту-

КХД с квантовыми числами глюонов в кросс-

альных частей. Соответствующий цветовой множи-

каналах и отрицательной сигнатурой даются в

тель

ССГЛП вкладами реджевского полюса и трех-

N²

G(R)(2)σAB,VV =

G(R)(0)σAB .

(47)

режеонного разреза, со смешиванием или без него,

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Вклады высших порядков в амплитуды КХД в реджевской кинематике

требует или проверки в каждом порядке возмущения

10.

Ya. Ya. Balitskii, L. N. Lipatov, and V. S. Fadin, in

теория (что, очевидно, невозможно) или изобрете-

Materials of IV Winter School of LNPI, Leningrad

ния какого-либо метода, такого как бутстрап для

(1979), p. 109.

доказательства реджезации глюона.

11.

B. L. Ioffe, V. S. Fadin, and L. N. Lipatov, Quantum

Появление реджевских разрезов в амплитудах с

chromodynamics: Perturbative and nonperturbative

отрицательной сигнатурой значительно осложняет

aspects, Cambridge University Press, Cambridge (2010).

вывод уравнения БФКЛ, использующий соотноше-

12.

V. S. Fadin, M. G. Kozlov, and A. V. Reznichenko, Phys.

ния унитарности.

Rev. D 92, 085044 (2015).

13.

V. Del Duca and E. W. N. Glover, JHEP 0110, 035

Работа поддержана частично Министерством на-

(2001); hep-ph/0109028.

уки и высшего образования РФ, частично Россий-

14.

V. Del Duca, G. Falcioni, L. Magnea, and L. Vernazza,

ским фондом фундаментальных исследований, грант

Phys. Lett. B 732, 233 (2014) .

#19-02-00690.

15.

V. Del Duca, G. Falcioni, L. Magnea, and L. Vernazza,

PoS RADCOR 2013, 046 (2013).

16.

V. Del Duca, G. Falcioni, L. Magnea, and L. Vernazza,

1. V. S. Fadin, E. A. Kuraev, and L. N. Lipatov, Phys. Lett.

JHEP 1502, 029 (2015).

B 60, 50 (1975).

17.

V. S. Fadin, AIP Conf. Proc. 1819(1), 060003 (2017).

2. E. A. Kuraev, L. N. Lipatov, and V. S. Fadin, ZhETF

71, 840 (1976) [Sov. Phys. JETP 44, 443 (1976)].

18.

S. Caron-Huot, E. Gardi, and L. Vernazza, JHEP 1706,

016 (2017).

3. E. A. Kuraev, L. N. Lipatov, and V. S. Fadin, ZhETF

72, 377 (1977) [Sov. Phys. JETP 45, 199 (1977)].

19.

V. S. Fadin and L. N. Lipatov, Eur. Phys. J. C 78(6),

439 (2018).

4. I. I. Balitsky and L. N. Lipatov, Yad. Fiz. 28, 1597

(1978) [Sov. J. Nucl. Phys. 28, 822 (1978)].

20.

V. S. Fadin, PoS DIS 2017, 042 (2018).

5. M. T. Grisaru, H. J. Schnitzer, and H. S. Tsao, Phys.

21.

T. Becher and M. Neubert, Phys. Rev. Lett. 102, 162001

Rev. Lett. 30, 811 (1973).

(2009); Erratum: [Phys. Rev. Lett. 111(19),

199905

6. M. T. Grisaru, H. J. Schnitzer, and H. S. Tsao, Phys.

(2013].

Rev. D 8, 4498 (1973).

22.

T. Becher and M. Neubert, JHEP 0906, 081 (2009);

7. L. N. Lipatov, Yad. Fiz. 23, 642 (1976) [Sov. J. Nucl.

Erratum: [JHEP 1311, 024 (2013)].

Phys. 23, 338 (1976)].

23.

E. Gardi and L. Magnea, Nuovo Cim. C 32(5-6), 137

8. V. S. Fadin and V. E. Sherman, Pisma ZhETF 23, 599

(2009) [Frascati Phys. Ser. 50, 137 (2010)].

(1976).

24.

Ø. Almelid, C. Duhr, and E. Gardi, Phys. Rev. Lett.

9. V. S. Fadin and V. E. Sherman, ZhETF 72, 1640 (1977).

117(17), 172002 (2016).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020