Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 1, с. 12 - 18

Модификация эндоэдрального потенциала после мгновенной

ионизации внутреннего атома

М. Я. Амусья+∗1), A. С. Балтенков^×, Л. В. Чернышева^∗

⁺Институт физики Рака, Еврейский университет, 91904 Иерусалим, Израиль

^∗Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе, 194021 С.-Петербург, Россия

^×Институт ионно-плазменных и лазерных технологий им. Арифова, 100125 Ташкент, Узбекистан

Поступила в редакцию 25 октября 2019 г.

После переработки 9 ноября 2019 г.

Принята к публикации 21 ноября 2019 г.

В работе исследуется изменение потенциала эндоэдрала A@CN вследствие мгновенной ионизации

внутреннего атома A. Используя подходящую модель для описания оболочки фуллерена CN, удалось

рассчитать это изменение, которое возникает следствие ее монопольной поляризации. Показано, что фе-

номенологические потенциалы, хорошо моделирующие оболочку CN, должны принадлежать семейству

потенциалов с неплоским дном, в отличие от очень часто используемых потенциалов с дном плоским,

типа прямоугольной ямы. В качестве конкретного примера мы используем модельный потенциал в фор-

ме Лоренца. Изменяя его форму, мы описываем различные степени монопольной поляризации оболочки

CN положительным электрическим зарядом в ее центре. Вычислены сечения фотоионизации атомов He,

Ar и Xe, расположенных в центре оболочки C60, с учетом и без учета сопровождающей этот процесс

монопольной поляризации фуллереновой оболочки. Неожиданно обнаружилось, что монопольная поля-

ризация не влияет на сечения фотоионизации этих эндоэдральных атомов, представляя очень редкий

пример “маскировки” потенциала.

DOI: 10.31857/S0370274X20010038

1. Цель этого Письма - найти дополнительный

зовать, однако, другое, заметно более реалистиче-

потенциал, индуцированный в электронной оболоч-

ское усреднение. А именно, сначала “размажем” по-

ке эндоэдрала A@C_N за счет мгновенной ионизации

ложительный заряд по сфере радиуса R, учитывая,

внутреннего атома A. Мы рассматриваем этот эф-

что все ядра атомов углерода расположены на рав-

фект как действие дополнительного положительно-

ных расстояниях R от центра фуллереновой оболоч-

го заряда z, добавленного в центр C_N. Мы намерены

ки. После этого определим пространственное распре-

также исследовать влияние этого дополнительного

деление электронов в поле этой сферы. Подобный

потенциала на сечение фотоионизации эндоэдрала.

подход приводит к потенциальной яме с неплоским

Идея о том, что взаимодействие электрона с по-

дном [5].

чти сферическим фуллереном C_N может быть опи-

Уравнение Пуассона определяет взаимное про-

сана феноменологическим потенциалом U(r), обра-

странственное распределение положительных и от-

зованным “размытыми” атомами углерода - широко

рицательных электрических зарядов, создающих по-

используемый подход (см., например, [1-3] и ссыл-

тенциал U(r). Решения этого уравнения существен-

ки там), несмотря на то, что подобный подход су-

но различаются для указанных двух типов функ-

щественно упрощает реальное молекулярное поле.

ции U(r). Функции с плоским дном соответству-

Процедура размытия атома определяет вид потен-

ют “луковичной” молекулярной структуре с двумя

циальной функции U(r). Если предположить [4],

пространственно-разделенными слоями двойных за-

что положительный заряд ядер С вместе с отри-

рядов, тогда как функции U(r) с неплоским дном со-

цательным зарядом электронов равномерно “разма-

ответствуют трехслойной структуре зарядов, в кото-

зан” по объему между двумя концентрическими сфе-

рой слой положительных зарядов расположен меж-

рами, мы приходим к функции U(r) в виде потен-

ду двумя отрицательными. Такое расположение по-

циальной ямы с плоским дном. Мы можем исполь-

ложительной и отрицательной компонент фуллере-

новой оболочки приводит к появлению минимума

¹⁾e-mail: amusia@vms.huji.ac.il

функции U(r) при r = R.

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Модификация эндоэдрального потенциала после мгновенной ионизации внутреннего атома

В качестве конкретного примера C_N рассмот-

эффект, авторы [9] ввели модифицированную версию

рим почти идеально сферический фуллерен С₆₀. Его

прямоугольной потенциальной ямы. Они пришли к

внутренний объем достаточно велик, чтобы вместить

выводу, что внутреннюю статическую поляризацию

отдельные атомы А или даже небольшие молекулы.

оболочки С₆₀ “нельзя игнорировать при фотоиониза-

Силы Ван-дер-Ваальса, действующие между оболоч-

ции эндоэдральных атомов вблизи порога”.

кой A и С₆₀, слишком слабы, чтобы исказить элек-

В настоящем Письме рассматривается монополь-

тронную структуру как A, так и С₆₀, а поэтому

ная поляризация С₆₀ в рамках модельных потенци-

эти структуры в A@С₆₀; можно считать независи-

алов другого типа - с неплоским дном, так называе-

мыми друг от друга. При фотоионизации атома А

мых потенциалов с профилем Лоренца [11, 12]. Сна-

фотоэлектрон подвергается воздействию потенциа-

чала с помощью уравнения Пуассона мы рассмот-

ла атомного остатка и фуллереновой оболочки и, в

рим пространственное распределение зарядов, кото-

свою очередь, воздействует на электронную подси-

рые создают потенциальную яму с профилем Ло-

стему С₆₀. Под действием фотоэлектрона, когда он

ренца. Затем, изменяя толщину левого и правого

находится далеко от центра С₆₀, коллективизирован-

крыльев потенциальной ямы, установим связь этого

ные электроны оболочки фуллерена в целом смеща-

изменения со смещением части коллективизирован-

ются относительно своего жесткого положительного

ных электронов относительно положительного осто-

остова. Таким образом, С₆₀ приобретает индуциро-

ва фуллереновой оболочки. Далее оценим относи-

ванный электрический дипольный момент. Ряд ра-

тельное число электронов, втянутых к центру остова

бот описывает влияние соответствующего дипольно-

положительным электрическим зарядом z, располо-

го поляризационного потенциала С₆₀ на упругое рас-

женным в его центре. Затем используем асимметрич-

сеяние электронов на эндоэдральных атомах A@С₆₀

ную потенциальную яму Лоренца для расчета сече-

и их фотоионизацию (см. [6-8]).

ний фотоионизации эндоэдральных атомов He, Ar и

Наряду с дипольной поляризацией оболочки фул-

Xe с учетом монопольной поляризации C₆₀.

лерена, имеет место и ее монопольная поляризация

2. Модельный потенциал U(r) для оболочки C₆₀

под действием электрического заряда внутри поло-

должен удовлетворять двум общим требованиям. Во-

сти С₆₀. Действительно, при фотоионизации атома

первых, он должен описывать притяжение, и поддер-

А, помещенного в центр оболочки С₆₀, возникает до-

живать, по крайней мере, один электронный уровень

полнительный положительный заряд атомного осто-

s-состояния с энергией связи E_s = -2.65 эВ, таким

ва. Этот заряд сдвигает отрицательную электронную

образом, воспроизводя значение электронного срод-

плотность оболочки С₆₀ относительно положитель-

ства, измеренное в УФ фотоэлектронной спектроско-

ной плотности ионов углерода. Смещение электрон-

пии отрицательного иона C₆₀ [2, 13]. Во-вторых, по-

ной плотности в каждом элементарном объеме обо-

тенциал U(r) должен располагаться вблизи экспери-

лочки С₆₀ под действием положительного атомно-

ментального радиуса фуллерена R в довольно тон-

го остатка A⁺ приводит к созданию индуцированно-

кой сферической оболочке с толщиной Δ порядка

го электрического дипольного момента этого объе-

нескольких атомных единиц. В работах [11, 12] U(r)

ма. Оси всех элементарных дипольных моментов на-

рассчитан в рамках самосогласованной модели сфе-

правлены в центр сферы С₆₀. Таким образом, поло-

рического “желе” для коллективизированных элек-

жительный заряд z в центре С₆₀ сжимает сфериче-

тронов. При таком подходе электростатический по-

ское электронное облако по направлению к центру

тенциал фуллереновой оболочки в целом представ-

С₆₀, вызывая дополнительный потенциал монополь-

ляет собой сумму положительного потенциала ядер

ной поляризации С₆₀.

атомов углерода, “размазанных” по сфере с радиу-

В работе [9] (тот же подход недавно был повторен

сом R, и отрицательного потенциала, создаваемого

в [10]) анализируется влияние монопольной поляри-

электронными облаками атомов углерода.

зации на процесс фотоионизации A@С₆₀. Авторы в

Форма Лоренца для этого пузырькового потенци-

[9] назвали это “внутренней статической поляризаци-

ала имеет вид

ей оболочки С₆₀”. Они пишут: “Квинтэссенция это-

го эффекта заключается в том, что ион-остаток A⁺,

d²

U (r) = -U_max

(1)

если происходит фотоионизация и появляется фото-

(r - R)² + d²

электрон, может поляризовать оболочку С₆₀... Это

приводит к тому, что потенциал оболочки фуллере-

В [12] выбранная глубина U_max и толщина Δ = 2d (в

на U(r) будет отличаться от этого потенциала без

середине максимальной глубины) позволили распо-

учета статической поляризации”. Чтобы учесть этот

ложить в (1) электронный уровень, который соответ-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

М. Я. Амусья, A. С. Балтенков, Л. В. Чернышева

ствует экспериментальному электронному сродству

молекулы C₆₀.

Соотношение U(r) = -ϕ(r) позволяет связать

выражение (1) с потенциалом электрического поля

ϕ(r), которым оболочка C₆₀ воздействует на элек-

трон. Здесь мы учитываем, что заряд электрона ра-

вен (-1). В работе использована атомная система

единиц. Уравнение Пуассона [14] определяет потен-

циал электростатического поля ϕ(r) как функцию от

ρ(r)

Δϕ = -4πρ,

(2)

где ρ(r) - плотность электрических зарядов, образу-

ющих потенциальную яму (1). В сферических коор-

динатах с центром в центре оболочки C₆₀, следующее

уравнение определяет зависимость плотность заряда

от радиуса:

1 d²

[rU(r)] = 4πρ(r).

(3)

r dr²

Применяя (3) к потенциалу (1), мы получаем про-

странственное распределение электрического заряда

Q(r) = 4πρr², которое создает потенциал пузырька

Рис. 1. (Цветной онлайн) Пространственное распреде-

в форме Лоренца (1). На рисунке 1 (верхняя часть)

ление электрического заряда потенциала пузырьково-

представлена функция Q(r) в зависимости от ради-

го типа (1) в форме Лоренца с параметрами R = 6.665,

уса r. Плотность заряда, согласно рис. 1, есть трех-

Δ = ΔL = ΔR = 1.0 и Umax = 0.4415 (верхняя часть).

слойный сэндвич. Средний слой представляет собой

Распределение заряда электронов для разных ΔL и ΔR

положительно заряженные ионы C⁴⁺, а внутренний

из табл. 1 (нижняя часть). Зазор между сферами сфе-

и внешний слои отображают отрицательно заряжен-

рического конденсатора составляет ΔR ≈ 1. Все пара-

метры приведены в атомных единицах (at. un.)

ные облака коллективизированных электронов. Об-

щий заряд оболочки C₆₀ равен нулю, поскольку по-

тенциал (1) есть потенциал короткого радиуса. Ин-

в которой параметр диффузности η является фикси-

тегрирование отрицательных частей кривой Q(r) по-

рованным положительным произвольно малым чис-

казывает, что около 46 % отрицательного заряда на-

лом, и который, следовательно, в конечном итоге мо-

ходится во внутреннем электронном облаке. Внешнее

жет быть положен равным нулю. В нижней части

электронное облако содержит остальной отрицатель-

рис. 1 представлены электронные плотности левого

ный заряд оболочки C₆₀.

и правого облаков в зависимости от радиуса r. В

Покажем, что, изменяя параметр Δ левого и пра-

таблице 1 представлены результаты расчета отрица-

вого крыльев потенциальной ямы (1), мы можем опи-

тельных зарядов этих электронных облаков. Выбор

сать переход электронов из внешнего электронного

параметров таков, что энергия сродства и в асиммет-

облака во внутреннее через жесткий положитель-

ричном потенциале Лоренца всегда остается близкой

ный остов фуллерена C₆₀ и проанализировать раз-

к E_s = -2.65эВ.

личные степени монопольной поляризации его обо-

Оценим в грубом приближении долю электро-

лочки. Для этого заменим постоянную толщину Δ в

нов, перенесенных из внешнего облака во внутрен-

(1) следующим выражением

нее под воздействием положительного электрическо-

го заряда z, расположенного в центре сферической

Δ(r) = Δ_L + (Δ_R - Δ_L)Θ(R - r).

(4)

оболочки. Предположим, что электроны обоих обла-

ков расположены на концентрических сферах с ра-

Здесь Δ_L и Δ_R - параметры левого и правого кры-

льев потенциальной ямы (1) соответственно, Θ(z) -

диусами, определяемыми минимумами электронных

плотностей внешнего и внутреннего облаков. Соглас-

ступенчатая функция Хевисайда

но рис. 1, зазор между этими сферами составляет

Θ(z) = [1 + exp(z/η)]-1,

(5)

ΔR ≈ 1. Рассмотрим всю систему положительных

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Модификация эндоэдрального потенциала после мгновенной ионизации внутреннего атома

и отрицательных зарядов как сферический конден-

сатор, на пластинах которого отрицательные заряды

размещены в пропорциях 46 и 54 %. Предполагаем,

что положительный заряд между распределениями

зарядов сфер стабилизирует их. Электрическое поле

внутри этого конденсатора равно нулю. В против-

ном случае электроны перешли бы с одной пласти-

ны на другую. После введения заряда z в центр та-

кого конденсатора, некоторый заряд q переместится

из внешней сферы во внутреннюю для компенсации

электрического поля z/R². Принимая во внимание,

что электрическое поле между пластинами сфери-

ческого конденсатора неотличимо от поля точечного

заряда, имеем z/R² ≈ q/ΔR². Итак, для заряда q

получаем следующую оценку: q ≈ z(ΔR/R)². Таким

образом, единичный заряд z = 1 вызывает перенос

около 2 % электронов из внешнего облака во внут-

реннее. Это смещение заряда соответствует набору

параметров Δ_L и Δ_R во втором ряду табл. 1.

Применим симметричные и асимметричные по-

тенциальные ямы Лоренца для расчета сечений фо-

тоионизации некоторых эндоэдральных атомов. В

работе [8] представлен подход к фотоионизации эндо-

эдралов, который рассматривает проблему в прибли-

жении случайных фаз с обменом (RPAE), тем самым

обобщая подход Хартри-Фока (HF - Hartree-Fock)

Рис. 2. (Цветной онлайн) Сечение фотоионизации ато-

путем включения в него существенной части элек-

ма He@C60 в зависимости от энергии фотона, и по-

тронных корреляций (см. [15]).

тенциал формы Лоренца (верх); sym. pot. есть сим-

Однако в [8] монопольная поляризация не учи-

метричный потенциал Лоренца с ΔL = 1.0 и ΔR =

тывается. Ее поправки должны быть четко видны

= 1.0; asym. pot. является асимметричным потенциа-

уже в рамках HF. Вот почему здесь мы ограничи-

лом с ΔL = 0.7 и ΔR = 1.3

ваемся HF-приближением. Особенностью фотоиони-

зации эндоэдрального атома являются осцилляции

ствуют симметричной потенциальной яме. Таким об-

в сечениях фотоионизации, широко известные как

разом, монопольная поляризация оболочки C₆₀ начи-

резонансы пленения. Сравнивая эти резонансы для

нает влиять на фотоионизацию эндоэдрального ато-

двух типов потенциальных ям Лоренца, мы оценим

ма со сдвигом примерно 15 % коллективизирован-

роль монопольной поляризации оболочки C₆₀ в этом

ных электронов. При этом сдвиге различия между

процессе. Эти потенциалы мы должны добавить к

кривыми для симметричного и асимметричного по-

атомному HF-гамильтониану, чтобы тем самым по-

тенциалов имеют порядок толщины линии. Совпа-

лучить уравнение для электронов атома A, располо-

дение кривых свидетельствует об отсутствии вли-

женного в центре оболочки C₆₀. Решения уравнения

яния монопольной поляризации на фотоионизацию

эндоэдрального атома²⁾. Таким образом, утвержде-

[ Ĥ₀ + U(r)]ψ(r) = Eψ(r),

(6)

ние, приведенное в [9] о том, что статическую мо-

где H₀ есть атомный гамильтониан HF,дают волно-

нопольную поляризацию оболочки C₆₀ “нельзя игно-

вые функции начальных и конечных состояний элек-

рировать при фотоионизации эндоэдральных атомов

тронов атома, захваченного фуллереновой оболоч-

вблизи порога”, совершенно неверно.

кой. Они используются в расчетах сечений фотоио-

3. В работе [9] рассматривается впервые, насколь-

низации. Результаты представлены на рис.2-4.

ко нам известно, монопольная поляризация оболочки

Кривые на этих рисунках соответствуют набору

С₆₀. Чтобы описать этот эффект, была предложена

параметров Δ_L и Δ_R из четвертого ряда табл. 1. На-

боры параметров во втором и третьем рядах дают

²⁾Отметим, что к тому же выводу мы пришли на примере

кривые, которые неотличимы от тех, что соответ-

другого потенциала U(r) с неплоским дном [16].

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

М. Я. Амусья, A. С. Балтенков, Л. В. Чернышева

Таблица 1. Заряды внутреннего (слева) и внешнего (справа) электронных облаков

Параметры Δ_L and Δ_R

Заряд левого крыла, %

Заряд правого крыла, %

Δ_L = 1.0; Δ_R = 1.0

45.7

54.3

Δ_L = 0.95; Δ_R = 1.05

48.2

51.8

Δ_L = 0.9; Δ_R = 1.1

50.8

49.2

Δ_L = 0.7; Δ_R = 1.3

61.2

38.8

Рис. 4. (Цветной онлайн) Сечение фотоионизации

Xe@C60 в зависимости от энергии фотона. Обозначе-

ния такие же, как на рис. 2

Рис. 3. (Цветной онлайн) Сечение фотоионизации ато-

ма Ar@С60 в зависимости от энергии фотона. Обозна-

Используя ступенчатую функцию Хевисайда (5),

чения такие же, как на рис. 2

перепишем формулу (7) в следующем виде

)

⁽α

модифицированная версия сферической прямоуголь-

U^∗(r) =

Θ(r - r₀) -

r₀

r + Δr

ной потенциальной ямы:

(

)

⎧

- U₀ -

Θ(r₀ - r)Θ(r - r₀ - Δr). (8)

⎪

если r ≤ r₀;

r₀ + Δr

⎪r0

r₀ + Δr

⎨

Причины, по которым мы заменили ступенчатую

U^∗(r)=

−U₀ +

, если r₀ ≤ r ≤ r₀ + Δr;

функцию (7) диффузными потенциалами (8), станут

⎪

r₀ + Δr

⎪

ясны позже.

⎩

иначе.

Применим уравнение Пуассона (3) к потенциаль-

(7)

ной функции (7), чтобы понять, какому распреде-

В этой формуле r₀ обозначает внутренний радиус

лению заряда соответствует эта потенциальная яма.

фуллерена, Δr - его толщину, а U₀ - глубину потен-

Начнем со случая, который соответствует простран-

циальной ямы C₆₀. Параметр α может изменяться

ственному распределению плотностей электрических

от 0 до 1, причем значения, α = 0 или 1, соответ-

зарядов, когда статической поляризацией оболочки

ствуют тому, что статическая монопольная поляри-

пренебрегается (подробности расчетов приведены в

зация полностью игнорируется или включается соот-

[17]). На рисунке 5 представлена функция распреде-

ветственно.

ления заряда Q(r) = 4πρr². Согласно рис. 5, две кон-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Модификация эндоэдрального потенциала после мгновенной ионизации внутреннего атома

заключается в следующем. Применим лапласиан

Δ из уравнения Пуассона (3) к дополнительным

слагаемым в уравнении (7). Для первой строки мы

имеем

(

)

≡ 0.

(9)

r₀

r₀ + Δr

Для второй строки, поскольку Кулоновский потен-

циал α/r является функцией Грина уравнения Пуас-

сона [14], имеем

)

⁽α

= -4παδ(r).

(10)

r0 + Δr

В правой части (10) снова возникает нуль, потому

что в этой строке нас интересуют значения r = 0. Та-

ким образом, дополнительные члены в потенциаль-

ной функции (7) не приводят к изменениям во вза-

имном расположении электрических зарядов в обо-

лочке С₆₀, а также к статической монопольной по-

ляризации оболочки фуллерена электрическим за-

рядом, появляющимся в центре оболочки. Поэтому

возникает вопрос: какова причина значительного из-

менения сечения фотоионизации, предсказанного в

[9, 10]? Ответ заключается в том, что авторы [9, 10]

Рис. 5. (Цветной онлайн) Распределение зарядов в обо-

просто ввели новый произвольный параметр (в до-

лочке С60 при α = 0 и α = 1. Параметры потенциаль-

полнение к старым произвольным параметрам r₀ и

ных ям такие же, как в работе [9], а именно: r0 = 5.8,

Δr) в обычный прямоугольный потенциал. Нет осно-

Δr = 1.9 ат. ед., U0 = 8.2 эВ = 0.301 ат. ед. Параметр

диффузности η = 0.05. Кривые при обоих значениях α

ваний считать параметры r₀ и Δr потенциала модели

совпадают друг с другом

(7), приведенные в подписи к рис. 5, хоть в какой-то

мере оправданными. Заметим также, что анализ ста-

тей, в которых используется прямоугольный потен-

центрические сферы с радиусами r = r₀ и r = r₀+Δr,

циал, показывает, что ни одна из них не содержит

с двойными электрическими слоями, создают ра-

обоснования выбора параметров.

диальный, неизмененной глубины потенциал прямо-

4. Мы обнаружили интересную особенность фо-

угольной ямы. Толщина слоев (при η = 0.05) со-

тоионизации эндоэдрала, состоящую в том, что мо-

ставляет около 0.05 ат. ед. Обе сферы электрически

нопольная поляризация его оболочки, возникающая

нейтральны. На внутренней поверхности сферы на-

вследствие фотоионизации внутреннего атома, не

ходится около 36 % положительных и отрицательных

влияет на сечение этого процесса. Это означает, что

зарядов. Остальные заряды оболочки С₆₀ локализо-

найден довольно редкий пример “маскировки” потен-

ваны на поверхности внешней сферы. Для потенци-

циала. Неожиданный результат получен, разумеет-

альной ямы без диффузности (η = 0) слои заря-

ся, в рамках довольно грубой модели, описывающей

дов имеют нулевую толщину. Функция равна нулю

электронную оболочку фуллеренов. Однако в ходе

везде, кроме точек r = r₀ и r₀ + Δr, в бесконечно

исследования у нас возникло твердое убеждение, что

малой окрестности которых плотности заряда беско-

это модельно-независимый результат, полностью ос-

нечно отрицательны и положительны соответствен-

нованный на малости атомного радиуса по сравне-

но. Представленное на рис. 5 пространственное рас-

нию с радиусом С₆₀.

пределение электрических зарядов типа “луковицы”

Проблема с модельным описанием формы и пара-

создает прямоугольный потенциал, когда монополь-

метров потенциала оболочки фуллерена в некоторой

ная поляризация С₆₀ отсутствует.

степени аналогична проблеме ядерной физики, где

Повторяя ту же процедуру с потенциальной

потенциал для нуклон-нуклонного взаимодействия

функцией (8), мы приходим к тому же распре-

неизвестен. Чтобы описать магические ядра, выби-

делению заряда, что и в случае α = 0. Причина

раются сложные формы потенциалов (например, по-

такого неожиданного, на первый взгляд, результата

тенциал “винной бутылки” Эльзассера или потенци-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

М. Я. Амусья, A. С. Балтенков, Л. В. Чернышева

ал “мексиканской шляпы”), зависящие от большо-

8. M. Ya. Amusia and L. V. Chernysheva, JETP Lett.

го количества параметров. На основании обширных

109(6), 355 (2019).

экспериментальных данных стало возможным моде-

9. V. K. Dolmatov and S. T. Manson, Phys. Rev. A 82,

лировать все магические числа ядер [18, 19]. Мы на-

023422 (2010).

деемся, что более подробные экспериментальные ис-

10. V. K. Dolmatov, e-print arXive: 1809.02898 (2018).

следования самой C_N и эндоэдральных систем A@C_N

11. V. K. Ivanov, G. Y. Kashenock, R. G. Polozkov, and

откроют новый путь к модификации моделей оболо-

A. V. Solov’yov, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 34,

чек C_N, и сделают поиск модельного потенциала C₆₀

L669 (2001).

более конструктивным, чем простое увеличение чис-

12. A. S. Baltenkov, S. T. Manson, and A. Z. Msezane,

ла произвольных подгоночных параметров.

J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 48, 185103 (2015).

А. С. Балтенков выражает благодарность за под-

13. L. L. Lohr and S. M. Blinder, Chem. Phys. Lett. 198,

держку Узбекского фонда ОТ-Ф2-46.

100 (1992).

14. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, The Classical Theory

of Fields, Pergamon Press, Oxford, N.-Y., Toronto,

1. W. Jaskolski, Phys. Rep. 27, 1 (1996).

Sydney, Paris, Frankfurt (1971).

2. M. Ya. Amusia, A. S. Baltenkov, and B. G. Krakov,

15. M. Ya. Amusia, L. V. Chernysheva, and V. G. Yarzhem-

Phys. Lett. A 243, 99 (1998).

sky, Handbook of theoretical Atomic Physics, Data for

3. V. K. Dolmatov, in Theory of Confined Quantum

photon absorption, electron scattering, and vacancies

Systems: Part Two, ed. by J. R. Sabin and E. Brändas,

decay, Springer, Berlin (2012), p. 812.

Advances in Quantum Chemistry, Academic Press, N.Y.

16. M. Ya. Amusia and A. S. Baltenkov, e-print arXive:

(2009), v. 58, p. 13.

1905.00740 (2019).

4. M. J. Puska and R. M. Nieminen, Phys. Rev. A 47б 1181

(1993).

17. M. Ya. Amusia and A. S. Baltenkov, e-print arXive:

5. K. Yabana and G. F. Bertsch, Phys. Scr. 48, 633 (1993).

1901.04007 (2019).

6. M. Ya. Amusia and L. V. Chernysheva, JETP Lett.

18. M. G. Mayer and H. D. Jensen, Elementary Theory of

101(7), 503 (2015).

Nuclear Shell Structure, Wiley, N.Y. (1955).

7. V. K. Dolmatov, M. Ya. Amusia, and L. V. Chernysheva,

19. E. Feenberg, Shell Theory of the Nucleus, NJ, Princeton

Phys. Rev. A 95, 012709 (2017).

University Press, Princeton (1955).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020