Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 1, с. 19 - 26

Теория гиротропии полупроводниковых квантовых ям

(Миниобзор)

Л. Е. Голуб¹⁾

Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе, 194021 С.-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 3 ноября 2019 г.

После переработки 13 ноября 2019 г.

Принята к публикации 13 ноября 2019 г.

Построена теория оптических явлений, вызванных гиротропией полупроводниковых квантовых ям.

Продемонстрировано, что исследование отражения света вблизи легкого экситона позволяет зарегистри-

ровать естественную оптическую активность квантовых ям. Коэффициенты отражения в магнитном

поле, лежащем в плоскости квантовой ямы, несут информацию о магнитогиротропии, описываемой би-

линейными по волновому вектору света и напряженности поля вкладами в оптический отклик, обуслов-

ленными одновременно гиротропией системы и магнитным полем. Показано, что магнитогиротропные

эффекты резонансно усилены вблизи тяжелого экситона. Оценки гиротропных и магнитогиротропных

вкладов в отражение находятся в согласии с имеющимися экспериментальными данными.

DOI: 10.31857/S0370274X2001004X

1. Введение. Различные оптические явления

странственной инверсии, в которых какие-либо ком-

удобно классифицировать, рассматривая вклады в

поненты вектора и псевдовектора принадлежат к од-

поляризуемость χ, связывающую диэлектрическую

ному представлению точечной группы. Такие систе-

поляризацию P и электрическое поле E как P = χE.

мы называются гиротропными. В гиротропных си-

В наноструктурах это соотношение является нело-

стемах возможна линейная связь между вектором

кальным. Но в квантовых ямах сохраняется транс-

плотности электрического тока и такими псевдовек-

ляционная симметрия в плоскости структуры, что

торами, как электронный спин и угловой момент фо-

позволяет вводить проекцию волнового вектора све-

тона, проявляющаяся в циркулярном фотогальвани-

та на плоскость q и осуществлять разложение поля-

ческом и спин-гальваническом эффектах и в ориен-

ризуемости по его степеням. Если обозначить за z

тации спинов током [1, 2]. В структурах с квантовы-

направление размерного квантования, то связь меж-

ми ямами естественная оптическая активность мо-

ду амплитудами поляризации и поля примет вид

жет быть вызвана объемной или структурной асим-

∫

метрией [3, 4]. В экспериментах естественная оптиче-

P(z) = dz^′ χ(z, z^′)E(z^′),

(1)

ская активность приводит к конверсии поляризации

света при отражении [5, 6].

Во внешнем магнитном поле возникает явление,

где χ(z, z^′) может зависеть от q. С учетом внешнего

называемое магнито-пространственной дисперсией.

магнитного поля B, в низшем порядке имеем:

Оно заключается во вкладе в оптический отклик, ли-

χ_ij(B, q) = χ0ij + S_ijkB_k + iγ_ijkq_k + C_ijklB_kq_l.

(2)

нейном как по напряженности магнитного поля, так

и по волновому вектору света и описывается слагае-

Здесь первое слагаемое описывает двулучепреломле-

мым с тензором

Ĉ в (2). Магнито-пространственная

ние, а следующий вклад, дающийся тензором

Ŝ, -

дисперсия имеет место только в нецентросимметрич-

магнитооптические эффекты Фарадея и Керра.

ных средах. Если же система еще и гиротропна, то

Слагаемое с тензором γ ответственно за гиро-

возникают эффекты, обусловленные одновременно

тропные явления, или естественную оптическую ак-

наличием магнитного поля и гиротропии. По анало-

тивность - свойство среды вращать плоскость по-

гии с магнитогиротропным фотогальваническим эф-

ляризации света в отсутствие внешнего магнитного

фектом [7] они могут быть объединены в отдельный

поля. Ненулевые компоненты тензора γ разрешены

класс магнитогиротропных оптических явлений. Та-

симметрией только в тех системах без центра про-

кие эффекты позволяют изучать объемную и струк-

турную асимметрию квантовых ям в магнитоопти-

¹⁾e-mail: golub@coherent.ioffe.ru

ческих экспериментах. Ориентируя различным обра-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

2^∗

Л.Е. Голуб

зом магнитное поле и плоскость падения света, мож-

дающих координатах электрона и дырки, сум-

но разделять магнитогиротропные вклады, вызван-

мирование проводится по четырем экситонным

ные различными видами асимметрии [8, 9].

состояниям ν

= (e, s; h, m), s, m = ±1/2 нумеру-

Гиротропные явления в объемных полупроводни-

ют спиновые состояния электронов и дырок, и

ках и других кристаллических соединениях хорошо

d_ν

= 〈e, s |d| K(h, m)〉

- среднее значение плот-

изучены, им посвящено большое количество ориги-

ности дипольного момента экситона сорта ν, где

нальных статей и монографий, см. литературу к ра-

K = iσ_yK₀ - оператор инверсии времени, в кото-

ботам [3-6, 8-10]. В данном обзоре гиротропные и

ром K₀ - операция комплексного сопряжения [14].

магнитогиротропные явления будут исследованы в

Коэффициенты разложения C_ν удовлетворяют

полупроводниковых квантовых ямах. Будет изучена

уравнению

спектральная область вблизи экситонных резонан-

[(ℏω₀ - ℏω - iΓ)δ_νν′ + H_νν′ (q)] C_ν′ =

сов, где данные эффекты многократно усиливают-

∫

ся. Теория будет строиться с учетом того, что экс-

= dz^′Φ^∗(z^′)E(z^′) · d_ν (q).

(5)

периментально гиротропные явления в структурах с

квантовыми ямами в основном исследуются с помо-

Здесь ω₀ и Γ - резонансная частота и ширина линии

щью отражения света.

экситона, E(z) - полное электрическое поле, а H_νν′ -

2. Учет гиротропии в экситонном оптиче-

матричный элемент спин-орбитального взаимодей-

ском отклике. Вблизи экситонных резонансов мик-

ствия (3), зависящий от волнового вектора света, свя-

роскопической причиной гиротропии является спин-

занного с k^e,h как q = k^e +k^h. Поправка к восприим-

орбитальное взаимодействие. В квантовых ямах из

чивости (1) первого порядка по спин-орбитальному

материалов с решеткой цинковой обманки оно может

взаимодействию, описывающая линейные по q (т.е.

быть вызвано объемно-инверсионной асимметрией.

гиротропные) вклады, имеет вид

Вместе с размерным квантованием, эта асимметрия

Φ(z)Φ^∗(z^′)Ξ_ij

∑(

)_∗

приводит к гиротропии, даже если яма выращена из

χ_ij = -

Ξ_ij =

d^iν

H_νν′ d^jν′ .

негиротропного материала типа GaAs. Соответству-

(ℏω₀

- ℏω - iΓ)²

νν^′

ющий вклад в гамильтониан электронно-дырочной

(6)

пары состоит из слагаемых, линейных по волновым

Гиротропия проявляется в экспериментах по от-

векторам частиц:

ражению от структур с квантовыми ямами [5, 6]. Ре-

∑

шая соответствующую задачу [14], находим тензор

β_i[k^ix(σ^ix cos2ϕ + σ^iy sin2ϕ) +

коэффициентов отражения (матрицу Джонса), свя-

i=e,hh,lh

зывающий амплитуды отраженного (E^r) и падающе-

+ k^iy(σix sin2ϕ - σ^iy cos2ϕ)].

(3)

го (E⁰) света:

(

)

(

)(

)

Здесь индекс i = e, hh, lh нумерует основные под-

E^rs

r^QWs + Δr_s

E0s

зоны размерного квантования электронов, тяжелых

E^rp

r^QWp + Δr_p

E⁰

дырок и легких дырок, kⁱ - волновые вектора частиц

(7)

в плоскости ямы, σ^ix,y - матрицы Паули, действую-

Здесь r^QWs и r^QWp - стандартные коэффициенты от-

щие на спин i-й частицы, x, y - произвольные оси в

ражения от квантовой ямы для s и p поляризован-

плоскости ямы, ϕ - угол между осью x и направ-

ного света:

лением [100], направление роста z ∥ [001], а β_i - дву-

iΓ0s,p

r^QWs,p =

(8)

мерные постоянные Дрессельхауза [11, 12]. Отметим,

ℏω₀ - ℏω - iΓ

что гамильтониан для тяжелых дырок имеет тот же

где Γ0p,s = Γ₀(cos θ)±1, θ - угол распространения све-

вид, что и для электронов и легких дырок, поскольку

та внутри материала барьера, Γ₀ - экситонная си-

выбран базис |hh, -3/2〉, |hh, 3/2〉 [13].

ла осциллятора при нормальном падении, а в слу-

Нелокальная экситонная диэлектрическая поля-

чае легкого экситона нужно произвести замену Γ0p →

ризация P в квантовых ямах зависит от координаты

→ Γ0p(1 - 4 tan2 θ), и мы пренебрегаем радиационны-

вдоль оси роста z

ми перенормировками резонансной частоты экситона

∑

ω₀ и ширины линии Γ [5, 14].

P(q, z) = Φ(z) d^∗ν (q)C_ν (q).

(4)

Поправки к диагональным коэффициентам отра-

жения Δr_s,p и коэффициент R, описывающий кон-

Здесь Φ(z)

- огибающая волновой функции

версию поляризации при отражении, являются ли-

размерно-квантованного экситона при совпа-

нейными функциями q и возникают в силу гиротро-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Теория гиротропии полупроводниковых квантовых ям

пии системы. Выбирая плоскость падения (zx), по-

же время объемная инверсионная асимметрия приво-

лучим:

дит к естественной оптической активности, посколь-

iΓ0s/D

ку B_eff ∥ q, когда плоскость падения содержит одну

Δr_s = -

Ξ_yy,

(9)

(ℏω₀ - ℏω - iΓ)²

из кубических осей 〈100〉 [11, 12].

Микроскопическая природа конверсии состоит в

iΓ0s/D

Δr_p = -

том, что смешивание состояний электронов и лег-

(ℏω₀ - ℏω - iΓ)²

ких дырок с противоположными спинами приводит

× [cos² θΞ_xx - sin² θΞ_zz + sin θ cos θ(Ξ_zx - Ξ_xz)], (10)

к возбуждению легкого экситона при любой поля-

ризации света, см. рис. 1. Подчеркнем, что конвер-

iΓ0s/D

R=-

(cos θΞ_yx - sin θΞ_yz),

(11)

(ℏω₀ - ℏω - iΓ)²

∑

где D =

|d^yν |² вычисляется при q = 0 и B = 0.

Из-за конверсии поляризации в отраженном свете

появляются два параметра Стокса, отсутствовавшие

в падающем - это степень линейной поляризации в

плоскости, составляющей 45^◦ с плоскостью падения

(ρ_lin), и степень круговой поляризации (ρ_circ). Они

связаны с коэффициентом конверсии R соотношени-

ями

ρ_lin = 2Re(R/r_i) , ρ_circ = 2Im(R/r_i),

(12)

Рис. 1. (Цветной онлайн) Микроскопический механизм

естественной оптической активности. S, X, Y, Z - ор-

где i = s, p - поляризация падающего света, а r_i -

битальные части блоховских амплитуд соответству-

коэффициент отражения от всей структуры, содер-

ющей симметрии, ↑, ↓ - их спиновые части. Спин-

жащей квантовую яму [5].

орбитальные взаимодействия H^e и H^lh, смешивающие

3. Естественная оптическая активность

вырожденные состояния соответственно электронов и

квантовых ям. В работе

[5] был исследован

легких дырок, делают возможным возбуждение одного

фундаментальный вопрос: обладают ли квантовые

и того же состояния легкого экситона как в поляриза-

ямы естественной оптической активностью? Для

ции e ∥ z, так и при e ⊥ z

этого были измерены параметры Стокса света,

отраженного от (001) квантовых ям вблизи легкого

экситона. Была обнаружена конверсия поляриза-

сия поляризации запрещена на тяжелом экситоне,

ции: наклонно падавший s поляризованный свет

поскольку он не имеет компоненты дипольного мо-

отражался частично p поляризованным и наоборот.

мента вдоль оси роста z.

Сопоставление экспериментальных данных с разви-

Матричные элементы дипольного момента легко-

той теорией продемонстрировало, что этот эффект в

го экситона e ·de,s;h,m в базисе e, ±1/2, lh, ±1/2 име-

значительной мере обусловлен именно естественной

ют следующий вид

оптической активностью [5].

(

)

Феноменологически, конверсия поляризации про-

dXlh

e_-

-2e_z

исходит из-за эффективного магнитного поля B_eff,

e·d=

√

(13)

2e_z

e₊

возникающего при учете спин-орбитального взаи-

модействия (3), которое удобно записать в виде

Здесь e_± = e_x ± ie_y, и d_X

= 〈S|d^x|X〉〈e1|lh1〉, где

H = σ · B_eff. Поле B_eff, линейное по волновому век-

тору световой волны, воздействует на поляризацию

первый множитель - межзонный матричный элемент

отраженного света так же, как реальное магнитное

дипольного момента на блоховских функциях, пред-

поле в магнитооптическом эффекте Керра. Из этой

ставленных на рис. 1, а второй - перекрытие огибаю-

аналогии ясно, что естественная оптическая актив-

щих основных подзон размерного квантования элек-

ность в отражении будет наблюдаться только в том

трона и легкой дырки.

случае, если есть ненулевая проекция B_eff на q. По-

Учитывая спин-орбитальное взаимодействие (3),

этому структурная асимметрия, приводящая к спин-

вызванное объемной инверсионной асимметрией,

орбитальному взаимодействию Рашбы с B_eff ⊥ q,

из (6) получаем ненулевые компоненты тензора

Ξ в

не проявляет себя в конверсии поляризации. В то

следующем виде:

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Л.Е. Голуб

Несмотря на то, что коэффициенты конверсии

Ξ_xz = -Ξ_zx =

|d_X

|²iβ_X

(q_y cos 2ϕ + q_x sin 2ϕ),

поляризации s → p и p → s совпадают, отраже-

ние от структур с квантовыми ямами при наклон-

Ξ_yz = -Ξ_zy =

|d_X

|²iβ_X

(q_x cos 2ϕ - q_y sin 2ϕ).

ном падении различно для s и p поляризованного

(14)

света. Поэтому в структурах специального дизайна

Здесь введена экситонная постоянная Дрессельхауза

удалось усилить эффект конверсии в p поляризации

β_X

, связанная с β_e,lh из (3) следующим образом:

в несколько раз [6].

β_em_e - β_lhm_lh

4. Магнитогиротропные эффекты. Явления,

β_X

(15)

обусловленные магнитогиротропией - см. последнее

m_e + m_lh

слагаемое в (2), отличаются по симметрии от магни-

где m_e,lh - эффективные массы электрона и легкой

тооптических эффектов Фарадея и Керра, посколь-

дырки для движения в плоскости ямы.

ку билинейная комбинация компонент векторов q и

Из (9), (10) и (11) получаем, что поправки к диа-

B инвариантна по отношению к операции инверсии

гональным коэффициентам отражения имеют вид:

времени. Это позволяет разделять соответствующие

Δr_s = 0,

вклады в магнитооптических экспериментах. В таб-

лице 1 представлены результаты феноменологиче-

4βXlh q_bΓ₀

Δr_p = -

sin² θ sin2ϕ,

(16)

ского анализа возможных вкладов в коэффициенты

(ℏωXlh - ℏω - iΓ)²

отражения, линейных по магнитному полю. Сравни-

а коэффициент конверсии поляризации s ↔ p дается

ваются магнитогиротропные вклады, обусловленные

выражением [5]

структурной асимметрией квантовых ям, и вклады

от магнитооптического эффекта Керра, который мо-

2βXlh q_b Γ0s

R=-

sin² θ cos2ϕ.

(17)

жет быть существенен на тяжелом экситоне в кван-

(ℏωXlh - ℏω - iΓ)²

товых ямах с магнитными примесями [15]. Видно,

что при ориентации магнитного поля перпендику-

Здесь ωXlh - резонансная частота экситона с легкой

лярно плоскости падения (B ⊥ q) сравнимые вкла-

дыркой, q_b - величина волнового вектора внутри ма-

ды в диагональные коэффициенты отражения озна-

териала барьера, а ϕ - угол между плоскостью паде-

чают доминирование магнитогиротропии. Если же

ния и осью [100].

магнитное поле лежит в плоскости падения света, то

Зависимость R ∝ cos2ϕ отражает обсуждавшую-

линейный по B вклад в коэффициент конверсии по-

ся выше анизотропию эффективного магнитного по-

ля B_eff(q): эффект конверсии поляризации максима-

ляризации s ↔ p возможен из-за обоих эффектов.

Однако и в этом случае данные вклады можно раз-

лен, когда ϕ = 0, π/2, т.е. при ориентации плоскости

падения вдоль кубических осей, и отсутствует при

делить, исследуя, например, конверсию s и p поляри-

зованного света в циркулярно-поляризованный, как

ϕ = ±π/4. В работе [5] эта зависимость наблюдалась

экспериментально.

это было сделано в работе [9]. Действительно, как

следует из табл. 1, полусумма и полуразность таких

Из (17) следует, что эффект конверсии поля-

величин равны, соответственно, вкладам магнитоги-

ризации возможен только при наклонном падении

и является четным по углу падения. Количествен-

ротропии и эффекта Керра.

ное сопоставление экспериментальных данных [5]

Таблица 1. Вклады в коэффициенты отражения при раз-

с выражением

(17) позволило определить спин-

личных ориентациях магнитного поля относительно плоско-

орбитальную постоянную βXlh ≈ βlh для исследо-

сти падения: магнитогиротропные, обусловленные структур-

ной асимметрией, и от эффекта Керра

ванных ZnSe квантовых ям. При этом принималось

во внимание многократное отражение света в реаль-

Магнитогиротропия

Эффект Керра

ной структуре, содержащей квантовую яму, а так-

B⊥q

Δrp ∼ Δrs

Δrp; Δrs = 0

же то, что конверсия поляризации может произой-

B∥q

rsp = rps = R

rsp = -rps

ти не только при отражении, но и при прохожде-

нии квантовой ямы: соответствующий коэффициент

пропускания T = -R, см. дополнительные матери-

В таблицах 2 и 3 приведены вклады, обусловлен-

алы к работе [5]. Из формулы (17) следует оценка

ные объемной инверсионной асимметрией. Они зави-

R ∼ β_lhθ²(ω_X

/c)Γ₀/Γ². Отсюда с помощью (12) по-

сят от ориентации магнитного поля не только отно-

лучаем ρ_lin,circ ∼ 1 %, что по порядку величины сов-

сительно плоскости падения света, но и относительно

падает с экспериментальными данными, полученны-

кристаллографических осей. Из таблиц 2 и 3 видно,

ми на ZnSe квантовых ямах [5].

что вклад эффекта Керра в отражение не интерфе-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Теория гиротропии полупроводниковых квантовых ям

рирует с вкладом объемной инверсионной асиммет-

в котором суммирование производится по лег-

рии ни в одной из геометрий.

кодырочным подзонам с четными огибающими

(n = 1, 3, 5 . . .). Здесь фигурные скобки обознача-

Таблица 2. Вклады в коэффициенты отражения при B, q ∥

ют антикоммутатор {AB} = (AB + BA)/2, γ₃ -

〈100〉: магнитогиротропные, обусловленные объемной асим-

метрией, и от эффекта Керра

параметр Латтинжера, а Ehh1 и E_lhn

- энергии

размерного квантования основного уровня тяжелых

Магнитогиротропия

Эффект Керра

дырок и n-го уровня легких дырок.

B⊥q

rsp = rps = R

Δrp; Δrs = 0

Выражение (18) показывает, что в магнитном по-

B∥q

Δrp ∼ Δrs

rsp = -rps

ле возбуждение тяжелого экситона происходит при

любой поляризации света, см. рис. 2. Из (18) и (3) по-

Таблица 3. Вклады в коэффициенты отражения при B, q ∥

〈110〉: магнитогиротропные, обусловленные объемной асим-

метрией, и от эффекта Керра

Магнитогиротропия

Эффект Керра

B⊥q

Δrp ∼ Δrs

rsp = -rps

B∥q

rsp = rps = R

Δrp; Δrs = 0

В реальных образцах могут присутствовать оба

вида асимметрии. Из таблиц 1-3 видно, что при ори-

ентации плоскости падения вдоль осей 〈110〉 вклады

структурной и объемной асимметрии складываются,

а при ориентации по кубическим осям 〈100〉 они не

интерферируют, что позволяет разделять их экспе-

Рис. 2. (Цветной онлайн) Микроскопический механизм

риментально.

магнитогиротропии. Магнитное поле смешивает состо-

В ближайших подразделах будут последователь-

яния тяжелых и легких дырок с противоположными

спинами. С учетом линейных по волновому вектору

но рассмотрены магнитогиротропные вклады в отра-

спин-орбитальных взаимодействий H^e и H^hh, становит-

жение, вызванные объемной и структурной асиммет-

ся разрешенным возбуждение одного и того же состо-

рией квантовых ям.

яния тяжелого экситона при любой поляризации света

4.1. Объемно-асимметричные ямы. Магнитоги-

ex,y,z

ротропные вклады в восприимчивость (001) кван-

товых ям, выращенных из III-V или II-VI матери-

лучаются магнитогиротропные вклады в нелокаль-

алов с решеткой цинковой обманки, т.е. обладающих

ную восприимчивость в виде (6), где ω₀ = ω_X

- ре-

объемно-инверсионной асимметрией, микроскопиче-

зонансная частота тяжелого экситона, а ненулевые

ски получаются с учетом спин-орбитального взаимо-

компоненты тензора

Ξ есть

действия из (6), где магнитное поле учтено в мат-

ричных элементах дипольного момента. Поскольку

Ξ_xx ± Ξ_yy = 4

β_e,hh|dXhh |² ×

компоненты поля в плоскости ямы смешивают состо-

× [(q_xB_x ∓ q_yB_y) cos 2ϕ ∓ (q_y B_x ± q_xB_y) sin 2ϕ] , (20)

яния тяжелых и легких дырок, магнитогиротропные

эффекты возможны на тяжелом экситоне. Учитывая

магнитное поле B ⊥ z в гамильтониане Латтинже-

Ξ_xy = Ξ_yx = -2

β_hh|dXhh |² ×

ра [8], получим, что матричные элементы дипольно-

× [(q_xB_y - q_yB_x) cos 2ϕ - (q_xB_x + q_yB_y) sin 2ϕ] . (21)

го момента экситона e · de,s;h,m в выбранном в (3)

базисе e, ±1/2, hh, ∓3/2 имеют вид

(

)

Здесь введены постоянные

dXhh

e₊ - 2ζB₊e_z

e_-ζB_-

e·d=-

√

m_e,hh

β_e,hh = β_e,hh

(22)

e₊ζB₊

e_- + 2ζB₊e_z

m_e + m_hh

(18)

Здесь dXhh = 〈S|d^x|X〉〈e1|hh1〉, а малый параметр ζ

где m_hh - эффективная масса тяжелой дырки в плос-

дается выражением

кости ямы. Эти выражения согласуются с требовани-

γ₃eℏ

∑

〈e1|{ik_zz}|lhn〉

ями симметрии, что можно проверить для случаев,

ζ =

√

(19)

m₀c

3〈e1|hh1〉_n Ehh1 - Elhn

когда x, y - оси 〈100〉 (ϕ = 0) и 〈110〉 (ϕ = π/4).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Л.Е. Голуб

Находя далее из (9), (10) и (11) коэффициенты

Выражение

(23)

позволяет сделать оцен-

отражения от квантовой ямы, получим магнитоги-

ку

для

магнитогиротропных

поправок:

ротропный вклад в матрицу Джонса (7) вблизи тя-

Δr_s,p ∼ (βqΓ₀/Γ²)(a/l_B)², где a - ширина квантовой

желого экситона в виде

ямы и l_B - магнитная длина. Отсюда получаем

Δr_s,p ∼ 10-3B Тл-1, что находится в количествен-

2ζq_b sinθiΓ0s,p

ном согласии с данными эксперимента для ям GaAs

Δr_s,p = -

(ℏω_X

- ℏω - iΓ)²

и CdTe, исследовавшихся в работе [8].

[

]

4.2. Cтруктурно-асимметричные ямы. С

β_e ∓

β_hh)B_∥ cos2ϕ -

β_e ±

β_hh)B_⊥ sin2ϕ ,

(23)

точки зрения теории симметрии структурно-

асимметричные ямы можно рассматривать как

β_hhq_b sinθ(B_⊥ cos2ϕ - B_∥ sin2ϕ)iΓ₀

имеющие точечную группу симметрии C_∞v. В

(24)

(ℏω_X

- ℏω - iΓ)²

этой группе, помимо обычной пропорциональности

Здесь ϕ - угол между плоскостью падения света

P₊ ∝ E₊, возможна и другая связь между циркуляр-

и осью [100], а B_∥,⊥ - компоненты магнитного по-

ными компонентами поляризации и электрического

поля: P+ ∝ iB+q+E-. Отсюда видно, что магни-

ля, параллельная и перпендикулярная плоскости па-

дения. Данные зависимости от ориентации плоско-

тогиротропия приводит к возбуждению тяжелого

экситона в обеих круговых поляризациях, рис. 3.

сти падения согласуются с требованиями простран-

ственной симметрии. В рассматриваемых объемно-

Такая связь означает, что есть следующие вклады

асимметричных квантовых ямах имеется плоскость

отражения (110). Следовательно, если плоскость па-

дения совпадает с ней (ϕ = ±π/4), то комбина-

ция qB_⊥, инвариантная при отражении, может при-

сутствовать в Δr_s и Δr_p. В то же время вклад

∝ qB_∥, меняющий знак при отражении, разрешен

симметрией в коэффициенте конверсии поляризации

rsp = rps = R, потому что s и p компоненты элек-

трического поля являются соответственно нечетной

и четной относительно такого отражения.

Полученные выражения показывают, что

в объемно-асимметричных ямах в геометрии

∥ B

∥

〈100〉 будут максимальны поправки к

Рис. 3. (Цветной онлайн) Микроскопический механизм

диагональным коэффициентам отражения Δr_s и

магнитогиротропии в структурно-асимметричных

Δr_p, а в геометрии q

∥ B

∥

〈110〉 максимален

ямах. С учетом волнового вектора света и магнитного

коэффициент конверсии поляризации R, см. также

поля состояния тяжелых и легких дырок, активные

табл. 2 и 3. В работе [8] исследовались магнитоги-

в двух круговых поляризациях, смешиваются. В

ротропные поправки Δr_s и Δr_p при q ∥ B вблизи

результате тяжелый экситон возбуждается как σ⁺,

так и σ^- поляризованным светом

тяжелого экситона в квантовых ямах на основе

GaAs и CdTe. Они резонансно усиливались вблизи

в тензор диэлектрической восприимчивости

(2),

ω ≈ ωXhh. В согласии с теорией сигналы были,

билинейные по компонентам B и q в плоскости

соответственно, максимальны и минимальны при

ямы [3, 4, 9]:

ориентации плоскости падения и магнитного поля

вдоль кубических осей и под 45^◦ к ним.

χ_xy + χ_yx = C(q_yB_y - q_xB_x),

Отношение поправок для p и s поляризованно-

(26)

χ_xx - χ_yy = C(q_xB_y + q_yB_x).

го падающего света при плоскости падения (100) со-

гласно (23) есть

Здесь x, y - произвольные оси в плоскости ямы,



а функция C(z, z^′) - единственная ненулевая ком-



Δrp

β_e +

β_hh



понента тензора 4 ранга

Ĉ, введенного в (2). Из



cos² θ



(25)

^ Δr_s

⁼

β_e -

β_hh

этих соотношений следует, что магнитогиротропия в

структурно-асимметричных ямах приводит к тому,

Это соотношение позволяет определять относитель-

что в плоскости квантовой ямы появляется оптиче-

ный знак и отношение абсолютных величин β_e и β_hh,

ская ось - биссектриса между направлениями векто-

см. [8].

ров q и B.

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Теория гиротропии полупроводниковых квантовых ям

Можно было бы рассчитать функцию C, учтя,

ным коэффициентам отражения для s и p поляризо-

аналогично предыдущему разделу, спин-орбитальное

ванного света:

взаимодействие Рашбы, возникающие в меру струк-

Δr_p,s = ±2ξνq_b sin θB_⊥r^QWp,s ,

(30)

турной асимметрии. Однако более эффективно асим-

метрия квантовой ямы проявляется через смешива-

а также коэффициент конверсии поляризации:

ние состояний тяжелых и легких дырок. По этому

R = -2ξνqb sinθB∥ cosθ r^QWs.

(31)

механизму матричные элементы дипольного момен-

та тяжелого экситона имеют вид [9]

Здесь знаки ⊥ и ∥ обозначают ориентацию магнитно-

(

)

го поля, лежащего в плоскости ямы, по отношению

d_X

e₊ - iξB₊k₊e_-

-2iξB_-k_-e_z

e·d=-

√

к плоскости падения света, а r^QWp,s даются форму-

-2iξB₊k₊e_z e_- + iξB_-k_-e₊

лой (8).

(27)

Можно оценить параметр асимметрии как

где k_± = k_x ± ik_y - компоненты волнового вектора

ξ ∼ (e/ℏc)a²zlh1,hh1, где a

- ширина квантовой

дырки. Малый вещественный параметр ξ, возника-

ямы. Степень конверсии поляризации R ≈ ξqB_∥.

ющий в меру структурной асимметрии ямы, дается

Эта оценка совпадает по порядку величины с экс-

выражением

периментальными значениями R

∼ 10-3B Тл-1,

∑

полученными на тяжелом экситоне в GaAs и

eℏ

〈e1|lhn〉[2γ2

zlhn,hh1

ξ=

√

CdTe асимметричных квантовых ямах в магнит-

m₀c

〈e1|hh1〉

3 Ehh1 - Elhn

]

ном поле, лежащем в плоскости падения при

γ₃ℏ²κ 〈lhn|ikz|hh1〉

zlh1,hh1/a ≈ 0.2 [9].

(28)

m₀

(Ehh1 - E_lhn)²

5. Заключение. К настоящему времени магни-

тогиротропия в квантовых ямах исследована в гео-

где γ₂ и κ - параметры Латтинжера. Первое слагае-

метрии поля, лежащего в плоскости падения све-

мое в (28) получается из недиагональных ∝ k² вкла-

та. Как следует из развитой теории, при попереч-

дов в гамильтониан Латтинжера в магнитном поле,

ной ориентации поля возможна конверсия поляриза-

а второе - из линейного по k смешивания тяжелых

ции s ↔ p за счет объемной асимметрии и поправки

и легких дырок и зеемановского расщепления состо-

к диагональным коэффициентам отражения Δr_s,p,

яний легкой дырки [9]. Оба вклада отличны от ну-

обусловленные структурной асимметрией. Исследо-

ля только в структурно-асимметричных ямах. Дей-

вание на одном образце при различных ориентациях

ствительно, если яма симметрична, то для нечетных

магнитного поля и плоскости падения позволит опре-

n = 1,3,5... равны нулю матричные элементы коор-

делить соотношение степеней асимметрии и различ-

динаты и импульса zlhn,hh1 и 〈lhn|k_z|hh1〉, а для чет-

ных вкладов в магнитогиротропию.

ных n = 2, 4, . . . нулю равно перекрытие электронной

Автор благодарит Е. Л. Ивченко за полезные дис-

и легкодырочной огибающих 〈e1|lhn〉. Поэтому ξ = 0

куссии. Работа частично поддержана Российским

только в силу асимметрии ямы, и этот параметр ме-

фондом фундаментальных исследований (грант

няет знак, например, при изменении знака электри-

#19-02-00095) и Фондом развития теоретической

ческого поля, приложенного перпендикулярно сим-

физики и математики “БАЗИС”.

метричной яме. Отношение двух вкладов в (28) мож-

но оценить как ∼ κm/m₀, где m имеет порядок массы

тяжелой дырки для движения вдоль оси размерно-

1. E. L. Ivchenko and S. D. Ganichev, in Spin Physics in

го квантования. Для ям на основе GaAs и CdTe это

Semiconductors, ed. by M. I. Dyakonov, 2nd edition,

отношение меньше единицы, поэтому первый вклад

Springer International Publishing AG (2017).

сильнее [9].

2. Л. Е. Голуб, Е. Л. Ивченко, Б. З. Спивак, Письма в

Расчет экситонной диэлектрической поляризации

ЖЭТФ 105, 744 (2017).

по (4), (5) с учетом (27) дает восприимчивость в ви-

3. L. E. Golub, EPL (Europhysics Letters)

98,

54005

(2012).

де (26), в котором

4. Л. Е. Голуб, Ф. В. Порубаев, ФТТ 55, 2128 (2013).

Φ(z)Φ(z^′) |d_X

5. L. V.

Kotova, A. V. Platonov, V. N. Kats,

C(z, z^′) = 4ξν

(29)

ℏωXhh - ℏω - iΓ

V. P. Kochereshko, S. V. Sorokin, S. V. Ivanov,

and L. E. Golub, Phys. Rev. B 94, 165309 (2016).

Здесь ν = m_hh/(m_e + m_hh).

6. Л. В. Котова, А. В. Платонов, В. П. Кочерешко,

С учетом структурной асимметрии (ξ = 0), появ-

С. В. Сорокин, С. В. Иванов, Л. Е. Голуб, ФТТ 59,

ляются магнитогиротропные поправки к диагональ-

2148 (2017).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020