Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 1, с. 45 - 49

Неквадратичное поперечное магнетосопротивление дираковского

полуметалла с узловой линией InBi

С. В. Зайцев-Зотов¹⁾, И. А. Кон

Институт радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова РАН, 125009 Москва, Россия

Поступила в редакцию 5 ноября 2019 г.

После переработки 14 ноября 2019 г.

Принята к публикации 14 ноября 2019 г.

Представлены результаты изучения поперечного магнетосопротивления дираковского полуметалла

InBi с узловой линией. Обнаружено, что магнетосопротивление не является квадратичным. В области

малых магнитных полей B ≲ 0.1 Тл оно характеризуется повышенной кривизной, в области средних опи-

сывается суммой линейного и квадратичного вкладов, а в области больших магнитных полей B ≳ 1 Тл

приближается к квадратичному закону с кривизной, в несколько раз меньшей кривизны вблизи нуле-

вого поля. Предложено феноменологическое уравнение, позволяющее описать всю зависимость сопро-

тивления от магнитного поля с погрешностью, не превышающей погрешность измерений в несколько

процентов.

DOI: 10.31857/S0370274X20010099

Изучение материалов с нетривиальной топологи-

PbTaSe₂ [4], PtSn₄ [5], ZrSiS, ZrSiTe [6, 7], а также

ей является одной из самых активно развивающих-

InBi [8], изучению поперечного магнетосопротивле-

ся областей в физике твердого тела. Многие явле-

ния которого и посвящена настоящая работа.

ния, рассматривавшиеся в теории поля, оказались

В магнетотранспортных измерениях проявляют-

доступными для реализации и изучения в тополо-

ся многие специфические черты топологических ма-

гически нетривиальных материалах и структурах на

териалов. Значительная часть работ этой области на-

их основе. В частности, реализация дираковских и

правлена на поиск и изучение киральной аномалии.

вейлевских фермионов в твердом теле позволяет в

Эффект возникает в параллельных электрическом и

лабораторных экспериментах изучать некоторые эк-

магнитном поле, проявляется в возникновении от-

зотические состояния, предсказывавшиеся в теории

рицательного продольного магнетосопротивления и

поля. Большой интерес вызывают попытки реализа-

считается одним из ключевых проявлений вейлев-

ции энионов, в том числе майорановских состояний,

ских фермионов в транспортных свойствах [9]. Что

а также киральной аномалии [1].

касается поперечного магнетосопротивления, то для

Квазичастицы с дираковским спектром возника-

него столь ярких эффектов не ожидается. Тем не

ют в целом ряде материалов. Хорошо известными

менее для дираковских полуметаллов с узловой ли-

примерами являются графен, топологические изоля-

нией ряд необычных свойств был также предсказан

торы, дираковские полуметаллы [2]. Сравнительно

и/или обнаружен экспериментально. Среди них экс-

недавно было установлено, что существуют также и

тремально большое положительное квадратичное по-

материалы, в которых вершины дираковского кону-

перечное магнетосопротивление, превышающее при

са находятся не в одной или нескольких точках зо-

гелиевых температурах 2 порядка в InBi [10] и 3 по-

ны Бриллюэна, а образуют линию [3]. Особенностью

рядка в ZrSiS [7], а также наличие линейного вкла-

дираковских полуметаллов с узловой линией (Dirac

да в поперечное магнетосопротивление в ZrSiSe и

node-line semimetals) является гораздо более высо-

ZrSiTe [7].

кая плотность дираковских состояний, чем в матери-

InBi имеет тетрагональную элементарную ячей-

алах с дираковской точкой, что позволяет надеять-

ку, относящуюся к несимморфной простанственной

ся на более яркое проявление свойств, обусловлен-

группе симметрии P4/nmm [11]. Параметры решет-

ных дираковскими фермионами. В настоящее время

ки зависят от температуры и изменяются в преде-

существование таких состояний доказано для срав-

лах a = 4.9589-5.0101Å, c = 4.8396-4.7824Å при

нительно небольшого набора материалов, таких как

изменении температуры от 15 до 300 К [12]. Пер-

вопринципные расчеты показывают, что InBi явля-

¹⁾e-mail: serzz@cplire.ru

ется дираковским полуметаллом, в котором верши-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

С. В. Зайцев-Зотов, И. А. Кон

ны дираковского конуса образуют линию в импульс-

нью подробности было исследовано 4 образца разных

ном пространстве вдоль направлений MA и XR зоны

размеров, которые продемонстрировали аналогичное

Бриллюэна, т.е. в направлении вдоль оси c [8]. На-

поведение. Результаты, представленные в настоящей

личие дираковской линии в энергетическом спектре

работе, получены на образцах приблизительно пря-

подтверждается результатами ARPES [8]. Изучение

моугольной формы с размерами 2.8 × 3.0 × 1.7 мм³

магнетотранспорта показало наличие экстремально

(образец 1) и 5 × 4.5 × 0.10 мм³ (образец 2, в обоих

большого положительного поперечного квадратич-

случаях последний указанный размер соответствует

ного магнетосопротивления, которое превышает 2

направлению вдоль оси c). Расположение контактов

порядка при гелиевых температурах в конфигурации

на образцах показано на вставке к рис. 1. Измерения

B ⊥ I ∥ ab [10] и не насыщается в больших магнит-

ных полях. Отсутствие насыщения магнетосопротив-

ления и его аномально высокая величина связывают-

ся с равенством концентраций электронов и дырок в

этом соединении, подвижность которых при гелие-

вых температурах достигает 1.5 × 10⁴ см²/В · с [10].

В настоящей работе приводятся результаты изу-

чения поперечного магнетосопротивления в InBi в

конфигурации B ⊥ I ∥ ab с высокой точностью.

Полученные результаты позволили различить осо-

бенности, не наблюдавшиеся ранее в подобных из-

мерениях в этом материале. В частности, обнару-

жено, что зависимость сопротивления от магнитно-

го поля отличается от квадратичной во всем диапа-

зоне исследовавшихся магнитных полей. Предложе-

Рис.1. (Цветной онлайн) Температурные зависимости

но феноменологическое уравнение, которое описыва-

сопротивления исследовавшихся образцов. Форма об-

ет все полученные результаты с относительной по-

разцов и схемы расположения контактов показаны на

грешностью порядка нескольких процентов. Нали-

вставках. Направление оси c и магнитного поля пока-

чие линейного вклада, обнаруженное в настоящей

заны черными стрелками. Образец 1 - правая шкала и

работе, соответствует ожидаемому поведению магне-

правый нижний угол, образец 2 - левая шкала и левый

тосопротивления дираковских полуметаллов с узло-

верхний угол

вой линией [13].

Стехиометрическая смесь In и Bi (чистота 99.998

сопротивления в образце 1 (нижний правый угол на

и 99.995 % соответственно) помещалась в кварцевую

рис. 1) проводились при пропускании тока через кон-

ампулу, откачивалась до давления 2×10-5 Торр, пла-

такты 1 и 2, расположенные на одной грани образца,

вилась для обезгаживания, после чего ампула отпа-

напряжение снималось с контактов 3 и 4, располо-

ивалась. После тщательного перемешивания распла-

женных на другой грани. В случае образца 2 (верх-

ва при температуре 200^◦С проводилась кристаллиза-

няя левая вставка на рис. 1) ток пропускался через

ция в градиенте температуры как при вертикальном,

контакты 1 и 2, расположенные возле одного из длин-

так и при горизонтальном расположении ампулы при

ных ребер образца, напряжение снималось с контак-

плавном охлаждении от 300 до 30^◦С в течении 6 ч. В

тов 3 и 4, расположенных вблизи другого ребра.

результате вырастал кристалл, в котором ось c бы-

На рисунке 1 показаны температурные зависи-

ла наклонена к оси ампулы. Рентгеноструктурный

мости сопротивления исследовавшихся кристаллов.

анализ показал однофазность выращенных кристал-

Зависимости характерны для металлов и близки к

лов. Образцы для исследований получались с помо-

наблюдавшемся ранее [10, 15]. Отношение RRR =

щью сколов по кристаллографическим направлени-

= R(300 K)/R(4.2 K) для исследовавшихся образцов

ям. Плоскость легкого скола соответствует направле-

составляло 230 и 250.

нию (001) [8, 10, 14]. Для минимизации пластической

Типичный набор зависимостей магнетосопро-

деформации скалывание проводилось при темпера-

тивления в плоскости ab от магнитного поля,

туре жидкого азота. Контакты к образцам припаива-

перпендикулярного этой плоскости, измеренных

лись припоем с температурой плавления 58^◦С, кото-

при различных температурах, показан на рис. 2.

рая была существенно ниже температуры плавления

Магнетосопротивление немного асимметрично,

InBi (∼ 110^◦C). В общей сложности с разной степе-

что связано с небольшой асимметрией расположе-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Неквадратичное поперечное магнетосопротивление дираковского полуметалла с узловой линией InBi

Рис. 2. (Цветной онлайн) Зависимость манетосопротив-

Рис. 3. (Цветной онлайн) Зависимость магнетосопро-

ления от магнитного поля при различных температу-

тивления от квадрата магнитного поля при различных

рах для образца 1

температурах. Образец 1

ния контактов и неидеальностью формы образца.

Все данные, представленные ниже, соотвествуют

магнетосопротивлению, симметризованному по

направлению магнитного поля. Вблизи B

магнитосопротивление квадратично, однако при

понижении температуры область параболичности

быстро сужается и возникает отчетливо видная

тенденция к появлению V-образной формы, сви-

детельствующей о появлении линейного вклада,

который пропорционален абсолютной величине маг-

нитного поля. Также при понижении температуры

практически исчезает температурная эволюция маг-

нетосопротивления, что согласуется с результатами

измерений [10]. Измерения в 2 и 10 раз меньшим

током через образец показали, что исчезновение

температурной зависимости не связано с джоулевым

Рис. 4. (Цветной онлайн) Зависимости магнетосопро-

нагревом образца. Отсутствие параболичности в

тивления от магнитного поля, измеренные при различ-

средних полях хорошо видно на рис.3, на котором

ных температурах. Образец

1. Пунктиром показана

начальный участок тех же данных представлен в

зависимость ΔR ∝ B1.75

виде зависимости от B². В таком масштабе зависи-

мость должна быть линейной, однако на практике

в области малых магнитных полей наблюдается

Представленные результаты свидетельствуют о

существенное отклонение от линейности, т.е. от

сравнительно сложной функциональной зависимо-

зависимости ΔR/R

≡ [R(B) - R(0)]/R(0) ∝ B2.

сти магнетосопротивления от магнитного поля. Вид-

Рост наклона зависимости в области малых полей

но, что параболический участок большой кривизны

свидетельствует о существенно большей кривизне

в области совсем малых магнитных полей сменяется

зависимости ΔR(B) вблизи нуля.

близким к линейному ростом. В свою очередь, в об-

На рисунке 4 представлены результаты измере-

ласти больших полей линейный рост опять сменяется

ния магнетосопротивления в двойном логарифмиче-

близким к параболическому степенным законом, но

ском масштабе. Видно, что при всех температурах в

с меньшей кривизной.

области B ≳ 2 Тл она описывается степенным зако-

На рисунке 5 показана зависимость R(B, T)1/2 от

ном ΔR ∝ B^α с показателем степени α ≈ 2.

магнитного поля. Эта зависимость, по крайней мере,

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

С. В. Зайцев-Зотов, И. А. Кон

ных полуметаллах с равными концентрациями элек-

тронов и дырок (см., например, [10]). Таким обра-

зом, ур. (1) представляет собой феноменологическое

расширение уравнения, используемого для описания

магнетосопротивления топологически тривиальных

материалов. В свою очередь, при α = 2 ур. (1) яв-

ляется частным случаем более общего уравнения

√

R(B) = R₀ + R₁

1 + η²¹B² + bB²,

(3)

в котором сопротивление в нулевом магнитном поле

определяется суммой R₀ +R₁, второй член описывает

линейный по магнитному полю вклад и переходный

участок в окрестности B = 0, а третий - обычное

квадратичное магнетосопротивление.

Рис. 5. (Цветной онлайн) Зависимости R1/2 от магнит-

Оказалось, что ур. (1) описывает все имеющи-

ного поля, измеренные при различных температурах.

еся данные с относительной погрешностью поряд-

Образец 1

ка нескольких процентов²⁾. В масштабе рис. 2, 5, ап-

проксимация практически неотличима от результа-

для самых низких температур имеет простой вид, на-

тов измерений. На рисунке 6 показаны данные в об-

поминающий гиперболу и состоящий из двух ветвей,

асимптотически приближающихся к линейным зави-

симостям и соединенных переходной областью вбли-

зи B = 0. Для образца 2 показатель степени, обес-

печивающий наилучшую аппроксимацию, несколько

выше и соответствует 1/α = 0.55.

Такое поведение позволяет рассмотреть аппрок-

симацию всей зависимости в целом с помощью урав-

нения

(

√

R(T, B) = R₀(T ) c(T ) +

1+η²B²

)^α ,

(1)

которое описывает перечисленные выше особенности

магнетосопротивления. Здесь B - индукция магнит-

ного поля, c — зависящий от температуры безразмер-

ный параметр, η - параметр, имеющий размерность

подвижности, R₀(T ) имеет размерность сопротивле-

Рис. 6. (Цветной онлайн) Зависимость магнетосопро-

ния и связано с сопротивлением в нулевом поле с

тивления в области слабых магнитных полей. Сплош-

помощью соотношения R₀(T ) = R(T, 0)/(c + 1)^α, а

ными линиями показаны результаты аппроксимации

α ≈ 2. Для α = 2 при ηB ≫ 1 магнетосопротивление,

с помощью ур. (1). Пунктиром для сравнения показа-

описываемое ур. (1), может быть записано как

на квадратичная аппроксимация данных, полученных

при T = 4.8 K. Образец 2

ΔR

2ηc

η²

≈

B+

B²,

(2)

(c + 1)²

ласти малых магнитных полей и их аппроксимация.

Видно, что точность аппроксимации определяется

т.е. сводится к виду ΔR/R = aB + bB², содержаще-

му линейный по магнитному полю член. Такое описа-

уровнем шумов измерения сопротивления (в данном

ние магнетосопротивления было предложено для ди-

случае около 50 нОм, что составляет 1 % от характер-

раковских полуметаллов с узловой линией ZrSiSe и

ного сопротивления 5 мкОм). Значения параметров

ZrSiTe [7], а также получено теоретически для этого

²⁾Наибольшее отклонение связано с поправками, возника-

класса материалов [13]. При c = 0 и α = 2 это уравне-

ющими ниже температуры сверхпроводящего перехода низ-

ние описывает квадратичное поперечное магнетосо-

котемпературного припоя, использовавшегося для пайки кон-

противление, ожидаемое в топологически тривиаль-

тактов.

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Неквадратичное поперечное магнетосопротивление дираковского полуметалла с узловой линией InBi

аппроксимации при T = 4.8 К составляют c = 6.4,

В. В. Павловскому, Н. И.Федотову и А. А.Майзлаху

η = 105 см²/В·c. При повышении температуры обе

за полезные обсуждения. Работа выполнена при

величины уменьшаются.

финансовой поддержке Российского научного фонда

В топологически тривиальных компенсиро-

(грант # 16-12-10335).

ванных полуметаллах кривизна зависимости

ΔR(B)/R(0) постоянна и определяется подвиж-

Ch.-K. Chiu, J. C. Y. Teo, A. P. Schnyder, and Sh. Ryu,

ностью, причем ΔR(B)/R(0)

= μ_eμ_hB² (см.,

Rev. Mod. Phys. 88, 035005 (2016).

например, [10]). При ηB

≪ 1 ур.(1) приводит к

S. M. Young, S. Zaheer, J. C. Y. Teo, C. L. Kane,

ΔR/R = η²B²/(c + 1), что соответствует случаю

E. J. Mele, and A. M. Rappe, Phys. Rev. Lett. 108,

квадратичного магнетосопротивления с подвижно-

140405 (2012).

стью μ₀ = η/√c + 1. При ηB ≫ 1, μ∞ = η/(c + 1).

A. A. Burkov, M. D. Hook, and L. Balents, Phys. Rev.

Так как c > 0, то μ₀ = μ_∞

√c + 1. Такому изменению

B 84, 235126 (2011).

кривизны зависимости ΔR(B) в несколько раз

G. Bian, T.-R. Chang, R. Sankar et al. (Collaboration),

соответствует изменение кривых на рис.3. Участки

Nature Commun. 7, 10556 (2016).

бóльшей кривизны зависимости ΔR(B) вблизи нуле-

Y. Wu, L.-L. Wang, E. Mun, D.D. Johnson, D. Mou,

вого поля можно заметить во многих топологически

L. Huang, Y. Lee, S. L. Bud’ko, P. C. Canfield, and

нетривиальных материалах, таких как Bi [16], NbP

A. Kaminski, Nature Phys. 12, 667 (2016).

[17], MoTe₂ [18], Cd₂As₂ [19], упоминавшихся выше

J. Hu, Zh. Tang, J. Liu, X. Liu, Y. Zhu, D. Graf,

ZrSiSe и ZrSiTe [7], InBi [10] и многих других мате-

K. Myhro, S. Tran, Ch. N. Lau, J. Wei, and Zh. Mao,

риалах. По этой причине можно предположить, что

Phys. Rev. Lett. 117, 016602 (2016).

уравнения (1), (3) описывают магнетосопротивление

M. N. Ali, L. M. Schoop, Ch. Garg, J. M. Lippmann,

широкого круга топологически нетривиальных

E. Lara, B. Lotsch, and S. S. P. Parkin, Science Advances

материалов.

2, 1601742 (2016).

Полученные в настоящей работе результаты сви-

S. A. Ekahana, Sh.-Ch. Wu, J. Jiang, K. Okawa,

детельствуют о реализации более сложной зависимо-

D. Prabhakaran, Ch.-C. Hwang, S.-K. Mo, T. Sasagawa,

сти транспортных свойств дираковского полуметал-

C. Felser, B. Yan, Zh. Liu, and Yu. Chen, New J. Phys.

ла с узловой линией InBi от магнитного поля, чем

19, 065007 (2017).

квадратичной. Обнаруженные отклонения от квад-

A. A. Zyuzin and A. A. Burkov, Phys. Rev. B 86, 115133

ратичной зависимости соотвествуют появлению ли-

(2012).

нейного по магнитному полю вклада в магнетосо-

10.

K. Okawa, M. Kanou, H. Namiki, and T. Sasagawa,

противление, ожидаемого для систем с дираковской

Phys. Rev. Materials 2, 124201 (2018).

узловой линией [13]. Именно наличием такого вкла-

11.

W. P. Binnie, Acta Cryst. 9, 686 (1956).

да объясняется непараболичность магнетосопротив-

12.

R. Kubiak and J. Janczak, J. Alloys Compd. 196, 117

ления в области магнитных полей порядка несколь-

(1993).

ких Тл (см. также ур. (2)). Описание магнетосопро-

13.

H. Yang and F. Wang, arXiv:1908.01625.

тивления с помощью предложенного в данной рабо-

14.

H. U. Walter, J. Crystal Growth 19, 351 (1973).

те ур. (1) в настоящее время не имеет теоретического

15.

R. B. Lal, J. H. Davis, and H. U. Walter, Phys. Stat. Sol.

обоснования. Тем не менее, при c = 0 данное урав-

(a) 100, 583 (1987).

нение описывает квадратичное магнетосопротивле-

16.

F. Y. Yang, K. Liu, K. Hong, D. H. Reich, P. C. Searson,

ние топологически тривиальных материалов, а при

and C. L. Chien, Science 284, 1335 (1999).

c = 0 оно позволяет описать с практической точно-

17.

Ch. Shekhar, A. K. Nayak, Y. Sun et al. (Collaboration),

стью все обнаруженные особенности магнетосопро-

Nature Phys. 11, 645 (2015).

тивления дираковского полуметалла с узловой лини-

18.

F. C. Chen, H. Y. Lv, X. Luo, W. J. Lu, Q. L. Pei,

ей InBi.

G. T. Lin, Y. Y. Han, X. B. Zhu, W. H. Song, and

Авторы выражают благодарность А. А. Майзлаху

Y. P. Sun, Phys. Rev. B 94, 235154 (2016).

за помощь в росте кристаллов, В. А. Лузанову

19.

T. Liang, Q. Gibson, M. N. Ali, M. Liu, R. J. Cava, and

за проведение рентгенoструктурного анализа,

N. P. Ong, Nature Materials 14, 280 (2015).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020