Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 2, с. 61 - 64

Эффект тормозного излучения при резонансном комптоновском

рассеянии фотона многоэлектронным атомом

А. Н. Хоперский, А. М. Надолинский¹⁾, И. Д. Петров

Ростовский государственный университет путей сообщения, 344038 Ростов-на-Дону, Россия

Поступила в редакцию 8 ноября 2019 г.

После переработки 29 ноября 2019 г.

Принята к публикации 6 декабря 2019 г.

Теоретически предсказана лидирующая роль эффекта тормозного излучения при резонансном комп-

тоновском рассеянии жесткого рентгеновского фотона многоэлектронным атомом. Этот результат может

оказаться важным при интерпретации Kα, β-спектров рентгеновской эмиссии звезд, галактик и галак-

тических кластеров.

DOI: 10.31857/S0370274X20020022

1. Введение. Процесс резонансного неупругого

расходимости” сечений рассеяния при нулевой энер-

(комптоновского) рассеяния фотона многоэлектрон-

гии рассеянного фотона [1, 2]. В данном Письме мы

ным атомом - один из фундаментальных процессов

строим теорию дифференциального сечения процес-

микромира. Его экспериментальному и теоретиче-

са (1) с учетом состояний 2p_jx(s, d) и в области энер-

скому исследованию в области энергий порогов иони-

гий резонансов рентгеновской эмиссии.

зации глубоких оболочек атома посвящено большое

В (1) и далее принята атомная система единиц

количество работ (см., например, [1-4] и ссылки там).

(ℏ = e = me = 1), ω(ωC) - энергия падающего

В данном Письме мы исследуем дифференциальное

(рассеянного) фотона, ω ≥ I1s, I1s - энергия поро-

сечение процесса в области энергий падающего фо-

га ионизации 1s-оболочки, j = 1/2, 3/2, Q - проме-

тона, намного превышающих энергию порога иони-

жуточные (виртуальные) состояния ионизации ато-

зации глубокой 1s-оболочки атома (ℏω ≫ I1s). В ка-

ма и заполненные оболочки конфигураций атома не

честве объекта исследования взят атом неона (Ne;

указаны. Физическая интерпретация амплитуды ве-

заряд ядра Z = 10; конфигурация и терм основного

роятности рассеяния (1) в представлении диаграмм

состояния [0] = 1s²2s²2p⁶[¹S₀]). Выбор обусловлен

Фейнмана дана на рис. 1. Амплитуды вероятности

сферической симметрией основного состояния Ne и

его доступностью в газовой фазе [5] для проведе-

ния высокоточных экспериментов. Такие исследова-

ния необходимы, в частности, для полноты теоре-

тического описания рентгеновского континуума (фо-

на тормозного излучения) в наблюдаемых спектрах

эмиссии от горячих астрофизических объектов (см.,

например, [6]).

2. Теория. Рассмотрим процесс резонансного

комптоновского рассеяния фотона электронами ато-

Рис. 1. Амплитуда вероятности процесса резонансно-

ма Ne:

го комптоновского рассеяния фотона многоэлектрон-

ω + [0] → Q → 2p_jεp + ω_C,

(1)

ным атомом (Ne) в представлении диаграмм Фейнма-

на: (a) - амплитуда вероятности Kα-эмиссии; (b) - ам-

1sxp,

2p_jx(s, d).

(2)

плитуда вероятности тормозного излучения. Стрелка

вправо - электрон сплошного спектра, стрелка влево -

В работе [1] представлена формально математи-

вакансия (1s, 2pj , j = 1/2, 3/2). Двойная линия - состо-

чески полная теория процесса (1). Однако, насколько

яние получено в хартри-фоковском поле 1s-вакансии.

нам известно, состояния np_jx(s, d), n ≥ 2 исследова-

Черный кружок - вершина взаимодействия по опера-

ны лишь как причина возникновения “инфракрасной

тору радиационного перехода. ω (ωC ) - падающий (рас-

сеянный) фотон, ω ≥ I1s. Направление времени - слева

¹⁾e-mail: amnrnd@mail.ru

направо (t1 < t2)

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

А. Н. Хоперский, А. М. Надолинский, И. Д. Петров

рассеяния нерезонансного типа в данном Письме не

фотовозбуждения) и в данном Письме не учиты-

учитывались. Причина этому в следующем. Макси-

вался. Тогда методами алгебры операторов рожде-

мальная величина сечения по оператору контактно-

ния (уничтожения) фотонов [9], теории неприводи-

го (квадратичного по электромагнитному полю) вза-

мых тензорных операторов [10] и теории неортого-

имодействия на три порядка меньше величины се-

нальных орбиталей [11] во втором (по α-постоянной

чения рассеяния по каналам (1). Игнорирование та-

тонкой структуры) порядке нерелятивистской кван-

кого сечения приводит к изотропии процесса (1) по

товой теории возмущений, в приближении нулевой

углу рассеянного фотона. Однако заметим следую-

ширины распада 2p_j-вакансии (Γ2pj → 0) и диполь-

щее. При расчете амплитуды вероятности тормозно-

ном приближении для оператора радиационного пе-

го излучения (рис. 1b) в разложении волновой функ-

рехода для дифференциального сечения процесса (1)

ции xd-электрона сплошного спектра по парциаль-

получаем:

ным волнам мы оставили лишь вклад углового мо-

√

dσ_⊥

ω_C ∑

мента l = 0: |x〉 ≈ j₀(r

2x), j₀ - сферическая функ-

≡σ(1)⊥ =

πr²

η_jM_j,

(3)

dω_C

⁰ ω

ция Бесселя. Следует ожидать, что учет слагаемых

с l ≥ 2 приведет к угловой анизотропии рассеян-

(₄

)

α_j

α_j + γ1sA_jΔ_j

ного фотона. Такой учет является предметом буду-

M_j

+B_jΔ2j,

(4)

щих исследований. Амплитуды вероятности рассея-

[(ω_C - ω_j )² + γ21s]

ния, нарушающие принцип причинности на вирту-

α_j = 0.82〈1s₀|r|2p₊〉〈1s₀|r| ∈_j p〉 ×

альном уровне, не учтены в силу принятого нами

× ω_j(ε_j + I1s),

(5)

приближения Тамма-Данкова [7, 8]. В этом прибли-

жении в нашем случае учитываются лишь диаграм-

A_j = 3.90s_j + 1.91d_j,

(6)

мы Фейнмана с числом фотонов, электронов и вакан-

B_j = 2.96s2j + 2.25s_jd_j + 1.29d2j,

(7)

сий в рассечениях, не превышающим фиксированно-

(

)

го значения N = 2 (рис. 1). Вклад состояний 1s → np

Δ_j = ε_j

-1

(8)

и 2p_j → m(s, d) возбуждения (n, m ≥ 3) в энергети-

ω_C

ческих масштабах эмиссионных структур на рис. 2, 3

В (3)-(8) определено: символ “⊥” соответствует вы-

сосредоточен в узкой допороговой области рассеяния

бору схемы предполагаемого эксперимента - векторы

(например, I1s -I1snp ≤ 6 эВ, I1snp - энергия 1s → np

поляризации (линейно поляризованных) падающего

и рассеянного фотонов перпендикулярны плоскости

рассеяния, проходящей через волновые векторы этих

фотонов, r₀ - классический радиус электрона, η_j = 2

(j = 3/2), 1 (j = 1/2), γ1s = Γ1s/2, Γ1s - естествен-

ная (полная) ширина распада 1s-вакансии, энергии

резонансов эмиссии ω_j

= I1s - I2pj, I2pj

- энер-

гия порога ионизации 2p_j-оболочки, s_j = 〈p₀|r|ε_j s〉,

d_j = 〈2p₀|r|ε_jd〉 и ε_j = ω -ω_C -I2pj . В одноэлектрон-

ной амплитуде вероятности рождения 1s-вакансии из

(5) структура корреляционной функции

(

)

〈2p₀|ε_jp₊〉

| ∈_j p〉 = N1s

|ε_jp₊〉 - |2p₊〉

(9)

〈2p

0|2p+〉

N1s = 〈1s₀|1s₊〉〈2s₀|2s₊〉²〈2p₀|2p₊〉⁶,

(10)

учитывает эффект радиальной релаксации состоя-

ний рассеяния в поле 1s-вакансии. Индексы “0” и “+”

определены для радиальных частей волновых функ-

ций электронов, полученных решением уравнений

Рис. 2. Дифференциальное сечение процесса резонанс-

Хартри-Фока для конфигураций начального состо-

ного комптоновского рассеяния фотона атомом Ne в

яния атома ([0]) и однократного иона (1s₊), соответ-

области ℏω ∈ (I1s; 2) кэВ с учетом парциальных ампли-

ственно. Радиальные части волновых функций элек-

туд вероятности рассеяния на рис. 1a, b и их интерфе-

тронов сплошного спектра в матричных элементах s_j

ренции. I1s = 870.210 эВ, Γ1s = 0.271 эВ, δSO = 0.124 эВ

и d_j получены в хартри-фоковскомполе 2p-вакансии.

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Эффект тормозного излучения при резонансном комптоновском рассеянии. . .

Рис. 3. Дифференциальное сечение процесса резонансного комптоновского рассеяния фотона атомом Ne в области

ℏω ∈ (I1s; 6) кэВ: (a) - ℏωC = 847.1 эВ (резонанс Kα-эмиссии), штриховая кривая - учтена лишь диаграмма рис. 1a,

сплошная кривая - учтена лишь диаграмма рис. 1b и ее интерференция с диаграммой рис. 1a; (b) - эволюция сплошной

кривой на рис.3a для ℏωC ∈ (845; 850) эВ. I1s, Γ1s, δSO - см. рис. 2

Одноэлектронная амплитуда вероятности тормозно-

и Kα₂-структуры спектра эмиссии практически не

го излучения (рис. 1b) получена в форме скорости в

“разрешены”.

приближении плоских волн для волновых функций

Результаты на рис. 2, 3 показывают следующее.

x(s, d)- и εp-электронов сплошного спектра [12]:

При увеличении энергии падающего фотона от ω ≥

≥ I1s (рис.2) до ω ≫ I1s (рис.3) основной вклад

(s - ε)〈xl|r|εp〉= 2ix · δ(x - ε), l = s, d,

(11)

в сечение рассеяния (3) дает

амплитуда вероятно-

√

где δ - дельта-функция Дирака. Для интеграла пере-

сти тормозного излучения (∼ B_jΔ2j, континуум на

крывания двух сплошных спектров на рис. 1a приня-

рис. 3b). “Ребристая” структура на фоне континуума

то приближение 〈xp₊|εp〉⁼ δ(x - ε). Как и следова-

при ω_C

= 847.1 эВ обусловлена резонансной интер-

ло ожидать, факт возникновения множителя Δ_j из

ференцией амплитуд вероятности тормозного излу-

(8) в многоэлектронной амплитуде вероятности тор-

чения (∼ A_j Δ_j ) и эмиссии (∼ α_j , штриховая кри-

мозного излучения воспроизводит упомянутую выше

вая на рис.3a). При этом практическое исчезновение

“инфракрасную расходимость” [1, 2, 9]:

вклада амплитуды вероятности эмиссии обусловлено

lim

σ(1)⊥ = ∞.

(12)

сильным подавлением амплитуды вероятности рож-

ωC →0

дения глубокой 1s-вакансии в α_j из (5).

3. Результаты и обсуждение. Результаты рас-

4. Заключение. Теоретически исследовано диф-

чета представлены на рис. 2, 3. Для параметров сече-

ференциальное сечение резонансного комптоновско-

ния рассеяния (3) приняты значения (в эВ) I1s =

го рассеяния рентгеновского фотона многоэлектрон-

= 870.210 [13], Γ1s

= 0.271 [14] и I2pj

= 23.207

ным атомом. Установлена лидирующая роль эффек-

= 1/2), 23.083 (j

= 3/2) [15]. В силу мало-

та тормозного излучения в формировании не толь-

сти константы спин-орбитального расщепления 2p_j-

ко области “инфракрасной расходимости” (12), но и

оболочки (δ_SO = ω3/2-ω1/2 < Γ1s) резонансные Kα₁-

структуры Kα-спектра эмиссии в жестком (ω ≫ I1s)

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

А. Н. Хоперский, А. М. Надолинский, И. Д. Петров

диапазоне энергий падающего на атом фотона. Этот

W. Schlotter, L. S. Cederbaum, S. Fritzsche, and

результат носит предсказательный характер и, воз-

N. Berrah, J. Phys. B 51, 034003 (2018).

можно (предмет будущих исследований), допускает

A. C. Brinkman, E. Behar, M. Gudel et al.

обобщение, в частности, на неоноподобные атомные

(Collaboration), Astron. Astrophys.

365, L324

(2001).

ионы, играющие важную роль в современной астро-

физике (см., например, [16, 17]). Наконец, отметим

Ig. Tamm, J. Phys. (USSR) 9, 449 (1945).

следующее. Уже для ω

= 6кэВ (рис.3) дипольное

S. M. Dancoff, Phys. Rev. 78, 382 (1950).

приближение при расчете амплитуды вероятности

А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий, Квантовая элек-

тродинамика, Наука, М. (1969).

2p → x(s, d) фотоионизации атома Ne становится

10.

А. П. Юцис, А.Ю. Савукинас, Математические ос-

некорректным: величина параметра ζ = λ/r2p = 4

новы теории атома, Минтис, Вильнюс (1973).

(λ - длина волны падающего фотона, r2p - сред-

11.

A. P. Jucys, E. P. Našlěnas, and P. S.

Žvirblis, Int. J.

ний радиус 2p-оболочки) нарушает критерий приме-

Quant. Chem. 6, 465 (1972).

нимости дипольного приближения ζ ≫ 1. Однако

12.

A. N. Hopersky, A.M. Nadolinsky, and S.A. Novikov,

при ω ≫ ω_C

= ω_j сечение рассеяния определяется

Phys. Rev. A 98, 063424 (2018).

практически лишь вероятностью тормозного излу-

13.

L. Pettersson, J. Nordgren, L. Selander, C. Nordling,

чения: σ(1)⊥ ∼ ω³ · B_j . Как результат, модификация

and K. Siegban, J. Electr. Spectr. Rel. Phenom. 27, 29

B_j-функции при учете недипольных и многочастич-

(1982).

ных эффектов [18-20] не изменит утверждения о ли-

14.

M. Coreno, L. Avaldi, R. Camilloni, K. C. Prince, M. de

дирующей роли эффекта тормозного излучения при

Simone, J. Karvonen, R. Colle, and S. Simonucci, Phys.

ω≫I1s.

Rev. A 59, 2494 (1999).

15.

N. Nrisimhamurty, G. Aravind, P. C. Deshmukh, and

1. T.Åberg and J. Tulkki, in Atomic Inner-Shell Physics,

S. T. Manson, Phys. Rev. A 91, 013404 (2015).

ed. by B. Crasemann, Plenum, N.Y. (1985), ch. 10,

16.

E. Träbert, P. Beiersdorfer, J. K. Lepson, M. L. Reinke,

p. 419.

and J. E. Rice, Astrophys. J. 865, 148 (2018).

2. P. P. Kane, Phys. Rep. 218, 67 (1992).

17.

J. Deprince, M. A. Bautista, S. Fritzsche, A. J. Garcia,

3. M. A. MacDonald, S. H. Southworth, J. C. Levin,

T. Kallman, C. Mendoza, P. Palmeri, and P. Quinet,

Astron. Astrophys. 626, A83 (2019).

A. Henins, R. D. Deslattes, T. Lebrun, Y. Azuma,

P. L. Cowan, and B. A. Karlin, Phys. Rev. A 51, 3598

18.

M. Ya. Amusia and N. A. Cherepkov, Case Stud. Atom.

(1995).

Phys. 5, 47 (1975).

4. M.

Žitnik, M. Kavčič, K. Bučar, A. Mihelič, M.

Štuhec,

19.

J. W. Cooper, Phys. Rev. A 47, 1841 (1993).

and J. Kokalj, Phys. Rev. A 76, 032506 (2007).

20.

W. R. Johnson, A. Derevianko, K. T. Cheng,

5. R. Obaid, Ch. Buth, G. L. Dacovski, R. Beerwerth,

V. K. Dolmatov, and S.T. Manson, Phys. Rev. A

M. Holmes, J. Aldrich, M.-F. Lin, M. Minitti, T. Osipov,

59, 3609 (1999).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020