Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 2, с. 65 - 74

Спектры двумерной затухающей магнитогидродинамической

турбулентности на β-плоскости

Т. А. Зиняков⁺¹⁾, А. С. Петросян+∗

⁺Институт космических исследований РАН, 117997 Москва, Россия

^∗Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), 141701 Долгопрудный, Россия

Поступила в редакцию 25 октября 2019 г.

После переработки 9 декабря 2019 г.

Принята к публикации 9 декабря 2019 г.

Для двумерной однородной затухающей магнитогидродинамической турбулентности на β-плоскости

показано формирование спектра Ирошникова-Крейчнана в инерционном интервале. Получено вы-

ражение для волнового числа, характеризующего границу между инерционным интервалом спектра

Ирошникова-Крейчнана и областью существования волн Россби. Исследовано самоподобное затухание

спектра Ирошникова-Крейчнана во времени. На больших интервалах времени обнаружено нарушение

самоподобного затухания спектра полной энергии и формирование Колмогоровского спектра в инер-

ционном интервале кинетической энергии. Обратный каскад кинетической энергии, характерный для

обнаруженного спектра Колмогорова, обеспечивает зарождение зональных течений.

DOI: 10.31857/S0370274X20020034

1. Введение. Исследование магнитогидродина-

В работах [7-9] исследуются зональные течения

мической турбулентности во вращающейся плазме

в двумерной магнитогидродинамической турбулент-

является фундаментальным для понимания течений

ности на β-плоскости. Отметим, что зональные тече-

в плазменной астрофизике [1, 2] и в тороидальной

ния также играют определяющую роль в термоядер-

плазме [3-5]. Динамика таких течений существенно

ной плазме [10-12]. Как известно, зональные течения

отличается от динамики турбулентности во враща-

в нейтральной жидкости характеризуются масшта-

ющейся нейтральной жидкости вследствие присут-

бом Райнса, описывающем границу между волновой

ствия магнитных полей. В настоящей работе иссле-

и турбулентной динамикой [13, 14]. В нашей работе

дуются спектры двумерной однородной затухающей

[8] показано образование зональных течений в дву-

магнитогидродинамической турбулентности в плаз-

мерной магнитогидродинамической турбулентности

ме при наличии вращения. Модель двумерной маг-

на β-плоскости и предложена оценка границы между

нитогидродинамической турбулентности при нали-

волнами Россби и магнитогидродинамической турбу-

чии силы Кориолиса является ключевой в исследо-

лентностью, а именно, масштаб, характеризующий

ваниях астрофизической плазмы, поскольку астро-

зональные течения. Однако в работах [7, 8] не за-

физические течения становятся плоскими благодаря

трагивался вопрос о спектрах двумерной магнито-

быстрому вращению или действию внешнего верти-

гидродинамической турбулентности на β-плоскости,

кального магнитного поля [6]. Отметим также, что

поскольку для анализа спектров турбулентного тече-

при наличии сильной стратификации в турбулент-

ния требуется моделирование с разрешением, значи-

ности формируется множество плоских структур в

тельно превышающим разрешение численных экспе-

виде двумерных невзаимодействующих слоев. Боль-

риментов в работах [7, 8]. Изучению динамики спек-

шинство (не все) течения в плазменной астрофизике

тров двумерной магнитогидродинамической турбу-

имеют сферическую геометрию, поэтому проекция

лентности на β-плоскости посвящена наша работа.

угловой скорости вращения на местную вертикаль

Помимо самостоятельного фундаментального инте-

меняется с широтой. Мы используем приближение

реса, решение сформулированной задачи является

β-плоскости для линейной аппроксимации зависимо-

определяющим для понимания процессов зарожде-

сти параметра Кориолиса f от координаты в направ-

ния зональных течений.

лении юг-север.

Ответ на вопрос о спектрах двумерной магнито-

гидродинамической турбулентности на β-плоскости

¹⁾e-mail: zinyakov@iki.rssi.ru

не является тривиальным, поскольку уравнения дву-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Т. А. Зиняков, А. С. Петросян

мерной магнитной гидродинамики на β-плоскости

и для инерционного интервала прямого каскада эн-

включают моды волн Россби и магнитогидродина-

строфии

мическую турбулентность. В магнитогидродинами-

E_k = C₂ε2/3k-3,

(3)

ческой турбулентности спектральный перенос пол-

ной энергии определяется альвеновскими волнами.

где C₁, C₂ - константы, ε - скорость диссипации эн-

Для двумерной магнитогидродинамической турбу-

строфии. Изотропный спектр (2) известен как спектр

лентности без вращения, в отличие от двумерной

Колмогорова. В двумерной турбулентности на β-

турбулентности нейтральной жидкости [15, 16], ха-

плоскости обратный каскад энергии останавливается

рактерен прямой каскад энергии [17]. Поток пол-

на масштабах Райнса и образуются зональные тече-

ной энергии по спектру зависит от волнового чис-

ния [13-15].

ла, спектральной плотности полной энергии E_k и

В следующем разделе приводятся исходные урав-

скорости альвеновских волн. Перенос энергии вдоль

нения; описывается численный алгоритм решения

инерционного интервала происходит из-за взаимо-

задачи и используемые начальные условия. В тре-

действия альвеновских волн, вследствие чего реали-

тьем разделе обсуждаются результаты численного

зуется спектр Ирошникова-Крейчнана [18, 19]:

моделирования пространственно-временной динами-

ки двумерной затухающей магнитогидродинамиче-

E_k = E^Vk + E^Mk = C^′(ϵv_A)1/2k-3/2,

(1)

ской турбулентности на β-плоскости. В заключении

приведены основные результаты работы.

где C′ - константа, ϵ = -∂E/∂t - скорость дис-

2. Исходные уравнения. Для описания вра-

сипации энергии, v_A - среднеквадратичная альве-

щающегося двумерного течения квазинейтральной

новская скорость. В работе [20] показано, что в

плазмы используем уравнения двумерной магнитной

двумерной затухающей магнитогидродинамической

гидродинамики с учетом силы Кориолиса, пренебре-

турбулентности наблюдается самоподобное затуха-

гая эффектами сжимаемости (ρ₀ = const) и тепло-

ние спектра (1).

проводности,

Так как эффекты вращения в двумерной

∂u

∇p

(∇ × B) × B

магнитогидродинамической турбулентности на

+(u · ∇) u+2Ω×u = -

+νΔu, (4a)

∂τ

4πρ

β-плоскости оказывают существенное влияние на

динамику только в крупных масштабах, естествен-

∂B

= ∇ × (u × B) + ηΔB,

(4b)

но было бы предположить, что спектры полной

∂τ

энергии такой турбулентности согласуются со спек-

∇ · u = 0,

(4c)

тром Ирошникова-Крейчнана (1) в инерционном

интервале волновых векторов, лежащем справа от

∇ · B = 0,

(4d)

области доминирования волн Россби. Однако такое

где u - вектор скорости, Ω - угловая скорость вра-

предположение противоречит процессу возникно-

щения, B - магнитное поле и ν - кинематическая

вения зональных течений [8, 14], поскольку для

вязкость. Коэффициент магнитной диффузии опре-

реализации зональных течений требуется обратный

деляется как

каскад кинетической энергии к малым волновым

c²

числам, характерный для двумерной турбулентно-

η=

4πσ

сти нейтральной жидкости. Именно разрешению

где c - скорость света, σ - электрическая проводи-

этого парадокса посвящена наша работа. Отметим

мость среды. При достаточно большой электриче-

далее свойства двумерной турбулентности нейтраль-

ской проводимости среды σ, уравнение (4b) описы-

ной жидкости, важные для понимания полученных

вает вмороженность магнитного поля в плазму.

в работе результатов.

Далее используем уравнения (4), записанные в

Динамика двумерной турбулентности нейтраль-

безразмерном виде, для получения уравнений эво-

ной жидкости характеризуется обратным каскадом

люции завихренности и потенциала магнитного по-

энергии и прямым каскадом энстрофии [15, 16, 21,

ля. Пространственные переменные обезразмерены на

22]. Простые соображения теории размерности [23]

величину L₀ = l₀/2π, где l₀ - характерный масштаб

дают следующее выражение для изотропного спек-

самого крупного вихря. Вектор скорости u обезраз-

тра энергии E_k по модулю волнового числа k в дву-

мерен на величину

мерной турбулентности [24] для инерционного интер-

√

вала обратного каскада энергии

EV0

U₀ =

E_k = C₁ϵ2/3k-5/3

(2)

ρ₀L²

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Спектры двумерной затухающей магнитогидродинамической турбулентности на β-плоскости

где EV0 - начальная кинетическая энергия системы.

Потенциал магнитного поля связан с двумерным

Время обезразмерено на величину T₀ = L₀/U₀. Маг-

магнитным полем (B^x, B^y) следующими соотноше-

нитное поле B обезразмерено на величину

ниями:

√

B^x = ∂_yA; B^y = -∂_xA.

4πEM0

B₀ =

L²

В работе изучается локальная двумерная область

(2π×2π) на сфере с периодичными граничными усло-

где EM0 - начальная магнитная энергия системы

виями. В качестве начальных условий в уравнении

(EV0 = EM0 ). Остальные безразмерные величины за-

(5) используется набор Фурье-гармоник:

даются следующим образом:

ψ0k = ak1/2e-k2/2k0+iαk ,

2L₀

Ω=

Ω - безразмерная угловая скорость,

U₀

A0k = bk1/2e-k2/2k0+iβk ,

- безразмерное давление,

где α_k, β_k - случайные фазы, а коэффициенты a, b

U²⁰ρ₀

выбраны так, что суммарная энергия системы E =

ν=

- безразмерная вязкость,

= E^V + E^M = 2. Параметр k₀ задает значение вол-

U₀L₀

нового числа, при котором спектр энергии системы

в начальном состоянии максимальный.

η=

- безразмерная диффузия.

U₀L₀

Для численного решения системы (5) исполь-

При переходе от обезразмеренного уравнения (4a)

зуется псевдоспектральный метод, основанный на

к уравнению эволюции завихренности и потенциа-

быстром преобразовании Фурье [25]. В таком мето-

ла магнитного поля используется приближение β-

де при использовании преобразования Фурье возни-

плоскости, в котором проекция угловой скорости на

кают ошибки дискретизации (алиасинг), связанные

нормаль к поверхности сферы (Ω^z = f) аппроксими-

с нелинейными членами в уравнениях (5). Для ис-

руется по широте следующим образом:

ключения фиктивных решений ошибки фильтруют-

ся по правилу 2/3 [26]. При использовании простран-

f =f₀ +βy,

ственной сетки (N × N) сетка в Фурье-пространстве

(набор Фурье-гармоник) ограничивается квадратной

где β - параметр Россби. В данном случае изучает-

областью -N/3 ≤ k_x, k_y ≤ N/3. Для интегрирования

ся двумерная область на поверхности сферы. Ось x

по времени системы уравнений (5) используется схе-

имеет направление вдоль азимута, а ось y - проти-

ма Рунге-Кутта третьего порядка (трехшаговая схе-

воположна широте.

ма с весами). Интегрирование по времени происхо-

После замены переменных в (4) и при сохранении

дит с переменным временным шагом таким образом,

за обезразмереными переменными старых обозначе-

чтобы шаг по времени всегда удовлетворял крите-

ний, уравнения эволюции завихренности ω и потен-

рию Куранта-Фридрихса-Леви. Численное модели-

циала магнитного поля A двумерного магнитогидро-

рование производилось на графических процессорах

динамического течения несжимаемой вязкой жидко-

Nvidia с использованием параллельных вычислений

сти (плазмы) в приближении β-плоскости записыва-

программно-аппаратной архитектуры CUDA.

ются в виде:

3. Результаты. Мы обсуждаем результаты чис-

ленного моделирования системы уравнений (5) с про-

∂_tω = J(ψ, ω) + β∂_xψ + J(A, ΔA) + νΔω

(5a)

странственным разрешением 4096×4096 при различ-

ных параметрах Россби β. Численные эксперименты

∂_tA = J(ψ, A) + ηΔA,

(5b)

осуществлялись для течений с равными исходным

где ψ - функция тока (ω = -∇²ψ), β - параметр

гидродинамическим числом Рейнольдса и исходным

Россби. Функция J(a, b) = ∂_xa · ∂_yb - ∂_ya · ∂_xb - яко-

магнитным числом Рейнольдса. Поясним кратко, как

биан функций a(x, y) и b(x, y).

оцениваются соответствующие числа Рейнольдса в

Завихренность и функция тока связаны с двумер-

наших начальных условиях для обезразмеренной си-

ным полем скорости (u^x, u^y) следующими соотноше-

стемы уравнений 5. Гидродинамическое число Рей-

ниями:

нольдса через размерные величины задается как

Re = l₀V₀/ν, где V₀ - начальная среднеквадратич-

ω = ∂_xu^y - ∂_yu^x; u^x = ∂_yψ; u^y = -∂_xψ.

ная скорость системы, l₀ - характерный масштаб са-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

5^∗

Т. А. Зиняков, А. С. Петросян

мого крупного вихря. Используя обезразмернивание,

описанное в предыдущем разделе, мы получаем

l₀V₀

2πL₀u₀U₀

2πu₀

Re =

≃ 10⁶,

νU₀L₀

где u₀ - безразмерная начальная среднеквадратич-

ная скорость, ν - безразмерная вязкость, обозначен-

ная в (5a) как ν. Аналогичным образом задается маг-

нитное число Рейнольдса

2πu₀

Rm =

≃ 10⁶,

где η - безразмерная магнитная диффузия, обозна-

ченная в (5b) как η. Соответственно, магнитное чис-

ло Прандтля исследуемых течений P r_m = ν/η = 1.

При таком выборе числа Прандтля обеспечивается

оптимальный выбор шага по времени используемого

численного алгоритма. Все численные эксперименты

осуществлялись до времени T = 15·t₀, где t₀ = l₀/U₀

- время оборота вихря в турбулентном течении в

начальный момент времени. Основные параметры и

результаты численных экспериментов приведены в

табл. 1: где C^′ - константа в спектре Ирошникова-

Крейчнана (1) и k^Mβ - характерное волновое число

правой границы области доминирования волн Росс-

би при наличии магнитного поля (9), приведенное

в момент времени t = 3, когда происходит процесс

адаптации системы к начальным условиям. В про-

цессе адаптации системы к начальным условиям про-

исходит переход от кинетической энергии к магнит-

ной (E^M /E^V ≈ 2 для t = 3 при параметрах Россби

β = 10;25;50) и формируется поток энергии вдоль

Рис. 1. (Цветной онлайн) (a) - Спектры полной энергии

инерционного интервала.

затухающей магнитогидродинамической турбулентно-

Таблица 1. Начальные данные и результаты численных экс-

сти на β-плоскости (β = 10). (b) - Спектры полной

периментов

энергии, нормированные на k3/2. (c) - Спектры полной

# E0V E0M β

C^′

k^Mβ

энергии, нормированные на k3/2 и скомпенсированные

10-5

1.42

5.5

на временную зависимость

√ϵvA. Сплошными линия-

10-5

1.36

8.4

ми показаны зависимости спектров от волнового числа

10-5

1.31

12.3

k для момента времени t = 3, штрихпунктирными ли-

ниями - для момента времени t = 6, точечными пунк-

тирами - для момента времени t = 9

Сравним спектры полной энергии для случая

двумерной затухающей магнитогидродинамической

турбулентности при параметре Россби β = 10 для

Из рисунка 1а видно, что область всех волновых

трех моментов времени t = 3; 6; 9, после адапта-

векторов разделяется на область крупных масшта-

ции системы к начальным условиям. На рисунке 1a

бов (k < 6), в которой спектр энергии растет с рос-

приведены спектры полной энергии для моментов

том волнового числа k и область средних и мелких

времени следующих после адаптации системы к на-

масштабов (k > 6), в которой спектр энергии па-

чальным условиям (t = 3). Спектры полной энер-

дает с ростом волнового числа k. Спектры полной

гии исследуются в диапазоне волновых векторов k =

энергии в области крупных масштабов (k = 1 - 6)

= 1 - 300, который содержит область крупных мас-

не изменяются на временном промежутке t = 3 - 9.

штабов, инерционный интервал и начало диссипа-

Максимум спектра полной энергии во всех трех мо-

тивного интервала.

ментах времени t = 3; 6; 9 наблюдается на волновом

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Спектры двумерной затухающей магнитогидродинамической турбулентности на β-плоскости

числе k = 5.5. На рисунке 1а в диапазоне волно-

тра E · k3/2 в данном диапазоне лежат ниже, чем

вых чисел 10 < k < 300 спектры полной энергии

в инерционном интервале. На этом интервале, кото-

для трех моментов времени t = 3; 6; 9 имеют схожую

рый является переходной областью между инерцион-

зависимость от волнового числа k, но каждый по-

ным и диссипативным интервалами, эффекты дисси-

следующий спектр лежит ниже предыдущего. Зату-

пации играют существенную роль, спектры полной

хание спектра энергии в области средних и мелких

энергии не согласуются со спектром E_k ∼ k-3/2.

масштабов (k > 6) происходит равномерно (спектр

Так как нормированные спектры на рис. 1b за-

полной энергии самоподобно затухает в данной об-

тухают самоподобно в инерционном интервале, мы

ласти). В диапазоне волновых чисел 10 < k < 100

предполагаем, что самоподобное затухание прохо-

зависимости спектров полной энергии от волнового

дит по закону

√ϵv_A (временная зависимость спек-

числа k, которые построены в логарифмических ко-

тра Ирошникова-Крейчнана (1)) и переходим к ис-

ординатах на рисунке 1а, имеют схожий наклон на

следованию нормированных спектров, скомпенсиро-

всех трех моментах времени t = 3; 6; 9. Данный диа-

ванных на эту зависимость. На рисунке 1с показаны

пазон является инерционным интервалом, в котором

нормированные компенсированные спектры полной

происходит перенос энергии из крупных масштабов в

энергии E(k)·(ϵv_A)-1/2 ·k3/2 =

Ê·k3/2 двумерной за-

мелкие. Инерционный интервал распространяется в

тухающей МГД турбулентности на β-плоскости при

крупные масштабы с течением времени до волнового

параметре Россби β = 10.

числа, соответствующего максимуму спектра энер-

На рисунке 1c нормированные компенсирован-

гии k = 5.5 в момент времени t = 9. Такая динамика

ные спектры полной энергии для моментов времени

связана с затуханием энергии в промежуточной об-

t = 3; 6; 9 практически совпадают на инерционном

ласти (k = 6 - 10) между крупными масштабами и

интервале k = 10 - 100, что говорит о наличии само-

начальным инерционным интервалом. В диапазоне

подобного затухания спектров полной энергии с вре-

волновых чисел k > 100 спектры полной энергии на

менным законом

√ϵv_A. В диссипативном интервале

рисунке 1а с ростом k затухают быстрее, чем в инер-

k > 100 угол наклона нормированного компенсиро-

ционном интервале, поскольку в диссипативном ин-

ванного спектра для момента времени t = 9 меньше,

тервале преобладают эффекты вязкости и магнит-

чем для спектров на предыдущих моментах времени.

ной диффузии.

Это связанно с увеличением масштаба Колмогорова

Исходя из полученного утверждения, что спек-

l_K = (η²v_A/ϵ)1/3 и распространением диссипации в

тры полной энергии двумерной затухающей магнито-

более крупные масштабы.

гидродинамической турбулентности на β-плоскости

Таким образом, после адаптации системы к на-

имеют одинаковую зависимость от волнового числа

чальным условиям, в двумерной затухающей МГД

k, мы переходим к исследованию спектров, нормиро-

турбулентности на β-плоскости образуются спектры

ванных на k3/2. На рисунке 1b показаны нормирован-

Ирошникова-Крейчнана (1). Тщательное изучение

ные спектры полной энергии E(k)·k3/2 двумерной за-

всех полученных спектров на временном промежут-

тухающей МГД турбулентности на β-плоскости при

ке t = 3 - 9 показало, что полученый спектр само-

параметре Россби β = 10.

подобно затухает, согласуясь с временной зависимо-

На рисунке 1b нормализованный спектр, соот-

стью в спектре Ирошникова-Крейчнана

√ϵv_A, как

ветствующий моменту времени t = 3, масштабно-

и спектры двумерной затухающей МГД турбулент-

инвариантен на диапазоне волновых векторов 10 <

ности при отсутствии вращения [20]. Аналогичные

< k < 100. Таким образом, в двумерной затухающей

спектры Ирошникова-Крейчнана и эффекты само-

МГД турбулентности на β-плоскости после адапта-

подобного затухания наблюдаются в двумерной зату-

ции системы к начальным условиям устанавливает-

хающей МГД турбулентности с параметрами Россби

ся спектр со степенной зависимостью E_k ∼ k-3/2.

β = 25;50.

Нормализованные компенсированные спектры, соот-

Так как нормализованные компенсированные

ветствующие моментам времени t = 6; 9, являют-

спектры двумерной затухающей магнитогидро-

ся масштабно-инвариантными на большем диапазоне

динамической турбулентности на β-плоскости

волновых векторов (k ≃ 8 - 100 и k ≃ 6 - 100, соот-

масштабно-инвариантны и практически совпа-

ветственно). Таким образом инерционный интервал

дают на инерционном интервале k

≃ 10 - 100,

расширяется в область крупных масштабов.

мы переходим к исследованию нормализованных

На рисунке 1b в области волновых k

≳ 100

компенсированных спектров полной энергии, усред-

нормированные спектры не являются масштабно-

ненных на статистически стационарном временном

инвариантными. Значения нормализованного спек-

промежутке t

= 3 - 6, двумерной затухающей

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Т. А. Зиняков, А. С. Петросян

магнитогидродинамической турбулентности на

Используя выражение для спектра Ирошникова-

β-плоскости для различных параметров Россби

Крейчнана (1), оценим характерное временя оборота

= 10; 25; 50. Сравнивая полученные спектры,

вихря в магнитогидродинамическом течении в инер-

оценим влияние вращения на динамику крупно-

ционном интервале как

масштабных взаимодействий и эффекты переноса.

l_k

1/k

На рисунке 2 показаны скомпенсированные нор-

τ^IKk =

= (v_Aϵ)-1/4k-3/4.

(7)

v_l

√E_kk

мированные спектры полной энергии

E(k) · k3/2,

усредненные на временном промежутке t = 3 - 6.

Приравнивая выражения для (1/τ^IKk ) и дисперсион-

ное соотношение для волн Россби

βk_x

ω=

k²

получим волновое число, характеризующее границу

между областью доминирования волн Россби и инер-

ционным интервалом:

)1/7

⁽ β⁴

k^IKβ =

(8)

Aϵ

Заметим, что ранее в работе [8] введено характерное

волновое число границы между областью домини-

рования волн Россби и магнитогидродинамической

турбулентностью

Рис. 2. (Цветной онлайн) Спектры полной энергии,

√

нормированные на k3/2, скомпенсированные на времен-

k^Mβ = βv/2v2A,

(9)

ную зависимость

√ϵvA и усредненные на временном

промежутке t = 3-6 для различных параметров Росс-

где v - среднеквадратичная скорость турбулентно-

би. Сплошной линией показана зависимость модифи-

го течения. Волновые числа (9) и (8) различаются,

цированного спектра для параметра Россби β = 10 от

так так первое описывает границу между областью

волнового числа k, штрихпунктирной линией - для па-

раметра Россби β = 25, точечным пунктиром - для

доминирования волн Россби и магнитогидродинами-

параметра Россби β = 50

ческой турбулентности, а второе описывает границу

между областью, в которой существуют волны Росс-

Нормализованные компенсированные усреднен-

би, и инерционным интервалом, в котором возникает

ные (модифицированные) спектры полной энергии

спектр Ирошникова-Крейчнана. Диапазон волновых

двумерной вырождающейся магнитогидродинамиче-

векторов k^Mβ < k < k^IKβ является переходной обла-

ской турбулентности на β-плоскости для парамет-

стью, где существуют и волны Россби, и магнитогид-

ров Россби β

= 10, β

= 25 и β = 50 (изобра-

родинамическая турбулентность (нелинейные альве-

женные на рис. 2) масштабно-инварианты в волно-

новские волны).

вых диапазонах k

≃ 10 - 100, k

≃ 18 - 100 и

На рисунке 2 модифицированные спектры полной

k ≃ 26 - 100 соответственно. Спектр полной энер-

энергии двумерной затухающей МГД турбулентно-

гии для данных случаев согласуется с спектраль-

сти на β-плоскости для параметров Россби β = 10

ным законом Ирошникова- Крейчнана, но на разных

масштабно-инвариантны на диапазоне волновых чи-

инерционных интервалах. В крупных масштабах на

сел k ≃ 11 - 100. Инерционный интервал волновых

волновых числах k < 20 модифицированные спек-

чисел лежит правее характерного волнового числа

тры для случаев β = 10; 25; 50 имеют различия, так

границы области доминирования волн Россби (8), ко-

как на данных масштабах эффекты вращения иг-

торый для данного случая равен kIKβ = 10.1. На

рают существенную роль. При наличии вращения в

волновых числах k ≳ 100 происходит диссипатив-

двумерной магнитогидродинамической турбулентно-

ный спад модифицированного спектра полной энер-

сти существуют решения в виде крупномасштабных

гии. Таким образом, в двумерной магнитогидродина-

волн Россби. Найдем волновое число, соответствую-

мической турбулентности на β-плоскости в волновом

щее границе между инерционным интервалом спек-

диапазоне k < k^IKβ образуются волны Россби и изо-

тра Ирошникова-Крейчнана и областью доминиро-

тропные магнитогидродинамические течения. В вол-

вания волн Россби.

новом диапазоне k^IKβ < k < 100 существует прямой

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Спектры двумерной затухающей магнитогидродинамической турбулентности на β-плоскости

каскад энергии и, как следствие, образуется спектр

Россби, и инерционным интервалом. Волновое число

Ирошникова-Крейчнана. Усредняя значения моди-

k_d описывает границу между инерционным интерва-

фицированного спектра в диапазоне волновых чисел

лом и интервалом диссипации. На волновых векто-

k = 10 - 100, мы получаем значение C^′ = 1.42 (C^′ -

рах 0 < k < k^IKβ образуются крупномасштабные вол-

константа, аналогичная константе Колмогорова, для

ны Россби. В инерционном интервале k^IKβ < k < k_d

спектра Ирошникова-Крейчнана (1)).

образуется спектр Ирошникова-Крейчнана, который

В случае МГД турбулентности на β-плоскости

самоподобно затухает. Таким образом граница меж-

при параметре Россби β = 25 волны Россби обра-

ду инерционным интервалом и волнами Россби (вол-

зуются на волновых числах в диапазоне k < k^IKβ =

новое число k^IKβ смещается вправо, так как мы не на-

= 16.4, а при параметре Россби β = 50 в диапазоне

блюдаем самоподобного затухания волн Россби. Ин-

k < k^IKβ = 25.6. Значение константы C^′ также разли-

тервал диссипации (k < k_d) растет в область круп-

чается для случаев с различными параметрами Росс-

ных масштабов.

би. В случае МГД турбулентности на β-плоскости

Для двумерной МГД турбулентности характерен

при параметре Россби β = 25 константа C^′ = 1.36,

обратный каскад среднего квадрата магнитного по-

а при параметре Россби β = 50 константа C^′ = 1.31.

тенциала и слияние магнитных островов (магнит-

Уменьшение константы C^′ с увеличением параметра

ных вихрей) в более крупные (см. главы 8.2.2 и

Россби β связано с наличием профицита энергии в

8.2.3 в книге [27]). Наши расчеты показывают в дан-

крупных масштабах для больших параметров Росс-

ной работе и в работе [8], что в двумерной затуха-

би и дефицита на средних и мелких масштабах, где

ющей МГД турбулентности на β-плоскости разме-

наблюдается спектр Ирошникова-Крейчнана.

ры магнитных островов в квазистационарном состо-

Таким образом, численное моделирование демон-

янии меньше размеров зональных потоков и зави-

стрирует следующую качественную картину спек-

сят от значения параметра Россби β. Мы предпола-

тров двумерной затухающей МГД турбулентности

гаем, что в такой турбулентности обратный каскад

на β-плоскости. На рисунке 3 показано схематич-

квадрата магнитного потенциала останавливается на

масштабе зональных потоков l^Mβ = 1/k^Mβ и харак-

терный масштаб магнитных островов l^IM меньше,

либо равен масштабу зональных потоков l^IM ≤ l^Mβ

(k^IM

≥ k^Mβ), что согласуется с результатами на-

шей работы. Так как обратный каскад квадрата маг-

нитного потенциала проходит в области волновых

векторов, лежащей слева от инерционного интерва-

ла прямого каскада полной энергии [27], масшта-

бы магнитных островов l^IM больше масштабов, на

которых образуется спектр Ирошникова—Крейчнана

(l^IM > 1/k^IKβ). Таким образом, волновое число, ха-

рактеризующее магнитные острова, лежит в области

(k^Mβ ≤ k^IM < k^IKβ

Рис. 3. (Цветной онлайн) Схематическое представление

Далее изучим спектральные свойства двумерной

спектра полной энергии двумерной затухающей МГД

турбулентности на β-плоскости.

затухающей магнитогидродинамической турбулент-

ности на β-плоскости для времен t > 9. Проанали-

зируем спектры полной энергии двумерной затухаю-

ное представление спектра полной энергии E(k) дву-

щей магнитогидродинамической турбулентности на

мерной затухающей магнитогидродинамической тур-

β-плоскости (β = 10) в моменты времени t₁, t₂ и t₃,

булентности на β- плоскости. На оси волновых чи-

где t₃ > t₂ > t₁, а t₁ ≃ 10 - момент времени, на кото-

сел k отмечены ключевые масштабы двумерной МГД

ром еще наблюдается наличие спектра Ирошникова-

турбулентности на β-плоскости. Волновое число k^Mβ

Крейчнана. На рисунке 4 показаны нормированные

описывает границу между областью доминирова-

спектры полной энергии E(k) · k3/2 двумерной зату-

ния волн Россби и магнитогидродинамической тур-

хающей магнитогидродинамической турбулентности

булентностью. Также на данном волновом числе на

на β-плоскости при параметре Россби β = 10.

более поздних моментах времени образуются зональ-

ные потоки. Волновое число k^IKβ описывает грани-

Спектр полной энергии двумерной затухающей

цу между областью, в которой существуют волны

магнитогидродинамической турбулентности на β-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Т. А. Зиняков, А. С. Петросян

t > 20 значение магнитной энергии в несколько раз

превышает значение кинетической (E^M /E^V

= 5.5

для t = 20), так же, как и в случае отсутствия

вращения [20, 28]. Поэтому нелинейное слагаемое,

связанное с магнитным полем, в уравнении (5a) ока-

зывает сильное влияние на кинетическую энергию, а

нелинейное слагаемое, связанное с вмороженностью,

в уравнении (5b) оказывает слабое влияние на маг-

нитную энергию. Из-за отсутствия баланса между

этими двумя слагаемыми нелинейные альвеновские

волны исчезают вследствие затухания. Динамика

течений слабо влияет на магнитные силовые линии

и они остаются квазистационарными, как это было

Рис. 4. (Цветной онлайн) Спектры полной энергии дву-

показано в работе [8]. Из-за отсутствия баланса

мерной затухающей магнитогидродинамической тур-

в энергообмене между кинетической и магнитной

булентности на β-плоскости (β

= 10), нормирован-

энергиями и, как следствие, отсутствия нелиней-

ные на k3/2. Сплошной линией показан нормирован-

ных альвеновских волн, механизм переноса полной

ный спектр в момент времени t = 10, штрихпунктир-

энергии вдоль спектра нарушается, и спектр полной

ной линией - для момента времени t = 20, точечным

энергии в такой турбулентности не демонстрирует

пунктиром - для момента времени t = 50

инерционный интервал. Тем не менее результаты

численных экспериментов показывают, что имен-

плоскости (β = 10) для момента времени t = 10

но на данном временном промежутке происходит

согласуется с законом Ирошникова-Крейчнана на

образование зональных течений.

инерционном интервале. На рисунке 4 соответствую-

На рисунке 5 показаны нормированные спектры

щий нормированный спектр масштабно-инвариантен

кинетической энергии E^Vn (k) двумерной затухаю-

на диапазоне k ≃ 10 - 100, соответствующем инерци-

онному интервалу. Нормированные спектры полной

энергии для моментов времени t = 25 и t = 50 не яв-

ляются масштабно-инвариантными. Спектр полной

энергии двумерной затухающей магнитогидродина-

мической турбулентности на β-плоскости после вре-

мени t ≃ 10 не согласуется со спектром Ирошникова-

Крейчнана. Спектры полной энергии для моментов

времени t > 10 затухают неравномерно на волно-

вых числах, соответствующих инерционному интер-

валу, а не самоподобно, как ранее (t < 10). При этом

остаются изменения наклона всех трех спектров на

моментах времени t = 10; 20; 50 на волновом числе

k ≃ 100, связанные с переходом к диссипативному

Рис. 5. (Цветной онлайн) Нормированные спектры ки-

интервалу. Так как область перехода остается на тех

нетической энергии затухающей магнитогидродинами-

же волновых числах, мы не можем сказать, что нару-

ческой турбулентности на β-плоскости (β = 10) для

шение самоподобного затухания с течением времени

моментов времени t = 10; 50

связанно с увеличением диссипативного интервала в

область крупных масштабов.

щей МГД турбулентности на β-плоскости при па-

Обнаруженное нарушение самоподобного затуха-

раметре Россби β

= 10. Сплошной линией пока-

ния спектра Ирошникова-Крейчнана означает, что

зана зависимость спектра, нормированного на k3/2,

на данном временном промежутке спектральный

от волнового числа k для момента времени t

перенос энергии определяется альтернативным

= 10, штрихпунктирной линией - зависимость спек-

механизмом, а не взаимодействием нелинейных

тра, нормированного на k5/3, для момента време-

альвеновских волн. Наше численное моделирование

ни t = 50. Спектр, соответствующий моменту вре-

двумерной затухающей МГД турбулентности на

мени t = 10 и нормированный на k3/2, является

β-плоскости показало, что для моментов времени

масштабно-инвариантным в диапазоне волновых чи-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Спектры двумерной затухающей магнитогидродинамической турбулентности на β-плоскости

сел k ≃ 25 - 100, спектр кинетической энергии со-

торой получена в работе [8]. Получено выражение

гласуется с законом Ирошникова-Крейчнана E(k) ∼

для характерного волнового числа, которое опреде-

∼ k-3/2 на интервале волновых чисел k ≃ 25 - 100,

ляет начало инерционного интервала прямого каска-

аналогично спектру полной энергии для момента

да энергии в двумерной магнитогидродинамической

времени t = 10 на рис. 4. Спектр кинетической энер-

турбулентности на β-плоскости. Показано наличие

гии, соответствующий моменту времени t = 50 и нор-

крупномасштабных волн Россби на диапазоне вол-

мированный на k5/3, масштабно-инвариантен в диа-

новых векторов, который ограничен предложенным

пазоне волновых чисел k ≃ 20 - 60, спектр кинети-

масштабом.

ческой энергии на данном моменте времени согла-

Обнаружено, что найденный спектр самоподобно

суется со спектром Коломогорова (2) со степенной

затухает согласно выражению временной зависимо-

зависимостью E^Vk ∼ k-5/3. Наши численные расче-

сти спектра Ирошникова-Крейчана. Выявлено, что

ты показывают, что на диапазоне волновых векто-

на больших интервалах времени влияние нелиней-

ров k > 60 устанавливается спектр EVk ∼ k-3. Та-

ных альвеновских волн уменьшается, так как значе-

кая спектральная картина характерна для двумер-

ние магнитной энергии превышает значение кинети-

ной турбулентности нейтральной жидкости [15, 24].

ческой в несколько раз. Обнаружено, что наруша-

В двумерной затухающей МГД турбулентности на

ется самоподобное затухание спектра полной энер-

β-плоскости, после нарушения самоподобного зату-

гии, и спектр больше не согласуется со спектром

хания спектра Ирошникова-Крейчнана, на диапа-

Ирошникова-Крейчнана. Показано, что на време-

зоне волновых векторов k

≃ 20 - 60 образуется

нах, когда нарушается самоподобное затухание спек-

инерционный интервал обратного каскада кинети-

тра полной энергии, образуется спектр Колмогоро-

ческой энергии со спектром кинетической энергии

ва в инерционном интервале кинетической энергии.

E^Vk ∼ k-5/3, а на диапазоне волновых векторов k ≃

Именно обратный каскад кинетической энергии в

≃ 60 - 100 образуется инерционный интервал пря-

инерционном интервале обеспечивает зарождение зо-

мого каскада энстрофии со спектром кинетической

нальных течений.

энергии E^Vk

∼ k-3. Таким образом, для двумер-

Авторы признательны рецензенту за полезные за-

ной затухающей магнитогидродинамической турбу-

мечания. Работа поддержана Фондом развития тео-

лентности на β-плоскости характерен обратный кас-

ретической физики и математики “Базис”; выпол-

кад кинетической энергии на более поздних време-

нена по проекту КП19-270 “Вопросы происхожде-

нах. Наличие переноса кинетической энергии в об-

ния и эволюции Вселенной с применением мето-

ласть крупных масштабов обеспечивает образование

дов наземных наблюдений и космических исследо-

зональных течений [13-16], обнаруженных в такой

ваний” программы крупных проектов по проведению

турбулентности [8]. Детальное исследование процес-

фундаментальных научных исследований по приори-

сов переноса кинетической и магнитной энергии в

тетным направлениям, определяемым президиумом

двумерной затухающей магнитогидродинамической

РАН; при поддержке гранта Российского фонда фун-

турбулентности на β-плоскости на временах, для ко-

даментальных исследований # 19-02-00016.

торых спектр Ирошникова-Крейчнана трансформи-

руется в спектр Колмогорова, будет представлено в

1. A. Petrosyan, A. Balogh, M. L. Goldstein, J. Léorat,

отдельной работе.

E. Marsch, K. Petrovay, B. Roberts, R. von Steiger, and

4. Заключение. Проведено численное моделиро-

J. C. Vial, Space Sci. Rev. 156(1), 135 (2010)

вание затухающей магнитогидродинамической тур-

2. J. F. Hawley and S. A. Balbus, Numerical Astrophysics

булентности на β-плоскости. Моделирование прове-

240, 187 (1999).

дено c высоким разрешением, достаточным для ана-

3. В. И. Ильгисонис, Классические задачи физики горя-

лиза спектров турбулентности. Показано, что в спек-

чей плазмы: курс лекций, Издательский дом МЭИ,

трах однородной двумерной затухающей магнито-

М. (2015).

гидродинамической турбулентности на β-плоскости

4. C. W. Horton and W. Horton, Turbulent transport

существует область волновых векторов, в которой

in magnetized plasmas, World Scientific, Hackensack

происходит прямой каскад полной энергии и обра-

(2017).

зуется спектр Ирошникова-Крейчнана. В этом слу-

5. В. П. Пастухов, Н. В. Чудин, Письма в ЖЭТФ 82(6),

чае спектр турбулентности определяется взаимодей-

395 (2005).

ствием нелинейных альвеновских волн. Область маг-

6. P. A. Davidson, Turbulence in Rotating, Stratified and

нитогидродинамической турбулентности примыкает

Eelectrically Conducting Fluids, Cambridge University

к области доминирования волн Россби, оценка ко-

Press, Cambridge (2013).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020