Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 2, с. 88 - 92

Универсальный сценарий узкого горла в тепловой релаксации

разупорядоченных металлических пленок

Э. М. Баева+∗, Н. А. Титова^∗, А. И. Кардакова^∗×, С. В. Петруша⁺, В. С. Храпай+∗1)

⁺Институт физики твердого тела РАН, 142432 Черноголовка, Россия

^∗Московский педагогический государственный университет, 119435, Москва, Россия

^×Национальный исследовательский университет “Высшая школа экономики”, 101000 Москва, Россия

Поступила в редакцию 27 ноября 2019 г.

После переработки 4 декабря 2019 г.

Принята к публикации 4 декабря 2019 г.

В данной работе представлены результаты исследования тепловой релаксации в металлических плен-

ках, смещенных по току и характеризующихся сильной электрон-фононной связью. В работе предска-

зано возникновение градиента тепла в направлении, перпендикулярном к пленке, с пространственным

профилем температуры, определяемым зависящей от температуры теплопроводностью. В случае силь-

ного электрон-фононного рассеяния теплопроводность определяется электронной системой, а профиль

температуры является параболическим. Этот режим приводит к линейной зависимости шумовой тем-

пературы как функции напряжения, несмотря на то, что все размеры пленки велики по сравнению с

длиной электрон-фононной релаксации. Данный режим отличается от общепринятого сценария тепловой

релаксации, где тепловое ограничение обусловлено скоростью рассеяния электронов на фононах. Пред-

варительное экспериментальное исследование NbN пленки толщиной 200 нм указывает на актуальность

нашей модели для материалов, используемых в сверхпроводниковых однофотонных детекторах.

DOI: 10.31857/S0370274X20020071

1. Введение. Кинетика процессов энергетиче-

рое может быть исследовано в экспериментах по

ской релаксации определяет временные характе-

амплитудно- модулированному поглощению излуче-

ристики детекторов излучения на основе тонких

ния [12-15], не всегда является простой задачей.

металлических пленок при низких температурах

Для интерпретации результатов, полученных в та-

[1-6]. Согласно передовым теоретическим моде-

ких экспериментах, используются модели энергети-

лям [5, 7], внутренняя эффективность детектирова-

ческого баланса различной сложности. В некоторых

ния сверхпроводниковых однофотонных детекторов

случаях, требуется включение в модель определен-

(Superconducting Nanowire Single Photon Detectors -

ного “узкого горла” в релаксации [14, 15], которое

SNSPDs) критически зависит от масштабов времени

может объяснить времена релаксации, намного пре-

электрон-фононной релаксации τ_e-ph и времени

вышающие τ_e-ph, несмотря на подобную температур-

ухода фонона в подложку τ_esc. Качественно, τ_e-ph

ную зависимость. Вместе с тем проблема еще более

наряду с коэффициентом диффузии электронов,

нетривиальна, поскольку для материалов, подходя-

определяет характерный размер горячего пятна, ко-

щих для SNSPD, обычно характерно C_e/C_ph ≳ 1

торое возникает при поглощении фотона, тогда как

вблизи температуры сверхпроводящего перехода [7].

τ_esc, если оно достаточно длинное, может ограни-

В уравнении теплового баланса это соответствует

чить по времени последующую релаксацию горячего

условию τ_e-ph ≳ τ_ph-e, где τ_ph-e - время поглощения

пятна

[8-10]. Кроме того, важным параметром

фононов электронами. Последнее неравенство, по су-

также является соотношение электронной и фо-

ти, является условием режима сильной связи элек-

нонной теплоемкостей, C_e/C_ph, которое определяет

тронной и фононной подсистем, которая проявляется

долю энергии фотона, поступающей в электронную

в локальном тепловом равновесии между ними, ко-

систему [7, 11].

гда τ_esc ≫ τ_ph-e. В этом режиме следует ожидать, что

Сопоставление некоторых микроскопических вре-

времена τ_e-ph и τ_ph-e не будут индивидуально управ-

менных масштабов и времени релаксации, кото-

лять процессом релаксации.

В этой статье мы сосредоточимся на тепловом

¹⁾e-mail: dick@issp.ac.ru

транспорте в неупорядоченной металлической плен-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Универсальный сценарий узкого горла в тепловой релаксации разупорядоченных металлических пленок 89

ке, смещенной по току, которая находится в режиме

сильной связи электронов и фононов. Мы исследуем

предел толстой пленки, в котором длина свободного

пробега как электронов, так и фононов мала по срав-

нению с толщиной пленки. В этом случае из-за ухода

тепла в подложку устанавливается температурный

градиент поперек пленки с пространственным про-

филем температуры, который определяется темпера-

турной зависимостью теплопроводности κ(T). При-

Рис. 1. (Цветной онлайн) Схематическое изображе-

мечательно, что в ситуации, когда доминирует элек-

ние экспериментальной модели, обсуждаемой в статье.

тронный вклад в теплопроводность, пространствен-

Проводящая пленка толщиной d расположена на под-

ный профиль является параболическим и нечувстви-

ложке и равномерно нагревается за счет джоулева теп-

тельным к параметрам электрон-фононной релакса-

ла. Тепловая релаксация за счет теплопроводности к

ции. Здесь мы предсказываем ненулевой дробовой

√

подложке приводит к градиенту температуры попе-

шум пленки с Фано- фактором F =

3/2(d/l), ко-

рек пленки вдоль направления x. Оси демонстриру-

торый определяется исключительно соотношением

ют параболический температурный профиль T(x) для

толщины пленки d и длины образца l. Такое универ-

случая электронной теплопроводности согласно закону

сальное выражение подчеркивает тот факт, что уз-

Видемана-Франца. (TU) и (TL) - температуры на верх-

кое место в тепловой релаксации обусловлено тепло-

ней и нижней поверхностях пленки, соответственно

проводностью Видемана-Франца в направлении по-

перек пленки, при этом электрон-фононные парамет-

считаются главными процессами, ограничивающими

ры из релаксации выпадают. Наши предварительные

теплоотдачу [14].

измерения в нормальном состоянии разупорядочен-

Уравнение теплового баланса:

ной пленки NbN толщиной 200 нм согласуются с этим

(

)

результатом.

∂

=σ-1j²,

(1)

Рассматривается типичный эксперимент с релак-

∂x

сацией тепла в металлической пленке на подлож-

связывает релаксацию джоулева тепла σ-1j² с сум-

ке. Электрический ток I протекает через пленку

марной теплопроводностью κ = κ_e + κ_ph. Очевид-

толщиной d, длиной l

≫ d, шириной w ≫ d и

но, что уравнение (1) подразумевает поперечный

проводимостью σ (см. рис. 1). Распределение тока

градиент температуры с пространственным профи-

предполагается равномерным по сечению пленки,

лем, определяемым функциональной зависимостью

так что плотность тока равна j

= I/(wd). Для

κ(T ). Ниже мы сконцентрируемся на частном слу-

эксперимента важно чтобы длина образца намно-

чае с пренебрежимо малой фононной теплопроводно-

го превышала длину электрон-фононной релаксации

стью κ_ph, который мог бы реализовываться в сильно

l_e-ph

≪ l, таким образом мы рассчитываем теп-

разупорядоченных металлических пленках. По ана-

лоотдачу, которая происходит полностью благода-

логии с аморфными материалами [16], мы ожидаем,

ря фононной проводимости в подложку. Мы так-

что κ_ph уменьшается при повышении температуры

же рассматриваем случай сильносвязанных элек-

вследствие рассеяния Рэлея, что приводит к быстро-

тронной и фононной подсистем, который позволяет

му затуханию длины свободного пробега акустиче-

определить единственную локальную равновесную

ского фонона l_ph ∝ ω-4 как функции его частоты

температуру T. Это предположение требует, чтобы

ω. Поскольку электронная теплопроводность опре-

толщина пленки была намного больше, чем дли-

деляется законом Видемана-Франца κ_e = LT σ, где

на электрон-фононной и фонон-электронной релак-

L = π²k2B/3e² - число Лоренца, это приводит к стан-

саций l_e-ph, lph-e ≪ d. Таким образом, мы прене-

дартному решению с параболическим профилем для

брегаем градентом T в плоскости и допускаем, что

T (x) [17]:

температура является функцией поперечной коор-

(

)

динаты x (см. оси на рис. 1). Отметим, что гради-

(

)

x²

ент температуры между верхней и нижней поверх-

T²(x) = T2L +

T2U - T2L

(2)

d²

ностями пленки не рассматривается в большинстве

исследований по тепловому транспорту, посколь-

где температуры на верхней и нижней поверхностях

ку электрон-фононное взаимодействие или теплосо-

пленки обозначены как T_U ≡ T (x = 0) и T_L ≡ T (x =

противление на границе раздела пленка-подложка

d), соответственно. Отметим, что в данном случае

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Э. М. Баева, Н. А. Титова, А. И. Кардакова, С. В. Петруша, В. С. Храпай

мы учли граничное условие нулевого теплового пото-

В дальнейшем мы сконцентрируемся на пред-

ка на верхней поверхности, которая предполагается

варительном экспериментальном исследовании

помещенной в вакуум, см. рис. 1.

тепловой релаксации в разупорядоченной пленке

Подстановка решения (2) в уравнение (1) приво-

NbN толщиной

200 нм. Такой выбор материала

дит к соотношению:

естествен для целей достижения режима сильной

электрон-фононной связи. Гораздо более тонкие

j²d

T2U - T2L =

(3)

пленки NbN аналогичного качества обычно ис-

Lσ²

пользуются в SNSPDs

[11, 21] и характеризуются

Это решение удовлетворяет второму граничному

временами τ_e-ph ∼ τ_ph-e ∼ 10 пс вблизи температуры

условию для теплового потока на нижней поверхно-

сверхпроводящего перехода T ≈ 10 K. Это, в свою

сти, а именно, что плотность теплового потока совпа-

очередь, хорошо соответствует вышеуказанному

дает с джоулевым теплом, рассеиваемым на единицу

критерию: l_e-ph, l_ph-e

≪ d. Ситуация с фононной

площади пленки.

теплопроводностью более неоднозначна [14], однако

В качестве следующего шага мы предполагаем,

мы ожидаем, что рэлеевское рассеяние акустических

что выход фонона в объем подложки обеспечивает

фононов станет ограничивающим фактором в этом

эффективный путь тепловой релаксации в тонком

сильно разупорядоченном материале, по крайней

(∼ l_ph-e) слое вблизи нижней поверхности пленки,

мере, при более высоких температурах.

так что T_L ≈ T_bath. Следовательно, рассматривая

Пленка NbN напылена на подложку SiO₂-Si при

случай сильного нагрева T_U ≫ T_bath, мы получаем

комнатной температуре из чистой ниобиевой мише-

решение T_U = jd/σL1/2.

ни 99.9999 % с использованием магнетронной систе-

Линейная зависимость T_U ∝ I напоминает пове-

мы напыления. Предварительный вакуум в камере

дение дробового шума в металлических диффузион-

составлял 7·10-7 Торр. Осаждение происходило в ре-

ных проводниках в отсутствие электрон-фононной

жиме стабилизации по мощности при установленном

релаксации [17, 18]. Такое же качественное поведе-

значении 200 Вт, а соотношение газовой смеси состав-

ние имеет место для шумовой температуры T_N всего

ляло Ar:N₂ = 40 : 7. Таким образом, была получена

образца. T_N определяется как средняя температура,

сильно разупорядоченная пленка NbN с удельным

связанная с локальным джоулевом нагревом [19], что

сопротивлением при комнатной температуре около

в данном случае соответствует простому простран-

800 мкОм·см, измеренным методом ван дер Пау.

ственному усреднению:

Пленка NbN была дополнительно структурирована в

∫

√

мостик шириной w = 0.99 мкм и длиной l = 27.5 мкм.

3 ejd

3 d eV

T_N = d-1

T (x)dx ≈

(4)

До формирования мостика были изготовлены ме-

k_Bσ

l k_B

таллические контакты Ti/Au(5 нм/200 нм) методом

где V = lI/dwσ - приложенное к образцу напряже-

взрывной литографии. Затем на образце была сфор-

ние смещения. При сравнении результата (4) с клас-

мирована защитная алюминиевая маска толщиной

сическим решением для металлического диффузи-

250 нм с использованием электронно-лучевой лито-

онного проводника, охлаждаемого за счет электрон-

графии и электронно-лучевого испарения. После это-

го пленка травилась в смеси газов Ar и SF₆ с после-

ной теплопроводности через контакты [17, 18], T_N =

√

3eV/8k_B, можно увидеть, что сильная электрон-

дующим удалением маски в растворе KOH.

фононная связь приводит к резкому уменьшению

Экспериментальная установка для шумовой тер-

шумовой температуры на геометрический фактор

мометрии была собрана в⁴He откачной вставке с ре-

l/2d ≫ 1. Примечательно, что хотя в последнем слу-

зонансной схемой на частоте 40 МГц на входе высо-

чае ожидается подавление дробового шума [20], ли-

коимпедансного малошумящего усилителя, который

нейная зависимость T_N ∝ V в пределе l, d, w ≫ l_e-ph

находится в парах⁴He (с усилением ≈ 6 дБ и шумом

необычна и указывает на узкое горло в теплоотда-

входного тока усилителя ≈ 3 × 10-27 A²/Гц). Сигнал

че, которая осуществляется за счет теплопроводно-

дополнительно усиливается цепочкой малошумящих

сти Видемана-Франца поперек пленки. Наконец, мы

усилителей при T = 300 K, фильтруется и измеря-

даем строгое выражение для T_N, справедливое для

ется с помощью детектора мощности (подробности о

произвольного отношения между T_U и T_L и получен-

методике измерения дробового шума см. в дополни-

ное путем интегрирования (2):

тельном материале [22] и в недавнем обзоре [23]).

(

)

В данном эксперименте к NbN образцу прикла-

T2U

T_L

дывается напряжение, которое приводит к джоулево-

T_N =

T_L +

√

arccos

(5)

T2U - T2L

T_U

му нагреву электронной подсистемы и последующе-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Универсальный сценарий узкого горла в тепловой релаксации разупорядоченных металлических пленок 91

му увеличению флуктуаций тока. Шумовая темпе-

низкотемпераутрного транспортного отклика в на-

ратура T_N определяется из соотношения Джонсона-

шем образце NbN.

Найквиста S_I = 4k_BT_N/R.

Основной экспериментальный результат пред-

На панели рис. 2a изображена зависимость со-

ставлен на панели рис. 2c. Символами представле-

противления образца от температуры. Переход

ны экспериментальные данные, а штриховой лини-

ей - шумовая температура согласно уравнениям (3)

и (5) с соответствующими l, d и T_L = T_bath. Как и

ожидалось, шумовая температура является низкой

по сравнению со случаем охлаждения через контак-

ты [17, 18](не показано), что свидетельствующим о

сильной тепловой релаксации в подложку. В то же

время абсолютное значение T_N и его функциональ-

ная зависимость от напряжения смещения V близки

к нашему теоретическому предсказанию. На рисун-

ке 2d представлены те же данные в форме T2N в зави-

симости от джоулева нагрева P, что также следует

из нашей модели. Здесь мы также наблюдаем, что ос-

новное узкое место в тепловой релаксации близко к

ожидаемому результату с учетом теплопроводности

Видемана-Франца поперек пленки.

Стоит отметить, что скорость роста T_N с напря-

жением в эксперименте сильнее по сравнению с моде-

лью. Мы связываем это различие с эффектом допол-

нительного процесса, слабо ограничивающего теп-

Рис. 2. (Цветной онлайн) Экспериментальные данные

ловую релаксацию в пленке или в подложке. Да-

для образца NbN толщиной 200 нм. Образец перехо-

лее мы показываем, как один из возможных ме-

дит в сверхпроводящее состояние при 16 K, (a) шири-

ханизмов, а именно, сопротивление Капицы вслед-

на сверхпроводящего перехода составляет около 2 K.

ствие акустического рассогласования между пленкой

(b) - Вольт-амперная характеристика образца в нор-

и подложкой, мог бы объяснить экспериментальные

мальном состоянии при T_b = 20 K. (c) - Шумовая тем-

данные. В этом сценарии температура на нижней

пература TN как функция напряжения смещения V .

поверхности пленки превышает температуру ванны

Символы представляют собой экспериментальные дан-

T_L

> T_bath, так что P/A = AK(T4L - T4bath), где

ные, пунктирная линия - результат модели в пред-

A = wl - площадь поверхности образца, а A_K ∼

положении идеальной тепловой связи между пленкой

∼ 100 ÷ 1000 Вт м-2 K-4 - сопротивление Капицы в

и подложкой и TL = Tbath. Разница между экспери-

модели акустического рассогласования [24]. Исполь-

ментом и моделью может быть улучшена, если учесть

дополнительное узкое место в релаксации тепла в ви-

зуя значение 120 Вт м-2 K-4, мы получаем зависимо-

де сопротивления Капицы (см. текст). Соответствую-

сти T_L и T_U от напряжения смещения, с учетом кото-

щие зависимости TN и TL, TU показаны соответственно

рых уравнение (5) достаточно близко описывает экс-

сплошной линией и двумя пунктирными линиями. (d) -

периментальную зависимость шумовой температуры

Те же самые данные для шумовой температуры, как в

T_N. На рисунке 2c эти зависимости показаны соот-

(c), представлены как T2N в зависимости от джоулевой

ветственно нижней и верхней пунктирными линия-

мощности P . Данные результаты подтверждают соот-

ми и сплошной линией (последняя также показана

ветствие модели, описывающей ограничение в теплоот-

на рис. 2d). Несмотря на существенное отличие тем-

воде пленки вследствие теплопроводности Видемана-

пературы T_L от температуры ванны, обусловленное

Франца (см. текст)

сопротивлением Капицы, имеет место сильный гра-

диент температуры поперек пленки. Тем не менее,

сверхпроводящее состояние происходит при T_C

мы хотели бы подчеркнуть, что для того, чтобы сде-

= 16 K. На панели рис.2b показана I-V характери-

лать определенный вывод, необходимо независимое

стика при T_bath = 20 K значительно выше T_C, ко-

измерение ограничения теплоотвода, обусловленно-

торая линейна до 5 % во всем диапазоне измерений.

го релаксацией тепла за счет теплопроводности под-

Эти данные демонстрируют общепринятый характер

ложки, что выходит за рамки данной работы.

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Э. М. Баева, Н. А. Титова, А. И. Кардакова, С. В. Петруша, В. С. Храпай

В заключение, мы представляем модель тепло-

J. Hone, K. Watanabe, T. Taniguchi, C. R. Dean,

вой релаксации в неупорядоченных металлических

A. N. Pasupathy, and D. Shahar, Science Advances 5(3),

пленках в режиме сильной электрон-фононной свя-

eaau3826 (2019).

зи. Мы предсказываем значительный температур-

D. Yu. Vodolazov, Phys. Rev. Appl. 7, 034014 (2017).

ный градиент поперек пленки, смещенной постоян-

A. J. Annunziata, O. Quaranta, D.F. Santavicca,

ным током, с пространственным профилем распре-

A. Casaburi, L. Frunzio, M. Ejrnaes, M. J. Rooks,

R. Cristiano, S. Pagano, A. Frydman, and D. E. Prober,

деления температуры, который определяется тепло-

J. Appl. Phys. 108, 084507 (2010).

проводностью материала. В пределе доминирующей

F. Marsili, F. Najafi, C. Herder, and K. K. Berggren,

электронной теплопроводности профиль температу-

Appl. Phys. Lett. 98, 093507 (2011).

ры является параболическим, а шумовая температу-

10.

L. Zhang, L. You, X. Yang, Y. Tang, M. Si, K. Yan,

ра пленки линейно зависит от напряжения смеще-

W. Zhang, H. Li, H. Zhou, W. Peng, and Z. Wang, Appl.

ния. Это напоминает универсальное поведение дро-

Phys. Lett. 115, 132602 (2019).

бового шума в диффузионных проводниках с пре-

11.

E. Baeva, M. Sidorova, A. Korneev, K. Smirnov,

небрежимо малым электрон- фононным взаимодей-

A. Divochy, P. Morozov, P. Zolotov, Y. Vakhtomin,

ствием, но с шумовой температурой, сильно подав-

A. Semenov, T. Klapwijk, V. Khrapai, and

ленной геометрическим фактором l/2d ≫ 1. Предва-

G. Goltsman, Phys. Rev. Appl. 10, 064063 (2018).

рительные экспериментальные данные для толстой

12.

D. Rall, P. Probst, M. Hofherr, S. Wünsch, K. Il’in,

и сильно неупорядоченной пленки NbN согласуются

U. Lemmer, and M. Siegel, J. Phys. Conf. Ser. 234,

нашим предсказанием.

042029 (2010).

Мы благодарим за плодотворные обсуждения

13.

A. Kardakova, M. Finkel, D. Morozov, V. Kovalyuk,

И. В. Третьякова и А. В. Семенова.

P. An, C. Dunscombe, M. Tarkhov, P. Mauskopf,

T. M. Klapwijk, and G. Goltsman, Appl. Phys. Lett.

Теоретическая модель была разработана при

103, 252602 (2013).

поддержке проекта Российского фонда фундамен-

14.

M. V. Sidorova, A. G. Kozorezov, A. V. Semenov,

тальных исследований # 19-32-80037. Изготовление

Y. P. Korneeva, M. Y. Mikhailov, A. Y. Devizenko,

образцов и исследование транспортных характери-

A. A. Korneev, G. M. Chulkova, and G. N. Goltsman,

стик было выполнено при поддержке Российского

Phys. Rev. B 97, 184512 (2018).

научного фонда проекта # 17-72-30036. Шумовые

15.

M. Sidorova, A. Semenov, H.-W. Hübers, K. Ilin,

измерения были проведены при поддержке Рос-

M. Siegel, I. Charaev, M. Moshkova, N. Kaurova,

сийского научного фонда проекта

#19-12-00326.

G. N. Goltsman, X. Zhang, and A. Schilling,

А. И. Kардакова и Э. М. Баева благодарят Грант

arXiv:1907.05039.

Президента РФ MK-1308.2019.2 за финансовую

16.

R. C. Zeller and R. O. Pohl, Phys. Rev. B 4, 2029 (1971).

поддержку. Анализ данных проводился в рамках

17.

K. E. Nagaev, Phys. Rev. B 52, 4740 (1995).

государственного задания ИФТТ РАН.

18.

V. I. Kozub and A. M. Rudin, Phys. Rev. B 52, 7853

(1995).

19.

S. U. Piatrusha, V. S. Khrapai, Z. D. Kvon,

1. C. M. Natarajan, M. G. Tanner, and R. H. Hadfield,

N. N. Mikhailov, S. A. Dvoretsky, and E. S. Tikhonov,

Supercond. Sci. Technol. 25(6), 063001 (2012).

Phys. Rev. B 96, 245417 (2017).

2. I. Holzman and Y. Ivry, Advanced Quantum

20.

K. Nagaev, Phys. Lett. A 169, 103 (1992).

Technologies 2(3-4), 1800058 (2019).

21.

K. Smirnov, A. Divochiy, Y. Vakhtomin, P. Morozov,

3. F. Marsili, M. J. Stevens, A. Kozorezov, V. B. Verma,

P. Zolotov, A. Antipov, and V. Seleznev, Supercond.

C. Lambert, J. A. Stern, R. D. Horansky, S. Dyer,

Sci. Technol. 31, 035011 (2018).

S. Duff, D. P. Pappas, A. E. Lita, M. D. Shaw,

22.

E. S. Tikhonov, M. Y. Melnikov, D. V. Shovkun,

R.P. Mirin, and S.W. Nam, Phys. Rev. B 93(9), 094518

L. Sorba, G. Biasiol, and V. S. Khrapai, Phys. Rev. B

(2016).,

90, 161405 (2014).

4. L. Zhang, L. You, X. Yang, J. Wu, C. Lv, Q. Guo,

23.

S. U. Piatrusha, L. V. Ginzburg, E. S. Tikhonov,

W. Zhang, H. Li, W. Peng, Z. Wang, and X. Xie, Sci.

D. V.‘Shovkun, G. Koblmüller, A. V. Bubis,

Rep. 8(1), 1486 (2018).

A. K. Grebenko, A.G. Nasibulin, and V. S. Khrapai,

5. T. M. Klapwijk and A. V. Semenov, IEEE Trans.

JETP Lett. 108, 71 (2018).

Terahertz Sci. Technology 7(6), 627 (2017).

24.

T. Elo, P. Lähteenmäki, D. Golubev, A. Savin,

6. I. Tamir, A. Benyamini, E. J. Telford, F. Gorniaczyk,

K. Arutyunov, and P. Hakonen, J. Low Temp. Phys.

A. Doron, T. Levinson, D. Wang, F. Gay, B. Sacépé,

189, 204 (2017).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020