Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 2, с. 112 - 114

Точные решения стационарного аксиально симметричного

уравнения Шредингера

А. Г. Кудрявцев¹⁾

Институт прикладной механики РАН, 125040 Москва, Россия

Поступила в редакцию 13 ноября 2019 г.

После переработки

9 декабря 2019 г.

Принята к публикации 9 декабря 2019 г.

Рассматривается стационарное уравнение Шредингера в случае аксиальной симметрии. На осно-

ве формул обобщенного преобразования Мутара получены примеры двумерных потенциалов и точных

решений уравнения Шредингера.

DOI: 10.31857/S0370274X20020113

Стационарное уравнение Шредингера в безраз-

но стационарное аксиально симметричное уравнение

мерном виде (Δ - u (x, y, z)) Y (x, y, z) = 0 является

Шредингера и получены формулы обобщенного пре-

математической моделью различных физических яв-

образования Мутара для указанного уравнения.

лений. В случае u = -E + V (x, y, z) это уравнение

Формулы обобщенного преобразования Мутара

описывает нерелятивистскую квантовую систему с

для уравнения (1) имеют вид [10]:

энергией E [1]. В случае u = -ω²/c (x, y, z)² уравне-

∂²

ние описывает распространение акустических волн,

ũ(r, z) = u (r, z) - 2

ln (Y₀ (r, z)) +

∂r²

r²

имеющих частоту ω в неоднородной среде со скоро-

∂

стью звука c, и под именем уравнения Гельмгольца

−2

ln (Y₀ (r, z)) ,

(2)

∂z²

широко используется в теории волн [2]. Случай фик-

сированной частоты ω интересен при моделировании

)

∂ (

в акустической томографии [3]. Случай фиксирован-

Y₀ (r, z)Y (r, z)

ной энергии E для двумерного уравнения интересен

∂z

( Y (r,z) ⁾

в многомерной теории обратного рассеяния в связи

− (Y₀ (r, z))² ∂

= 0,

(3)

с двумерными интегрируемыми нелинейными систе-

∂r Y0 (r,z)

мами [4, 5].

)

В случае аксиальной симметрии стационарное

∂ (

Y₀ (r, z)Y (r, z)

Y₀ (r, z)Y (r, z) +

уравнение Шредингера в цилиндрических координа-

∂r

тах имеет вид

∂

( Y (r,z) ⁾

+ (Y₀ (r, z))²

= 0.

(4)

)

∂z Y0 (r,z)

⁽ ∂²

1 ∂

∂²

- u(r,z) Y (r,z) = 0.

(1)

∂r²

r∂r

∂z²

Здесь u - исходный потенциал уравнения (1), Y₀, Y -

решения уравнения (1) с исходным потенциалом, ũ -

Эффективным инструментом для нахождения

новый потенциал. Функция

Y определяется как ре-

точных решений одномерного уравнения Шрединге-

шение совместной системы уравнений (3), (4). Функ-

ра является преобразование Дарбу [6]. Обобщением

ция

Y является решением уравнения (1) с новым по-

одномерного преобразования Дарбу на случай дву-

тенциалом ũ.

мерного уравнения Шредингера в декартовых коор-

Формулы обобщенного преобразования Мутара

динатах является преобразование Мутара [7]. В ра-

могут быть проверены прямыми вычислениями.

ботах [8, 9] рассмотрено нелокальное преобразование

Отметим, что Y = Y₀,

Y = (r Y₀)-1 дает простой

Дарбу двумерного стационарного уравнения Шре-

пример решения уравнений (3), (4).

дингера в декартовых координатах, показано, что

Используем обобщенное преобразование Мутара

специальный случай нелокального преобразования

для получения потенциалов и точных решений урав-

Дарбу совпадает с преобразованием Мутара. В ра-

нения (1). В качестве первого примера рассмотрим

боте [10] на основе подхода статей [8, 9] рассмотре-

u = 0,Y₀ = r2 -2z²,Y = z. Из уравнений (2), (3), (4)

¹⁾e-mail: kudryavtsev_a_g@mail.ru

получаем потенциал

112

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

Точные решения стационарного аксиально симметричного уравнения Шредингера

113

4z⁴ + 13r⁴ + 20r²z

и решение уравнения (1) с этим потенциалом

ũ₁ =

(5)

(r² - 2 z²)² r²

r² + C

Y₂ =

и решение уравнения (1) с этим потенциалом

r sin(kz)

4r²z² + r⁴ + C₁

где C2 - произвольная константа. Проведем вто-

Y₁ =

рое обобщенное преобразование Мутара полагая u =

r (r² - 2 z²)

=ũ₂, Y₀ =

Y₂. Из уравнения (2) получаем потенциал

где C₁ - произвольная константа. Полученный по-

8C₂

тенциал (5) имеет сингулярности в точках обраще-

ũ₂ = -k² +

(10)

(r² + C₂)

(r² + C₂)²

ния в нуль его знаменателя.

Для двумерного стационарного уравнения Шре-

Этот потенциал заведомо удовлетворяет условию

дингера в декартовых координатах эффективным

ũ₂ < 0 если C₂ > 4 k-2. Простой пример решения

методом получения несингулярных потенциалов яв-

(r Y₀)-1 для потенциала (10) имеет вид

ляется двукратное применение преобразования Му-

sin(kz)

тара [9, 11]. Продолжим наш пример и применим

Y₂ =

r² + C₂

обобщенное преобразование Мутара второй раз. Для

Дифференциальный оператор в уравнении (1) до-

этого возьмем u = ũ₁, Y₀ =

Y₁. Из уравнения (2)

получаем потенциал

пускает сдвиг по z. Поэтому во всех ранее получен-

(

)

ных формулах для потенциалов и точных решений

(

)₂

(

))

-8

r²

r² - 5 z²

- 33 z⁴

+C₁

5r² +2z²

вместо z можно подставить z + z₀. В качестве следу-

ũ₁ =

ющего примера рассмотрим u = -k² и

(4 r²z² + r⁴ + C₁)²

(

√

)

(6)

sin k r² + (z + z₀)2

У этого потенциала знаменатель не обращается в

Y₀ =

√

нуль, если C₁ > 0.

r² + (z + z₀)2

В качестве иллюстрации получения точных реше-

( √

)

ний стационарного аксиально симметричного урав-

cos k r² + (z + z₀)2

нения Шредингера с помощью обобщенного преобра-

Y =

√

зования Мутара получим точное решение уравнения

r² + (z + z₀)2

(1) с потенциалом (6) из решения Y_s =

√

с по-

r²+z²

тенциалом u = 0. Рассмотрим Y₀ = r² - 2 z², Y = Y_s.

Из уравнений (2)-(4) получаем потенциал

Из уравнений (3), (4) получаем следующее решение

2k²

ũ₃ = -k² +

(

))₂ -

уравнения (1) с потенциалом (5)

( √

r²

sin k r² + (z + z₀)

Y_s =

√

(7)

( √

)

(r² - 2 z²)

r² + z²

2kcot k r² + (z + z₀)2

Далее выбираем Y₀ =

Y₁, Y =

Y_s и получаем из урав-

−

√

(11)

нений (3), (4) искомое решение уравнений (1) с по-

r² + (z + z₀

)²

тенциалом (6)

и решение уравнения (1) с этим потенциалом

3r⁴ -C₁

√

Ys =

√

(8)

z+z₀ +C₃

r² + (z + z₀)²

r² + z² (4 r²z² + r⁴ + C₁)

Y₃

( √

)

Возникающая константа интегрирования положена

sin k r² + (z + z₀)2

равной нулю.

В случае u < 0 уравнение (1) совпадает с урав-

где C₃ - произвольная константа. Проводим второе

нением Гельмгольца для неоднородной среды с акси-

преобразование, полагая u = ũ₃, Y₀ =

Y₃, и получаем

альной симметрией. В качестве второго примера при-

потенциал

(

√

)-2

менения обобщенного преобразования Мутара рас-

смотрим u = -k², Y₀ = sin (kz), Y = cos(kz). Из

ũ₃ = -k²

z+z₀ +C₃

r² + (z + z₀)2

уравнений (2)-(4) получаем потенциал

2C3 (z + z₀)

(

)₂ .(12)

√

ũ₂ = -k² +

(9)

r² + (z + z₀)2

z+z₀ +C₃

r² + (z + z₀)2

r²

(sin (kz))

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020

114

А. Г. Кудрявцев

Этот потенциал для z ≥ 0 удовлетворяет условию

телей дробей, содержащих Y₁, Y₂ и их производные

ũ₃ < 0, если

< k². Простой пример реше-

(заведомо реализуется, если решения имеют вид по-

z02(1+C3)

линомов), особенности потенциала

ũ возникают за

ния (r Y₀)-1 для потенциала (12) имеет вид

счет нулей функции F . Так как функция F задает-

( √

)

ся уравнениями (14), (15) с точностью до прибавле-

sin k r² + (z + z₀)2

ния произвольной константы, иногда возможно сде-

Y₃ =

√

лать функцию F знакопостоянной и получить по-

z+z₀ +C₃

r² + (z + z₀)2

тенциал

ũ без особенностей. Как раз в рассмотрен-

ном нами первом примере u = 0, Y₁ = r² - 2 z²,

Рассмотренные примеры иллюстрируют, что по-

Y₂ = z, что дает знакопостоянную при C₁ > 0 функ-

вторное применение обобщенного преобразования

(

)

цию F = -

4r²z² + r⁴ + C₁

/4 и результирующий

Мутара может приводить к потенциалам, которые

потенциал (6) не имеет особенностей. Примеры ре-

более интересны с точки зрения физической интер-

шений для этого случая:

претации, чем полученные при однократном пре-

образовании потенциалы. Для удобства построения

r² - 2 z²

многократных обобщенных преобразований Мутара

4r²z² + r⁴ + C₁

удобно использовать формулу суперпозиции двух

преобразований. Пусть Y₁ и Y₂ являются решениями

В заключение отметим, что обобщенное преобра-

уравнения (1) с потенциалом u. Применяя последо-

зование Мутара может быть инициировано любым

вательно формулы обобщенного преобразования Му-

точным решением стационарного аксиально симмет-

тара, получаем следующую формулу суперпозиции

ричного уравнения Шредингера и проведено произ-

двух преобразований:

вольное число раз. С помощью обобщенного преоб-

разования Мутара может быть получено множество

∂² ln(F)

ũ=u-2

-2

новых примеров потенцтиалов и точных решений, в

∂r²

∂z²

)(

)

том числе варианты, интересные для описания фи-

⁽∂Y₂

∂Y₁

=u+2

+Y₁

F-1 -

зических процессов.

∂z

∂r

)(

)

⁽∂Y₁

∂Y₂

-2

+Y₂

F-1 +

∂z

∂r

1. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Quantum Mechanics:

)₂

Nonrelativistic Theory, Pergamon Press, Oxford (1977),

⁽∂Y₂

∂Y₁

+2r²

Y₁ - Y₂

F-2 +

p. 75.

∂r

2. M. B. Vinogradova, O. V. Rudenko, and A. P. Sukhoru-

)₂

⁽∂Y₂

∂Y₁

kov, The Wave Theory, Nauka Publishers, M. (1990),

+2r²

Y₁ - Y₂

F-2,

(13)

∂z

p. 168.

3. A. C. Kak and M. Slaney, Principles of Computerized

где F удовлетворяет совместной системе уравнений

Tomographic Imaging, Society of Industrial and Applied

)

∂

⁽∂Y₂

∂Y₁

Mathematics, Philadelphia (2001), p. 205.

F =r

Y₁ - Y₂

(14)

∂z

∂r

4. A. P. Veselov and S. P. Novikov, Soviet Math. Dokl. 30,

705 (1984).

)

∂

⁽∂Y₂

∂Y₁

5. P. G. Grinevich, A. E. Mironov, and S. P. Novikov, Russ.

F = -r

Y₁ - Y₂

(15)

∂r

∂z

Math. Surv. 65, 580 (2010).

Формулы (13)-(15) инвариантны относительно заме-

6. V. B.

Matveev and M. A. Salle, Darboux

ны Y₁ → Y₂, Y₂ → Y₁, F → -F , что отражает свой-

Transformations and Solitons, Springer-Verlag,

ство коммутативности обобщенных преобразований

Berlin, Heidelberg (1991), p. 7.

Мутара, результат не зависит от порядка выбора

7. T. Moutard, J. Ecole Polyt. 45, 1 (1878).

функций Y₁, Y₂ для преобразования. Примеры реше-

8. A. G. Kudryavtsev, Phys. Lett. A 377, 2477 (2013).

ний для уравнения (1) с потенциалом (13) можно по-

9. A. G. Kudryavtsev, Theor. Math. Phys. 187, 455 (2016).

лучить по формулам

Y₁ = Y₁F-1,

Y₂ = Y₂F-1.

10. A. G. Kudryavtsev, arXiv:1911.05023 (2019).

Из формулы (13) видно, что в случае отсутствия

11. I. A. Taimanov and S. P. Tsarev, Theor. Math. Phys.

особенностей у исходного потенциала u и у числи-

157, 1525 (2008).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 1 - 2

2020