Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 11, с. 763 - 766

Таммовские плазмоны в структурах с квазипериодическими

металлическими решетками

А. Р. Губайдуллин⁺¹⁾, К. М. Морозов^+∗1), М. А. Калитеевский^∗1)

⁺Санкт-Петербургский национальный исследовательский Академический университет РАН им. Ж. И. Алферова,

194021 С.-Петербург, Россия

^∗Университет ИТМО, 197101 С.-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 25 марта 2020 г.

После переработки 16 апреля 2020 г.

Принята к публикации 17 апреля 2020 г.

Проведено теоретическое исследование структур с таммовскими плазмонами, в которых на поверх-

ности структуры расположена одномерная периодическая структура металлических полосок с квази-

периодической элементарной ячейкой, в которой металлические полоски расположены в соответствии

с последовательностью Фибоначчи. Показано, что при использовании в качестве элементарной ячейки

структуры Фибоначчи в зонной структуре появляются дополнительные запрещенные зоны, причем чис-

ло зон и их совокупная ширина и доля локализованных состояний в спектре собственных мод увеличива-

ется при увеличении номера последовательности Фибоначчи. При этом все дисперсионные поверхности

представляют собой соединения параболоидов и гиперболоидов, и частота чередования параболоидов и

гиперболоидов в дисперсионной зависимости увеличивается при увеличении номера последовательности

Фибоначчи.

DOI: 10.31857/S1234567820110075

Таммовские плазмоны (ТП) - состояния электро-

тическая решетка Фибоначчи представляет собой

магнитного поля, локализованные на границе брэг-

одномерный фотонный квазикристалл. В одномер-

говского отражателя (БО) и слоя металла [1, 2], при-

ных бесконечных решетках Фибоначчи при увели-

влекли внимание исследователей в связи с перспек-

чении номера последовательности Фибоначчи в зон-

тивностью таких объектов для управления локали-

ной структуре появляется все больше и больше за-

зацией света [3, 4], формирования связанных состо-

прещенных зон, и в пределе бесконечной последова-

яний фотонов и экситонов [5, 6], макроскопических

тельности все состояния являются локализованны-

когерентных состояний [7], а также для контроля ве-

ми. Свойства электронов и фотонов в квазипериоди-

роятности спонтанной эмиссии [8] и создания новых

ческих структурах и, в частности, в решетках Фи-

типов лазеров и детекторов [9]. Параметрами плаз-

боначчи делают их интересным объектом для иссле-

монов можно управлять путем субволнового (с ха-

дования [15, 16]. На практике, бесконечную последо-

рактерным размером меньше длины волны) струк-

вательность Фибоначчи изготовить невозможно, но

турирования поверхности [10, 11]. В частности, с по-

свойства квазикристаллических систем удобно изу-

мощью субволнового структурирования поверхности

чать путем применения периодических систем с ква-

можно изменять частоту и добротность ТП [12]. При

зипериодической элементарной ячейкой [17].

субволновом структурировании меняется простран-

Рассмотрим базовую таммовскую структуру M,

ственная структура электромагнитного поля, и мож-

описание которой приведено ниже. Структура M со-

но добиться минимизации перекрытия электрическо-

стоит из брэгговского отражателя из 30 пар слоев

го поля ТП с металлом и, как следствие, уменьшения

с показателями преломления на брэгговской частоте

поглощения в металле и увеличения добротности.

n₁ = 3.5 и n₂ = 2.99 (что соответствует материа-

Целью данной работы является исследование

лам GaAs и Al_0.95Ga_0.05As) и толщинами b₁ = 70 нм

структур на основе ТП с квазипериодическим ла-

и b₂ = 82.7нм. Толщины брэгговского отражателя

теральным структурированием металлического слоя

связаны с брэгговской частотой ℏω₀ = 1.23 эВ соот-

в виде последовательности Фибоначчи [13, 14]. Оп-

ношениями 2n_1,2b_1,2 = πc/ω₀. Брэгговский отража-

тель покрыт слоем металла серебра толщиной d_M =

¹⁾e-mail: gubaydullin.azat@gmail.com; morzconst@gmail.com;

= 45 нм, а толщина прилегающего к нему слоя брэг-

m.kaliteevski@mail.ru

говского отражателя отличается от прочих и равна

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

763

764

А. Р. Губайдуллин, К. М. Морозов, М. А. Калитеевский

56 нм, для того, чтобы частота ТП, локализованно-

го между слоем металла и брэгговского отражате-

ля, при нормальном падении света, соответствовала

брэгговской частоте ω₀. Если между брэгговским от-

ражателем и слоем металла поместить дополнитель-

ный слой диэлектрика толщиной d_R = 90 нм с по-

казателем преломления n_R = 1.5 (структура R), то

частота ТП сместится, и он станет слабее локализо-

ван в направлении z, как показано на рис.1b и 2a,b.

На рисунке 2с показаны дисперсионные зависимо-

Рис. 2. (Цветной онлайн) Структура с таммовским без

дополнительного слоя диэлектрика ТП1 (a) и с допол-

Рис. 1. (Цветной онлайн) (а) - Схема структуры с

нительным слоем диэлектрика ТП2 (b), с профилями

электрического поля, соответствующими таммовскому

таммовским плазмоном с субволновым структуриро-

ванием металлического слоя в виде квазикристалличе-

плазмону в каждой структуре. (c) - Дисперсионная за-

висимость для ТЕ-поляризации в направлении x для

ской последовательности. Сечение элементарной ячей-

ки субволнового покрытия: (b) - из двух полосок; (с) -

таммовского плазмона в структуре с периодическим

структурированием поверхности (см. рис. 1b) для фак-

последовательность Фибоначчи 2-го порядка (F2); (d) -

тора заполнения f = 0.6. Для сравнения показаны дис-

3-го порядка (F3), как указано в таблице 1. aM и dM

персионные зависимости в направлении x для структур

(aR и dR) - ширина и толщина элементарных полосок

металла (диэлектрика), использованных для формиро-

ТП1 (черная точечная кривая) и ТП2 (красная точеч-

ная кривая). Серая пунктирная кривая - линия свето-

вания структуры

вого конуса. Профили поля в точках kx = 0 (d), (f) и

kx = π/a (e), (g) для верхней (d), (e) и нижней (f), (g)

сти для таммовского плазмона в структурах M и

дисперсионных кривых

R. При периодическом структурировании поверхно-

сти путем чередования структур M и R (или, что

но ввести величину фактора заполнения f, который

тоже самое, путем нанесения полосок диэлектрика

для периодического структурирования поверхности

на брэгговский отражатель перед напылением метал-

определяется как f = a_M / (a_M + a_R).

ла), как показано на рис. 1b, в дисперсионной зави-

Можно видеть, что в случае периодического

симости для ТП в направлении x появляется запре-

структурирования пространственное распределение

щенная зона [18], рис.2с.

электрического поля ТП меняется по сравнению

Расчет дисперсионных зависимостей и простран-

с планарной структурой. Вблизи точки k_x

= 0

ственного распределения электромагнитного поля

(рис. 2d, f) поле слабее локализовано под слоем ме-

для собственных мод для случая структурирован-

талла (дополнительным слоем диэлектрика) в слу-

ной поверхности можно произвести методом конеч-

чае обеих дисперсионных ветвей, чем вблизи точки

ных элементов²⁾. Ширины областей M и R будем

k_x = π/a (где a = a_M + a_R) (рис.2e,g). Интерес-

обозначать как a_M и a_R соответственно, как пока-

но отметить, что дисперсионные поверхности в та-

зано на рис.1b. Для анализа свойств системы удоб-

кой системе на одном краю зоны Бриллюэна име-

²⁾Численное моделирование было осуществлено в среде

ют форму параболоида, а на другом краю - фор-

COMSOL Multiphysics.

му гиперболоида. Квазипериодическое структуриро-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

Таммовские плазмоны в структурах с квазипериодическими металлическими решетками

765

вание осуществляется чередованием двух базовых

элементов: области M, когда первый слой брэггов-

ского отражателя покрыт металлом, и области R,

когда между первым слоем БО и металлом имеет-

ся слой диэлектрика (R), причем области M и R в

элементарной ячейке располагаются в соответствии

с последовательностью Фибоначчи F_i, как показано

на рис. 1. Элементы последовательности Фибоначчи

определяются в соответствии с рекуррентным пра-

вилом F_i+1 = {F_i-1, F_i} при начальных значениях

F₀ = M и F₁ = R, как показано в табл.1 и на рис.1.

Обозначая ширину элементарной ячейки, сформиро-

Таблица 1. Решетки Фибоначчи до 6-го порядка

Рис. 3. (Цветной онлайн) Зонная структура (TE-

поляризация) в случае структурирования с квазикри-

Порядок решетки

Конфигурация

сталлической ячейкой F4 (а) и F5 (b) для f = 0.5. За-

F₀

крашенные области показывают положения фотонных

F₁

запрещенных зон. Черные линии - результат аппрок-

F₂

симации численных результатов

F₃

RMR

F₄

MRRMR

F₅

RMRMRRMR

F₆

MRRMRRMRMRRMR

ванной в соответствии с последовательностью Фибо-

наччи F_i как ΛFj , для фактора заполнения в случае

квазипериодической элементарной ячейки можно за-

∑

писать fFj

Экспериментальная реа-

= idM/ΛFj.

лизация субволнового структурирования металличе-

ского слоя возможна с помощью электронной лито-

Рис. 4. (Цветной онлайн) Ширина и положение запре-

графии, как было продемонстрировано в работе [12].

щенных зон от фактора заполнения f (filling factor) для

случаев периодической элементарной ячейки (a), эле-

При увеличении номера последовательности Фи-

ментарной ячейки F4 (b) и F5 (c)

боначчи, формирующей элементарную ячейку, дис-

персионные зависимости для ТП в направлении x

меняются, и с увеличением номера последовательно-

Рисунок 5 иллюстрирует дисперсионные зависи-

сти Фибоначчи в зонной структуре появляется все

мости для случаев периодического и квазипериоди-

больше и больше запрещенных зон, как показано на

ческого структурирования поверхности. Можно ви-

рис. 3. Следует также отметить, что дисперсионные

деть, что дисперсионные поверхности представляют

зависимости становятся более пологими в направле-

собой совокупность параболоидов и гиперболоидов,

нии x, т.е. групповые скорости v^xg) =^δω падают, что_δk

причем вершины параболоидов и седловидные точ-

приводит к перераспределению плотности состояний

ки расположены на линии k_y = 0. При увеличении

и изменению вероятности спонтанной эмиссии света

номера последовательности Фибоначчи, задающего

в широком спектральном диапазоне.

структурирование поверхности, частота чередования

На рисунке 4 показана зависимость положения и

седловидных точек и вершин параболоидов увеличи-

ширины запрещенных зон как функция фактора за-

вается, в связи с чем в спектрах плотности состояний

полнения. Можно видеть, что положение зон сдвига-

происходят изменения, обусловленные сингулярно-

ется в сторону высоких энергий при увеличении f, а

стями ван Хова [19], причем спектральная плотность

ширина запрещенных зон достигает максимума при

сингулярностей ван Хова растет при увеличении но-

значении f около 0.5. При увеличении номера после-

мера последовательности Фибоначчи.

довательности Фибоначчи, задающего структуриро-

В настоящей работе рассмотрены таммовские

вание поверхности, все большая часть зонной струк-

плазмоны в структурах с периодическим структури-

туры заполняется запрещенными зонами.

рованием поверхностного слоя, когда в качестве эле-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

766

А. Р. Губайдуллин, К. М. Морозов, М. А. Калитеевский

A. P. Vasil’ev, V.S. Mikhrin, and A.V.Kavokin, Appl.

Phys. Lett. 92, 251112 (2008).

T. Goto, A. V. Dorofeenko, A. M. Merzlikin,

A. V. Baryshev, A.P. Vinogradov, M. Inoue,

A. A. Lisyansky, and A. B. Granovsky, Phys. Rev.

Lett. 101, 113902 (2008).

O. Gazzano, S. Michaelis de Vasconcellos, K. Gauthron,

C. Symonds, J. Bloch, P. Voisin, J. Bellessa,

A. Lemaˆitre, and P. Senellart, Phys. Rev. Lett. 107,

247402 (2011).

N. Lundt, S. Klembt, E. Cherotchenko, S. Betzold,

O. Iff, A. V. Nalitov, M. Klaas, C. P. Dietrich,

A. V. Kavokin, S. Höfling, and C. Schneider, Nat.

Commun. 7, 13328 (2016).

M. Kaliteevski, S. Brand, R. A. Abram, I. Iorsh,

A. V. Kavokin, and I. A. Shelykh, Appl. Phys. Lett. 95,

251108 (2009).

S. Rahman, T. Klein, S. Klembt, J. Gutowski,

D. Hommel, and K. Sebald, Sci. Rep. 6, 34392 (2016).

R. Brückner, A. A. Zakhidov, R. Scholz, M. Sudzius,

S. I. Hintschich, H. Fröb, V. G. Lyssenko, and K. Leo,

Nature Photon. 6, 322 (2012).

A. R. Gubaydullin, C. Symonds, J. Bellessa,

K. A. Ivanov, E. D. Kolykhalova, M. E. Sasin,

A. Lemaitre,

P. Senellart, G. Pozina, and

M. A. Kaliteevski, Sci. Rep. 7, 9014 (2017).

C. Symonds, G. Lheureux, J. P. Hugonin, J. J. Greffet,

J. Laverdant, G. Brucoli, A. Lemaˆitre, P. Senellart, and

Рис. 5. (Цветной онлайн) Дисперсионные поверхности

J. Bellessa, Nano Lett. 13, 3179 (2013).

(в форме изоэнергетических линий величины a/λ) для

10.

M. I. Dobynde, M. R. Shcherbakov, T. V. Dolgova, and

периодического структурирования поверхности (a), и

A. A. Fedyanin, JETP Lett. 103, 50 (2016).

для структурирования поверхности, задаваемыми по-

11.

A. B. Akimov, A. S. Vengurlekar, T. Weiss,

следовательности Фибоначчи F4 (b) и F5 (c)

N. A. Gippius, and S.G. Tikhodeev, JETP Lett.

90, 398 (2009).

ментарной ячейки выбирается последовательность

12.

A. R. Gubaydullin, C. Symonds, J.-M. Benoit,

Фибоначчи определенного порядка. Показано, что

L. Ferrier, T. Benyattou, C. Jamois, A. Lemaitre,

в зонной структуре появляются запрещенные зо-

P. Senellart, M. A. Kaliteevski, and J. Bellessa, Appl.

ны, причем число запрещенных зон увеличивается

Phys. Lett. 111, 26110 (2017).

с увеличением номера последовательности Фибонач-

13.

W. Gellermann, M. Kohmoto, B. Sutherland, and

чи. Продемонстрировано, что все дисперсионные по-

P. C. Taylor, Phys. Rev. Lett. 72, 633 (1994).

верхности в такой системе представляют собой пара-

14.

M. A. Kaliteevski, R. A. Abram, S. Brand, and

болоиды переходящие в гиперболоиды, что вызыва-

V. V. Nikolaev, Opt. Spectrosc. 91, 109 (2001).

ет специфическое изменение плотности плазмонных

15.

M. A. Fradkin, JETP Lett. 69, 531 (1999).

состояний и спектральной зависимости вероятности

16.

S. E. Burkov, A.A. Varlamov, and D. V. Livanov, JETP

спонтанной эмиссии.

Lett. 62, 361 (1995).

Исследование выполнено при финансовой под-

17.

D. T. Roper, D.M. Beggs, M. A. Kaliteevski, S. Brand,

держке Российского фонда фундаментальных иссле-

and R. A. Abram, J. Mod. Opt. 53, 407 (2006).

дований в рамках научного проекта # 18-32-00800.

18.

L. Ferrier, H. S. Nguyen, C. Jamois, L. Berguiga,

C. Symonds, J. Bellessa, and T. Benyattou, APL

1. M. E. Sasin, R. P. Seisyan, M. A. Kalitteevski, S. Brand,

Photonics 4, 106101 (2019).

R.A. Abram, J. M. Chamberlain, A. Yu. Egorov,

19.

L. van Hove, Phys. Rev. 89, 1189 (1953).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020