Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 11, с. 772 - 777

Краевые состояния экситонного диэлектрика со спин-орбитальным

взаимодействием

В.В.Вальков¹⁾

Институт физики им. Л. В. Киренского Сибирского отделения РАН, 660036 Красноярск, Россия

Поступила в редакцию 21 апреля 2020 г.

После переработки 27 апреля 2020 г.

Принята к публикации 27 апреля 2020 г.

На примере инвертированной двухзонной структуры квантовой ямы HgTe рассмотрено влияние

спин-орбитального и кулоновского взаимодействий на симметрийные и топологические свойства s-, p-, d-

и s + d-фаз экситонного диэлектрика. Установлено, что только p-фаза обладает нетривиальной тополо-

гией, однако является метастабильной. Показано, что обменное взаимодействие фермионов индуцирует

основное состояние с s+d-симметрией экситонного параметра порядка. В такой фазе экситонного диэлек-

трика число Черна имеет нулевое значение, тем не менее при открытых границах реализуются краевые

состояния.

DOI: 10.31857/S1234567820110099

1. Введение. В первых работах по экситонно-

Ниже впервые показано, что при решении этой

му диэлектрику (ЭД) было показано, что в полу-

задачи особое значение приобретает зависящее от

проводнике кулоновское взаимодействие фермионов

спиновых степеней свободы обменное взаимодей-

может индуцировать спонтанное возникновение эк-

ствие. Оказалось, что оно, нарушая классифика-

ситонного параметра порядка (ЭПП) с генерацией

цию экситонных фаз, индуцируемых взаимодействи-

диэлектрической щели при ненулевом значении ква-

ем типа плотность-плотность, приводит к основному

зиимпульса [1, 2, 3]. Важнейшим условием реализа-

состоянию системы, в котором появляются краевые

ции ЭД являлось наличие инвертированности зонной

состояния.

структуры, при которой имело место перекрытие по

Заметим, что вопрос о роли кулоновского взаи-

энергии валентной зоны и зоны проводимости. Су-

модействия в проблеме реализации топологических

щественно, что в фазе ЭД возникала эффективная

фаз и краевых состояний в твердотельных системах

гибридизация состояний отмеченных зон.

не является новым. С ним связана как классифика-

С другой стороны, инвертированность зонной

ция топологических материалов [7], так и проблема-

структуры и спин-орбитальное взаимодействие

тика реализации майорановских связанных состоя-

являются необходимыми атрибутами для реализа-

ний [8, 9], а также развитие ренормгрупповых мето-

ции топологически нетривиальной фазы в модели

дов для матрицы плотности [10] с целью рассмотре-

Bernevig-Hughes-Zhang (BHZ)

[4], описывающей

ния режима сильных корреляций.

энергетическую структуру квантовой ямы HgTe (см.

2. Экситонный диэлектрик со спин-орби-

также [5, 6]). Нетривиальная топология основного

тальным взаимодействием. Рассмотрение фаз

состояния проявляется, в частности, в том, что

ЭД, индуцированных кулоновским взаимодействием

в геометрии открытых границ в такой системе

фермионов в системе со спин-орбитальным взаимо-

реализуются краевые состояния.

действием, проведем на основе модели BHZ [4].

В связи со сказанным представляется актуаль-

Как показано в [6], эффекты кристаллического

ным следующий вопрос. Если индуцирование ЭПП

поля, релятивистские поправки и спин-орбитальное

приводит к перемешиванию состояний, формально

взаимодействие приводят к тому, что из шести 5p-

такому же, как и перемешивание, обусловленное

спин-орбиталей Te важную роль в формировании

затравочным параметром межзонной гибридизации

зонной структуры играют только две: |l_z = 1, σ =

модели BHZ, то возможно ли появление топологиче-

= +1/2〉 и |l_z = -1, σ = -1/2〉, где |l_z - проекция

ски нетривиальных фаз и краевых состояний в ЭД

орбитального момента, σ - проекция спина. Эти со-

со спин-орбитальным взаимодействием?

стояния образуют актуальный базис для описания

валентной зоны и ее перестройки под влиянием дру-

¹⁾e-mail: vvv@iph.krasn.ru

гих полей.

772

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

Краевые состояния экситонного диэлектрика со спин-орбитальным взаимодействием

773

Зона проводимости формируется из 6s-состояний

ψ_s - 6s-орбиталь атома Hg, а R_p - радиальная часть

атомов Hg, которые по симметрийным причинам

5p-орбитали Te.

остаются без изменений.

Второе слагаемое в (4) обусловлено обменным

В представлении вторичного квантования затра-

вкладом. Для дальнейшего важна специфическая за-

вочный гамильтониан записывается в виде

висимость обменного параметра от направления свя-

∑

зи δ и спиновых переменных σ и σ^′

H₀ = (ε^b - µ)b^+gσb_gσ +

t^bgg′ b^+gσbg′σ +

{

gσ

gg^′σ

η_ση_σ′ J1 + J2, δ = δ1, δ3,

∑

J_σσ′ (δ) =

(6)

+ (ε^a - µ)a^+fσa_fσ + t^aff′a^+fσaf′σ,

(1)

η_ση_σ′ J2 + J1, δ = δ2, δ4.

fσ

ff^′σ

Величины J₁ и J₂ выражаются через интегралы

где оператор a_fσ (b_gσ) уничтожает электрон с проек-

∫

x₁x₂

цией спина σ, находящийся на узле f (g). На узлах f

J₁ = dr₁dr₂u_s(1_x, 2_x) · v₁₂ ·

u_p(1, 2),

r₁r₂

(g), принадлежащих подрешетке F (G), расположе-

∫

y₁y₂

ны атомы Hg (Te). Энергия одноузельного состояния

J₂ = dr₁dr₂u_s(1_x, 2_x) · v₁₂ ·

u_p(1, 2),

(7)

r₁r₂

зоны проводимости (валентной зоны) обозначена по-

средством ε^a(ε^b), t^aff′ (t^bgg′ ) - параметры перескоков

где

электронов между узлами f^′ и f (g^′ и g), µ - химпо-

u_s(1_x, 2_x) = ψ_s(r1x )ψ_s(r2x ), u_p(1, 2) = R_p(r₁)R_p(r₂).

тенциал системы.

Ковалентное смешивание электронных s- и p-

3. Уравнение самосогласования для экси-

состояний атомов Hg и Te описывается оператором

тонного параметра порядка. При рассмотрении

∑

свойств ЭД со спин-орбитальным взаимодействием

T_sp =

t^σsp(δ)a^+g+δ,σb_gσ + h.c.

(2)

положим t_sp = 0 и воспользуемся теорией, изложен-

gδσ

ной в оригинальных работах [1, 2] (см. также [11]).

Зависимость матричного элемента t^σsp(δ) от σ и век-

Опуская детали, запишем интегральное уравне-

тора δ, соединяющего атом Hg с одним из четырех

ние самосогласования для ЭПП

ближайших атомов Te, представима в виде

V∑

Δ_σ(q)

Δ_σ(k) =

Φ(k, q)

L_q(T) -

t^σsp(δ_l) = -t_sp(iη_σ)^l, η_σ = 2σ, l = 1, 2, 3, 4.

(3)

ν_q

2J∑

Δ_σ(q)

При записи этой формулы принимались во внимание

−

Ψ(k, q)

L_q(T),

(8)

фазы атомных орбиталей и спин-орбитальное взаи-

ν_q

модействие [6]. Существенная особенность t^σsp(δ) свя-

где ядра и параметры определяются выражениями

зана с тем, что при преобразованиях из точечной

группы D₄ эти величины преобразуется по ее дву-

k₁ - q₁

k₂ - q₂

Φ(k, q) = cos

cos

=V -J₁ -J₂,

мерному неприводимому представлению.

Оператор, соответствующий межузельному куло-

k₁ - q₁

k₂ - q₂

Ψ(k, q) = sin

sin

, J

= J₁ -J₂.

(9)

новскому взаимодействию электронов, находящихся

на соседних атомах Te и Hg, задается выражением

При выводе уравнения самосогласования учтено, что

∑

V =

V a^+g+δ,σb^+gσ′bgσ′ag+δ,σ +

Δ_σ(k) = Δ_σ(δ)exp(-ikδ),

gδσσ^′

∑

(4)

Δ_σ(δ) =

V 〈b^+gσa_g+δ,σ〉 - J_σσ 〈b^+g¯σa_g+δ,σ〉.

(10)

J_σσ′ (δ)a^+g+δ,σb^+gσ′ ag+δ,σ′ bgσ,

gδσσ^′

(T ) выражается через функции Ферми-Дирака и

L_q

в котором первое слагаемое соответствует взаимо-

энергетический спектр

действию типа плотность-плотность с параметром

∫

L_q(T) = f(E^-q/T) - f(E^+q/T), f(x) = (exp(x) + 1)^-1,

V = dr₁dr₂|ψ_s(r_1x)|² · v₁₂ · u⊥1 |R_p(r₂)|²,

(5)

√

E^±q =εq+ε

± ν_q, ν_q = (ε^aq - ε^bq)²/4 + |Δ_σ(q)|²,

√

где r_1x =

(x₁ - 1/2)² + y²¹ + z²¹,

ε^a,bq = ε^a,b + 2t_a,b(cosq₁ + cosq₂).

x²¹ + y²¹

Из уравнения (8) следует, что обменный вклад при-

v₁₂ =

, u^⊥1 =

, r_i = |r_i|,

водит к связыванию параметров Δ_↑(k) и Δ_↓(k). При

|r₁ - r₂|

r²¹

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

774

В.В.Вальков

этом их зависимость от проекции спина σ такова, что

При этом амплитуда Δ_p находится из решения урав-

|Δ_σ(k)| не зависит от σ. Как будет показано ниже,

нения самосогласования

важность обменного взаимодействия связана с инду-

V - 2J₁ ∑

1 - cosk1 cosk₂

цированием особого состояния ЭД, когда в открытой

L_pk(T).

(17)

ν_pk

геометрии системы реализуются краевые состояния.

В дальнейшем удобно классифицировать экси-

5. Топологическая классификация экситон-

тонные фазы по их симметрийным свойствам для

ных фаз и краевые состояния при J = 0. Вос-

случая J₁ = J₂ (J = 0).

пользуемся дополнительной классификацией состоя-

4. Симметрия фаз ЭД при J = 0. При постро-

ний экситонного диэлектрика по значению топологи-

ении квазиимпульсной зависимости Δ_σ(k) восполь-

ческого инварианта - числа Черна [15]:

зуемся свойствами симметрии квадратной решетки,

∫ π

аналогично тому, как это делалось в [12, 13] при на-

Q^(λ) = -

dk₁

dk₂B^(λ)(k₁, k₂).

(18)

хождении кирального параметра порядка для тре-

2π

-π

угольной решетки.

Входящая в это определение кривизна Берри

Используя значения характеров неприводимых

B^(λ)(k₁, k₂) для квантового состояния, описываемого

представлений группы D₄ [14], нетрудно получить,

волновой функцией Блоха ψ_λk, выражается хорошо

что в случае, когда кулоновское взаимодействие учи-

известным образом:

тывается только между электронами, находящихся

на ближайших узлах, имеются три типа базисных

∂A^(λ)2(k₁, k₂)

∂A^(λ)1(k₁,k₂)

функций (БФ):

B^(λ)(k₁, k₂) =

(19)

∂k₁

∂k

ϕ_s(k) = cos(k₁/2)cos(k₂/2),

через средние по этому квантовому состоянию

ϕ_d(k) = sin(k₁/2)sin(k₂/2),

(11)

(λ)

∂

k₁ + k₂

k₁ - k₂

(k₁, k₂) = -i〈ψ_λk|

|ψ_λk〉, j = 1, 2.

(20)

ϕ_pσ(k) = η_σ sin

- isin

, σ = ±1/2.

∂k_j

Первая из этих функций соответствует единичному

Для фаз экситонного диэлектрика с s- и d-

представлению и характеризует s-тип симметрии. В

типом симметрии ЭПП вычисления показывают, что

этом случае

Q(s) = 0 и Q(d) = 0 при всех значениях парамет-

Δ_s(k) = Δ_sϕ_s(k),

(12)

ров системы. При этом в геометрии открытых границ

а амплитуда Δ_s находится из решения уравнения

краевые состояния не возникают.

∑

Иная ситуация имеет место для экситонного ди-

V - 2J₁

1 + 2cosk₁ + cosk1 cosk₂

L_sk(T).

электрика с p-типом симметрии параметра порядка.

ν_sk

В этом случае вычисление топологического инвари-

(13)

анта Q^(p) может быть сведено к нахождению инте-

Здесь и ниже появление дополнительных индексов

грала по двумерной зоне Бриллюэна

s, d, p у функций ν_k и L_k(T) связано с тем, что вхо-

(

)

дящий в эти функции ЭПП берется в форме, соот-

∫ π^∫ π

η_σΔ^2p

ветствующей s-, d-, p-типу симметрии.

Q^(p) = -

dk₁dk₂

Φ^(p)Q(k),

(21)

2π

-π

4ν³

Для второго одномерного представления, отвеча-

ющего d-типу симметрии, ЭПП

где функция

{

Δ_d(k) = Δ_dϕ_d(k),

(14)

(p)

(k) = (t_a - t_b)(sin² k₁ + sin² k₂) +

является решением (8), если амплитуда Δ_d удовле-

}

творяет уравнению

ε^ak - ε^bk

cosk₁ sin² k₂ + cosk₂ sin² k₁

(22)

V - 2J₁

∑

1 - 2cosk₁ + cosk1 cosk₂

1 - cosk1 cosk₂

L_dk(T).

ν_dk

получена при использовании квазиимпульсной зави-

(15)

симости ЭПП для p-типа симметрии (16).

Решение уравнения (8), соответствующее двумер-

В инвертированном режиме, когда реализуется

ному представлению группы D₄ с p-типом симмет-

нетривиальное решение для ЭПП, получаем, что

рии, имеет комплексный вид с фазой, зависящей от

Q(p) = 1, если σ = +1/2 и Q(p) = -1, если σ = -1/2.

проекции спина

Это означает, что p-фаза экситонного диэлектри-

Δ_pσ(k) = Δ_p · ϕ_pσ(k).

(16)

ка является топологически нетривиальной. Заметим,

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

Краевые состояния экситонного диэлектрика со спин-орбитальным взаимодействием

775

что для этой фазы квазиимпульсная зависимость

ляется одновременно и фазой топологического изо-

Δ_pσ(k) с точностью до знака совпадает с зависимо-

лятора.

стью интенсивности ковалентного смешивания для

Следует подчеркнуть, что краевые состояния в

модели BHZ

ЭД реализуются только в том случае, когда ЭПП со-

ответствует двумерному представлению группы D₄.

t_sp(k) = -2t_spϕ_pσ(k).

(23)

Если провести расчеты энергетического спектра эк-

ситонного диэлектрика с s- и d-типами симметрии

Поскольку значение числа Черна соответствует

ЭПП, то краевых состояний не возникает. Для s-типа

нетривиальной топологии p-фазы, то следует ожи-

симметрии структура энергетического спектра пока-

дать, что в этой фазе при открытых граничных усло-

зана на рис.2. Качественно то же самое реализуется

виях будут реализовываться краевые состояния. Для

и для d-симметрии ЭПП. Это полностью коррелиру-

проверки этого утверждения был вычислен энергети-

ет с полученными значениями числа Черна для этих

ческий спектр фермиевских состояний при T = 0 в

фаз.

геометрии цилиндра. Результаты расчета показаны

на рис. 1. Параметры выбраны так, чтобы затравоч-

Рис. 2. (Цветной онлайн) Спектр энергий фермиевских

состояний ЭД с s-симметрией ЭПП при открытых гра-

Рис. 1. (Цветной онлайн) Спектр энергий фермиевских

ницах (геометрия цилиндра) V = 1, остальные пара-

состояний ЭД с p + ip-симметрией ЭПП при открытых

метры те же, что и на рис. 1

границах (геометрия цилиндра). Значения параметров:

V = 2.5, ta = -0.5, tb = 0.5, εa = -4ta, εb = 0.5 - 4tb

Для ответа на вопрос, будет ли экситонный ди-

электрик одновременно и топологическим изолято-

ная структура энергетических зон соответствовала

ром, определим, какая фаза является стабильной, а

инвертированному случаю. Самосогласованное зна-

какие две другие метастабильными. С этой целью

чение амплитуды Δ_p = 0.19.

проведем вычисление зависимостей амплитуд пара-

Из структуры энергетического спектра рис.1 сле-

метров порядка от интенсивности эффективного па-

дует, что в рассматриваемой системе из-за краевых

раметра кулоновского взаимодействия. Результаты

эффектов, кроме обычных объемных состояний по-

показаны на рис. 3.

явились состояния, энергии которых находятся внут-

Видно, что из трех возможных фаз наибольшим

ри запрещенной зоны. Среди них состояния со зна-

значением амплитуды ЭПП обладает s-фаза. По-

чениями квазиимпульса k₂, попадающими в окрест-

скольку энергия конденсации экситонной фазы тем

ность точки пересечения внутрищелевых ветвей, яв-

больше, чем больше эта амплитуда (прямые расче-

ляются краевыми в том смысле, что для них большая

ты подтверждают это правило), то s-фаза является

часть веса волновой функции находится в пределах

стабильной, а две другие - метастабильны. Следо-

трех слоев, примыкающих к границе. Принимая во

вательно, при J = 0 переход системы в экситонную

внимание значение числа Черна, приходим к заклю-

фазу не будет приводить к формированию краевых

чению, что фаза ЭД с p-типом симметрии ЭПП яв-

состояний в геометрии открытых границ.

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

776

В.В.Вальков

Число Черна для s + d-фазы экситонного диэлек-

трика Q^(s+d) = 0. Это, казалось бы, и не удивитель-

но, поскольку в рассматриваемой фазе ЭПП записы-

вается в виде суперпозиции базисных функций, для

которых по отдельности экситонные фазы характе-

ризовались нулевыми значениями чисел Черна.

Нетривиальность ситуации с s+d-фазой ЭД про-

является в том, что расчет энергетического спектра

при открытой геометрии границ показывает наличие

состояний, энергии которых находятся внутри запре-

щенной зоны объемного спектра (см. рис.4). При

этом состояния, значения энергии которых распола-

гаются достаточно глубоко в запрещенной зоне явля-

ются краевыми (по тому же критерию, что и ранее).

Рис. 3. (Цветной онлайн) Зависимости амплитуд

Δs, Δp, Δd экситонных параметров порядка от

= V -2J1 (при J1 = J2). Верхняя кривая соответствует

s-типу симметрии, средняя - p-симметрии, нижняя - d-

симметрии

6. Краевые состояния ЭД для J₁ = J₂. При

J1 = J2 обменное слагаемое в уравнении самосо-

гласования для ЭПП качественно меняет характер

основного состояния рассматриваемого двухзонно-

го полупроводника со спин-орбитальным взаимодей-

ствием. Остановимся на этом важном вопросе.

Прежде всего отметим, что p-фаза ЭД, по-

прежнему, остается решением уравнения (8). Теми

же уравнениями (16) и (17) определяются ЭПП

Δ_pσ(k) и его амплитуда Δ_p.

Иначе обстоит дело с s- и d-фазами ЭД. При

Рис. 4. (Цветной онлайн) Спектр энергий экситонного

J₁ = J₂ каждая из этих фаз по отдельности пере-

диэлектрика с комбинированной s+d-симметрией ЭПП

стает быть решением.

при открытых границах (геометрия цилиндра) J = 1,

В рассматриваемом случае качественно новый

ta = -0.5, tb = 0.5, остальные параметры те же, что и

тип решения уравнения (8) имеет вид суперпозиции

на рис. 1

Δ_sd,σ(k) = Δ_s(i + η_σ)ϕ_s(k) + Δ_d(i - η_σ)ϕ_d(k).

(24)

Существенно, что s + d-фаза экситонного диэлек-

Амплитуды Δ_s и Δ_d удовлетворяют системе урав-

трика является основным состоянием рассматрива-

нений

емого полупроводника. Это следует из сравнения

(1 -

V C_s)Δ_s + JC_dΔ_d = 0,

энергии конденсации s + d-фазы с соответствующей

энергией для p-фазы (см. рис. 5). Видно, что при всех

JC_sΔ_s + (1 -

V C_d)Δ_d = 0,

(25)

энергия конденсации s + d-

значениях параметра J₁

в которой

фазы значительно превосходит энергию конденсации

∑

1 + 2cosk₁ + cosk1 cosk₂

p-фазы.

C_s =

L_sd(k),

ν_sd(k)

Из приведенных результатов следует, что обмен-

∑

ное взаимодействие фермионов в двухзонном полу-

1 - 2cosk₁ + cosk1 cosk₂

C_d =

L_sd(k).

(26)

проводнике со спин-орбитальным взаимодействием в

ν_sd(k)

условиях инвертированности зонной структуры мо-

Решение этих уравнений позволяет определить

жет индуцировать особое состояние экситонного ди-

характеристики ЭД с комбинированной s + d-

электрика, в котором при открытой геометрии реа-

симметрией ЭПП. Отметим важные свойства такого

лизуются краевые состояния, тогда как число Черна

ЭД.

для такой фазы имеет нулевое значение.

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

Краевые состояния экситонного диэлектрика со спин-орбитальным взаимодействием

777

бильной, а в качестве основного состояния выступала

s-фаза с тривиальной топологией.

Показано, что включение обменного взаимодей-

ствия приводит к качественному изменению свойств

ЭД. В этом случае основным состоянием является

смешанная s + d-фаза, для которой ЭПП описывает-

ся суперпозицией s- и d-базисных функций с коэф-

фициентами, зависящими от проекции спина. Важ-

ная особенность смешанной s + d-фазы заключается

в том, что для нее топологический инвариант имеет

нулевое значение, тогда как в геометрии открытых

границ реализуются краевые состояния.

Автор выражает благодарность А. О. Злотникову,

А. Д. Федосееву и М. С. Шустину за полезное обсуж-

дение результатов работы и замечания.

Рис. 5. (Цветной онлайн) Зависимости энергий конден-

Работа выполнена при поддержке Российско-

сации s + d-фазы (верхняя кривая) и p-фазы (нижняя

го фонда фундаментальных исследований (грант

кривая) экситонного диэлектрика при разных значе-

#19-02-00348).

ниях параметра J1. При расчетах выбирались следую-

щие значения параметров модели: ta = -0.5, tb = 0.5,

1. Л. В. Келдыш, Ю. В. Копаев, ФТТ 6, 2791 (1964).

εa = -4, εb = 1 - 4tb, V = 3.5, J2 = 0.5

2. А. Н. Козлов, Л. А. Максимов, ЖЭТФ

48,

1184

(1965).

7. Заключение. Впервые изучены симмет-

3. J. de Cloiseaux, J. Phys. Chem. Solids 26, 259 (1965).

рийные и топологические свойства ЭД со спин-

4. B. A. Bernevig, T. L. Hughes, and S.-C. Zhang, Science

орбитальным взаимодействием. Теоретическое

314, 1757 (2006).

рассмотрение такого ЭД проведено на примере

5. L. Fu and C. L. Kane, Phys. Rev. B 76, 045302 (2007).

энергетической структуры квантовой ямы HgTe,

6. X. Dang, J. D. Burton, A. Kalitsov, J. P. Velev, and

описываемой моделью BHZ.

E. Y. Tsymbal, Phys. Rev. B 90, 155307 (2014).

Показано, что при учете спин-орбитальной свя-

7. Ch.-K. Chiu, J. C. Y. Teo, A. P. Scnyder, and S. Ryu,

зи, кулоновское и обменное взаимодействия ферми-

Rev. Mod. Phys. 88, 035005 (2016).

онов, индуцируя в условиях инвертированности зон-

8. В. В. Вальков, В. А. Мицкан, М. С. Шустин, Письма

ной структуры состояние ЭД, по-разному влияют на

в ЖЭТФ 106, 762 (2017).

его характеристики.

9. В. В. Вальков, А. О. Злотников, Письма в ЖЭТФ

На основе неприводимых представлений группы

109, 769 (2019).

D₄ проведена симметрийная классификация фаз ЭД.

10. S. V. Aksenov, A. O. Zlotnikov, and M. S. Shustin, Phys.

Для топологической классификации этих фаз ис-

Rev. B 101, 125431 (2020).

пользовалось число Черна.

11. Yu. E. Lozovik and V. I. Yudson, Sov. Phys. JETP 44,

Показано, что без учета обменного взаимодей-

389 (1976).

ствия решениям интегрального уравнения самосо-

12. S. Zhou and Z. Wang, Phys. Rev. Lett. 100, 217002

гласования соответствуют три фазы. Для них ЭПП

(2008).

характеризуется s-, d- и p-типом симметрии. В p-фазе

13. В. В. Вальков, Т. А. Валькова, В. А. Мицкан, Письма

ЭПП преобразуется по двумерному представлению

в ЖЭТФ 102, 399 (2015).

группы D₄, а значение топологического инварианта

14. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика,

соответствует нетривиальной топологии. В геомет-

Физматлит, М. (2001).

рии открытых границ в такой фазе существуют кра-

15. D. J. Thouless, M. Kohmoto, M. P. Nightingale, and

евые состояния. Однако, эта фаза являлась метаста-

M. den Nijs, Phys. Rev. Lett. 49, 405 (1982).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020