Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 12, с. 789 - 793

Точная β-функция в абелевых и неабелевых N = 1

суперсимметричных калибровочных моделях и ее аналогия с

β-функцией КХД в C-схеме

И.О.Горячук⁺¹⁾, А.Л.Катаев^∗×1)

⁺МГУ им. М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра теоретической физики, 119991 Москва, Россия

^∗Институт ядерных исследований РАН, 117312 Москва, Россия

^×Московский физико-технический институт, 141700 Долгопрудный, Россия

Поступила в редакцию 19 апреля 2020 г.

После переработки 15 мая 2020 г.

Принята к публикации 15 мая 2020 г.

В N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса без материи продемонстрировано существование

класса схем перенормировок, при которых для ренормгрупповой β-функции, определенной в терминах

перенормированной константы связи, справедлива точная формула Новикова, Шифмана, Вайнштейна

и Захарова (НШВЗ). Эти схемы связаны между собой конечными перенормировками, образующими од-

нопараметрическую коммутативную подгруппу общих ренормгрупповых преобразований. Обсуждается

аналогия между точными β-функциями N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса без материи и

квантовой хромодинамики в C-схеме.

DOI: 10.31857/S1234567820120125

1. В методе ренормгруппы [1] эволюция перенор-

Эта формула связывает β-функцию и аномальную

мированной константы связи с изменением масштаба

размерность материи:

µ описывается β-функцией:

(

)

)



d ln Z

a₀, µ²/Λ²

,µ²/Λ²



(

)

γ (a) =



(3)



da_s

d ln µ²



s0, µ²/Λ²



β (a_s) =



d ln µ²



(

)

as0

где Z

a, µ²/Λ²

- константа перенормировки супер-

(

))

β₀a_s2 + β₁a_s3 + β₂a_s4 + O

a_s5

(1)

полей материи. Как было показано в [4], соотношение

(2) справедливо для некоторого класса предписаний

где a_s ≡ α_s/π, a_s0 - затравочная константа связи, а

перенормировки, которые, следуя терминологии [5],

Λ - размерный параметр, введенный в теорию при

называют схемами НШВЗ.

регуляризации. Определение (1) записано в терми-

Когда теория регуляризована при помощи выс-

нах перенормированной константы связи. Коэффи-

ших производных (HD) [6, 7] (см. также [8]) в су-

циенты β_i (при i ≥ 2) в формуле (1) зависят от про-

персимметричном варианте [9, 10], формула (2) вы-

цедуры перенормировки. Их можно изменить, совер-

полняется во всех порядках теории возмущений (ТВ)

шив конечную перенормировку константы связи.

в терминах затравочной константы связи a₀ [11],

Характерной особенностью N = 1 суперсиммет-

что было непосредственно проверено в трехпетлевом

ричных (СУСИ) калибровочных теорий является су-

приближении в [11], а также в работе [12] несколь-

ществование точных выражений для β-функций [2].

ко отличным методом. Чтобы эта формула выпол-

Например, в N = 1 суперсимметричной квантовой

нялась на перенормированном языке, были сформу-

электродинамике (СКЭД) с N_f ароматами супер-

лированы специальные граничные условия: a = a₀

полей материи соответствующее выражение в тер-

и Z = 1, накладываемые при фиксированном µ [13].

минах перенормированной константы связи может

В случае µ = Λ эту схему называют процедурой ми-

быть записано как [3]:

нимального вычитания логарифмов (MSL), а точнее,

(

)

HD + MSL. В работе [14] было продемонстрировано,

β (a) = a²Nf

- γ (a)

(2)

что в перенормированной мягко нарушенной СКЭД

HD + MSL предписание также приводит к НШВЗ-

¹⁾e-mail: io.gorjachuk@physics.msu.ru; kataev@ms2.inr.ac.ru

подобному соотношению. Впоследствии было пока-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

789

790

И.О.Горячук, А.Л.Катаев

зано [15], что формула (2) справедлива точно во всех

В данной работе демонстрируется, что в N = 1

порядках ТВ и при использовании схемы перенорми-

СУСИ теории Янга-Миллса без материи существу-

ровки на массовой оболочке (OS) (применявшейся и

ет целый класс схем перенормировок, в которых об-

ранее в СКЭД в [16]).

суждавшееся выше выражение (4) справедливо во

Чаще для регуляризации СУСИ моделей вместо

всех порядках ТВ. Исследуется групповая структу-

размерной регуляризации [17] используют метод раз-

ра преобразований, действующих в этом классе. Рас-

мерной редукции (DRED) [18]. В качестве процедуры

сматривается их аналогия с конечными перенорми-

перенормировки в этом случае выступает DR пред-

ровками, сохраняющими β-функцию несуперсиммет-

писание, аналогичное схеме MS. При этом точная β-

ричной квантовой хромодинамики (КХД) в C-схеме.

функция (2) нарушается уже в трехпетлевом прибли-

2. Напомним, что в N = 1 СКЭД изменение схе-

жении [5]. Выражение (2) можно восстановить, со-

мы перенормировки осуществляется следующим об-

вершив конечную перенормировку константы связи.

разом:

Такую подстройку нужно подбирать в каждом по-

рядке ТВ. Ее можно зафиксировать MSL-подобными

a^′ (a₀, µ/Λ) = a^′ (a (a₀, µ/Λ)),

(5)

граничными условиями, которые были сформулиро-

Z^′ (a^′ (a), µ/Λ) = z (a)Z (a, µ/Λ),

ваны в [19] на трехпетлевом уровне. Возможность

восстановления соотношения НШВЗ в СКЭД при ис-

где Z и Z^′ - константы перенормировки материи в

пользовании DRED обсуждалась ранее в работе [20].

исследуемых схемах, а a^′ (a) и z (a) - произвольные

Для перенормированной N

= 1 СУСИ теории

конечные функции. Когда процедуры перенормиров-

Янга-Миллса без материи точная β-функция имеет

ки, связываемые по формулам (5), лежат в клас-

вид геометрической прогрессии [21]

се схем НШВЗ, справедливо следующее условие (во

всех порядках ТВ) [4]:

-3C₂a_s

β (a_s) =

(4)

4 - 2C₂a_s

N_f

µ^′2

- N_f lnz (a) = πB = -

(6)

где C₂ - оператор Казимира в присоединенном пред-

a^′ (a)

µ²

ставлении.

где параметр B не зависит от a. Конечные перенор-

Напомним, как была получена формула (4). В

мировки, удовлетворяющие данному условию, свя-

СУСИ теориях операторы, связанные с аксиаль-

зывают между собой конкретные схемы этого класса:

ной и конформной аномалиями, должны входить в

предписания HD + MSL [13], HD + OS [15], DRED +

один супермультиплет и перенормироваться одина-

+DR + (специальная конечная перенормировка) [19]

ково. Известно, что перенормировка следа тензора

и другие.

энергии-импульса пропорциональна (β(a_s)/a_s), т.е.

Класс всех НШВЗ схем в {бщем случае

}

конформной аномалии, а оператор аксиальной ано-

метризуется преобразованиями a^′ (a), z (a), B , где

малии не перенормируется в силу теоремы Адлера-

Бардина [22], которая формулируется и для СУСИ

a^′ (a) и z (a) сохраняют вид точной β-функции (2).

В качестве независимых параметров удобно выбрать

теорий [23]. На первый взгляд, эти утверждения

сложно согласовать (см., например, [24] и ссылки

величину B и функцию z (a), осуществляющую ко-

нечную перенормировку материи.

там). Однако в работе [21] было показано, что они

не противоречат друг другу, если использовать точ-

Рассмотрим два преобразования, удовлетворяю-

ную β-функцию, определенную соотношением (4).

щие ограничению (6), кот}рые параметризуются на-{

Выражение (4) не согласуется с трехпетлевым ре-

борами a_i (a), z_i (a), B⁽ⁱ⁾ (при i = 1, 2). Во втором

зультатом [25, 26], вычисленным в схеме DR. Совпа-

порядке разложения по ТВ функция z_i (a) имеет вид

дение этих выражений достигается после восстанов-

(

)

ления формулы (4) при помощи конечной перенор-

z_i (a) = 1 + D⁽ⁱ⁾¹a + D⁽ⁱ⁾²a² + O

a³

(7)

мировки константы связи, которая построена в ра-

боте [5] на трехпетлевом уровне. Существуют также

а функцию a_i (a) можно найти по формуле

серьезные указания на то, что и HD + MSL пред-

писание перенормировки обеспечит справедливость

+ πB⁽ⁱ⁾ + N_f lnz_i (a).

(8)

a_i (a)

формулы (4) [27]. Как было показано в [21], использо-

вание этой формулы снимает обсуждавшуюся в [24]

Таким образом, для описания преобразований внут-

проблему аномалий в СУСИ теориях, другое реше-

ри изучаемого класса в трехпетлевом приближении

ние которой было рассмотрено в [28].

достаточно трех коэффициентов: B⁽ⁱ⁾, D⁽ⁱ⁾¹ и D⁽ⁱ⁾².

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

Точная β-функция в абелевых и неабелевых N = 1. . .

791

В работе [4] было показано, что обсуждаемые

3. Рассмотрим теперь N = 1 СУСИ теорию Янга-

выше преобразования образуют подгруппу общих

Миллса без материи. В ней также существуют пре-

ренормгрупповых преобразований. Действительно,

образования, сохраняющие вид ее точной β-функции

композиция конечн{х перенормировок} пар

(4). Они задаются при помощи конечных перенорми-

{

зуемых наборами a₁ (a), z₁ (a), B⁽¹⁾ и a₂ (a),

ровок константы связи a_s′ (a_s), которые удовлетво-

}

ряют условию, аналогичному формуле (6) в N = 1

z₂ (a), B(2) , для которой

СКЭД:

a^′ (a) = a₂ (a₁ (a)), z (a) = z₂ (a₁ (a))z₁ (a),

β₁

ln z_α (a_s) = π

B≡ β₀ lnµ′2,

(14)

(9)

a_s′ (a_s)

a_s

β₀

µ²

B=B⁽²⁾ +B⁽¹⁾,

где z_α (a_s) ≡ a_s′ (a_s) /a_s, а первые два коэффициента

β-функции (4) имеют вид [29]:

также удовлетворяет услови} (6). Для каждого пре-{

образования a^′ (a), z (a), B существует ему обрат-

ное:

β₀ =

C₂,

β₁ =

C₂₂.

(15)

{a (a^′),

1/z (a (a^′)),

-B}.

(10)

Если сравнить ограничения (6) и (14), можно убе-

При этом единичный элемент группы конечных пе-

диться, что второе является более жестким. В самом

ренормировок определяется как:

деле, оно содержит лишь один параметр

B, анало-

гичный B в формуле (6), который достаточно вы-

a^′ (a) = a, z (a) = 1, B = 0.

(11)

брать произвольным образом, чтобы однозначно за-

Можно убедиться, что конечные перенормировки

фиксировать конечную перенормировку a_s′ (a_s).

(10)-(11) удовлетворяют ограничению (6). Записать

Определяемые условием (14) конечные перенор-

разложение по ТВ для задающих их функций z (a),

мировки соответствуют изменению масштаба µ и об-

a^′ (a) и ее обратной a (a^′) можно по аналогии с фор-

разуют однопараметрическую коммутативную (абе-

мулами (7) и (8).

леву) подгруппу общих ренормгрупповых преобра-

В случае N = 1 СКЭД данная подгруппа явля-

зований. Убедимся в этом непосредственн

{

ется некоммутативной. Это означает, что результат

зиция последовательных перенормировок a_s1 (a_s),

}

{

}

действия композиции преобразований

B⁽¹⁾ и a_s2

(a_s),

˜(2) не зависит от порядка дей-

a^′ (a) = a₁ (a₂ (a)), z (a) = z₁ (a₂ (a))z₂ (a),

ствия:

(12)

B =B⁽¹⁾ +B⁽²⁾

a_s′ (a_s) = a_s2 (a_s1 (a_s)) = a_s1 (a_s2 (a_s))

(16)

не совпадает с результатом (9). Чтобы в этом убе-

и удовлетворяет условию (14) при

B =

B⁽¹⁾ +

B⁽²⁾.

диться, рассмотрим композиции (9) и (12) в трех-

Исследуемая подгруппа конечных перенормировок

петлевом приближении, подставив в каждую из них

содержит ед

{

}

разложение (7) и использовав (8). Эти композиции

образования a_s′ (a_s) = a_s,

B = 0 . Для любой ко-

будут совпадать в трехпетлевом приближении, толь-

нечной пер{нормировки

}

ко когда коэффициенты в выражениях (7) и (8) под-

разование a_s (a_s′), -B , аналогичное (10). Таким

чиняются условию

образом, преобразования, удовлетворяющие ограни-

B⁽¹⁾D⁽²⁾¹ = B⁽²⁾D⁽¹⁾¹.

(13)

чению (14), образуют коммутативную подгруппу ко-

нечных перенормировок в отличие от подгруппы,

Поскольку параметры B⁽ⁱ⁾ и D⁽ⁱ⁾¹ могут принимать

изучавшейся в разделе 2, которая является неком-

произвольные значения, данное ограничение, вооб-

мутативной.

ще говоря, не выполняется. Более того, в высших

Заметим также, что свойства рефлексивности,

порядках ТВ не будут выполняться условия, анало-

транзитивности и симметрии для преобразований,

гичные (13), которые содержат коэффициенты стар-

соответствующих изменению µ, рассматривались ра-

ших порядков разложения функций z_i (a) и a_i (a), в

нее в работе [30]. В случае N

= 1 СУСИ теории

том числе D⁽ⁱ⁾² в формуле (7). Поэтому, строго го-

Янга-Миллса подгруппа этих преобразований тео-

воря, композиции (9) и (12) приводят к различным

ретически выделена, поскольку они сохраняют вид

результатам. Таким образом, подгруппа, сохраняю-

точной β-функции (4).

щая формулу (2) в N = 1 СКЭД, является, в общем

4. В КХД недавно было предложено использо-

случае, некоммутативной (неабелевой).

вать специальную C-схему [31]. Она применялась,

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

792

И.О.Горячук, А.Л.Катаев

например, в работах [32-34] для изучения анали-

с формулой (14) для N

= 1 СУСИ теории Янга-

тической структуры слагаемых, пропорциональных

Миллса, при этом параметры

B и C связаны следу-

функции Римана ζ (n) четного целого аргумента

ющим образом:

3C₂

(n = 4, 6, . . . ), в разложениях ТВ в КХД. По опре-

(21)

делению, β-функция C-схемы имеет вид [31]:

4π

Отметим, что величина Δ, аналогичная C, вводи-

-β₀a_s

лась ранее в работе [41] при решении ренормгруппо-

β (a_s) =

(17)

1 - (β₁/β₀)a_s

вых уравнений для двухпетлевой β-функции произ-

вольной асимптотически-свободной теории. В случае

Коэффициенты β₀ и β₁ найдены, соответственно, в

КХД эти величины идентичны:

[35, 36] и [37, 38]:

µ^′2

Δ = ln

= C.

(22)

µ²

β₀ =

C₂ -

T_F n_f ,

Отличие состоит в том, что в C-схеме β-функция

(18)

определяется по формуле (17), и соответствующие

β₁ =

C₂₂ -

C₂T_F n_f -

C_F T_F n_f,

уравнения ренормгруппы решаются в высших поряд-

ках ТВ.

где n_f - число ароматов кварков, C_F и C₂ - операто-

Конечные перенормировки в КХД, удовлетворя-

ры Казимира в фундаментальном и присоединенном

ющие условию (20), аналогичны преобразованиям,

представлении калибровочной группы, T_F - индекс

рассмотренным в разделе 3 в случае N = 1 СУСИ

Дынкина.

теории Янга-Миллса. Они также образуют одно-

Выражение (17) согласуется с формулой (4), если

параметрическую коммутативную подгруппу общих

вместо коэффициентов β₀ и β₁, приведенных в (18),

ренормгрупповых преобразований, которая полно-

взять их значения (15) для N

= 1 СУСИ теории

стью характеризуется параметром C.

Янга-Миллса без материи; при этом дробь β₁/β₀ в

Заключение. В данной работе было продемон-

знаменателе (17) делится нацело. Более того, точное

стрировано, что в N = 1 СУСИ теории Янга-Миллса

деление имеет место и в бескварковой КХД (глюоди-

без суперполей материи существует класс схем пере-

намике), для которой в формулах (18) T_F n_f = 0.

нормировок, в которых в терминах перенормирован-

Чтобы связать ренормгрупповые величины в схе-

ной константы связи справедлива точная β-функция

ме MS и в C-схеме, нужно совершить следующую ко-

(4). Действующие в этом классе преобразования со-

нечную перенормировку:

ответствуют изменению масштаба µ и образуют од-

(

)

β₁

β₂

(

)

нопараметрическую коммутативную подгруппу ко-

a_s′ = a_s +

a_s3 + O

a_s4

(19)

нечных перенормировок. Было показано, что ана-

β₀₂

β₀

логичные преобразования сохраняют вид β-функции

В случае MS схемы коэффициент β₂ аналитически

C- схемы в КХД. Отмечено, что подгруппа конечных

вычислен в [39, 40]. В глюодинамике он имеет вид

перенормировок, сохраняющая формулу (2) в N = 1

β₂ = (2857/3456)C₂₃, и дроби в формуле (19) делятся

СКЭД, в общем случае, является некоммутативной.

нацело, как и в случае N = 1 СУСИ теории Янга-

Данная работа является продолжением исследо-

Миллса без материи. Поэтому преобразование (19)

ваний, выполненных в [4, 15, 19]. Авторы благодарны

аналогично перенормировке a_s′ (a_s), приводящей к

К. В. Степаньянцу за интерес к данной работе и по-

точной β-функции (4) после вычислений в DR схеме,

лезные обсуждения.

а сама она аналогична β-функции C-схемы в глюо-

Работа выполнена при поддержке Фонда разви-

динамике.

тия теоретической физики и математики “БАЗИС”,

Вернемся теперь к рассмотрению случая КХД с

грант # 17-11-120.

кварками. Любые конечные перенормировки, сохра-

няющие вид (17), удовлетворяют следующему огра-

1. Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков, Введение в теорию

ничению:

квантованных полей, Наука, М. (1984).

β₁

a^′s

µ^′2

2. V. A. Novikov, M. A. Shifman, A. I. Vainshtein, and

= β₀C ≡ β0 ln

(20)

V. I. Zakharov, Nucl. Phys. B 229, 381 (1983).

a^′s

a_s

β₀

a_s

µ²

3. А. И. Вайнштейн, В. И. Захаров, М. А. Шифман,

Такое же выражение было получено в работе [31], в

Письма в ЖЭТФ 42, 182 (1985).

котором появление параметра C объясняет термин

4. I. O. Goriachuk, A. L. Kataev, and K. V. Stepanyantz,

“C-схема”. Условие (20) по виду и смыслу совпадает

Phys. Lett. B 785, 561 (2018).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

Точная β-функция в абелевых и неабелевых N = 1. . .

793

I. Jack, D. R. T. Jones, and C. G. North, Phys. Lett. B

23. D. R. T. Jones and J. P. Leveille, Nucl. Phys. B 206, 473

386, 138 (1996).

(1982).

A.A. Slavnov, Nucl. Phys. B 31, 301 (1971).

24. А. И. Вайнштейн, В. И. Захаров, В. А. Новиков,

А.А. Славнов, ТМФ 13, 174 (1972).

М. А. Шифман, Письма в ЖЭТФ 40, 161 (1984).

А.А. Славнов, Л. Д. Фаддеев, Введение в квантовую

25. L. V. Avdeev and O. V. Tarasov, Phys. Lett. B 112, 356

теорию калибровочных полей, Наука, М. (1988).

(1982).

В. К. Кривощеков, ТМФ 36, 291 (1978).

26. V. N. Velizhanin, Nucl. Phys. B 818, 95 (2009).

10.

P. C. West, Nucl. Phys. B 268, 113 (1986).

27. K. V. Stepanyantz, Nucl. Phys. B 909, 316 (2016).

11.

K. V. Stepanyantz, Nucl. Phys. B 852, 71 (2011).

28. Д. И. Казаков, Письма в ЖЭТФ 41, 272 (1985).

12.

А.Е. Казанцев, К. В. Степаньянц, ЖЭТФ 147, 714

29. D. R. T. Jones, Phys. Rev. D 22, 3140 (1980).

(2015).

30. S. J. Brodsky and X. G. Wu, Phys. Rev. D 86, 054018

13.

A.L. Kataev and K.V. Stepanyantz, Nucl. Phys. B 875,

(2012).

459 (2013).

31. D. Boito, M. Jamin, and R. Miravitllas, Phys. Rev. Lett.

14.

И. В. Нарцев, К. В. Степаньянц, Письма в ЖЭТФ

117, 152001 (2016).

105, 57 (2017).

32. M. Jamin and R. Miravitllas, Phys. Lett. B 779, 452

15.

A.L. Kataev, A. E. Kazantsev, and K. V. Stepanyantz,

(2018).

Eur. Phys. J. C 79, 477 (2019).

33. P. A. Baikov and K. G. Chetyrkin, JHEP 1806, 141

16.

A.V. Smilga and A. Vainshtein, Nucl. Phys. B 704, 445

(2018).

(2005).

34. J. Davies and A. Vogt, Phys. Lett. B 776, 189 (2018).

17.

G. ’t Hooft and M. J. G. Veltman, Nucl. Phys. B 44, 189

35. D. J. Gross and F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 30, 1343

(1972).

(1973).

18.

W. Siegel, Phys. Lett. B 84, 193 (1979).

36. H. D. Politzer, Phys. Rev. Lett. 30, 1346 (1973).

19.

S. S. Aleshin, I. O. Goriachuk, A. L. Kataev, and

37. D. R. T. Jones, Nucl. Phys. B 75, 531 (1974).

K. V. Stepanyantz, Phys. Lett. B 764, 222 (2017).

38. Э. Ш. Егорян, О. В. Тарасов, ТМФ 41, 26 (1979).

20.

С. С. Алешин, А. Л. Катаев, К. В. Степаньянц,

39. O. V. Tarasov, A. A. Vladimirov, and A. Y. Zharkov,

Письма в ЖЭТФ 103, 77 (2016).

Phys. Lett. B 93, 429 (1980).

21.

D. R.T. Jones, Phys. Lett. B 123, 45 (1983).

40. S. A. Larin and J. A. M. Vermaseren, Phys. Lett. B 303,

22.

S. L. Adler and W. A. Bardeen, Phys. Rev. 182, 1517

334 (1993).

(1969).

41. А. А. Владимиров, Ядерная физика 31, 1083 (1980).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020