Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 12, с. 794 - 797

Оптический эффект Ааронова-Бома

М. В. Архипов⁺¹⁾, Р. М. Архипов^+∗×1), Н. Н. Розанов^∗×1)

⁺Санкт-Петербургский государственный университет, 199034 С.-Петербург, Россия

^∗Университет ИТМО, 197101 С.-Петербург, Россия

^×Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе, 194021 С.-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 23 апреля 2020 г.

После переработки 23 апреля 2020 г.

Принята к публикации 30 апреля 2020 г.

Предлагается вариант эксперимента по наблюдению оптического эффекта Ааронова-Бома. В нем в

качестве источника векторного потенциала, действующего на электроны и имеющего нулевую напря-

женность электрического поля в области ненулевого векторного потенциала, предлагается использовать

униполярный субцикловый импульс света. Подобная связь между полем и потенциалом возникает, пото-

му что униполярный импульс обладает ненулевой электрической площадью. Приводятся оценки набега

фазы волнового пакета в случае использования субцикловых импульсов оптического диапазона. Об-

суждается необычная ситуация, когда после прохождения импульса и его удаления от электронного

интерферометра на очень большое расстояние, факт его прохождения в пространстве одного из плеч

интерферометра запоминается на очень долгое время.

DOI: 10.31857/S1234567820120010

Введение. В 1959 г. в работе Ааронова и Бо-

ся к нулю, а потенциал отличен от нуля. В случае с

ма [1] теоретически были рассмотрены эксперимен-

очень длинным соленоидом магнитное поле снару-

ты, в которых можно было бы продемонстрировать

жи соленоида равно нулю, а векторный потенциал

физическую значимость электромагнитных потенци-

нет. Также в этих источниках электромагнитные по-

алов, которые в классической электродинамике иг-

ля квазистатичны, они не перемещаются во време-

рают роль математически вводимых вспомогатель-

ни. Более приемлемым для реализации в экспери-

ных величин, а физический смысл имеют напряжен-

менте является магнитное поле в соленоиде. Пред-

ности электрического и магнитного полей, опреде-

лагаемые варианты как будто исчерпывают приме-

ляющие силы, действующие на заряды и токи. По

ры возможных реализаций источников, необходимых

мнению авторов [1], в квантовой механике потенциа-

для демонстрации эффекта АБ. Надо отметить, что

лы играют особую, даже первичную роль. Для этого

несмотря на дискуссии, экспериментальное подтвер-

они предложили схемы экспериментов, где, в отли-

ждение эффекта считается надежным.

чие от классической механики, можно обнаружить

Обзор теоретических публикаций и эксперимен-

воздействие электромагнитных потенциалов на за-

тальных исследований, возникших в связи с ними

ряженную квантовую частицу, даже если в области,

дискуссий, дан в обзорах [2, 3]. Хотя считается, что

где она находится, все поля и, следовательно, силы,

этот вопрос о роли и физическом смысле электромаг-

действующие на частицу, в классическом понимании

нитных потенциалов не должен вызывать бурных об-

исчезают. Для наблюдения эффекта Ааронова-Бома

суждений, см. [4], тем не менее, они продолжаются и

(АБ) необходимы такие источники полей и потенци-

до нашего времени [5]. Как пишет автор обзора [3]: “I

алов, для которых бы в области нахождения заряда

personally have no doubt that interest in the AB effect

напряженность электромагнитного поля исчезала, а

is not a mere fad. Rather, it can provide us with deep

потенциал был отличен от нуля. Первоначально в

insights into the foundations of physics, while pointing

[1] было предложено использовать длинный метал-

in the direction of diverse future developments”.

лический цилиндр и длинный соленоид. Электриче-

По нашему мнению, наблюдения эффекта АБ

ское поле внутри металлического цилиндра при на-

можно выполнить посредством не электронно-

личии на нем отличного от нуля потенциала стремит-

магнитных и электрических, а электронно-

оптических экспериментов с применением пре-

¹⁾e-mail: m.arkhipov@spbu.ru; arkhipovrostislav@gmail.com;

дельно коротких световых импульсов с особыми

nnrosanov@mail.ru

свойствами. В последнее время проявляется интерес

794

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

Оптический эффект Ааронова-Бома

795

к получению предельно коротких субцикловых и

T/2 потенциал растет. При t > T/2 потенциал уже

униполярных импульсов электромагнитного излу-

не меняется и остается постоянным. Таким образом,

чения [6, 7]. Униполярные импульсы, в отличие от

векторный потенциал до момента прихода униполяр-

привычных многоцикловых импульсов, обладают

ного импульса не равен потенциалу после него. В

той особенностью, что электрическая площадь

этом состоит его отличие от многоциклового бипо-

∫

импульса S_E

E(t)dt (E()t) - напряженность

лярного импульса с нулевой электрической площа-

электрического поля, t - время) не равна нулю

дью, который не изменяет значение потенциала A

[8]. Это значит, что униполярный импульс имеет

после прохождения им выбранной области простран-

особенность, связанную с непривычным поведением

ства. Униполярный импульс как бы оставляет по-

векторного потенциала А. Как известно, в вакууме,

сле себя, образно говоря, “следы”, которых не остает-

в калибровке, в которой скалярный потенциал

ся после биполярного многоциклового импульса. По-

равен нулю, векторный потенциал А в выбран-

нятно, что если рассматривать взаимодействие из-

ной точке пространства связан c напряженностью

лучения с зарядом в рамках классических представ-

электрического поля соотношением [9]:

лений, то факт изменения потенциала никак не по-

влияет на прохождение частицы, если значения поля

∂A

E=-

(1)

будут равны нулю. Но для частицы, поведение кото-

∂t

рой требует описания в рамках квантовой механики,

Тогда, если поле униполярного импульса в некой точ-

ситуация меняется. Изменение потенциала будет воз-

ке пространства имеет вид, показанный на верхней

действовать на ее волновую функцию.

части рис. 1 (E(t) > 0, если -T/2 < t < T/2 и

Схема возможного эксперимента по наблю-

дению эффекта АБ с помощью униполяр-

ных импульсов. Обратимся к схеме эксперимента

с “электронным интерферометром” рис.2a, которая

Рис. 1. (Цветной онлайн) Зависимость напряженности

поля E и векторного потенциала A от времени в неко-

торой точке пространства, которую пересекает им-

пульс униполярного излучения

E(t) = 0, если t < -T/2 или t > T/2), то зависимость

Рис. 2. (Цветной онлайн) Схема проведения экспери-

от времени векторного потенциала будет ступенча-

мента по наблюдению эффекта АБ: (a) - с бесконечно

той (нижняя часть этого рисунка). Здесь и далее мы

длинным соленоидом; (b) - с помощью униполярного

полагаем излучение линейно поляризованным, так

импульса, являющегося источником векторного потен-

что E и A означают ненулевую составляющую со-

циала

ответствующих векторов.

В моменты времени t < -T/2 можно считать,

была предложена еще в первой работе АБ [1] и за-

что потенциал A = 0. На интервале от -T/2 до тем многократно анализировалась другими автора-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

796

М. В. Архипов, Р. М. Архипов, Н. Н. Розанов

ми. Плоская электронная волна 1 делителем 2 разде-

от проделанных ранее экспериментов и содержит фи-

ляется на два пакета, которые, после преломления в

зические вопросы, которые заслуживают отдельного

призмах 3 и 4, проходят две разделенные в простран-

анализа.

стве области (плечи электронного интерферометра),

Численная оценка. Сделаем оценку сдвига фаз

а затем призмами 5 и 6 сводятся на экране 7. В ва-

под действием униполярного импульса света. В от-

рианте магнитостатического эксперимента рис. 2a по

сутствии векторного потенциала волновую функцию

наблюдению эффекта АБ, в середине между плечами

электронов можно записать в виде двух слагаемых,

интерферометра помещается длинный соленоид C,

отвечающих вкладу первого и второго плеч интер-

являющийся источником векторного потенциала A.

ферометра:

В предлагаемом нами варианте рис. 2b в одном

ψ(r, t) = c₁ψ⁰¹(r, t) + c₂ψ⁰²(r, t),

(2)

из плеч перед появлением электронного пакета про-

ходит униполярный импульс 8. Импульс излучения

где c₁, c₂ - нормировочные постоянные. При нали-

опережает появление пакета и не пересекается с

чии векторного потенциала волновая функция при-

ним. Таким образом, пакет должен будет взаимодей-

мет вид:

ствовать с оставленным после импульса постоянным

векторным потенциалом, вследствие чего волновая

ψ(r, t) = c₁ψ⁰¹(r, t) · eiΦ1 + c₂ψ⁰²(r, t) · eiΦ2 ,

(3)

функция электронов должна изменить фазу. В таком

∫

где Φ_1,2 = -^eℏ

A_1,2ds, e - заряд электрона, ℏ - по-

случае на экране 7 произойдет сдвиг полос относи-

стоянная Планка.

тельно их положения в отсутствии импульса, или ес-

В случае бесконечно длинного соленоида, когда

ли импульс еще не пересек зону, где двигается пакет.

потенциал присутствует в каждом плече электронно-

В варианте с магнитным полем, создаваемым

го интерферометра, разность фаз записывают в ви-

длинным соленоидом, соленоид помещался в области

де:

между призмами и волновые пакеты двигались вбли-

∮

зи соленоида, что вызывало взаимодействие движу-

ΔΦ = Φ₁ - Φ₂ = -

Ads.

(4)

ℏ

щегося заряда с движущимися зарядами соленоида и

требовало учета. В случае с униполярной волной си-

В случае, если униполярный импульс действует толь-

туация, в принципе, кажется более простой, посколь-

ко в одном канале, изменится разность фаз у одной

ку нет элементов, влияющих на движение пакета. Во-

волновой функции:

просы может вызвать факт того, что электрическое

∫

(и магнитное) поле отсутствует в области прохожде-

ΔΦ = Φ₂ =

Ads.

(5)

ℏ

ния пакета, поскольку импульс удаляется от области

движения пакета со скоростью света. Эти вопросы

С учетом выражения (1) можно написать выражение

снимаются, если вслед за униполярным импульсом

для оценки сдвига фазы волновой функции:

излучения с задержкой направить другой, с проти-

воположной полярностью. В этом случае сдвиг по-

ΔΦ =

E · T · L.

(6)

ℏ

лос регистрировался бы на конечном временном ин-

тервале. В любом варианте для действия потенциала

Здесь E - средняя напряженность поля в импульсе,

необходимо, чтобы импульс пересек область прохож-

T - длительность импульса, L - длина пути в пле-

дения пакета.

че интерферометра, где присутствует векторный по-

Отметим здесь необычность рассматриваемой си-

тенциал. Импульс длительностью τ = 1 фс со сред-

туации. Действительно, мы должны допустить, что

ней напряженностью поля E = 2.1 кВ/м при длине

интервал между прохождением униполярного им-

L = 1мм даст сдвиг фазы волновой функции, рав-

пульса излучения и электронного пакета может быть

ный π. Светлая полоса в картине электронной интер-

велик, ввиду чего воздействие импульса на волно-

ференции станет темной и наоборот.

вой пакет кажется противоречащим выводам, осно-

Заключение. В работе предложена схема

ванным на физической интуиции. Действительно, в

электронно-оптического варианта эксперимента

эксперименте с соленоидом после выключения тока

для наблюдения эффекта АБ. В ней источником

потенциал пропадает и никакого воздействия на вол-

векторного потенциала, для которого отличный

новые пакеты не происходит. Здесь же нельзя отри-

от нуля потенциал существует в области нулевой

цать, что униполярный импульс оставляет после себя

напряженности электрического поля, является суб-

потенциал, которой не исчезает мгновенно. С этой

цикловый униполярный импульс света с ненулевой

точки зрения, постановка эксперимента отличается

электрической площадью. Крайне непривычно, что

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

Оптический эффект Ааронова-Бома

797

векторный потенциал может существовать в области

пространства, через которую прошел униполярный

Y. Aharonov and D. Bohm, Phys. Rev. 115(3), 485

импульс света. И не столь важно, спустя какое время

(1959).

после прохождения импульса можно будет вклю-

M. Peshkin, The Aharonov-Bohm effect. Part one:

чить электронные пучки, которые зафиксируют

Theory, in The Aharonov-Bohm Effect, Springer, Berlin,

событие прохождения униполярного импульса. Если

Heidelberg (1989), p. 1.

реализация одиночного униполярного импульса

A. Tonomura, The Aharonov-Bohm effect. Part two:

затруднительна, то предлагаемый эксперимент по

Experiment, in The Aharonov-Bohm Effect, Springer,

наблюдению векторного потенциала можно провести

Berlin, Heidelberg (1989), p. 35.

с двумя импульсами противоположной полярности,

Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс, Фейнманов-

проходящими через одно плечо квантового электрон-

ские лекции по физике, Электродинамика, Мир, M.

ного интерферометра. При этом электронную волну

(1977), т. 6 [R. Feynman, R. Leighton, and M. Sands,

следует пропускать между ними. Тогда первый

The Feynman lectures on physics. Electrodynamics,

импульс создаст потенциал, а второй его “сотрет”.

Addison-Wesley, Publ. Co., Massachusetts, Palo Alto,

Оптический эффект АБ будет продемонстрирован

London (1964), v. 2].

без вызывающего сомнения “вечного” потенциала A,

J. Earman, Synthese 196(5), 1991 (2019).

создаваемого униполярным импульсом.

P. M. Архипов, A. В. Пахомов, М. В. Архипов,

Мы пока не обсуждаем технических деталей по-

И. Бабушкин, Ю. А. Толмачев, Н.Н. Розанов,

добного эксперимента, поскольку сама постановка,

Письма в ЖЭТФ 105, 388 (2017) [R. M. Arkhipov,

на наш взгляд, демонстрирует физические особенно-

A. V. Pakhomov, M. V. Arkhipov, I. Babushkin,

сти униполярного света и может вызывать интерес-

Yu. A. Tolmachev, and N. N. Rosanov, JETP Lett. 105,

ную дискуссию вокруг эффекта АБ. Отметим, что

408 (2017)].

существуют предложения по реализации квантово-

Р. М. Архипов, М. В. Архипов, А. А. Шимко, А. В.

го сенсора АБ, предназначенного для бесконтактно-

Пахомов, Н. Н. Розанов, Письма в ЖЭТФ 110, 9

го обнаружения поля по создаваемому им потенциа-

(2019) [R. M. Arkhipov, M. V. Arkhipov, A. A. Shimko,

лу [10]. Развивая идеи применения эффекта АБ, ка-

A. V. Pakhomov, and N.N. Rosanov, JETP Lett. 110,

жется возможным обсуждать голографическую за-

5 (2019)].

пись “следа” импульса излучения в пространстве по

Н. Н. Розанов, Р. М. Архипов, М. В. Архипов, УФН

оставленному им векторному потенциалу, используя

188, 1347 (2018) [N. N. Rosanov, R. M. Arkhipov, and

принципы электронной голографии [11]. В ней, в от-

M. V. Arkhipov, Phys. Usp. 61, 1227 (2018)].

личие от оптической голографии, волны материи бу-

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика.

дут использованы для голографирования света.

Т. 2. Теория поля, Физматлит, М. (2001) [L. D. Landau

Исследование выполнено при финансовой под-

and E. M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields

держке Российского фонда фундаментальных ис-

(Course of Theor. Physics, v. 2) (revised 4th English

следований в рамках научных проектов 20-32-70049

ed., Pergamon Press, N.Y. (1975))].

19-02-00312. Исследования М.В.Архипова под-

10.

M. J. Arman and C. Chase, Aharonov-Bohm sensor,

держаны грантом Российского фонда фундамен-

U.S. Patent # 8, 389, 948. 5 Mar. 2013.

тальных исследований в рамках научного проекта

11.

A. Tonomura, Journal of Physics A: Mathematical and

20-02-00872 А.

Theoretical 43, 354021 (2010).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020