Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 12, с. 798 - 805

Коллективная атомная динамика в резонансной флуоресценции

А. И. Трубилко⁺¹⁾, А. М. Башаров^∗×1)

⁺Санкт-Петербургский университет Государственной противопожарной службы МЧС России, 196105 С.-Петербург, Россия

^∗Национальный исследовательский центр “Курчатовский институт”, 123182 Москва, Россия

^×Московский физико-технический институт, 141701 Долгопрудный, Россия

Поступила в редакцию 4 мая 2020 г.

После переработки 4 мая 2020 г.

Принята к публикации 7 мая 2020 г.

Выявлен новый коллективный эффект в резонансной флоуресценции - при возбуждении атомного

ансамбля когерентным полем высокой интенсивности при критическом числе атомов ансамбля имеет

место сужение боковых и центральной компонент триплета в спектре излучения атомного ансамбля.

DOI: 10.31857/S1234567820120022

1. Введение. В квантовой и нелинейной опти-

хода и два менее интенсивных уширенных сателлита,

ке резонансная флуоресценция отдельного атома и

центральные частоты которых определены частотой

атомного ансамбля относится к фундаментальным

Раби внешнего поля. Такое нелинейное явление опре-

явлениям, что обусловлено первой эксперименталь-

делено динамическим эффектом Штарка расщепле-

ной регистрацией квантового состояния светового

ния атомных уровней во внешнем интенсивном ко-

поля. Действительно, именно при наблюдении рассе-

герентном поле, когда осцилляции Раби модулиру-

янного света в условиях интенсивного возбуждения

ют дипольный момент перехода атома. Полуширины

мощной монохроматической световой волной впер-

некогерентных компонент центрального и побочных

вые регистрировалось излучение, отвечающее анти-

сателлитов различны и определены половиной есте-

группировке фотонов во времени [1, 2]. Это явле-

ственной ширины атомного перехода и ее тремя чет-

ние может быть объяснено только в рамках полного

вертями, соответственно [7, 8].

квантовомеханического описания как атомных, так

Спектральные свойства ансамбля атомов коллек-

и полевых переменных [3]. При рассеянии внешнего

тивно взаимодействующих с внешней когерентной

монохроматического излучения отдельным атомом

волной монохроматической накачки демонстрируют

(разреженной атомной средой) в обычной постанов-

особенности в оптическом спектре при регистрации

ке эксперимента исследуется флуоресцентное излу-

сигнала флуоресценции. В традиционной постановке

чение в направлении, перпендикулярном плоскости,

эксперимента в поле интенсивной накачки, частота

образованной направлением распространения атом-

Раби которой много больше скорости коллективной

ного пучка и возбуждающего его света монохрома-

релаксации системы, спектральные свойства флуо-

тической накачки. В условиях резонансной накачки

ресценции изменяются. Так, центры частот сател-

слабой интенсивности в рассеянном двухуровневым

литов оказываются сдвинуты теперь в обе стороны

атомом излучении регистрируется одиночный высо-

от частоты центрального пика на удвоенную часто-

коинтенсивный пик упругого рассеяния [4]. Он воз-

ту Раби. Когерентная компонента упругого рассея-

никает на частоте резонансного перехода, а его ши-

ния не наблюдается, а интенсивности некогерентных

рина определена спектральной шириной возбуждаю-

компонент триплета квадратичным образом зависят

щего света и может быть много меньше естественной

от числа атомов в ансамбле [9, 10]. Спектр резонанс-

ширины линии атомного перехода. При увеличении

ной флуоресценции, наблюдаемый под углом к плос-

интенсивности внешнего поля когерентной накачки в

кости взаимодействия с волной накачки, может вы-

рассеянном одиночным атомом излучении регистри-

являть опосредованные дальнодействующие взаимо-

руется известный триплет Моллоу [5, 6], представля-

действия между атомами, что свидетельствует о ко-

ющий собой наряду с упругой компонентой, также

оперативных эффектах в нем даже при низких атом-

уширенный компонент на центральной частоте пере-

ных плотностях [11]. Оптический спектр рассеянного

излучения зависит и от свойств окружения ансам-

¹⁾e-mail: trubilko.andrey@gmail.com; basharov@gmail.com

бля [12], что наиболее полно проявляется при воз-

798

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

Коллективная атомная динамика в резонансной флуоресценции

799

буждении полями высокой интенсивности. Именно

В работах [23, 24] было показано, что кванто-

поэтому резонансная флуоресценция служит доста-

вый считывающий процесс, во-первых, определяет

точно мощным экспериментальным спектроскопиче-

штарковское взаимодействие атомов с квантованным

ским методом исследования, например, при исследо-

вакуумным широкополосным электромагнитным по-

вании взаимодействии атома с плазмонными наноча-

лем, и, во-вторых, несмотря на малость второго по-

стицами [13] и при изучении свойств ультрахолодно-

рядка по константе взаимодействия, играет равно-

го атомного ансамбля [14].

правную роль с рождающим и уничтожающим про-

Изменения в описанной картине, как теоретиче-

цессами первого порядка в ансамблях одинаковых

ски предсказанные, так и экспериментально зареги-

квантовых частиц при достаточном числе частиц ан-

стрированные, свидетельствуют о высокой чустви-

самбля (порядка сотни). Здесь проявляется замеча-

тельности спектра резонансной флуоресценции к

тельное считывающее свойство, обнаруженное Хад-

проявлениям новых механизмов электромагнитных

соном и Партасарати и характерное для кванто-

взаимодействий атомов. При этом характерным при-

вых случайных процессов. Заметим, что считыва-

знаком служит изменение ширин и положений спек-

ющее свойство классического процесса, выделяет в

тра флуоресценции. Мы показываем, что возмож-

классической теории вероятностей и случайных про-

ны условия, при которых в оптическом спектре рас-

цессов такой фундаментальный процесс, как пуас-

сеяния некогерентные части триплетной структуры

соновский, который широко используется для опи-

сужаются и принимают дельтаобразный вид. Это

сания постулата редукции фон Неймана и измери-

является весьма резкой перестройкой уже ставшей

тельных процедур (см., например, [25, 26]). Счи-

стандартной картины резонансной флуоресценции.

тывающее свойство в квантовом случае определя-

Такая перестройка обусловлена ролью фундамен-

ет новые эффекты подавления коллективной релак-

тального квантового процесса, предсказанного еще

сации атомного ансамбля или замораживание со-

в 1984 г. [15], но до недавнего времени не имевшего

стояния системы в условиях, когда число атомов

проявлений в квантовой динамике.

определяется определенным критическим значени-

ем. В ряде наших работ [27, 28] показано проявле-

В работах [15-17] показано, что в случае участия

ние учета обсуждаемого стохастического процесса,

в квантовых процессах широкополосных бозонных

приводящие к изменению формы и времени задерж-

полей три фундаментальных процесса играют рав-

ки импульса сверхизлучения полностью возбужден-

ноправную роль. Их составляют известные кванто-

ного и полувозбужденного симметричного атомного

вые рождающий и уничтожающий процессы, а также

считывающий квантовый случайный процесс. Пер-

ансамбля в обобщенной модели Дике. Аналогичные

проявления изменения временных характеристик и

вые два в традиционных задачах ассоциируются с

операторами рождения и уничтожения квантов и

формы низкочастотного терагерцового излучения

ансамблей атомов, обладающих начальным постоян-

уже достаточно широко вошли в аппарат квантовой

оптики [18]. Считывающий процесс и его роль в про-

ным дипольным моментом, исследовано в [29].

цессах измерения и фоторегистрации обсуждались в

Именно роль считывающего процесса в атомном

работах [19, 20]. Также были проведены исследова-

ансамбле и определило, как показано в представ-

ния по проявлению квантового считывающего про-

ляемой нами работе, своеобразие резонансной флу-

цесса в столкновительных моделях квантовых час-

оресценции атомного ансамбля. Для описания та-

тиц [21]. Что касается самих электромагнитных вза-

кой динамики, называемой невинеровской, необхо-

имодействий, то с обычной точки зрения квантовые

димо адекватно учитывать как резонансные процес-

считывающие процессы могли бы проявиться только

сы взаимодействия с широкополосным вакуумным

во втором порядке теории возмущений, и, возмож-

окружением, так и процессы нерезонансного штар-

но поэтому, изначально отвергалась какая-либо роль

ковского взаимодействия [30]. Кинетическое уравне-

подобных слагаемых второго порядка в оптических

ние для коллектива атомов удается получить в мар-

электромагнитных процессах, в частности, в основ-

ковском приближении, используя технику построе-

ном управляющем кинетическом уравнении [22]. Хо-

ния стохастических дифференциальных уравнений

тя общий вид кинетического уравнения при участии

(СДУ). В рамках традиционного рассмотрения, для

всех трех квантовых случайных процессов получен

построения кинетического уравнения методами СДУ

в 1991 г. [17], до работ [23, 24] не был ясен физиче-

и другими методами [10], используется стандартный

ский механизм, лежащий в основе проявления кван-

эффективный гамильтониан, записанный в прибли-

тового считывающего процесса в электромагнитных

жении вращающейся волны, отвечающий только ре-

взаимодействиях.

зонансным процессам взаимодействия атомов с окру-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

800

А. И. Трубилко, А. М. Башаров

жения [18, 31]. Однако такое взаимодействие опреде-

ской классической волной частотой ω_c и внешним

ляет только порождающий и уничтожающий кван-

квантованным широкополосным полем, сводится к

товые управляющие стохастические процессы. По-

двухуровневому приближению, где с указанными по-

лучение в рамках исходного полного гамильтониа-

лями эффективо взаимодействуют только два энер-

на эффективного гамильтониана методом алгебраи-

гетических состояния |E⁽ⁱ⁾²〉 и |E⁽ⁱ⁾¹〉 i-го атома, часто-

ческой теории возмущений [32] позволяет естествен-

ту перехода между которыми обозначим ω₀ = ω₂₁ =

(

)

ным образом, без каких-либо дополнительных пред-

E₂ - E₁

/ℏ. Как оказывается, другие уровни ато-

положений наряду с резонансными процессами вза-

мов в конечном итоге только эффективно перенор-

имодействия с вакуумным окружением, учитывать

мируют параметры взаимодействия. Для описания

также и нерезонансные. До сих пор такие процессы

атомной системы используем коллективные атомные

не учитывались в рамках уже ставшей традиционной

операторы

теории резонансной флуоресценции. Однако именно

(

)

1∑

такие процессы и формируют считывающий кванто-

R₃ =

|E⁽ⁱ⁾²〉〈E⁽ⁱ⁾²| - |E⁽ⁱ⁾¹〉〈E⁽ⁱ⁾¹|

вый процесс.

∑

2. Кинетическое уравнение для атомной си-

R⁺ =

|E⁽ⁱ⁾²〉〈E⁽ⁱ⁾¹|, R^- =

|E⁽ⁱ⁾¹〉〈E⁽ⁱ⁾²|,

стемы. Будем предполагать стандартную постанов-

ку эксперимента по наблюдению света флуоресцен-

[оторые] отвечают [коммут]ционным соотношениям

ции от атомного ансамбля. Последний представляет

R₃; R^±

= ±R^±, R⁺; R^-

= 2R₃. Эти операторы

собой атомный кластер, содержащий N_a одинаковых

вместе с единичным оператором двухуровневой си-

атомов, распространяющийся в некотором направ-

∑

стемы

(|E⁽ⁱ⁾²〉〈E⁽ⁱ⁾²| + |E⁽ⁱ⁾¹〉〈E⁽ⁱ⁾¹|) являются об-

лении. Лазерный луч монохроматической классиче-

разующими алгебры su(2).

ской волны накачки действует на атомный ансамбль,

Будем считать, что атомный ансамбль взаимо-

причем область взаимодействия считаем много мень-

действует с полем монохроматической классической

шей всех характерных длин волн в задаче. Рассе-

волны и широкополосным полем вакуумного окру-

янное излучение анализируется детектором, место-

жения электродипольно. В этих условиях оператор

положение которого определено направлением, пер-

эффективного взаимодействия в представлении вза-

пендикулярным плоскости распространения свето-

имодействия, с учетом как резонасных, так и нере-

вой волны и атомного кластера, а сбор информации

зонансных процессов определяется следующим вы-

предполагается в дальней зоне. В таких условиях до-

ражением:

пплеровским уширением линии можно пренебречь.

Чтобы вывести кинетическое уравнение для от-

V (t) = V_cl(t) + V_q(t) + V_c-q(t).

(1)

крытой системы воспользуемся методом алгебраиче-

Здесь первое слагаемое

ской теории возмущений [32] для построения эффек-

(

)

тивного гамильтониана задачи. Основная идея мето-

V_cl(t) = - E₀d₁₂R⁺e-i(ωc-ω0)t + h.c.

(2)

да состоит в определении выражения для оператора

эффективного взаимодействия, которое не содержит

отвечает резонансному взаимодействию монохрома-

быстро осциллирующих во времени слагаемых. Та-

тической классической волны с коллективом двух-

кая программа построения исходных уравнений до

уровневых атомов, для которых частота рабочего

недавнего времени не ставилась разработчиками тео-

перехода ω₀ переопределена с учетом статического

рии открытых квантовых систем, но только она от-

штарковского сдвига уровней энергии во внешнем

вечает в локальном подходе иерархии характерных

классическом поле и лэмбовского сдвига от взаимо-

времен оптических квантовых систем [33]. Задача ре-

действия с квантованным широкополосным вакуум-

шается путем определения унитарного преобразова-

ным полем. Такие сдвиги отвечают второму порядку

ния, применяемого как к вектору состояния, описы-

взаимодействия с указанными полями, мы включа-

вающему эволюцию всей системы, так и к исходному

ем их в рассмотрение обычной перенормировкой и

гамильтониану. Унитарная симметрия квантовой ди-

явный вид не приводим. В уравнении (2) E₀ - ампли-

намики позволяет определить такой вид оператора

туда классической волны накачки, а d_kj = 〈k

d|j〉 -

преобразования, последующее применение которого

матричные элементы оператора дипольного момента

к найденному выражению эффективного взаимодей-

атома.

ствия не изменяет последний.

Второе слагаемое (1) описывает взаимодействие

Динамика атомной в общем случае многоуровне-

атомной системы с квантованным бозонным окруже-

вой системы при взаимодействии с монохроматиче-

нием в вакуумном состоянии

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

Коллективная атомная динамика в резонансной флуоресценции

801

∫

широкополосного квантованного поля окружения с

V_q(t) = dωΓ(ω)b^†(ω)d₁₂ei(ω-ω21)t)R^- + h.c. +

атомной системой.

∫

Считаем далее выполенными условия марковско-

+V^D-D(t)+ dωdω^′Γ(ω)Γ(ω^′)b^†(ω)b(ω^′)ei(ω-ω′)t ×

го приближения [17, 31]

(

)

N_a

× Π₊(ω, ω^′)

+ Π_-(ω,ω^′)R3 ,

(3)

Γ(ω) = const, Π_±(ω, ω^′) = const,

〈b(ω)b^†(ω^′)〉 = δ(ω - ω^′).

∑

)

|d_kj |² (

Перейдем к безразмерному времени τ = ω₂₁t, нор-

Π_k(ω) =

ℏ ω_kj +ω

ω_kj - ω

мированным частотам и введем операторы b(ν) =

[

]

√ω₀b(ω). В этом случае уравнение для операто-

Π_±(ω, ω^′) =

(Π₁(ω) + Π₁(ω^′)) ± (Π₂(ω) + Π₂(ω^′)) .

ра эволюции системы, определяемое приведенным

эффективным гамильтонианом (1), становится кор-

Нетрудно видеть, что оператор (3) включает как сла-

ректным только, если его воспринимать как кванто-

гаемые первого порядка по взаимодействию кванто-

вое стохастическое дифференциальное уравнение

ванного поля с атомной системой, описывающие ре-

dU(τ, τ₀) = U(τ + dτ, τ₀) - U(τ, τ₀) =

зонансные процессы взаимодействия, так и второ-

(

)

го порядка, отвечающие нерезонансному характеру

= exp(-iV (τ)dτ) - 1 U(τ, τ₀)

процессов взаимодействия. Здесь h.c. обозначает вы-

ражение, эрмитово сопряженное предыдущему, а

с начальным условием U(τ₀, τ₀) = 1. Выражение

∫

)

V (τ)dτ = V_cl(τ)dτ + V ^D-D(τ)dτ +

Γ²(ω)|d₂₁|² (

V^D-D(t) = - dω

R^-R⁺ + R⁺R^-

-N_a

ℏ(ω + ω₀)

+ Y ⁺dB(τ) + Y ^-dB⁺(τ) + Y_ΛdΛ(τ),

(5)

является оператором диполь-дипольного взаимодей-

определяет представление эффективного гамильто-

ствия атомов, лэмбовские и стационарные штарков-

ниана в виде дифференциалов Ито основных порож-

ские сдвиги включены в частоты атомных переходов.

дающего B⁺(τ), уничтожающего B(τ) и считываю-

Следует особо подчеркнуть, что при применении ал-

щего Λ(τ) квантовых случайных процессов:

гебраической теории возмущений и электродиполь-

∫ ∞

ной форме оператора взаимодействия квантовой час-

b(τ) =

√

dνe^-i(ν-1)τ b(ν),

2π

-∞

тицы с полями это слагаемое появляется естествен-

∫ τ

ным образом и не требует привлечения каких-либо

B^-(τ) =

dτ^′b(τ^′), Λ(τ) =

dτ^′b^†(τ^′)b(τ^′).

дополнительных искусственных допущений и сооб-

ражений, как это происходит при применении дру-

В условиях вакуумного состояния окружения диф-

гих методов описания. Представленное выражение

ференциалы Ито определяют свойства алгебры

учитывает влияние всех уровней атомной системы на

Хадсона-Партасарати

[15], которая позволяет в

выделенные уровни перехода, где частоты переходов

решении просуммировать во всех порядках ряды

между атомными квантовыми уровнями |E_k〉 и |E_j 〉

обычной теории возмущений. Операторозначные

(

)

обозначены стандартные образом ω_kj =

E_k -E_j

/ℏ.

выражения перед соответствующими дифференциа-

Геометрический параметр Γ(ω) определяет взаимо-

лами времени и инкрементами случайных процессов

действия открытой системы и окружающего ваку-

в (5) можно записать в виде

умного электромагнитного поля [8, 23]. Операторы

V_cl(τ) = ΩR⁺e-i(νc-1)τ + h.c.,

(

)

]

V^D-D(τ) = -κ R^-R⁺ + R⁺R^-

-N_a ,

кванты частоты ω, причем b(ω), b^†(ω^′) = δ(ω - ω′).

Наконец, последний билинейный оператор урав-

( N_a

)

Y⁺ = χR⁺ + ξ

η₊

+η_-R₃

E^∗0,

нения (1)

( N_a

)

∫

Y^- = χR^- + ξ

η₊

+η_-R₃

E₀,

V_c-q(t) = dω^′E^∗0b(ω^′)Γ(ω^′)e-i(ω′-ωc)t ×

N_a

(

)

Y_Λ = η₊

+η_-R₃,

N_a

× Π₊(ω, ω^′)

+ Π_-(ω, ω^′)R3

+ h.c.,

(4)

где Ω = (|E₀d₂₁|)/(ℏω₂₁) - безразмерная частота Ра-

отвечает интерференционному характеру взаимо-

би возбуждающего внешнего классического поля, и

действия классической монхроматической волны и

введены следующие обозначения:

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

802

А. И. Трубилко, А. М. Башаров

√

[

]

2πΓ(ω₀)d₂₁

2π

тивной динамикой ансамбля в поле сильной моно-

χ=

, η_± =

Γ²(ω₀) Π₂(ω₀) ± Π₁(ω₀) ,

ℏ√ω0

ℏ

хроматической волны накачки, резонансной атомно-

∫

Γ(ω₀)

|χ|²

му переходу, и наблюдаемый в спектре флуоресцен-

ξ = (2π)^-3/2

κ = dν

ции.

√ω₀ ,

2π(ν + 1)

Для простоты будем анализировать излучение

Кинетическое уравнение для матрицы плотности

ансамбля, атомы которого имеют практически оди-

коллектива атомов в поле внешней когерентной вол-

наковые константы штарковского взаимодействия

ны получается усреднением вектора состояния систе-

обоих рабочих уровней и, следовательно, параметр

мы по вакуумному состоянию окружения. Приведем

η₊ ≫ η_-. Кроме того, будем считать, что частота

его окончательный вид в условиях резонансного вза-

Раби когерентной волны накачки много больше кон-

имодействия внешней монохроматической волны и

стант релаксации Ω ≫ |χ|². В этих условиях стацио-

атомного ансамбля

нарное решение кинетического уравнения описывает

состояние с одинаковыми населенностями рассмат-

[

]

[

]

∂ρ^A

риваемых рабочих уровней. Для описания системы

= -i V_cl(τ), ρA - i V D-D(τ),ρA +

∂τ

из N_a = 2r атомов используем базис Дике, базисные

(

Y + iR

+ |χ|2 R+

R^-ρ^A +

функции которого |m〉 образуют (2r+1)-мерное пред-

R²

ставление алгебры момента с генераторами R₃

иR^±,

†

)

√

Y^† - iR

R^±|m〉 =

(r ∓ m)(r ± m + 1)|m±1〉, R₃|m〉 = m|m〉,

+ρ^AR⁺

R^- +

R^-ρ^AR⁺

R²

)

являясь собственными векторами операторов Кази-

((

)

(

)

- ξ²|E₀|2

Y + iR

ρ^A + ρ^A

Y^† - iR

+ Yρ^AY^† . (6)

мира R² =¹² (R⁺R^- + R^-R⁺) +¹⁴ R²³ и инверсии R₃.

В этом случае матрица плотности стационарного со-

Здесь первое слагаемое правой части описывает уни-

стояния атомной системы имеет вид

тарную динамику взаимодействия атомной системы

∑

с полем классической монохроматической волны, а

ρ^Ast =

|m〉〈m|.

2r + 1

второе отвечает диполь-диполному взаимодействию

m=-r

между атомами ансамбля. Третье слагаемое опре-

Нетрудно вычислить следующие стационарные сред-

делено взаимодействием атомной системы с широ-

ние атомного ансамбля в этом состоянии

кополосным полем бозонного термостата в вакуум-

(

)

ном состоянии. Оно описывает коллективную релак-

N²

〈R₃〉_st = 〈R^±〉_st = 0, 〈R²³〉_st =

+N_a ,

сацию атомной системы и имеет вид релаксационно-

)

го оператора Лимблада, содержащего и релаксаци-

(N^2a

〈R⁺R^-〉_st =¹

+N_a ,

(7)

онное движение квантовых уровней [17, 23]. Коллек-

тивные операторы релак

(

)

которые являются начальными условиями для урав-

(

)

розначные функции Y = exp

- iR

-1 , которые,

нений, определяющих оптический спектр рассеянно-

наряду с порождающим и уничтожающим кванто-

го излучения.

выми процессами, продуцированы и квантовым счи-

В приближении интенсивной накачки диполь-

тывающим процессом. Последний определен в опера-

дипольное взаимодействие может приводить лишь к

торе эффективного взаимодействия слагаемыми вто-

незначительному изменению храктеристических час-

рого порядка по константе взаимодействия атомов с

тот системы, поэтому в дальнейших расчетах его бу-

полем. Их следует понимать как разложения в ряд

дем игнорировать. Так же может быть опущено и

(

)

по оператору R =

. Наконец последнее

последнее слагаемое, обязанное интерференционно-

η+Na2^+η-^R3

слагаемое в (6) описывает релаксационную часть, по-

му взаимодействию обоих рассматриваемых полей на

рождаемую интерференцией классической монохро-

атомной системе. В выбранных условиях оно опре-

матической волны и бозонного широкополосного по-

делено операторозначными функциями, зависящими

ля термостата на атомной системе.

только от числа атомов, а, следовательно, коммути-

3. Резонансная флуоресценция атомного

рующими со всеми операторами от образующих, ко-

ансамбля в поле сильной классической волны.

торые и определяют интересующие средние. В ито-

В общем случае решение уравнения (6) представляет

ге матрица плотности открытой системы определе-

собой трудную задачу, и по-видимому, не имеет ана-

на уравнением (6), в правой части которого оста-

литического решения. Здесь мы обсудим решение в

ются только первое и третье слагаемые, а оператор

важном частном случае, который, однако, в полной

R = η₊(N_a/2). Это уравнение можно решить пу-

мере выявляет новый эффект, порожденный коллек-

тем применения к атомным операторам унитарной

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

Коллективная атомная динамика в резонансной флуоресценции

803

[

операции поворота, приводящей к замене R_x → S_z,

(

)

g(ω) ∝¹⁸ γ(N_a)N_a(N_a + 2)

R_y

→ S_x, R³ → S_y, где R_x = (1/2)

R⁺ + R^-

ω² + γ²(N_a)

(

)

]

R_y = (1/2i)

R⁺ - R^-

. Операторы R, S подчиня-

(10)

ются стандартны

(ω - 2Ω)² + γ²(N_a)

[

]

алгебры момента G_i, G_j

= ǫ_ijkG_k, а ǫ_ijk - тензор

Леви-Чивита. Новая атомная матрица плотности P

На рисунке 1 приведен результат нормированной

атомного ансамбля в секулярном приближении опи-

интенсивности G(ω)

= g(ω)/〈R⁺R^-〉_st оптическо-

сывает только медленную динамику ансамбля и под-

го спектра коллективного рассеяния в интенсивоном

чиняется кинетическому уравнению

поле классической накачки при значении парамет-

ра η₊N_a/2 = 2π. Частота на рисунке определена в

[

]

∂P

единицах безразмерной частоты Раби. Нетривиаль-

= -i2Ω S_z, P

∂τ

ная зависимость коллективной скорости релаксации

(

системы приводит к зависимости как ширин линий

+ γ(N) S_zS_zP + PS_zS_z - 2S_zPS_z +

резонансного излучения от числа атомов в ансамбле,

)

(

)

S⁺S^-P + S^-S⁺P + S^-PS⁺ + S⁺PS^- + h.c.

, (8)

так и абсолютных значений интенсивности этих ли-

ний, что продемонстировано во вкладке к рисунку.

в котором скорость коллективной релаксации систе-

С ростом числа атомов в ансамбле, ширины некоге-

мы оказывается промодулирована осцилляционным

рентных составляющих триплетной структуры спек-

слагаемым, зависящим от числа атомов в ансамбле

тра существенно сужаются и вырождаются в дель-

та функции. Отметим, что из-за периодичности по-

1 - cos(η_-

)

ведения скорости коллективной релаксации атомной

γ(N_a) = |χ|²

системы от числа атомов в ансамбле, такая структу-

)²

(η-Na2

ра будет наблюдаться при всех критических значе-

Из уравнения (8) следуют линейно независи-

ниях атомов ансамбля, когда и происходит замора-

мые уравнения на средние от операторов наблюда-

живание состояния системы. При изменениях числа

емых, решения которых согласно квантовой теоре-

N_a от одного критического значения до последую-

ме регрессии, определяют и необходимые для рас-

щего, ширины линий излучений в спектре вначале

чета оптического спектра рассеянного излучения

уширяются, достигая максимального зачения, а за-

корреляционные функции. Начальными условиями

тем вновь уменьшаются. Это означает, что наблюде-

для отыскания последних являются соответствую-

ние сужения ширины линии флуоресценции коллек-

щие средние от преобразованных операторов и мат-

тива атомов и непосредственная регистрация три-

рицы плотности стационарного состояния системы.

плета из “бесконечно узких” линий свидетельствует

Выполняя обратный переход к исходным операторам

о проявлении нерезонансного взаимодействия систем

атомной системы, приведем явный вид корреляцион-

или невинеровской динамике атомного ансамбля.

ной функции в стационарном состоянии

Заметим, что мы представили самый яркий вывод

из модельной ситуации, когда штарковские сдвиги

резонансных уровней равны, а число атомов - кри-

lim

〈R⁺(t + τ)R^-(t)〉 =

N_a(N_a + 2)

e-γ(Na)τ +

t→∞

тическое. В чисто двухуровневой квантовой систе-

)

ме, например, спиновой в магнитном поле, такое со-

e-(2iΩ+2 γ(Na))τ +

e(2iΩ-2 γ(Na))τ

(9)

отношение штарковских сдвигов в принципе невоз-

можно, поскольку для чисто двухуровневых систем

фурье-образ которой и определяет оптический

выполнено обратное соотношение - сумма парамет-

спектр

ров штарковских сдвигов, называемые здесь сдви-

∫ ∞

гами Блоха-Сигерта [34], равна нулю. Поэтому для

g(ω) ∝ 2Re

dτ lim 〈R⁺(t + τ)R^-(t)〉e^-iωτ

t→∞

реализации условий модели важно наличие у кван-

товых частиц нерезонансных уровней. Но это лишь

искомого излучения. Он представляет собой три-

одна сторона модельной ситуации. Другая сторо-

плетную структуру лоренцевых контуров из интен-

на связана с величиной критического значения чис-

сивного центрального пика на частоте атомного пе-

ла частиц. Критическое значение тем меньше, чем

рехода и двух сателлитов, центры которых сдвинуты

больше параметр штарковского взаимодействия, ко-

вправо и влево относительно центральной частоты

торый, однако, определяет слагаемое второго поряд-

на удвоенную частоту Раби

ка малости. Поэтому максимально возможное значе-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

6^∗

804

А. И. Трубилко, А. М. Башаров

Рис. 1. Нормированный спектр резонансной флуоресценции атомного ансамбля. Частота определена обезразмеренной

частотой Раби поля монохроматической волны накачки. Параметр штарковского взаимодействия равен критическому

значению η+Na2 = 2π. На вкладке представлены нормированные спектры при значениях этого параметра, равного 1 -

штрих-пунктирная кривая и 4 - пунктир

ние параметра штарковского взаимодействия опре-

стройки спектра квантовых частиц в сильных вспо-

деляется тем, существуют ли нерезонансные уровни

могательных статических электрических и/или маг-

квантовой частицы с сильным оптическим перехо-

нитных полях. Возможными кандидатами для реа-

дом на рассматриваемые резонансные уровни и на-

лизаций условий применимости полученного модель-

сколько близко они расположены к положению фик-

ного решения могут служить молекулы и частицы,

тивных уровней, реализующим двойные резонансы

в которых рассматриваемая ситуация относится к

в рассматриваемой системе [32]. Минимальная воз-

колебательно-вращательным переходам. Требуемые

можная здесь отстройка должна на пару порядков

квазирезонансные уровни здесь есть всегда в силу

превышать естественную ширину линии резонансно-

колебательной природы квантового перехода, а до-

го перехода. Лишний порядок появляется из-за при-

полнительные статические электрические и магнит-

нятого нами соотношения между частотой Раби и

ные поля могут быть использованы для уменьшения

естественной шириной линии. Это приводит к кри-

критического числа частиц. Но здесь ситуация сме-

тическому значению числа частиц порядка 10²-10³.

щается в сторону инфракрасного и микроволново-

Ослабление требования к частоте Раби уменьшает

го диапазонов, например, для колебаний водорода.

это значение. В типичных “оптических” частицах -

К тому же, в колебательно-вращательных перехо-

редкоземельных атомах и ионах - о наличии соответ-

дах появляются механизмы не радиационной релак-

ствующих переходов говорить затруднительно. Во

сации, которые, впрочем, могут быть дополнитель-

всяком случае, в отсутствии дополнительной пере-

но учтены в рамках предложенного подхода. Можно

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

Коллективная атомная динамика в резонансной флуоресценции

805

поставить вопрос о моделировании идеальной ситу-

А. В. Дорофеенко, A. A. Лисянский, Письма в

ации в ансамблях квантовых точек. Однако важно

ЖЭТФ 97, 522 (2013).

подчеркнуть, что и в отсутствие идеальных условий

14.

S. L. Bromley, B. Zhu, M. Bishof, X. Zhang, T. Bothwell,

для наблюдения обнаруженного нами эффекта, ме-

J. Schachenmayer, J. T. L. Nicholson, R. Kaiser,

S. F. Yelin, M. D. Lukin, A.M. Rey, and J. Ye, Nat.

ханизм, основанный на считывающем эффекте штар-

Commun. 7, 11039 (2016).

ковского взаимодействия, необходимо учитывать, и

15.

R. L. Hudson and K. R. Parthasarathy, Comm. Math.

его вклад уже будет определяться реальным числом

Phys. 93, 301 (1984).

частиц, задействованных в эксперименте. При этом

16.

В. П. Белавкин, УМН 47, 47 (1992).

несущественность неоднородного уширения линии в

17.

А. С. Холево, Квантовая вероятность и квантовая

резонансной флуоресценции делает этот эффект од-

статистика, Итоги науки и техн. Совр. пробл. мате-

ним из основных в исследованиях невинеровскй ди-

матики. Фунд. Направления, ВИНИТИ 83, 3 (1991).

намики атомов.

18.

C. W. Gardiner and P. Zoller, Quantum noise, Springer-

Verlag, Berlin (2000).

1. H. J. Kimble, M. Degenais, and L. Mandel, Phys. Rev.

19.

A. Barchielli, Phys. Rev. A 34, 1642 (1986).

Lett. 39, 691 (1977).

20.

A. Barchielli, Quantum Opt. 2, 423 (1990).

2. M. Degenais and L. Mandel, Phys. Rev. A 18, 2217

21.

A. N. Pechen, J. Math. Phys. 45, 400 (2004).

(1977).

22.

К. Блум, Теория матрицы плотности и ее прило-

3. H. J. Kimble, M. Degenais, and L. Mandel, Phys. Rev.

A 18, 201 (1978).

жения, Мир, М. (1983).

4. В. Гайтлер, Квантовая теория излучения, Ино-

23.

A. M. Basharov, Phys. Rev. A 84, 013801 (2011).

странная литература, М. (1957).

24.

А. М. Башаров, Письма в ЖЭТФ 94, 28 (2011).

5. С. Г. Раутиан, И. И. Собельман, ЖЭТФ

41,

456

25.

A. Barchielli and V.P. Belavkin, J. Phys. A 24, 1495

(1961).

(1991).

6. B. R. Mollow, Phys. Rev. 188, 1969 (1969).

26.

А. М. Башаров, Письма в ЖЭТФ 109, 699 (2019).

7. Л. Мандель, Э. Вольф, Оптическая когерентность

27.

А. И. Трубилко, А. М. Башаров, Письма в ЖЭТФ

и квантовая оптика, Физматлит, М. (2000).

109, 75 (2019).

8. М. О. Скалли, М. С. Зубайри, Квантовая оптика,

28.

А. И. Трубилко, А. М. Башаров, ЖЭТФ 155, 654

Физматлит, М. (2003).

(2019).

9. G. S. Agarwal, L. N. Narducci, and D. Hsun Feng, Phys.

29.

А. М. Башаров, А. И. Трубилко, ЖЭТФ 157, 991

Rev. Lett. 42, 1260 (1979).

(2020).

10. G. Compagno and F.Persico, Phys. Rev. A 25, 3138

30.

А. М. Башаров, ЖЭТФ 142, 419 (2012).

(1982).

31.

C. W. Gardiner and M. J. Collet, Phys. Rev. A 31, 3761

11. L. Pucci, A. Roy, T. S. do Espirito Santo, R. Kaiser,

(1985).

V. Kastner, and R. Bachelard, Phys. Rev. A 95, 053625

32.

A. I. Maimistov and A. M. Basharov, Nonlinear optical

(2017).

waves, Kluwer Academic, Dordrecht (1999).

12. Р. А. Власов, А. М. Лемза, М. Г. Гладуш, Прикладная

33.

А. И. Трубилко, А. М. Башаров, Письма в ЖЭТФ

спектроскопия 80, 711 (2013).

111, 632 (2020).

13. Е. С. Андрианов, А. А. Пухов, А. П. Виноградов,

34.

F. Bloch and A. Siegert, Phys. Rev. 57, 522 (1940).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020