Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 12, с. 820 - 825

РККИ-взаимодействие в одномерном кристалле с беспорядком и

температурой

К.А.Барышников¹⁾, И.В.Крайнов

Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе РАН, 194021 С.-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 18 апреля 2020 г.

После переработки 3 мая 2020 г.

Принята к публикации 4 мая 2020 г.

Получено аналитическое выражение для энергии косвенного обменного взаимодействия двух маг-

нитных примесей в одномерном кристалле с учетом наличия как беспорядка, так и температуры. Вклю-

чение даже слабого беспорядка в одномерном кристалле приводит к локализации носителей заряда в

нем, и, как следствие, к подавлению дальнодействующего косвенного обменного взаимодействия (РККИ-

взаимодействия) между двумя магнитными примесями на длине локализации носителей заряда. Увели-

чение температуры, в свою очередь, приводит к исчезновению когерентности электронной плотности, за

счет которой обеспечивается РККИ-взаимодействие. Показано, что оба эти эффекта оказывают влияние

независимо друг от друга и приводят к экспоненциальному подавлению величины обменного взаимодей-

ствия с увеличением расстояния между примесями. Другое важное проявление беспорядка заключается

в изменении степенной зависимости от расстояния между примесями: взаимодействие РККИ спадает с

расстоянием быстрее, чем 1/r.

DOI: 10.31857/S1234567820120071

В настоящий момент прогресс в нанотехноло-

В одномерном кристалле наличие беспорядка яв-

гии вызвал большой интерес к теоретическим и экс-

ляется критичным для интерференционных эффек-

периментальным исследованиям cвойств одномер-

тов, поскольку беспорядок приводит к локализации

ных систем с магнитными примесями [1-6]. Ключе-

всех носителей заряда [12, 13]. В то время как при

вым вопросом является взаимодействие и упорядоче-

отсутствии беспорядка РККИ-взаимодействие даль-

ние таких центров. Косвенное обменное взаимодей-

нодействующее и падает с расстоянием как 1/r, ло-

ствие (Рудермана-Киттеля-Касуя-Иосиды, РККИ-

кализация приводит к резкому ослаблению взаимо-

взаимодействие) [7] является одним из основных ме-

действия магнитных центров с расстоянием между

ханизмов взаимодействия магнитных центров в ме-

ними, что было показано с помощью численного рас-

таллах и полупроводниках. Оно было хорошо изу-

чета восприимчивости магнитных центров в таких

чено для систем с идеальным вырожденным элек-

кристаллах [14]. Одномерные системы сильно отли-

тронным газом различной размерности [8] как для

чаются от систем с большей размерностью. Усредне-

квадратичного спектра, так и для линейного спек-

ние по слабому беспорядку в 2D и 3D системах при-

тра в графене [9, 10] и в углеродных нанотруб-

водит к экспоненциальному подавлению косвенного

ках [11]. РККИ-взаимодействие появляется за счет

обмена, из-за потери когерентности. Однако, как бы-

спин-зависимого рассеяния электронов в кристалле

ло показано в работах [15, 16], при усреднении сред-

на магнитных центрах и интерференции рассеянных

него квадрата константы обменного взаимодействия

волн в точке других центров. В связи с этим, важ-

экспоненциального подавления не происходит. Это

ным условием наличия такого взаимодействия явля-

связанно с появлением так называемой “диффузион-

ется когерентность электронной спиновой плотности

ной лестницы” при усреднении квадратичной вели-

в разных точках кристалла. Однако данное условие

чины. Так же появляются интерференционные по-

начинает нарушаться при появлении температурно-

правки, аналогичные слабой локализации, но при-

го размытия состояний в системе, а включение бес-

водящие к увеличению дисперсии косвенного обме-

порядка приводит к существенному изменению ин-

на в системе с беспорядком по сравнению с чистой

терференции рассеянных волн.

системой. В одномерных системах поправки, связан-

ные с рассеянием назад, не могут быть учтены по

теории возмущений, так как приводят к расходимо-

стям, что связано с локализацией. В связи с этим в

¹⁾e-mail: barysh.1989@gmail.com

820

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

РККИ-взаимодействие в одномерном кристалле с беспорядком и температурой

821

одномерных системах учет бепорядка не может быть

косвенного обменного взаимодействия сводится к вы-

сделан в рамках теории возмущений по беспорядку.

числению энергий электронного газа с параллельной

Как будет показано ниже, из-за корреляции огибаю-

и антипараллельной ориентацией спинов магнитных

щих волновых функций локализованных состояний

центров

изменяется стандартная ∼ 1/r степеная зависимость

РККИ-взаимодействия от расстояния. Другим важ-

E_II(r) =

(E_↑↑ - E_↑↓).

(3)

2I₁I₂

ным фактором, влияющим на косвенное обменное

взаимодействие, является температура, приводящая

Вычисление энергии электронного газа при фикси-

к сбою фазы электронов и изменению заселенности

рованной ориентации примесей необходимо произво-

уровней энергии в системе. Однако до сих пор не ис-

дить до второго порядка теории возмущений по по-

следовалось одновременное влияние этих факторов

тенциалу взаимодействия с примесями (1). Из вида

на РККИ-взаимодействие.

эффективного гамильтониана (2) можно заключить,

Целью настоящего сообщения является иссле-

что нам будут важны именно квадратичные по

дование влияния локализации носителей заряда и

члены. Тогда используя уравнение на электронную

температуры на косвенное обменное взаимодействие

матрицу плотности и найдя поправки к ней первого

магнитных центров в одномерном кристалле. Данное

(ρ₁) и второго (ρ₂) порядка, получим

сообщение состоит из трех частей. В первой выводит-

(

)

ся общее выражение для косвенного обменного взаи-

〈E〉₂ = Sp

Vρ₁ +

Ĥ₀ ρ2 ,

(4)

модействия, верное для любой размерности при про-

извольных функции распределения носителей и вол-

где

Ĥ₀ - гамильтониан электронной системы без маг-

новых функций электронов. Во второй части прове-

нитных примесей, а Sp означает операцию взятия

рено, что из общего выражения, полученного в пер-

следа матрицы. Расчет показывает, что последнее

вой части, выводится хорошо известное выражение

слагаемое в (4) равно нулю из-за внедиагональной

для случая нулевой температуры при отсутствии бес-

структуры ρ₂. Таким образом, энергия взаимодей-

порядка. В третьей части получено и проанализиро-

ствия полностью определяется ρ₁, которое выража-

вано аналитическое выражение для общего случая с

ется через невозмущенную матрицу плотности систе-

беспорядком и температурой.

мы, отвечающую условию термодинамического рав-

Общее выражение для косвенного обменно-

новесия ρ₀ = exp{(µ

N- Ĥ₀)/T}, где T - температу-

го взаимодействия. Мы будем действовать в рам-

ра, µ - химический потенциал системы, а

N - опера-

ках модели кристалла как непрерывной среды, тогда

тор количества электронов в системе. В стационар-

взаимодействие магнитных центров с носителями за-

ном случае

ряда в кристалле происходит контактным образом и

∑

V_nm

дается следующем выражением:

ρ₁ =

ρ^1nm|n〉〈m|, ρ^1nm =

(ρ⁰ⁿⁿ - ρ^0mm).

E_n - E_m

V = A(ŜÎ1)δ(x - x₁) + A(ŜÎ2)δ(x - x₂),

(1)

(5)

где A - константа обменного взаимодействия магнит-

Теперь мы можем найти поправку к энергии элек-

ного центра с электроном, x_1,2 - положения магнит-

тронного газа во втором порядке теории возмущений

ных примесей в кристалле,

Î₁,

Î₂ - операторы спи-

∑

нов магнитных примесей,

Ŝ - оператор спина элек-

V_mnV_nm

〈E〉₂ =

(ρ⁰ⁿⁿ - ρ^0mm),

(6)

трона. Энергия РККИ-взаимодействия E_II (r) - это

E_n - E_m

функция в эффективном гамильтониане, описываю-

где штрих (^′) у суммы означает суммирование по со-

щая взаимодействие спинов магнитных центров

стояниям m = n. Из-за симметрии к перестановке

V_II = E_II(r)(Î1Î₂).

(2)

индексов |V_nm| = |V_mn| мы можем переписать дан-

ное выражение в виде:

Для слабой константы обменного взаимодействия

∑

Aν(E_F ) ≪ 1 (где ν(E_F ) - плотность состояний на

V_mnV_nm

〈E〉₂ = 2

(ρ⁰ⁿⁿ - ρ⁰⁰⁰).

(7)

уровне Ферми), когда не важны многочастичные эф-

E_n - E_m

фекты (эффект Кондо), спины магнитных примесей

можно рассматривать классическими и фиксирован-

Отметим важность слагаемого с ρ⁰⁰⁰ в (7) в одно-

ными, а их операторы заменить на обычные векто-

мерном случае. Если убрать матрицы плотности, то

ры [17-19]. В данном подходе вычисление энергии

оставшаяся часть выражения антисимметрична по

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

822

К.А.Барышников, И.В.Крайнов

индексам n, m, и стало быть, равна нулю. Однако в

щее взаимодействию двух магнитных примесей, рав-

1D она не равна нулю из-за наличия полюса в точке,

но 2A²(I₁I₂) умноженному на интеграл

где n = 0, вклад которого компенсируется вычитани-

∫∫

dkdp cos(p - k)(x₁ - x₂)

ем ρ⁰⁰⁰, эквивалентно тому, как это было учтено в (6).

P.V.

[θ(E_F - E_k) - 1],

(2π)²

E_k - E_p

Этот же факт связан с наличием и важностью лока-

лизованных состояний при расчете 1D РККИ [20]. В

где P.V. означает операцию взятия интеграла в

размерностях больших единицы из-за стремящейся

смысле главного значения, а θ(E_F - E_k) - функция

к нулю плотности состояний в той же точке полюса

Хэвисайда, ступенькой меняющая свое значение с 1

не будет, и слагаемое с ρ⁰⁰⁰ можно отбросить. Под-

на 0, когда энергия состояния k превышает энергию

ставляя выражение (7) с фиксированной ориентаци-

Ферми E_F данного вырожденного электронного газа.

ей магнитных центров в (3), найдем энергию косвен-

Учтем, что x₁ - x₂ = r и что

ного обменного взаимодействия. Преимущество вы-

∫

∞

∫

∞

ражения (7) состоит в возможности одновременно

sin pr

cospr

sin kr

учесть температурное распределение электронов, а

P.V. dp

= 0, P.V. dp

=π

k² - p²

также произвольно выбранные состояния и спектр

−∞

-∞

электронов.

тогда окончательно имеем

Косвенное обменное взаимодействие через

∫

вырожденный свободный электронный газ.

A²m

sin 2kr

〈E〉₂ = (I₁I₂)

[θ(E_F - E_k) - 1].

Для начала вычислим хорошо известное выражение

2πℏ²

для РККИ в 1D на свободных носителях, используя

(10)

√

(7). В базисе плоских волн ψ_k = exp(ikx)/

L, где L

Из выражения (10) видно, что не вычитание ρ⁰⁰⁰ в

размер системы (бесконечная величина в термоди-

(7) привело бы к отсутствию падения взаимодей-

намическом пределе), квадрат матричного элемента

ствия с увеличением расстояния между примесями,

[

т.е. дальнодействию, что, разумеется, неверно. В ито-

|V_kp|² =

〈s_k|(ŜI₁)ρ^sp(ŜI₁)|s_k〉 +

ге получаем выражение для энергии РККИ в 1D без

L²

беспорядка и при T = 0 [8, 20]

+ 〈s_k|(ŜI₂)ρ^sp(ŜI₂)|s_k〉 +

∞

∫

A²m

sin z

A²m

+ 〈s_k|(ŜI₁)ρ^sp(ŜI₂)|s_k〉ei(p-k)(x1-x2) +

E_II(r) = -

si(2k_F r).

(11)

]

πℏ²

+ 〈s_k|(ŜI₂)ρ^sp(ŜI₁)|s_k〉e-i(p-k)(x1-x2) ,

(8)

2kF r

Учет беспорядка. Наличие сколь угодно слабо-

(

)

го беспорядка в 1D приводит к локализации носи-

где ρ^sp =

- начальная (невозмущенная) спино-

телей. Длина локализации связана с точностью до

вая матрица плотности состояния p, 〈s_k| - конечное

двойки с длиной свободного пробега, рассчитанно-

спиновое состояние k. Суммируя по конечным спи-

го по золотому правилу Ферми [12], для состояний

новым состояниям, найдем

с pξ_p ≫ 1, где ξ_p - длина локализации состояния p.

[

Время рассеяния τ_p состояния p, связанное с наличи-

∑

A²

|V_kp|² =

(I₁I₁) + (I₂I₂) +

ем случайного потенциала U(x), задается выражени-

2L²

s_k

ем

]

2π∑

+ 2(I₁I₂)cos(p - k)(x₁ - x₂)

→

|〈k|Û|p〉|²δ(E_k - E_p).

(12)

τ_p

ℏ

→

(I₁I₂) cos(p - k)(x₁ - x₂).

(9)

L²

Предполагая U слабым возмущением над потенци-

алом кристаллической решетки, оно будет приво-

В последнем слагаемом мы опустили I₁I₁, I₂I₂, так

дить к рассеянию состояний электронов, описывае-

как они не описывают взаимодействия между маг-

мых плоскими волнами. Тогда

нитными примесями, а соответствуют лишь общему

∫

e^i(k-p)(x-y)

сдвигу энергий для всего электронного газа, незави-

|〈k|Û|p〉|² =

dx dy

U (x)U(y) =

L²

симому от взаимного расположения магнитных мо-

∫

dρ

ментов примесей. Тогда из (7) выражение для по-

e^i(k-p)ρ

U (x)U(x - ρ).

(13)

правки к энергии электронного газа 〈E〉₂, отвечаю-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

РККИ-взаимодействие в одномерном кристалле с беспорядком и температурой

823

Поскольку U - случайное поле, то в пределе L → ∞

где x_i - центр волновой функции (центр локализа-

выполняется аналог эргодической гипотезы

ции состояния), δ - фаза, медленно меняющаяся от

∫

x на масштабе 1/p, но быстро меняющаяся в зави-

U (x)U(x - ρ) = 〈〈U(0)U(ρ)〉〉,

(14)

симости от p на масштабе 1/ξ_p. Быстроосцилирую-

щая часть определяет энергию частицы, аналогично

плоской волне E_p,i = ℏ²p²/2m.

где скобки 〈〈 . . . 〉〉 означают усреднение по ансамблю

При вычислении матричных элементов можно пе-

реализаций случайной величины U. В результате вы-

рейти от суммирования к интегрированию по p и k,

ражение для τ_p запишется в виде

домножая каждый член суммы в (7) на dpξ_p = 1 и

∫

2π∑

dkξ_k = 1. Кроме того, мы можем избавиться от быст-

dre^i(k-p)r 〈〈U(0)U(r)〉〉 δ(E_k - E_p).

τ_p

ℏ

ро меняющейся фазы δ, произведя замену подын-

гральной функции F на ее среднение значение на

(15)

масштабе Δp: 1/ξ_p ≪ Δp ≪ p, т.е.

∫

Для нахождения длины свободного пробега восполь-

∫ p+Δp

зуемся тем фактом, что в одномерии достаточно

dp F(px) → dp

dq F(qx).

(20)

Δp_p

учесть вклады процессов рассеяния назад [12], тогда

положив рассеянное состояние |k〉 = | - p〉, имеем

Квадрат матричного элемента РККИ в этом случае

∫

в нулевом порядке по (p ξ_p)-1 будет иметь вид

∑

dr e^i2pr 〈〈U(0)U(r)〉〉,

(16)

τ_p

pℏ³

|V_kp|² → (I₁I₂)A² cos(pr) cos(kr)×

∫

s_k

m²

dr e^i2pr 〈〈U(0)U(r)〉〉,

(17)

ξ_p

2v_pτ_p

2p²ℏ⁴

(Φ^∗ξ

(x₁)Φ^∗ξ

k,xi

p,xj

(x₁)Φξp ,xj (x2)Φξk ,xi^(x2^)+h.c.).

где v_p - скорость состояния p, предполагая квадра-

(21)

тичный спектр электронов с массой m (т.е. Ep =

При вычислении (7) нам также необходимо просум-

= ℏ²p²/2m). Например, для короткодействующего

мировать по положениям центров локализации. При

потенциала с корреляционной длиной r_ck_F ≪ 1 по-

суммировании выполним также по ним усреднение,

лучим

предполагая однородным распределение центров ло-

∑

кализации в пространстве (см. ссылки в [23]). Глав-

U (x) = U₀δ(x - x_i),

〈〈U(0)U(r)〉〉 = U²⁰nδ(r),

ный вклад от суммирования по положениям центров

будет даваться теми членами суммы, для которых

U²⁰n,

(18)

x_i = x_i′ , в то время как вклад членов с x_i = x_i′ будет

ξ_p

E_p4ℏ²

экпоненциально подавлен, так как волновые функ-

где U₀ - характерная величина случайного поля U,

ции в них разнесены более, чем на ξ.

∑

а n среднее количество дефектов, являющихся ис-

ξ_pξ_k

〈Φ^∗ξ

(x₁)Φ^∗ξ

k,xi

p,xj

(x₁)Φξp ,xj (x2)Φξk ,xi^(x2^)〉≈

точником беспорядка, на единицу длины.

xi,xj

Для нахождения энергии РККИ-взаимодействия

∑

ξν^-1〈 δ(E_p - E_q)Φ^∗ξ

(0)Φ^∗ξ

нам необходимо знать волновые функции в системе

k,xi

q,xi

(0)Φξq ,xi (r)Φξk ,xi^(r)〉

q,xi

с беспорядком. Задача об усреднении произведений

значений волновых функций в различных точках по

≡ S_k,p(r),

(22)

беспорядку хорошо изучена, и в случае слабого бес-

где ν = m/2πkℏ² - плотность состояний. Здесь ξ -

порядка p ξp ≫ 1 волновая функция может быть

длина локализации, взятая на уровне Ферми. Тогда

представлена в виде произведения быстроосцилиру-

усредненный квадрат матричного элемента РККИ в

ющей части и плавной огибающей [21, 22]. Плавная

конечной форме примет вид

огибающая описывает локализацию частицы около

центра локализации [23] и спадает на масштабе ξ_p.

(I₁I₂)A² cos(kr) cos(pr)S_k,p(r).

(23)

По сути это означает, что система модельно разби-

Внутренний интеграл в (7) может быть вычислен

вается на квантовые ящики размером ξ_p, в каждой

стандартными методами комплексного анализа

из которых существует набор дискретных состояний,

∞

∫

описываемых квантовыми числами p.

cospr

sin kr

S_k,p(r) = π

S_k,k(r).

(24)

√

k² - p²

ψ_p,i =

2 cos[px + δ]Φξp,xi(x),

(19)

-∞

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

824

К.А.Барышников, И.В.Крайнов

∫

∞

Здесь мы предположили, что у коррелятора огибаю-

e^i2z

iπr

(28)

щих отсутствуют полюса (однако это не общее утвер-

1 + e^zλT^/r

λ_T sinh(2rπ/λ_T )

ждение). Тогда выражение для 1D РККИ с учетом

−∞

беспорядка и температуры записывается в следую-

Отсюда при ξ_F k_F ≫ 1, k_F λ_T ≫ 1 и k_F r ≫ 1 для 1D

щем виде

РККИ-взаимодействия получаем

A²m cos(2k_F r)

πT/ℏv_F

∫

∞

E_II(r) = -

SkF (r).

A²m

sin(2kr)

πℏ²

k_F

sinh(2rπT/ℏv_F )

E_II(r) =

S_k,k(r)(f_k - f₀),

(25)

πℏ²

(29)

В случае нулевой температуры и отсутствия беспо-

где f_k = 1/(1 + exp (E_k - µ)/T ) - функция Ферми-

рядка данное выражение в точности является асимп-

Дирака заселенности состояния k.

тотическим пределом выражения (11) при k_F r ≫ 1.

Заметим, что итоговое выражение, полученное в

Вычисление коррелятора огибающих (22) может

(25) в точности переходит в выражение (11), если

быть произведено точно. В работе [22] было найдено

температуру и беспорядок положить равными нулю

выражение для коррелятора плотность-плотность

(т.е. ξk → ∞, T → 0, µ = EF = const). Посколь-

при одинаковой энергии. Позже, в работе [24], было

ку подавление косвенного обменного взаимодействия

показанно, что при одинаковых состояниях корреля-

происходит при относительно больших r, интересно

тор вида (22) с точностью до константы совпадает

проанализировать асимптотику E_II (r) при k_F r ≫ 1.

с коррелятором плотность-плотность. Приведем ни-

Для этого заметим, что из (25) можно получить про-

же асимптотическое выражение для РККИ-взаимо-

стое аналитическое выражение в случае k_F r ≫ 1 и

действия, используя асимптотику коррелятора (22)

µ ≈ E_F ≫ T. Пользуясь последним условием, мы

cos(2k_F r)

можем линеаризовать спектр вблизи энергии Ферми

E_II(r) ∼

e-r/4ξF , λ_T ≫ r ≫ ξ_F ,

(30)

E_k - E_F ≈ ℏv_F (|k| - k_F ), и перейдя к новой перемен-

r^5/2k_F ξ^-3/2

ной интегрирования z = kr - k_F r, переписать часть

E_II(r) ∼ cos(2k_F r)

e-r2π/λT , λ_T ≪ r ≪ ξ_F .

(31)

интеграла из (25) без f₀ в виде

E_F

Следует отметить, что использованная асимптоти-

∫∞

sin(2z + 2k_F r)

ка коррелятора (30) предполагает r ≫ ξ_F . На мас-

I =

S_k

F +z/r(r)

штабах r ∼ ξ_F необходимо использовать точный вид

z+k_Fr

1 + e^zλT^/r

−kF r

коррелятора огибающих локализованных состояний

и общий вид зависимости будет более сложным. На

где мы ввели тепловую длину λ_T = ℏv_F /T , с помо-

малых расстояниях r ≪ ξ_F коррелятор равен едини-

щью которой условие E_F ≫ T можно переписать по-

це, что было использовано в (31).

другому, как k_F λ_T ≫ 1.

Ответ (29) может быть относительно просто по-

Устремив k_F r

→ ∞, можно получить первый

лучен, если модельно выбрать огибающие в виде

член асимптотического разложения для I по (k_F r)^-1

-(x-xi)²/2ξ^p

∞

√

(32)

∫

Φξp,xi =

ei2z ei2kF r - e^-i2z e-i2kF r

π^1/2ξ_p

SkF (r)

2ik_F r

1 + e^zλT^/r

Такой выбор гарантирует отсутствие полюсов у кор-

−∞

релятора, и тогда в точности получим

(26)

A²m

cos(2k_F r)

πT/ℏv_F

E_II(r) = -

e-r2/2ξF .

который далее будет вычислен в виде суммы вычетов

πℏ²

k_F

sinh(2rπT/ℏv_F )

по полюсам подынтегрального выражения.

(33)

Заметим, что в исходном выражении (25) так-

Однако выбранные в таком виде огибающие меняют

же возникает полюс в нуле (от 1/k), который, одна-

характер затухания константы РККИ и непримени-

ко, компенсируется вычитаемой f₀, как это подробно

мы при r ≫ ξ_F .

обсуждалось после вывода выражения (7). Поэтому

В настоящей работе было получено РККИ-взаи-

асимптотика выражения (25) полностью определяет-

модействие в одномерном кристалле с учетом сла-

ся интегралом (26) и зависит только от полюсов фун-

бого беспорядка. Для одномерной системы учет бес-

ции f_k

порядка не может быть произведен по теории возму-

iπr

щейний, как это может быть сделано в 2D и 3D систе-

1 + eznλ^T/r = 0, z_n =

(1 + 2n),

(27)

мах. В системах с большей размерностью все четные

λ_T

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

РККИ-взаимодействие в одномерном кристалле с беспорядком и температурой

825

моменты константы косвенного обмена не спадают

экспоненциально на масштабе длины свободного про-

И. И. Ситников, К.М. Цысарь, Е. М. Смелова,

бега из-за делокализации волновых функций. В свя-

А. М. Салецкий, Письма в ЖЭТФ 103(9), 673 (2016).

зи с этим взаимодействие характеризуется диспер-

К. В. Фролов, Д. Л. Загорский, И. С. Любутин,

сией константы косвенного обмена. Однако в одно-

М. А. Чуев, И. В. Перунов, С. А. Бедин, А. А. Ло-

мерной системе рассеяние на беспорядке приводит к

мов, В. В. Артемов, С. Н. Сульянов, Письма в ЖЭТФ

локализации носителей и требуется точный учет бес-

105(5), 297 (2017).

порядка. Такой учет был произведен в данной рабо-

S. Datta, I. Weymann, A. Plominska, E. Flahaut,

те для вычисления усредненной величины констан-

L. Marty, and W. Wernsdorfer, ACS Nano 13(9), 10029

ты косвенного обмена и было показано, что беспо-

(2019).

рядок изменяет привычную 1/r степенную зависи-

S. Ncube, C. Coleman, A. S. de Sousa, C. Nie,

мость косвенного обмена, приводя к более быстрому

P. Lonchambon, E. Flahaut, A. Strydom, and

степенному спаду при низких температурах. Важно

S. Bhattacharyya, J. Appl. Phys. 123, 213901 (2018).

отметить, что при r ≫ ξ_F более существенную роль

I. V. Krainov, J. Klier, A. P. Dmitriev, S. Klyatskaya,

начнут играть высокие моменты константы обмена.

M. Ruben, W. Wernsdorfer, and I. V. Gornyi, ACS Nano

Оценки показывают, что усреднение второго момен-

11(7), 6868 (2017).

та по беспорядку будет спадать как e-r/4ξF /r^7/2. Это

M. Schmitt, P. Moras, G. Bihlmayer, R. Cotsakis,

означает, что вычисление нелинейных по констан-

M. Vogt, J. Kemmer, A. Belabbes, P. M. Sheverdyaeva,

те РККИ термодинамических величин в одномерных

A. K. Kundu, C. Carbone, S. Blügel, and M. Bode, Nat.

кристаллах, где среднее расстояние r ≫ ξ_F , потребу-

Commun. 10, 2610 (2019).

ет вычисления полной функции распределения кон-

M. A. Ruderman and C. Kittel, Phys. Rev. 96, 99

станты РККИ, которая будет иметь асимметричный

(1954).

вид и тяжелые хвосты (что выходит за рамки об-

D. N. Aristov, Phys. Rev. B 55, 8064 (1997).

суждения в данном коротком сообщении). Резуль-

S. Saremi, Phys. Rev. B 76, 184430 (2007).

таты же, полученные в данной работе, могут быть

10.

A. M. Black-Schaffer, Phys. Rev. B 81, 205416 (2010).

применены для анализа задач, где константа обмена

11.

J. Klinovaja and D. Loss, Phys. Rev. B 87, 045422

может считаться малой.

(2013).

Температура также приводит к подавлению вза-

12.

D. J. Thouless, J. Phys. C: Solid State Phys. 6, L49

имодействия из-за сбоя фазы носителей заряда на

(1973).

масштабе тепловой длины. Поскольку температура

13.

N. F. Mott and W. D. Twose, Adv. Phys. 10(38), 107

приводит к заселению более высокоэнергетических

(1961).

уровней с меньшей длиной локализации, то можно

14.

J. A. Sobota, D. Tanasković, and V. Dobrosavljević,

было бы ожидать, что длина эффективной “экрани-

Phys. Rev. B 76, 245106 (2007).

ровки” РККИ-взаимодействия беспорядком обуслав-

15.

А. Ю. Зюзин, Б. З. Спивак, Письма в ЖЭТФ 43, 185

ливалась бы и температурой, приводя к сложной за-

(1986).

висимости величины эффекта от последней. Однако

16.

I. V. Lerner, Phys. Rev. B 48, 9462 (1993).

этого не наблюдается в случае слабого беспорядка

17.

S. R. Power and M. S. Ferreira, Crystals 3, 49 (2013).

(k_F ξ_F ≫ 1): и беспорядок, и температура подавля-

18.

I. V. Rozhansky, I. V. Krainov, N.S. Averkiev, and

ют косвенное обменное взаимодействие независимо

E. Lahderanta, Phys. Rev. B 88, 155326 (2013).

друг от друга, как это видно из (29), что позволяет

19.

I. V. Krainov, I. V. Rozhansky, N.S. Averkiev, and

экспериментально различать роль этих фаткоров. В

E. Lahderanta, Phys. Rev. B 92, 155432 (2015).

случае же сильного беспорядка (k_F ξ_F ≪ 1) необхо-

20.

I. V. Rozhansky, N.S. Averkiev, I. V. Krainov, and

димо учитывать дискретность в спектре электронов,

E. Lahderanta, Phys. Status Solidi A 211(5),

1048

что не было рассмотренно в настоящей работе и яв-

(2014).

ляется предметом дальнейших исследований.

21.

A. D. Mirlin, Phys. Rep. 326, 259 (2000).

Данное исследование выполнено за счет гранта

22.

I. V. Kolokolov, Physica D 86, 134 (1995).

Российского научного фонда (аналитическая теория,

23.

Б. Л. Альтшулер, В. Н. Пригодин, ЖЭТФ 95, 348

проект # 18-72-00115). И. В. Крайнов также благода-

(1989).

рит Фонд развития теоретической физики и матема-

24.

D. A. Ivanov, M. A. Skvortsov, P. M. Ostrovsky, and

тики “БАЗИС” за финансовую поддержку.

Ya. V. Fominov, Phys. Rev. B 85, 035109 (2012).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020