Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 12, с. 833 - 837

Возвратная сверхпроводимость в UTe₂

В.П.Минеев¹⁾

Univ. Grenoble Alpes, Commissariat a l’Energie Atomique, PHELIQS, GT, F-38000 Grenoble, France

Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау, 142432 Черноголовка, Россия

Поступила в редакцию 3 мая 2020 г.

После переработки 12 мая 2020 г.

Принята к публикации 12 мая 2020 г.

Возвратная сверхпроводимость - своеобразное явление, наблюдаемое в парамагнитном металле UTe2

в магнитном поле, параллельном жесткой оси намагничивания. Оно не связано с изменением интенсив-

ности зависящих от поля магнитных флуктуаций, которое обуславливает формально похожие явления

в ферромагнитных урановых сверхпроводниках URhGe и UCoGe. Чрезвычайно большой начальный на-

клон температурной зависимости верхнего критического поля наводит на мысль, что данное явление

имеет квази-двумерное происхождение. Действительно, согласно недавним расчетам зонной структуры,

проделанным в работе Y. Xu et al. (Phys. Rev. Lett. 123, 217002 (2019)), Ферми поверхность UTe2 имеет

вид пары слегка гофрированных цилиндров. В работе представлена теория возвратной сверхпроводи-

мости в UTe2, основанная на квази-двумерной структуре этого соединения.

DOI: 10.31857/S1234567820120095

I. Введение. Сверхпроводимость металлическо-

го соединения с орторомбической структурой UTe₂

открыта в декабре 2018 г. Николасом Батчем с со-

трудниками [1]. Вскоре открытие было подтвержде-

но совместной французско-японской группой [2]. С

тех пор опубликованы десятки исследований различ-

ных свойств этого материала. Наиболее впечатля-

ющее наблюдение [3, 4] состоит в том, что сверх-

проводящее состояние UTe₂ в магнитном поле, на-

правленном вдоль кристаллографической оси b, пер-

Рис. 1. (Color online) Эскизное изображение зависимо-

пендекулярной оси легкого намагничения a, сохра-

сти критической температуры Tc(H) в UTe2 от магнит-

няется до 34.5 T, где оно разрушается метамагнит-

ного поля параллельного оси b согласно работе [5]. N, S,

ным переходом. Магнитное поле сначала уменьша-

NF обозначают соответственно нормальную, сверхпро-

ет критическую температуру перехода в сверхпро-

водящую и нормальную ферромагнитную фазы. Тон-

водящее состояние, затем в интервале полей (10 T,

кая штриховая линия показывает аномально большой

27 T) T_c(H) почти не зависит от поля, и, наконец,

начальный наклон температурной зависимости Hc2(T )

вблизи метамагнитного перехода температура пере-

хода увеличивается, возвращаясь практически к сво-

ре означает, что парамагнитный механизм подавле-

ему значению в нулевом поле [5] (см. рис. 1). Еще

ния сверхпроводимости не работает и сверхпроводя-

более удивительно, что в полях выше метамагнит-

щее состояние формируется электронными парами

ного перехода в интервале направлений 20^◦-40^◦ от

со спином S = 1. В то же время, обычное орбиталь-

оси b к оси c свехпроводящая фаза восстанавливается

ное подавление сверхпроводимости также оказыва-

в обширной куполообразной области вплоть до мак-

ется неэффективным.

симального поля 65 Т, достигнутого в экспериментах

Восстановление сверхпроводящего состояния в

(см. рис. 1a, c в работе [3]). Критическая температура

магнитном поле, перпендикулярном направлению

перехода в сверхпроводящее состояние в этом соеди-

легкого намагничивания, обнаруженное в UTe₂, на-

нении 1.5 К. Столь большая величина критического

поминает явление, известное в ферромагнитных ура-

поля при столь умеренной критической температу-

новых сверхпроводниках URhGe, UCoGe [6]. Напри-

мер, в UCoGe магнитное поле, направленное парал-

¹⁾e-mail: vladimir.mineev@cea.fr

лельно оси b, перпендекулярной оси спонтанного на-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

833

834

В.П.Минеев

магничения c, сначала уменьшает критическую тем-

зом, UTe₂ представляет собой квази-двумерный ме-

пературу, а затем в более сильных полях крити-

талл с проводящими слоями, параллельными (a, b)

ческая температура начинает расти. Напротив, по-

плоскости. Известно [11], что магнитное поле, парал-

ле, направленное вдоль оси спонтанного намагниче-

лельное проводящим слоям квази-двумерного метал-

ния, эффективно подавляет свехпроводящее состо-

ла сначала подавляет сверхпроводящее состояние, а

яние. Ситуация выглядит так, будто магнитное по-

затем, когда магнитная энергия ℏω_c становится срав-

ле, перпендикулярное направлению спонтанного на-

нимой с амплитудой перехода между проводящи-

магничения, стимулирует спаривающее взаимодей-

ми слоями, начинает восстанавливать сверхпроводи-

ствие, а поле вдоль спонтанного намагничения его

мость. В больших полях электроны движутся почти

подавляет. Это наблюдение, не совместимое с обыч-

свободно вдоль открытых траекторий, перпендеку-

ным электрон-фононным механизмом образования

лярных проводящим слоям. Таким образом, физиче-

сверхпроводящего состояния, указывает на то, что в

ская причина, неэффективности орбитального меха-

данном случае сверхпроводящее взаимодействие осу-

низма, разрушающего сверхпроводимость, состоит в

ществляется магнитными флуктуациями, т.е. интен-

подавлении модуляции движения или кривизны тра-

сивность спаривания определяется магнитной вос-

екторий электронов, вызываемой кристаллическим

приимчивостью. Поле, параллельное спонтанной на-

полем.

магниченности, приводит к насыщению магнитного

Наблюдаемый экспериментально [1, 2, 4, 5] ано-

момента и уменьшению восприимчивости, что в свою

мально большой исходный наклон температурной за-

очередь вызывает уменьшение эффективной массы

висимости верхнего критического поля (см. рис. 1)

электронов проводимости. Оба эти эффекта умень-

служит дополнительным серьезным аргументом в

шают величину спаривающего взаимодействия. В ре-

пользу квази-двумерной природы возвратной сверх-

зультате к обычному орбитальному подавлению до-

проводимости в UTe₂.

бавляется еще один механизм, ускоряющий подавле-

Теория сверхпроводимости в квази-двумерных

ние сверхпроводимости, и верхнее критическое поле

металлах, развитая в статьях [11, 12], использована

H_c2(T) вдоль оси c приобретает выгнутую вверх тем-

в настоящей работе для описания температурной за-

пературную зависимость [7]. Магнитное поле, пер-

висимости верхнего критического поля в UTe₂.

пендикулярное спонтанной намагниченности, умень-

II. Верхнее критическое поле. В магнитном

шает температуру Кюри, что приводит к увеличению

поле, параллельном оси b, удобно выбрать систему

магнитной восприимчивости в направлении спонтан-

координат с осями (x, y, z), направленными вдоль

ной намагниченности [8]. Увеличение восприимчиво-

(c, a, b) кристаллографических направлений. Соот-

сти вызывает увеличение эффективной массы элек-

ветствующая элементарная ячейка обратного про-

тронов проводимости. Таким образом, поле, перпен-

странства ограничена интервалами -πd < px <πd,

декулярное спонтанной намагниченности, эффектив-

-^πa < p_y <^πa , -^πb < p_z <^πb . В этой системе коорди-

но стимулирует сверхпроводимость, вызывая явле-

нат, согласно работе [10], имеются две разные зоны

ние возвратной сверхпроводимости.

проводящих электронов с цилиндрическими поверх-

UTe₂ не ферромагнетик. При низких температу-

ностями Ферми, оси которых параллельны направле-

рах его магнитная восприимчивость вдоль оси b со-

нию p_x и расположены в точках (0, 0, ±^πb ) и (0, ±^πa , 0),

храняет постоянное значение в полях вплоть до ме-

так что проводящие слои квази-двумерного метал-

тамагнитного перехода [9]. Отношение теплоемкости

ла расположены на расстоянии d между собой и па-

к температуре γ = C/T, пропорциональное эффек-

раллельны плоскости (a, b). Мы будем рассматривать

тивной массе, также практически постоянно вплоть

упрощенную модель, принимая во внимание только

до полей около 30 Т и возрастает лишь вблизи мета-

электроны из первой из указанных зон со следую-

магнитного перехода [9]. Таким образом, механизм,

щим спектром вблизи поверхности Ферми

(

)

ответственный за восстановление сверхпроводимости

(

)₂

в больших полях, перпендекулярных спонтанной на-

ξ(p) =

p^2y + p_z ∓

− 2t cos(p_xd) - ε_F , (1)

магниченности, в урановых ферромагнитных соеди-

нениях, не приложим для объяснения возвратной

таким, что t ≪ ε_F . В магнитном поле H = (0, 0, H),

сверхпроводимости в UTe₂.

A = (-Hy,0,0), параллельном направлению b, элек-

Согласно недавно опубликованным расчетам зон-

тронная волновая функция имеет вид

ной структуры [10] поверхность Ферми UTe₂ состо-

(

π))

Ψ(x, y, z) = ψ(p_x, y, p_z) exp ip_xx + i p_z ∓

ит из двух отдельных электронного и дырочного ци-

линдров, с осями, параллельными оси c. Таким обра-

(2)

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

Возвратная сверхпроводимость в UTe₂

835

и ψ(p_x, y, p_z) удовлетворяет уравнению Шредингера

B_2u, B_3u орторомбической точечной группы [10]. Со-

[

(

)

(

)]

ответствующая теория для состояний с параметром

(

)₂

d²

ω_cy

+ p_z ∓

- 2t cos p_xd -

порядка, преобразующимся согласно одному из двух

dy²

v_F

других представлений A_u и B_1u, математически бо-

× ψ(p_x, y, p_z) = εψ(p_x, y, p_z),

(3)

лее обременительна.

Функции ψ(φ) нечетны по отношению к точке^π2 :

где ω_c = ev_F dH/c и ℏ = 1.

ψ(^π2 + φ) = -ψ(^π2 - φ), тогда как функция Грина

Мы не будем принимать во внимание расщеп-

четна. Поэтому соответствующая параметру поряд-

ление электронной зоны из-за взаимодействия Зе-

ка собственно энергетическая функция равна нулю

емана. В случае триплетного спаривания с парал-

[12].

лельными спинами оно не вызывает парамагнитно-

Линейное уравнение для функции η(y), опреде-

го подавления сверхпроводящего состояния, но при-

ляющее верхнее критическое поле или критическую

водит к увеличению (уменьшению) импульса Фер-

температуру T_c(H) перехода в сверхпроводящее со-

ми зон электронов со спином вдоль (против) на-

стояние имеет вид [11, 12]

правления магнитного поля, тем самым изменяя со-

∫_3π/2

∫

ответствующие плотности состояний и критическую

dφ

температуру перехода в сверхпроводящее состояние

η(y) = g

ψ²(φ)

π/2

|y-y1|>a| sin φ|

(см., например, работу [7]). Этот эффект отсутству-

[

]

ет в квази-двумерном случае: магнитное поле, па-

exp -|y-y1|

2πTdy₁

| sin φ|l

[

] ×

(8)

раллельное проводящим слоям, изменяя импульсы

2πT |y-y1|

v_F | sinφ| sinh

Ферми, не меняет электронной плотности состояний

vF | sin φ|

вблизи поверхности Ферми.

{

]

2λ

[ω_c(y - y₁)

[ω_c(y + y₁)]}η(y

Функция Грина электронов в нормальном состо-

×I₀

sin

1),

|sinφ|

2v_F

янии, полученная также, как это сделано в работе

[11], дается выражением

где I₀(x) - функция Бесселя, g =^mg4πd - произведе-

ние плотности состояний и амплитуды спаривания

Gωn(φ, p_x, y, y₁) =

[

]

g, a - параметр обрезания на малых расстояниях и

im sgn ω_n

mω_n

exp ∓

exp[±ip_0y(y - y₁)] ×

l = v_Fτ - длина свободного пробега.

p_0y

{

]

[

]}

A. Критическая температура. В отсутствие маг-

iλp₀

[ω_c(y - y₁)

ω_c(y + y₁)

нитного поля уравнение

× exp

sin

cos p_xd -

p_0y

2v_F

∫ ∞

(

)

1=g

exp

(9)

2πaT

sinh z

2πTτ

± ω_n(y - y₁) > 0.

(4)

которое можно представить в виде

Мацубаровская частота ω_n = πT (2n + 1) сдвинута,

)

ω_n = ω_n +^12τ sgnω_n с тем, чтобы учесть затухание

T_c

(1)

=ψ

-ψ

(10)

электронных состояний из-за рассеяния на примесях,

T_c0

4πT_cτ

взаимодействия с магнитными флуктуациями и т.д.,

определяет критическую температуру. Здесь ψ(x) -

λ=^4tω

, p_0y = p₀|sinφ| и p₀ - импульс Ферми.

дигамма функция,

Параметр порядка простейшего сверхпроводяще-

(

)

го состояния, соответствующего спариванию с парал-

v_F

T_c0 =

exp

(11)

лельными спинами, имеет вид

πa

– критическая температура идеально чистого кри-

Δ(φ, y) = ψ(φ)η(y).

(5)

сталла l = ∞. Сверхпроводящее состояние подавля-

Здесь

ется полностью при l <γvF , где lnγ = C ≈ 0.577... -_πT

(

)

3π

постоянная Эйлера.

ψ(φ) = A cos φ +

<φ<

(6)

B. Область Гинзбурга-Ландау. Вблизи критиче-

bp₀

(

)

существенная об-

ψ(φ) = A cos φ -

<φ<

(7)

ласть интегрирования в уравнении (8) ограничена

bp₀

неравенством δy <vF |sinφ|2πT . Вне этой области подин-

где A - постоянная нормировки, определяемая урав-

тегральное выражение экспоненциально мало. Сле-

∫_3π/2

нением¹

ψ²(φ)dφ = 1. Это состояние относит-

|sinφ| ≪ 1 и

π π/2

довательно, произведениеωcvF^δy

2πT

ся к одному из двух неприводимых представлений

аргумент функции Бесселя

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

8^∗

836

В.П.Минеев

]

2λ

[ω_c(y - y₁)

[ω_c(y + y₁)]≈

что может быть переписано в размерных единицах в

sin

|sinφ|

2v_F

виде

2t δy

2t ω_c

eℏ

T^2c

≈

ω_cmξ <

v_F mξ ≪ 1

(12)

H^linc2(0) ≈

(21)

ε_F | sinφ|

ε_F 2πT

m₀c

ℏv_F dm0 t

удобном для численного сравнения с экспериментом.

оказывается малым. Здесь ξ - характерное расстоя-

Здесь m₀ - масса электрона в вакууме. Согласно име-

ние, на котором меняется функция η(y). Если ξ ≫ δy,

ющимся экспериментальным данным [1, 2, 4, 5] зна-

то в подинтегральном выражении можно произвести

чения H^linc2(T = 0) расположены в пределах от 25 до

разложение η(y₁) ≈ η(y) + η^′(y)(y - y₁) + η^′′(y)(y -

30 Т, T_c = 1.5 K. Это дает возможность оценить ве-

- y₁)²/2, а также I₀(x) ≈ 1 - x²/4. Таким образом,

личину амплитуды перескока между проводящими

мы приходим к дифференциальному уравнению

слоями

[

)]

T_c0

(1)

t≲

(Kelvin).

(22)

+ψ

-ψ

η(y) =

ℏv_F dm₀

4πTτ

Используя эту оценку, мы видим, что комбинация

(

)₂

C_ψI(α)

( v_F

tω_cy

в аргументе функции Бесселя в уравнении

η^′′(y) + I(α)

η(y), (13)

ωc| sin φ|

2πT

πv_F T

(8) становится меньше единицы в полях

где α = (2πT_cτ)^-1,

H >H₀ =

(Tesla),

(23)

(ℏv_F dm₀)²

∫ ∞

(

)

z²dz

I(α) =

exp

кроме интервала малых углов (π -_ω

< φ < π + 8t )._ω

sinh z

2πTτ

Чтобы оценить зависимость критической темпе-

∑

(14)

ратуры от поля в полях H > H₀, разобьем интервал

(2n + 1 + α)³

n=0

интегрирования по углу φ в уравнении (8) следую-

∫_3π/2

щим образом:

dφ

C_ψ =

ψ²(φ)sin² φ

(15)

∫_3π/2

∫ π

π/2

(...)dφ =

π π/2

Минимальное собственное значение уравнения (13)

∫ π-^8tω

∫ π

при T ≈ T_c суть

(...)dφ +

(...)dφ.

(24)

[

)]

π π/2

π π-^8t

T_c0

(1)

√C_ψ I(α_c)tω_c

ωc

+ψ

-ψ

√

4πTτ

2π²T²

Таким образом, для углов в пределах^π2 < φ <

^c(16)

<π-^8tω

в полях H > H₀ можно разложить функцию

В чистом случае α ≈ α_c = (2πT_cτ)^-1 получаем

Бесселя I(x) = 1 - x²/4. Заменяя быстро осцилли-

рующие тригонометрические функции их средними

ev_F d

ω_c2(T) =

H_c2(T) =

значениями, получим

{

]

√

(

)

2λ

[ω_c(y - y₁)

[ω_c(y + y₁)]}≈

2π

πβ

I₀

sin

√

T_c0 -

(T_c - T ),

(17)

|sinφ|

2v_F

7ζ(3)

C_ψt

8τ

t²

≈1-

(25)

где ζ(x) - дзета-функция Римана

(sin φ)²ω

T_c = T_c0 -

(18)

С другой стороны, для углов в интервале π -^8t <_ω

8τ

< φ < π достаточно принять во внимание выполне-

ние неравенства I(x) < 1.

90ζ(4)

β =2-

≈ 0.83.

(19)

Производя оценку интегралов по углу φ, прихо-

7π²ζ(3)

дим к уравнению для определения критической тем-

C. Область сильных полей. Линейное возраста-

пературы

ние H_c2(T ) вблизи T_c с понижением температуры

[

(

)

( 8t )]∫ ∞

становится более быстрым. Формальное продолже-

1=g 1-O

exp

(26)

ω_c

2πaT

sinh z

2πTτ

ние линейной зависимости из уравнения (17) до T =

= 0 (см. рис.1) дает

или

)

T_c

(1)

ev_F d

T²

=ψ

-ψ

(27)

ω^linc2(0) =

H^linc2(0) ≈ 10

(20)

T_c0(H)

4πT_cτ

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

Возвратная сверхпроводимость в UTe₂

837

где

неунитарное состояние с параметром порядка, пред-



(

)



ставляющем сумму B_2u и B_3u состояний, сдвинутых

друг относительно друга по фазе на угол π/2. Опи-

ωc

T_c0(H) = T_co exp-

(

)

-→ T_c0.

сание второго перехода находится вне области при-

g1-O

H≫H0

менимости линейной теории. Однако главный вывод

(28)

настоящей работы о стабильности сверхпроводящего

Следовательно, в чистом случае

состояния в больших полях, параллельных оси b, со-

(

)

храняется и для неунитарных сверхпроводящих фаз

T_c(H) = T_c0(H)

-→ T_c. (29)

с параметрами порядка, преставляющими комбина-

8τT_co(H)

H≫H0

цию параметров порядка, относящихся к B_2u и B_3u

представленииям.

Таким образом, в достаточно больших полях темпе-

ратура перехода в сверхпроводящее состояние стре-

В заключение считаю своим приятным долгом

выразить благодарность Жану-Паскалю Бризону за

мится к своему значению в нулевом поле.

III. Заключение. Мы продемонстрировали, что

полезные обсуждения результатов, а также Шэну

Рэну за проявленный интерес к работе.

квази-двумерная модель позволяет описать явление

возвратной сверхпроводимости в UTe₂ в магнитном

поле, параллельном оси b. Сравнение линейной тем-

S. Ran, C. Eckberg, Q.-P. Ding, Y. Furukawa, T. Metz,

пературной зависимости верхнего критического поля

S.R. Saha, I-L. Liu, V. Zic, H. Kim, J. Paglione, and

в области Гинзбурга-Ландау с имеющимися экспери-

N.P. Butch, Science 365, 684 (2019).

ментальными данными дает оценку интеграла пере-

D. Aoki, A. Nakamura, F. Honda, DeXin Li,

Y. Homma, Y. Shimizu, Y. J. Sato, G. Knebel,

скока между проводящими слоями. Малость его ве-

J.-P. Brison, A. Pourret, D. Braithwaite, G. Lapertot,

личины открывает возможность для восстановления

Qun Niu, M. Valiska, H. Harima, and J. Flouquet,

сверхпроводящего состояния в достаточно высоких

J. Phys. Soc. Jpn. 88, 043702 (2019).

магнитных полях.

S. Ran, I-L. Liu, Y. S. Eo, D. J. Campbell, P. M. Neves,

При выводе использован ряд упрощений. Мы ра-

W. T. Fuhrman, S. R. Saha, C. Eckberg, H. Kim,

ботали в рамках однозонной модели с параболиче-

D. Graf, F. Balakirev, J. Singleton, J. Paglione, and

ским спектром, тогда как Ферми поверхность, найде-

N. Butch, Nature Phys. 15, 1250 (2019).

ная в работе [10], состоит из двух типов цилиндров,

G. Knebel, W. Knafo, A. Pourret, Q. Niu, M. Valiska,

соответствующих электронной и дырочной зонам с

D. Braithwaite, G. Lapertot, M. Nardone, A. Zitouni,

S. Mishra, I. Sheikin, G. Seyfarth, J.-P. Brison,

более сложным спектром. Следовательно, данная

D. Aoki, and J. Flouquet, J. Phys. Soc. Jpn. 88, 063707

теория требует обобщения, принимающего во вни-

(2019).

мание более реалистичную зонную структуру. Это,

Q. Niu, G. Knebel, D. Braithwaite, D. Aoki,

возможно, позволит объяснить другие удивительные

G. Lapertot, M. Valiska, G. Seyfarth, W. Knafo,

физические свойства UTe₂, такие как, кажущееся

T. Helm, J.-P. Brison, J. Flouquet, and A. Pourret,

неучастие половины проводящих электронов в сверх-

arXiv:2003.08986 [cond-mat] (2020).

проводимости [1], или уже упомянутое возрождение

D. Aoki, K. Ishida, and J. Flouquet, J. Phys. Soc. Jpn.

сверхпроводящего состояния в огромных магнитных

88, 022001 (2019).

полях, направленных под углом (20^◦-40^◦) от оси b к

V.P. Mineev, Ann. Phys. 417, 168139 (2020).

оси c [3].

V.P. Mineev, Usp. Fiz. Nauk 187, 129 (2017) [Phys.-

Usp. 60, 121 (2017)].

В линейной теории, развитой в настоящей работе,

A. Miyake, Y. Shimizu, Y. J. Sato, D. X. Li,

мы оперировали с параметром порядка сверхпрово-

A. Nakmura, Y. Homma, F. Honda, J. Flouquet,

дящего состояния, относящемуся к одному из двух

M. Tokunaga, and D. Aoki, J. Phys. Soc. Jpn. 88,

представлений B_2u или B_3u орторомбической груп-

063706 (2019).

пы D_2h. В недавно появившейся работе [13] было об-

10.

Y. Xu, Y. Sheng, and Yi-feng Yang, Phys. Rev. Lett.

наружено расщепление перехода в сверхпроводящее

123, 217002 (2019).

состояние на два последовательных перехода, неза-

11.

A.G. Lebed’ and K. Yamaji, Phys. Rev. Lett. 80, 2697

меченное ранее в многочисленных предшествующих

(1998).

измерениях. Установлено, что расщепление сохраня-

12.

V.P. Mineev, J. Phys. Soc. Jpn. 69, 3371 (2000).

ет неизменную величину в магнитных полях, ори-

13.

I.M. Hayes, D. S. Wei, T. Metz, J. Zhang, Y. S. Eo,

ентированных вдоль a и b осей. В работе [13] была

S. Ran, S. R. Saha, J. Collini, N.P. Butch,

D.F. Agterberg, A. Kapitulnik, and J. Paglione, arXiv:

предложена следующая последовательность перехо-

2002.02539.

дов. Сначала это переход в B_2u состояние, а затем в

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020