Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 12, с. 846 - 852

Управляемый источник одиночных фотонов на основе микромазера

с нулевой инверсией атомного пучка

Е. Н. Попов⁺¹⁾, В. А. Решетов^∗

⁺Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, 195251 С.-Петербург, Россия

^∗Тольяттинский государственный университет, 445020 Тольятти, Россия

Поступила в редакцию 24 марта 2020 г.

После переработки 12 мая 2020 г.

Принята к публикации 12 мая 2020 г.

В настоящей работе рассмотрен источник одиночных радио фотонов на основе микромазера, ато-

мы накачки которого имеет нулевую инверсию населенности. Нулевая инверсия связана с тем, что в

резонатор поочередно влетают атомы на верхнем и нижнем уровнях. Процесс генерации представляет

собой непрерывное поддержание поля внутри резонатора в таком состоянии, что число фотонов в нака-

чиваемой моде равно единице. Поле может быть выведено из резонатора по требованию так, что атомы

накачки в процессе детектирования фотона перестают передавать энергию резонатору. Этот эффект

позволит существенно снизить вероятность обнаружения парных скоррелированных фотонов и исполь-

зовать источник в квантовых вычислениях и криптографии. Также в работе смоделированы флуктуации

сжатого состояния радио поля, возникающие из-за неупорядоченного чередования атомов в пучке.

DOI: 10.31857/S1234567820120113

В теории и практике квантовых коммуникаций

Большой цикл работ был посвящен генерации

важную роль играют источники сжатых состояний

сжатого поля с помощью одноатомного микромазе-

электромагнитного поля. Если группа атомов взаи-

ра [15-24]. Его результаты показали широкие воз-

модействует с полевой модой в сжатом состоянии,

можности подобной технологии в задачах подготов-

то статистика отсчета поглощаемых фотонов может

ки полевой моды в требуемом состоянии, поэтому мы

оказаться не пуассоновской - с эффектами груп-

выбрали микромазер в качестве объекта нашего тео-

пировки и антигруппировки [1-3]. Эти явления ле-

ретического исследования.

жат в основе квантовых вычислений, криптографии

В данной статье мы предлагаем новый прин-

и других областей неклассической физики. Поэто-

цип накачки и выведения радио поля из резонатора

му управление квантовой статистикой электромаг-

микромазера, квантовая статистика которого близ-

нитного поля является одной из наиболее сложных

ка к чистому фоковскому состоянию с одним фо-

и популярных областей современной физики.

тоном. Для эффективного сжатия используется пу-

В качестве примера успешной реализации управ-

чок атомов, часть из которых находится на ниж-

ляемого источника можно привести одноатомный ла-

нем энергетическом уровне. Они нужны для по-

зер, который генерирует слабое поле из нескольких

глощения тепловых фотонов и более эффективно-

перепутанных фотонов в резонаторе [4-7]. Другим

го сжатия поля. Такая постановка задачи наиболее

примером является “однофотонный пистолет” на ос-

близка к теме удерживания фотонов внутри неко-

нове оптических волокон с выраженными нелиней-

торого локального объема, или полости. В англо-

ными свойствами [8-10], также отметим полупровод-

язычной литературе это явление известно под на-

никовые источники одиночных фотонов [11, 12]. То-

званием “trapping photons” [25-28], которое получе-

чечные источники сжатого излучения актуальны не

но в том числе в микромазере [29-30]. Его исто-

только в задачах лазерной генерации, но и в спек-

рия исследований очень богата и подобная идея ге-

троскопии сверхвысокого разрешения [13, 14]: при ре-

нерации сжатых состояний поля не нова. Поэтому

гистрации люминесценции пар квантовых точек на

в нашей работе мы делаем акцент не столько на

поверхности исследуемого образца наблюдаются раз-

сам метод генерации, сколько на механизм выведе-

личные эффекты квантового сжатия.

ния радио поля и исследование флуктуаций, связан-

ных с неравномерной последовательностью атомов в

¹⁾e-mail: enp-tion@yandex.ru

пучке.

846

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

Управляемый источник одиночных фотонов на основе микромазера. . .

847

Выведение поля из резонатора по требованию

2. Когда в моде 1 фотон, темный атом поглоща-

позволяет получить статистику детектирования ра-

ет его и за время пролета излучает обратно в

дио фотонов максимально соответствующую излуче-

моду, а светлый атом излучает второй фотон

нию “однофотонного пистолета”. Управляемые излу-

и успевает поглотить за время пролета. То есть

чатели радио фотонов с высокой степенью сжатия

атомы вылетают из резонатора в том же самом

стали особенно актуальны в связи с развитием кван-

состоянии, в котором они влетели в него, не из-

товых сетей на джозевсоновских кубитах [31,32].

меняя состояния поля.

Принцип формирования однофотонных со-

3. Когда в моде 2 фотона, темный атом погло-

стояний поля и механизм его выведения из

щает один из них с большей вероятностью, чем

резонатора. Поле микромазера накачивается пуч-

светлый атом излучает третий фотон в резо-

ком атомов, которые пролетают через полость ре-

натор.

зонатора. Пучок является активной средой и пред-

полагается достаточно редким, чтобы внутри резо-

В режиме источника атомный пучок должен пре-

натора одновременно находился только один атом.

кратить накачивать полевую моду, чтобы при вы-

В отличие от традиционной схемы накачки, в кото-

ведении однофотонного поля вероятность генерации

рой все атомы должны влетать в резонатор на верх-

вторичных фотонов стремилась к нулю. Тогда ста-

нем уровне и переходить на нижний при вылете из

тистика детектирования будет обладать свойством

него, мы предлагаем использовать переменный пу-

антигруппировки, характерным для однофотонного

чок, т.е. атомы на верхнем и нижнем уровнях череду-

пистолета. Для реализации режима источника необ-

ются друг с другом и их количество примерно равно.

ходимо выполнение двух условий, которые противо-

Отметим, что в этом случае инверсия населенности

речат условиям в режиме накачки:

активной среды близка к нулю, что в классической

интерпретации должно приводить к отсутствию ге-

1. Когда в моде 0 фотонов, темный атом всегда

нерации когерентного поля. Однако при последова-

пролетает через резонатор без обмена энерги-

тельном квантовом описании это может быть не так.

ей с модой, а светлый атом излучает фотон

Атомы, которые перед пролетом через резонатор

и успевает поглотить его за время пролета. То

находятся на верхнем уровне, будем называть свет-

есть атомы вылетают из резонатора в том же

лыми атомами, а те, которые на нижнем, - темными.

самом состоянии, в котором они влетели в него,

Отметим, что введенные нами термины относятся

не изменяя состояния поля.

только к начальному состоянию, т.е. светлые и тем-

2. Когда в моде 1 фотон, то он быстро покида-

ные атомы при вылете из резонатора могут оказать-

ет резонатор по каналу выведения поля, а мода

ся на любом уровне. В дальнейшем те физические

оказывается в нулевом состоянии. Это происхо-

величины, которые различаются по типу атома, бу-

дит преимущественно в промежутки времени,

дем характеризовать нижним индексом µ, при этом

когда в резонаторе нет атомов.

пусть µ = a соответствует темному атому, а µ = b -

светлому.

Выполнение этих двух условий становится воз-

В настоящей работе рассматривается два режи-

можным, если резонатор микромазера связан с ре-

ма работы микромазера: режим генерации, когда

зервуаром устройства выведения поля, который име-

внутри резонатора удерживается однофотонное со-

ет малое время жизни фотона внутри. Далее опишем

стояние полевой моды, и режим источника, ко-

оба режима работы теоретически.

гда радио поле выводится из резонатора “по требо-

Теоретическое описание режима генера-

ванию”.

ции. Чтобы доказать работоспособность предложен-

В режиме генерации атомный пучок должен под-

ного принципа накачки, нами была построена следу-

держивать поле в однофотонном состоянии сколь

ющая модель квантовой системы: в начальный мо-

угодно долго, поглощая лишние тепловые фотоны и

мент времени полевая мода резонатора находится в

заполняя пустую моду при ее случайной релаксации

тепловом состоянии с интенсивностью n₀ = 0.01 фо-

в нулевое состояние. Это происходит при выполне-

тонов; затем через резонатор начинают пролетать

нии нескольких условий:

атомы пучка, причем длительность пролета атомов

1. Когда в моде 0 фотонов, темный атом всегда

через резонатор одинаковая и пренебрежимо мала по

пролетает через резонатор без обмена энергией

сравнению со средним интервалом τ_p между атома-

с модой, а светлый атом с некоторой вероят-

ми пучка; когда предыдущий атом уже вылетел, а

ностью излучает фотон.

следующий еще не влетел в резонатор, то система

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

848

Е. Н. Попов, В. А. Решетов

описывается полевым оператором плотности σ и ре-

атома через резонатор, N - количество атомов, про-

лаксирует к состоянию теплового равновесия; когда

летевших через резонатор за время наблюдения, σ_i -

через резонатор пролетает атом, то система описыва-

оператор плотности i-того атома перед пролетом че-

ется атомно-полевым оператором плотности ô_µ и из-

рез резонатор (он может принимать один из двух ви-

меняется согласно модели Джейнса-Каммингса без

дов в зависимости от того, к какому типу принадле-

учета релаксации; после вылета атома из резонатора

жит i-тый атом), индекс “at” обозначает усреднение

оператор плотности атомно-полевой системы усред-

по атомным переменным.

няется по атомным переменным, так как следующий

Математическое обоснование целесообразности

атом “не знает”, в каком состоянии вылетел преды-

использования численного решения уравнения (5)

дущий. Через некоторое время полевая подсистема

вместо аналитического решения (1) приводится в

оказывается в состоянии динамического равновесия,

конце статьи в разделе “дискуссия”. Здесь лишь

в котором процессы релаксации и атомной накачки

отметим, что численное решение

(5) позволяет

компенсируют друг друга.

пронаблюдать флуктуации вероятности обнаружить

Подобная физическая система неоднократно опи-

фотон в резонаторе. Они играют значительную

сана в литературе [15-24]. Чаще всего теория дина-

роль, если рассматривать микромазер как источник

мики полевой подсистемы строится на решении ки-

одиночных фотонов. Это, в частности, отличает

нетического уравнения для оператора плотности ρ,

наше исследование от похожей работы [28], в ко-

усредненного по промежутку времени T , за который

торой не рассматривались флуктуации и механизм

через резонатор успевает пролететь несколько ато-

выведения поля из резонатора.

мов:

После записи уравнения (5) необходимо было най-

∫

ти параметры системы, при которых выполняются

dρ

= I (ρ^′ - ρ) +

L ρ,

ρ=

σ(t^′)dt^′,

(1)

три условия режима генерации. Эти параметры за-

ключены в операторе

Υ: отстройка частоты поля от

t-T

частоты атомного перехода Δ_µ, константа связи ато-

Lô = -γ

(1 + n₀)

L_-ô-

n₀ L₊ô,

(2)

ма и полевой моды g_µ, время пролета атома через

резонатор τ - они определяют изменение поля при

L_-ô = â^†âô- 2âôâ^† + ôâ^†â,

(3)

пролете каждого атома. Математическая формули-

ровка первого условия имеет вид (7), второго - вид

(8), (9) и третьего - вид (10):

L₊ô = ââ^†ô- 2â^†ôâ + ôââ^†,

(4)

где I - это интенсивность атомного пучка, ρ^′ - ρ - ма-

⊐n=0→p_b =1

⇔

∈ N,

(7)

T_b,0

лое изменение оператора плотности при пролете од-

ного атома,

L описывает релаксацию полевой моды,

⊐n=1→p_a =1

⇔

∈ N,

(8)

T_a,1

â^† и â - операторы рождения и уничтожения фотона

в полевой моде, γ - обратное время жизни фотона.

⊐n=1→p_b =1

⇔

∈ N,

(9)

T_b,1

Уравнение (1) имеет несложное аналитическое

решение, которое в базисе чисел заполнения пока-

⊐n=2→p_b >p_a,

(10)

√

зывает вероятность обнаружить в резонаторе то или

T_µ,n = 2π/

4g^2µ(n + δ_µ,b) + Δ^2µ,

(11)

иное количество фотонов [15, 16]. Оно решалось в том

где p_µ - это вероятность того, что атом вылетит из

числе и для переменного атомного пучка [20, 28]. Тем

не менее, мы предлагаем отказаться от его использо-

резонатора в том же состоянии, в котором влетел в

него, T_µ,n - период осцилляций Раби, полученный из

вания и исследовать численное решение более точно-

модели Джейнса-Каммингса, δ_µ,b - это дельта сим-

го уравнения для оператора плотности σ, не усред-

вол Кронекера, N - множество натуральных чисел.

ненного по времени:

Непосредственной подстановкой можно убедить-

∑

(

)

dσ

= δ (t - t_i)

Υ_iσ - σ

+ Lσ,

(5)

ся, что при g_a = g_b и Δ_a = Δ_b одновременное вы-

i=1

полнение условий (7) и (8) является невозможным.

В работе [28] внесено различие в параметр Δ_µ, одна-

ôi = σ ⊗ σi,

Υ_iσ = 〈Ûô_i Û^†〉_at,

Û =e

^Vτ,

(6)

ко не предложен метод реализации. Нам такой путь

где

Û - это оператор эволюции в модели Джейнса-

представляется маловероятным, поскольку светлые

Каммингса,

V - оператор взаимодействия атома с

и темные атомы пучка являются одинаковыми ато-

полевой модой, τ - время пролета атома через резо-

мами в разных состояниях. Поэтому мы внесли раз-

натор, t_i - начальный момент времени пролета i-го

личие в константу связи атомов с полевой модой g_µ.

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

Управляемый источник одиночных фотонов на основе микромазера. . .

849

Рис. 1. Эволюция квантовой статистики поля в условиях накачки. В начальный момент система находилась в состоя-

нии теплового равновесия (a). После пролета первого светлого атома квантовая статистика поля имеет вид (b), второго

светлого атома - (c), шестого светлого атома - (d). Между светлыми атомами в соответствии с полученной случайной

последовательностью пролетали темные атомы, но они практически не влияли на состояние поля. В расчете принято:

n0 = 0.01, τpγ = 1/300, N = 2000. На двух правых графиках (e), (f) черным цветом показан диапазон флуктуаций

вероятностей после того, как полевая система перешла в состояние динамического равновесия. Для этого рассмотрен

промежуток времени между 200-м и 2000-м атомами. При случайной последовательности темных и светлых атомов

статистика в условиях динамического равновесия имеет вид (e), при строгим чередованием темных и светлых атомов -

вид (f)

Практически эту разницу можно создать, если подго-

внутри светлого и темного атомов относятся к одной

тавливать темные и светлые атомы на зеемановских

и той же паре вырожденных электронных уровней

подуровнях, которые относятся к разным резонанс-

с угловыми моментами J = J^′ = 3/2, поэтому их

ным переходам. Например

частоты переходов совпадают. Учитывая (11) и (12),

мы нашли такие параметры пучка, при которых все

• для темных атомов: m_a =³² → m^′a =³²

условия (7)-(10) оказались выполненными:

• для светлых атомов: m^′b =¹² → m_b =¹²

τ ≪ τ_p, Δ_a = Δ_b = Δ,

(13)

√

g_a =

· g,

g_b =

· g,

(12)

|Δτ| = 4π

gτ = 12π

(14)

где m_µ и m^′µ - это магнитные квантовые числа ниж-

Для таких параметров было численно решено

него и верхнего уровней атома, g - это константа

уравнение (5). На рисунке 1 приведены диаграм-

связи без учета вырождения по проекциям углового

мы вероятностей чистых фоковских состояний для

момента. Отметим, что рассматриваемые переходы

нескольких моментов времени. Обратим внимание на

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

850

Е. Н. Попов, В. А. Решетов

то, что уже после пролета 6-го светлого атома сжа-

в себя резонатор и резервуар. Заметим, что при ξ = 0

тое состояние поля практически стабилизировалось.

решение уравнения (15) будет совпадать с решением

Нам удалось достичь высокого сжатия поля по ам-

уравнения (5).

плитуде при большем количестве тепловых фотонов

Смысл введения резервуара состоит в том, что

и меньшей интенсивности пучка, чем в работе [20],

динамика атома должна существенно измениться

в которой также исследуется неравномерный атом-

при его пролете через резонатор, обменивающийся

ный пучок. Из двух правых графиков на рис. 1 мож-

фотонами с резервуаром. Можно так подобрать кон-

но сделать вывод о том, что устойчивость динамиче-

станту связи ξ, что будут выполнены условия режи-

ского равновесия существенно зависит от упорядо-

ма источника, сформулированные в начале статьи, и

ченности светлых и темных атомов в пучке. Чем ча-

атомный пучок перестанет накачивать поле:

ще атомы чередуются, тем меньше флуктуации поля

∃(ξ = ξ_shoot), n = 0 → p_b ≈ 1,

(21)

и больше степень сжатия. Этот эффект особенно за-

метен на примере вероятности полного опустошения

где p_b - это вероятность того, что светлый атом вы-

полевой моды темными атомами.

летит из резонатора в таком же состоянии, в котором

Теоретическое описание режима детекти-

он влетел в него. Заметим, что в условии нет требо-

рования. Генерация однофотонных состояний у по-

вания кратности времени пролета к периоду осцил-

левой моды имеет практический смысл, если вероят-

ляций Раби, так как система состоит из трех взаи-

ность детектирования второго фотона близка к ну-

модействующих квантовых объектов. И атом будет

лю на как можно большем интервале времени по-

переходить из верхнего уровня на нижний и обратно

сле детектирования первого фотона. Тогда источ-

по сложному временному закону.

ник можно считать однофотонным пистолетом [33].

Методом перебора мы нашли константу взаимо-

Однако после выхода фотона из резонатора про-

действия ξ, при которой наиболее точно выполняется

исходит быстрое восстановление возбужденного со-

условие (21):

стояния поля несколькими светлыми атомами (см.

ξ = ξ_shoot = 3.6g.

(22)

рис. 1). Таким образом существует высокая вероят-

На рисунке 2 приведена зависимость p_b от време-

ность зарегистрировать второй фотон за интервал

ни при включенном резервуаре, когда светлый атом

времени, сопоставимый с обратной интенсивностью

пролетает через резонатор.

атомного пучка.

В решении этой проблемы может помочь меха-

низм высвобождения поля с помощью резервуара

приемника, который представляет собой смежный

резонатор или квантовую точку с резонансным пе-

реходом в качестве зонда. Для их учета требуется

изменить вид кинетического уравнения (5), добавив

в него слагаемые, описывающие резервуар [34]:

∑

(

)

dσ

= δ (t - t_i)

Υ′

σ-σ

+ Lσ +

Rσ+

i=1

(15)

((

)

(

))

+ iξ

ĉ†â + ĉâ^†

σ-σ

ĉ†â + ĉâ^†

γ_r

Rô=-γr

(1 + n₀)

R_-ô-

n₀

R₊ô,

(16)

Рис. 2. Сплошная линия описывает вероятность нахож-

дения светлого атома на верхнем уровне при пролете

R_-ô = ĉ^†ĉô- 2ĉôĉ^† + ôĉ^†ĉ,

(17)

через резонатор, когда резервуар подключен ξ = ξ_shoot,

штрихпунктирная - вероятность появления фотона в

R₊ô = ĉĉ^†ô- 2ĉ^†ôĉ+ ôĉĉ^†,

(18)

резервуаре ξ = ξshoot, пунктирная линия описывает

Υ′

ôi = σ ⊗ σi,

σ=〈Ûrô_iÛ^†r〉_at,

Û_r = e

Vr^τ ,

(19)

вероятность нахождения светлого атома на верхнем

(

)

уровне в “режиме ожидания”, когда резервуар отклю-

V_r =

V +ξ

ĉ†â + ĉâ^†

(20)

чен ξ = 0. Графики построены при параметрах пучка

где ξ - константа связи между рабочей модой и ре-

(12)-(22)

зервуаром, ĉ и ĉ^† - операторы уничтожения и рожде-

ния фотона в моде резервуара, σ - это оператор плот-

По графикам на рис.2 можно сделать вывод о

ности полевой подсистемы, которая теперь включает

том, что условие (21) является выполненным не пол-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

Управляемый источник одиночных фотонов на основе микромазера. . .

851

∑

dρ

σ(t_i)

ностью, но уменьшение накачки при включении ре-

Υ_i

-ρ+

L ρ,

(25)

зервуара имеет место быть. Так, наибольшая полу-

i,(ti∈A)

ченная вероятность того, что светлый атом не отдаст

где A - это временной интервал между t - T и t + T .

энергию моде, получилась равной 0.96, что близко к

Проблема заключается в том, что при разных

единице, как требует условие (21).

атомах в пучке оператор

Υ_i нельзя вынести из-под

На практике для описания фотонной эмиссии

знака суммы, чтобы сделать усреднение оператора σ

неклассических источников обычно получают авто-

в первом слагаемом и заменить на ρ^′. Эту проблему

корреляционную функцию сигналов детектора, из

можно было бы решить, используя приближение:

которой потом находят характерные времена релак-

(

)

сации или вторичного возбуждения этого источни-

Λ_i

∀i,

Υ_iσ = 1+

σ≈σ.

(26)

ка. В нашем случае константы распада и взаимо-

действия задавались в модели искусственно, поэтому

В этом случае, если 2T < γ^-1, то справедливо:

мы ограничились качественным рассмотрением ста-

тистики детектирования поля микромазера, работа-

(

)

∏

∑

Λ_k

ющего в режиме однофотонного источника. Харак-

σ(t_i) ≈

σ(t₁) ≈ σ(t₁)+

Λ_kσ(t₁).

(27)

терные времена модели подчиняются системе нера-

k=1

венств:

Учитывая, что существует два типа атомов, мы мо-

жем разделить сумму в (27) на две, в каждой из ко-

γ ≪γ_r ∼τ^-1p ≪ξ∼τ^-1,

(23)

торых оператор

Λ_k может быть вынесен из-под знака

суммы. И тогда уравнение (25) примет простой вид:

где I = τ^-1p - это интенсивность атомного пучка.

Скорость выхода фотона из резервуара велика по

(

)

(

)

dρ

N_a

N_b

Υ_a ρ- ρ +

Υ_b ρ- ρ

+ Lρ,

(28)

сравнению со скоростью релаксации фотона в резо-

наторе, так как резервуар является составной частью

где N_a и N_b - это число темных и светлых атомов за

устройства выведения поля.

время усреднения 2T .

Проанализируем статистику поля в режиме ис-

Стационарное решение уравнения (28) можно

точника:

считать состоянием динамического равновесия, толь-

В момент подключения резервуара в резонаторе

ко если выполняется условие (26), в чем нельзя быть

находился один фотон. Резервуар и мода резонато-

всегда уверенными. Поэтому в данной статье мы ис-

ра быстро обмениваются энергией, поэтому мода от-

кали точное решение динамического уравнения (5),

правит фотон в приемник за интервал времени γ^-1.

используя явный вид операторов

Υ_i и

L для задан-

Далее скорость рождения второго фотона в полевой

ной последовательности атомов.

моде может быть оценена как произведение интен-

Заключение. В работе рассмотрен принцип на-

сивности пучка I на вероятность светлого атома от-

качки микромазера с помощью атомного пучка, ко-

дать энергию в моду - 0.04 (см. рис. 2). Таким об-

торый содержит атомы на верхнем уровне и атомы

разом время появления второго фотона в резервуаре

на нижнем уровне в равных долях. Подобный прин-

приемника примерно равно (0.04 · I)^-1 = 25τ_p.

цип позволяет поддерживать полевую моду резона-

Учитывая то, что время обнаружения первого

тора в однофотонном состоянии с эффективностью

фотона γ^-1r намного меньше времени обнаружения

около 97-99 % (см. рис. 1). Для перехода микромазе-

второго фотона 25τ_p (23), мы действительно можем

ра в режим активного излучателя следует подклю-

рассматривать микромазер в режиме источника как

чить к резонатору резервуар приемника фотонов.

“однофотонный пистолет”.

При этом правильно подобрав константу их взаимо-

Дискуссия. Сложность поставленной задачи за-

действия, можно добиться существенного эффекта

ключалась в том, что если пучок содержит атомы

антигруппировки, который соответствует излучению

двух типов, то уравнение (5) нельзя привести к из-

“однофотонного пистолета” в радио диапазоне.

вестному кинетическому уравнению микромазера по

Работа выполнена при финансовой поддержке

типу (1) с помощью простого интегрирования левой

Российского фонда фундаментальных исследований

и правой части:

(грант # 18-32-00250).

[

]

∫

∑

(

)

dt^′

dσ

δ (t^′ - t_i)

Υ_iσ - σ

+ Lσ ,

(24)

1. U. L. Andersen, T. Gehring, C. Marquardt, and

′

i=1

G. Leuchs, Phys. Scr. 91, 051001 (2016).

t-T

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020

9^∗

852

Е. Н. Попов, В. А. Решетов

A. Lvovsky, e-Print: arXiv: 1401.4118v2, 1 (2014).

19.

H. Walther, B. T. H. Varcoe, B. Englert, and T. Becker,

L. Mandel and E. Wolf, Optical Coherence and Quantum

Rep. Prog. Phys. 69, 1325 (2006).

Optics, Cambridge University Press, Cambridge (1995),

20.

V. A. Reshetov, E. N. Popov, and I. V. Yevseyev, Laser

p. 1194.

Phys. Lett. 7 218 (2010).

Ю. М. Голубев, И. В. Соколов, ЖЭТФ 87, 408 (1984).

21.

P. Filipowicz, J. Javanainen, and P. Meystre, Phys.

Т. Б. Карлович, С. Я. Килин, Оптика и спектроско-

Rev. A 34, 3077 (1986).

пия 91, 375 (2001) [T. B. Karlovich and S.Ya. Kilin,

22.

D. Yu, L. C. Kwek, L. Amico, and R. Dumke, Phys.

Optics and Spectroscopy 91 343 (2001)].

Rev. A 95, 053811 (2017).

N.V. Larionov and M. I. Kolobov, Phys. Rev. A 88,

23.

L. Jin, M. Pfender, N. Aslam, P. Neumann, S. Yang,

013843 (2013).

J. Wrachtrup, and R.-B. Liu, Nat. Commun. 6, 8251

J. McKeever, A. Boca, A. D. Boozer, J. R. Buck, and

(2015).

H.J. Kimble, Nature 425, 268 (2003).

24.

B. T. H. Varcoe, S. Brattke, M. Weidinger, and

N. Kukharchyk, D. Sholokhov, O. Morozov,

H. Walther, Nature 403, 743 (2000).

S. L. Korableva, J. H. Cole, A.A. Kalachev, and

25.

G. S. Agarwal and Y. Zhu, Phys. Rev. A 92, 023824

P. A. Bushev, Opt. Lett. 43, 935 (2018).

(2015).

А.А. Шухин, А.А. Калачев, Известия РАН.

26.

A. A. Houck, D. I. Schuster, J. M. Gambetta,

Сер. физ. 80 861 (2016).

J. A. Schreier, B. R. Johnson, J. M. Chow, L. Frunzio,

10.

M. Akbari and A. A. Kalachev, Laser Phys. Lett. 13,

J. Majer, M. H. Devoret, S. M. Girvin, and

115204 (2016).

R. J. Schoelkopf, Nature 449, 328 (2007).

11.

М. В. Рахлин, К. Г. Беляев, С. В. Сорокин, И. В. Се-

27.

M. Alexanian, S. Bose, and L. Chow, J. Mod. Opt. 45,

дова, Д. А. Кириленко, А. М. Можаров, И. С. Му-

2519 (1998).

хин, М. М. Кулагина, Ю. М. Задиранов, С. В. Иванов,

28.

A. Z. Khoury and T. B. L. Kist, Phys. Rev. A 55, 2304

А.А. Торопов, Письма в ЖЭТФ 108, 201 (2018).

(1997).

12.

М. В. Рахлин, К. Г. Беляев, Г. В. Климко, И. В. Седо-

29.

M. Weidinger, B. T. H. Varcoe, R. Heerlein, and

ва, М. М. Кулагина, Ю. М. Задиранов, С. И. Трош-

H. Walther, Phys. Rev. Lett. 82, 3795 (1999).

ков, Ю. А. Гусева, Я. В. Терентьев, С. В. Иванов,

30.

B.-G. Englert, arXiv:quant-ph/0203052 (2002) URL:

А.А. Торопов, Письма в ЖЭТФ 109, 147 (2019).

https://arxiv.org/pdf/quant-ph/0203052.pdf.

13.

A.V. Naumov, Phys.-Uspekhi 56, 605 (2013).

31.

A. F. Kockum and F. Nori, Quantum Bits with

14.

I. Yu. Eremchev, M. Yu. Eremchev, and A. V. Naumov,

Josephson Junctions, in Fundamentals and Frontiers

Phys.-Uspekhi 62, 294 (2019).

of the Josephson Effect, ed. by F. Tafuri, Springer

15.

D. Meschede, H. Walther, and G. Müller, Phys. Rev.

(Springer Series in Materials Science), 286, 703 (2019).

Lett. 54, 551 (1985).

32.

A. L. Grimsmo and A. Blais, npj. Quantum Inf. 3, 1

16.

V.A. Reshetov and I. V. Yevseyev, Laser Phys. Lett. 1,

(2017).

124 (2004).

33.

M. Thornton, A. Sakovich, A. Mikhalychev, J. D. Ferrer,

17.

J. M. Raimond, M. Brune, and S. Haroche, Rev. Mod.

P. de la Hoz, N. Korolkova, and D. Mogilevtsev, Phys.

Phys. 73, 565 (2001).

Rev. Appl. 12, 064051 (2019).

18.

S. D. Huver, C. F. Wildfeuer, and J. P. Dowling, Phys.

34.

Г. П. Мирошниченко, Наносистемы: физика, химия,

Rev. A 78, 063828 (2008).

математика 2, 47 (2011).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 11 - 12

2020