Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 3, с. 154 - 159

Конкуренция состояний БКШ и ЛОФФ в магнитных

сверхпроводниках в криптоферромагнитной фазе

Ф. М. Сираев, А. С. Кутузов, М. В. Авдеев¹⁾, Ю. Н. Прошин

Казанский федеральный университет, 420008 Казань, Россия

Поступила в редакцию 11 апреля 2019 г.

После переработки 7 декабря 2019 г.

Принята к публикации 18 декабря 2019 г.

Рассматривается возможность возникновения неоднородных сверхпроводящих состояний Ларкина-

Овчинникова-Фульде-Феррелла (ЛОФФ) в магнитных сверхпроводниках в криптоферромагнитной фа-

зе c геликоидальным магнитным упорядочением. В рамках предложенной модели рассчитана зависи-

мость критической температуры от угла между волновыми векторами пространственной модуляции со-

стояния ЛОФФ и геликоидальной магнитной структуры. Показано, что их взаимно перпендикулярной

ориентации соответствует энергетически наиболее выгодное состояние. Проведенные численные расчеты

также показали, что на фазовой диаграмме состояний на линии, разделяющей фазы Бардина-Купера-

Шриффера (БКШ) и ЛОФФ, имеется трикритическая точка. Кроме того, различие эффективных масс

электронов проводимости в различных спиновых подзонах и анизотропия поверхности Ферми в маг-

нитном сверхпроводнике могут привести к возникновению состояний ЛОФФ даже при сравнительно

сильных обменных полях.

DOI: 10.31857/S0370274X20030030

Сверхпроводимость и магнетизм являются ярки-

шает симметрию по отношению к инверсии време-

ми представителями двух макроскопических явле-

ни и, согласно теореме Андерсона, понижает кри-

ний, обладающих существенно квантовой природой

тическую температуру T_c сверхпроводника. С дру-

и в основе которых лежит механизм спонтанного

гой стороны, в магнитоупорядоченной ферромагнит-

нарушения симметрии: калибровочной - для сверх-

ной фазе на спины электронов, составляющих син-

проводимости и инверсии времени - для магнетиз-

глетную куперовскую пару, со стороны магнитных

ма. При этом упорядоченная фаза (сверхпроводящая

моментов действует обменное поле h, которое стре-

или магнитная) характеризуется своим параметром

мится выстроить их параллельно, что, как показа-

порядка (ПП). Для магнетика роль такого ПП иг-

ли Балтенспергер-Сарма [5, 6], также приводит к

рает вектор намагниченности, а для сверхпроводни-

разрушению сверхпроводящего состояния. При этом

ка - волновая функция сверхпроводящего конденса-

оказывается, что в ферромагнитной фазе, наряду с

та. В то же время сверхпроводимость и магнетизм

однородным сверхпроводящим состоянием Бардина-

- явления, антагонистичные друг к другу. Так, хо-

Купера-Шриффера (БКШ), возможно образование

рошо известно, что магнетизм подавляет сверхпро-

и неоднородного состояния Ларкина-Овчинникова-

водимость, что обусловлено двумя эффектами: ор-

Фульде-Феррелла (ЛОФФ) [7, 8]. В фазе ЛОФФ ку-

битальным и парамагнитным. Орбитальный меха-

перовские пары из-за расщепления спиновых под-

низм был рассмотрен Гинзбургом [1] и заключает-

зон имеют отличный от нуля суммарный импульс

ся в действии силы Лоренца на электроны, состав-

q и, таким образом, сверхпроводящий ПП оказы-

ляющие куперовскую пару, разрушая ее, при дости-

вается модулирован в пространстве Δ(r) = Δ_qe^iqr

жении внешним магнитным полем некоторого кри-

на характерном масштабе ξ_h = 1/q ∼ υ_F /2h, где

тического значения H_c. Напротив, парамагнитный

υ_F - скорость Ферми (здесь и далее мы полагаем

механизм, впервые рассмотренный в пионерских ра-

ℏ = k_B = µ_B = 1). Отметим, что для реальных

ботах Матиаса-Сула [2, 3], а также Абрикосова-

ферромагнетиков, таких как Co, Fe, Ni эта длина со-

Горькова [4], затрагивает спиновые степени свободы

ставляет ξ_h ≈ 1 - 10 нм, что на два порядка мень-

и обусловлен рассеянием электронов проводимости

ше длины когерентности ξ_s = υ_F /2πT_c0 обычного

на парамагнитных примесях. Такое рассеяние нару-

немагнитного сверхпроводника с критической темпе-

ратурой T_c0. Соответственно, в однородных образцах

состояние ЛОФФ оказывается энергетически выгод-

¹⁾e-mail: avdeev.maxim.kfu@gmail.com

154

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 3 - 4

2020

Конкуренция состояний БКШ и ЛОФФ в магнитных сверхпроводниках в криптоферромагнитной фазе 155

нее состояния БКШ только для очень малых зна-

ной структуры ферромагнетика могут существенно

чений обменного поля h ∼ T_c0: численные расче-

модифицировать пространственный масштаб моду-

ты дают следующее значение для этого интервала

ляции ПП, наведенного в ферромагнетике за счет

h/πT_c0 ∈ [0.34, 0.42] [7, 8]. Стоит, однако, отметить,

эффекта близости. Основываясь на этих результа-

что подобные состояния ЛОФФ могут возникать в

тах, здесь мы учитываем эффекты, связанные с тем,

квазидвумерных сверхпроводниках во внешнем маг-

что мажорантная и минорантная спиновые подзоны,

нитном поле, приложенном параллельно сверхпро-

расщепленные обменным полем, могут сближать-

водящим плоскостям. В этом случае диамагнитный

ся или касаться друг друга на поверхности Ферми

эффект практически не дает вклада в подавление

в некоторых кристаллографических направлениях.

сверхпроводимости и определяющим становится зее-

Такой механизм возможен, например, если эффек-

мановское взаимодействие спинов электронов с маг-

тивные массы мажорантной и минорантной спино-

нитным полем. Так, в работах [9, 10] фаза ЛОФФ,

вых подзон отличаются, причем так, что выполняет-

индуцированная сильным параллельным магнитным

ся условие m_↓ > m_↑. Действительно, для наглядно-

полем была экспериментально обнаружена в квази-

сти рассмотрим простой случай параболических зон,

двумерных λ-(BETS)₂FeCl₄ [9] и слоистых κ-(BEDT-

где величину суммарного импульса пары в состоянии

TTF)₂Cu(NCS)₂ [10] органических сверхпроводни-

ЛОФФ можно оценить из условия

ках.

(k₀ + q/2)²/2m_↑ - h = (-k₀ + q/2)²/2m_↓ + h.

С другой стороны, состояния типа ЛОФФ могут

быть наведены за счет эффекта близости [11], напри-

Учитывая, что k₀ ≫ q, последнее можно представить

мер, в искусственных гетероструктурах ферромагне-

в более наглядной форме

тик - сверхпроводник. Проблеме эффекта близости и

k₀q

k²⁰

сопутствующих явлений в таких системах посвящено

=h-η

большое число, как экспериментальных [12-16], так

(1)

m_↓ - m_↑

2m_↑m_↓

и теоретических работ [17-25] (смотри также извест-

η=

M =

m_↓ + m_↑

m_↑ + m_↓

ные обзоры [26-31] и ссылки в них).

Тем не менее, возможность сосуществования

откуда видно, что при η ≈ h/E_F суммарный импульс

сверхпроводимости и магнетизма в однородных об-

пары близок к нулю. В этом случае, мы можем пред-

разцах может реализовываться за счет подстройки

ставить гамильтониан свободных электронов в виде

магнитного упорядочения, когда в сверхпрово-

(

)

дящей фазе энергетически выгоднее становится

m_↑

Ĥ₀ = -1

∇² - σ_zh - E_F ≈

установление неоднородного, модулированного в

↓

(2)

(

)

пространстве, магнитного порядка. Впервые на это

k²⁰

обратили внимание Андерсон и Сул [32], которые

≈-

∇² - E_F - h - η

σ_z,

показали, что магнитная восприимчивость χ(q) в

сверхпроводящем состоянии, в отличии от нормаль-

с некоторым эффективным обменным полем h_eff =

ной фазы, имеет максимум при некотором отличном

= h - ηE_F и эффективной массой M. В предельном

от нуля волновом векторе Q = (a²ξ_s0)^-1/3 (здесь

случае, когда эффективные массы совпадают (η = 0)

a ∼ k^-1F - магнитная корреляционная длина). Такое

мы получаем хорошо известный результат. Таким об-

состояние было названо криптоферромагнитным и

разом, в однородных образцах условие близости зна-

оно реализуется, например, в соединении ErRh₄B₄

чений η и h/E_F может приводить к значительному

с критической температурой T_c0 = 8.7 K. При этом

ослаблению влияния обменного поля на сверхпрово-

неоднородный магнитный порядок возникает уже

димость.

внутри сверхпроводящей фазы при температуре

Приведенные оценки, однако, справедливы для

T_m = 1 K, а при температуре T_c2 = 0.8 K проис-

случая однородной намагниченности. В случае крип-

ходит переход в ферромагнитное состояние, при

тоферромагнитного состояния, магнитный порядок

котором сверхпроводимость оказывается полностью

модулирован в пространстве и в простейшем слу-

подавлена [33].

чае представляет из себя геликоидальную магнит-

В настоящей работе мы обсуждаем возможность

ную структуру

существования и конкуренции фаз ЛОФФ и БКШ

h = (0,hsinQx,hcosQx)

на фоне криптоферромагнитного состояния в чистых

монокристаллических образцах. В наших недавних

с пространственным периодом L

= 2π/Q. Впер-

работах [34, 35] было показано, что особенности зон-

вые подобная задача была рассмотрена Булаев-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 3 - 4

2020

156

Ф. М. Сираев, А. С. Кутузов, М. В. Авдеев, Ю. Н. Прошин

ским и др. [36] в контексте проблемы сосущество-

сывается уравнениями Горькова, которые в матрич-

вания сверхпроводимости и магнетизма в соедине-

ной форме можно представить в виде

нии ErRh₄B₄. Однако, авторы работы [36] рассмотре-

(

)

ли случай сверхпроводящего состояния лишь с про-

G^-1+ iσ_yΔ_q

Ǧ(ξ, q, ω) = 1,

(6)

странственно однородным ПП. Позже, в работе [37]

iσ_yΔ^∗q

G^-1

−

неоднородные состояния типа ЛОФФ были рассмот-

рены на фоне антиферромагнитного упорядочения, с

где

G^-1± = ±iω-

Ĥ_eff(±q, ±Q) (здесь ω = πT(2n+1) -

волновым вектором Q ∼ a^-1, где a - период решетки.

мацубаровская частота). Соответственно, уравнение

Совсем недавно, в работе [38] был рассмотрен случай

самосогласования на ПП имеет вид

одномерного сверхпроводника с конической магнит-

∑

′

ной структурой вида (h cos Qz, h sin Qz, h_z), где пред-

Δ_q =

πT

Re〈T

G(q, ω)γ〉_n,

полагалось, что вектор пары ЛОФФ q и вектор маг-

(

)

(7)

нитной структуры Q параллельны друг другу.

∫

-iσ_y

Здесь мы рассматриваем более общий D-мерный

G(q, ω) =

Ǧ(ξ, q, ω)dξ

, γ=

2π

-iσ_y

случай, когда сверхпроводящий ПП модулирован в

пространстве с волновым вектором q, величина и

где λ - безразмерная константа связи, угловые скоб-

направление которого определяется из условия мак-

ки 〈. . .〉_n означают усреднение по направлению им-

симальности критической температуры T_c. Соответ-

пульса n = k₀/k₀, и суммирование обрезается на час-

ственно, мы ищем решение в виде Δ(r) = Δ_qe^iqr. Та-

тоте Дебая.

ким образом, сверхпроводящая часть гамильтониана

Вблизи температуры перехода T_c, когда ПП мал,

имеет вид

можно разложить правую часть уравнения (7) до

(

)

∑

первого порядка по Δ_q. Таким образом, уравнение

Ĥ_SC =

Δ_qψ^†k+q/2↑ψ^†-k+q/2↓ + h.c. .

(3)

самосогласования сводится к более простому виду

T_c

∑

h^2eff

При этом гамильтониан (2) в случае с неоднородной

= πT_c

(8)

T_c0

|ω|

Ω(Ω² + Γ²

) n

намагниченностью и с учетом различия эффектив-

ных масс (η = 0) запишется как

где Ω = |ω| + iqυ₀/2, Γ² = h^2eff + (Qυ₀/2)², T_c0 - кри-

тическая температура однородного сверхпроводяще-

Ĥ₀ = -

∇² - E_F - hσ +

го состояния при h_eff = 0.

(4)

Численные решения уравнения (8) представле-

[

]

e_h σ∇² + ∇²e_h σ

ны на рис. 1. На верхних панелях рис. 1a-c приве-

2M 2

дены зависимости приведенной критической темпе-

где мы ввели единичный вектор вдоль направления

ратуры t = T_c/T_c0 от величины вектора магнит-

обменного поля e_h = h/h. Отметим также, что по-

ной структуры Qξ_s0 (здесь ξs0 = υ0/2πTc0 - дли-

следнее слагаемое записано в симметричной фор-

на когерентности) и эффективного обменного поля

ме, что обеспечивает эрмитовость данного операто-

h_eff/πT_c0. При этом, для сравнения, случай (a) со-

ра. Далее удобно произвести унитарное преобразова-

ответствует однородному сверхпроводящему состоя-

ние

нию, когда q = 0 (именно этот случай был рассмот-

рен в работе [36]). Светлая штриховая линия опреде-

Ĥ₀ →

Û Ĥ₀Û†_,

Û (r) = exp(iQxσx),

ляет границу между нормальной (NS) и однородной

сверхпроводящей (BCS) фазами. Здесь хорошо вид-

которое диагонализирует член hσ (отметим, что

на конкуренция двух факторов: с одной стороны, как

Ĥ_SC инвариантен относительно данного преобразо-

упоминалось выше, обменное поле стремиться пода-

вания). Переходя в импульсное представление, по-

вить сверхпроводимость, а с другой стороны, увели-

лучаем эффективный гамильтониан свободных элек-

чение Q приводит к обратному эффекту. Физически

тронов

это легко понять из следующих рассуждений: с рос-

том волнового вектора Q пространственный период

Ĥ_eff ≈ ξ +

υ₀q - h_effσ_z -

Qυ₀σ_x,

(5)

магнитной структуры L = 2π/Q уменьшается и, ко-

гда он становится сопоставимым с длиной когерент-

где ξ = k²/2M - E_F , υ₀ = k₀/M, k₀ =

√2ME_F и

ности ξ_s0, куперовская пара “чувствует” некоторое

предполагается, что k₀ ≫ Q, q. Данная система опи-

усредненное значение обменного поля, которое ока-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 3 - 4

2020

Конкуренция состояний БКШ и ЛОФФ в магнитных сверхпроводниках в криптоферромагнитной фазе 157

Рис. 1. (Цветной онлайн) Фазовые диаграммы состояний. (a)-(c) - Зависимость приведенной критической температу-

ры t (показана цветом) от Qξs0 и heff/πTc0: (a) - однородный случай (q = 0); (b) - q ∥ Q; (c) - q ⊥ Q. На нижней

панели представлены соответствующие срезы I-III, обозначенные на диаграммах (b) и (c)

зывается значительно меньше, чем в случае однород-

выражение (8) по степеням q до четвертого поряд-

ной намагниченности, что и приводит к возрастанию

ка. Действительно, численные расчеты показывают,

критической температуры [39, 40].

что фаза ЛОФФ возникает в области, где выполня-

ются условия: qξ_s0, Qξ_s0, h_eff/πT_c0 ≪ 1 (см. рис. 1),

Однако гораздо более интересная картина наблю-

что обосновывает справедливость такого разложе-

дается при учете возможности возникновения неод-

ния. Таким образом, уравнение (8) в данном прибли-

нородного сверхпроводящего состояния типа ЛОФФ

жении будет иметь следующий вид

с волновым вектором пространственной модуляции

q. Действительно, из-за анизотропии, вызванной вы-

ln t ≈ c₁ + c₂ q² + c₃(q

Q)²(1 + 2 cos² ψ) + c₄ q⁴,

(9)

деленным направлением в пространстве, задаваемым

вектором магнитной структуры Q, критическая тем-

где q = qξ_s0,

Q= Qξ_s0, а коэффициенты разложения

пература в ЛОФФ фазе приобретает угловую зави-

определены выражениями

симость T_c(cos ψ), где ψ - угол между векторами q

)

h^2eff

(7ζ(3)

31ζ(5) (Qυ₀)²

и Q. Так, на рис.1b,c, приведены фазовые диаграм-

c₁ = -

(πT_c)²

16 D (2πT_c)²

мы для двух предельных случаев, когда ПП моду-

лирован в пространстве параллельно вектору маг-

)

(7ζ(3)

31ζ(5) 3h2eff

нитной структуры (q ∥ Q, рис. 1b) и перпендику-

c₂ = -

Dt²

(πT_c)²

лярно ей (q ⊥ Q, рис. 1c). На обеих фазовых диа-

127ζ(7) h^2eff

граммах хорошо видно наличие локализованной фа-

c₃ = -

(10)

D(D + 2)t⁴

(πT_c)²

зы ЛОФФ (граница между различными фазами обо-

)

значена светлой штриховой линией), при этом ее пло-

(31ζ(5)

127ζ(7) 10 h^2eff

c₄ =

щадь заметно больше при перпендикулярной ориен-

D(D + 2)t⁴

(πT_c)2

тации векторов q и Q (ψ = π/2), и, соответственно,

где ζ(x) - дзета-функция Римана, а при усреднении

такая конфигурация, являясь энергетически выгод-

по направлению вектора n были использованы из-

ной, обладает более высокой критической темпера-

вестные соотношения 〈n_in_j〉 =

δ_ij, 〈ninj nknl〉 =

турой.

(δ_ij δ_kl + δ_ikδ_jl + δ_ilδ_jk), где D - размер-

D(D+2)

Для дальнейшего анализа угловой зависимости

ность пространства. Отметим, что в отличие от ра-

критической температуры T_c достаточно разложить боты [38], где рассматривался одномерный сверх-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 3 - 4

2020

158

Ф. М. Сираев, А. С. Кутузов, М. В. Авдеев, Ю. Н. Прошин

проводник с конической магнитной структурой h =

= (h cos Qz, h sin Qz, h_z) с отличной от нуля компо-

нентой h_z, разложение (9) содержит только четные

степени q. В предельном же случае, когда h_z = 0,

h ≪ πT_c0, q ≪ 1,

Q≪ 1, ψ = 0 и D = 1, разложе-

ние (9) переходит в один из случаев, полученных в

работе [38].

Возникновение неоднородного (q = 0) сверхпро-

водящего состояния в нашем случае становится воз-

можным, когда коэффициент c₄ < 0, что выполня-

ется при h_eff > 0.316 πT_c, а коэффициент при q², со-

ответственно, должен быть положительным, т.е. при

выполнении условия

Рис. 2. (Цветной онлайн) Зависимость приведенной

критической температуры от угла ψ между векторами

c₂ + c₃

Q²(1 + cos² ψ) > 0.

(11)

Q и q (сплошная красная линия). Штриховая синяя

линия отображает результаты фитинга

При этом коэффициент c₂ становится положитель-

ным при h_eff > 0.59 πT_c, в то время как коэффици-

ент c₃ < 0 при любых значениях h_eff. Таким образом,

магнитного упорядочения является существование

величина импульса пары ЛОФФ определяется как

трикритической точки на границе, разделяющей эти

c₂ - |c₃|Q2(1 + 2 cos² ψ)

две фазы. Это в свою очередь означает, что тип фазо-

q² =

(12)

вого перехода из состояния БКШ в состояние ЛОФФ

2|c₄|

и обратно зависит от пути на фазовой диаграмме, по

откуда, в частности, следует, что неоднородное

которому происходит этот переход. Действительно,

сверхпроводящее состояние становится неустойчи-

на нижней панели рис. 1 представлены срезы, соот-

вым, начиная с некоторого критического значения

ветствующие линиям I-III на фазовых диаграммах

волнового вектора

Q_c, которое определяется из

(см. рис. 1b и c). На этих срезах также отображе-

условия

но поведение волнового вектора q (сплошная крас-

c₂

(13)

ная линия). При пересечении границы FFLO-BCS

|c₃| 1 + cos² ψ

вдоль линии I волновой вектор q скачком меняет

Далее, подставляя (12) в (9), получаем угловую за-

свое значение, что свидетельствует о фазовом пере-

висимость приведенной критической температуры

ходе первого рода. Напротив, если двигаться по ли-

нии II рис. 1c, то наблюдается непрерывное монотон-

c₂|c₃|

t(ψ) ≈ t(0) +

Q²(1 - cos² ψ) + O(Q4),

(14)

ное изменение величины q от его начального значе-

|c₄|

ния qξ_s0 ≈ 0.45 в фазе ЛОФФ до нуля на границе

откуда хорошо видно, что фазе ЛОФФ энергетиче-

раздела FFLO-BCS, что соответствует фазовому пе-

ски выгоднее реализовываться при перпендикуляр-

реходу второго рода. Если же двигаться по линии

ной (ψ = π/2) взаимной ориентации векторов q и

III, начиная с фазы БКШ (где q = 0), то, пересе-

Q. Для сравнения на рис.2 представлен результат

кая границу BCS-FFLO, волновой вектор монотонно

численного расчета угловой зависимости t(ψ), кото-

возрастает от нуля до значения qξ_s0 ≈ 0.5 на проти-

рая хорошо согласуется с полученной выше функ-

воположной границе FFLO-BCS, после чего скачком

цией (14) вида t = a - b cos²(ψ) (синяя штриховая

падает до нуля. Здесь мы наблюдаем два перехода:

линия на рис. 2). Отметим, что вывод о том, что со-

вначале фазовый переход второго рода, а затем пе-

стояния ЛОФФ реализуются при q ⊥ Q, согласуется

реход первого рода. При этом для перехода второго

с результатами работы [37], где, однако, рассматри-

рода критическая температура монотонно возраста-

валось антиферромагнитное упорядочение, для кото-

ет с ростом Q, в то время как для перехода перво-

рого выполняется условие Q ∼ a^-1 и, соответствен-

го рода наблюдается характерный излом на границе

но, Qξ_s0 ≫ 1. Результаты нашей работы показывают,

между состояниями ЛОФФ и БКШ.

что состояния ЛОФФ при геликоидальном упорядо-

Результаты нашей работы показывают, что для

чении в этой области не возникают.

возникновения состояния ЛОФФ на фоне крипто-

Другой интересной особенностью конкуренции

ферромагнитного состояния, необходимо выполне-

состояний БКШ и ЛОФФ на фоне геликоидального

ние ряда условий. Одним из наиболее важных яв-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 3 - 4

2020

Конкуренция состояний БКШ и ЛОФФ в магнитных сверхпроводниках в криптоферромагнитной фазе 159

ляется ограничение на величину обменного поля h ∼

B. Büchner, and I. A. Garifullin, Phys. Rev. B 91,

∼ T_c0. Однако, как мы показали, если имеется сбли-

214508 (2015).

жение спин-расщепленных зон на поверхности Фер-

16.

A. Singh, S. Voltan, K. Lahabi, and J. Aarts, Phys. Rev.

ми, то это приводит к эффективной перенормиров-

X 5, 021019 (2015).

ке обменного поля и соответствующее условие h_eff =

17.

A. F. Volkov and K. B. Efetov, Phys. Rev. B 81, 144522

= h - ηE_F ∼ T_c0 может быть выполнено даже для

(2010).

достаточно сильных обменных полей (h ≫ T_c0) при

18.

Ya. V. Fominov, A. A. Golubov, T. Yu. Karminskaya,

M. Yu. Kupriyanov, R. G. Deminov, and L. R. Tagirov,

η ≈ h/E_F.

JETP Lett. 91, 308 (2010).

Другим нетривиальным выводом работы являет-

19.

F. S. Bergeret and I. V. Tokatly, Phys. Rev. Lett. 110,

ся то, что возникающие состояния ЛОФФ оказыва-

117003 (2013).

ются модулированными в направлении перпендику-

20.

M. V. Avdeev and Yu. N. Proshin, JETP 117, 1101

лярном вектору магнитной структуры Q.

(2013).

Работа поддержана субсидией Минобрнауки

21.

M. Alidoust, K. Halterman, and O. T. Valls, Phys. Rev.

РФ, выделенной КФУ для выполнения проекта

B 92, 014508 (2015).

(# 3.2166.2017) по государственному заданию в

22.

K. Halterman, O. T. Valls, and Ch.-Te. Wu, Phys. Rev.

области научной деятельности.

B 92, 174516 (2015).

23.

M. V. Avdeev and Yu. N. Proshin, JETP Lett. 102, 96

(2015).

В. Л. Гинзбург, ЖЭТФ 31, 202 (1956).

24.

M. Avdeev and Y. Proshin, J. Low Temp. Phys. 185,

B. T. Matthias, H. Suhl, and E. Corenzwit, Phys. Rev.

453 (2016).

Lett. 1, 92 (1958).

25.

K. Halterman and M. Alidoust, Phys. Rev. B 94, 064503

H. Suhl and B. T. Matthias, Phys. Rev. 114, 977 (1959).

(2016).

А.А. Абрикосов, Л. П. Горьков, ЖЭТФ 39, 1781

26.

Ю. А. Изюмов, Ю. Н. Прошин, М. Г. Хусаинов, УФН

(1960).

172, 113 (2002).

W. Baltensperger, Physica 24, S153 (1958).

27.

I. Zutic, J. Fabian, and S. Das Sarma, Rev. Mod. Phys.

G. Sarma, J. Phys. Chem. Solids 24, 1029 (1963).

76, 323 (2004).

A.I. Larkin and Y. N. Ovchinnikov, JETP 47, 1136

28.

A. A. Golubov, M. Y. Kupriyanov, and E. Il’ichev, Rev.

(1964).

Mod. Phys. 76, 411 (2004).

P. Fulde and R. Ferrell, Phys. Rev. 135, A550 (1964).

29.

A. I. Buzdin, Rev. Mod. Phys. 77, 935 (2005).

S. Uji, T. Terashima, M. Nishimura, Y. Takahide,

30.

F. S. Bergeret, A. F. Volkov, and K. B. Efetov, Rev.

T. Konoike, K. Enomoto, H. Cui, H. Kobayashi,

Mod. Phys. 77, 1321 (2005).

A. Kobayashi, H. Tanaka, M. Tokumoto, E. S. Choi,

31.

M. Eschrig, Rep. Prog. Phys. 78, 104501 (2015).

T. Tokumoto, D. Graf, and J. S. Brooks, Phys. Rev.

Lett. 97, 157001 (2006).

32.

P. W. Anderson and H. Suhl, Phys. Rev. 116, 898

(1959).

10.

R. Lortz, Y. Wang, A. Demuer, P. H. M. Böttger,

B. Bergk, G. Zwicknagl, Y. Nakazawa, and J. Wosnitza,

33.

А. И. Буздин, Л. Булаевский, М. Кулич, С. Панюков,

Phys. Rev. Lett. 99, 187002 (2007).

УФН 144, 597 (1984).

11.

P. G. de Gennes, Rev. Mod. Phys. 36, 225 (1964).

34.

M. V. Avdeev and Y. N. Proshin, Phys. Rev. B 97,

100502 (2018).

12.

V.V. Ryazanov, V. A. Oboznov, A. Yu. Rusanov,

A.V. Veretennikov, A.A. Golubov, and J. Aarts, Phys.

35.

Y. N. Proshin and M. V. Avdeev, JMMM 459, 359

Rev. Lett. 86, 2427 (2001).

(2018).

36.

L. N. Bulaevskii, A. I. Rusinov, and M. Kulić, J. Low

13.

R.S. Keizer, S. T. B. Goennenwein, T. M. Klapwijk,

G. Miao, G. Xiao, and A. Gupta, Nature 439, 7078

Temp. Phys. 39, 255 (1980).

(2006).

37.

L. Bulaevskii, R. Eneias, and A. Ferraz, Phys. Rev. B

93, 014501 (2016).

14.

A.K. Feofanov, V.A. Oboznov, V. V. Bol’ginov,

Lisenfeld,

Poletto,

V. V. Ryazanov,

38.

H. Meng, A. V. Samokhvalov, and A.I. Buzdin, Phys.

A.N. Rossolenko, M. Khabipov, D. Balashov,

Rev. B 99, 024503 (2019).

A.B. Zorin, P. N. Dmitriev, V.P. Koshelets, and

39.

V. A. Tumanov and Y. N. Proshin, J. Low Temp. Phys.

A.V. Ustinov, Nat. Phys. 6, 593 (2010).

186, 460 (2016).

15.

P. V. Leksin, N. N. Garif’yanov, A. A. Kamashev,

40.

V. A. Tumanov, Y.V. Goryunov, and Y.N. Proshin,

Ya. V. Fominov, J. Schumann, C. Hess, V. Kataev,

JETP Lett. 107, 426 (2018).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 3 - 4

2020