Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 4, с. 219 - 222
© 2020 г. 25 февраля
Кварковый и глюонный конденсаты при конечном изоспиновом
химическом потенциале
Н.О.Агасян1)
Институт теоретической и экспериментальной физики, 117218 Москва, Россия
Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ, 115409 Москва, Россия
Поступила в редакцию 14 января 2020 г.
После переработки 21 января 2020 г.
Принята к публикации 21 января 2020 г.
Изучается непертурбативный вакуум КХД при конечном изоспиновом химическом потенциале. Из
первых принципов выведены низкоэнергетические соотношения для кваркового и глюонного конденса-
тов. Получены аналитические выражения для кваркового и глюонного конденсатов в пион-конденсатной
фазе на древесном уровне киральной теории возмущений. Показано, что кварковый конденсат падает,
в то время как глюонный конденсат растет с ростом µI .
DOI: 10.31857/S0370274X20040025
1. Явление пионной конденсации в ядерной мате-
свойств и не зависящие от деталей механизма кон-
рии (при конечной барионной плотности) имеет дав-
файнмента, позволяют получить информацию, кото-
нюю историю [1-5]. В начале 2000 гг. было показано
рую иногда невозможно получить каким-либо дру-
[6-9], что при нулевой барионной плотности и тем-
гим путем. Также они могут быть использованы как
пературе происходит конденсация заряженных пио-
“физически разумные” ограничения при построении
нов при критическом изоспиновом химическом по-
эффективных теорий и различных моделей КХД-
тенциале µcI = mπ. Данное явление изучалось во
вакуума. В КХД низкоэнергетические теоремы при
множестве работ в рамках киральной теории возму-
T = 0, µq = 0 были получены в [18, 19]. В магнит-
щений (КТВ), Намбу-Иона-Лазинио модели, кварк-
ном поле низкоэнергетические теоремы и их прило-
мезонной модели и их расширений на включение
жения к различным физическим процессам исследо-
Поляковской петли. Ссылки приведены в работах
вались в [20-30]. Низкоэнергетические соотношения
[10, 11] и недавнем обзоре [12]. На основе этого явле-
для тензора энергии-импульса при конечной темпе-
ния был предложен новый тип компактных звезд -
ратуре изучались в [31-35].
пионные звезды [10, 13]. Конденсаты в квантовой
В настоящей работе изучается поведение кварко-
хромодинамике (КХД) в изоспиновой материи изу-
вого и глюонного конденсатов при конечном изоспи-
чались в [14].
новом потенциале в пион-конденсатной фазе.
В квантово-полевых теориях важную роль иг-
2. В евклидовой формулировке статистическая
рают соотношения, которые являются следствиями
сумма КХД при наличии изоспинового химического
симметрийных свойств теории. Поиски симметрий
потенциала µI может быть записана в виде
∫
{
∫
}
и ограничений, которые эти симметрии накладыва-
∏
ют на физические характеристики системы, приоб-
Z =
[DA]
[Dq][Dq] exp
- d4xL
,
(1)
q=u,d
V4
ретают особое значение в КХД-теории с конфайн-
ментом, где “наблюдаемыми” величинами являются
где лагранжиан КХД имеет вид
составные состояния - адроны. В понимании непер-
1
турбативных вакуумных свойств КХД принципиаль-
L=
(Gaµν )2 +
4g2
0
но важную роль играют низкоэнергетические теоре-
(
)
]
∑ [
мы или тождества Уорда (масштабные и киральные).
λa
1
+
q γµ
∂µ - i
Aa
+
µIγ0τ3 + m0q q, (2)
µ
В КХД низкоэнергетические теоремы были получе-
2
2
q=u,d
ны в начале 1980-х гг. [15-17]. Низкоэнергетические
здесь кварки с ароматом q = (u, d) и затравочной
теоремы КХД, следующие из общих симметрийных
массой m0q и для простоты явно не выписаны “ду-
ховые” и фиксирующие калибровку слагаемые. Дав-
1)e-mail: agasian@itep.ru
ление дается выражением V4P (µI , m0u, m0d) = ln Z.
Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 3 - 4
2020
219
220
Н.О.Агасян
Из (1) следует соотношение для глюонного конден-
〈G2〉(µI , mu, md) =
(9)
(
)
сата (〈G2〉 ≡ 〈(Gaµν)2〉)
2
∑
16πα
s
∂
∂
=-
4-µI
-
(1 + γmq )mq
PR.
β(αs
)
∂µI
∂mq
∂P
q
〈G2〉(µI , m0u, m0d) = -4
(3)
∂(1/g20)
Удобно выбрать такой большой масштаб, что мож-
Система, описываемая статистической суммой (1),
но взять нижний порядок выражений, β(αs)
→
→ -bα2s/2π, где b = (11Nc - 2Nf)/3 и 1 + γm → 1.
характеризуется набором размерных параметров
M, µI, m0q(M) и безразмерным зарядом g20(M),
Таким образом, мы имеем следующие уравнения для
конденсатов:
где M есть ультрафиолетовое обрезание. С другой
стороны можно рассмотреть перенормированное
〈G2〉(µI ) =
(10)
(
)
давление PR и, используя размерные и ренорм-
∑
32π2
∂
∂
групповые свойства PR, выразить
(3) в форме,
=
4-µI
-
mq
PR ≡
DPR,
b
∂µI
∂mq
содержащей производные относительно физического
q
параметра µI и перенормированных масс mq.
∂PR
〈qq〉(µI ) = -
(11)
Явление размерной трансмутации приводит к по-
∂mq
явлению непертурбативного размерного параметра
3. В КХД эффективное давление, из которого
}
{∫∞
можно получить конденсаты 〈qq〉(µI ) и 〈G2〉(µI ), ис-
dαs
Λ = M exp
,
(4)
пользуя общие соотношения (10) и (11), записывает-
αs
(M)
β(αs)
ся в виде
Peff(µI) = -εvac + Pπ(µI),
(12)
где αs = g20/4π, и β(αs) = dαs(M)/d ln M - функция
Гелл-Манна-Лоу. Хорошо известно, что масса квар-
где εvac
=14 〈θµµ〉 - непертурбативная плотность
ка имеет аномальную размерность и зависит от мас-
энергии вакуума при µI = 0 и
штаба M. Ренорм-групповое уравнение для бегущей
∑
b
массы m0(M) имеет вид d ln m0/d ln M = -γm и мы
〈θµµ〉 = -
〈G2〉 +
mq〈qq〉
(13)
32π2
использовали MS схему, для которой β и γm явля-
q=u,d
ются независимыми от кварковой массы [19, 36]. Ре-
норминвариантная масса имеет вид
- след тензора энергии-импульса. В уравнении (12)
Pπ(µI) - давление, создаваемое пионами при конеч-
}
{∫α
s(M) γmq (αs)
ном изоспиновом химическом потенциале. Кварко-
mq = moq(M)exp
(5)
dαs
вый и глюонный конденсаты даются уравнениями
β(αs)
∂Peff
Далее мы заметим, что так как давление являет-
〈qq〉(µI ) = -
,
(14)
∂mq
ся реном-инвариантной величиной, то его аномаль-
ная размерность равна нулю. Таким образом, PR
〈G2〉(µI ) =
DPeff,
(15)
имеет только нормальную (каноническую) размер-
ность, равную 4. Используя ренорм-инвариантность
где оператор
D определен соотношением (10)
Λ, можно записать в наиболее общем виде
(
)
∑
32π2
∂
∂
)
D=
(µI
mu
md
4-µI
-
mq
(16)
PR = Λ4f
,
,
,
(6)
b
∂µI
∂mq
q
Λ
Λ
Λ
где f есть некоторая функция. Из (4), (5) и (6) по-
Рассмотрим случай µI = 0. Используем низко-
энергетическую теорему для производной глюонного
лучаем
конденсата по массе кварка [15]
∂PR
∂PR
∂Λ
∑
∂PR
∂mq
∫
=
+
,
(7)
∂
∂(1/g20)
∂Λ ∂(1/g20)
∂mq ∂(1/g20)
q
〈G2〉 = d4x〈G2(0)qq(x)〉 =
∂m
q
∂mq
γmq(αs)
96π2
= -4πα2mq
(8)
s
=-
〈qq〉 + O(mq ),
(17)
∂(1/g20)
β(αs)
b
С учетом (3) глюонный конденсат дается выраже-
где O(mq) обозначает линейные члены по массам лег-
нием
ких кварков. Получаем следующее соотношение
Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 3 - 4
2020
Кварковый и глюонный конденсаты при конечном изоспиновом химическом потенциале
221
∂εvac
b
∂
1
ранними численными расчетами [8, 9] и с недавними
=-
〈G2〉 +
〈qq〉 =
∂mq
128π2 ∂mq
4
расчетами на решетке в КХД [37] при нулевой тем-
3
1
пературе.
=
〈qq〉 +
〈qq〉 = 〈qq〉.
(18)
4
4
Глюонный конденсат в области пионного конден-
сата (µI > mπ) сначала уменьшается, достигая сво-
Заметим, что три четверти кваркового конденса-
его минимального значения при µI
= 21/4mπ
≃
та происходят из глюонной части непертурбативной
≃ 1.19mπ, а затем растет. В точке µI = 21/2mπ ≃
плотности энергии вакуума. Действуя аналогичным
≃ 1.41mπ он сравнивается со своим вакуумным зна-
образом, получим выражение для глюонного конден-
чением 〈G2〉 и далее продолжает расти с ростом µI .
сата
Данное явление можно назвать глюонным катализом
-Dεvac = 〈G2〉.
(19)
при конечном изоспиновом потенциале.
Для того чтобы получить зависимость кварково-
4. В предлагаемой работе изучался непертурба-
го и глюонного конденсатов от изоспинового химиче-
тивный вакуум КХД при конечном изоспиновом хи-
ского потенциала µI , используем соотношение Гелл-
мическом потенциале. Из первых принципов выве-
Манна-Оакса-Реннера (ГОР) (Σ = |〈uu〉| = |
dd〉|)
дены низкоэнергетические соотношения для кварко-
вого и глюонного конденсатов. Получены аналитиче-
1
f2πm2π = -
(mu + md)〈uu +
dd〉 = (mu + md)Σ. (20)
ские выражения для кваркового и глюонного конден-
2
сатов в пион-конденсатной фазе на древесном уровне
Тогда мы находим следующие соотношения
киральной теории возмущений. Показано, что квар-
ковый конденсат падает, в то время как глюонный
∂
Σ
∂
=
,
(21)
конденсат растет с ростом µI .
∂mq
f2
∂m2
π
π
Автор благодарит за поддержку MEPhI Academic
∑
∂
Σ
∂
∂
Excellence Project (Contract # 02.A03.21.0005).
(mu + md)
=m2
,
(22)
mq ∂mq =
f2π
∂m2π
π∂m2π
q
(
)
2
1. A. B. Migdal, ZhETF 61, 2209 (1971).
32π
∂
∂
D=
4-µI
-m2
(23)
b
∂µI
π∂m2
2. A. B. Migdal, Phys. Rev. Lett. 31, 257 (1973).
π
3. A. B. Migdal, E. E. Saperstein, M. A. Troitsky, and
Давление, из которого можно получить кварко-
D. N. Voskresensky, Phys. Rep. 192, 179 (1990).
вый и глюонный конденсаты в фазе пионного кон-
4. R. F. Sawyer, Phys. Rev. Lett. 29, 382 (1972).
денсата (µI > mπ), на древесном уровне киральной
5. D. J. Scalapino, Phys. Rev. Lett. 29, 386 (1972).
теории возмущений имеет вид [10]
6. D. T. Son and M. A. Stephanov, Phys. Rev. Lett. 86,
(
)2
592 (2001).
1
m2π
PChPTπ =
f2πµ2I
1-
(24)
7. D. T. Son and M. A. Stephanov, Phys. Atom. Nucl. 64,
2
µ2
I
834 (2001) [Yad. Fiz. 64, 899 (2001)].
Используя уравнения (12), (14), (21), (24) для квар-
8. J. B. Kogut and D. K. Sinclair, Phys. Rev. D 66, 014508
кового конденсата при µI > mπ, находим
(2002).
9. J. B. Kogut and D. K. Sinclair, Phys. Rev. D 66, 034505
m2π
(2002).
Σ(µI ) = Σ
(25)
µ2
10. J. O. Andersen and P. Kneschke, arXiv:1807.08951 [hep-
I
ph].
Аналогично, для глюонного конденсата в пион-
11. P. Adhikari and J. O. Andersen, arXiv:1909.01131 [hep-
конденсатной фазе, используя уравнения (12), (15),
ph].
(23), (24), получим
12. M. Mannarelli, Particles 2(3), 411 (2019).
13. B. B. Brandt, G. Endrodi, E. S. Fraga, M. Hippert,
〈G2〉(µI ) = 〈G2〉 +
J. Schaffner-Bielich, and S. Schmalzbauer, Phys. Rev.
(
)
2
D 98(9), 094510 (2018).
32π
m2π
m4π
+
f2πµ2
1-3
+2
(26)
I
14. L. He, Y. Jiang, and P. Zhuang, Phys. Rev. C 79, 045205
b
µ2I
µ4
I
(2009).
При µI < mπ система находится в вакуумной фа-
15. V. A. Novikov, M. A. Shifman, A. I. Vainshtein, and
зе и конденсаты равны своим вакуумным значениям.
V. I. Zakharov, Nucl. Phys. B 191, 301 (1981).
Мы видим, что кварковый конденсат падает с ростом
16. V. A. Novikov, M. A. Shifman, A. I. Vainshtein, and
µI какmπ
. Данное поведение хорошо согласуется с
V. I. Zakharov, Sov. J. Part. Nucl. 13, 224 (1982).
µ2I
Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 3 - 4
2020
222
Н.О.Агасян
17. A. A. Migdal and M. A. Shifman, Phys. Lett. B 114, 445
28. N. O. Agasian, Phys. Atom. Nucl. 71, 1967 (2008) [Yad.
(1982).
Fiz. 71, 1998 (2008)].
18. P. J. Ellis, J. I. Kapusta, and H. B. Tang, Phys. Lett. B
29. N. O. Agasian, JETP Lett. 104(2), 71 (2016) [Pis’ma v
443, 63 (1998).
104(2), 71 (2016)].
19. I. A. Shushpanov, J. I. Kapusta, and P. J. Ellis, Phys.
30. N. O. Agasian and S. M. Fedorov, Phys. Lett. B 663,
Rev. C 59, 2931 (1999).
445 (2008).
20. N. O. Agasian and I. A. Shushpanov, JETP Lett. 70,
31. N. O. Agasian, JETP Lett. 57, 208 (1993) [Pis’ma v 57,
717 (1999) [Pis’ma v ZhETF 70, 711 (1999)].
200 (1993)].
21. N. O. Agasian and I. A. Shushpanov, Phys. Lett. B 472,
32. N. O. Agasian, JETP Lett. 74, 353 (2001).
143 (2000).
33. N. O. Agasian, Phys. Lett. B 519, 71 (2001).
22. N. O. Agasian and I. A. Shushpanov, JHEP 0110, 006
34. N. O. Agasian, Phys. Atom. Nucl. 68, 723 (2005) [Yad.
(2001).
Fiz. 68, 755 (2005)].
23. N. O. Agasian, Phys. Atom. Nucl. 64, 554 (2001) [Yad.
35. N. O. Agasian, Phys. Atom. Nucl. 67, 391 (2004) [Yad.
Fiz. 64, 608 (2001)].
Fiz. 67, 409 (2004)].
24. N. O. Agasian, JETP Lett. 95, 171 (2012).
36. T. Muta, Foundations of Chromodynamics, World
25. N. O. Agasian, Phys. Atom. Nucl. 74, 1230 (2011) [Yad.
Scientific Lecture Notes in Physics 57, World Scientific,
Fiz. 74, 1259 (2011)].
Singapore (1998).
26. N. O. Agasian, Phys. Lett. B 562, 257 (2003).
37. B. B. Brandt, G. Endrodi, and S. Schmalzbauer, Phys.
27. N. O. Agasian, Phys. Lett. B 488, 39 (2000).
Rev. D 97(5), 054514 (2018).
Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 3 - 4
2020
