Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 4, с. 251 - 256

Коллективные движения атомов в перегретом кристалле и

переохлажденном расплаве простого металла

Г. Э. Норман^∗×, Д. Ю. Флейта^+×1)

⁺Национальный исследовательский университет “Высшая школа экономики”, 101000 Москва, Россия

^∗Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), 141700 Долгопрудный, Россия

^×Объединенный институт высоких температур РАН, 125412 Москва, Россия

Поступила в редакцию 6 января 2020 г.

После переработки 23 января 2020 г.

Принята к публикации 23 января 2020 г.

Исследованы равновесные и метастабильные состояния кристалла и расплава в окрестности точки

равновесного фазового перехода кристалл-расплав. Инструментом исследования выбран четырехточеч-

ный корреляционный коэффициент, предложенный ранее для выявления коллективных движений ато-

мов в жидкости. В качестве примера рассматривается модель погруженного атома меди, используется

метод молекулярной динамики. Обнаружен сильный гистерезис значений корреляционного коэффици-

ента по путям изохорического перегрева кристалла до его плавления вблизи спинодали и обратного

переохлаждения расплава до его кристаллизации. Раскрыты возможности этого коэффициента для

количественной оценки характера ближнего порядка, степени коррелированности движения соседних

атомов и радиуса действия динамических коллективных эффектов в конденсированном веществе.

DOI: 10.31857/S0370274X20040104

Введение. Аппарат корреляционных функций

нее, этот подход позволяет обнаружить коллектив-

(см., например, [1-11]) стал мощным инструментом

ные движения атомов и их близкодействующие кор-

исследования жидкостей и других неупорядоченных

реляции в равновесных кристаллах простых метал-

систем на атомном уровне. Крупные результаты по-

лов. Тот же подход используется и для перегретых

лучены с помощью метода молекулярной динамики

состояний этих кристаллов и переохлажденных со-

[8-16], который позволяет находить временные зави-

стояний их расплавов. Это справедливо, поскольку

симости изменения структурных свойств вещества

при рассмотрении метастабильных состояний на вре-

и проводить изучение пространственно-временных

менах, меньших времени жизни, возможно определе-

особенностей упорядоченности любых систем. В ра-

ние любых величин в рамках тех же подходов, что и

ботах [17-19], в рамках метода молекулярной ди-

для равновесных состояний (см., например, [25-29]).

намики, было предложено рассчитывать четырех-

В следующем разделе кратко представлен кор-

точечные двухатомные временные корреляционные

реляционный коэффициент - интегральная количе-

функции для поиска пространственной неоднородно-

ственная характеристика в рамках метода четырех-

сти жидкой и стеклообразующей фаз. С помощью

точечных корреляционных функций. Во втором раз-

этого подхода был раскрыт характер динамики кол-

деле изложены способы получения изохор при охла-

лективных движений атомов в равновесных жидко-

ждении и нагреве системы в рамках метода моле-

стях на описательном уровне [19-23]. В работе [24] на

кулярной динамики. В третьем разделе приведены

их основе предложен корреляционный коэффициент,

результаты для гистерезиса значений корреляцион-

позволивший количественно описать степень коллек-

ного коэффициента по путям нагрева кристалла до

тивности движений атомов в жидкостях; получены

его плавления и обратного охлаждения расплава до

первые результаты для примеров равновесных и ме-

его кристаллизации. В последнем разделе обсужда-

тастабильных состояний простых жидкостей.

ются причины обнаруженного превышения значений

В настоящей работе подход [24] применен к твер-

данного коррелятора для кристалла над значениями

дым телам, в которых движения атомов принципи-

для расплава.

ально отличны от движения в жидкостях. Тем не ме-

Корреляционный коэффициент. Четырехто-

чечный коррелятор был введен в [19] и может быть

¹⁾e-mail: fleyta.du@phystech.edu

раскрыт как

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 3 - 4

2020

251

252

Г. Э. Норман, Д. Ю. Флейта

V 2(t) ≡ 〈[r_ik(t) - r_ik(0)]²〉_R =

где усреднение по ансамблю заменяется усреднени-

ем величины по времени. Зависимость от темпера-

= 〈[r_k(t) - r_k(0)]² + [r_i(t) - r_i(0)]²〉_R -

туры и диагностического радиуса R является неяв-

- 2〈[r_k(t) - r_k(0)] · [r_i(t) - r_i(0)]〉_R,

(1)

ной. Величина CC(T, R, τ) позволяет сравнить степе-

где r_ik(t) = rk(t) - ri(t), а rk(t) и ri(t) - радиус-

ни сонаправленности смещений, т.е. степени коллек-

векторы атомов k и i в момент времени t; угловые

тивности движения атомов при различных темпера-

скобки 〈. . .〉_R означают усреднение величины по ан-

турах. Этот коэффициент будет применяться далее

самблю, с учетом всех пар атомов, которые отдалены

для изучения свойств системы в зависимости от тем-

друг от друга на расстояние (R ± ǫ) в начальный мо-

пературы и диагностического радиуса R при нагреве

мент времени для данной конфигурации. По своему

кристалла и охлаждении расплава вдоль изохоры.

смыслу, функция V 2(t) характеризует согласован-

Сканирование изохоры. Поведение твердой

ность движения соседних атомов между собой. Зна-

фазы изучалось на основе моделирования кристалла

чение изначального расстояния в паре R естественно

меди, в которой взаимодействие между атомами бы-

выбирать, начиная с радиуса первой координацион-

ло представлено в виде модели погруженного атома

ной сферы. Исходя из определения, видно, что функ-

с параметрами, рассчитанными в работах [31, 32]. В

ция V 2(t) позволяет выявлять коллективные движе-

рамках этой модели температура равновесного плав-

ния атомов, но она не является оптимальной для

ления равняется 1380 К [32, 33], при эксперименталь-

этих целей. Если выделить и опустить тривиальные

ном значении в 1360 К. Корреляционные функции

диффузионные вклады, то можно определить корре-

рассчитывались на основе траекторий атомов для

лятор DP (t) ≡ 〈[r_i(t)-r_i(0)]·[r_k(t)-r_k(0)]〉_R, который

последовательных моделируемых состояний системы

описывает исключительно коллективные перемеще-

вдоль изохоры. Область моделирования представля-

ния как эволюцию среднего скалярного произведе-

ет собой куб размерами 22a_Cu × 22a_Cu × 22a_Cu, со-

ния векторов перемещений двух атомов, отдаленных

держащий 42 592 атомов с наложенными периоди-

на R в начальный момент времени. Нормируя кор-

ческими условиями по трем осям x, y, z. В каче-

релятор DP (t), получаем выражение

стве начальной конфигурации атомы размещались

в узлах гранецентрированной кубической решетки

[r_i(t) - r_i(0)] · [r_k(t) - r_k(0)]

CC(t) ≡

(a_Cu = 3.612Å), что соответствует плотностям кри-

|r_i(t) - r_i(0)| · |r_k(t) - r_k(0)|_R

сталла в окрестности точки равновесного плавления.

= 〈cos ϕ(t)〉_R.

(2)

Начальные скорости атомов задавались максвеллов-

Полученная функция описывает эволюцию средне-

ским распределением.

го косинуса угла cosϕ(t) между векторами переме-

Изучение свойств кристалла на изохоре для каж-

щений двух атомов, отдаленных на расстояние R в

дой температуры проводилось в несколько этапов.

начальный момент времени. Иными словами, корре-

Изначально система, исходная конфигурация кото-

ляционная функция CC(t) описывает временную за-

рой представляет собой идеальную ГЦК решетку,

висимость степени сонаправленности векторов пере-

стабилизировалась при целевой температуре с помо-

мещений двух атомов, близких друг к другу. Функ-

щью термостата Нозе-Гувера в течении 500 пс. За-

ция CC(t) монотонно спадает для любого состояния

тем проводилось зануление скорости центра масс.

системы [30], и, в силу своего определения, не долж-

Для расчета значений корреляционных функций ис-

на явно зависеть от температуры системы. Зависи-

пользовались состояния ансамбля частиц с постоян-

мость от температуры проявляется только через тем-

ной энергий, записываемые после проведения упо-

пературные зависимости параметров, определяющих

мянутых процедур. Указанные расчеты проводились

значение CC(t). Это удобно при изучении величины

не менее 16 раз для каждой температуры на изохо-

согласованности движения при охлаждении или на-

ре. Статистическая независимость траекторий обес-

греве системы вдоль изохор. Рассмотрим значения

печивалась различными розыгрышами начальных

CC(t) для различных температур T при фиксиро-

максвелловских распределений скоростей. Усредне-

ванном времени наблюдения τ. Корреляционный ко-

ние по нескольким независимым траекториям поз-

эффициент вводится как [30]

воляло проводить расчеты параллельно, что суще-

ственно сокращало время расчета по сравнению с

CC(T,R,τ) =

усреднением по одной траектории той же суммарной

[r_i(t + τ) - r_i(t)] · [r_k(t + τ) - r_k(t)]

длины.

|r_i(t + τ) - r_i(t)| · |r_k(t + τ) - r_k(t)|_R

Длина каждой траектории (порядка десятка на-

= 〈cos ϕ〉_R,

(3)

носекунд) была намного выше ожидаемого характер-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 3 - 4

2020

Коллективные движения атомов в перегретом кристалле...

253

ного времени исследуемых корреляций, что позволя-

ет усреднять значения корреляций на большом коли-

честве отрезков одной траектории, каждый раз сдви-

гая точку отсчета на интервал, больший не только

времени памяти [13], но и времени жизни гидроди-

намических флуктуаций (50 пс). Таким образом осу-

ществляется усреднение по времени. Процедура об-

ратного охлаждения проводилась по алгоритму, опи-

санному в [24].

Расчеты проводились с использованием пакета

LAMMPS [34]. Программа расчета корреляционно-

го коэффициента (4) написана дополнительно. Пара-

метр допустимого отклонения величины межчастич-

ного расстояния ǫ в паре выбирался равным 0.5Å при

исследовании температурных зависимостей и 0.05Å

при рассмотрении пространственного поведения.

Температурная зависимость корреляцион-

ного коэффициента. Пример результатов расчета

Рис. 1. (Цветной онлайн) Температурные зависимости

корреляционного коэффициента CC(T, R, τ) для изо-

корреляционного коэффициента CC(T, R) при изохо-

рическом нагреве кристалла меди (красные кружки) и

хоры меди при плотности 8.9 г/cм³ при постоянном

охлаждения полученного расплава (синие треугольни-

R, соответствующем радиусу первой координацион-

ки), образующегося после спинодального распада твер-

ной сферы, представлен на рис. 1. Качественный ха-

дой фазы; линии проведены для наглядности. Величи-

рактер кривых лишь незначительно меняется с изме-

на диагностического радиуса R = 2.5Å. Красные и си-

нением характерного времени τ, поэтому далее по-

ние стрелки у кривых нагрева и охлаждения показыва-

ложим его равным 800 пс (как и в работе [24] для

ют обратимость этих процессов. Красная и синяя вер-

жидкости, см. рис. 2) и опустим из рассмотрения как

тикальные стрелки указывают на необратимые скачки,

аргумент функции. Выделим следующие особенно-

т.е. границы существования твердой фазы при пере-

сти на рис.1, следуя последовательности состояний,

греве (2120 К) и жидкой при переохлаждении (1210 К).

возникающих при нагреве.

Черная стрелка обозначает точку равновесного плав-

Значения коэффициента CC(T, R) для перегре-

ления/кристаллизации

того кристалла оказываются близкими к значени-

ям CC(T, R) для равновесного кристалла в области

точки равновесного плавления 1375 К. Заметное от-

клонение наблюдается только при сильном перегреве

до 1900 К. Снижение ускоряется с дальнейшим рос-

том температуры и заканчивается распадом около

2100 К. Природу этого распада можно соотнести с

приближением к точке спинодали, когда среднее вре-

мя жизни метастабильного состояния сравнивается с

временем молекулярно-динамического расчета.

Все состояния на температурной зависимости

CC(T,R) для температур, меньших температуры

распада, являются обратимыми. То есть, если оста-

новить нагрев в любой из этих точек и, начав с нее,

запустить, наоборот, охлаждение кристалла, то по-

лученная зависимость для CC(T, R) воспроизведет в

обратном направлении кривую, найденную при про-

Рис. 2. (Цветной онлайн) Температурная зависимость

ведении нагрева. Этот факт отражен около зависи-

кривых коррелятора CC(T, R) при разных значениях

мостей на рис. 1 в виде стрелок в двух направлениях:

характерного времени τ

= 100, 300, 1500 и 2500 пс

красные (нагрев) и синие (охлаждение).

(сверху вниз)

При распаде коэффициент CC(T, R) скачком

уменьшается в четыре раза около 2120 К. Кристалл

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 3 - 4

2020

254

Г. Э. Норман, Д. Ю. Флейта

Рис. 3. (Цветной онлайн) Пространственное распределение корреляционных коэффициентов CC(T, R) (красные ли-

нии) и парных корреляционных функций g(R) (синие линии) в кристалле (верхние графики) и расплаве (нижние

графики) при T = 1230 K (a), T = 1400 K (b) и T = 2100 K (с)

плавится и температурная зависимость CC(T, R) пе-

стояний разных фаз. А абсолютные фоновые значе-

реходит на ветвь для жидкости. Этот переход явля-

ния CC(T, R) для равновесных состояний для кри-

ется необратимым. То есть, если остановить нагрев в

сталла более, чем на порядок выше, чем для распла-

любой из точек при температуре выше 2120 К и, на-

ва. Поэтому эффект, замеченный в [24] для перехода

чав с нее, запустить, наоборот, охлаждение распла-

от равновесного к метастабильному расплаву, остал-

ва, то полученная зависимость для CC(T, R) не вос-

ся незамеченным для перехода от равновесного к ме-

произведет в обратном направлении скачок на ветвь

тастабильному кристаллу. В этом случае требуется

кристалла, а останется при дальнейшем охлаждении

большая точность, чем для эффектов, рассматрива-

на зависимости, соответствующей расплаву. Эта за-

емых в настоящей работе.

висимость совпадает с результатами для CC(T, R),

Точки на линии охлаждения являются обратимы-

найденными в [24] при исследовании перехода от рав-

ми. То есть, если остановить охлаждение в любой из

новесного к метастабильному состоянию расплава.

этих точек и, начав с нее, запустить, наоборот, нагрев

При дальнейшем охлаждении зависимость

расплава, то полученная зависимость для CC(T, R)

CC(T,R) проходит точку равновесной кристаллиза-

воспроизведет в обратном направлении кривую, най-

ции при 1375 К. Заметим, что точки, полученные в

денную при проведении охлаждения. Обратимость

области перехода от метастабильной на равновесную

сохраняется вплоть до температуры около 1210 К,

ветвь, не противоречат сингулярности, обнаружен-

когда расплав кристаллизуется и происходит необра-

ной в [24]. Однако в настоящей работе эта точка не

тимый скачок CC(T, R) на порядок величины вверх

исследовалась в силу сильного увеличения шага по

на кривую значений для равновесного кристалла.

температуре.

После короткого всплеска вверх, точки при даль-

Проведя по аналогии с [24] анализ температур-

нейшем охлаждении ложатся на обратимую зависи-

ной зависимости CC(T, R) для кристалла, не уда-

мость.

лось обнаружить указания на наличие сингулярно-

Температура скачка растет, т.е. приближается к

сти в поведении кривой в точке перехода от рав-

точке равновесного плавления при уменьшении ско-

новесного к метастабильному состоянию кристалла.

рости охлаждения расплава. Это свидетельствует,

Можно ожидать, что вклады коллективных эффек-

что скачок соответствует фазовому переходу первого

тов, предшественников нуклеации, в CC(T, R) близ-

рода. Однако смещение температуры скачка незна-

ки по абсолютной величине для метастабильных со-

чительно, в интервале (1210-1225) К при уменьше-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 3 - 4

2020

Коллективные движения атомов в перегретом кристалле...

255

нии величины скорости охлаждения на три порядка,

лирует в области значений от нуля (возможны даже

вплоть до 10¹¹ K с^-1, и увеличении длительности на-

отрицательные значения в случае низких темпера-

блюдения вплоть до 14 нс. Экстраполяция темпера-

тур кристалла) до максимальных, а для жидкости

туры скачка на меньшие скорости охлаждения пока

число осцилляций более, чем вдвое меньше, и они за-

технически недоступна. Переход в аморфное состоя-

метно слабее выражены. Можно предположить, что

ние заслуживает отдельного рассмотрения.

осцилляции CC(T, R) в кристалле связаны с равно-

Обсуждение. При анализе полученных резуль-

весными фононами. Период осцилляций привязан к

татов, представленных на рис. 1, видно наличие ги-

среднему расстоянию между атомами, поэтому речь

стерезиса значений CC(T, R) по путям нагрева кри-

идет о нелинейной части дисперсии акустических ко-

сталла до его плавления и обратного охлаждения

лебаний в области больших волновых векторов k.

расплава до его кристаллизации. Превышение зна-

Это объяснение согласуется и с изменением

чений CC(T, R) для кристалла над значениями для

CC(T,R) для кристалла при переходе к T = 2100К

расплава достигает порядка величины и более в об-

(рис. 3c). При таком сильном перегреве в кристалле

ласти гистерезиса. Отсюда следует, что характер

образуется много дефектов, приводящих к усилению

коллективных движений атомов в жидкости и кри-

затухания акустических колебаний при больших k.

сталле принципиально различны при одной и той

И, действительно, амплитуда колебаний CC(T, R)

же температуре. Для выяснения причин такой боль-

резко уменьшилась по сравнению с T = 1400 К, и они

шой разницы рассмотрим примеры зависимостей

стали быстро затухать с ростом R, т.е. корреляции

CC(T,R) от R для кристалла и расплава вблизи рав-

движения атомов оказались близкодействующими.

новесного фазового перехода (1400 К, рис. 3b), при

Коррелятор CC(T, R) для расплава при переходе

сильном переохлаждении расплава (1230 К, рис. 3a)

от

1400

к 2100 К, напротив, не претерпел столь

и при сильном перегреве кристалла (2100 К, рис. 3c).

разительных изменений.

Сопоставим их с парными корреляционными функ-

Выводы. Рассмотрено применение четырехто-

циями g(R), приведенными на тех же рисунках, и

чечных корреляционных коэффициентов CC(T, R) к

между собой.

анализу коллективной динамики атомов и атомной

Видно, что осцилляции функции CC(T, R) в це-

структуры в конденсированном состоянии на приме-

лом, следуют за осцилляциями g(R), однако суще-

ре модели погруженного атома меди при различных

ственно более ярко выражены. При этом некото-

температурах.

рые максимумы и минимумы, которые четко просле-

1. Проведено сравнение значений CC(T, R) для

живаются для CC(T, R), оказываются сглаженными

кристалла и расплава в области температур, где для

для g(R). То есть функции CC(T, R) диагностиру-

одной и той же температуры возможны состояния

ют коллективные корреляции, которые не улавлива-

как кристалла, так и расплава, одно из которых -

ет функция g(R). Таким образом, функция CC(T, R)

равновесное, а другое - метастабильное. Показано,

является более чувствительным инструментом, чем

что значения CC(T, R) для кристалла превышают

g(R), для исследования корреляций положений ато-

значения для расплава более, чем на порядок вели-

мов в конденсированных средах. Об этом говорит

чины. Таким образом, значения CC(T, R) обнаружи-

и то, что функции g(R) как для расплава, так и

вают сильный гистерезис при перегреве и последую-

кристалла слабо изменились при переходе от 1230 к

щем охлаждении.

1400 K и далее к 2100 K. Изменения кривой CC(T, R)

2. Проведен анализ зависимости CC(T, R) от R

для расплава не сильно заметны по форме, но по аб-

при разных температурах. Характер зависимостей

солютным величинам отличия составляют 2-3 раза

для перегретого кристалла начинает резко меняться

между 1230 и 1400 K и между 1400 и 2100 K. Для

при приближении к спинодали. Получены указания

кристалла при переходе от 1230 к 1400 K несколько

на то, что коллективные движения атомов в пере-

изменились амплитуды осцилляций при близости аб-

гретом кристалле являются короткодействующими

солютных значений, а для 2100 K и абсолютная ве-

и относятся к нелинейной части дисперсии акусти-

личина CC(T, R) уменьшилась более чем в четыре

ческих колебаний в области больших волновых век-

раза.

торов k. Изменение характера зависимостей при пе-

Сопоставим функции CC(T, R) для кристалла и

реходе к переохлажденному расплаву не столь ярко

расплава при T = 1400 К. Видно, что не только по

выражено.

своим значениям (рис.1), но и по своему характе-

3. Четырехточечный корреляционный коэффи-

ру (рис. 3b) они сильно отличаются друг от друга.

циент CC(T, R) оказался уникальным средством ко-

Коррелятор CC(T, R) для кристалла сильно осцил-

личественной оценки степени коллективности дви-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 3 - 4

2020

256

Г. Э. Норман, Д. Ю. Флейта

жения атомов, степени коррелированности движения

14.

Д. Френкель, Б. Смит, Принципы компьютерного

соседних атомов и радиуса действия коллективных

моделирования молекулярных систем: от алгорит-

эффектов. Вместе с тем коэффициент CC(T, R) ока-

мов к приложениям, Научный мир, М. (2013), 559 c.

зался и более чувствительным инструментом опре-

15.

X. Wang, W. Xu, H. Zhang, and J. F. Douglas, J. Chem.

деления характера ближнего порядка в жидкости и

Phys. 151(18), 184503 (2019).

кристаллической структуре с дефектами, чем парная

16.

W. Zhang, J. F. Douglas, and F. W. Starr, J. Chem.

корреляционная функция g(R).

Phys. 151(12), 184904 (2019).

Статья подготовлена в ходе проведения работы

17.

P. H. Poole, C. Donati, and S. C. Glotzer, Phys. A 261,

в рамках Программы фундаментальных исследова-

51 (1998).

ний НИУ “Высшая школа экономики” и с использо-

18.

N. Lacevic, F. W. Starr, T. B. Schroder, and

ванием средств субсидии в рамках государственной

S. C. Glotzer, J. Chem. Phys. 119, 7372 (2003).

поддержки ведущих университетов Российской Фе-

19.

В. П. Волошин, Г. Г. Маленков, Ю. И. Наберухин,

дерации “5-100” (Д. Ю. Флейта) и гранта Российского

Журн. структ. химии 54(2), 2397 (2013).

научного фонда 18-19-00734 (Г. Э. Норман).

20.

А. В. Аникеенко, Г. Г. Маленков, Ю. И. Наберухин,

Благодарим Суперкомпьютерные центры ОИВТ

Журн. структ. химии 57(8), 1758 (2016).

РАН и МФТИ за предоставленное вычислительное

21.

А. В. Аникеенко, Г. Г. Маленков, Ю. И. Наберухин,

время.

ДАН 472(3), 298 (2017).

22.

А. В. Аникеенко, Ю. И. Наберухин, Письма в ЖЭТФ

1. Г. Темперли, Д. Роулинсон, Д. Рашбрук, Физика про-

106(5), 269 (2017).

стых жидкостей. Статистическая теория, Мир,

23.

A. V.

Anikeenko,

G. G.

Malenkov,

and

М. (1971), 308 c.

Yu. I. Naberukhin, J. Chem. Phys

148(9),

094508

2. А. В. Затовский, Н. П. Маломуж, И. З. Фишер,

(2018).

ЖЭТФ 65(1), 207 (1973).

24.

Г. Э. Норман, В. В. Писарев, Д. Ю. Флейта, Письма

3. Р. Балеску, Равновесная и неравновесная статисти-

в ЖЭТФ 109(10), 689 (2019).

ческая механика, Мир, М. (1978), т. 2, 400 c.

25.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Статистическая фи-

4. T. V. Lokotosh and N. P. Malomuzh, Physica A 286(3),

зика, Наука, М. (1976), 606 c.

447 (2000).

26.

P. G. Debenedetti, Metastable Liquids. Concepts and

5. T. Egami and S. J. L. Billinge, Underneath the Bragg

Principles, Princeton University Press, New Jersey

peaks. Structural analysis of complex materials, 2nd

(1996), 412 p.

edition, Elveiser, Amsterdam (2012), 422 p.

27.

В. П. Скрипов, М. З. Файзуллин, Фазовые переходы

6. W. Schirmacher, B. Schmid, and H. Sinn, Eur. Phys. J.

кристалл-жидкость-пар и термодинамическое по-

Special Topics 196(1), 3 (2011).

добие, Физматлит, М. (2003), 160 c.

7. J. P. Hansen and I.R. McDonald, Theory of Simple

28.

А. Ю. Куксин, Г.Э. Норман, В. В. Стегайлов, ТВТ

Liquids. With Applications to Soft Matter, Academic

45(1), 43 (2007).

Press, Oxford (2013), 636 p.

29.

V. G. Baidakov and A. O. Tipeev, J. Non-Cryst. Solids

8. N. V. Priezjev, Phys. Rev. E 87(5), 052302 (2013).

503-504, 302 (2019).

9. N. V. Priezjev and A. Kharazmi, J. Chem. Physю

30.

D. Iu. Fleita, V. V. Pisarev, and G. E. Norman, J. Phys.:

142(23), 234503 (2015).

Conf. Ser. 1147, 012015 (2019).

10. N. M. Chtchelkatchev and R. E. Ryltsev, Письма в

31.

M. S. Daw, S. M. Foiles, and M. I. Baskes, Mat. Sci. Rep.

ЖЭТФ 102(10), 732 (2015).

9(7-8), 251 (1993).

11. Yu. D. Fomin, E. N. Tsiok, V. N. Ryzhov, and

V. Brazhkin, J. Mol. Liq. 287, 110992 (2019).

32.

F. J. Cherne, M. I. Baskes, and P. A. Deymier, Phys.

Rev. B 65, 024209 (2001).

12. Д. К. Рапапорт, Искусство молекулярной динамики,

РХД НИЦ, М. (2012), 632 c.

33.

H. Loulijat, H. Zerradi, S. Mizani, E. M. Achhal,

13. Г. Э. Норман, В. В. Стегайлов, Матем. моделирова-

A. Dezairi, and S. Ouaskit, J. Mol. Liq. 211, 695 (2015).

ние 24(6), 3 (2012).

34.

S. Plimpton, J. Comput. Phys. 117(1), 1 (1995).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 3 - 4

2020