Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 5, с. 316 - 320

Измерение спектра двумерных “прокси” плазмонов методом

стоячих волн

А. М. Зарезин^+∗1), П. А. Гусихин⁺, В. М. Муравьев⁺, И. В. Кукушкин⁺

⁺Институт физики твердого тела РАН, 142432 Черноголовка, Россия

^∗Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), 141701 Долгопрудный, Россия

Поступила в редакцию 31 января 2020 г.

После переработки 4 февраля 2020 г.

Принята к публикации 6 февраля 2020 г.

Методом оптического детектирования резонансного микроволнового поглощения исследованы плаз-

менные возбуждения в двумерной электронной системе, частично экранированной металлическим затво-

ром в форме полоски. Подобраны оптимальные геометрические параметры структуры для наблюдения

стоячих волн “прокси” плазмона (proximity plasmon) вдоль длины полоски. Обнаружено четыре стоячие

моды “прокси” плазменной волны. Путем сопоставления каждой из мод соответствующего волнового

вектора, был измерен спектр “прокси” плазменных возбуждений, который с хорошей точностью совпал

с теорией.

DOI: 10.31857/S0370274X20050082

Плазменные и магнитоплазменные возбуждения

металлическим затвором, появляется семейство

в двумерных электронных системах (ДЭС) актив-

плазменных мод, существенно отличающихся по

но исследуются на протяжении последних 50 лет [1-

своим свойствам от экранированного плазмона

7]. Такой повышенный интерес к данной теме свя-

[15-20]. Эти плазменные волны, индуцированные

зан с тем, что, по сравнению с трехмерным случа-

близким металлическим затвором, были названы

ем, плазмоны в ДЭС обладают целым рядом уни-

“прокси” плазмонами (proximity plasmons).

кальных свойств. К таким свойствам относится, на-

В случае, когда проводящий затвор имеет форму

пример, бесщелевой корневой закон дисперсии. При

полоски с шириной W (вставка к рис. 1), закон дис-

этом, в отличие от трехмерных плазменных возбуж-

персии “прокси” плазмона имеет следующий вид [19]:

дений, скорость двумерных плазмонов может регули-

√

роваться в широких пределах путем изменения кон-

2n_se²h q

ω_pr(q) =

(qW ≪ 1),

(1)

центрации двумерных электронов или приложения

m^∗εε₀ W

внешнего магнитного поля. Также, поскольку ДЭС

где n_s - концентрация двумерных электронов, m^∗ -

находится близко к поверхности полупроводниковой

эффективная электронная масса, h - расстояние от

подложки, на спектр двумерных плазмонов оказыва-

ДЭС до металлического затвора, q - волновой вектор

ет большое влияние диэлектрическое окружение си-

плазмона, направленный вдоль затвора, ε - диэлек-

стемы [8-14].

трическая проницаемость полупроводникового кри-

Наиболее заметно взаимодействие двумерных

сталла.

электронов модифицируется путем создания хорошо

В работе [17] были экспериментально обнаруже-

проводящего затвора над плоскостью ДЭС. Типич-

ны “прокси” плазменные моды в образцах с затвором

ной геометрией, в которой исследовались экрани-

в форме полоски, а также исследована зависимость

рованные плазмоны, была двумерная электронная

их частоты от геометрических размеров затвора и

система конечного размера, экранированная беско-

концентрации двумерных электронов. Однако, для

нечным в латеральном направлении металлическим

того, чтобы описать свои данные формулой (1), ав-

затвором. Было установлено, что в таких условиях

торы использовали диэлектрическую проницаемость

спектр двумерного плазмона преобразуется к ли-

ε в качестве подгоночного параметра, получив зна-

нейному виду [8]. Недавно было обнаружено, что в

чение 7.8, которое сильно отличается от ожидаемого

геометрии, когда ДЭС лишь частично экранирована

значения ε_GaAs = 12.8. Это указывает на то, что в тех

экспериментах, где наблюдалась лишь одна “прок-

¹⁾e-mail: zarezin.am@phystech.edu

си” мода, авторам не удалось однозначно определить

316

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020

Измерение спектра двумерных “прокси” плазмонов методом стоячих волн

317

ной квантовой ямы 30 нм. Концентрация двумер-

ных электронов в квантовой яме составляла n_s =

= 2.4 · 10¹¹ см^-2, подвижность - µ = 4 · 10⁶ см²/(В ·с)

при температуре T = 4.2 К. Расстояние от ДЭС до

поверхности полупроводниковой подложки составля-

ло h = 440 нм. Образец представлял собой ДЭС пря-

моугольной формы (вставка к рис. 1). В центре ме-

зы был термически напылен Cr (5 нм) - Au (300 нм)

металлический затвор с шириной W

= 20 мкм и

длиной L = 0.5 мм. На расстоянии a = 200 мкм от

затвора по бокам ДЭС были расположены метал-

лические заземленные контакты. Центральный ме-

таллический затвор на границах ДЭС расширялся и

на расстоянии 100 мкм переходил в контакты, имев-

шие размеры 100 × 100 мкм². Плазменные колеба-

ния в данной системе возбуждались сверхвысоко-

частотным (СВЧ) излучением в диапазоне частот

от 1 до 30 ГГц, которое подводилось непосредствен-

но к центральному затвору по согласованному ко-

аксиальному кабелю. Для регистрации плазменных

возбуждений в ДЭС использовалась оптическая ме-

тодика, основанная на детектировании нагрева си-

стемы при резонансном поглощении микроволново-

Рис. 1. (Цветной онлайн) Резонансные спектры интен-

го излучения [21, 22]. Она основывается на высокой

сивности микроволнового поглощения в зависимости

чувствительности спектра люминесценции двумер-

от величины приложенного перпендикулярно плоско-

сти образца магнитного поля. Для удобства спектры

ных электронов к резонансному нагреву ДЭС. Из-

сдвинуты по вертикали. Красная стрелка указывает на

лучение от стабилизированного полупроводникового

резонасный пик, соответствующий возбуждению фун-

лазера с длиной волны λ = 780 нм подводилось непо-

даментальной моды “прокси” плазмона, а синяя - на

средственно к образцу с помощью оптоволоконного

пик, соответствующий возбуждению фундаментальной

кварцевого световода с диаметром 0.4 мм. Данный

моды обычного двумерного плазмона. Измерения про-

световод служил также для сбора сигнала люми-

водились на образце с металлическим затвором длиной

несценции, который поступал на вход спектрометра

L = 500мкм и шириной W = 20 мкм. Концентрация

со встроенной CCD (charge-coupled device) камерой.

электронов в ДЭС составляла ns = 2.4 · 10¹¹ см^-2

Эксперименты проводились в криостате со сверхпро-

водящим магнитом (B = 0-1 Tл) при температуре на

волновой вектор плазмона. В настоящей работе пред-

образце T = 4.2 K.

ставлены экспериментальные результаты по наблю-

На рисунке 1 показаны зависимости поглоще-

дению “прокси” плазмона в образце с аналогичной

ния микроволнового излучения на частотах f = 8,

конфигурацией ДЭС и металлического затвора. Пу-

9.5, 12, 19, 25.5 ГГц, измеренные в зависимости от

тем подбора геометрических параметров затвора нам

величины магнитного поля, приложенного перпен-

удалось создать плазмонный резонатор, где за счет

дикулярно плоскости ДЭС. Микроволновое излуче-

многократного отражения “прокси” плазменной вол-

ние подавалось на центральный металлический за-

ны от границ резонатора возбуждается до 4 стоя-

твор (вставка к рис.1). На графиках, показанных на

чих волн вдоль полоски затвора. Это позволило од-

рис. 1, видны симметричные по магнитному полю ре-

нозначно идентифицировать номера гармоник и со-

зонансные пики поглощения. С увеличением часто-

поставить им соответствующие волновые векторы.

ты количество наблюдаемых пиков увеличивается, и

Оказалось, что полученный таким образом спектр

они сдвигаются в сторону больших значений магнит-

“прокси” плазмонов в нулевом магнитном поле на-

ного поля. Таким образом, резонансы соответствуют

ходится в отличном согласии с теорией (1) без ис-

возбуждению различных магнитоплазменных мод в

пользования каких-либо подгоночных параметров.

ДЭС. Красной стрелкой на графиках отмечен резо-

Эксперименты были выполнены на высококаче-

нанс, соответствующий нижайшей по частоте моде.

ственных GaAs/AlGaAs гетероструктурах с шири-

Далее будет показано, что этот резонанс отвечает

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020

318

А. М. Зарезин, П. А. Гусихин, В. М. Муравьев, И. В. Кукушкин

возбуждению вдоль затвора стоячей “прокси” плаз-

двумерных электронов с периметрическим контак-

менной волны с волновым вектором q_L = π/L. Сле-

том [23].

дующие резонансы соответствуют возбуждению бо-

Стоит отметить, что наблюдение в настоящих

лее высоких порядков стоячих плазменных волн с

экспериментах целой серии стоячих “прокси” плаз-

q_L(N) = Nπ/L (N = 2, 3, 4).

менных волн скорее всего связано с формой цен-

Полая черная стрелка на верхней кривой (f_p =

трального затвора. В настоящей работе (вставка к

= 25.5 ГГц) указывает на частоту, отвечающую дву-

рис. 1) центральный затвор испытывает резкое рас-

мерному плазмону в ДЭС (полые точки на рис. 2).

ширение на границе ДЭС, что, по-видимому, одно-

Данное возбуждение связано с колебаниями элек-

значно задает граничные условия плазмонного резо-

натора для “прокси” волн. Таким образом устраня-

ется один из основных каналов диссипации “прокси”

плазмонов с большими волновыми векторами, свя-

занный с “утеканием” колебаний электронной плот-

ности в затворе за пределы области над ДЭС.

Для характеризации наблюдаемых резонансных

пиков поглощения на рис. 2 построена зависимость

их частот от величины приложенного магнитного по-

ля. Полученные экспериментальные магнитодиспер-

сионные зависимости должны описываться квадра-

тичным законом [8, 19]:

ω² = ω²⁰ + ω^2c,

(2)

где ω₀ - частота плазменной моды в нулевом маг-

нитном поле, циклотронная частота ωc = eB/m∗,

где B - перпендикулярно направленное к плоскости

ДЭС магнитное поле. Однако формула (2) работает

Рис. 2. (Цветной онлайн) Экспериментально полу-

только при пренебрежении запаздыванием. В насто-

ченная магнитодисперсия гармоник стоячих “прокси”

плазменных резонансов c N

= 1, 2, 3, 4 (сплош-

ящем же эксперименте магнитодисперсионные зави-

ные кружки) и фундаментальной моды обычного

симости имеют немного отличающийся от теоретиче-

двумерного плазмона (пустые кружки). Штриховая

ской зависимости (2) наклон и пересекают прямую

линия соответствует циклотронному резонансу (CR,

циклотронного резонанса (CR на рис. 2). Это явля-

cyclotron resonance). Cплошные кривые являются ре-

ется одним из проявлений эффектов гибридизации

зультатом подгонки экспериментальных графиков за-

плазменных возбуждений со светом [24, 25]. Ранее

висимостью (2) с уменьшенным вследствие эффектов

было показано, что для “прокси” плазмонов эффек-

запаздывания значением ωc. Красная стрелка указыва-

ты запаздывания играют заметную роль [17].

ет на теоретическое значение частоты фундаменталь-

Экстраполяция экспериментальных зависимо-

ной моды “прокси” плазмона для данного образца

стей на рис.2 к нулевому магнитному полю дает

следующие значения частот первых

стоячих

плазменных резонансов вдоль полоски затво-

тронной плотности в ДЭС поперек центрального за-

твора с волновым вектором q_tr = π/(2a + W), где

ра: f₁

= (7.0 ± 0.2) ГГц, f₂

= (10.2 ± 0.2) ГГц,

f₃

(12.9 ± 0.2) ГГц, f₄

(15.0 ± 0.2) ГГц.

2a+W = 420 мкм - расстояние между боковыми кон-

Полученные значения позволяют надежно иден-

тактами. Плазменная волна в данном случае возбуж-

тифицировать каждую моду, а также построить

дается с нестандартными граничными условиями,

дисперсионную зависимость “прокси” плазменного

определяемыми нулем переменного потенциала на

контактах. В таком случае ее частота в нулевом маг-

возбуждения, пользуясь тем, что серия стоячих волн

соответствует серии значений волнового вектора:

нитном поле значительно “смягчается” относительно

плазмона с граничными условиями в виде нуля по

переменному току на границе ДЭС: f_th = 36.5 ГГц.

q_L(N) =

(3)

Коэффициент “смягчения” частоты α = 1.4 хоро-

шо согласуется с экспериментальными данными для

где N = 1, 2, . . . - номер моды, L - длина металли-

осесимметричного плазмона, возбуждаемого в диске

ческого затвора.

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020

Измерение спектра двумерных “прокси” плазмонов методом стоячих волн

319

Соответствующая зависимость частоты в нуле-

кружками магнитодисперсионные зависимости отно-

вом магнитном поле от номера стоячей волны пер-

сятся именно к стоячим волнам “прокси” плазмона.

вых четырех наблюдаемых резонансов показана на

В работе методом оптического детектирования

рис. 3. Красные точки соответствуют вышеприве-

экспериментально исследованы плазменные возбуж-

дения в ДЭС с центральным металлическим за-

твором в форме полоски. Впервые удалось прона-

блюдать на одном образце четыре стоячие волны

“прокси” плазмона. Путем сопоставления каждой из

мод соответствующего волнового вектора, был изме-

рен спектр “прокси” плазменных возбуждений. Бы-

ло установлено отличное согласие эксперименталь-

ных данных с существующей теорией.

Работа была выполнена при поддержке Россий-

ского научного фонда, грант # 18-72-10072.

F. Stern, Phys. Rev. Lett. 18, 546 (1967).

C. C. Grimes and G. Adams, Phys. Rev. Lett. 36, 145

(1976).

S. J. Allen, D. C. Tsui, and R.A. Logan, Phys. Rev. Lett.

38, 980 (1977).

Рис. 3. (Цветной онлайн) Красными точками показа-

S. J. Allen, H. L. Störmer, and J. C. M. Hwang, Phys.

на зависимость частоты в нулевом магнитном поле от

Rev. B 28, 4875 (1983).

номера гармоники для стоячих резонансов “прокси”

D. C. Glattli, E. Y. Andrei, G. Deville, J. Poitrenaud,

плазмона. Сплошная линия - результат подгонки экс-

and F. I. B. Williams, Phys. Rev. Lett. 54, 1710 (1985).

периментальных точек корневой зависимостью. Пунк-

A. L. Fetter, Phys. Rev. B 33, 5221 (1986).

тирная линия соответствует теоретической зависимо-

А. В. Чаплик, ЖЭТФ 91, 201 (2010).

сти (1), рассчитанной для параметров данного образца

А. В. Чаплик, ЖЭТФ 62, 746 (1972).

без подгоночных коэффициентов. Для наглядности на

P. J. Burke, I. B. Spielman, J. P. Eisenstein,

вставке показана линеаризованная зависимость квад-

L. N. Pfeiffer, and K. W. West, Appl. Phys. Lett.

рата частоты от номера гармоники

76, 745 (2000).

10.

V. M. Muravev, C. Jiang, I. V. Kukushkin, J. H. Smet,

денным экспериментально полученным значениям.

V. Umansky, and K. von Klitzing, Phys. Rev. B 75,

Красная сплошная кривая соответствует подгонке

193307 (2007).

экспериментальных точек корневой зависимостью.

11.

D. A. Iranzo, S. Nanot, E. J. C. Dias, I. Epstein,

Для наглядности на вставке показана линеаризован-

Ch. Peng, D. K. Efetov, M. B. Lundeberg, R. Parret,

J. Osmond, J.-Y. Hong, J. Kong, D. R. Englund,

ная зависимость квадрата частоты от номера моды.

N. M. R. Peres, and F. H. L. Koppens, Science 360, 291

При этом следует отметить, что данные точки лежат

(2018).

очень близко к теоретической дисперсионной зависи-

12.

С. И. Губарев, А. А. Дремин, В. Е. Козлов, В. М. Му-

мости “прокси” плазмона (1), построенной без каких-

равьев, И. В. Кукушкин, Письма в ЖЭТФ 90, 588

либо подгоночных параметров пунктирной линией

(2009).

на рис. 3. При этом, согласно теории [19], для диэлек-

13.

С. И. Губарев, В. М. Муравьев, И. В. Андреев,

трической проницаемости было использовано значе-

В. Н. Белянин, И. В. Кукушкин, Письма в ЖЭТФ

ние ε = ε_GaAs = 12.8. Все экспериментальные зна-

102, 517 (2015).

чения слегка сдвинуты вниз по частоте относитель-

14.

В. В. Попов, О. В. Полищук, С. А. Никитов, Письма

но теоретических, что, скорее всего, является прояв-

в ЖЭТФ 95, 91 (2012).

лением эффектов запаздывания. Практически пол-

15.

П. А. Гусихин, В. М. Муравьев, И. В. Кукушкин,

ное совпадение теории [19] с представленными экспе-

Письма в ЖЭТФ 100, 732 (2014).

риментальными данными дает основание однознач-

16.

V. M. Muravev, P. A. Gusikhin, I. V. Andreev, and

но пронумеровать данные моды, а также однозначно

I. V. Kukushkin, Phys. Rev. Lett. 114, 106805 (2015).

определить волновой вектор, соответствующий воз-

17.

V. M. Muravev, P. A. Gusikhin, A. M. Zarezin,

буждению фундаментальной моды “прокси” плазмо-

I. V. Andreev, S.I. Gubarev, and I. V. Kukushkin,

на. Таким образом, показанные на рис. 2 сплошными

Phys. Rev. B 99, 241406(R) (2019).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020