Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 5, с. 321 - 327

Коллапс резонанса Фано вследствие нелокальности майорановского

состояния

С. В. Аксенов⁺¹⁾, М. Ю. Каган^∗×1)

⁺Институт физики им. Л. В. Киренского,

Федеральный исследовательский центр “Красноярский научный центр Сибирского отделения РАН”, 660036 Красноярск, Россия

^∗Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики, 101000 Москва, Россия

^×Институт физических проблем им. П. Л. Капицы РАН, 119334 Москва, Россия

Поступила в редакцию 14 января 2020 г.

После переработки 10 февраля 2020 г.

Принята к публикации 10 февраля 2020 г.

Одна из главных особенностей майорановского состояния, привлекающая большой интерес к этим

возбуждениям в твердотельных системах, заключается в его нелокальном характере. В данной работе

демонстрируется, что непосредственным следствием этого является коллапс резонанса Фано в прово-

димости асимметричного интерференционного устройства, рукава которого соединены одномерным то-

пологическим сверхпроводником. В рамках бесспиновой модели показано, что обнаруженный эффект

связан с увеличением кратности вырождения состояния структуры с нулевой энергией в особой точке

модели Китаева, приводящим к возникновению связанного состояния в континууме.

DOI: 10.31857/S0370274X20050094

1. Реализация связанных состояний в континууме

В промежуточном случае асимметричного парал-

(ССК) в квантовомеханических системах является

лельного соединения резонанс кондактанса, относя-

частным случаем взаимодействия состояний непре-

щийся к антисвязанному состоянию, имеет вид осо-

рывного и дискретного спектров, когда гибридиза-

бенности Фано [8], ширина которой прямо пропор-

ция между ними исчезает [1, 2]. ССК могут быть обу-

циональна величине гибридизации этого состояния

словлены как фундаментальными причинами, свя-

с континуумом. Похожая картина наблюдается и

занными определенной симметрией структуры [3],

при учете фазы Ааронова-Бома [9, 10]. В резуль-

так и случайным обращением в нуль отмеченного

тате, в сильно асимметричной транспортной геомет-

взаимодействия при непрерывном изменении пара-

рии кондактанс характеризуется наличием широкого

метров [4]. Системы с ССК в идеале обладают беско-

резонанса Брейта-Вигнера и узкого резонанса Фа-

нечной добротностью, что делает их привлекатель-

но, подобно эффекту Дикке в оптике [11]. Таким об-

ными для оптических приложений: лазеров, филь-

разом, резонанс Фано можно интерпретировать как

тров и детекторов [5].

некоторый прекурсор ССК, а его коллапс является

Системы квантовых точек являются популярны-

точкой в параметрическом пространстве, где ССК

ми объектами, где распространены ССК [6]. Это вид-

возникает [12, 13]. Увеличение числа точек в струк-

но уже в простейшем случае двух точек, собственны-

туре приводит к росту числа ССК [14]. Учет мно-

ми состояниями которых выступают связанное и ан-

гочастичных эффектов также приводит к реализа-

тисвязанное. Тогда, нарушая симметрию открытой

ции дополнительных ССК и резонансов Фано [15, 16].

системы непрерывным изменением параметров тун-

В свою очередь, спин-орбитальное взаимодействие

нельного взаимодействия двойной точки с контакта-

и зеемановское расщепление позволяют реализовать

ми, можно проследить переход от ситуации, когда ан-

эффект спиновой фильтрации на основе этих особен-

тисвязанное состояние есть ССК при симметричном

ностей [17, 18]. Заметим, что возникновение ССК в

параллельном подключении, к ситуации, когда оба

обсуждаемых системах является естественным след-

состояния имеют одинаковое конечное время жизни

ствием их неодномерности в реальном или энергети-

при последовательном подключении [7].

ческом пространстве [19, 20].

Явление топологической сверхпроводимости при-

влекает большое внимание исследователей во мно-

¹⁾e-mail: asv86@iph.krasn.ru; kagan@kapitza.ras.ru

гом перспективами реализации квантовых вычисле-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020

321

322

С. В. Аксенов, М. Ю. Каган

ний, устойчивых к действию процессов, нарушаю-

зонанса Фано зависят от величины перекрытия май-

щих фазу состояния кубита. Одним из сценариев,

орановских волновых функций, локализованных на

позволяющих реализовать майорановское состояние

противоположных концах СП.

(МС) в 1D системах на практике, является сочета-

В данной статье рассмотрено асимметричное

ние трех факторов: спин-орбитального взаимодей-

кольцо, изображенное на рис. 1, где под асим-

ствия, сверхпроводящего спаривания и магнитного

метрией понимается неодинаковость параметров

поля [21-23]. В этом случае при определенном со-

туннелирования между контактами и устройством,

отношении между параметрами в нормальной фа-

t₁ = t₂. Показано, что в отличие от рассмотренной

зе возникает нечетное количество точек Ферми при

ранее симметричной геометрии [29] в кондактансе

k ≥ 0 (k - волновой вектор). В результате реализу-

асимметричного устройства возникают новые ре-

ется сверхпроводящее спаривание электронов из од-

зонансы Фано. Обнаружено, что их ширина прямо

ной подзоны, т.е. эффективное спаривание p-типа.

пропорциональна величине нелокальности состоя-

Таким образом, проволока становится эквивалент-

ния СП с наименьшей энергией. Другими словами,

ной цепочке Китаева - идеализированной 1D систе-

чем сильнее плотность вероятности концентрируется

ме, в которой впервые было показано возникнове-

на краях, тем уже резонанс Фано. В результате,

ние МС [24]. Важность спин-орбитального взаимо-

в предельном случае двух невзаимодействующих

действия также подчеркивается тем, что самосопря-

майорановских фермионов данная особенность

женный оператор квазичастичного возбуждения с

кондактанса исчезает.

нулевой энергией не может иметь вид β = ua_↑ + va^+↓.

2. Особенности квантового транспорта, которые

В ряде экспериментов по туннельной спектроскопии

будут обсуждаться ниже, связаны с присутствием

полупроводниковых проволок InAs, InSb с сильной

СП. Ее гамильтониан имеет вид

спин-орбитальной связью и наведенным сверхпро-

Ĥ_W =

водящим спариванием (далее для краткости будем

[

]

∑

(

)

использовать аббревиатуру СП - сверхпроводящая

ξa^+jσa_jσ + Δa^+j↑a^+j↓ + iha^+j↑a_j↓ + h.c.

проволока) приводились аргументы в пользу реали-

j=1

зации МС в отмеченных структурах [25].

∑

[

]

Однако, несмотря на прогресс в технологиях эпи-

-ta^+jσa_j+1,σ + iασa^+jσ a_j+1,σ + h.c. ,

(1)

таксиального роста и методах измерения [26], полу-

σ;j=1

ченное квантование проводимости при нулевом на-

пряжении не является достаточным свидетельством

где ξ = ǫ_d -µ - одноузельная энергия, которая управ-

установления топологически нетривиальной фазы в

ляется энергией электрического поля затвора, ǫ_d; µ -

упомянутых структурах [27]. В результате, на сего-

химический потенциал; t - параметр перескока меж-

дняшний день насущной задачей является поиск аль-

ду ближайшими узлами; α - интенсивность спин-

тернативных путей детектирования МС [28], в част-

орбитального взаимодействия Рашбы; Δ - параметр

ности, используя нелокальной характер этого воз-

сверхпроводящего спаривания s-типа; h - зееманов-

буждения. В работе [29] изучались транспортные

ская энергия, связанная с магнитным полем в плос-

свойства симметричного кольца Ааронова-Бома, ру-

кости устройства, B. Тогда топологически нетриви-

кава которого соединены мостиком в виде СП (см.

альная фаза реализуется, если выполняется неравен-

рис. 1 при t₁ = t₂). Было показано, что если проволо-

ство [21, 22]

(ξ - t)² + Δ² < h² < (ξ + t)² + Δ².

(2)

Заметим, что хотя α формально не входит в (2), на-

личие спин-орбитальной связи необходимо для воз-

никновения МС, как отмечалось в разделе 1. Причем

эффективное поле Рашбы, B_SO, должно быть ориен-

тировано перпендикулярно направлению зееманов-

Рис. 1. (Цветной онлайн) Кольцо Ааронова-Бома, ру-

ского поля B. В дальнейшем при расчетах все энер-

кава которого соединены сверхпроводящей проволокой

гетические величины будут измеряться в единицах t:

со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы

t = 1, Δ = 0.25, α = 0.2, µ = 0.

Проволоки в нормальной фазе (НП), которые яв-

ка находится в нетривиальной фазе, то в кондактансе

ляются рукавами кольца (см. рис. 1), предполагают-

наблюдается эффект Дикке. При этом свойства ре-

ся одинаковыми. Их гамильтонианы,

Ĥ_1-4, получа-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020

Коллапс резонанса Фано вследствие нелокальности майорановского состояния

323

ются из (1) при Δ = α = 0. Связь между СП и НП

числа частиц в левом контакте). Решая уравнение

описывается туннельным гамильтонианом,

Гейзенберга, получим (ℏ = 1)

∑[(

)

[

{

Ĥ_T = -t₀

b^+Lnσ + b^+Rnσ

a_1σ +

∑

I = 2e Tr σRe

(t)

Ĝ+-

(t, t) +

k,L1

(

)

]

d^+L1σ + d^+R1σ

a_Nσ

+ h.c.,

(3)

}]

+ t+n (t)

(t, t)

(7)

где t₀ - параметр перескока между крайними узлами

k,Ln

СП и НП; b^+L(R)nσ - оператор рождения электрона со

спином σ на последнем узле левой (правой) верхней

где σ = diag (1, -1, 1, -1); диагональные матрицы

НП; d^+L(R)1σ - оператор рождения электрона со спи-

t_1,n являются функциями времени в результате уни-

ном σ на первом узле левой (правой) нижней НП. В

тарного преобразования [31], переводящего зависи-

свою очередь, связь устройства (СП + НП) с контак-

мость от напряжения в оператор

тами также описывается туннельным гамильтониа-

(

)

t_1,2

eV t

ном, который в то же время выступает в роли опера-

t_1,n =

diag e^-i

,eie

,e-ie

,eie2t

· σ.

(8)

тора взаимодействия при применении диаграммной

В формуле (7) смешанные функции Грина имеют вид

техники для неравновесных функций Грина,

∑

Ĝ+-

= i

⊗ĉ_Lk ,

Ĝ+-

= i

d⁺

⊗ ĉ_Lk . По-

[

k,L1

k,Ln

V =-

c^+Lkσ (t₁b_L1σ + t₂d_Lnσ) +

скольку

Ĥ_D в пространстве операторов Намбу имеет

kσ

]

вид гамильтониана свободных частиц, то при рас-

+ c^+Rkσ (t₂b_R1σ + t₁d_Rnσ)

+ h.c.,

(4)

крытии средних в

Ĝ+-

и Ĝ^+-k,Ln следует использо-

k,L1

где c^+L(R)kσ - оператор рождения электрона с волно-

вать те же принципы, что и для средних от T_C-

упорядоченного произведения операторов вторично-

вым вектором k и спином σ в левом (правом) контак-

го квантования [32, 33]. В результате выражение (7)

те; t_1,2 - параметры перескока между контактами и

при t → 0 переходит в

устройством. Гамильтониан i-го контакта (i = L, R)

∑

[

{

имеет простую форму,

Ĥ_i =_k (ǫ_k - µ_i)c^+ikσc_ikσ, где

∫

µ_L,R = µ±eV/2 - электрохимический потенциал кон-

I = 2e dτ₁Tr σRe

Σ+a

(-τ₁)

Ĝa-

(τ₁) +

(9)

L1,L1

тактов, учитывающий приложенное напряжение сме-

щения.

Для расчета стационарного тока через устройство

Ĝa-

Σ+a

Ĝa-

+ Σ+aLn,Ln (-τ₁)

(τ₁) +

(-τ₁)

(τ₁) +

удобно диагонализовать его гамильтониан,

Ĥ_D

Ln,Ln

L1,Ln

Ln,L1

∑

}]

= Ĥ_W +

Ĥ_i +

Ĥ_T , используя операторы Намбу

i=1

Ĝa-

+ Σ+aLn,L1 (-τ₁)

(τ₁)

(

)_T

L1,Ln

в узельном представлении,

fj = fj↑ f+j↓ fj↓ f+j↑

где f_jσ - оператор уничтожения электрона со спином

Σ+a

где

(-τ₁)

(0) ĝ^+aLk (-τ₁) t_j (τ₁)

Li,Lj

σ на j-ом узле НП или СП [29]. Тогда можно опре-

собственно-энергетические функции левого кон-

делить матричную неравновесную функцию Грина

такта (i, j = 1, n); ĝ^+aLk (-τ₁) - затравочная функция

кольца следующим образом:

Грина левого контакта. Интегрируя по времени τ₁ и

применяя преобразование Фурье, находим

Ĝ^ab (τ, τ^′) = -i T_C Ψ (τ_a) ⊗ Ψ⁺ (τ^′b) ,

(5)

[

{

∫

∑

dω

где T_C - оператор упорядочения на временном кон-

I =e

σRe

Σr

(ω)

Ĝ+-

(ω) +

Li,Lj

Lj,Li

туре Келдыша, состоящем из нижней (индекс +) и

i,j=1,n-∞

}]

верхней (индекс -) частей [30]; a, b = +, -;

Ψ имеет

размерность 4 (N + 4n) × 1, т.е. включает операторы

+ Σ^+-Li,Lj (ω)

Ĝa

(ω)

(10)

Lj,Li

Намбу и СП, и всех НП,

(

)_T

Дальнейшее преобразование формулы (10) дает воз-

Ψ=

d_L1..

d_Lnâ₁...â_Nb_R1...bRn

d_R1..

d_Rn

bL1...bL

можность получить явный вид компонент, связанных

(6)

с локальным андреевским отражением и нелокаль-

ЭлектронDый Eок в левом контакте записывает-

ным переносом носителей. Однако в виду громозд-

∑

ся как I = e

N_L (N_L =_kσ c^+Lkσc_Lkσ - оператор

кости эти выражения здесь не приводятся.

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020

3^∗

324

С. В. Аксенов, М. Ю. Каган

Заметим, что поскольку в системе отсутствуют

лена зависимость энергий четырех первых состоя-

многочастичные взаимодействия, то функции Гри-

ний, E_1-4, от энергии электрического поля затво-

на в подынтегральном выражении (10) определяют-

ра. При h, α = 0 энергии вырождены попарно (см.

ся с учетом всех процессов туннелирования между

тонкие пунктирные кривые). Кроме того, посколь-

Ĝa

устройством и контактами [33]. В частности,

ку сверхпроводящее спаривание в кольце неоднород-

Lj,Li

блок матрицы опережающей функции Грина всего

но, то при ǫ_d = 0 реализуется щель. Однако в нуле-

устройства,

Ĝ^a определяется из уравнения Дайсона,

вом поле затвора имеем E_1-4 = 0, вследствие чего

кондактанс, G = dI/dV , содержит резонанс только

[(

)_-1]+

при ǫ_d = 0 (см. пунктир на рис. 2b).

Ĝ^a = ω -ĥD - Σ^r (ω)

(11)

где

Σ^r (ω) - матрица запаздывающей собственно-

энергетической функции, отражающей влияние

обоих контактов на кольцо. В ходе дальнейших

численных расчетов будем пользоваться попу-

лярным приближением широкозонных контактов,

когда можно пренебречь реальными частями

собственно-энергетических функций, а мнимые

части рассматривать постоянными (см., например,

[34]). Тогда имеем следующие ненулевые блоки

Σ^r:

Σr

L1,L1

= Σ^rRn,Rn =-

Γ₁₁,

R1,R1

= Σ^rLn,Ln =-

Γ₂₂,

Σr

L1,Ln

= Σ^rR1,Rn =

Ln,L1

= Σ^rRn,R1 =-

Γ₁₂,

(12)

где

Γ_ii

= Γ_i

I₄, Γii = 2πt2iρ - функции уширения

уровней устройства за счет взаимодействия с кон-

тактом (i = 1, 2); ρ - плотность состояний контак-

та; Γ₁₂ =

√Γ₁₁Γ₂₂;

I₄ - единичная матрица 4 × 4.

При непосредственном рассмотрении асимметрично-

го (симметричного) кольца будем предполагать, что

Γ₂₂ = Γ₁₁/2 = 0.01 (Γ₂₂ = Γ₁₁ = 0.01).

Ĝ+-

Блоки

в (10) получаются из решения урав-

Li,Lj

нения Келдыша,

Ĝ^+- =

Ĝr Σ+- Ĝa.Заметим,что по-

скольку рассматривается режим, когда все переход-

ные процессы завершены, то затравочные функции

Грина устройства в данное уравнение не входят [33].

Рис. 2. (Цветной онлайн) Зависимости энергий возбуж-

При этом ненулевые блоки

Σ^+- равны

дения, E1-4 (a) и кондактанса (b) кольца, состоящего

из шести узлов, от энергии поля затвора. Параметры:

Σ+-

= -2Σrαi,αj

F_α, α = L, R, i, j = 1, n,

αi,αj

n = 1, N = 2, t0 = 0.5, h = 0.3

(

F_L(R) = diag n (ω ± eV/2), n (ω ∓ eV/2),

(13)

При h > Δ щель подавляется, а также удваи-

)

вается количество нулей в спектре за счет зеема-

n (ω ± eV/2) , n (ω ∓ eV/2)

новского расщепления (см. пунктирные кривые на

рис. 2a). Как следствие, число максимумов кондак-

где n (ω ± eV/2) - функции Ферми-Дирака.

танса увеличивается, что показано штриховой кри-

3. Обратимся к результатам численного расче-

вой на рис.2b. Однако не все нули энергий возбуж-

та квантового транспорта в режиме линейного от-

дения проявляются в виде резонансов проводимо-

клика и низких температур (eV, k_BT

≈ 0) в си-

сти, что говорит о наличии ССК [7, 10]. Существу-

стеме, изображенной на рис.1. Для начала рассмот-

ет несколько путей сделать их время жизни конеч-

рим предельный случай кольца с минимальным чис-

ным. Например, можно нарушить пространственную

лом узлов, n = 1, N = 2. На рисунке 2a представ-

симметрию собственных состояний кольца введением

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020

Коллапс резонанса Фано вследствие нелокальности майорановского состояния

325

спин-орбитального взаимодействия [35]. В результате

нули спектра возбуждений, связанные с СП, испыты-

вают небольшое смещение, а в кондактансе появля-

ются резонансы Фано (см. сплошные и штрихпунк-

тирную кривые на рис. 2a и b соответственно). Таким

образом, для реализации эффекта Дикке в симмет-

ричном кольце со сверхпроводящей центральной об-

ластью необходимо совместное действие магнитного

поля и спин-орбитальной связи.

Стоит заметить, что при ǫ_d = ±h состояние с ну-

левой энергией остается двукратно вырожденным и

при α = 0. Подобное вырождение также вызвано

симметрией рассматриваемого кольца и указывает

на существование дополнительных ССК [36, 37]. Их

присутствие можно наблюдать в проводимости, ес-

ли ввести асимметрию параметров туннелирования

в контакты. Как показано на рис. 2b сплошной кри-

вой, в этом случае появляются дополнительные ре-

зонансы Фано при ǫ_d = ±h. Аналогичный эффект

возникает при учете фазы Ааронова-Бома [9, 10].

Если кольцо содержит большее число узлов в НП

и СП, N = 30, n = 20, то эффект Дикке также

имеет место при выполнении условия (2) и α = 0

[29]. Данный режим означает реализацию тополо-

гически нетривиальной фазы в СП. На рисунке 3a

сплошной кривой изображена пара резонансов, Фано

и Брейта-Вигнера, в проводимости симметричного

кольца (n = 20, N = 30) как функции зеемановской

Рис. 3. (Цветной онлайн) (a) - Возникновение резонан-

энергии. Как отмечалось ранее, свойства резонанса

са Фано за счет асимметрии туннельных процессов в

Фано в таком случае зависят от степени локализации

кольце. (b) - Коллапс резонанса Фано, индуцированно-

МС, что позволяет использовать данное устройство

го на рис. 3a, с ростом нелокальности МС. Параметры:

для детектирования этих возбуждений.

n = 20, N = 30, t0 = 0.1, ǫd = 1

Дополнительные особенности транспорта, свя-

занные с нелокальностью МС, имеют место при рас-

зонанса Фано может указывать на увеличение крат-

смотрении асимметричного кольца. В этом случае

ности вырождения этого состояния, если перекрытие

возникает дополнительный узкий резонанс Фано ря-

майорановских волновых функций становится пре-

дом с широким антирезонансом (см. пунктирную

небрежимо малым. Для проверки этой гипотезы об-

кривую на рис. 3a). Важно заметить, что с ростом

ратимся к бесспиновой модели кольца с n = 1. В

длины мостика широкий антирезонанс приближает-

данной ситуации в роли мостика используем цепоч-

ся к узкому пику Фано. В свою очередь, последний

ку Китаева с четным числом узлов [24]. Тогда при

коллапсирует, что хорошо видно на рис. 3b, и появ-

ǫ_d = µ = 0 гамильтониан кольца имеет вид

ляется ССК. Другими словами, можно говорить о

∑(

своеобразной топологической блокаде эффекта Фа-

H_D =

-ta^+ja_j+1 + Δa^+ja^+j+1) -

но, связанного c асимметрией транспортных процес-

j=1

сов в кольце, поскольку соответствующий резонанс

- t₀a+1 (b_Ln + b_Rn) - t₀a^+N (d_L1 + d_R1) + h.c.

(14)

исчезает именно в силу нелокальности низкоэнерге-

тического возбуждения в СП.

Диагонализуя гамильтониан (14), получим следую-

Чтобы объяснить механизм, приводящий к кол-

щее уравнение на спектр:

лапсу резонанса Фано, важно напомнить, что послед-

(

)(

)

ний определяется ССК, возникающим за счет вы-

E⁴

E · P₁ - 2t²⁰δ^N/2-1

E · P₂ + 2t²⁰δ^N/2-1

рождения собственных состояний закрытой системы

(

)(

)

с нулевой энергией. Следовательно, исчезновение ре-

× E · P₃ - 2t²⁰δ^N/2-1

E · P₄ + 2t²⁰δ^N/2-1

= 0,(15)

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020

326

С. В. Аксенов, М. Ю. Каган

где δ_1,2

= t ∓ Δ; P_i - i-й полином N/2-й степе-

в симметричном случае описанный резонанс Фано не

ни, причем в силу электрон-дырочной симметрии

возникает принципиально.

P_2,4 = P_1,3 (E → -E). Из (15) вытекает, что в осо-

4. В настоящей работе исследованы особенности

бых точках модели Китаева, Δ = ±t, когда волно-

низкоэнергетического квантового транспорта, свя-

вые функции майорановских фермионов не перекры-

занные с асимметрией кинетических процессов в

ваются, кратность вырождения состояния с нулевой

кольце Ааронова-Бома, рукава которого соединяют-

энергией возрастает при N > 2, что и приводит к

ся СП в топологически нетривиальной фазе. Обнару-

подавлению узкого резонанса Фано на рис. 3b.

жено, что резонанс Фано, возникающий вследствие

Для большей наглядности обратимся к рассмот-

описанного нарушения симметрии, коллапсирует с

рению данной системы в представлении Майорана,

ростом длины мостика или, другими словами, когда

a_j = (γ_1j + iγ_2j) /2, где γ_ij = γ^+ij (i = 1, 2). На рисун-

перекрытие майорановских волновых функций ста-

ках 4a и b изображены устройства в рамках данного

новится пренебрежимо малым. Для объяснения эф-

описания в особой точке модели Китаева, Δ = t, с

фекта была рассмотрена бесспиновая модель кольца,

N = 2 и N > 2 соответственно (прямыми линиями

в которой в качестве СП выступает цепочка Китаева.

обозначается взаимодействие между майорановски-

В результате аналитического расчета спектра такой

ми фермионами разного сорта). Видно, что в пер-

системы продемонстрировано увеличение кратности

вом случае верхний и нижний рукава остаются свя-

вырождения состояния с нулевой энергией в особых

занными из-за отсутствия сверхпроводящего спари-

точках модели Китаева при N > 2 за счет возникно-

вания в горизонтальных направлениях. Во втором

вения Т-образных цепочек майорановских фермио-

случае устройство разделяется на верхнюю и ниж-

нов, что является прямым следствием нелокальности

нюю идентичные подсистемы. Каждая из них вклю-

МС.

чает две цепочки взаимодействующих квазичастиц.

Мы благодарим В. В. Валькова и А. Д. Федосеева

Собственные энергии цепочки только с двумя свя-

за полезные дискуссии. Работа выполнена при под-

зями в горизонтальном направлении равны E₁

держке Программы фундаментальных исследова-

√

0, E2,3 = ±t0/

2. В случае же добавления верти-

ний Президиума РАН # 32 “Наноструктуры: физи-

кальной связи (аналогично модели Фано-Андерсона)

ка, химия, биология, основы технологий”, Россий-

√

имеем E_1,2 = 0, E_3,4 = ±

t² + t²⁰/2. Таким образом,

ского фонда фундаментальных исследований (про-

именно возникновение Т-образных структур майора-

екты # 19-02-00348, 20-32-70059, 20-02-00015), Пра-

новских фермионов приводит к подавлению резонан-

вительства Красноярского края, Красноярского кра-

са Фано в асимметричном кольце. Заметим, что по-

евого фонда науки в рамках научного проекта:

скольку нелокальность МС никак не зависит от со-

“Кулоновские взаимодействия в проблеме реализа-

отношения параметров туннелирования между под-

ции майорановских мод в низкоразмерных систе-

системами (контакты, НП, СП), то обсуждавшийся

мах с нетривиальной топологией” (# 19-42-240011).

эффект имеет универсальный характер, реализуясь

С. В. Аксенов выражает благодарность гранту Пре-

и в наиболее общей ситуации, характерной для экспе-

зидента РФ МК-3722.2018.2 за оказанную поддерж-

римента, когда все эти величины отличаются. Кроме

ку. М. Ю. Каган благодарит Программу фундамен-

того, из рис.4 становится очевидным, что просто при

тальных исследований НИУ ВШЭ за поддержку.

1. J. von Neumann and E. Wigner, Phys. Z 30, 465 (1929).

2. C. W. Hsu, B. Zhen, A. Douglas Stone,

J. D. Joannopoulos, and M. Soljacic, Nat. Rev.

Mater. 1, 16048 (2016).

3. R. L. Schult, D. G. Ravenhall, and H. W. Wyld, Phys.

Rev. B 39, 5476 (1989).

4. H. Friedrich and D. Wintgen, Phys. Rev. A 32, 3231

(1985).

5. J. M. Foley, S. M. Young, and J. D. Phillips, Phys. Rev.

B 89, 165111 (2014).

Рис. 4. Кольцо с n

= 1 в представлении операторов

6. М. Ю. Каган, С. В. Аксенов, Письма в ЖЭТФ 107,

Майорана для N = 2 (a) и N > 2 (b) при Δ = t

512 (2018).

7. M. L. Ladron de Guevara, F. Claro, and P. A. Orellana,

t = 0, т.е. в случае двух несвязанных рукавов, резо-

Phys. Rev. B 67, 195335 (2003).

нанс Фано не подавляется. Стоит подчеркнуть, что

8. U. Fano, Phys. Rev. 124, 1866 (1961).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020

Коллапс резонанса Фано вследствие нелокальности майорановского состояния

327

9. P. A. Orellana, M. L. Ladron de Guevara, and F. Claro,

24. A. Yu. Kitaev, Phys. Usp. 44, 131 (2001).

Phys. Rev. B 70, 233315 (2004).

25. V. Mourik, K. Zuo, S. M. Frolov, S. R. Plissard,

10. H. Lu, R. Lu, and B.-F. Zhu, Phys. Rev. B 71, 235320

E. P. A. M. Bakkers, and L. P. Kouwenhoven, Science

(2005).

336, 1003 (2012).

11. R. H. Dicke, Phys. Rev. 89, 472 (1953).

26. H. Zhang, C.-X. Liu, S. Gazibegovic et al.

12. C. S. Kim and A. M. Satanin, JETP 88, 118 (1999).

(Collaboration), Nature 556, 74 (2018).

13. C. S. Kim, A. M. Satanin, Y. S. Joe, and R. M. Cosby,

27. C.-X. Liu, J. D. Sau, T. D. Stanescu, and S. Das Sarma,

JETP 89, 144 (1999).

Phys. Rev. B 96, 075161 (2017).

14. W. Gong, Y. Han, and G. Wei, J. Phys.: Condens.

28. В. В. Вальков, В. А. Мицкан, М. С. Шустин, Письма

Matter 21, 175801 (2009).

в ЖЭТФ 106, 762 (2017).

15. A. F. Sadreev and T. V. Babushkina, JETP Lett. 88,

29. V. V. Val’kov, M. Yu. Kagan, and S. V. Aksenov,

360 (2008).

J. Phys.: Cond. Mat. 31, 225301 (2019).

16. M. Yu. Kagan, V. V. Val’kov, and S. V. Aksenov, Phys.

30. Л. В. Келдыш, ЖЭТФ 47, 1515 (1964).

Rev. B 95, 035411 (2017).

31. D. Rogovin and D. J. Scalapino, Ann. Phys. (N.Y.) 86,

17. M. L. Vallejo, M. L. Ladron de Guevara, and

1 (1974).

P. A. Orellana, Phys. Lett. A 374, 4928 (2010).

32. С. В. Вонсовский, Ю. А. Изюмов, Э. З. Курмаев,

18. M. Yu. Kagan, V. V. Val’kov, and S. V. Aksenov,

Сверхпроводимость переходных металлов, их спла-

J. Magn. Magn. Mater 440, 15 (2017).

вов и соединений, Наука, М. (1977).

19. H.-W. Lee, Phys. Rev. Lett. 82, 2358 (1999).

33. П. И. Арсеев, УФН 185, 1271 (2015).

20. A. F. Sadreev and I. Rotter, J. Phys. A: Math. Gen. 36,

34. П. И. Арсеев, Н. С. Маслова, В. Н. Манцевич, ЖЭТФ

11413 (2003).

142, 156 (2012).

21. R. M. Lutchyn, J. D. Sau, and S. Das Sarma, Phys. Rev.

35. M. P. Nowak, B. Szafran, and F. M. Peeters, Phys. Rev.

Lett. 105, 077001 (2010).

B 84, 235319 (2011).

22. Y. Oreg, G. Refael, and F. von Oppen, Phys. Rev. Lett.

36. A. Volya and V. Zelevinsky, Phys. Rev. C 67, 054322

105, 177002 (2010).

(2003).

23. В. В. Вальков, В. А. Мицкан, А. О. Злотников,

М. С. Шустин, С. В. Аксенов, Письма в ЖЭТФ 110,

37. A. F. Sadreev, E. N. Bulgakov, and I. Rotter, Phys. Rev.

126 (2019).

B 73, 235342 (2006).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020