Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 6, с. 345 - 354

Резонансные поляритонные эффекты в структуре

из эквидистантных слоев однофазной гиперболической среды

с пространственной дисперсией

С. В. Тарасенко⁺¹⁾, В. Г. Шавров^∗

⁺Донецкий физико-технический институт им. А. А. Галкина, 83114 Донецк, Украина

^∗Институт радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова РАН, 125009 Москва, Россия

Поступила в редакцию 23 января 2020 г.

После переработки 28 февраля 2020 г.

Принята к публикации 28 февраля 2020 г.

В бездиссипативном пределе показано, что если плоская объемная волна ТЕ- или ТМ-типа падает

извне на ограниченную планарную структуру из немагнитных и антиферромагнитных (АФМ) диэлек-

трических слоев, то в случае гиперболической АФМ среды учет пространственной дисперсии магнетика

может приводить к дополнительным резонансным рефракционным аномалиям, включая эффекты пол-

ного отражения (прохождения) плоской электромагнитной волны и формирования на фоне сплошного

спектра дискретных локализованных магнон-поляритонных состояний, а в режиме одномерного резо-

нансного магнитного фотонного кристалла и к эффекту сверхизлучения.

DOI: 10.31857/S0370274X2006003X

В основе лавинообразного роста публикаций, свя-

возможно формирование плазмонной поверхностной

занных с изучением разнообразных эффектов ре-

волны (ТМ-типа), что может существенно изменить

зонансного взаимодействия электромагнитной (ЭМ)

характер взаимодействия падающей извне ЭМ вол-

волны с гиперболическими средами, лежат их уни-

ны с этим типом гиперболических сред, поскольку

кальные динамические характеристики и широкие

становится возможным двулучепреломление без из-

потенциальные перспективы практического исполь-

менения ветви. Еще более существенными для ре-

зования [1-3]. При этом одним из наиболее актив-

зонансного взаимодействия ЭМ волны, падающей

но изучаемых типов гиперболических сред являют-

извне на многослойную структуру, могут быть эф-

ся композитные (и, в частности, слоистые) плазмон-

фекты пространственной дисперсии, которые обу-

диэлектрические структуры, и для подобных много-

словлены существованием в слоях поляритонов эк-

фазных материалов подавляющее число теоретиче-

ситонного типа. Примером могут быть эффекты ну-

ских исследований было выполнено в рамках метода

левого прохождения и сверхизлучения, возникающие

эффективной среды. В его основе лежит предполо-

в случае резонансных фотонных кристаллов (ФК)

жение, что длина ЭМ волны распространяющейся в

[7-10]. Вместе с тем, до сих пор речь шла исключи-

таком композитном материале много больше харак-

тельно о немагнитных структурах типа “диэлектрик-

терных размеров как структурных элементов фор-

полупроводник”, хорошо известно, однако, что в слу-

мирующих гиперболическую среду, так и расстоя-

чае, когда диэлектрик обладает дальним магнитным

ний между ними. Однако в последние годы появил-

порядком, характер его взаимодействия с падающей

ся целый ряд теоретических работ, в которых пу-

извне ЭМ волной резко меняется, поскольку наряду

тем сравнения с результатами, полученными на ос-

с экситонным механизмом взаимодействия со светом

нове матрицы перехода, было показано, что подоб-

появляется также и магнонный (спин-волновой) [11].

ное игнорирование эффектов пространственной дис-

В частности, это касается обменно-коллинеарных ан-

персии может оказаться некорректным уже в обла-

тиферромагнитных (АФМ) диэлектриков, которые

сти применимости метода эффективной среды [4-6].

в настоящее время активно исследуются как пер-

Это, например, имеет место в случае, когда в ком-

спективная элементная база АФМ спинтроники [12-

позитной плазмон-диэлектрической структуре, уже

14]. При этом частоты однородного АФМ резонан-

на уединенной границе раздела “металл-диэлектрик”

са могут не только лежать в терагерцовом частот-

ном диапазоне [15], но и существенно изменяться под

¹⁾e-mail: s.v.tarasenko@mail.ru

воздействием постоянных внешних магнитного (H)

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020

345

346

С. В. Тарасенко, В. Г. Шавров

или электрического (E) полей, а по типу возбужде-

ния внешним ЭМ полем быть как магнитодипольны-

ми, так и электродипольными [16]. Все это позволя-

ет рассматривать АФМ как настраиваемые однофаз-

ные гиперболические среды для ЭМ волн и ТМ-, и

ТЕ-типа. Вместе с тем, хорошо известно, что вслед-

ствие влияния неоднородного обменного взаимодей-

ствия (НОВ) эффекты пространственной дисперсии

могут существенно влиять на спин-волновую дина-

мику указанных АФМ сред даже без учета конечных

размеров реального магнитного образца [17]. Одна-

ко до сих пор анализ роли НОВ как дополнитель-

ного механизма резонансного прохождения (отраже-

ния) плоской объемной ЭМ волны, падающей извне

на поверхность системы эквидистантных плоскопа-

раллельных АФМ слоев, не проводился.

В связи с этим целью данной работы являет-

ся изучение индуцированных неоднородным обмен-

ным взаимодействием частотно-зависимых эффек-

тов резонансного взаимодействия плоской объемной

ЭМ волны с ограниченным одномерным магнитном

ФК (1D МФК), обладающем трехслойной элементар-

Рис. 1. Обсуждаемые слоистые диэлектрические струк-

ной ячейкой типа “немагнитный диэлектрик-АФМ-

туры с участием однофазной АФМ (AFM) среды (2)

немагнитный диэлектрик”. В качестве примера рас-

и немагнитной сред (1) и (26): (a) - граница разде-

смотрим в дальнейшем двухподрешеточную модель

ла полуограниченных магнитной и АФМ сред; (b) -

(|M₁| = |M₂| = M₀, M₀ намагниченность насыще-

АФМ слой толщиной 2dA в неограниченной немагнит-

ния подрешеток M_1,2) обменно коллинеарного цен-

ной среде (1); (c) - погруженный в немагнитную среду

тросимметричного АФМ. Важно учесть, что для это-

(1) конечный N-периодный 1D МФК типа (АФМ слой

го типа магнитной среды основной вклад в электро-

толщиной 2dA в слое немагнитной среды B толщиной

динамические эффекты связанные с пространствен-

2dB)

ной дисперсией, даже в рамках феноменологической

теории магнетизма, дает НОВ. По сравнению с безоб-

M₁ + M₂

M₁ - M₂

, l=

(2)

менным пределом (пренебрежением наличием в маг-

2M₀

нитной среде НОВ) это обстоятельство может су-

где δ, σ и b - соответственно константы однородно-

щественно изменять характер прохождения плоской

го, неоднородного обмена и магнитной анизотропии.

объемной ЭМ волны как ТЕ-типа, так и ТМ-типа

Если b > 0, (легкая магнитная ось OZ), то в отсут-

уже в случае уединенной границы раздела между

ствии постоянного внешнего магнитного (и электри-

полуограниченными немагнитной и АФМ средами.

ческого) поля уравнения связи для рассматриваемой

Пусть (рис. 1a) верхнее полупространство занято оп-

модели АФМ среды в линейном по амплитуде ма-

тически изотропным диэлектриком (соответствую-

лых колебаний приближении с частотой ω и волно-

щие величины будем обозначать знаком тильда) с

вым вектором k имеют вид (см. [17]):

уравнениями связи вида (B(D)-магнитная (электри-





ческая индукция))

µ_⊥(ω, k)







µ_⊥(ω, k)

 · H, D = ε0E, (3)

B= H,

D = εE,

(1)

тогда как нижнее - обменно коллинеарным, одноос-

ным (OZ) АФМ c изотропным тензором диэлектри-

ω²⁰ + c²k²

µ_⊥(ω, k) = 1 + κ

ческой проницаемости (ε₀) и плотностью термоди-

ω²⁰ + c²k² - ω²

намического потенциала вида в терминах векторов

16π

√

κ≡

, c ≡ (gM₀)

δσ.

ферро- (m) и антиферромагнетизма (l) [17]:

(

)

Здесь ω₀

- частоты однородного АФМ резонанса,

F =M²

m² -

l^2z +

(∇l)² - 2mh

c - скорость обменных спиновых волн в неограни-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020

Резонансные поляритонные эффекты в структуре из эквидистантных слоев. . .

347

[(

)

ченном АФМ. Таким образом в таком диэлектрике

P_2s =

h² - k²⁰ε₀(1 + κ)

при k ∈ Y Z возможно независимое распростране-

c²(1 + κ)

[

]

ние магнитных поляритонов с поляризацией α = p, s

ω²⁰ + c²h² - ω²

- ω²κk²⁰ε₀

(8)

(α = p отвечает волне ТМ-, а α = s - волне ТЕ-типа).

Если же α = p, то в полуограниченной АФМ среде

Расчет показывает, что без учета граничных условий

(2)-(4) как при q∥OY , l₀∥b∥OZ, так и при q∥OZ∥l₀

спектр таких ЭМ волн определяется, соответственно,

входящие в (5) η_1p,2p(ω, h) - это корни характеристи-

соотношениями (k₀ ≡ ω/c_ph, где c_ph - скорость света

ческого уравнения (6) со следующими коэффициен-

в вакууме, κ ≡ 16π/δ):

тами:

k² = k²⁰ε₀µ_⊥, k² ≡ k^2y + k^2z, α = p,

ω²⁰ - ω²

(

)[

]

P_1p = 2h² +

- (1 + κ)k²⁰ε₀;

ω²

c²

-ω²⁰ -c²k²

+k^2y -k²ε0

1+κ

[

]ω2

+c²h² - ω²

P_2p =

h² - k²

ε₀(1 + κ)

- κk²⁰ε₀. (9)

ω²κ

c²

k^2z = 0, α = s.

(4)

(1 + κ)²

Пусть на поверхности рассматриваемого полуограни-

Пусть q - нормаль к границе раздела сред, а a -

ченного АФМ (2)-(3) и среды (1) выполнена следу-

нормаль к плоскости падения ЭМ волны. В этом

ющая система граничных условий

случае для обеих рассматриваемых в данной рабо-

∂l_x

∂l_y

те магнитооптических конфигураций (МОК): q∥OY ,

(Ea) = (Ea), (Hb) = (Hb),

= 0, ζ = 0.

∂ζ

l₀∥b∥OZ и q∥OZ∥l₀ формирующаяся в полуограни-

(10)

ченной АФМ среде ЭМ волна с α = p, s согласно

В этом случае если поверхностную волновую про-

(4) имеет двухпарциальную структуру. В зависимо-

водимость для волны ТЕ-типа или поверхностное

сти от типа волны коллинеарная a компонента элек-

волновое сопротивление для волны ТЕ- типа в по-

трического (в случае волны ТЕ-типа) и магнитного

луограниченной немагнитной (1) и легкоосной АФМ

(в случае волны ТМ-типа ) поля с учетом (4) прини-

среде (2) согласно [19] определить как

мает вид

(Hb)

(Eb)

(Hb)

(Eb)

∑

Z_s =

Z_p =

Z_s =

Z_p =

Ψ_α(ζ < 0) = Q_iα exp(η_iαζ)exp(ihτ - iωt)Ψ_s ≡

(Ea)

(Ha)

(Ea)

(Ha)

i=1

(11)

то для падающей из немагнитной среды (1) на

≡ (Ea), Ψ_p ≡ (Ha),

(5)

поверхность рассматриваемого полуограниченного

где Q_iα - произвольные амплитуды, ζ - текущая ко-

АФМ плоской ЭМ волны ТЕ- или ТМ-типа френе-

ордината вдоль направления вектора нормали к гра-

левский амплитудный коэффициент отражения име-

нице раздела сред q, h - продольное волновое число

ет с учетом (11) следующую структуру

(h = (kb), b = [qa]), τ - текущая координата вдоль

направления вектора b , входящие в (5) η_1α2α(ω, h) -

Z_α - Z_α

R_α =

, α = p,s.

(12)

это корни следующего биквадратного характеристи-

Z_α + Z_α

ческого уравнения (см. также [18])

Согласно [19] здесь R_s (R_p) определяется как от-

η⁴ - P_1αη² + P_2α = 0, α = p, s.

(6)

ношение амплитуды (Ea)((Ha)) для отраженной от

поверхности АФМ плоской ЭМ волны к соответству-

Если α = s, то в случае q∥OZ∥l₀ в (6)

ющей амплитуде поля в плоской ЭМ волне ТЕ- (ТМ)-

ω²⁰ + c²h² - ω

типа, падающей извне на поверхность магнетика.

P_1s = (1 + κ)(h² - k²⁰ε₀) +

;

c²

Совместный анализ соотношений (5)-(9) и (11)-(12)

в безобменном пределе (т.е. при c → 0) и с учетом

(ω²⁰ + c²h²)(1 + κ) - ω

P_2s = (h² - k²⁰ε₀)

;

(7)

НОВ показывает, что при c = 0 двухпарциальный

c²

характер магнитной поляритонной волны ТЕ- (ТМ)-

тогда как для q∥OY , l₀∥b∥OZ

типа, возбуждаемой в АФМ среде падающей извне

однопарциальной плоской объемной с α = p, s, де-

P_1s =

лает принципиально возможными для определенных

c²(1 + κ)

значений ω и h как смену режима частичного про-

[(

)

]

ω²⁰ + 2c²h² - c²k²⁰ε₀

(1 + κ) - ω² - κc²h²

хождения (|R_α(ω, h, c = 0)| < 1) на полное отражение

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020

348

С. В. Тарасенко, В. Г. Шавров

|R_α(ω, h, c = 0)| = 1, так и реализацию обратного эф-

ности полуограниченной АФМ среды (ζ < 0) имеют

фекта. В частности, при |R_α(ω, h, c = 0)| < 1 вслед-

место граничные условия (10) , 2) в глубине АФМ

ствие влияния НОВ в зависимости от частоты и угла

среды

падения как при q∥OY, l₀∥b∥OZ, так и при q∥OZ∥l₀

E_x(ζ → -∞) → 0, l_x(ζ → -∞) → 0

(13)

становятся возможными следующие эффекты: 1) ес-

√

и 3)

ε/c_ph >

√ε₀/c_ph, в условиях ПВО для падаю-

ли одновременно P_1α < 0, P_2α > 0, h < k₀

√ε₀ -

щей извне на поверхность АФМ (q∥OZ∥l₀) плоской

то при одной и той же поляризации ЭМ волны (ТЕ-

объемной волны ТЕ-типа с k ∈ Y Z в (12) R_s = 1,

типа) имеет место эффект двулучепреломления с из-

так как условие H_y = 0 вследствие (5)-(7) реали-

менением, а при P_2α

≤ 0, D_α ≥ 0, h > k₀

√ε₀

зуется для таких сочетаний частоты и продольного

(D_α ≡ P^21α/4 - P_2α) - без изменения полости по-

волнового числа которые связаны следующим соот-

верхности рефракции спектра нормальной магнон-

ношением

поляритонной волны спектра АФМ; 2) если одновре-

менно P_2α > 0, h > k₀

√ε₀ или h < k₀√ε₀, P_2α < 0,

η_1sη_2s + η^21s + η^22s - (1 + κ)(h² - k²⁰ε₀) = 0.

(14)

то имеет место эффект однолучевого преломления с

одновременным формированием в АФМ среде сопут-

Как показывает анализ, уравнение (14) определя-

ствующего поверхностного колебания (эванесцент-

ет спектр двухпарциальной поверхностной магнон-

ной волны) [20] спиновой или электромагнитной при-

поляритонной волны ТЕ-типа, распространяющей-

роды. При этом в случае h < k₀

√ε₀, P_2α < 0 возмо-

ся в полуограниченной АФМ среде вдоль границы с

жен дополнительный, по отношению к изученному в

идеальным магнитным проводником (указанный эф-

[21], вариант межмодовой конверсии (возбуждение в

фект локализации сохраняется и при k₀ → 0). В ре-

АФМ эванесцентной квазиспиновой моды падающей

зультате, если частота и угол наклона плоской объ-

извне объемной ЭМ волной). В обоих этих случаях

емной волны ТЕ-типа падающей извне на поверх-

однолучевого преломления Re{Z_α} = 0, Im{Z_α} = 0,

ность (10) полуограниченного легкоосного АФМ од-

а значит становится принципиально возможной ре-

новременно удовлетворяют (14), то в условиях ПВО

ализация эффекта псевдо-Брюстера

Z_α = Re{Z_α},

мгновенный поток энергии через границу раздела

Im{Z_α} = 0 [22]) с изменением (при h > k₀, P_2α > 0)

магнитной и немагнитной сред строго равен нулю в

или без изменения (при h

< k₀, P_2α

< 0) пре-

любой момент времени. В этом случае по аналогии

ломленной в АФМ среду ветви спектра нормальной

как с кристаллооптикой [21], так и результатами [23]

магнон-поляритонной волны заданной поляризации

двухпарциальную ЭМ волну (14) можно назвать осо-

α. По сравнению с поляритонной динамикой рас-

бой поверхностной волной второго типа.

сматриваемого полуограниченного АФМ (2) в безоб-

Из теории распространения волн в слоистых сре-

менном пределе (c = 0) при c = 0 в области частот,

дах [24] хорошо известно, что уже для падающей

одновременно удовлетворяющих условиям ω ≥ ω_∗,

однопарциальной плоской объемной волны реализу-

h > h_∗ (P₂(ω_∗,h_∗) = 0, D₂(ω_∗,h_∗) = 0) для пре-

ющийся на уединенной границе раздела оптически

ломленной в магнетик при падении извне плоской

прозрачных сред эффект ПВО сменяется на частич-

объемной волны ТЕ-типа c (kq) < 0 и h∂ω/∂h > 0

ное прохождение, если оптически менее плотная сре-

при q∥OY, l₀∥b∥OZ имеет место обменное подавле-

да представляет собой не полупространство, а слой

ние существовавшего в АФМ среде при c = 0 эффек-

в симметричном окружении. Однако в случае (5)-

та отрицательной рефракции (h∂ω/∂h < 0). Если же

(9) формирующаяся в АФМ волна вследствие про-

q∥OZ∥l₀, то возможно обменное подавление реали-

странственной дисперсии не является однопарциаль-

зующегося в АФМ (2) при c = 0 эффекта отрица-

ной. Выше перечисленные, индуцированные учетом

тельной фазовой скорости ((kq) > 0). Что же каса-

НОВ, эффекты многолучевого преломления возни-

ется условий полного внутреннего отражения (ПВО)

кающие при взаимодействии волны ТЕ- типа (ТМ-)

|R_α(ω, h, c = 0)| = 1, то, согласно (5)-(9), вследствие

типа с поверхностью полуограниченного АФМ, мо-

влияния НОВ имеет место формирование в АФМ

гут, вследствие интерференции, приводить к целому

среде двухпарциальной эванесцентной волны с α = p

ряду дополнительных рефракционных аномалий при

(α = s), амплитуда которой по мере удаления от гра-

учете конечных размеров реальной АФМ среды и, в

ницы раздела магнитной и немагнитной сред вглубь

частности, когда для обсуждаемых в данной рабо-

полуограниченного АФМ спадает не монотонным об-

те МОК рассматриваемая АФМ среда представля-

разом (при h > k₀, P_2α < 0 и D_α < 0) или монотон-

ет собой слой. Пусть (см. рис.1b) рассматриваемая

ным образом в случае h > k₀, P_2α < 0 и D_α > 0. При

АФМ среда (2) занимает слой толщины 2d_A, кото-

этом если для q∥OZ∥l₀ одновременно 1) на поверх-

рый погружен в неограниченный немагнитный ди-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020

Резонансные поляритонные эффекты в структуре из эквидистантных слоев. . .

349

(

)

(

)

электрик (1), k ∈ Y Z, а на обеих поверхностях это-

=A^p

го слоя как при q∥OY, l₀∥b∥OZ, так и при q∥OZ∥l₀

ζ=dA

ζ=-dA

выполнена следующая система обменных и электро-

динамических граничных условий (b_x,y - константы

Ω_α ≡ N^α11N^α22 - N^α12N^α21,

(18)

поверхностной магнитной анизотропии)

A^α11 = A^α22 ≡ (N^α11N^α22 + N^α12N^α21)Ω^-1α,

∂l_x

∂l_y

± b_xl_x = 0,

± b_yl_y = 0, ζ = ±d_A,

(15)

A^α12 ≡ 2N^α11N^α12Ω^-1α, A^α21 ≡ 2N^α21N^α22Ω^-1α.

∂ζ

В частном случае безобменного приближения (c = 0)

распространяющаяся в АФМ слое толщиной 2d_A по-

(Ea) = (Ea), (Ha) = (Ha),

ляритонная волна ТМ- или ТЕ-типа становится од-

(Eb) = (Eb), (Hb) = (Hb).

нопарциальной и в (17)-(18)

В этом случае в АФМ слое в зависимости от типа

N^α11 ≡ c_1α, N^α12 ≡ s_1α,

волны нормальная к плоскости падения электриче-

ская (в случае волны ТЕ-типа) и магнитная (в случае

N^α21 ≡ q_1αs_1αk^-10, N^α22 ≡ q_1αc_1αk^-10, α = s.

(19)

волны ТМ-типа) компонента поля с учетом (5)-(9)

Расчет показывает, что для находящегося в сим-

принимает вид

метричном окружении слоя АФМ (2)-(3) и всех рас-

∑

смотренных выше МОК при выполнении на обе-

Ψ_α(ζ) = Q_iαc_iα + Q_iαs_iα,

их поверхностях АФМ слоя граничных условий (15)

i=1

спектр как вытекающих (при Re

Z_α} = 0), так и соб-

ственных (при Re

Z_α} = 0) магнон-поляритонов ТЕ-

Ψ_s ≡ (Ea), Ψ_p ≡ (Ha), α = p, s,

(16)

или ТМ-типа с k, q ∈ Y Z, l₀ ∈ Y Z, распространяю-

где Q_iα, Q_iα

- произвольные амплитуды, c_iα

≡

щихся вдоль уединенного АФМ слоя не только при

≡ ch(η_iαζ), s_iα ≡ sh(η_iαζ), а величины η_1α, η_2α в за-

c = 0, но и при c = 0 факторизуется, а с учетом

висимости от МОК (q∥OY, l₀∥b∥OZ или q∥OZ∥l₀) и

введенных выше обозначений его можно представить

поляризации волны α являются корнями одного из

как (см. также [25])

указанных выше характеристических уравнений (5)-

(9). По аналогии с методикой расчета из [24-26] мож-

(N^α22 -

Z_αN^α12)(N^α21 -

Z_αN₁₁) = 0, α = p, s.

(21)

но, как для волны ТЕ-типа, так и ТМ-типа с k ∈ Y Z,

Равенство нулю соотношения в первой (второй)

исключить в (16), с помощью обменных граничных

скобке определяет спектр магнон-поляритонной вол-

условий в (15), из дальнейшего рассмотрения две

ны ТЕ-(ТМ-) типа симметричной (антисимметрич-

из четырех амплитуд парциальных волн (например,

ной) относительно срединной плоскости АФМ слоя.

Q_2α, Q_2α). В результате пространственная структу-

Случай, когда при заданной частоте ω продольное

ра касательных к поверхности слоя с нормалью q

волновое число h, удовлетворяющее (21), являет-

компонент электрического и магнитного поля в АФМ

ся комплексным, а усредненный по периоду колеба-

среде (2) с учетом поляризации распространяющейся

ний поток энергии через поверхность слоя отличен

в магнетике электромагнитной волны α = p, s при-

от нуля, отвечает несобственной радиационной (или

мет вид (N(ω, h, ζ) = N(c_1,2α, s_1,2α, b_x,y, ζ)):

вытекающей) симметричной (антисимметричной )

(

)

(

)(

)

волне (согласно [27] их можно назвать резонансны-

N^s11

N^s12

Q_1s

ми магнон-поляритонами). Если же в рассматривае-

N^s21

N^s

Q_1s

мом бездиссипативном пределе при заданном ω удо-

(

)

(

)(

)

(17)

влетворяющее (21) значение h является веществен-

N^p11

N^p12

Q_1p

ным, то усредненный по периоду колебаний поток

N^p21

N^p

Q_1p

энергии через поверхности слоя отсутствует, что от-

вечает собственной магнон-поляритонной волне ТМ-

Таким образом, как при l₀∥q∥OZ, b∥OY , так и

(ТЕ-) типа АФМ слоя (симметричной или антисим-

при q∥OY, l₀∥b∥OZ, с учетом принятых выше обо-

метричной). Следует отметить, что дисперсионные

значений (α = p, s)

соотношения (4) могут не только определять при

(

)

(

)

ω = const форму сечения одно- или двухполостной

поверхности рефракции плоcкостью падения k ∈ Y Z

в неограниченном АФМ (2), но и в явном виде спектр

ζ=dA

ζ=-dA

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020

350

С. В. Тарасенко, В. Г. Шавров

волноводных магнон-поляритонов рассматриваемого

ЭМ волны с поляризацией α. Для антисимметрич-

АФМ слоя для этой МОК при некоторых сочетаниях

ной моды поляритонного спектра рассматриваемого

электромагнитных и обменных граничных условий

АФМ слоя аналогичный эффект исчезновения ди-

(15) на поверхности магнетика. В частности в случае

польной активности имеет место, если N^α22(ω, h) = 0

объемной магнон-поляритонной волны ТЕ-типа при

или N^α12(ω, h) = 0. Если следовать терминологии раз-

l₀∥q∥OZ, b∥OY , в (4) k_z = πν/2d_A, ν = 1, 2, . . . если

витой в теории экситонных поляритонов (см., напри-

одновременно в (15) b_x = ∞ и (Hb) = 0 или b_x = 0

мер, [7-9]) магнон-поляритоны, отвечающие (23) яв-

и (Ea) = 0, а для объемной магнон-поляритонной

ляются “темными”. Сопоставление (21)-(23) показы-

волны ТМ-типа в этой же МОК, если одновременно

вает, что если в зависимости от симметрии магнон-

в (15) b_y = ∞ и (Ha) = 0 или b_y = 0 и (Eb) = 0.

поляритонного колебания АФМ слоя удовлетворяет-

Что же касается случая l₀∥b∥OZ, q∥OY , то в (4)

ся одна из ниже следующих систем равенств

k_y

= πν/2d_A, ν

= 1, 2, . . . для объемной магнон-

поляритонной волны ТЕ-типа, если одновременно в

N^α21(ω, h) = N^α11(ω, h),

α = p,s,

(24)

(15) b_x = ∞ и (Ea) = 0 или b_x = 0 и (Hb) = 0, а

N^α22(ω, h) = N^α12(ω, h),

для объемной магнон-поляритонной волны ТМ-типа

то соответствующие сочетания частоты и продольно-

в этой же МОК, если одновременно в (15) b_y = ∞ и

го волнового числа в (24) формально отвечают фор-

(Ha) = 0 или b_y = 0 и (Eb) = 0.

мированию связанного магнон-поляритонного состо-

Что же касается структуры френелевских ампли-

яния в континууме [28] (дискретное состояние на

тудных коэффициентов отражения V_α(ω, h) и про-

фоне сплошного спектра). Совместный анализ (22)

хождения W_α(ω, h), то ее в случае граничных усло-

и соотношений (1), (3), (14)-(16) также показал, что

вий (15) для рассматриваемого АФМ слоя можно

полное отражение волны ТЕ- (ТМ-) типа падающей

представить в виде

извне на АФМ слой толщиной 2d_A (|W_α| = 0) в рам-

Z_α(N^α21N^α12 - N^α11N^α22)

ках рассматриваемой модели имеет место при таких

W_α =

сочетаниях ω и h, которые с учетом введенных выше

(N^α21 -

Z_αN^α11)(N^α22 -

Z_αN^α12)

обозначений удовлетворяют следующему соотноше-

нию

-(N^α21N^α22 +

Z^2αN^α11N^α12)

V_α =

(22)

N^α11N^α22 - N^α21N^α12 = 0, α = p, s.

(25)

(N^α21 -

ZN^α11)(N^α22 -

Z_αN^α12)

При этом N^α21(ω, h)N^α22(ω, h)

отвечает

Таким образом, с учетом введенных выше обозна-

факторизованному спектру симметричных (при

чений, условия полного прохождения ЭМ волны ТМ-

N^α21(ω, h)

0), или антисимметричных (при

или ТЕ-типа |W_α| = 1 через слой однофазной гипер-

N^α22(ω, h) = 0) магнон-поляритонов ТЕ- (ТМ-) типа

болической АФМ среды (2)-(4) с пространственной

распространяющихся вдоль АФМ слоя, на обеих

дисперсией (c = 0), можно представить как

поверхностях которого одновременно с обменными

N^α21N^α22 +

Z^2αN^α11N^α12 = 0, α = p, s.

(23)

граничными условиями (15) выполнены также ЭМ

граничные условия вида (Hb) = 0 (т.е. V_α = -). Что

Это отвечает исчезновению при этих сочетаниях ω,

же касается соотношения N^α11(ω, h)N^α12(ω, h) = 0, то

h дипольной активности магнон-поляритонов с поля-

оно формально отвечает факторизованному спектру

ризацией ТМ- (или ТЕ-) типа распространяющихся

симметричных (при N^s11(ω, h) = 0) или антисим-

в АФМ слое. Если же одновременно N^α21 = N^α12 = 0,

метричных (при N^s12(ω, h) = 0) магнон-поляритонов

то в (22) W_α = -1, тогда как при N^α11 = N^α22 = 0

ТЕ-типа распространяющихся вдоль АФМ слоя,

W_α = 1, причем в обоих этих случаях ЭМ прозрач-

на обеих поверхностях которого одновременно с

ность АФМ слоя не зависит от оптических характе-

обменными граничными условиями (15) выполнены

ристик окружающей его среды

Z_α). Следует под-

также ЭМ граничные условия вида (Ea) = 0 (в

черкнуть, что N^α21(ω, h) = 0 или N^α11(ω, h) = 0 отве-

этом случае V_α = 1). Необходимо подчеркнуть, что

чает равенству нулю в любой момент времени мгно-

при падении волны ТЕ- или ТМ-типа все выше

венного потока энергии через верхнюю и нижнюю

указанные рефракционные эффекты индуцированы

поверхности АФМ слоя для симметричной моды его

наличием НОВ в АФМ среде (двулучевым или

поляритонного спектра. В результате для рассмат-

однолучевым преломлением в АФМ). При этом их

риваемого АФМ слоя поляритонные моды с такими

реализация возможна для обеих рассмотренных

сочетаниями ω и h также перестают быть диполь-

МОК как при η^21α < 0, η^22α < 0, так и при η^21α < 0,

но активными для падающей извне на АФМ слой

η^22α > 0.

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020

Резонансные поляритонные эффекты в структуре из эквидистантных слоев. . .

351

Для рассматриваемых вариантов МОК дополни-

Если в (26) B

^α = I, где I - единичный тензор, то в

тельные, индуцированные НОВ рефракционные по-

(27) W_1αW_α, V_1α = V_α. Из (27) следует, что эффек-

ляритонные аномалии могут возникать и в системе

ты отражения и полного прохождения волны как с

эквидистантно расположенных в немагнитной среде

α = p, так и с α = s через рассматриваемую слои-

идентичных АФМ слоев. Пусть (см. рис. 1с) имеет-

стую структуру существенно зависят от коэффици-

ся многослойная магнитная структура, представля-

ентов отражения V_1α(ω, h) и прохождения W_1α(ω, h)

ющая собой помещенную в неограниченную оптиче-

волны ТМ- или ТЕ-типа через элементарный пери-

ски изотропную среду (1) систему из N идентичных

од 1D МФК с матрицей перехода C^α(D) (26). Это, в

между собой трехслойных сэндвичей, каждый из ко-

частности, означает, что найденные выше для АФМ

торых состоит из слоя толщины 2d_A рассматрива-

слоя в симметричном окружении эффекты форми-

емой АФМ среды (2)-(4), (16)-(18) окруженного с

рования дискретного магнон-поляритонного состоя-

двух сторон слоями равной толщины (d_B ) немагнит-

ния на фоне сплошного спектра, полного отражения

ного, оптически изотропного диэлектрика В. Будем

волны с α = p, s от АФМ слоя (16)-(25) останутся в

также полагать, что на всех границах раздела АФМ

силе и для N-периодного 1D МФК (26), (27), неза-

и немагнитной сред данного N-периодного одномер-

висимо от числа элементарных периодов N. Однако

ного магнитного фотонного кристалла (1D МФК) с

теперь в приведенных выше для случая уединенно-

величиной толщиной элементарного периода D D ≡

го АФМ слоя в симметричном окружении соответ-

≡ 2(d_B + d_A) выполнены максвелловские и обмен-

ствующих соотношениях (16)-(25) вместо элементов

ные граничные условия (15). В этом случае с учетом

матрицы A^α(2d_A) необходимо пользоваться соответ-

(15)-(18) для элементарного периода такого 1D МФК

ствующими элементами матрицы C^α(D). Одновре-

результирующая матрица перехода C^α(D) имеет вид

менно следует также учесть, что и для рассматрива-

емого типа конечного 1D МФК не только при c = 0

C^α(D) = B^α(d_B)A^α(2d_A)B^α(d_B);

[29], но и при c = 0 имеет место структурно индуци-





рованный эффект полного интерференционного по-

ch(η_B d_B)

sh(η_B d_B)

давления отражения падающей извне на поверхность

ZαB

B^α(d_B) =

.

(26)

1D МФК волны ТМ- или ТЕ-типа (V_Nα(ω, h) = 0). В

Z_αBsh(η_Bd_B)

ch(η_Bd_B )

результате внутри каждой из зон пропускания кол-

лективного магнон-поляритонного спектра (т.е. при

Здесь ZsB = ηB/(k0), ZpB = ηB/(εBk0), η2B ≡

νπ < K_αD < (ν+1)π, ν = 1,2,...) имеется N-1 соче-

≡ h² - ε_Bk²⁰ > 0. В результате для всех рассмот-

таний ω, h, определяемых условием U_N-1(K_αD) = 0.

ренных выше МОК френелевские амплитудные ко-

Кроме того, согласно (26), (27), внутри каждой из

эффициенты отражения V_Nα(ζ = ND/2) и прохож-

зон прохождения существует также и N - 2, удовле-

дения W_Nα(ζ = -ND/2) для плоской объемной вол-

творяющих условию U_N-2(K_αD) = 0 сочетаний ω, h,

ны ТМ- или ТЕ-типа падающей из оптически изо-

при которых реализуется (также и при c = 0) струк-

тропной немагнитной среды (1) на рассматриваемый

турно индуцированный эффект интерференционного

конечный 1D МФК будут связаны между собой сле-

усиления отражения падающей извне на поверхность

дующими соотношениями (см. также [29])

1D МФК волны ТМ- или ТЕ-типа (max{V_Nα(ω, h)} =

V_1αU_N-1

=V_1α(ω, h)). Таким образом, динамические свойства

V_Nα(ω, h) =

;

U_N-1 - W_1αU_N-2

рассматриваемой слоистой магнитной структуры яв-

ляются результатом как внутри-, так межслоевого

W_1α

взаимодействия обменных спиновых волн, распро-

W_Nα(ω, h) =

;

U_N-1 - W_1αU_N-2

страняющиеся в каждом из АФМ слоев через поле

ЭМ волн ТМ- или ТЕ-типа . Согласно общей тео-

sin(NK_αD)

U_N-1(K_αD) ≡

;

рии волновых процессов в слоистых средах усло-

sin(K_αD)

вие равенства нулю знаменателя френелевских коэф-

фициентов преломления или отражения в (26), (27)

i(C^α21 + C^α12

Z^2α)

V_1α(ω, h) ≡

;

позволяет сделать выводы о характере собственных

2C^α11

Z_α - C^α21 + C^α12

Z²

и несобственных колебаний соответствующей слои-

стой структуры [24]. В частности, распространяю-

Z_α

W_1α(ω, h) ≡

;

щиеся нормально к оси рассматриваемого конечного

2C^α11

Z_α - C^α21 + C^α12

Z²

1D МФК интерференционные магнон-поляритонные

моды с α = p, s, также будут радиационными при

cos(K_αD) = 0.5(C^α11 + C^α22).

(27)

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020

352

С. В. Тарасенко, В. Г. Шавров

[

]

Z_α}

= 0, и собственными при Re

Z_α}

= 0.

2d_A

(ω²⁰ + c²h²)(1 + κ) - ω²

δ_p ≡

k20ε0

-h2 ,

Как уже было сказано вначале, в последние годы

k₀ε₀

ω²⁰ + c²h² - ω²

в физике полупроводниковых гетероструктур [7-10],

[

{

}]

2d_A

ω²⁰ + c²h² - ω²

интенсивно исследуются конечные длиннопериодные

δ_s ≡

k²⁰ε₀ - h²

k₀

(ω²⁰

+ c²h²)(1 + κ) - ω²

структуры с системой эквидистантных квантовых

ям и, в частности, режим резонансного 1D ФК, ко-

Таким образом, следуя аналогии с результата-

торый, как известно, характеризуется сосущество-

ми [7-9], можно ожидать, что и в данном случае

ванием пространственного брэгговского и частотно-

для заданных значений ω - h радиационное зату-

го резонансов [7-10]. В этих случаях резонансный

хание магнон-поляритонов с α = p, s, формирую-

1D ФК, как правило, представлял собой систему эк-

щих ЭМ спектр конечного 1D МФК (26)-(28) так-

видистантно расположенных в пространстве кванто-

же будет зависеть от расстояния между соседни-

вых ям, каждая из которых поддерживала локализа-

ми ультратонкими АФМ слоями. В частности, из

цию фотон-экситонного возбуждения, а расстояние

(28) следует, что в рамках обсуждаемой бездисси-

между центрами двух соседних квантовых (полупро-

пативной модели при q∥OY, l₀∥b∥OZ коэффициент

водниковых слоев) удовлетворяло условию брэггов-

прохождения волны ТЕ- или ТМ-типа через такой

ского резонанса [7-10] . В результате в такой гетеро-

ультратонкий АФМ слой может быть строго ра-

структуре появляется возможность управления ра-

вен нулю (|W_1α(dA → 0)| = 0). Полная прозрач-

диационными свойствами экситонов посредством из-

ность рассматриваемого ультратонкого АФМ слоя с

менения расстояния между соседними квантовыми

q∥OY, l₀∥b∥OZ для падающей извне плоской объем-

ямами.

ной ТЕ-волны (|W_1α(d_A → 0)| = 1 достигается, со-

В рассматриваемом в данной работе случае

гласно (28), если ω и угол падения (h) одновременно

участвующий в формировании элементарного пе-

удовлетворяют соотношению δ_α(ω, h) = 0 (см. рис. 2).

риода 1D МФК (26), (27) АФМ слой, также может

В рамках обсуждаемой модели слоистой среды это

рассматриваться как спин-волновой аналог кванто-

вой ямы для падающей извне плоской поляритонной

волны ТМ- или ТЕ-типа, если для заданных зна-

чений внешних параметров ω и h при описании

поляритонной динамики такого АФМ слоя можно

использовать одномодовое приближение. Пусть

Y Z - плоскость падения ЭМ волны, а отвечаю-

щее (15) условие Радо-Уиртмена l^′x(ζ = ±d_A) = 0,

l^′y(ζ = ±d_A) = 0 и максвелловское граничное условие

Ψ_α(ζ = ±dA) =

Ψ_α выполнены по всей толщине

АФМ слоя. В этом случае усредняя по толщине

АФМ слоя уравнения движения для l_x, E_x (в случае

волны ТЕ-типа) и для l_y, H_x (в случае волны

ТМ-типа), можно в этом диапазоне частот и углов

падения ЭМ волны наличие АФМ слоя в 1D МФК

учесть введением системы эффективных граничных

Рис. 2. Условия полного прохождения (полного отраже-

условий для указанных компонент векторов l, E, H.

ния) плоской волны ТМ- (ТЕ-) типа через ультратон-

В результате при q∥OY, l₀∥b∥OZ и k ∈ Y Z, в зависи-

кий АФМ слой в неограниченной среде (1): на штри-

мости от поляризации падающей извне плоской ЭМ

ховой линии (1) |Ws| = 0, на штриховой линии (2)

волны входящие в (27) френенелевские амплитуд-

|Wp| = 0, на сплошных линиях (3) |Wp| = |Ws| = 1,

ные коэффициенты отражения и прохождения W_1α,

√

на штриховой линии (4) ω = c_phh/

εch

V_1α для уединенной ультратонкой АФМ пленки в

симметричном окружении немагнитной среды (1)

отвечает случаю, когда распространяющая вдоль

можно представить как (здесь немагнитные среды

ультратонкого АФМ слоя магнон-поляритонная вол-

(1) и B считаются эквивалентными):

на ТМ- или ТЕ-типа перестает быть радиационно ак-

1 + V_1α(ω,h,d_A → 0) = W_1α(ω,h,d_A → 0),

тивной (отсутствует взаимодействие с внешним ЭМ

полем). Если следовать терминологии, принятой в

Z_α

поляритонной динамике полупроводниковых гетеро-

W_1α(ω, h, d_A → 0)=

, α = p,s,

(28)

структур [9], условие δ_α(ω, h) = 0 определяет спектр

Z_α + δ_α

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020

Резонансные поляритонные эффекты в структуре из эквидистантных слоев. . .

353

“темной” магнон-поляритонной моды с поляризаци-

спин-волнового аналога рассмотренного, в частно-

ей α. В результате для случая рассматриваемого ти-

сти, в [7-9] экситонного механизма эффекта сверхиз-

па 1D МФК входящая в (26)-(27) структура мат-

лучения. В частности, если одновременно 2K^′αd_B = π

рицы перехода A^α для такого ультратонкого АФМ

и 2K^′′αNdB ≪ 1, то в магнон-поляритонном спек-

слоя с учетом (28) принимает вид A^α11 = A^α22 = 1,

тре с α = p, s обсуждаемого 1D МФК с N уль-

A^α12

= 0, A^α21

= A^α21(ω, h). В этом пределе, рас-

тратонкими АФМ слоями имеет место одновремен-

сматриваемый 3N-слойный 1D МФК можно рассмат-

ное наличие N - 1 нерадиационных (“темных” [9])

ривать как одномерную слоистую структуру из N

мод (|W_Nα| = 0) и одной сверхизлучающей (“свет-

диэлектрических микрорезонаторов толщиной 2d_B

лой” [9]) моды, спектр которой отвечает полюсу V_Nα

(слои среды В), в центре каждого из которых име-

(W_Nα). Согласно (28)-(30) ее время жизни в такой

ется ультратонкий АФМ слой, представляющий со-

магнитной гетероструктуре в N раз меньше, чем у

бой спин-волновой аналог квантовой ямы в слои-

магнон-поляритонной моды этой же поляризации в

стой полупроводниковой гетероструктуре. Если при

уединенном в среде (1) ультратонком слое АФМ сре-

этом k_Bd_B

= π/2 (k2B ≡ -η2B), то рассматривае-

ды (2). Как показывает анализ, так же, как и для

мый N-периодный 1D МФК с элементарным пери-

экситонных поляритонов, в длиннопериодных струк-

одом (D = 2d_B) можно рассматривать и как спин-

турах с эквидистантно расположенными квантовы-

волновой аналог резонансной брэгговской структуры

ми ямами [30], в рассматриваемом случае конечного

в системе эквидистантных квантовых ям. Магнон-

1D МФК с N ультратонкими АФМ слоями в магнон-

поляритонный спектр для такого 1D МФК опреде-

поляритонном спектре с α = p, s, состоящем из N

ляется как

ветвей (28), (29), не только частота возбуждения и

декремент радиационного затухания, но и соотноше-

U_N-1(K_αD) = W_1αU_N-2(K_αD),

(29)

ние между числом радиационных и нерадиационных

мод зависит от фазовой толщины слоев немагнитной

V_1α

cos(K_αD) = cos(k_BD) -

sin(k_BD), α = p, s.

среды (B), разделяющих два соседних ультратонких

W_1α

АФМ слоя.

В результате, спектр нормальных магнон-

До сих пор при анализе рефракционных эффек-

поляритонных мод такой структуры состоит из N

тов предполагалось, что падающая извне на поверх-

мод (по числу ультратонких АФМ слоев, форми-

ность АФМ волна ТМ- или ТЕ-типа плоская. Однако

рующих данный 1D МФК). В зоне непропускания

если, хотя бы в рамках приближения квазиплоской

квазиблоховский вектор в (27) становится комплекс-

волны учесть конечные размеры формально находя-

ным K_α(ω, h)

= K^′α + iK^′′α и, если имеет место

щегося на бесконечности реального источника излу-

предел 2K^′αd_B = π, 2K^′′αNd_B ≫ 1, то |V_Nα| = 1,

чения ЭМ волны с α = p, s, то для указанных вы-

что отвечает появлению в магнон-поляритонном

ше индуцированных неоднородным обменным взаи-

спектре с α = p, s обсуждаемого 1D МФК запрещен-

модействием условий, при которых в случае плоской

ной зоны (согласно [7-9] фотонно-кристаллический

ЭМ волны ТМ- или ТЕ-типа |V_Nα| = 1, W_Nα = 0

режим). В случае, когда одновременно 2K^′αd_B = π и

или |W_Nα| = 1 (|V_Nα| = 0), можно ожидать уси-

2K^′′αNd_B ≪ 1, соотношения (26), (27) для 1D МФК

ления углового (s_α) эффекта Гуса-Хенхен не толь-

с ультратонкими АФМ слоями c учетом (28)-(29)

ко при отражении (s_Vα(ω, h)), но и при прохожде-

принимают вид

нии (s_Wα(ω, h)) остронаправленного ЭМ пучка через

слой АФМ (N = 1) или 1D МФК (N > 1), поскольку,

Z_α

W_Nα(ω, h, d_A → 0) =

;

согласно [31]

Z_α + Nδ_α

Nδ_α

∂ ln |V_Nα|

∂ ln |W_Nα|

V_Nα(ω, h, d_A → 0) = -

, α = p,s.

(30)

s_Vα =

, s_Wα =

, α = p,s.

(31)

∂h

Z_α + Nδ_α

Таким образом, если воспользоваться аналогией

Таким образом, для АФМ как однофазной гипер-

с динамикой экситонных поляритонов в резонансных

болической среды индуцированный пространствен-

брэгговских гетероструктурах с периодически распо-

ной дисперсией механизм двухлучевого преломления

ложенными квантовыми ямами [7-10], то на основа-

при прохождении волной ТМ- или ТЕ-типа грани-

нии (28)-(30) можно утверждать, что и в рассматри-

цы раздела магнитной и немагнитной сред приводит

ваемом случае ограниченного 1D МФК становится

и для плоской и для квазиплоской объемной волны

возможным реализация индуцированного простран-

ТЕ- или ТМ-типа, падающей извне на ограниченную

ственной дисперсией однофазной АФМ среды (НОВ)

планарную структуру из немагнитных и АФМ сло-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020

354

С. В. Тарасенко, В. Г. Шавров

ев к целому ряду дополнительных резонансных ре-

15.

D. L. Mills, Nonlinear Optics. Basic Concepts, Springer-

фракционных аномалий, связанных с возможностью

Verlag, Berlin-Heidelberg (1998).

формирования в АФМ слое “светлых” и “темных”

16.

Д. В. Кулагин, Г.Г. Левченко, А.С. Савченко,

магнон-поляритонов.

А. С. Тарасенко, С. В. Тарасенко, В. Г. Шавров,

ЖЭТФ 141, 540 (2012).

Работа выполнена в рамках государственного

задания.

17.

А. И. Ахиезер, В. Г. Барьяхтар, С. В. Пелетминский,

Спиновые волны, Наука, М. (1967).

18.

Б. А. Иванов, В. Ф. Лапченко, А. Л. Сукстанский,

1. A. Poddubny, I. Iorsh, P. Belov, and Y. Kivshar, Nat.

ФТТ 27, 173(1985).

Photon. 7, 948 (2013).

19.

Х. Хаус, Волны и поля в оптоэлектронике, Мир, М.

2. I. I. Smolyaninov, Hyperbolic Metamaterials, Morgan &

(1988).

Claypool Publishers, San Rafael (2018).

20.

М. В. Балакирев, И. А. Гилинский, Волны в пьезо-

3. М. В. Давидович, УФН 189,1249 (2019).

кристаллах, Наука, Новосибирск (1982).

4. A. A. Orlov, P. M. Voroshilov, P. A. Belov, and

21.

В. И. Альшиц, В. Н. Любимов, А. Радович, ЖЭТФ

Y.S. Kivshar, Phys. Rev. B 84, 045424 (2011).

131, 14 (2007).

5. O. Kidwai, S. V. Zhukovsky, and J. E. Sipe, Phys. Rev.

22.

M. Elshazly-Zaghloul and R. M. A. Azzam, J. Opt. Soc.

A 85, 053842 (2012).

Am. 72, 657 (1982).

6. T. Li and J. B. Khurgin, Optica 3, 1388 (2016).

23.

Д. В. Кулагин, А.С. Савченко, А.С. Тарасенко,

7. Е. Л. Ивченко, А. И. Несвижский, С. Иорда, ФТТ 38,

С. В. Тарасенко, В. Г. Шавров, Письма в ЖЭТФ 95,

2118 (1994).

253 (2012).

8. Е. Л. Ивченко, А. Н. Поддубный, ФТТ 55, 833 (2013).

24.

Л. М. Бреховских, Волны в слоистых средах, Изд-во

АН СССР, М. (1957).

9. A. V. Kavokin, J. J. Baumberg, G. Malpuech, and

F. P. Laussy, Microcavities, second ed., Oxford

25.

В. И. Альшиц, А. Л. Шувалов, ЖЭТФ 103, 1356

University Press, Inc., N. Y. (2017).

(1993).

10. М. В. Рыбин, М. Ф. Лимонов, УФН 189, 881 (2019).

26.

Ю. Г. Пейсахович, А. А. Штыгашев, ЖЭТФ 118, 213

(2000).

11. В. В. Еременко, Введение в оптическую спектроско-

пию магнетиков, Наукова думка, Киев (1975).

27.

В. М. Агранович, О. А. Дубовский, Письма в ЖЭТФ

3, 345 (1966).

12. R. Macedo and R. E. Camley, Phys. Rev. B 99, 014437

(2019).

28.

C. W. Hsu, B. Zhen, A. D. Stone, J. D. Joannopoulos,

and M. Soljacic, Nat. Rev. Mater. 1, 16048 (2016).

13. V. Baltz, A. Manchon, M. Tsoi, T. Moriyama, T. Ono,

and Y. Tserkovnyak, Rev. Mod. Phys. 90, 015005

29.

А. Ярив, П. Юх, Оптические волны в кристаллах,

(2018).

Мир, М. (1987).

14. Y. V. Bludov, J. N. Gomes, G. A. Farias, J. Fernandez-

30.

М. Р. Владимирова, E. Л. Ивченко, A. B. Кавокин,

Rossier, M. I. Vasilevskiy, and N. M. R. Peres,

ФТП 32, 101 (1998).

Materials 6, 045003 (2019).

31.

T. Tamir, J. Opt. Soc. Am. A. 3, 558 (1986).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020