Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 6, с. 355 - 360

Параметрические световые пули при отсутствии дисперсии

групповой скорости на частоте второй гармоники

С. В. Сазонов^+∗1), М. В. Комиссарова^×

⁺Национальный исследовательский центр “Курчатовский институт”, 123182 Москва, Россия

^∗Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет), 125993 Москва, Россия

^×МГУ им. М. В. Ломоносова, 119991 Москва, Россия

Поступила в редакцию 26 февраля 2020 г.

После переработки 26 февраля 2020 г.

Принята к публикации 26 февраля 2020 г.

Проведено аналитическое исследование возможности формирования двухчастотной световой пули

в квадратично-нелинейной среде при равенстве нулю коэффициента дисперсии групповой скорости на

частоте второй гармоники. Показано, что временная длительность компоненты световой пули на час-

тоте второй гармоники в два раза короче, чем длительность импульса на основной частоте. В то же

время поперечные размеры обеих составляющих одинаковы. Данная световая пуля устойчива, если ее

апертура превышает определенное минимальное значение, пропорциональное временной длительности.

DOI: 10.31857/S0370274X20060041

Введение. Волновые пакеты, которые при рас-

дробление импульсов на филаменты, сопровождае-

пространении в нелинейной среде остаются ограни-

мое формированием спектрального суперконтинуу-

ченными по всем трем пространственным координа-

ма [7-9].

там, часто называют пространственно-временными

Пространственно-временные солитоны могут

солитонами или световыми пулями [1-3]. Фактиче-

найти приложения в системах передачи информации

ски световые пули представляют собой обобщение

[1], в управлении движением нано-частиц [10] и т.д.

во временную область самоканалированных оптиче-

В отличие от сред с кубичной нелинейностью,

ских пучков, существование и устойчивость которых

для которых, в целом, характерна неустойчивость

в нелинейной среде изучается с 1964 г. [4].

пространственно-временных солитонов, в средах с

Возможность формирования световых пуль за-

нелинейностью второго порядка, наоборот, возможно

висит от многих факторов, основными из кото-

формирование устойчивых световых пуль. Это обу-

рых являются нелинейные свойства среды, харак-

словлено тем, что в подобных средах не происходит

тер дисперсии групповых скоростей (ДГС) и вли-

пространственно-временной коллапс [11].

яние дифракционного уширения. Так, в кубично-

За последние двадцать лет появилось достаточ-

нелинейных средах в режиме аномальной диспер-

но много работ, в которых формирование световых

сии при нелинейности керровского типа происходит

пуль при квадратичной нелинейности было проде-

пространственно-временной коллапс, которого, одна-

монстрировано как теоретически [12-16], так и экс-

ко, можно избежать при насыщающей нелинейно-

периментально [17, 18]. Следуя сложившейся тради-

сти или при использовании неоднородной керровской

ции, будем называть такие световые пули парамет-

среды [1, 5]. Если же дисперсия групповых скоростей

рическими.

в керровской среде нормальна, пространственно-

Теория “дышащих” световых пуль, распространя-

временной коллапс заменяется расщеплением им-

ющихся в средах с квадратичной нелинейностью, бы-

пульса и дроблением спектра. Световые пули в

ла последовательно разработана для режимов как

этом случае не формируются, но возникает такой

аномальной [14, 15], так и нормальной [15, 16] ДГС.

вид пространственно-временной локализации, как X-

Особо подчеркнем, что последний случай может

волновые солитоны [6].

быть реализован только в неоднородной среде, на-

Световые пули формируются также в средах с

пример, в волноводе. Области устойчивости таких

плазменной нелинейностью. При этом происходит

световых пуль зависят от характеров конкуренции

нелинейности, дисперсии, дифракции и геометриче-

¹⁾e-mail: sazonov.sergey@gmail.com

ских свойств волновода.

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020

355

5^∗

356

С. В. Сазонов, М. В. Комиссарова

На практике разнообразный характер нелинейно-

ностью и нулевым коэффициентом ДГС на второй

дисперсионных эффектов, проявляющихся при гене-

гармонике.

рации второй гармоники, обусловлен не только тем,

Двухчастотный

пространственно-

что коэффициенты ДГС на каждой из частот могут

временной солитон. Пусть световой импульс

быть как положительными, так и отрицательными,

распространяется вдоль оси z. При этом направле-

но и тем, что их абсолютные величины могут суще-

ние распространения по отношению к оптической

ственно отличаться друг от друга [19]. Особый ин-

оси одноосного кристалла выбрано так, что выполня-

терес представляет случай, когда несущая частота

ются условия фазового и группового синхронизмов.

импульса одной из гармоник находится вблизи нуле-

Тогда система уравнений для огибающих ψ₁ и ψ₂

вой дисперсии, т.е. когда различные участки спектра

электрического поля импульса на основной частоте

импульса принадлежат областям нормальной и ано-

ω и на второй гармонике 2ω соответственно запи-

мальной ДГС. Возможность формирования времен-

шется в параксиальном приближении следующим

ного параметрического солитона при трехчастотном

образом:

взаимодействии в отсутствие ДГС у одной из компо-

∂ψ₁

β∂²ψ₁

нент была показана еще в сравнительно ранних ра-

+α₁ψ^∗1ψ₂ +

Δ_⊥ψ₁,

(1)

∂z

2 ∂τ²

2nω

ботах (см. [19] и цитируемую там литературу).

Отметим, что поиск методов, снижающих дис-

∂ψ₂

=α₂ψ²¹ +

Δ_⊥ψ₂.

(2)

персию при распространении сигналов по волокну,

∂z

4nω

привел к тому, что наиболее интенсивно исследова-

Здесь τ = t - z/v_g, t - время, v_g и n - линейные груп-

ние оптического импульса, распространяющегося в

повая скорость и показатель преломления, одинако-

условиях близости к длине волны нулевой диспер-

вые для обеих частот, β = ∂v^-1g/∂ω - параметр ДГС

сии, проводилось для сред с кубичной нелинейно-

на основной частоте ω, c - скорость света в вакууме,

стью [1,20]. Частота формирующегося в этом режи-

α₁ = 2πωχ⁽²⁾¹/cn, α₂ = 4πωχ⁽²⁾²/cn, χ⁽²⁾¹ и χ⁽²⁾² - нели-

ме солитона сдвигается в область аномальной дис-

нейные восприимчивости второго порядка на основ-

персии, а энергия в другом спектральном диапазоне

ной частоте и на второй гармонике соответственно,

рассеивается. Таким образом, использование режима

Δ_⊥ - поперечный лапласиан.

нулевой дисперсии позволяет существенно снизить

При Δ_⊥ψ_1,2 = 0 имеем решение системы (1), (2)

мощность входного излучения и повысить скорость

в виде временного двухчастотного солитона:

передачи информации в системах оптической связи.

)

|β|

i β

(τ

Возвращаясь к обсуждению параметрических

2τ2p

ψ₁ = ±

^zsech

(3)

пространственно-временных солитонов, отметим,

√α₁α₂τ2p e

τ_p

что первые эксперименты по их наблюдению

)

(τ

были выполнены в каскадном пределе, при кото-

τ2p

ψ₂ = -

^zsech²

(4)

α₁τ^2p

τ_p

ром достаточно было управлять ДГС только для

импульса накачки [18, 21]. При использовании кри-

где роль свободного параметра играет временная

терия Вахитова-Колоколова и прямого численного

длительность τ_p.

моделирования было показано, что произвольное

Для того, чтобы найти приближенное ре-

соотношение между коэффициентами ДГС на основ-

шение системы

(1),

(2) в виде локализованного

ной частоте и на второй гармонике обуславливает

пространственно-временного солитона использу-

асимметрию многомерных солитонов [22,23]. При

ем хорошо апробированный метод усредненного

этом в условиях сильного различия значений ДГС

лагранжиана [24-28].

световые пули имеют квазиустойчивый характер

Взяв за основу одномерный солитон (3), (4) и сле-

[22, 23].

дуя работам [14, 15], запишем пробное решение в виде

Несмотря на большое количество работ по па-

|β|

раметрическим пространственно-временным солито-

ψ₁ = ±

√ ρ^2/3e^-inωϕ/csech(ρ^1/3τ),

(5)

нам, особенности формирования параметрических

α₁α₂

световых пуль в области перехода от аномальной

дисперсии к нормальной на одной из гармоник ра-

ψ₂ = -

ρ^2/3e^-2inωϕ/csech²(ρ^1/3τ),

(6)

α₁

нее не обсуждались.

Системе (1), (2) соответствует плотность лагран-

Целью настоящей работы является исследование

жиана

возможности формирования световых пуль в одно-

L=L₁ +

L₂ + L_int,

(7)

родных объемных средах с квадратичной нелиней-

2α₂

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020

Параметрические световые пули при отсутствии дисперсии .. .

357

где

решение в приближении геометрической оптики, ко-

(

)

∂ψ₁

∂ψ^∗1

гда можно формально положить g = 0, т.е. прене-

L₁ =

ψ^∗

-ψ₁

¹ ∂z

∂z

бречь правой частью в (14) [29]. Однако в этом слу-



чае не существует устойчивой световой пули: в зави-

∂ψ1 2



|∇_⊥ψ₁|²,

(8)

симости от знака ДГС и от входных условий импульс



 ∂τ

2nω

испытывает неограниченную самофокусировку или

(

)

дефокусировку.

∂ψ₂

∂ψ^∗2

L₂ =

ψ^∗

-ψ₂

|∇_⊥ψ₂|²,

(9)

Препятствовать самофокусировке способна ди-

² ∂z

∂z

4nω

фракция. Ниже мы найдем приближенное решение

α₁

L_int = -

(ψ^∗21ψ₂ + ψ²¹ψ^∗2).

(10)

системы

(13),

(14), соответствующее аксиально-

симметричной световой пуле. Для этого восполь-

Подставляя (5) и (6) в (7)-(10) и интегрируя по τ,

зуемся автомодельным аксиально-симметричным

получим усредненный лагранжиан

решением уравнения (12), используя радиальную

переменную r цилиндрической системы координат

∫

3α₁α₂ nω

[29-31]:

Λ≡

Ldτ =

10β²

)

-∞

R²⁰

r²

R^′

ρ=

, ϕ = f(z) +

K, K =

(15)

τ30

R²

∂ϕ

(∇_⊥ϕ)

g² (∇_⊥ρ)²

=ρ

+ρ

βρ^5/3 +

(11)

Здесь τ₀ - временная длительность импульса основ-

∂z

10nω

ной частоты на его центральной оси (при r = 0),

где

R - поперечный радиус (апертура) солитона, завися-

√

)

щий от z, R₀ - равновесное значение данного радиу-

(7π

+ 17

≈ 0.463

(12)

са, f(z) и G(r/R) - неизвестные функции, при этом

nω

G(0) = 1, штрих над R обозначает производную по

переменной z.

Записывая уравнения Эйлера-Лагранжа для пе-

Из (5), (6) и второго выражения (15) видно, что

ременных ϕ и ρ с использованием лагранжиана (11),

динамический параметр K(z) имеет смысл кривизны

придем к системе уравнений

волновых фронтов на центральной оси солитона.

∂ρ

Следуя [29], выберем G(r/R) в виде

+ ∇_⊥(ρ∇_⊥ϕ) = 0,

(13)

∂z

(

)

3r²

G = exp

(16)

∂ϕ

(∇_⊥ϕ)²

Δ_⊥

√ρ

2R²

βρ^2/3 = 2g²

(14)

∂z

2nω

√ρ

и подставим данное выражение вкупе с (15) в урав-

Система (13), (14) формально схожа с уравне-

нение (14). При этом в левой части (14) используем

ниями, описывающими свободное двумерное течение

приосевое приближение r²/R² ≪ 1 [29-31], записав

квантовой бозе-жидкости. Роль времени здесь играет

приближенно G ≈ 1 - 3r²/2R². Тогда, приравнивая

координата z, а роли плотности воображаемой жид-

в левой и правой частях (14) коэффициенты при r⁰

кости и потенциала ее гидродинамической скорости

и r², получим систему уравнений

принадлежат соответственно переменным ρ и ϕ.

4/3

В одномерном случае (∇_⊥ϕ = Δ_⊥

√ρ = 0) си-

cβ

6g²

f^′ = -

(17)

стема (13), (14) имеет решение ρ

= const,

τ3p

2nωτ²

R^4/3

R²

ϕ = -cβ2nωτ2. Подставляя данные выражения в (5)

∂U

и (6), получаем точное совпадение с одномерными

R^′′ = -

(18)

∂R

решениями (3) и (4). Данное обстоятельство являет-

где

ся веским аргументом в пользу используемого здесь

3cβ

R^4/30

9g²

метода усредненного лагранжиана.

U =

(19)

4nωτ²

R^4/3

8R²

В планарном случае (∇_⊥ = ∂/∂x, где координат-

ная ось x перпендикулярна оси z) система (13), (14)

Уравнение (18) формально совпадает с уравне-

обладает точным локализованным решением, соот-

нием движения ньютоновской частицы единичной

ветствующем двумерной световой пуле [14]. Кроме

массы во внешнем поле с “потенциальной энергией”

того, данная система имеет точное локализованное

U (R). Из (19) легко видеть, что функция U(R) имеет

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020

358

С. В. Сазонов, М. В. Комиссарова

минимум только при β < 0. Данный минимум соот-

то в этом же пределе R′ → 0, если всюду K2 +

ветствует равновесному значению R₀ апертуры соли-

+ 2U(R)/R² < 0. Таким образом в этом случае об-

тона, т.е. (∂U/∂R)R=R0 = 0. Тогда (см. (19) и (12))

ласть изменения апертуры в процессе распростране-

√

ния световой пули является ограниченной (финит-

R₀ = 0.69

τ₀.

(20)

ной). В противном случае обе компоненты импуль-

nω|β|

са должны испытывать неограниченное дифракци-

онное уширение, сопровождаемое столь же неограни-

Введя дисперсионную l_d = 2τ²⁰/|β| и дифракци-

ченным дисперсионным расплыванием (см. (5), (6) и

онную l_D = nωR²⁰/c длины, перепишем (20) в виде

первое выражение (15)). Отмеченное условие устой-

L_D = 0.24l_d.

(21)

чивости является наиболее прозрачным в условиях

при плоских волновых фронтах

отклонения R от R₀

Очевидно, при R = R₀ имеем R^′ = K = 0. В этом

солитона (K = 0). Тогда имеем U(R) < 0. Отсюда и

случае уравнение (17) при учете (20) легко интегри-

из (19) находим

руется: ϕ = f = -13c|β|z/(6nωτ²⁰). Отсюда, а также

√

из (5), (6), (15) и (16) при R = R₀ имеем

R > R_min = 0.54R₀ = 0.38

τ₀.

(24)

(

)

nω|β|

|β|

r²

13|β|

ψ₁ = ±

Заметим, что данное неравенство является необ-

√α₁α₂τ²⁰ exp

R²⁰

6τ²

ходимым условием устойчивости световой пули (22),

[

(

)]

r²

(23).

× sech

exp

(22)

τ₀

2R²

Энергии обеих компонент солитона определяются

(

)

∫

∞

|β|

13|β|

по формуле W_1,2 = v_g

rdr

|ψ_1,2|²dτ. Подстав-

ψ₂ =

exp

-∞

α₁τ²⁰

R²⁰

3τ²

[

(

)]

ляя сюда (22), (23) и учитывая (20), будем иметь

× sech²

exp

(23)

cv_g

|β|

cvg |β|

τ₀

2R²

W₁ = 0.32

, W₂ = 0.11

(25)

nω α₁α₂τ₀

nω α²¹τ₀

Данное приближенное решение системы (1), (2)

представляет собой двухчастотный локализованный

Видно, что энергии обеих компонент одного по-

во всех направлениях пространственно-временной

рядка по величине. Использовав выражения для ко-

солитон (световую пулю), который распространяется

эффициентов α_1,2, приведенные после системы (1),

вдоль оси z с линейной групповой скоростью v_g. Это

(2), а также взяв для кристалла KDP в ближнем ин-

решение обладает одним свободным параметром, в

фракрасном диапазоне [32] 2ω ∼ 10¹⁵ c^-1, χ^(2)1,2 ∼ 10^-9

качестве которого можно взять временную длитель-

СГСЭ, |β| ∼ 10^-28 c²/см, v_g

∼ c и полагая, что

ность τ₀. Апертура R₀ солитона связана с τ₀ соотно-

длительность импульса τ₀ ∼ 10^-12 с, из (25) найдем

шением (20).

W_1,2 ∼ 1 мкДж. Для мощностей импульсов имеем

Как видно из (22) и (23), временная длительность

P_1,2 ∼ W_1,2/τ₀ ∼ 10⁶ Вт. Используя (20), при приве-

τ₀ компоненты световой пули на первой гармонике в

денных выше параметрах получим оценку для апер-

два раза больше временной длительности 2τ₀ компо-

туры R₀ ∼ 1 мм. При этом продольный размер све-

ненты на второй гармонике. При этом поперечные

товой пули l_∥ ∼ v_gτ_p ∼ 0.1 мм. Для интенсивностей

размеры обеих компонент пули одинаковы и равны

компонент имеем I_1,2 ∼ P_1,2/R²⁰ ∼ 10⁸ Вт/см².

R₀.

Приведенные оценки показывают, что рассмот-

Малые отклонения апертуры R от равновесного

ренные выше параметрические двухчастотные свето-

значения R₀ приведут к ее малым периодическим ко-

вые пули могут быть обнаружены в эксперименталь-

лебаниям около R₀. Вместе с апертурой малым ко-

ных условиях. Для этого несущую частоту ω вход-

лебаниям будут подвержены амплитуды, временные

ного импульса надо подобрать так, чтобы на частоте

длительности, фазовые скорости и кривизны волно-

2ω параметр ДГС обращался в ноль. В кристаллах

вых фронтов обеих компонент световой пули (см. (5)

обычно это условие может быть выполнено в ближ-

и (6), (15)-(17)).

нем инфракрасном диапазоне.

Здесь возникает вопрос: насколько большими мо-

Заключение. Проведенное выше исследование

гут быть отклонения R от R₀, чтобы световая пу-

показывает, что отсутствие ДГС на частоте второй

ля оставалась устойчивой? Для этого заметим, что

гармоники не является препятствием для формиро-

первый интеграл уравнения (18) имеет вид R^′2/2 +

вания двухчастотной параметрической световой пу-

+ U(R) = const. Так как U(R) → -0 при R → ∞,

ли в среде с квадратичной нелинейностью. В этом

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020

Параметрические световые пули при отсутствии дисперсии .. .

359

случае импульс на основной частоте, генерируя сиг-

Ya. V. Kartashov, B. A. Malomed, and L. Torner, Rev.

нал второй гармоники (см. первое слагаемое в правой

Mod. Phys. 83, 247 (2011).

части (2)), испытывает дисперсионное и дифракци-

C. Conti, S. Trillo, P. Di Trapani, G. Valiulis,

онное уширения. Однако нелинейность на основной

A. Piskarskas, O. Jedrkiewicz, and J. Trull, Phys. Rev.

частоте, появившаяся за счет порожденного импуль-

Lett. 90, 170406 (2003).

са на второй гармонике (см. второе слагаемое в пра-

А. Е. Дормидонов, В. О. Компанец, С. В. Чекалин,

вой части (1)), останавливает эти процессы. В ре-

В. П. Кандидов, Письма в ЖЭТФ 104, 173 (2016)

[A. E. Dormidonov, V. O. Kompanets, S. V. Chekalin,

зультате формируется локализованный сгусток энер-

and V. P. Kandidov, JETP Lett. 104, 175 (2016)].

гии на основной частоте. В свою очередь этот сгусток

В. П. Кандидов, В. О. Компанец, С. В. Чекалин,

захватывает и локализует порожденный им сигнал

Письма в ЖЭТФ 108, 307 (2018) [V. P. Kandidov,

второй гармоники. Благодаря отсутствию ДГС им-

V. O. Kompanets, and S. V. Chekalin, JETP Lett. 108,

пульс второй гармоники испытывает в два раза боль-

287 (2018)].

шее нелинейное самосжатие в направлении распро-

С. В. Чекалин, В. О. Компанец, А. Е. Дорми-

странения, чем импульс на основной несущей часто-

донов, В. П. Кандидов, УФН

189,

299

(2019)

те. Поперечные же размеры обеих компонент свето-

[S. V. Chekalin, V. O. Kompanets, A. E. Dormidonov,

вой пули одинаковы.

and V. P. Kandidov, Physics - Uspekhi 62, 282 (2019)].

При равенстве нулю групповой дисперсии второ-

10.

D. A. Dolinina, A.S. Shalin, and A. V. Yulin, Pis’ma v

го порядка возникает естественный вопрос об уче-

ZhETF 110, 755 (2019).

те ДГС третьего порядка. Но коль скоро устойчивая

11.

A. A. Kanashov and A. M. Rubenchik, Physica D 4, 122

световая пуля может формироваться в пренебреже-

(1981).

нии на второй гармонике ДГС всех порядков, то, ско-

12.

H. Sakaguchi and B. A. Malomed, Opt. Soc. Am. B 29,

рее всего, учет ДГС третьего порядка будет иметь

2741 (2012).

здесь характер малых поправок.

13.

I. N. Towers, B. A. Malomed, and F. W. Wise, Phys.

Важным остается вопрос устойчивости световой

Rev. Lett. 90, 1239021 (2003).

пули (22), (23) по отношению к малым отклонениям

14.

S. V. Sazonov, M. S. Mamaikin, M. V. Komissarova, and

от нуля параметра ДГС на частоте второй гармони-

I. G. Zakharova, Phys. Rev. E 96, 022208 (2017).

ки. Причем интерес представляют отклонения как в

15.

S. V. Sazonov, A.A. Kalinovich, M. V. Komissarova, and

область отрицательных, так и положительных зна-

I. G. Zakharova, Phys. Rev. A 100, 033835 (2019).

чений. Как было сказано во вводной части статьи,

16.

A. A. Kalinovich, M. V. Komissarova, S. V. Sazonov, and

знак ДГС качественным образом влияет на харак-

I. G. Zakharova, PLOS ONE 14, e0220840 (2019).

тер пространственно-временной динамики световых

17.

S. Blaha, E. Averlant, and K. Panajotov, Proceedings of

импульсов.

SPIE: Photonics Europe 9892, 989227 (2016).

Механизм формирования световой пули (22), (23)

18.

X. Liu, L. J. Qian, and F. W. Wise, Phys. Rev. Lett. 82,

выявляет несимметричные роли импульсов на основ-

4631 (1999).

ной частоте и на второй гармонике. В этой связи

19.

А. П. Сухоруков, Нелинейные волновые взаимодей-

важным является изучение возможности формиро-

ствия в оптике и радиофизике, Наука, М. (1988),

вания параметрической световой пули при равенстве

231 с.

нулю ДГС на основной частоте. Данный вопрос пред-

20.

P. K. Wai, C. R. Menyuk, H. H. Chen, and Y. C. Lee,

ставляет интерес для дальнейших исследований.

Opt. Lett. 12, 628 (1987).

Работа выполнена при финансовой поддержке

21.

P. Di Trapani, D. Caironi, G. Valiulis, A. Dubietis,

Российского научного фонда (# 17-11-01157).

R. Danielius, and A. Piskarskas, Phys. Rev. Lett. 81,

570 (1998).

22.

D. Mihalache, D. Mazilu, J. Dorring, and L. Torner,

1. Ю. С. Кившарь, Г. П. Агравал, Оптические солито-

Opt. Commun. 159, 129 (1999).

ны: от волоконных световодов к фотонным кри-

сталлам, Физматлит, М. (2005), 648 с. [Yu.S. Kivshar

23.

B. A. Malomed, P. Drummond, H. He, A. Berntson,

and G. P. Agrawal, Optical Solitons: From Fibers to

D. Anderson, and M. Lisak, Phys. Rev. E 56, 4725

Photonic Crystals, Academic Press, N.Y. (2003)].

(1997).

2. D. Mihalache, Rom. Rep. Phys. 69, 403 (2017).

24.

D. Anderson, Phys. Rev. A 27, 3135 (1983).

3. Ya. V. Kartashov, G. E. Astrakharchik, B. A. Malomed,

25.

С. К. Жданов, Б. А. Трубников, ЖЭТФ 92, 1612

and L. Torner, Nature Review Physics 1, 185 (2019).

(1987) [Sov. Phys. JETP 65, 904 (1987)].

4. R. Y. Chiao, E. Garmire, and C. H. Townes, Phys. Rev.

26.

D. Anderson, M. Desaix, M. Lisak, and M. L. Quorida-

Lett. 13, 479 (1964).

Teixeiro, J. Opt. Soc. Am. B 9, 1358 (1992).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 5 - 6

2020