Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 7, с. 448 - 454

Влияние рассогласования толщин слоев на фокусировку

рентгеновских лучей многослойными Лауэ линзами

В.И.Пунегов¹⁾

Физико-математический институт Федерального исследовательского центра

“Коми научный центр” Уральского отделения РАН, 167982 Сыктывкар, Россия

Поступила в редакцию 5 марта 2020 г.

После переработки 5 марта 2020 г.

Принята к публикации 11 марта 2020 г.

Численным моделированием исследовано влияние рассогласования толщин слоев многослойных

Лауэ линз (МЛЛ) на фокусировку рентгеновских лучей. Вычислены пространственные распределения

интенсивностей рентгеновских полей в объеме линзы в зависимости от градиентов рассогласования пери-

ода МЛЛ. Показано, что с увеличением рассогласования толщин слоев МЛЛ размер фокусного расстоя-

ния и фокусного пятна уменьшается. Вычисленные размеры фокусного пятна существенно отличаются

от значений, приведенных в других работах. Выявлена физическая природа фокусировки МЛЛ, которая

определяется брэгговской дифракцией и не связана с конфигурацией зонной пластины Френеля.

DOI: 10.31857/S0370274X20070048

Введение. В настоящее время существуют раз-

ских лучей в периодических средах имеет ряд осо-

ные подходы к фокусировке рентгеновского излуче-

бенностей по сравнению с дифракцией в геометрии

ния для конкретных физико-химических приложе-

Брэгга [14]. Одной из основных особенностей явля-

ний, включая капиллярную оптику [1], фокусировку

ется маятниковый эффект (Pendellösung), когда ин-

кристаллами [2], составными преломляющими лин-

тенсивность рентгеновского пучка проходящей вол-

зами [3], зонными пластинами Френеля [4,5] и мно-

ны перекачивается в дифракционный пучок и да-

гослойными Лауэ линзами [6,7].

лее с увеличением глубины, наоборот, интенсивность

Многослойные Лауэ линзы (МЛЛ) относятся к

дифрагированной волны передается в направление

новому классу элементов рентгеновской оптики и,

проходящего пучка. Длина периода таких маятни-

согласно [8], имеют большие перспективы для фо-

ковых биений в симметричной геометрии Лауэ рав-

кусировки жесткого рентгеновского излучения. Пре-

на l_ext

= λ| cos θ_B |/(C|χ₁|), где λ - длина волны

имущественно магнетронное напыление использует-

рентгеновского излучения, θ_B - угол Брэгга, C -

ся для изготовления МЛЛ в соответствии с конфи-

поляризационный фактор, χ₁ - Фурье-компонента

гурацией зон Френеля. Несмотря на свое сходство

рентгеновской поляризуемости в направлении ди-

с зонными пластинами Френеля, МЛЛ должны де-

фракции.

монстрировать отличающиеся фокусирующие свой-

Расчеты рентгеновской фокусировки МЛЛ вы-

ства. Однако до сих пор бытует мнение, что фо-

полнялись с использованием теории связанных волн

кусировка жесткого рентгеновского излучения мно-

[6, 7], уравнений Такаги-Топена в приближении ди-

гослойными Лауэ линзами непосредственно связа-

намического взаимодействия отдельных дифракци-

на со структурой зонных пластин Френеля [6-13].

онных порядков [9] и метода распространения пучков

Так ли это на самом деле? Есть ли перспективы

в среде [10,11]. К сожалению, авторами ни одного из

фокусировки МЛЛ до размеров фокусного пятна в

этих методов не показано распределение интенсив-

несколько нанометров, что продекларировано в ста-

ностей в объеме МЛЛ, а вывод о том, что аперту-

тьях [6-13]? Результаты, приведенные в данной ра-

рой фокусировки является вся боковая сторона Лауэ

боте, в какой-то степени содержат ответы на эти

линзы, из которой выходит дифракционный пучок,

вопросы.

является предположением [6-13].

Лауэ дифракция в многослойных струк-

Для строгого вычисления распределения интен-

турах. Динамическая Лауэ дифракция рентгенов-

сивностей в объеме МЛЛ воспользуемся уравнени-

ями Такаги-Топена [15, 16] в косоугольной системе

¹⁾e-mail: vpunegov@dm.komisc.ru

координат (рис. 1):

448

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8

2020

Влияние рассогласования толщин слоев на фокусировку рентгеновских лучей. . .

449

ность, Z - число электронов в атоме, Δf^′j, Δf^′′j -

дисперсионные поправки к атомной амплитуде.

Заменой амплитуд



E0(η; s0, s1) =

E₀(η; s₀, s₁)exp(ia₀[s₀ + s₁]),

E_h(η; s₀, s₁) =

E_h(η; s₀, s₁)exp(ia₀[s₀ + s₁]φ^∗(s₀, s₁)

система уравнений дифракции (1) может быть запи-

сана как





E₀(η; s₀, s₁)

= ia₁

E₁(η; s₀, s₁),





∂s₀

E₁(η; s₀, s₁)

Рис. 1. (Цветной онлайн) Схематическое изображение



рентгеновской дифракции от многослойной структуры

∂s₁





с рассогласованием периода слоев. E⁽ⁱⁿ⁾⁰ - амплитуда

= i[η + Φ(s₀, s₁)

E₁(η; s₀, s₁) + ia₁

E₀(η; s₀, s₁),

рентгеновской волны, падающей на МЛЛ, E1(z^′) - ам-

(2)

плитуда дифрагированной волны, D - детектор

где Φ(s₀, s₁) =2πd2 [Δd_x(s₀, s₁) + Δd_z(s₀, s₁) tan θ_B] ×

× cosθ_B, Δd_x,z(s₀, s₁) - рассогласования периода





∂E₀(η; s₀, s₁)

МЛЛ в направлении x и z соответственно.



∂s₀

Конфигурация многослойных Лауэ линз.



Изготовление МЛЛ посредством осаждения тонких



= ia₀E₀(η; s₀, s₁) + ia₁φ(s₀, s₁)E₁(η; s₀, s₁),

пленок в конфигурации линейной структуры зонных



пластин Френеля впервые предложено в 2004 г. [6].



∂E₁(η; s₀, s₁)



Первый эксперимент по исследованию МЛЛ WSi₂/Si



∂s₁



на синхротронном источнике с энергией 19.5 кэВ вы-



= i(a₀ + η)E₁(η; s₀, s₁) + ia₁φ^∗(s₀, s₁)E₀(η; s₀, s₁),

полнен двумя годами позже [7], при этом для од-

(1)

ного из образцов измерен размер фокусного пятна

где E_0,1(η; s₀, s₁) - амплитуды проходящей E₀ и ди-

30 нм с эффективностью 44 %. Кроме того, сказано о

фракционной E₁ рентгеновской волны, a₀ = πχ₀/λ,

расчетах с применением теории связанных волн, по-

a₁ = Cπχ₁/λ, η = 2π sin(2θ_B)ω/λ - угловой пара-

казывающих формирование фокусного пятна разме-

метр, ω - отклонение рентгеновского пучка от уг-

ром менее 5 нм. До сих пор сохраняется мнение, что

(

)

ла Брэгга θ_B, φ(s₀, s₁) = exp

i^2πd u(s₀, s₁)

, d - сред-

эффективной апертурой Лауэ линзы является вся

ний период МЛЛ, u(s₀, s₁) - смещения, вызванные

ее боковая поверхность в направлении дифракции

рассогласованием периода МЛЛ. Фурье коэффици-

[6-13]. Между тем прямых расчетов распределения

енты рентгеновской поляризуемости для структуры

интенсивностей рентгеновского излучения в объеме

с двухслойным периодом в направлении прохожде-

Лауэ линзы до сих пор не проводилось. Такие рас-

ния χ₀ и дифракции χ₁ запишутся как

четы, в отличие от традиционной динамической тео-

(

)

рии, должны выполняться в рамках пространственно

χ_td_t + χ_bd_b

χ_t - χ_b

d_t

ограниченных рентгеновских пучков [2,17-21].

χ₀ =

, χ₁ =

sin π

Структура МЛЛ [6-13] соответствует конструк-

ции из периодически чередующихся слоев тяжелого

Здесь χ_t,b и d_t,b - Фурье коэффициенты поляризу-

и легкого материала согласно закону зонной пласти-

емостей и толщины верхнего (t) и нижнего (b) сло-

ны Френеля [4]

ев периода структуры. Рентгеновские поляризуемо-

сти химических элементов вычисляются с исполь-

r²ⁿ = nλf + n²λ²/4,

(3)

зованием табличных значений оптических констант:

Nj·λ²

χ_j

= 2 · (δ_j + iβ_j), δ_j

= r₀

(Z_j + Δf^′j), β_j

2π

где n - номер слоя, f - фокусное расстояние зонной

Nj·λ²

= -r₀

(Δf^′′j), j = t, b указывает на соответ-

пластины, λ - длина волны падающего рентгеновско-

2π

ствующий слой в периоде многослойной структуры,

го излучения. Ширина n-й зоны определяется как

r₀ = e²/(mc²) - классический радиус электрона, e,

√

m - заряд и масса электрона, N_j - атомная плот-

Δr_n = (λf/r_n)

1 + r²ⁿ/f².

(4)

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8

2020

450

В.И.Пунегов

Следовательно, МЛЛ является многослойной струк-

итоге являлось гарантией правильности полученных

турой с переменным периодом

расчетов.

Лауэ дифракция рентгеновских лучей вычисля-

d_m = 2Δr_m = d + Δd_m,

(5)

лась в многослойных структурах, состоящих из чере-

дующихся слоев вольфрама (W) и карбида кремния

где d - средний период МЛЛ, Δd_m - рассогласование

(SiC) [11, 12]. В расчетах использованы оптические

периода с номером m (m = 2n) относительно средне-

константы вольфрама χ_W = (-1.596 + i0.125)· 10^-3 и

го периода. Для того чтобы оценить роль конфигура-

карбида кремния χ_SiC = (-0.334+i0.00092)·10^-3 [23].

ции зонной пластины Френеля в фокусировке жест-

Общее число слоев МС равно N = 5822, число сло-

кого излучения многослойной Лауэ линзой, рассмот-

ев, засвеченных рентгеновским пучком, составляло

рим рентгеновскую дифракцию в четырех апериоди-

5500 (N_z = 2750 - число периодов) [11]. Для рент-

ческих (периодических) системах с разными вариа-

геновского излучения с длиной волны 0.062 нм, что

циями толщины слоев. Основной моделью будет слу-

соответствует энергии 20 кэВ, согласно закону зон-

жить “классическая Лауэ линза” (# 1), архитектура

ной пластины Френеля (5), фокусное расстояние со-

которой отвечает закону зонной пластины Френеля

ответствует значению f = 1.25 мм. Размер первой зо-

(3). Вторая структура относится к латерально огра-

ны Δr₁ = 13.9 нм, последней зоны Δr_Nz = 1.8 нм.

ниченному рентгеновскому зеркалу с постоянным пе-

При ширине падающего на МС рентгеновского пуч-

риодом d (# 2), т.е. для всех слоев Δd_m = 0. Следу-

ка L_z = 16.7 мкм, минимальный засвеченный пери-

ющая система является апериодической многослой-

од Лауэ линзы равен 3.65 нм, максимальный - 17 нм.

ной структурой # 3 с рассогласованиями периодов по

Средний период МС составляет d = L_z/N_z = 6 нм,

закону (5), однако эти рассогласования уменьшены

что соответствует углу Брэгга 5.2 мрад. Ширина МС

в пять раз. Наконец, последняя структура # 4, на-

имеет значение L_x = 7.7 мкм (рис. 1), которое равня-

оборот, имеет рассогласования периодов МЛЛ #1,

ется половине периода маятниковых осцилляций. Та-

увеличенные в полтора раза. Изменения рассогласо-

кой выбор ширины многослойной структуры связан

ваний периодов вышеперечисленных многослойных

с условием возникновения максимальной интенсив-

систем по их толщине показаны на рис. 2.

ности выходящего дифракционного пучка из правой

грани МС (рис. 1). Перекачка интенсивности прохо-

дящего рентгеновского пучка в направление дифрак-

ционной волны показана на рис. 3.

Рис. 2. (Цветной онлайн) Рассогласования периодов по

толщине МЛЛ. Цифровая индексация кривых соответ-

ствует нумерации многослойных структур (см. текст)

Дифракция и фокусировка рентгеновских

Рис. 3. (Цветной онлайн) Распределение интенсивно-

лучей многослойными структурами. Числен-

стей проходящей (1) и дифракционной (2) рентгенов-

ное моделирование. Расчеты распределения ин-

ской волны в объеме многослойной структуры

тенсивностей рентгеновских лучей в объеме много-

слойных структур (МС) выполнены с использова-

Результаты численного моделирования распреде-

нием уравнений (2). Применялся численный алго-

ления интенсивностей рентгеновских полей в объе-

ритм “полушаговой производной” [2, 21]. Кроме это-

ме МС показаны на рис. 4. На этом и других рисун-

го, рентгеновские поля вычислялись с использовани-

ках распределение интенсивностей приведено в ли-

ем двумерных уравнений Такаги-Топена в декарто-

нейном масштабе, отношение между соседними ли-

вой системе координат с применением метода Рунге-

ниями равно 0.1. Красный цвет относится к мак-

Кутта [22], а также на основе двумерных рекуррент-

симальному значению интенсивности, фиолетовый -

ных соотношений [17, 18]. Все эти методы приводи-

минимальному ее значению. В случае отсутствия

ли к одному и тому же результату, что в конечном

рассогласований периода в многослойной структуре

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8

2020

Влияние рассогласования толщин слоев на фокусировку рентгеновских лучей. . .

451

Рис. 4. (Цветной онлайн) Карты распределения интенсивностей проходящих (a), (c), (e), (g) и дифракционных (b), (d),

(f), (h) рентгеновских пучков в объеме многослойных структур # 1- 4. (a), (b) - # 2; (c), (d) - # 3; (e), (f) - # 1; (g),

(h) - # 4

интенсивность проходящей волны монотонно умень-

(рис. 2, кривая 3) структура рентгеновских полей

шается по всей ширине рентгеновского пучка из-

меняется (рис. 4c, d). На начальном этапе наблюда-

за маятникового эффекта (рис.4а), а интенсивность

ется классический маятниковый эффект Лауэ ди-

дифрагированной волны возрастает (рис. 4b). Даже

фракции, далее дифракционная интенсивность кон-

при незначительных рассогласованиях периода МС

центрируется в виде размытого пятна у правой

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8

2020

2^∗

452

В.И.Пунегов

Рис. 5. (Цветной онлайн) Распределение выходящих рентгеновских интенсивностей из многослойных структур в ди-

фракционном (a) и проходящем (b) направлениях. Номера кривых соответствуют нумерации многослойных систем

# 1-4

грани МС (рис. 4d). В проходящем направлении,

(кривые 4 на рис. 2 и 5) фокусное расстояние равно

наоборот, в этом месте интенсивность рентгенов-

29 мм, размер фокуса - 730 нм.

ских лучей зеркально уменьшается (рис. 4c). Даль-

Заключение. Расчеты, выполненные с исполь-

нейшее увеличение рассогласований периода приво-

зованием строгих уравнений динамической теории

дит к уменьшению размеров дифракционного пучка

дифракции, показывают, что дифракционная фоку-

(рис. 4e-h).

сировка многослойными структурами крайне отли-

Таким образом, вопреки бытующему мнению [6-

чается от фокусировки зонными пластинами Френе-

13], апертурой выходящего дифракционного излуче-

ля. Трактовка о том, что многослойные Лауэ лин-

ния из Лауэ линзы является не вся правая грань МС,

зы с клинообразными слоями (wedged multilayer Laue

как это имеет место для зонных пластин Френеля,

lens) являются более эффективными [11, 13], являет-

а только незначительная ее часть в виде узкого ди-

ся довольно спорной. Клинообразные слои создают

фрагированного пятна (рис. 4f, h). Распределение вы-

неоднородность не только по толщине, но и по ши-

ходящих из правой грани МС интенсивностей в ди-

рине многослойной структуры, тем самым ведут к

фракционном и проходящем направлениях показано

нарушению маятникового эффекта в МЛЛ.

на рис. 5.

Можно ли назвать уменьшение размеров выходя-

Выходящий из правой грани МС дифракционный

щего из Лауэ линзы дифракционного пучка фокуси-

рентгеновский пучок с амплитудой E₁(z^′) распро-

ровкой? Попробуем ответить на этот вопрос. Явление

страняется (фокусируется) вне многослойной струк-

дифракции будет иметь место, если выполняется за-

туры по закону Френеля-Кирхгоффа [2,24]

кон Брэгга

∫

2(d ± Δd) sin(θ_B ∓ Δθ) = λ.

E₁(x_d, z_d) = cosθ_B dz^′P(x_d, z_d - cosθ_Bsz^′)E₁(z^′),

(6)

Даже когда угловое отклонение Δθ = 0, будет на-

где E₁(x_d, z_d) - амплитуда дифрагированной рент-

блюдаться рентгеновская дифракция в узкой обла-

геновской волны в плоскости детектора (рис.1),

сти МС с периодом d ± Δd, пока фазовые изменения

P (x, z) = (iλx)^-1/2 exp(iπz²/(λx)) - пропагатор вол-

рентгеновских волн не выведут пучок из условия ди-

нового поля [24].

фракции. Ширина этой области зависит от величи-

Рисунок 6 демонстрирует фокусировку рентге-

ны рассогласования периода Δd. Чем больше гради-

новских лучей многослойными структурами (# 1 и

ент изменения рассогласований, тем уже дифракци-

#4) в зависимости от положения детектора x_d. В

онная область в МС. С изменением углового отклоне-

случае “классической” МЛЛ # 1 (см. также кривые 1

ния Δθ, эта область, получившая название “фазовых

на рис. 2 и 5) фокусное расстояние равно 30 мм, тогда

слоев”, может сужаться или расширяться, а также

как по закону зонной пластины Френеля оно должно

перемещаться по толщине многослойной структуры

быть 1.25 мм. Размер фокусного пятна на половине

[25, 26]. Таким образом, апертура выходящего рент-

полной интенсивности составляет 780 нм, что никак

геновского пучка из Лауэ линзы в направлении ди-

не согласуется с величиной 5 нм [11]. Для структу-

фракции уменьшается с увеличением рассогласова-

ры # 4 с большим рассогласованием периода слоев

ния периода Δd. Только незначительная часть интен-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8

2020

Влияние рассогласования толщин слоев на фокусировку рентгеновских лучей. . .

453

Рис. 6. (Цветной онлайн) Фокусировка дифракционного пучка многослойными структурами # 1 и # 4. Рисунки, соот-

ветствующие системе # 1, расположены слева. (a), (b) - карты распределения сфокусированных интенсивностей; (c),

(d) - распределения дифракционной интенсивности вне многослойной структуры; (e), (f) - размеры фокусного пятна

(1) и выходящего рентгеновского пучка из многослойной структуры (2)

сивности падающего пучка попадает в дифракцион-

периодов не может выполняться условие динамиче-

ное направление (рис. 4f, h, рис. 5а), основная часть

ской дифракции. В наших вычислениях ширина ди-

не испытывает дифракцию и, поглощаясь в среде,

фракционной области порядка 3 мкм (кривые 1 и 4

выходит из МС (рис. 4e, g, 5b). Следовательно, на-

на рис. 5а), что соответствует 500 периодам, поэто-

звать данное явление фокусировкой весьма сложно,

му размер сфокусированного пятна выходящего ди-

это скорее пространственное ограничение дифракци-

фракционного пучка находится в пределах от 700 нм

онного пучка из-за рассогласований периода МС.

до 1000 нм. Фокусное пятно можно уменьшить изме-

В ряде работ продекларированы размеры фокус-

нением углового положения МС относительно пада-

ного пятна от Лауэ линзы 4.7 нм [9], 5 нм [6, 11], 30 нм

ющего рентгеновского пучка. Так, например, умень-

[7], 36 нм [13]. Это означает, что для среднего периода

шая угол падения пучка на 4 мрад, фокусное рассто-

МС, например, 6 нм, размер дифракционной области

яние может уменьшиться до 1.5 мм, что соизмеримо

должен быть порядка одного или нескольких перио-

с результатом для зонной пластины Френеля. Одна-

дов. Для одного периода рентгеновская брэгговская

ко размер фокусного пятна 132 нм по нашим расче-

дифракция в принципе невозможна, для нескольких

там сильно отличается от 4.7 нм [9] и даже от 36 нм

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8

2020

454

В.И.Пунегов

[7]. Результаты моделирования рентгеновской Лауэ

A. Andrejczuk, H. N. Chapman, and S. Bajt, Optical

дифракции в МС не показывают возникновения от-

Mater Express 5, 748 (2015).

дельных дифракционных порядков, как на это ука-

11.

A. Andrejczuk, J. Krzywinski, and S. Bajt, Nucl.

зано в [9].

Instrum. Methods Phys. Res. B 364, 60 (2015).

Таким образом, в работе впервые показано рас-

12.

A. J. Morgan, M. Prasciolu, A. Andrejczuk,

пределение интенсивностей рентгеновских лучей в

J. Krzywinski, A. Meents, D. Pennicard, H. Graafsma,

A. Barty, R. J. Bean, M. Barthelmess, D. Oberthuer,

условиях Лауэ дифракции в объеме МС с рассогла-

O. Yefanov, A. Aquila, H. N. Chapman, and S. Bajt,

сованиями периодов слоев. Показано, что размер эф-

Sci. Rep. 5, 9892 (2015).

фективной апертуры дифрагированного пучка, вы-

13.

K. T. Murray, A. F. Pedersen, I. Mohacsi, C. Detlefs,

ходящего из Лауэ линзы, зависит от рассогласова-

A. J. Morgan, M. Prasciolu, C. Yildirim, H. Simons,

ний периода слоев МС и не связан с конфигурацией

A. C. Jakobsen, H. N. Chapman, H.F. Poulsen, and

зонной пластины Френеля.

S. Bajt, Opt. Express 27, 7120 (2019).

14.

A. Authier, Dynamical Theory of X-Ray Diffraction,

Oxford University Press, N.Y. (2001).

1. D. H. Bilderback, X-Ray Spectrom. 32, 195 (2003).

15.

S. Takagi, Acta Crystallogr. 15, 1311 (1962).

2. Ya. I. Nesterets and S. W. Wilkins, J. Appl. Crystallogr.

16.

D. Taupin, Bull. Soc. Franc. Mineral. Crist. 87, 469

41, 237 (2008).

(1964).

3. A. Snigirev, V. Kohn, I. Snigireva, and B. Lengeler,

17.

V. I. Punegov, S.I. Kolosov, and K. M. Pavlov, Acta

Nature 384, 49 (1996).

Crystallogr. A 70, 64 (2014).

4. J. Kirz, J. Opt. Soc. Am. 64, 301 (1974).

18.

V. I. Punegov, S. I. Kolosov, and K.M. Pavlov, J. Appl.

5. В. В. Аристов, С. В. Гапонов, В. М. Генкин,

Crystallogr. 49, 1190 (2016).

Ю. А. Горбатов, А. И. Ерко, В. В. Мартынов,

19.

V. I. Punegov, K. M. Pavlov, A. V. Karpov, and

Л. А. Матвеев, Н. Н. Салащенко, А. А. Фраерман,

N. N. Faleev, J. Appl. Crystallogr. 50, 1256 (2017).

Письма в ЖЭТФ 44, 207 (1986)

[V. V. Aristov,

20.

В. И. Пунегов, ЖЭТФ 154, 248 (2018) [V. I. Punegov,

S. V. Gaponov, V. M. Genkin, Yu.A. Gorbatov,

A.I. Erko, V.V. Martynov, L. A. Matveev,

JETP 127, 210 (2018)].

N.N. Salashchenko, and A.A. Fraerman, JETP

21.

Y. Epelboin, Mater. Sci. Eng. 73, 1 (1985).

Lett. 44, 265 (1986)].

22.

С. И. Колосов, В.И. Пунегов, Кристаллография

6. J. Maser, G. B. Stephenson, S. Vogt, Y. Wenbing,

50,

401

(2005)

[S. I. Kolosov and V. I. Punegov,

A. Macrander, H. C. Kang, L. Chian, and R. Conley,

Crystallography Reports 50, 375 (2005)].

Proc. SPIE 5539, 185 (2004).

23.

S. Stepanov and R. Forrest, J. Appl. Crystallogr. 41,

7. H. C. Kang, J. Maser, G. B. Stephenson, C. Liu,

958 (2008); https://x-server.gmca.aps.anl.gov/.

R. Conley, A.T. Macrander, and S. Vogt, Phys. Rev.

24.

V. G. Kohn, I. Snigireva, and A. Snigirev, Phys. Status

Lett. 96, 12740 (2006).

Solidi B 222, 407 (2000).

8. H. Yan, R. Conley, N. Bouet, and Y. S. Chu, J. Phys.

25.

A. V. Kolpakov and V.I. Punegov, Solid State Commun.

D: Appl. Phys. 47, 263001 (2014).

54, 573 (1985).

9. H. F. Yan, J. Maser, A. Macrander, Q. Shen, S. Vogt,

26.

А. В. Колпаков, В. И. Пунегов, Вестн. Московск.

G. B. Stephenson, and H. C. Kang, Phys. Rev. B 76,

ун-та. сер. 3. Физика. Астрономия

27,

(1986)

115438 (2007).

[A. V. Kolpakov and V. I. Punegov, Moscow University

10. M. Prasciolu, A. F. G. Leontowich, J. Krzywinski,

Physics Bulletin 41, 115 (1986)].

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8

2020