Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 7, с. 455 - 461

Дискретные вихри в системах связанных нелинейных осцилляторов:

численные результаты для электрической модели

В.П.Рубан¹⁾

Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН, 142432 Черноголовка, Россия

Поступила в редакцию 3 марта 2020 г.

После переработки 5 марта 2020 г.

Принята к публикации 5 марта 2020 г.

Теоретически исследуются вихревые когерентные структуры на массивах нелинейных осцилляторов,

объединенных слабыми связями в топологически нетривиальные дискретные двумерные многообразия.

В качестве возможной физической реализации таких объектов рассмотрена электрическая схема из

нелинейных колебательных контуров, связанных относительно малыми емкостями. Численные экспери-

менты показали, что монохроматическое по времени внешнее воздействие, приложенное к нескольким

осцилляторам, в широкой области параметров приводит к формированию в системе долгоживущих и

нетривиально взаимодействующих вихрей на квазистационарном фоне. Динамика вихрей оказывается

различной в зависимости от способа “сшивки” связями противоположных сторон прямоугольного мас-

сива, чем определяется топология получающегося многообразия (тор, бутылка Клейна, проективная

плоскость, лист Мебиуса, кольцо или диск).

DOI: 10.31857/S0370274X2007005X

Введение. Как известно, нелинейные комплекс-

и был долгоживущим на модуляционно устойчивом

ные волновые поля способны образовывать кванто-

ненулевом фоне “плотности” S, влияние нелинейно-

ванные вихри в двух и трех пространственных из-

сти должно быть дефокусирующим. Сердцевина вих-

мерениях [1-7]. Типичный тому пример - вихри в

ря (провал плотности) может быть при этом шири-

захваченных Бозе-конденсатах холодных атомов (ко-

ной всего около одного шага решетки и даже в неко-

торые описываются конденсатной волновой функци-

тором смысле меньше, но влияние его фазы прости-

ей Ψ(r, t) в рамках уравнения Гросса-Питаевского).

рается на всю систему. Этим обычные вихри отлича-

Нетривиальные динамические свойства этих объек-

ются от локализованных вихревых солитонов, имею-

тов привлекли к себе большое внимание исследова-

щих место при фокусирующей нелинейности. Взаи-

телей (см., в частности, [8-19]). Вихревые структу-

модействие дискретных вихрей между собой и с уз-

ры существуют не только в сплошных средах, но

лами решетки приводит к сложной динамике, кото-

и в дискретных системах (вихри и вихревые соли-

рая и является темой данной работы.

тоны на решетках; см. [20-29] и ссылки там). Как

Одной из относительно простых и универсаль-

физически, так и математически, реализация ди-

ных математических моделей, допускающих вихре-

намических систем на решетках может быть раз-

вые решения, является слабодиссипативное дискрет-

личной. Например, в массивах связанных нелиней-

ное нелинейное уравнение Шредингера с накачкой,

ных осцилляторов возможность существования вих-

A_n + γω₀A_n) = g|A_n|²A_n +

рей обусловлена наличием на каждом узле кано-

1∑

нического комплексного параметра порядка a_n

c_n,n′ (A_n - A_n′ ) + f_n(t),

(1)

√S_n exp(iΘ_n) = A_n(t) exp(-iω₀t), где S_n и Θ_n - пе-

n^′

ременные действие-угол для отдельно взятого осцил-

где γ - малый коэффициент линейного затухания,

лятора, а ω₀ - частота колебаний в пределе малых

g - нелинейный коэффициент, c_n,n′ - (действитель-

амплитуд. Фаза Θ при обходе по замкнутому кон-

ная) матрица связей, f_n(t) - комплексная огиба-

туру вдоль связей может небольшими изменениями

ющая внешнего квазимонохроматического воздей-

набирать приращение, кратное 2π, образуя тем са-

ствия (вблизи резонансной частоты). В частности,

мым дискретный вихрь. Но чтобы такой объект имел

различные метаматериалы описываются такого рода

отчетливо выраженную локализованную сердцевину

уравнением (см., например, [30] и ссылки там). Здесь

собраны эффекты нелинейности, дисперсии, дисси-

¹⁾e-mail: ruban@itp.ac.ru

пации, а также резонансной накачки. Реально воз-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8

2020

455

456

В.П.Рубан

можные осцилляторы удовлетворяют такому универ-

пробел, пока что только путем численного модели-

сальному уравнению лишь приблизительно, и только

рования достаточно реалистичной электрической мо-

в слабонелинейном режиме. Поэтому, если говорить

дели. Как мы увидим далее, уже первые результа-

о перспективах создания искусственных материалов,

ты оказались нетривиальными и интересными. Соб-

способных демонстрировать дискретные вихри, то

ственно, само наблюдение в численном эксперименте

ограничиваться уравнением (1) нельзя, и представ-

долгоживущих вихрей на дискретной слабодиссипа-

ляет интерес исследование сильно нелинейных, фи-

тивной электрической схеме под внешним периоди-

зически реализуемых систем.

ческим воздействием в режиме нелинейного резона-

Надо сказать, что практически удобным вариан-

наса осуществлено здесь впервые.

том воплощения связанных нелинейных осциллято-

Описание модели. Для теоретического рас-

ров оказались электрические схемы с обратно сме-

смотрения предлагается электрическая схема, со-

щенными по напряжению варакторными диодами

ставленная из нелинейных колебательных контуров

(переменными емкостями, зависящими от приложен-

с относительно слабыми емкостными связями между

ного напряжения) [31-45]. В частности, с их помо-

ними, как показано на рис. 1. Связь между этой схе-

щью были проделаны эксперименты, моделирующие

динамику солитонов на интегрируемой цепочке То-

ды [31-34]. Помимо диодов, в настоящее время раз-

работаны также нелинейные конденсаторы на основе

специальных диэлектрических пленок [46, 47].

В зависимости от конструкции схемы нелиней-

ность может быть как фокусирующей на больших

масштабах, так и дефокусирующей. До настояще-

го времени изучались, в основном, фокусирующие

варианты, где имеет место модуляционная неустой-

чивость длинных волн. Объектами таких исследо-

ваний были дискретные солитоны, бризеры и вих-

ревые солитоны [20, 22, 42, 43]. Эти сильно лока-

лизованные структуры образуются на модуляционно

неустойчивых сетках даже небольшого размера (ме-

нее, чем 10 × 10) и занимают всего несколько ячеек

Рис. 1. Схема связанных нелинейных электрических

[43]. В отличие от них, для полноценного наблюде-

осцилляторов. Показан только фрагмент полной сети

ния вихрей на модуляционно устойчивых массивах

(две ячейки и связь между ними)

связанных осцилляторов требуется большое число

элементов, порядка 30 × 30 и более, поскольку про-

мой и уравнением (1) обсуждалась в недавней работе

странственное распределение фаз вихрей, как пра-

автора [45]. Состояние системы описывается напря-

вило, делокализовано. Создание столь больших кон-

жениями V_n(t), а также токами I_n(t) через катушки

струкций требует серьезных затрат. Видимо, поэто-

индуктивности L по направлению к соответствую-

му вихри на сетках пока не наблюдались экспери-

щему конденсатору. Предполагается использование

ментально. Не привлек до сих пор широкого внима-

тороидальных катушек, чтобы исключить взаимную

ния и тот интересный факт, что системы электри-

индукцию. Нелинейными элементами здесь являют-

ческих осцилляторов допускают возможность кон-

ся емкости C(V_n). Для простоты в данной работе ис-

струирования связей таким образом, чтобы получа-

пользуется функциональная зависимость емкости от

лись топологически нетривиальные дискретные мно-

напряжения в виде

гообразия, например, лист Мебиуса, бутылка Клей-

на, проективная плоскость и др. Поскольку вихри -

C(V_n) = C₀(1 + V²ⁿ/V^2∗),

(2)

объекты дальнодействующие, топология многообра-

зия должна оказывать на них сильное влияние. На-

с некоторым параметром V_∗ (порядка нескольких

сколько известно автору, вопрос о динамике дискрет-

вольт). Такая симметричная зависимость характер-

ных вихрей на сложных многообразиях до сих пор

на для конденсаторов с диэлектрическими пленка-

не исследовался (в отличие от дискретных солитонов

ми [46, 47]. Подача напряжения смещения V_b делает

на квазиодномерном листе Мебиуса [48]). Цель дан-

возможным использование также варакторных дио-

ной работы - до некоторой степени заполнить этот

дов, которые (в параллельном соединении с обычным

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8

2020

Дискретные вихри в системах связанных нелинейных осцилляторов. . .

457

конденсатором) приближенно описываюся фитирую-

по чрезвычайно малому параметру R_L/R_C . Система

щей формулой (см., например, [49])

уравнений движения тогда имеет вид

[

]

∑[

C(V_n)

V_n +

C_n,n′ (

V_n -

Vn′ ) +

C(V_n) = C₀ µ + (1 - µ)/(1 + V_n/V_∗)ν ,

(3)

n^′

]

+ (V_n - V_n′ )/R_n,n′

+ V_n/R_C = I_n,

(6)

где 0 < µ < 1 учитывает параллельно подклю-

ченный простой конденсатор, а подгоночный пара-

In + Vn + RLIn = En(t).

(7)

метр диода ν зависит от технологии изготовления и

Чтобы в численном алгоритме разрешить эту систе-

обычно лежит в диапазоне 0.3 ≲ ν ≲ 6.0 (кстати

му относительно временных производных

V_n, мож-

сказать, для реализации цепочки Тоды необходимо

но использовать итерации, соответствующие схеме

брать ν = 1). В любом случае, запасенная электро-

Эйлера для релаксации к положению равновесия.

статическая энергия на конденсаторе (дополнитель-

Сходимость итераций при этом обеспечивается сим-

ная по сравнению с состоянием V_n = 0) определяется

метрией и положительной определенностью матри-

формулой

∑

∫ Vn

цы {[C(V_n) +_m C_n,m]δ_n,n′ - C_n,n′ }, присутствую-

W (V_n) =

C(u)udu,

(4)

щей в уравнении (6). Результат итераций можно за-

тем подставлять в процедуру Рунге-Кутта четверто-

тогда как дополнительный электрический заряд есть

го порядка для продвижения по времени, что факти-

чески и делалось. При вычислениях использовались

∫ Vn

q_n = q(V_n) =

C(u)du.

(5)

обезразмеренные переменные, соответствующие зна-

чениям L = 1, C₀ = 1, V_∗ = 1. Частота малых коле-

баний при этом ω₀ = 1, а их период T₀ = 2π. Заметим

Все емкости C_n,n′ на связях предполагаются ли-

еще, что в отсутствие связей и диссипации каждый

нейными и малыми по сравнению с C₀. Вообще го-

осциллятор обладал бы законом cохранения энергии

воря, связи не обязаны быть одинаковыми, что дает

ε_n = LI²ⁿ/2 + W(V_n).

дополнительную свободу в конструировании масси-

Принципиально важным для нас является требо-

вов с пространственно неоднородными свойствами.

вание, чтобы нелинейный сдвиг частоты δω_nl = g|A|²

Можно создавать как локально периодические ре-

отдельно взятого колебательного контура был отри-

шетки, так и квазикристаллические, а также (псев-

цательным, поскольку, как показано в работе [45],

до)случайные.

доминирующие элементы матрицы c_n,n′ соответству-

В той мере, в какой соединительные провода име-

ющего уравнения (1) оказываются отрицательными

ют пренебрежимо малые сопротивления, индуктив-

несмотря на положительную определенность энергии

ности и емкости, фактическое расположение элемен-

связей в нашей модели. Особенно легко в этом убе-

тов схемы в пространстве не существенно. Очевидно,

диться на примере квадратной бесконечной решетки,

что благодаря гибкости и небольшому поперечному

вычислив закон дисперсии для линеаризованной си-

сечению проводов потенциально реализуемы сети с

стемы и убедившись в отрицательности квадратич-

практически любой топологией.

ной поправки к частоте на малых волновых числах.

Чтобы электрическая модель была реалистич-

При совпадении знаков нелинейного коэффициента и

ной, в нее следует включить диссипативные элемен-

дисперсионной поправки действие нелинейности бу-

ты - малое активное сопротивление катушки R_L ≪

√

дет дефокусирующим в квазинепрерывном пределе,

≪

L/C₀, а также большие сопротивления утечки

√

что необходимо для формировния устойчивого фо-

конденсаторов R_C ≫

L/C₀ и R_n,n′ ≫

L/C₀. Для

на, на котором существуют вихри. С функцией (2)

простоты, здесь не учитывается возможная нелиней-

это условие выполняется автоматически (поскольку

ная зависимость R_C от приложенного к конденсато-

в этом случае g = -3/4), а с функцией (3) - в области

ру напряжения. Кроме того, для компенсации потерь

параметров

энергии системы, к некоторым из осцилляторов (к

относительно небольшому их числу) подведено пе-

g = ν(1 - µ)[-3 + ν(1 - 4µ)]/24 < 0.

(8)

ременное по времени напряжение E_n(t) (генератор

включен последовательно с катушкой; на рис. 1 не

Мы будем предполагать, что диссипация в катуш-

показано).

ке преобладает над диссипацией утечек, так что доб-

В общем случае, из-за конечности R_C стационар-

ротность отдельного осциллятора

ное значение напряжения на конденсаторе слегка от-

(

√

)

личается от V_b, но этим отличием можно пренебречь

Q^-1 = γ = R_L

C₀/L + R^-1C

L/C₀

(9)

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8

2020

458

В.П.Рубан

определяется, в основном, первым слагаемым. Чис-

выгодно сформироваться, начальные фазы сигнала

ленные эксперименты показали, что для наблюдения

зависели от n, равномерно увеличиваясь при обходе

вихрей требуется высокая добротность Q ≳ 10³. Это

вдоль границы до величины 2πM, где M - целое чис-

требование выглядит вполне реалистичным. Напри-

ло (брались значения M порядка 10). В случае диска

мер, для катушки с индуктивностью L = 1.0·10^-4 Гн

и тора число M определяло количество вихрей в об-

и сопротивлением R_L = 1 Ом (такая катушка из мед-

разовавшемся кластере (при достаточной амплитуде

ной проволоки длиной 10 м и сечением 0.2 мм² име-

воздействия). Во всех других случаях простого со-

ет размеры в несколько сантиметров), при значени-

ответствия между M и числом вихрей не было: они

ях C₀ = 1.0 · 10^-10 Ф и R_C > 10⁷ Ом, мы получа-

зарождались и исчезали, причем как парами вихрь-

ем ω₀ = 1.0 · 10⁷ рад/с (что соответствует частоте

антивихрь, так и поодиночке при столкновениях с

около 1.6 МГц) и достаточно большую добротность

круговой границей.

Q > 10³. При низких температурах сопротивление

Из-за большого числа параметров, задействован-

меди падает, и добротность повышается еще более.

ных в численных экспериментах, полученных ре-

Численные эксперименты. В компьютерных

зультатов пока что еще недостаточно, чтобы дать

вычислениях элемент двумерного массива N₁ × N₂

исчерпывающее описание всевозможных динамиче-

нумеровался мультииндексом n = n₂ + N₂n₁, причем

ских режимов. Поэтому здесь приведены только

0 ≤ n₁ ≤ N₁ - 1, 0 ≤ n₂ ≤ N₂ - 1. Отличными от

некоторые примеры. Но и они ясно свидетельству-

нуля могли быть только связи между ближайшими

ют о нетривиальных свойствах вихрей на электри-

соседями, либо между элементами на противополож-

ческих массивах. Брались следующие значения без-

ных сторонах прямоугольника. Если обе противопо-

размерных параметров: R_L = 0.001, 1/R_C = 0.0001,

ложные стороны сшивались связями в прямом по-

C_n,n′

= 0.1, 1/(R_n,n′C_n,n′ )

= 0.0001. Амплитуда

рядке [(0, n₂) ↔ (N₁ - 1, n₂), (n₁, 0) ↔ (n₁, N₂ - 1)],

внешнего сигнала E_n была 0.06, а отстройка его час-

то получался тор. Если одно направление сшивалось

тоты Δ = 0.14. Параметр M = 7. В начальном состо-

в прямом порядке, а второе - в обратном [(n₁, 0) ↔

янии все осцилляторы имели I_n(0) = 0 и одинаковые

↔ (N₁ -1-n₁, N₂ -1)], то получалась бутылка Клей-

значения V_n(0) ∼ 1. После начального переходного

на (на таком неориентируемом многообразии пере-

периода, с продолжительностью около 1000T₀, уста-

ход вихря через край по “перевернутому” направ-

навливался более-менее однородный фон плотности,

лению приводит к его появлению вблизи противо-

на котором двигались зародившиеся к тому времени

положной стороны прямоугольника в симметричной

вихри. Дальнейшая их эволюция была существенно

относительно центра точке, но уже с другим знаком).

различной в зависимости от топологии многообра-

Если оба направления сшить в обратном порядке, то

зия, как показано на рис. 2-6, где приведены кар-

получается проективная плоскость. Кроме того, если

по первому направлению противоположные стороны

не сшивать вовсе, а по второму сшить в обратном по-

рядке, то получается лист Мебиуса. Моделировались

также вихри на диске.

В представленных ниже численных эксперимен-

тах N₁ = N₂ = 60, причем для удобства узлы распо-

ложены на квадратной решетке с произвольно вы-

бранным шагом h = 0.06, для того, чтобы общий

размер системы оказался порядка единицы. Внеш-

ний сигнал E_n(t) брался монохроматическим с часто-

Рис. 2. (Цветной онлайн) Вращающийся кластер из се-

той (1 - Δ), чтобы ввести систему в состояние нели-

ми вихрей на диске: (a) - распределение на решетке

нейного резонанса, когда амплитуда колебаний опре-

удвоенной энергии осцилляторов; (b) - распределение

фазы

деляется, главным образом, частотой воздействия в

соответствии с оценкой gS ≈ -Δ и в меньшей сте-

пени - амплитудой воздействия. Для диска и листа

тинки для распределений на решетке энергий осцил-

Мебиуса воздействие было приложено к узлам, рас-

ляторов ε_n, а также величин Φ_n = arctg₂(I_n, V_n), ко-

положенным вдоль естественной границы. Из тора,

торые в качественном отношении подобны канони-

бутылки Клейна и проективной плоскости вырезался

ческим фазам Θ_n. В частности, на диске сформи-

диск, и сигнал подавался на узлы вблизи образовав-

ровался вихревой кластер, как это видно из рис. 2.

шейся границы. Чтобы вихрям было энергетически

Вихри в нем медленно вращались, меняя при этом

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8

2020

Дискретные вихри в системах связанных нелинейных осцилляторов. . .

459

Рис. 3. (Цветной онлайн) Вращающийся кластер из се-

Рис. 6. (Цветной онлайн) Вихри на листе Мебиуса дви-

ми вихрей на “торе” с дырой: (a) - удвоенная энергия;

гаются параллельно границе: (a) - удвоенная энергия;

(b) - фаза

последний оставшийся вихрь “застрял” вблизи края

дыры, а на проективной плоскости последний вихрь

двигался вдоль границы квадрата по часовой стрел-

ке. Вихри на листе Мебиуса двигались параллельно

границе, изредка аннигилируя парами при столкно-

вениях. В данном случае на временах до 5000T₀ все

еще оставались три вихря, показанные на рис.6.

Были проведены вычисления и с другими набора-

ми параметров, в частности - при увеличенных либо

уменьшенных активных сопротивлениях, с отлича-

Рис. 4. (Цветной онлайн) Последний оставшийся вихрь

ющимися частотами и амплитудами накачки, а так-

на “бутылке Клейна” с дырой: (a) - удвоенная энергия;

же с неоднородными профилями связей (различные

(b) - фаза

значения C_n,n′ в различных частях многообразия).

Вообще говоря, динамика вихрей иногда сильно от-

свое взаимное расположение. Аналогичный спокой-

личалась от описанной выше. К тому же, в ряде слу-

ный режим вращения кластера достигался и в случае

чаев, помимо вихрей, наблюдались темные солито-

тора, показанном на рис.3. Иначе протекала динами-

ны. Здесь, однако, нет возможности обсуждать все

ка на бутылке Клейна и на проективной плоскости,

детали. Важен сам факт, что долгоживущие вихри

где компактные кластеры не образовывались, а коли-

не являются чем-то исключительным и требующим

чество вихрей с течением времени постепенно сокра-

особых настроек системы, а имеют место в широкой

щалось (см. рис.4 и 5; там стоит обратить внимание

области параметров.

на разницу в граничных условиях, которая обуслов-

Заключение. Таким образом, в данной рабо-

лена прямым либо обратным сшиванием противопо-

те представлен новый пример динамической систе-

ложных сторон и становится очевидной из сравне-

мы, описывающей нелинейные модуляционно устой-

ния распределений “фазы” Φ). На бутылке Клейна

чивые волны в слабодиссипативной двумерной элек-

трической схеме. Численно подтвержден сценарий,

согласно которому под воздействием сосредоточен-

ной на краю резонансной накачки в таких системах

формируется приблизительно однородный фон плот-

ности, на котором зарождаются и длительно суще-

ствуют дискретные вихри. Впервые численно проде-

монстрированы такие вихри на топологически слож-

ных многообразиях. Задачей на будущее остается вы-

вод (в пространственно непрерывном пределе) урав-

нений движения непосредственно для координат “то-

Рис. 5. (Цветной онлайн) Три вихря на “проективной

чечных” вихрей при наличии диссипации и накачки.

плоскости” с дырой двигаются вдоль границы квадра-

Такие уравнения, по всей видимости, окажутся более

та: (a) - удвоенная энергия; (b) - фаза. В конце концов

сложными, чем для рассмотренного в работах [29, 45]

останется только один

случая свободной релаксации.

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8

2020

460

В.П.Рубан

Проведенное исследование было мотивировано, в

21.

P. G. Kevrekidis, B. A. Malomed, and Yu. B. Gaididei,

частности, интересом к разработке искусственных

Phys. Rev. E 66, 016609 (2002).

материалов (в том числе трехмерных), способных

22.

P. G. Kevrekidis, B. A. Malomed, D. J. Frantzeskakis,

поддерживать квантованные вихри макроскопиче-

and R. Carretero-Gonzalez, Phys. Rev. Lett. 93, 080403

(2004).

ских размеров, причем при комнатных температурах

23.

P. G. Kevrekidis, B. A. Malomed, Zh. Chen, and

и без привлечения постоянной Планка. Понятно, что

D. J. Frantzeskakis, Phys. Rev. E 70, 056612 (2004).

такой материал, содержащий многие миллионы уз-

24.

D. E.

Pelinovsky,

P. G.

Kevrekidis,

and

лов, не может собираться из радиотехнических де-

D. J. Frantzeskakis, Physica D 212, 20 (2005).

талей. Его элементы должны быть более простыми

25.

F. Lederer, G. I. Stegeman, D. N. Christodoulides,

и дешевыми. Но автор все же выражает надежду,

G. Assanto, M. Segev, and Ya. Silberberg, Phys. Rep.

что общая идея данной работы окажется практиче-

463, 1 (2008).

ски полезной для дальнейших исследований в этом

26.

J. Cuevas, G. James, P. G. Kevrekidis, and K. J. H. Law,

направлении.

Physica D 238, 1422 (2009).

27.

Ya. V. Kartashov, B. A. Malomed, and L. Torner, Rev.

L. M. Pismen, Vortices in Nonlinear Fields, Clarendon,

Mod. Phys. 83, 247 (2011).

Oxford (1999).

28.

M. Lapine, I. V. Shadrivov, and Yu. S. Kivshar, Rev.

C. J. Pethick and H. Smith, Bose-Einstein Condensation

Mod. Phys. 86, 1093 (2014).

in Dilute Gases, Cambridge University Press,

29.

V. P. Ruban, Phys. Rev. E 100, 012205 (2019).

Cambridge (2002).

30.

Н. Н. Розанов, Н. В. Высотина, А.Н. Шацев,

L. P. Pitaevskii and S. Stringari, Bose-Einstein

И. В. Шадривов, Ю. С. Кившарь, Письма в ЖЭТФ

Condensation, Oxford University Press, Oxford (2003).

93, 826 (2011).

P. G. Kevrekidis, D. J. Frantzeskakis, and R. Carretero-

31.

R. Hirota and K. Suzuki, J. Phys. Soc. Jpn. 28, 1366

González, The Defocusing Nonlinear Schrödinger

(1970).

Equation: From Dark Solitons and Vortices to Vortex

32.

R. Hirota and K. Suzuki, Proc. IEEE 61, 1483 (1973).

Rings, SIAM, Philadelphia (2015).

B. Y. Rubinstein and L. M. Pismen, Physica D 78, 1

33.

A. C. Hicks, A.K. Common, and M. I. Sobhy, Physica D

95, 167 (1996).

(1994).

A.A. Svidzinsky and A.L. Fetter, Phys. Rev. A 62,

34.

A. C. Singer and A. V. Oppenheim, Int. J. Bifurcation

063617 (2000).

Chaos 9, 571 (1999).

A.L. Fetter, Rev. Mod. Phys. 81, 647 (2009).

35.

D. Cai, N. Gronbech-Jensen, A.R. Bishop,

A. T. Findikoglu, and D. Reagor, Physica D

123,

V.P. Ruban, Phys. Rev. E 64, 036305 (2001).

291 (1998).

J. Garcia-Ripoll and V. Perez-Garcia, Phys. Rev. A 64,

053611 (2001).

36.

T. Kofane, B. Michaux, and M. Remoissenet, J. Phys.

C: Solid State Phys. 21, 1395 (1988).

10.

J. R. Anglin, Phys. Rev. A 65, 063611 (2002).

37.

P. Marquie, J. M. Bilbault, and M. Remoissenet, Phys.

11.

P. Rosenbusch, V. Bretin, and J. Dalibard, Phys. Rev.

Rev. E 49, 828 (1994).

Lett. 89, 200403 (2002).

12.

A. Aftalion and I. Danaila, Phys. Rev. A 68, 023603

38.

P. Marquie, J. M. Bilbault, and M. Remoissenet, Phys.

(2003).

Rev. E 51, 6127 (1995).

13.

T.-L. Horng, S.-C. Gou, and T.-C. Lin, Phys. Rev. A

39.

V. A. Makarov, E. del Rio, W. Ebeling, and

74, 041603(R) (2006).

M. G. Velarde, Phys. Rev. E 64, 036601 (2001).

14.

В. А. Миронов, Л. А. Смирнов, Письма в ЖЭТФ 95,

40.

D. Yemele, P. Marquie, and J. M. Bilbault, Phys. Rev.

627 (2012).

E 68, 016605 (2003).

15.

S. Serafini, M. Barbiero, M. Debortoli, S. Donadello,

41.

L. Q.

English,

Palmero, A. J.

Sievers,

F. Larcher, F. Dalfovo, G. Lamporesi, and G. Ferrari,

P. G. Kevrekidis, and D. H. Barnak, Phys. Rev. E

Phys. Rev. Lett. 115, 170402 (2015).

81, 046605 (2010).

16.

S. Serafini, L. Galantucci, E. Iseni, T. Bienaime,

42.

F. Palmero, L. Q. English, J. Cuevas, R. Carretero-

R.N. Bisset, C. F. Barenghi, F. Dalfovo, G. Lamporesi,

Gonzalez, and P. G. Kevrekidis, Phys. Rev. E 84, 026605

and G. Ferrari, Phys. Rev. X 7, 021031 (2017).

(2011).

17.

C. Ticknor, W. Wang, and P. G. Kevrekidis, Phys. Rev.

43.

L. Q. English, F. Palmero, J. F. Stormes, J. Cuevas,

A 98, 033609 (2018).

R. Carretero-Gonzalez, and P. G. Kevrekidis, Phys. Rev.

18.

В. П. Рубан, Письма в ЖЭТФ 108, 638 (2018).

E 88, 022912 (2013).

19.

C. Ticknor, V. P. Ruban, and P. G. Kevrekidis, Phys.

44.

F. Palmero, L. Q. English, X.-L. Chen, W. Li, J. Cuevas-

Rev. A 99, 063604 (2019).

Maraver, and P. G. Kevrekidis, Phys. Rev. E 99, 032206

20.

B. A. Malomed and P. G. Kevrekidis, Phys. Rev. E 64,

(2019).

026601 (2001).

45.

V. P. Ruban, arXiv:1910.07827.

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8

2020