Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 8, с. 494 - 500

Эффективная групповая скорость и форма пучков-близнецов

П.А.Прудковский¹⁾

Физический факультет, МГУ им. М. В. Ломоносова, 119991 Москва, Россия

Поступила в редакцию 20 октября 2019 г.

После переработки 1 апреля 2020 г.

Принята к публикации 1 апреля 2020 г.

Теоретически исследованы форма и скорости распространения импульсов пучков-близнецов в про-

цессе их генерации при параметрическом рассеянии света - в случае, когда задержки, вызванные диспер-

сией групповых скоростей, превышают длину импульса накачки. Показано, что эффективная групповая

скорость импульса рассеянного излучения определяется средним арифметическим групповых скоростей

на частоте рассеянного излучения и на частоте накачки. Для больших коэффициентов параметриче-

ского усиления численно найдены элементы матрицы рассеяния, показано, что перемешивание спек-

тральных компонент рассеянного излучения может приводить к существенному сужению импульсов

пучков-близнецов. Наконец, для случая генерации широкополосных пучков-близнецов последовательно

в двух кристаллах с апериодической доменной структурой показано, что видность трехчастотной ин-

терференции уменьшается по мере отставания импульса накачки от импульсов рассеянного излучения.

DOI: 10.31857/S123456782008011X

Хорошо известно, что при спонтанном парамет-

близнецов используется импульсная накачка. Ес-

рическом рассеянии света происходит рождение пар

ли длина когерентности накачки составляет еди-

фотонов, описывающихся единым квантовым состо-

ницы пикосекунд, то важную роль начинает иг-

янием - так называемых бифотонов. Рост интенсив-

рать согласование групповых скоростей накачки и

ности накачки приводит к переходу в вынужденный

пучков-близнецов [20, 21]. Учет расплывания им-

режим рассеяния, при котором рассеянный свет со-

пульсов пучков-близнецов или отставания импуль-

стоит из большого числа бифотонных пар. Подобное

са накачки от них из-за дисперсии групповых ско-

состояние неклассического света принято называть

ростей крайне важен при использовании оптиче-

пучками-близнецами [1].

ских схем с несколькими нелинейными кристалла-

Неклассические свойства пучков-близнецов ис-

ми [22-25], а также при генерации широкополосных

следовались, начиная с конца прошлого века. Так

пучков-близнецов в кристаллах с апериодической до-

как в двух пучках рассеянного излучения одинаковое

менной структурой [25-28]. В данной работе теорети-

число фотонов, то можно зарегистрировать подавле-

чески исследовано, как от параметров импульса на-

ние флуктуаций разности их интенсивностей ниже

качки и дисперсионных свойств кристалла зависит

уровня дробового шума [2-6]. Позже были исследова-

скорость распространения пучков-близнецов в про-

ны более нетривиальные свойства пучков-близнецов:

цессе их генерации в нелинейном кристалле с перио-

корреляции между числами фотонов в двух пучках,

дической или апериодической доменной структурой

полученные при помощи статистики фотоотчетов [7-

и их форма на выходе из него.

10], квадратурное сжатие [11], возможность наблю-

Рассмотрим процесс генерации бифотонного из-

дения неклассических корреляций в различных оп-

лучения при коллинеарном параметрическом взаи-

тических схемах [12-14]. Было показано, что пучки-

модействии в нелинейном кристалле под действием

близнецы можно использовать для прецизионных из-

накачки с центральной частотой ω_p = 2ω₀. В случае

мерений [15-18] и приготовления макроскопического

линейного распространения импульсы излучения на

пучка света с подавленными флуктуациями интен-

частотах ω₀ ± Ω, вошедшие в кристалл вместе с им-

сивности [19].

пульсом накачки, на выходе были бы смещены от-

Вынужденный режим параметрического рассе-

носительно импульса накачки в соответствии с дис-

яния требует достаточно большой интенсивности

персией групповых скоростей. Для примера на рис. 1

накачки. Поэтому обычно для генерации пучков-

показано время прохождения импульсов с разными

частотами через кристалл ниобата лития (легирован-

¹⁾e-mail: vysogota@gmail.com

ного 5 % оксида магния) толщиной L = 5 мм. Одна-

494

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8

2020

Эффективная групповая скорость и форма пучков-близнецов

495

где коэффициенты преобразования Боголюбова име-

ют вид:



{

(

√

)



A(Ω, z) = e^iq(Ω)z

cos

q²(Ω) - |γ|²



(

√

)}

− iq(Ω)zsinc

q²(Ω) - |γ|²

(4)





(

√

)

B(Ω, z) = iγze^iq(Ω)zsinc

q²(Ω) - |γ|²

Здесь q(Ω) = {Δ(Ω) - K}/2. Если и сигнальное, и

холостое поле на входе в кристалл находятся в ваку-

умном состоянии, то интенсивность поля на выходе

определяется только коэффициентом B(Ω, z), и для

ее расчета достаточно только части выражения для

E⁽⁺⁾(t, z):

∫

{

}

k(ω0+Ω)-k(ω0-Ω)+kp-K

z-(ω0+Ω)t

E⁽⁺⁾(t, z) → iγz

eⁱ

Рис. 1. (Цветной онлайн) Время линейного прохожде-

ния импульсов с различными частотами ω0 ± Ω через

−ω0

кристалл ниобата лития толщиной L = 5 мм. Часто-

{

}

√

та ω0 соответствует длине волны λ0 = 1064 нм. Для

× sinc z

q²(Ω) - |γ|²

â⁺(-Ω, 0)dΩ.

(5)

частоты Ω0 = 0.36ω0 импульс на частоте сигнального

Выражение имеет форму волнового пакета, однако

излучения ω0 + Ω обгоняет импульс накачки на 3.0 пс,

роль эффективного волнового вектора поля игра-

а на сопряженной холостой частоте ω0 - Ω - на 4.4 пс

ет комбинация волновых векторов на разных часто-

тах. Казалось бы, отсюда следует, что эффективные

ко процесс нелинейного взаимодействия вносит до-

групповые скорости сопряженных сигнальной и хо-

полнительное изменение фазы распространяющихся

лостой мод должны быть равны:

через кристалл волн и тем самым меняет их эффек-

тивную групповую скорость.

{

∂

(k(ω₀ + Ω) - k(ω₀ - Ω))}-1

Для начала рассмотрим решение в случае непре-

V (eff)g(ω₀±Ω) =

∂Ω

рывной накачки. Положительно-частотную часть

рассеянного поля запишем в виде

(6)

∫ω0

g (ω0 + Ω) +

g (ω0 - Ω)

E⁽⁺⁾(t, z) = e-iω0t

â(Ω, z)ei{k(ω0+Ω)z-Ωt}dΩ,

(1)

Это, однако, умозрительный вывод, имеющий в ос-

−ω0

новном методическое значение - в случае непрерыв-

ной накачки средняя интенсивность рассеянного из-

где â(Ω, z) - оператор уничтожения фотонов на час-

лучения, рассчитанная с помощью выражения (5),

тоте ω₀ +Ω, причем компоненты с Ω > 0 относятся к

также будет постоянна.

сигнальной, а с Ω < 0 - к холостой части рассеянного

Теперь учтем импульсный характер накачки

излучения. Эволюция операторов поля в кристалле

∫

E_p(t)

= E₀f(t)e-iωpt

≡ E₀e-iωpt

f (ν)e^-iνtdν.

описывается уравнениями

Ненулевая ширина спектра накачки усложняет

∂â(Ω, z)

уравнения, определяющие эволюцию операторов

= iγâ⁺(-Ω, z)e^iΔ(Ω)z-iKz,

(2)

рассеянного поля в кристалле:

∂z

∫

где коэффициент γ пропорционален амплитуде по-

∂â(Ω, z)

= iγ f(ν)â⁺(ν - Ω, z)e^{iΔ(Ω,ν)z-iKz}dν. (7)

ля накачки и величине квадратичной восприимчи-

∂z

вости, расстройка фазового синхронизма Δ(Ω)

Расстройка синхронизма теперь учитывает как ча-

= k_p - k(ω₀ + Ω) - k(ω₀ - Ω), а K - вектор обратной

стоту рассеянного поля, так и частоту накачки:

решетки доменной структуры, наведенной в кристал-

Δ(Ω, ν) = k(ω_p + ν) - k(ω₀ + Ω) - k(ω₀ + ν - Ω). В

ле и обеспечивающей замыкание квазисинхронизма

этом случае каждая спектральная компонента сиг-

Δ(Ω₀) = K на некоей частоте Ω₀. Несложно полу-

нального излучения связана с целой полосой ком-

чить решение уравнения (2) в виде

понент в спектре холостого излучения, и наоборот.

â(Ω, z) = A(Ω, z)â(Ω, z) + B(Ω, z)â⁺(-Ω, 0),

(3)

Связь между операторами рассеянного излучения на

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8

2020

496

П.А.Прудковский

Рис. 2. (Цветной онлайн) Форма импульсов сигнального и холостого излучения с центральной частотой ω0 ± Ω

(Ω0/ω0 = 0.36) на выходе из кристалла ниобата лития для случаев - предельно малого γL ≪ 1 (a) и большого

γL ≈ 25 (b) коэффициентов параметрического усиления. Для сравнения импульсы нормированы так, чтоб высота

импульсов сигнального излучения в обоих случаях была одинакова. Мелким пунктиром показана форма импульса

накачки f(t) с τ = 5 пс

[∫∫

выходе из кристалла и операторами на входе теперь

dν^′dνei{k(ω0+Ω+ν)-k(ω0+Ω)+k(ωp+ν′+ν)-k(ωp +ν′)}2 -iνt×

определяется матрицей рассеяния [29]:

∫

]

{

â(Ω, z) =

A(Ω, ν, z)â(ν + Ω, 0) +

×f^∗(ν^′)f(ν^′ +ν)sinc{q(Ω, ν^′)z}sinc{q(Ω+ν, ν^′ +ν)z} ,

}

(10)

+ B(Ω, ν, z)â⁺(ν - Ω, 0)

dν.

(8)

и аналогичное выражение - для интенсивности хо-

Найти аналитическое решение системы уравнений

лостого излучения. Пределы интегрирования по час-

(7) уже не представляется возможным. Однако

тоте ν определяются шириной спектра накачки, т.е.

несложно записать приближенное решение при

скоростью спадания функции f(ν). В дальнейшем

малых величинах коэффициента усиления γL ≪ 1

мы будем считать, что она имеет гауссову форму

[21], описывающее спонтанное параметрическое

f (ν) = exp(-τ²ν²/2), где τ - длина импульса накач-

рассеяние:

ки. При любых разумных величинах τ можно счи-

тать, что |ν| = τ^-1 ≪ ω₀. Форма импульса рассеян-

â(Ω, z) ≈ â(Ω, 0) - γz ×

ного излучения определяется спектром накачки f(ν)

∫

и функциями sinc{q(Ω, ν)z}, играющими роль форм-

× f(ν)sinc{q(Ω,ν)z}â⁺(ν - Ω,0)e^iq(Ω,ν)zdν,

(9)

фактора процесса рассеяния. Раскладывая фазовый

множитель в ряд по степеням ν, несложно увидеть,

где снова q(Ω, ν) = {Δ(Ω, ν) - K}/2. Теперь можно

что эффективная групповая скорость рассеянного

записать выражение для средней интенсивности сиг-

излучения на частоте ω₀ + Ω зависит от групповой

нального излучения

скорости как на этой частоте, так и на частоте на-

IS (t, z) = 〈vac|E^(-)S(t, z)E^(+)S(t, z)|vac〉 =

качки:

∫ω0

∫∫

V (eff)g(ω₀ + Ω) =

= dΩ dνdν^′B^∗(Ω + ν, ν^′ + ν, z) ×

{

∂

(k(ω₀ + Ω + ν) + k(ω_p + ν))}-1

∂ν

∫ω0

×e^{i{k(Ω+ν)-k(Ω)}z-iνt} =γ²z²

dΩ ×

(11)

g (ω0 + Ω) +

g (ωp)

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8

2020

Эффективная групповая скорость и форма пучков-близнецов

497

Отсюда следует, что импульсы рассеянного излуче-

спектр накачки еще достаточно узок, поэтому фор-

ния на выходе из нелинейного кристалла обгоняют

ма импульсов на рис. 2а похожа на форму импуль-

импульс накачки на интервалы времени, которые в

са накачки. Однако чем короче импульс накачки,

два раза меньше, чем в случае их линейного распро-

тем сильнее форма импульсов пучков-близнецов бу-

странения (см. рис.1).

дет зависеть от размера кристалла и его дисперсион-

Решение при произвольных значениях коэффи-

ных свойств.

циента параметрического усиления может быть по-

На рисунке 3 показана форма импульсов рассеян-

лучено численно. Подставляя преобразования (8) в

ного излучения, возникших под действием импульса

уравнения (7), получаем:



∂A(Ω, ν, z)



∂z



∫



= iγ f(ν^′)B^∗(ν^′ - Ω, ν + ν^′, z)e2iq(Ω,ν′)zdν^′,



(12)

∂B∗(-Ω, ν, z)



∂∫



= -iγ f∗(ν′)A(ν′ + Ω, ν - ν′, z) ×





× e-2iq(-Ω,ν′)zdν^′.

Эта система уравнений интегрировалась числен-

но сразу для всех спектральных компонент рассеян-

ного излучения. Подставляя полученные таким обра-

зом элементы матрицы рассеяния B(Ω, ν, z) в выра-

жение для средней интенсивности рассеянного излу-

чения (10), можно найти форму импульсов пучков-

Рис. 3. (Цветной онлайн) Форма импульсов сигнально-

близнецов, возникающих при прохождения импуль-

го и холостого излучения на выходе из кристалла нио-

са накачки через нелинейный кристалл при различ-

бата лития, возникших под действием импульса накач-

ных коэффициентах усиления. На рисунке 2 показа-

ки длиной τ = 2 пс

на форма импульсов сигнального и холостого излуче-

ния на выходе из кристалла ниобата лития в случае,

накачки длиной τ = 0.2 пс. Почти прямоугольную

когда импульс накачки имеет длину τ = 5 пс, а ква-

форму импульсов в этом случае можно объяснить

зисинхронизм замыкается на частоте Ω₀/ω₀ = 0.36.

тем, что узкий импульс накачки, проходя через кри-

В случае предельно малого коэффициента усиле-

сталл, с равной вероятностью рождает бифотонную

ния γL ≪ 1 (рис. 2а) форма импульсов соответству-

пару в каждой точке кристалла. Излучение, родив-

ет аналитическому решению (10). Время, на которое

шееся в начале кристалла, обгоняет накачку в со-

импульсы сигнального и холостого излучения в этом

ответствии с линейной дисперсией групповых ско-

случае обгоняют импульс накачки, действительно в

ростей. Излучение, родившееся в самом конце кри-

два раза меньше, чем при линейном распространении

сталла, выходит из него вместе с импульсом накачки.

на рис. 1. При большом коэффициенте параметриче-

При этом, как и следует из (11), “центр тяжести” им-

ского усиления γL ≈ 25 (рис. 2b) оба импульса стано-

пульсов находится посередине - т.е. совпадает с по-

вятся заметно уже. Это связано с тем, что чем боль-

ложением максимумов импульсов в случае длинного

ше коэффициент усиления, тем больше спектраль-

импульса накачки. Следует отметить, что в данном

ных компонент рассеянного излучения перемешаны

случае форма импульсов практически не зависит от

матрицей рассеяния (8): коэффициенты A(Ω, ν, z) и

коэффициента параметрического преобразования.

B(Ω, ν, z) как функции ν оказываются существенно

Безусловно, измерение формы и взаимного рас-

шире спектра накачки f(ν). Кроме того, максимумы

положения выходящих из кристалла импульсов на

импульсов в этом случае практически совпадают.

пикосекундной шкале времен с экспериментальной

Как было отмечено выше, форма импульсов рас-

точки зрения представляет собой сложную пробле-

сеянного излучения определяется спектром накачки

му. Однако взаимное смещение импульсов излуче-

f (ν) и функцией, играющей роль форм-фактора про-

ния существенно влияет на процессы их нелинейного

цесса рассеяния в кристалле. Определяющее значе-

взаимодействия. Как уже говорилось выше, особенно

ние имеет более узкая из них. В случае τ = 5пс

это проявляется в схемах с несколькими нелинейны-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8

2020

498

П.А.Прудковский

Рис. 4. (Цветной онлайн) (a) - Форма импульсов широкополосных пучков-близнецов, возникших при параметриче-

ском рассеянии последовательно в двух кристаллах ниобата лития с апериодической доменной структурой с законом

изменения вектора обратной решетки (13) под действием импульса накачки длиной τ = 2 пс. (b) - Спектр импульса

сигнального излучения как функция длины волны λ =

2πc/(ω0 + Ω) после прохождения одного (пунктир) и двух

(сплошная линия) кристаллов

ми кристаллами. В работе [25] экспериментально ис-

0.25 < Ω/ω₀ < 0.5, и при этом приводит к квадра-

следовалась интерференционная картина в спектре

тичной зависимости фазы коэффициента B(Ω, z) от

широкополосных пучков-близнецов, возникших при

частоты, что удобно для ее компенсации в экспери-

параметрическом рассеянии в двух последовательно

ментальных условиях.

расположенных нелинейных кристаллах ниобата ли-

Кристаллы в работе [25] были ориентированы по-

тия с апериодической доменной структурой.

разному: если в первом кристалле период доменов

Широкий спектр рассеянного излучения в этом

уменьшался от начала к концу, то во втором кри-

случае достигается за счет медленного изменения об-

сталле он, наоборот, увеличивался. Благодаря это-

ратного вектора решетки доменной структуры K(z).

му расстояние между областями кристаллов с ма-

Поэтому в разных областях кристалла квазисинхро-

лым периодом было достаточно небольшим, чтобы

низм замыкается на разных частотах. В случае двух

накачка не успевала отстать от рассеянного излуче-

кристаллов интерференция между излучением на од-

ния. Поэтому видность трехчастотной интерферен-

ной и той же частоте, родившимся в разных кри-

ции для спектральных компонент рассеянного излу-

сталлах, зависит от набега фаз сразу трех волн - на

чения, рождавшихся в этих областях кристалла, не

этой частоте, на сопряженной ей, и на частоте на-

уменьшалась.

качки. Однако если за время распространения от од-

Форму импульсов, возникших при прохождении

ного кристалла к другому импульс накачки отстанет

импульса накачки через два нелинейных кристалла с

от излучения, родившегося в первом кристалле - ин-

доменной структурой (13), а также их спектр можно

терференция пропадет.

получить путем численного интегрирования уравне-

В работе

[25] использовались кристаллы с

ний (12), в которых выражение 2q(Ω, ν)z заменено на

квадратично-гиперболическим законом изменения

∫

Δ(Ω, ν)z - K(z^′)dz^′. На рисунке 4а показана полу-

обратного вектора решетки, предложенным ранее в

работе [26]:

ченная таким образом форма импульсов широкопо-

лосных пучков-близнецов на выходе из второго кри-

K(z) = β -

(13)

сталла в случае, когда длина импульса накачки со-

4(1 + z/L)²

ставляет τ = 2 пс, а коэффициент параметрического

Если расстройку синхронизма в кристалле мож-

усиления γL ≈ 25. Видно, что форма импульсов за-

но аппроксимировать квадратичной зависимостью

метно отличается от гауссовой формы импульса на-

Δ(Ω) ≈ β - α(Ω/ω₀)², то закон изменения обрат-

качки (особенно это проявляется для импульса холо-

ного вектора решетки (13) обеспечивает генерацию

стого излучения). При этом разным частям импуль-

пучков-близнецов со спектром частот в диапазоне

сов соответствуют различные частоты, родившиеся в

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8

2020

Эффективная групповая скорость и форма пучков-близнецов

499

разных областях кристаллов. В середине импульсов

пульса накачки, а различие их эффективных груп-

находятся спектральные компоненты, родившиеся в

повых скоростей уменьшается (рис. 2b).

областях с малым периодом доменной структуры, то-

Относительные скорости распространения им-

гда как на их крыльях - спектральные компоненты,

пульсов накачки и рассеянного излучения имеют

родившиеся в областях с большим периодом.

большое значение для процессов их нелинейного вза-

На рисунке 4b показан спектр импульса сигналь-

имодействия. Так, при генерации широкополосных

∫

ного излучения S(Ω) =

|B(Ω, ν)|²dν как функция

пучков-близнецов в схеме с двумя кристаллами с

длины волны λ = 2πc/(ω₀ + Ω)на выходе из пер-

апериодической доменной структурой трехчастотная

вого и из второго кристаллов. Хорошо видно, что

интерференция наблюдается только до тех пор, пока

после второго кристалла в длинноволновой области

импульс накачки не отстанет от импульсов рассеян-

спектра наблюдается картина трехчастотной интер-

ного излучения. Поэтому видность интерференцион-

ференции, однако при смещении в коротковолновую

ной картины в схеме типа нелинейного интерферо-

область ее видность спадает до нуля - по мере того,

метра Маха-Цандера, использованной в работе [25],

как расстояние между областями кристалла, в кото-

должна уменьшаться в соответствии с зависимостью,

рых рождается эта часть спектра, растет, и увеличи-

показанной на рис. 4.

вается отставание накачки от импульсов рассеянного

Работа выполнена при поддержке гранта Рос-

излучения. К сожалению, в работе [25] интерферен-

сийского фонда фундаментальных исследований

ция была зафиксирована только в небольшой обла-

#20-02-00621 А.

сти спектра, и изменение видности интерференцион-

ной картины с изменением длины волны в экспери-

A. Allevi and M. Bondani, Advances In Atomic,

менте пока что не наблюдалось.

Molecular, and Optical Physics 66, 49 (2017).

Таким образом, для формирования волновых па-

A. Heidmann, R.J. Horowicz, S. Reynaud,

кетов пучков-близнецов при параметрическом рассе-

E. Giacobino, C. Fabre, and G. Camy, Phys. Rev. Lett.

янии под действием импульсной накачки существен-

59, 2555 (1987).

ную роль играют два фактора: перемешивание раз-

T. Debuisschert, S. Reynaud, A. Heidmann,

личных спектральных компонент в рассеянном из-

E. Giacobino, and C. Fabre, Quantum Optics:

лучении (8) и дополнительный нелинейный фазовый

Journal of the European Optical Society Part B 1, 3

набег для каждой спектральной компоненты. В ре-

(1989).

зультате форма импульсов пучков-близнецов опреде-

O. Jedrkiewicz, Y.-K. Jiang, E. Brambilla, A. Gatti,

ляется как спектром импульса накачки, так и форм-

M. Bache, L. A. Lugiato, P. Di Trapani, Phys. Rev. Lett.

фактором процесса рассеяния (10), причем опреде-

93, 243601 (2004).

ляющей является более узкая из этих функций, а их

M. Bondani, A. Allevi, G. Zambra, M. G. A. Paris, and

эффективные групповые скорости при распростране-

A. Andreoni, Phys. Rev. A 76, 013833 (2007).

нии через нелинейный кристалл заметно отличаются

I. N. Agafonov, M. V. Chekhova, and G. Leuchs, Phys.

Rev. A 82, 011801(R) (2010).

от линейных групповых скоростей на соответствую-

щих частотах.

O. Haderka, J. Perina, Jr., M. Hamar, and J. Perina,

Phys. Rev. A 71, 033815 (2005).

В случае спонтанного параметрического рассея-

E. Waks, B. C. Sanders, E. Diamanti, and

ния в однородном кристалле бифотонные пары с рав-

Y. Yamamoto, Phys. Rev. A 73, 033814 (2006).

ной вероятностью рождаются в любой точке кри-

J. Perina, J. Krepelka, J. Perina Jr., M. Bondani,

сталла, поэтому в среднем они проходят полови-

A. Allevi, and A. Andreoni, Phys. Rev. A 76, 043806

ну длины кристалла. В результате их эффективная

(2007).

групповая скорость определяется средним арифме-

10.

W. Mauerer, M. Avenhaus, W. Helwig, and

тическим обратных групповых скоростей на частоте

C. Silberhorn, Phys. Rev. A 80, 053815 (2009).

рассеянного излучения и на частоте накачки (11).

11.

A. S. Villar, L. S. Cruz, K. N. Cassemiro, M. Martinelli,

В случае вынужденного режима параметрическо-

and P. Nussenzveig, Phys. Rev. Lett. 95, 243603 (2005).

го рассеяния родившееся ранее излучение участву-

12.

T. Iskhakov, M. V. Chekhova, and G. Leuchs, Phys. Rev.

ет в процессе рассеяния, что приводит к дополни-

Lett. 102, 183602 (2009).

тельному перемешиванию спектральных компонент

13.

A. Gatti, E. Brambilla, L. Caspani, O. Jedrkiewicz, and

в рассеянном излучении. Это перемешивание опре-

L. A. Lugiato, Phys. Rev. Lett. 102, 223601 (2009).

деляется свойствами матрицы рассеяния (8), которая

14.

K. Yu. Spasibko, F. Toppel, T. Sh. Iskhakov,

может быть найдена численно. В результате импуль-

M. Stobinska, M. V. Chekhova, and G. Leuchs,

сы пучков-близнецов становятся заметно уже им-

New J. Phys. 16, 013025 (2014).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8

2020

5^∗

500

П.А.Прудковский

15. G. Brida, M. Genovese, and I. Ruo Berchera, Nature

O. V. Tikhonova, R. W. Boyd, G. Leuchs, and

Photon. 4, 227 (2010).

M. V. Chekhova, Phys. Rev. Lett. 117, 183601 (2016).

16. M. Bondani, A. Allevi, and A. Andreoni, Eur. Phys. J.

23. M. V. Chekhova and Z. Y. Ou, Advances in Optics and

Spec. Top. 203, 151 (2012).

Photonics 8, 104 (2016).

17. E. D. Lopaeva, I. Ruo Berchera, I. P. Degiovanni,

24. Y. Shaked, Y. Michael, R. Z. Vered, L. Bello,

S. Olivares, G. Brida, and M. Genovese, Phys. Rev. Lett.

M. Rosenbluh, and A. Pe’er, Nature Commun. 9, 609

110, 153603 (2013).

(2018).

18. A. Meda, I. Ruo-Berchera, I. P. Degiovanni, G. Brida,

25. D. B. Horoshko, M. I. Kolobov, F. Gumpert, I. Shand,

M. L. Rastello, and M. Genovese, Appl. Phys. Lett. 105,

F. Konig, and M. V. Chekhova, J. Mod. Optics 67, 41

101113 (2014).

(2020).

19. T. Sh. Iskhakov, V. C. Usenko, R. Filip, M. V. Chekhova,

26. D. B. Horoshko and M. I. Kolobov, Phys. Rev. A 95,

and G. Leuchs, Phys. Rev. A 93, 043849 (2016).

033837 (2017).

20. A. M. Perez, K. Yu. Spasibko, P. R. Sharapova,

27. M. V. Chekhova, S. Germanskiy, D. B. Horoshko,

O. V. Tikhonova, G. Leuchs, and M. V. Chekhova,

G. Kh. Kitaeva, M. I. Kolobov, G. Leuchs, C. R. Phillips,

Nature Commun. 6, 7707 (2015).

and P. A. Prudkovskii, Opt. Lett. 43, 375 (2018).

21. A. Gatti, T. Corti, and E. Brambilla, Phys. Rev. A 92,

28. П. А. Прудковский, Письма в ЖЭТФ 107, 776 (2018).

053809 (2015).

29. Д. Н. Клышко, Фотоны и нелинейная оптика,

22. S. Lemieux, M. Manceau, P. R. Sharapova,

Наука, М. (1980).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8

2020