Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 8, с. 501 - 508
© 2020 г. 25 апреля
Новые эффекты эволюции спектра волн в лотке
В.Г.Полников+1), Ф.Цяо∗2), Х.Ма∗2), Ш.Чанг∗2)
+Институт физики атмосферы им. А. М. Обухова РАН, 117019 Москва, Россия
∗First Institute of Oceanography of Ministry of the Natural Resources, 266061 Qingdao, China
Поступила в редакцию 28 января 2020 г.
После переработки 10 марта 2020 г.
Принята к публикации 17 марта 2020 г.
Представлены эмпирические спектры механических и ветровых волн, измеренных в лотке с раз-
мерами 32 × 1 × 2 м3. Установлено, что в случае механических волн с крутизной, превышающей 0.2,
на разгонах X более 20 м частотные спектры волн S(f) приобретают автомодельную форму, имеющую
степенной закон спадания с частотой “-4.2”. Спектры волн с меньшими значениями крутизны по мере
увеличения их пробега лишь проявляют тенденцию изменения наклона хвоста спектра к упомянутому
виду. В случае ветровых волн установлено, что даже при малых разгонах (X ≥ 8 м) формируется спектр
S(f) с законом спадания “-4”. При этом интенсивность хвоста спектра спадает с ростом разгона X, а
ее зависимость от скорости трения u∗ более сильная, чем линейная зависимость S(f) от u∗ в спектре
Тобы. Кроме того, показано, что форма спектра S(f) ветровых волн в лотке не является автомодельной.
Интерпретация установленных эффектов обсуждается.
DOI: 10.31857/S1234567820080042
1. Введение. Изучение особенностей поведения
частота. Результаты Тобы получили широкое при-
волн на воде, включая их статистику, а также на-
знание [1, 2, 6, 9-11]. Многие известные физики зани-
веденные ими течения и турбулентность, представ-
мались интерпретацией отличий формы (1) от спек-
ляют собой самостоятельный раздел гидромеханики
тра Филлипса S(f) = CPhg2f-5 (CPh - безразмерная
[1-3], в котором заметную долю занимают исследо-
константа Филлипса) и изучением механизмов фор-
вания спектральных характеристик волнения. Хоро-
мирования спектров ветровых волн [5-12]. Сегодня
шо известно [3,4], что именно форма спектра ключе-
форма спектра S(f) ∝ f-4 трактуется как спектр
вой физической переменной играет решающую роль
Колмогорова [5,9,10]. Эта форма следует также из
в понимании механизмов изучаемого явления. С це-
численного решения кинетического уравнения (КУ)
лью такого понимания необходимо детальное эмпи-
[6, 7], в общем случае имеющего вид [6]
рическое описание формы спектра ключевой пере-
∂S(f,θ;X)
менной и, по-возможности, воспроизведение такой
+ Cgr∇xS(f,θ;X) = INL(S),
(2)
∂t
формы аналитически или путем численного модели-
рования. В части волн на воде эти вопросы касают-
в котором: S(f, θ; X) - частотно-угловой спектр волн,
ся, например, моделей колмогоровских спектров вы-
зависящий от разгона X, Cgr - вектор групповой ско-
сот нелинейных волн [3,5-7] или моделей механизмов
рости волн, ∇x - оператор градиента по простран-
формирования спектров высот ветровых волн [8-13].
ственным переменным X = (x, y), а INL(S) - хорошо
В этом отношении большое физическое значе-
известный четырехволновой кинетический интеграл,
ние имеют результаты Тобы [11] об автомодельности
отвечающий за нелинейный механизм эволюции волн
частотных спектров S(f) гравитационных ветровых
[1, 5, 6].
волн в лабораторных лотках и о форме хвоста их
Проверка результатов Тобы многократно выпол-
спектра вида
нялась как в натурных, так и лабораторных услови-
ях [2]. В последнем варианте, как правило, использо-
S(f, u∗) = CT gu∗f-4.
(1)
вались лотки с поперечными размерами менее метра
и продольными размерами порядка 15-20 м. Однако
Здесь: CT - безразмерный коэффициент Тобы, g -
эксперименты, выполненные нами в лотке с размера-
ускорение силы тяжести, u∗ - скорость трения, f -
, показали наличие существенных от-
ми 32 × 1 × 2 м3
1)e-mail: polnikov@mail.ru
клонений от упомянутых результатов Тобы. Их крат-
2)F. Qiao, H. Ma, S. Jiang.
кое описание составляет предмет данной работы.
Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8
2020
501
502
В.Г.Полников, Ф.Цяо, Х.Ма, Ш.Чанг
Рис. 1. Эскиз лотка и расположения оборудования. WG - волновые датчики, PT - трубки Пито, ADV - набор аку-
стических доплеровских велосиметров, IP - набор инструментов для вбрасывания в лоток поплавков или красителей.
Внутренняя ширина лотка 1 м
2. Описание оборудования, измерений и ме-
интервалы в билогарифмических координатах со-
тодов обработки данных. Измерения выполня-
ставляют [+10 %, -12 %] и [+15 %, -20 %] для мето-
лись в ветро-волновом лотке Первого института оке-
дов АР и Уэлча соответственно, что соответствует
анографии, расположенного в Циндао, Китай. Раз-
стандартным отклонениям для спектральных интен-
меры лотка и расположение оборудования приведе-
сивностей примерно 3 и 5 %.
ны на рис. 1.
3. Результаты для механических волн.
Для волновых измерений использовались емкост-
3.1. Регулярные волны. Основные параметры для
ные волновые датчики (the capacity wave-gauge -
регулярных волн приведены в табл. 1, где a
=
∫
WG). Трубки Пито (The Pitot tubes - PT) и три
= (2
S(f)df)1/2 - средняя амплитуда волны, fp -
акустических доплеровских велосиметра (Acoustic
частота пика спектра, kp = (2πfp)2/g - волновое чис-
Doppler Velocimeters - ADV) применялись для изме-
ло пика, σ = akp - средняя крутизна волн. Из табли-
рения профилей ветра и скорости течений соответ-
цы 1 видно, что крутизна σ регулярных волн изме-
ственно. Места расположения датчиков WG1-WG4
няется в широких пределах, заметно уменьшаясь с
далее обозначаются как точки измерений P1-P4.
пробегом волны, если начальные значения σ больше
Ветровые волны генерировались ветром W, со-
0.2. При таких значениях σ происходит видимое об-
здаваемым вентилятором. Задавалось пять значений
рушение волн; его процентная доля показана в левой
ветра W: 4, 6, 8, 10 и 12 м/с.
колонке табл. 1 (в скобках). При значениях σ ≤ 0.1
Помимо ветровых волн, изучались два вида ме-
обрушения не наблюдаются, и крутизна волн с раз-
ханических волн: регулярные (квазимонохромати-
гоном меняется незначительно.
ческие) волны и стохастические волны с широ-
В первой точке измерений, P 1 = 8 м, все спек-
кой спектральной полосой, типа спектров Пирсона-
тры имеют вид острого пика, локализованного вбли-
Московица (the Pierson-Moscowiz (PM) spectra) или
зи частоты генерации волнопродуктора fp0, с резко
JONSWAP [1] с тремя частотами волнопродуктора
падающей интенсивностью с ростом частоты. Вви-
fp0 и с пятью значениями значительной высоты волн
ду тривиальности, эти спектры не приводятся. Для
Hs для каждой частоты.
конечной точки измерений, P 4 = 20.5 м, частотные
Все волновые записи имели длительность 10 мин
спектры S(f) для волн с параметрами волнопродук-
с частотой дискретизации 50 Гц. Такая же продол-
тора Hs = 3-10 см и fp0 = 1.5 Гц показаны на рис. 2а.
жительность была использована для измерений вет-
Видно, что спектры волн с параметрами Hs = 7 и
ра с помощью PT, которые усреднялись по времени
10 см в конечной точке измерений уже имеют закон
с интервалом в одну минуту. Обработка данных по
спадания S(f) ∝ f-4.2±0.1 в широкой полосе частот
волнам и ветру проводилась в оболочке MATLAB.
2fp < f ≤ 5fp, называемой далее хвостом спектра.
Для оценки частотных спектров S(f) использова-
При этом важно, что для волн с Hs = 10 см (когда
лись методы авто-регрессии (the auto-regression (АR)
крутизна σ > 0.3), такая форма имеет место даже в
methods) и Уэлча (Welch) [14]. 95 % доверительные
точке P3 = 15.5 м; но для волн с начальными значе-
Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8
2020
Новые эффекты эволюции спектра волн в лотке
503
Таблица 1. Основные параметры механических регулярных волн
Высота
Точка измерения
волн
8 м
12 м
20.5 м
волно-
a,
fp,
kp,
σ,
a,
fp,
kp,
σ
a,
fp,
kp,
σ
продуктора
см
Гц
р/м
б/р
см
Гц
р/м
б/р
см
Гц
р/м
б/р
Hs, см
Частота волнопродуктора fp0 = 1.5 Гц
3
1.41
1.49
8.9
0.126
1.36
1.49
8.9
0.12
1.15
1.49
8.9
0.10
5 (5 %)
2.31
1.49
8.9
0.21
2.13
1.49
8.9
0.19
1.93
1.48
8.8
0.17
7 (30 %)
2.95
1.48
8.9
0.26
2.76
1.48
8.9
0.25
2.45
1.43
8.2
0.20
10 (50 %)
3.46
1.48
8.9
0.31
3.20
1.48
8.8
0.28
2.44
1.36
7.4
0.18
Частота волнопродуктора fp0 = 1.0 Гц
3
1.09
1.0
4.0
0.044
1.03
1.0
4.0
0.04
0.98
1.0
4.0
0.04
5
1.85
1.0
4.0
0.074
1.74
1.0
4.0
0.07
1.66
1.0
4.0
0.07
7
2.60
1.0
4.0
0.105
2.45
1.0
4.0
0.10
2.37
1.0
4.0
0.009
10 (5 %)
3.63
1.0
4.0
0.15
3.48
1.0
4.0
0.14
3.39
1.0
4.0
0.14
15 (10 %)
5.21
1.0
4.0
0.21
5.03
1.0
4.0
0.20
4.94
0.99
4.0
0.20
Частота волнопродуктора fp0 = 0.7 Гц
15
3.70
0.7
1.97
0.073
3.70
0.7
1.97
0.07
2.63
0.7
1.97
0.07
20
4.80
0.7
1.97
0.095
5.03
0.7
1.97
0.10
4.80
0.7
1.97
0.09
Рис. 2. (Цветной онлайн) (a) Спектры регулярных волн в точке P 4 = 20.5 м для значительных высот Hs = 3, 5, 7 и
10 см (линии снизу вверх) с начальной частотой волнопродуктора fp0 = 1.5 Гц; значок справа указывает 95 % довери-
тельные интервалы; (b) - “эмпирическая” кривая - линия совпадающих нормированных спектров в точке P 4 для волн
с Hs = 7 и 10 см при fp0 = 1.5 Гц; “численная” кривая - линия совпадающих нормированных численных спектров,
полученных путем решения КУ (4) для разгонов 15 и 20 м при начальных значениях параметров волн Hs = 7 см и
fp = 1.5 Гц. В обеих частях рисунка жирные черные линии с цифрами показывают закон убывания интенсивности
хвостов спектров волн с Hs = 7 и 10 см (ошибка ≈ 2-3 %)
ниями Hs ≤ 5 см (когда σ ≤ 0.21), даже в точке P 4
дит к их полному совпадению (нижняя кривая на
спектры еще не успевают достичь указанной формы
рис. 2b). Это означает, что спектры, имеющие хвост
(две нижние кривые рис. 2а).
S(f) ∝ f-4.2±0.1, являются автомодельными; далее
Нормирование спектров S(f) из рис.2а, для ва-
они обозначаются как Ssf (f).
риантов с величиной Hs равной 7 и 10 см, на их
Для волн с такими же значениями Hs, но с ча-
значения в пике S(fp), а частот f - на fp, приво-
стотами fp0 ≤ 1.0 Гц, имеющих начальную крутизну
Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8
2020
504
В.Г.Полников, Ф.Цяо, Х.Ма, Ш.Чанг
σ < 0.2 (см. табл.1), форма Ssf(f) в точке P4 =
2fp < f ≤ 5fp, для любых величин ветра W спектры
= 20.5 м установиться не успевает.
ветровых волн имеют одинаковый закон спадания:
3.2. Нерегулярные волны. Параметры для нере-
S(f) ∝ f-4.0±0.05, установленный еще в работе [11].
гулярных волн очень похожи на те, что показаны в
Однако для различных величин W в области хвоста
табл. 1; по этой причине они здесь не представлены.
изменения интенсивности спектра составляют поряд-
Основными отличиями являются очень малые значе-
ка 10 единиц, в то время как значение W изменяется
ния начальной крутизны σ; даже для спектров РМ с
всего втрое. Кроме того видно, что наклоны “-4”, по-
Hs = 10 см величина σ порядка 0.05-0.07, что техни-
казанные прямыми линиями на рис. 3а, не охватыва-
чески обусловлено занижением реальных значений
ют области пика спектров, в отличие от упрощенной
fp по сравнению с задаваемой частотой волнопродук-
модели Тобы, предполагающей наклон спектра “-4”
тора fp0. Малость крутизны таких волн приводит к
вплоть до fp [11].
незначительной эволюции формы спектра на разме-
Еще более явно факт отсутствия автомодельно-
рах лотка.
сти формы спектра ветровых волн в области хвоста
Для спектров вида JONSWAP удавалось генери-
(f > 2fp) демонстрируют нормированные спектры,
ровать волны с параметрами Hs = 15 см и fp0 =
приведенные на рис. 3b (для простоты картины по-
= 1.0 Гц, имеющими значение крутизны σ ≈ 0.11.
казаны только три спектра). Согласно модели То-
Форма таких спектров уже существенно меняется по
бы [11], слияние кривых должно быть во всем диа-
мере распространения волны, стремясь с ростом про-
пазоне частот, в то время как на рис. 3b интенсив-
бега к автомодельной форме Ssf (f). Так, если в точ-
ности хвостов нормированных спектров изменяются
ке P 1 степенной параметр n в форме S(f) ∝ f-n
почти пропорционально величине W . Отсутствие ав-
для спектра JONSWAP был n ≈ -6.5, то в конечной
томодельности лотковых спектров ветровых волн -
точке P4 он приобретает значение n ≈ -4.5. Этот
первое существенное отличие наших результатов для
результат означает, что на более длинных пробегах
спектров от таковых в [11].
спектр достаточно крутых нерегулярных волн будет
Второе существенное отличие проявляется при
эволюционировать до автомодельной формы Ssf (f)
умножении спектров на фактор f4, показанное на
и иметь параметр наклона порядка n ≈ -4, как и в
рис. 4а, b. В области f > 2fp наблюдается существен-
случае регулярных волн с большими начальными σ.
ное различие уровней величины I ≡ S(f)·f4 для раз-
4. Результаты для ветровых волн. Основные
личных значений ветра. Здесь мы используем спек-
параметры ветровых волн приведены в табл. 2. Из
тры, рассчитанные по методу Уэлча, как более пред-
нее следует, что интегральные законы роста волн,
почтительные для описания интенсивности спектров
связывающие безразмерные энергию волн E = a2/2
[14]. Как видно, в точке P 1 (рис. 4а) изменение уров-
и частоту пика спектра ωp = 2πfp с безразмерным
ней величины I составляет почти 6 единиц при изме-
разгоном X, имеют вид, типичный для ветровых
нении скорости трения u∗ всего в 3.5 раза. А в точке
волн [11,15]
P4 (рис.4b) такие вариации составляют 10 единиц
. Следовательно, хвост
для I и около 4 единиц для u∗
Eg2/W4 = 5.5 · 10-7(Xg/W2)1.05±0.1;
спектра зависит от скорости трения u∗ более силь-
(3)
но, чем по линейному закону Тобы (1). Кроме того,
ωpW/g = 18.2(Xg/W2)-0.35±0.3.
сопоставление двух нижних линий на рис.4а,b, по-
Соотношения (3) с ошибкой менее 5 % количествен-
казывает, что интенсивность хвоста спектра зависит
но соответствуют известному закону
“3/2” Тобы
и от разгона X, уменьшаясь с его увеличением.
[11], связывающему значительную высоту волн Hs
В итоге, для ветровых волн установлено два но-
с доминантным периодом Tp, вида Hs
= 1.3 ×
вых эффекта эволюции: 1) форма спектра ветровых
× 10-2(gW)1/2
p
, если использовать соотношения:
волн не автомодельна; 2) интенсивность хвоста спек-
Hs
= 3a и Tp = 1/fp. Такое соответствие между
тра зависит от скорости трения сильнее, чем по ли-
найденными и известными зависимостями a(X, W )
нейному закону Тобы (1), и спадает с разгоном X.
и fp(X, W) свидетельствует о достоверности наших
5. Анализ результатов и обсуждение.
измерений.
5.1. Механические волны. Установление формы
Вместе с тем результаты, касающиеся эволюции
хвоста спектра вида S(f) ∝ f-n при n ≈ 4.17 для
спектра, значительно отличаются от таковых из ра-
механических волн в лотке впервые было показано
боты [11]. Об этом свидетельствует ансамбль спек-
в работе [16], но без демонстрации факта их авто-
тров для пяти значений ветра в конечной точке из-
модельности. Автомодельная форма спектров волн
мерений P 4 (рис. 3а). Видно, что в диапазоне частот
Ssf (f) (рис.2b) для механических волн в лотке эм-
Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8
2020
Новые эффекты эволюции спектра волн в лотке
505
Таблица 2. Основные параметры ветровых волн
Ветер
Точка измерения
венти-
8 м
12 м
20.5 м
лятора
a,
fp,
kp,
σ,
a,
fp,
kp,
σ
a,
fp,
kp,
σ
W, м/с
см
Гц
р/м
б/р
см
Гц
р/м
б/р
см
Гц
р/м
б/р
4
0.29
4.84
94.2
0.27
0.53
3.58
51.5
0.27
0.75
2.56
26.3
0.20
6
0.50
3.82
58.7
0.29
0.77
2.89
33.6
0.26
1.06
2.17
18.9
0.20
8
0.74
3.36
45.4
0.34
1.01
2.64
28.0
0.28
1.53
2.0
16.1
0.25
10
1.01
2.85
32.6
0.33
1.33
2.32
21.6
0.29
2.09
1.78
12.7
0.26
12
1.24
2.74
30.2
0.37
1.65
2.06
17.0
0.28
2.54
1.67
11.2
0.28
Рис. 3. (Цветной онлайн) Ансамбль спектров ветровых волн в точке P 4 = 20.5 м: (а) - обычные спектры для пяти зна-
чений ветра W = 4, 6, 8, 10 и 12 м/с; (b) - нормированные спектры (для значений W = 4, 8 и 12 м/с). Соответствующие
значения ветра W отражены вблизи линий спектров. Прямые линии на рис. (а) показывают существенное изменение
наклона спектра в области пика. Цифры “-4.0” показывают закон убывания интенсивности хвостов спектров
пирически установлена впервые. В своих основных
больше 0.2 и очень узкого углового распределения
чертах она напоминает известные результаты чис-
спектра Ψ(θ) (при X = 0 в расчетах принято Ψ(θ) =
ленных решений четырехволнового КУ (2), описы-
= cos20 θ), численные спектры приобретают автомо-
вающего эволюцию нелинейных поверхностных гра-
дельную форму Ssf (f) на разгонах X порядка 20 м и
витационных волн (например, [6, 7]). Это дает осно-
более. Из рисунка 2b видно, что численные и эмпири-
вания полагать, что наблюдаемый эффект установ-
ческие спектры Ssf (f) по форме очень похожи (фор-
ления автомодельного спектра представляет собой
ма заострения пика аналогична, а наклоны хвоста
типичную эволюцию свободных (без внешнего воз-
спектра совпадают), хотя частотная ширина спек-
действия) нелинейных поверхностных гравитацион-
трального пика для численного спектра почти в два
ных волн. Чтобы проверить эту идею, следует чис-
раза больше эмпирической.
ленно решить КУ (2), которое для описания одно-
Нам представляется, что с физической точки зре-
мерной пространственной эволюции установившихся
ния указанная разница в ширине пика не принципи-
волн принимает вид (“fetch-limited” version)
альна, если учесть неизбежное несоответствие между
(g/2ω)∂S(f, θ; x)/∂x = INL(S).
(4)
эмпирической и числовой начальной формой спек-
Выполненное нами численное решение КУ (4) по-
тра S(f, θ), обусловленное численными ограничения-
казало, что при задании начальной крутизны волн
ми применения КУ [5]. Наблюдаемая близость форм
Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8
2020
506
В.Г.Полников, Ф.Цяо, Х.Ма, Ш.Чанг
Рис. 4. (Цветной онлайн) Спектры ветровых волн S(f) (рассчитанные по методу Уэлча), умноженные на коэффициент
f4: (a) - точка P1; (b) - точка P4. Горизонтальные отрезки прямых означают средние уровни интенсивности величины
S(f) · f4 для трех значений ветров, для которых указаны соответствующие им скорости трения u∗
спектров в обоих случаях позволяет заключить, что
σ также объясняется в рамках КУ тем, что ско-
установленный эмпирический эффект (формирова-
рость нелинейной эволюции пропорциональна кру-
ние автомодельной формы спектров для механиче-
тизне волны в четвертой степени [5, 6]. Для волн с
ских волн в лотке) может служить свидетельством
малыми σ имеющаяся длина лотка просто слишком
естественной эволюции нелинейных поверхностных
мала для обнаружения эффекта (как и в работе [16]).
волн.
Поэтому указанные выше дискуссионные аргументы
свидетельствуют лишь о необходимости дальнейших
Приведенная трактовка указанного эффекта не
теоретических, численных и экспериментальных ис-
является окончательной в силу многих причин, ка-
следований наблюдаемого эффекта, направленных
сающихся применимости КУ: неидеальность жидко-
на уточнение предложенной трактовки формирова-
сти, отсутствие потенциальности, наличие обруше-
ния автомодельного спектра для механических волн
ний. Отдельно важно отметить и квазиоднонаправ-
в лотках больших размеров.
ленность гравитационных механических волн, для
5.2. Ветровые волны. Выполним вначале анализ
которых точные резонансы четверок частот: ω(k1) +
+ω(k2) = ω(k3)+ω(k4) и волновых векторов k1+k2 =
зависимости спектров ветровых волн от скорости
трения u∗ и разгона X, на основе оценок u∗, при-
= k3 + k4, присутствующие в кинетическом инте-
грале INL(S), запрещены [5, 17]. Однако, как пока-
веденных в табл.3.
зано в [18], даже небольшие отклонения от резонан-
Таблица 3. Параметры ветра в лотке
сов для четверки частот (ω(k) при резонансах чет-
Ветер
Расположение трубок Пито (PT)
верок волновых векторов k приводят к ненулевым
вентиля-
9 м
20 м
взаимодействиям, что обеспечивает эволюцию спек-
тора,
u∗
W10
u∗
W10
тра волн. Этот эффект был численно подтвержден в
м/с
см/с
м/с
см/с
м/с
работе [17], что и дает возможность изучения вопро-
4
8.2
4.8
12.5
5.3
са о применимости КУ для однонаправленных волн
6
11.7
6.6
17.5
7.6
путем построения уточнений для кинетического ин-
8
14.4
8.5
27.8
10.3
теграла с учетом работ [17,18].
10
20.4
10.8
40
13.3
12
28.2
12.5
53
15.8
Формирование автомодельности спектров крутых
механических волн с формой хвоста S(f) ∝ f-4.2±0.1
численно воспроизводится путем решения КУ (4);
Для параметризации зависимости хвоста спек-
а ее отсутствие для волн с малой крутизной волн
тра волн от параметров системы u∗ и X использу-
Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8
2020
Новые эффекты эволюции спектра волн в лотке
507
ем вначале форму Тобы (1) с безразмерным коэф-
нелинейности волн в формировании спектра ветро-
фициентом CT , близким к указанному в [11] и из-
вых волн по сравнению со свободными волнами, что
меняющимся в диапазоне (1 ÷ 3) · 10-4. Для лю-
и может приводить к спектрам ветровых волн с зако-
бого фиксированного CT эта форма дает среднюю
нами спадания вида s(f) ∝ f-4, как и для свободных
ошибку более 200 % для совокупности результатов,
волн [6]. Работы [21,22] построены на идее наличия
представленных на рис. 4a, b. Чтобы компенсиро-
особенностей во вторых производных от возвыше-
вать ошибку, обобщим форму (1) на соотношение:
ний поверхности воды ∂2η(t)/∂t2, обеспечивающих
S(f, u∗) = F (fp, u∗)gu∗f-4, в котором введен безраз-
спектр этих производных типа “белого шума”. В ито-
мерный множитель F (fp, u∗), не меняющий форму
ге спектр возвышений будет иметь вид S(f) ∝ f-4.
хвоста спектра: S(f) ∝ f-4. Простейшая версия это-
Однако перечисленные модели нивелируют роль ме-
го множителя вида F(fp, u∗) = Cm · (fpu∗/g)m с па-
ханизмов накачки и диссипации волн In(S) и Dis(S)
раметром m = 1 приводит к форме
в формировании спектра ветровых волн, что не поз-
воляет теоретически выявить зависимости спектра
S(f, u∗) = C1(fpu∗/g)gu∗f-4 =
от u∗ и X вида (5). В этом направлении целесообраз-
но совершенствование указанных моделей.
= CP(u2∗/Xg)1/3gu∗f-4,
(5)
6. Заключение. Установлены следующие новые
где использовано второе соотношение из законов ро-
эффекты эволюции спектра волн.
ста (3). Соотношение (5) с фиксированным значени-
Первое. При величинах начальной крутизны ме-
ем коэффициента CP = 4.1 · 10-3 соответствует ре-
ханических волн, превышающих 0.2, на масштабах
зультатам, показанным на рис. 4a, b с ошибкой менее
пробега волн 15-20 м их спектры в лотке приобре-
50 %, т.е. гораздо лучше, чем соотношение (1). Од-
тают автомодельную форму, имеющую вид s(f) ∝
новременно, соотношение (5) задает обобщение фор-
∝ f-4.2±0.1 в области частот 2fp < f ≤ (4-5)fp.
мы (1) на зависимость хвоста спектра ветровых волн
Этот эффект трактуется как проявление естествен-
от разгона X, наличие которой широко обсуждалось
ной эволюции нелинейных поверхностных волн, что
ранее [15, 19].
качественно подтверждается численным решением
Обсудим теперь эффект отсутствия автомодель-
КУ вида (4). Более точная интерпретация эффекта
ности спектра ветровых волн, который со всей оче-
требует его экспериментального изучения в лотках с
видностью следует из рис. 3b (некоторая степень ав-
большими размерами, привлечением измерений дву-
томодельности имеет место лишь в области спек-
мерных спектров волн и разработки теоретического
трального пика 0.7fp < f ≤ 2fp). Такая форма спек-
описания, учитывающего квази-однонаправленность
тра с законом спадания вида (5) не может быть по-
механических волн в лотках.
лучена как решение КУ вида (4). В случае ветро-
Второе. Спектры ветровых волн в лотке не явля-
вых волн в лотке (без учета боковых границ), это
ются автомодельными (рис. 3b).
КУ должно быть обобщено до вида
Третье. Форма хвоста спектра ветровых
волн в лотке зависит от скорости трения u∗
(g/2ω)∂S(f, θ)/∂x = INL(S) + In(S) - Dis(S)
(6)
более сильно, чем линейно, и спадает c рос-
путем добавления в правую часть (4) слагаемых на-
том разгона X (рис.4а,b). С ошибкой ме-
качки волн ветром In(S) и их диссипации Dis(S),
нее
50 % она параметризуется соотношением
как дополнительных механизмов эволюции ветровых
S(f, u∗, X) = 4.1 · 10-3(u5∗g2/X)1/3f-4, существенно
волн [1,13,15]. Согласно работе [13], наблюдаемая
отличающимся от формы Тобы (1).
здесь форма спектра (рис. 3а), в принципе, может
Требуются дополнительные экспериментальные
быть численно смоделирована путем подбора специ-
подтверждения приведенных результатов и поиск
ального вида слагаемых In(S) и Dis(S) в правой ча-
методов их теоретического описания, позволяющих
сти (6). Однако в настоящее время мы не распола-
численно воспроизвести установленные эффекты в
гаем аналитическими представлениями таких слага-
спектрах ветровых волн в рамках КУ (6).
емых. Теоретически их получить невозможно [15], а
Авторы благодарны студентам Ван Ху (Wang
полуэмпирический поиск вида In(S) и Dis(S) требу-
Hue) и Ли Чао (Li Chao) за помощь в проведе-
ет дополнительных исследований [13,15].
нии эксперимента. Работа выполнена при поддержке
В качестве теоретических моделей, объясняющих
Российского фонда фундаментальных исследований,
устойчивое существование спектра вида S(f) ∝ f-4
грант # 18-05-00161, и гранта китайского совместно-
для волн на воде можно отметить работы [20-22].
го фонда NSFC-Shandong, #U1606405.
Первая из них [20] свидетельствует об усилении роли
Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8
2020
508
В.Г.Полников, Ф.Цяо, Х.Ма, Ш.Чанг
1. О. М. Phillips, The dynamics of the upper ocean, 2nd
13. V. G. Polnikov, Izv. Atmos. and Ocean. Phys. 54(4), 394
ed., Cambridge Univ., UK (1977).
(2018).
2. H. Mitsuasu, Proc. Jpn. Acad., Ser. B 91, 109 (2015).
14. S. M. Kay, Modern Spectral Estimation, Theory and
3. S. Nazarenko and S. Lukaschuk, Annu. Rev. Condens.
Application, Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, New
Matter Phys. 7, 61 (2016).
Jersey (1988).
4. А. С. Монин, А. М. Яглом, Статистическая гидро-
15. G. I. Komen, L. Cavaleri, M. Donelan, K. Hasselmann,
механика, Наука, М. (1967), ч.2.
S. Hasselmann, and P. A. E. M. Janssen, Dynamics and
Modelling of Ocean Waves, Cambridge University Press,
5. V. E. Zakharov, G. Falkovich, and V. L’vov, Kolmogorov
Spectra of Turbulence, Wave Turbulence. Series in
London (1994).
nonlinear dynamics, Springer-Verlag, Berlin (1992), v. I.
16. P. Denissenko, S. Lukaschuk, and S. Nazarenko, Phys.
Rev. Lett. 99, 014501 (2007).
6. S. I. Badulin, A. N. Pushkarev, D. Resio, and
V.E. Zakharov, Nonlinear Process. Geophys.
12,
17. D. Chalikov, Phys. Lett. 376, 2795 (2012).
891 (2005).
18. M. M. Zaslavskii and V. G. Polnikov, Izv. Atmos. and
7. V. G. Polnikov and F. Qiao, IOP Conf. Ser.: Earth
Ocean. Phys. 34(5), 609 (1998).
Environ. Sci. 231, 012043 (2019).
19. M. A. Donelan, B. K. Haus, N. Reul, W. J. Plant,
8. O. M. Phillips, J. Fluid Mech. 4, 231 (1958).
M. Stiassnie, H. C. Graber, O. B. Brown, and
E. S. Saltzman, Geophys. Res. Lett.
31, L18306
9. O. M. Phillips, J. Fluid Mech. 156, 505 (1985).
(2004).
10. S. A. Kitaigorodskii, J. Phys. Oceanogr. 13(5),
816
20. E. A. Кузнецов, П. М. Лушников, ЖЭТФ 108(2), 614
(1983).
(1995).
11. Y. Toba, J. Oceanogr. Soc. Jpn. 29, 209 (1973).
21. E. A. Кузнецов, Письма в ЖЭТФ 80(2), 92 (2004).
12. M. Donelan, M. Hamilton, and W. H. Hui, Philos. Trans.
22. Г. С. Голицын, Доклады РАН 398(2), 177 (2004).
R. Soc. London, Ser. A 315, 509 (1985).
Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8
2020
