Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 8, с. 536 - 540

Вязкое движение сферических наночастиц, рассеивающих лазерное

излучение в режиме Рэлея

M. Я. Амусья^+∗1), A. С. Балтенков^×

⁺Институт физики им. Рака, Еврейский университет, 91904 Иерусалим, Израиль

^∗Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе, 194021 С.-Петербург, Россия

^×Институт ионно-плазменных и лазерных технологий им. Арифова, 100125 Ташкент, Узбекистан

Поступила в редакцию 6 марта 2020 г.

После переработки 19 марта 2020 г.

Принята к публикации 19 марта 2020 г.

Анализируется механизм поперечной вязкости света для наносфер, движущихся в лазерном поле.

Показано, что в процессе рассеяния света этими частицами помимо силы Fs, ускоряющей их в на-

правлении распространения излучения, и градиентной силы Fg, которая обусловлена пространственной

неоднородностью потока света, существует сила Fvisc, которая замедляет движение частиц в поперечных

направлениях. Это сила вязкости света, которая обусловлена доплеровским сдвигом частоты рассеянно-

го излучения. Получено общее выражение для этой силы, которая действует на частицы, рассеивающие

излучение в рэлеевском режиме. Это выражение использовано для оценки влияния этой силы на леви-

тирующие наносферы, а также на медленные электроны, движущиеся в лазерном и магнитном полях.

Обсуждаются возможные эксперименты по наблюдению эффектов световой вязкости.

DOI: 10.31857/S1234567820080108

1. Оптическая левитация одиночных нано- или

Происхождение силы вязкости легко понять, рас-

микрочастиц в лазерном луче является предметом

смотрев следующий мысленный эксперимент. Пред-

исследований для целого ряда статей (см., например,

ставим себе идеальный бильярдный стол, на поверх-

[1-9] и ссылки в них). Левитация изолирует части-

ности которого, без трения и потерь энергии, вечно

цы от окружающей среды и обеспечивает возмож-

движется бильярдный шар. Предположим, что по-

ность точных измерений слабых сил, таких как кван-

верхность шара изотропно отражает фотоны с час-

товая сила трения [10] или сила Казимира [11], если

тотой ω, поток которых падает перпендикулярно на

такую частицу можно привести во вращение с до-

стол. Если шар неподвижен относительно светового

статочно высокими угловыми скоростями и располо-

потока, частота рассеянного им излучения равна ω.

жить вблизи поверхности [12]. Подобная вращатель-

Частота излучения ω^′, рассеянного шаром, движу-

ная микро-манипуляция была достигнута с несфе-

щимся со скоростью v относительно биллиардного

рическими частицами или с частицами, обладающи-

стола, определяется следующим выражением [17]

ми двойным лучепреломлением при использовании

[

]

(v · n^′)

линейно поляризованного света [13-15]. В частно-

ω^′ ≈ ω 1+

(1)

сти, в эксперименте [14] была исследована оптиче-

ская левитация кремниевых наногантелей в высо-

Здесь n^′ - вектор излучения рассеянного фотона.

ком вакууме. В этой работе с помощью циркулярно-

Согласно (1), частота фотонов, излучаемых вперед

поляризованного лазерного поля наногантели уско-

(в направлении вектора v), больше частоты фото-

рялись до частоты вращения свыше 1 ГГц. Линей-

нов, излучаемых в противоположном направлении.

ная скорость наносфер, образующих гантель, дости-

Разница между импульсами рассеянного излучения

гала v ≈ 10⁴ см/с. При таких скоростях движения

вдоль вектора v и против него равна Δℏω^′/c ≈

наносфер перпендикулярно световому потоку (имен-

≈ 2ℏωv/c². Эта разница вычитается из импульса ша-

но это и происходит в экспериментах [16]), вязкость

ра, который замедляет свое движение поперек пото-

света и соответствующая сила трения света, вызван-

ка фотонов.

ные эффектом Доплера, могут стать заметными.

2. Аналогичную картину можно наблюдать в экс-

периментах с левитирующими наносферами, рассеи-

¹⁾e-mail: amusia@vms.huji.ac.il

вающими лазерное излучение в режиме Рэлея. Хо-

536

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8

2020

Вязкое движение сферических наночастиц, рассеивающих лазерное излучение в режиме Рэлея

537

рошо известно, что существуют две качественно раз-

электрическое поле световой волны. Предположим,

ные оптические силы, которые действуют на части-

что плотность потока энергии в направлении вверх

цу в электромагнитном поле [18]. Первая из них на-

(вдоль оси Z) такова, что сила светового давления

зывается силой рассеяния F_s. Она пропорциональ-

равна весу сферы

на сечению рассеяния частицы и луча света. Для

|F_s| = σ(ω)W = mg,

(5)

нерасходящихся пучков сила направлена вдоль век-

тора Пойнтинга S и ускоряет частицу в направлении

где m - ее масса, а g - ускорение силы тяжести.

распространения световой волны. Вторая называет-

Рассмотрим двумерное движение сферы в плос-

ся градиентной силой F_g. Эта сила возникает при на-

кости XY , а Z пусть будет направлением пучка на-

личии пространственного градиента интенсивности

летающих фотонов. Как и в случае бильярдного ша-

светового пучка. Она равна силе Лоренца, действу-

ра (1), частота рассеянных фотонов ω в результа-

ющей на индуцированный дипольный момент части-

те упругого рассеяния света преобразуется в часто-

цы, и совпадает с направлением градиента интенсив-

ту ω^′. В терминах передачи импульса рассеянного

ности. В [18] получены формулы для сил F_s и F_g,

излучения процесс рассеяния можно рассматривать

действующих на диэлектрическую сферу, находящу-

как поглощение фотонов, движущихся вдоль вектора

юся в лазерном пучке с гауссовым профилем распре-

n, с последующим излучением новых фотонов в на-

деления интенсивности света. Левитирующая сфера,

правлении рассеянного излучения n^′. Результирую-

движущаяся через этот луч, оказывается также под

щий переданный импульс представляет собой вектор

действием дополнительной силы вязкости излучения

разности между импульсами испущенного и налета-

F_visc, которая замедляет его движение. Насколько

ющего фотонов соответственно. Проекция импульса

нам известно, влияние этой силы на поведение леви-

фотона, рассеянного сферой, на ее вектор движения

тирующей наночастицы до сих пор не рассматрива-

v, равна единице. Усредняя эту проекцию импульса

лось²⁾. Ниже мы выводим формулу для этой силы и

фотона по всем направлениям его рассеяния, мы по-

обсуждаем возможности ее экспериментального на-

лучим c помощью сечения (2) следующее выражение

блюдения.

для силы вязкости света, ответственной за замедле-

Дифференциальное сечение рэлеевского рассея-

ние поступательного движения сферы, перпендику-

ния неполяризованного излучения малой сферой в

лярного потоку фотона, в XY плоскости

телесный угол dΩ^′ вокруг единичного вектора n^′ име-

∫

[

]

dσ

ет вид [21]

F_visc = -Wn^′′

(n^′ · n^′′) (n^′ · n^′′)dΩ^′ =

dΩ^′

)₄

dσ

1(ω

|α(ω)|²[1 + (n · n^′)²].

(2)

3 v

dΩ^′

Wσ(ω) = -

|F_s|.

(6)

10 c

Здесь c - скорость света, n - единичный вектор на-

Заменяя в формуле (6) сечения неполяризованно-

правления падающей волны, ω - ее частота, α(ω) -

го излучения (2) на сечение поляризованного света

динамическая поляризуемость сферы. Радиус сферы

[21]

)₄

предполагается малым по сравнению с длиной вол-

dσ

(ω

|α(ω)|²[1 - (e · n^′)²],

(7)

ны излучения λ = 2πc/ω. Полное сечение упругого

dΩ^′

рассеяния излучения определяется выражением

получаем следующее выражение для силы световой

вязкости, действующей на наносферу, движущуюся

)₄

8π

(ω

σ(ω) =

|α(ω)|².

(3)

в поле поляризованного излучения

Сила рассеяния или светового давления на сферу хо-

F_visc = -

[2 - (e · n^′′)²]W σ(ω) =

рошо известна и определяется [17] формулой

[2 - (e · n^′′)²]|F_s|.

(8)

F_s = σ(ω)Wn^′,

(4)

=-5c

Значение силы (8) зависит от взаимной ориентации

где W = 〈E²/4π〉 - усредненная по времени плот-

вектора поляризации излучения e и вектора скоро-

ность энергии электромагнитного излучения, E -

сти v: оно достигает максимального значения, когда

e перпендикулярно v, и минимально, когда e∥v. Ве-

²⁾Заметим, что на качественном уровне эффект вязкости

личины сил (6) и (8) составляют определенные до-

света для атомов в лазерном луче рассматривался впервые в

нашей работе [19]. Влияние вязкости света на быстрые элек-

ли силы (4), и эти доли полностью определяются се-

троны впервые обсуждалось в [20].

чениями дифференциального рассеяния Рэлея (2) и

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8

2020

538

M. Я. Амусья, A. С. Балтенков

(7). Движение наносфер под действием этих сил на-

есть время релаксации, т.е. период времени, необхо-

поминает их движение в вязкой среде под действием

димый для уменьшения угловой (или линейной) ско-

силы Стокса.

рости левитирующей наногантели примерно в 3 раза.

Оценим значение силы вязкости света (6) для од-

Примечательно, что это характерное время в режиме

ной левитирующей наносферы. Сила рассеяния (или

Рэлея не зависит от размера и массы левитирующей

сила светового давления), создаваемого в установке,

гантели, но определяется только сечением рассеяния

описанной в [16] сфокусированным на сфере лазером

излучения (6).

с мощностью P = 0.5 Вт и длиной волны λ = 1550 нм,

Рэлеевский режим рассеяния излучения предпо-

составляет F_s = P/c = 1.7 · 10^-9 Н. Линейная ско-

лагает, что длина волны электромагнитного излуче-

рость сферы из наногантели в эксперименте [16] есть

ния намного больше радиуса наносферы a (λ ≫ a).

v ≈ 85нм×1ГГц = 8.5·103 см/с. Используя это зна-

Рассмотрим, как и в случае вышеописанного би-

чение скорости, получим значение F_visc = 1.4·10^-16 Н

льярдного шара, другой предельный случай: когда

для силы (6). Она превышает силы примерно в зеп-

длина волны λ мала по сравнению с радиусом сфер,

тоньютон, исследованные в работе [22], на пять по-

образующих наногантель. Будем считать эти сфе-

рядков.

ры идеально проводящими и, следовательно, пре-

3. В качестве возможного эксперимента по на-

красно отражающими. Рассеяние ими излучения мо-

блюдению сил световой вязкости или трения рас-

жет быть рассмотрено в приближении геометриче-

смотрим вращение наногантели, рассеивающей ла-

ской оптики, в рамках которой дифференциальное

зерное излучение в режиме Рэлея. Рассмотрим леви-

сечение рассеяния фотонов на сфере [23] есть

тирующую гантель не в форме двух слипшихся ша-

dσ

a²

риков, как в [16], а в виде кавендишского торсионно-

(11)

dΩ^′

го баланса с двумя сферами, соединенными рукоят-

кой длиной l (см. димер из наносфер в работе [14]).

Подставляя это сечение в формулу (6), получаем сле-

Мы также предполагаем, что рукоятка нашей ганте-

дующее выражение для силы вязкости, действующей

ли представляет собой достаточно тонкий стержень,

на наносферу в световом потоке W :

вязким трением которого в световом потоке можно

∫ [

]

пренебречь. Пусть длина гантели l ≫ λ, так что рас-

a²

F_visc = -Wn^′′

(n^′ · n^′′) (n^′ · n^′′)dΩ^′ =

сеяние излучения шарами гантели можно рассмат-

ривать в режиме Рэлея (Rel). Предположим, что ла-

зерный луч изначально линейно поляризован, и ган-

πa²W = -

|F_s|.

(12)

тель захватывается оптическим пинцетом, так что

Для времени замедления скорости вращения леви-

середина стержня находится в центре лазерного лу-

тирующей наногантели вместо (10) получаем следу-

ча. Следовательно, сумма градиентных сил F_g, дей-

ющий результат:

ствующих на шары гантели, равна нулю. Как и в [16],

гантель ускоряется циркулярно-поляризованным из-

τ_Geom = 3c/2g ≈ 4.6 · 10⁷ c.

(13)

лучением до угловой скорости ϕ˙₀₃₎. После этого ла-

зерное излучение мгновенно преобразуется в неполя-

Приведенные выше значения времени τ_Rel и τ_Geom

ризованное. В результате вращение гантели в плоско-

могут быть уменьшены, если увеличить плотность

сти XY замедляется под действием вязкой силы (6).

излучения W . Добавим к первому лазерному лучу

Следующее простое уравнение описывает этот про-

второй, направленный вертикально вниз вдоль оси

цесс:

Z. Предположим, что мощности лазерного луча 1 (с

3 2mg l²

ϕ=-

ϕ.

(9)

W₁) и лазерного луча 2 (с W₂) таковы, что наноган-

тель, как и прежде, левитирует в оптическом резона-

Здесь ml²/2 - момент инерции гантели, 2mg - сила

торе, создаваемом двумя встречными лазерными лу-

рассеяния (5), которая обеспечивает левитацию ган-

чами (см. рис. 1b в [1]). В этом экспериментальном

тели в луче света, а

ϕ есть угловое ускорение оси

устройстве силы рассеяния или светового давления

гантели. Решение этого уравнения очевидно:

φ(t) =

F^s1) и F^s2) вычитаются, а силы вязкости F_visc сум-

=φ˙0 exp(-t/τ_R). Здесь

мируются. Это следует из того факта, что силы вяз-

кости определяются только плотностью электромаг-

τ_Rel = 5c/3g ≈ 5.1 · 10⁷ c

(10)

нитного излучения W , т.е. количеством фотонов на

³⁾Точка над символом угловой скорости обозначает диффе-

единицу объема, независимо от направления движе-

ренцирование по времени.

ния фотона. В этом случае в формулах (6) и (12) мы

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8

2020

Вязкое движение сферических наночастиц, рассеивающих лазерное излучение в режиме Рэлея

539

Умножив уравнения (14) на v_x и v_y соответственно

и сложив их, получим уравнение, v = -(β/m)v, где

v² = v^2x + v^2y. Решение этого уравнения следующее:

v(t) = v₀e-m t.

(17)

Временной параметр в показателе степени (17) опре-

деляется выражением

πw²⁰

mc²

τ =

(18)

В формуле (18) мы предполагаем, что мощности

P луча 1 и луча 2 одинаковы. Следовательно, вели-

чины продольных сил светового давления, направ-

Рис. 1. Траектория электрона в магнитном и лазерном

ленных друг против друга, равны, а плотность элек-

полях, рассчитанная по формуле (14) для начального

тромагнитного излучения W увеличивается в два ра-

радиуса R ≈ 1.85 · 10^-5 м и времени τ ≈ 0.5 · 10⁴ с

за. Для медленного электрона с энергией ε ≈ 30 эВ в

магнитном поле B = 1 Тл радиус циклотронной ор-

должны заменить W на сумму плотностей W₁ + W₂.

биты составляет R ≈ 1.85 · 10^-5 м. Для оценки под-

Увеличение плотности фотонов, конечно, ограничи-

ставим w₀ = 2 · 10^-5 в уравнение (18). При мощности

вается индуцированным лазером нагревом и испаре-

пучка P = 0.5 кВт время эксперимента, необходи-

нием наносфер.

мое для уменьшения начальной скорости электрона

4. Рассмотрим нанообъект, который рассеивает

v₀ ≈ 3.25 · 10⁶ м/с в три раза есть τ ≈ 0.5 · 10⁴ с. Спи-

лазерное излучение в режиме Рэлея, и для которого

ральный путь электрона в суперпозиции магнитного

проблемы нагрева и испарения не существует. Пред-

и вязкого поля света представлен на рис.1. Магнит-

положим, что оптический резонатор, образованный

ные поля B и электронные энергии ε, использован-

двумя лазерными лучами, рассмотренными выше,

ные в этом эксперименте, вполне доступны.

расположен в сильном магнитном поле B, направ-

5. Приведены формулы, позволяющие рассчитать

ленном вдоль оси Z. Медленный электрон со скоро-

силу радиационной вязкости и исследовать ее осо-

стью v вводится в эту полость перпендикулярно оси

бенности. Сила, вполне ожидаемо, оказалась малой,

Z, и начинает двигаться по круговой траектории с

но, в принципе, влиятельной и отличной от других

радиусом R = vm/eB в плоскости XY . Здесь e и

сил, с помощью которых луч света воздействует на

m - заряд и масса электрона соответственно. Пред-

нанообъекты и электроны. Недавно разработанная

положим также, что радиус оптического резонатора

оптомеханическая экспериментальная техника поз-

w₀ немного больше циклотронного радиуса w₀ ≥ R.

воляет наблюдать силу вязкости света. Мы предло-

При этом условии круговая орбита электрона оста-

жили некоторые эффекты, которые могут продемон-

ется внутри светового пятна. Уравнения движения

стрировать наличие этой силы. Полагаем, что экспе-

электрона в световом и магнитном полях определя-

риментальное обнаружение этих новых физических

ются по формулам

проявлений вязкости света, а также подтверждение

их предсказанных значений представляло бы боль-

mv_x = -ev_yB - βv_x,

шой интерес.

(14)

А. С. Балтенков выражает благодарность за под-

mv_y = -ev_xB - βv_y.

держку Узбекскому фонду, грант ОТ-Ф2-46 и докто-

ру А. В. Зиновьеву за полезные обсуждения.

Параметр β в (14) определяется соотношением:

3 Wσ

β=

(15)

1. A. Ashkin, Phys. Rev. Lett. 24, 156 (1970).

2. A. Ashkin, Optical trapping and manipulation of neutral

Здесь σ - томсоновское сечение упругого рассеяния

particles using lasers, World Scientific, Singapore

света σ [17]

(2006).

(

)₂

8π

3. M. Aspelmeyer, T. J. Kippenberg, and F. Marquardt,

σ=

(16)

Rev. Mod. Phys. 86, 1391 (2014).

mc²

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8

2020

540

M. Я. Амусья, A. С. Балтенков

4. Z. Cheng, P. M. Chaikin, and T. G. Mason, Phys. Rev.

15. A. I. Bishop, T. A. Nieminen, N. R. Heckenberg, and

Lett. 89, 108303 (2002).

H. Rubinsztein-Dunlop, Phys. Rev. Lett. 92, 198104

5. K. G. Libbrecht and E. D. Black, Phys. Lett. A 321, 99

(2004).

16. J. Ahn, Z. Xu, J. Bang, Y. Deng, T. M. Hoang, Q. Han,

6. Y. Arita, M. Mazilu, and K. Dholakia, Nat.

R. Ma, and T. Li, Phys. Rev. Lett. 121, 033603 (2018).

Communun.; doi: 10.1038/ncomms3374.

17. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, The Classical Theory

7. A. Ashkin and J. M. Dziedzic, Appl. Phys. Lett. 19, 283

of Fields (Volume 2 of A Course of Theoretical Physics),

(1971).

Pergamon Press, Oxford (1971).

8. A. Ashkin and J. M. Dziedzic, Appl. Phys. Lett. 24, 586

18. Y. Harada and T. Asakura, Opt. Commun. 124 529

(1974).

(1996).

9. A. Ashkin and J. M. Dziedzic, Appl. Phys. Lett. 28, 333

19. M. Ya. Amusia and A. S. Baltenkov, Tech. Phys. Lett.

(1976).

14, 877 (1988) (in Russian).

10. R. Zhao, A. Manjavacas, F. J. Garcia de Abajo, and

20. M. Ya. Amusia, A. S. Baltenkov, Z. Felfli, A. Z. Msezane,

J. B. Pendry, Phys. Rev. Lett. 109, 123604 (2012).

and A. B. Voitkiv, Phys. Rev. A 66, 063416 (2002).

11. A. Manjavacas, F. J. Rodriguez-Fortuno, F. J. Garcia de

21. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Electrodynamics of

Abajo, and A. V. Zayats, Phys. Rev. Lett. 118, 133605

Continuous Media (Volume 8 of A Course of Theoretical

(2017).

Physics), Pergamon Press, Oxford (1960).

12. Z. Xu and T. Li, Phys. Rev. A 96, 033843 (2017).

22. G. Ranjit, M. Cunningham, K. Casey, and A. A. Geraci,

13. Z. Cheng, P. M. Chaikin, and T. G. Mason, Phys. Rev.

Phys. Rev. A 93, 053801 (2016).

Lett. 89, 108303 (2002).

23. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Mechanics (Volume 1

14. W. Lechner, S. J. M. Habraken, N. Kiesel,

M. Aspelmeyer, and P. Zoller, Phys. Rev. Lett.

of A Course of Theoretical Physics), Pergamon Press,

110, 143604 (2013).

Oxford (1976).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 7 - 8

2020