Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 9, с. 579 - 585

Нелинейная динамика оптического параметрического осциллятора

на диполяритонах

О.Ф.Васильева¹⁾, А.П.Зинган, В.В.Васильев

Приднестровский государственный университет им. Т. Г. Шевченко, МД 3300 Тирасполь, Молдова

Поступила в редакцию 29 марта 2020 г.

После переработки 29 марта 2020 г.

Принята к публикации 5 апреля 2020 г.

Изучена динамика диполяритонных состояний в планарном микрорезонаторе при накачке состоя-

ния, отвечающего средней диполяритонной ветви. При этом накачка осуществляется двумя лазерными

импульсами с близкими частотами. Показано, что в условиях точного резонанса имеют место аперио-

дические и периодические режимы превращения диполяритонов накачки в диполяритоны холостых и

сигнальных мод.

DOI: 10.31857/S1234567820090013

Смешанные экситон-фотонные состояния в пла-

В [24] впервые наблюдалась новая квазичастица-

нарных полупроводниковых микрорезонаторах с

диполяритон - бозонная частица, которая образуется

квантовыми ямами в активном слое представляют

в связанных двойных квантовых ямах в микрорезо-

собой новый класс квазидвумерных состояний с уни-

наторе. По сравнению с экситон-поляритоном дипо-

кальными свойствами [1-13]. Такие состояния назы-

ляритон является суперпозицией фотона микрорезо-

вают микрорезонаторными экситон-поляритонами.

натора, прямого и непрямого экситона. Здесь прямой

Они возникают благодаря сильной связи экситонов с

экситон является связанным состоянием электронно-

собственными модами электромагнитного излучения

дырочной пары одной и той же ямы, а непрямой

микрорезонатора, в результате чего формируются

экситон образуется путем связывания электрона и

верхняя и нижняя микрорезонаторные экситон-

дырки соседних ям. Связанное состояние фотона

поляритонные моды. Большой интерес вызывает

микрорезонатора с прямым и непрямым экситонами

поляритон-поляритонное рассеяние, благодаря кото-

приводит к формированию собственных мод системы

рому экситон-поляритонная система демонстрирует

с тремя ветвями закона дисперсии, нижней, средней

сильно нелинейные свойства [6-13]. В [14-18] при ис-

и верхней диполяритонными ветвями [25]. Благода-

следовании свойств оптического параметрического

ря большому дипольному моменту диполяритона он

экситон-поляритонного осциллятора использовались

был предложен в качестве идеальной квазичастицы

два одинаковых фотона накачки на нижней ветви

для генерации терагерцового излучения [26-32].

закона дисперсии. Однако в [19,20] было показано,

[33] была изучена динамика экситон-

что два различных пучка накачки можно конвер-

диполяритоного осциллятора в синфазном режиме

тировать в два вырожденных на частоте фотонов

по двум каналам рассеяния. Показано, что в услови-

сигнальной и холостой мод. Наличие двух различ-

ях точного резонанса имеет место апериодический

ных пучков накачки дает большие возможности

режим превращения диполяритонов накачки в

для генерации сигнального и холостого пучков с

диполяритоны холостых и сигнальных мод. В

наперед заданными свойствами. В [21-23] теоретиче-

[34] была исследована динамика диполяритонных

ски изучена динамика поляритонов, когда накачка

состояний по трем каналам рассеяния. Показано,

осуществляется двумя лазерами с близкими часто-

что в зависимости от начальной разности фаз и

тами. Найдены апериодические и периодические

начальных плотностей диполяритонов накачки, сиг-

режимы превращения пары поляритонов накачки в

нальной и холостой моды возможны периодические,

поляритоны сигнальной и холостой мод. Показано,

апериодические режимы эволюции, а также покой

что введение двух независимых накачек приводит к

системы, при отличном от нуля периоде колебаний

увеличению степеней свободы системы.

(накачка осуществлялась в одной точке закона

дисперсии). В [35] было предложено использова-

ние диполяритонов для генерации терагерцового

¹⁾e-mail: florina_of@mail.ru

излучения, за счет возбуждения системы двумя

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

579

580

О.Ф.Васильева, А.П.Зинган, В.В.Васильев

различными по частоте лазерными импульсами

нальной и холостой мод на средней ветви закона дис-

(накачкой).

персии. Другой канал - это рассеяние пары диполя-

Цель данного сообщения - изучить динамику ди-

ритонов накачки с образованием сигнального дипо-

поляритонных возбуждений в режиме параметриче-

ляритона на нижней ветви и холостого диполяритона

ского осциллятора на временах, намного меньших

на верхней ветви закона дисперсии. Наконец, третий

времени релаксации возбуждений среды при накач-

канал - это рассеяние сигнального и холостого ди-

ке средней ветви в двух близких по энергии точ-

поляритонов средней ветви в сигнальный диполяри-

ках закона дисперсии. Мы будем считать, что оба

тон нижней ветви и холостой диполяритон верхней

пучка накачки различаются по амплитуде (интен-

ветви. При больших уровнях возбуждения плотно-

сивности), однако энергии фотонов различаются сла-

сти диполяритонов на указанных модах могут быть

бо. Мы считаем, что с помощью ультракоротких им-

достаточно большими. Переходы по каждому из ука-

пульсов резонансного лазерного излучения в мик-

занных каналов могут происходить как в прямом,

рорезонаторе создается система когерентных дипо-

так и в обратном направлениях. Это и определяет

ляритонов. Микрорезонатор обеспечивает простран-

динамику изменения плотностей диполяритонов на

ственное ограничение области существования дипо-

каждой моде. Гамильтониан взаимодействия, описы-

ляритонов. Квантовая яма вставляется в брэггов-

вающий процесс параметрического рассеяния pump-

скую структуру, которая характеризуется опреде-

диполяритонов в диполяритоны сигнальной и холо-

ленным пропусканием, отражением и потерями [24-

стой мод, можно записать в виде

31,36]. Особенности эволюции системы будут прояв-

Ĥ_int = ℏg₁(â⁺¹â⁺²âp1 â_p2 + â^+p

â^+p

â₂â₁) +

ляться в генерации вторичных субимпульсов излуче-

ния.

+ ℏg₂(â+3 â+4 âp1 âp2 + â^+p

â^+p

â₃â₄) +

Рассмотрим ситуацию, когда диполяритоны боль-

шой плотности возбуждаются на средней ветви зако-

+ ℏg(â+1 â+2 â₃â₄ + â+3 â+4 â₁â₂),

(1)

на дисперсии (рис. 1) двумя мощными импульсами

где g₁, g₂ и g - константы взаимодействия по каждо-

му каналу рассеяния, âp1,2 и â_i (i = 1, . . . , 4) - опера-

торы уничтожения диполяритонов накачки первого

и второго импульсов, а также сигнальной (i = 1, 3) -

и холостой (i = 2, 4) мод соответственно.

Используя (1), легко получить систему гайзенбер-

говских уравнений для операторов âp1,2 и â_i (i =

= 1, . . ., 4). Усредняя эту систему и используя при-

ближение среднего поля (mean field approximation),

получаем следующую систему эволюционных урав-

нений для комплексных амплитуд диполяритонов

ap1,2 = 〈âp1,2 〉, a_i = 〈â_i〉 (i = 1, . . ., 4):

iap1 =ωp1ap1 +g₁a^∗p

a₁a₂ + g₂a^∗p

a₃a₄,

iap2 =ωp2ap2 +g₁a^∗p

a₁a₂ + g₂a^∗p

a₃a₄,

ia₁ =ω₁a₁ +g₁a^∗2ap1ap2 +ga^∗2a₃a₄,

ia₂ =ω₂a₂ +g₁a^∗1ap1ap2 +ga^∗1a₃a₄,

ia₃ =ω₃a₃ +g₂a^∗1ap1ap2 +ga^∗4a₁a₂,

ia₄ =ω₄a₄ +g₂a^∗3ap1ap2 +ga^∗3a₁a₂,

(2)

Рис. 1. Энергетическая схема диполяритонов

где ωp1,2 , ω_i (i = 1, . . . , 4) - собственные частоты ди-

поляритонов. В условиях точного резонанса, когда

лазерного излучения (накачкой) [25]. При этом воз-

ωp1 +ωp2 = ω₁+ω₂ = ω₃+ω₄, решения этих уравнений

можны три канала рассеяния диполяритонов, удо-

ищем в виде: ap1,2 = Ap1,2 exp(iϕp1,2 ), a_i = A_i exp(iϕ_i

влетворяющие законам сохранения энергии и им-

(i = 1, . . . , 4), где Ap1,2 , A_i и ϕp1,2 , ϕ_i - действитель-

пульса. Один из них - это рассеяние пары диполя-

ные амплитуды и фазы. Вводя далее плотности ди-

ритонов накачки с образованием диполяритонов сиг-

поляритонов Np1,2 = A^2p

, Nj = A2j (j = 1,2,3,4),

1,2

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

Нелинейная динамика оптического параметрического осциллятора на диполяритонах

581

√

мы приходим к следующей системе нелинейных эво-

=g₁

Np10Np20N10N20 cosθ12,0 +

√

люционных уравнений:

+g₂

Np10Np20N30N40 cosθ34,0 +

√

N_p

=N˙p2 = -2

Np1Np2 ×

N₁₀N₂₀N₃₀N₄₀ cos(θ_12,0 - θ_34,0),

(4)

√

которые представляют собой законы сохранения чи-

× (g₁

N₁N₂ sinθ₁₂ + g₂

N₃N₄ sinθ₃₄),

√

сел частиц в системе и закон сохранения энергии.

N₁ =

N₂ = 2

N₁N₂ ×

Решить систему нелинейных дифференциальных

√

уравнений (3) в общем случае не представляется воз-

× (g₁

Np1N_p2 sinθ₁₂ + g

N₃N₄ sin(θ₁₂ - θ₃₄)),

√

можным. Поэтому далее рассмотрим ряд частных

N₃ =

N₄ = 2

N₃N₄ ×

случаев.

√

Если рассматривать решения системы уравнений

× (g₂

Np1N_p2 sinθ₃₄ - g

N₁N₂ sin(θ₁₂ - θ₃₄)),

(

√

)

при равенстве нулю начальных плотностей диполя-

√

Np1 + Np2

N_p1N_p2

ритонов сигнальной и холостой мод на верхней и

θ₁₂ = g₁

N₁N₂

√

+(N₁+N₂)

N_p1Np2

N₁N₂

нижней ветвях закона дисперсии N₃₀ = N₄₀ = 0,

√

то система уравнений (3) значительно упрощается и

N₃N₄

приводится к виду

× cosθ₁₂ - g₂(Np1 + Np2)

cosθ₃₄ +

N_p1N_p2

√

N_p

=N˙p2 = -2g₁

Np1Np2N₁N₂ sinθ₁₂,

√

N₁ + N₂

√

N₃N₄

√

cos(θ₁₂ - θ₃₄),

N₁N₂

N₁ =

2 = 2g1

Np1Np2N₁N₂ sinθ₁₂,

θ₃₄ = g₂ ×

θ₁₂ = g₁ ×

(

√

)

(

√

)

√

Np1 + Np2

Np1N

N₃N₄

(N₃ + N₄)

Np1N_p2

× -

N₁N₂

cosθ₁₂.

× -(Np1 + Np2)

√

√Np1Np2 +(N1+N2)

N₁N₂

Np1Np2

N₃N₄

(5)

√

Используя (5), получаем интегралы движения

N₁N₂

× cosθ₃₄ - g₁(Np1 + Np2)

cosθ₁₂ +

Np1Np2

Np1 + N₁ = Np10 + N10,

√

N₃ + N₄

N₁N₂

√

cos(θ₁₂ - θ₃₄),

(3)

Np2 + N₁ = Np20 + N10,

N₃N₄

N₂ - N₁ = N₂₀ - N₁₀,

где θ₁₂ = ϕp1 +ϕp2 -ϕ₁ -ϕ₂, θ₃₄ = ϕp1 +ϕp2 -ϕ₃ -ϕ₄.

Отметим, что вклад в динамику диполярито-

√Np10Np20N10N20_√

cosθ₁₂ =

cosθ_12,0

(6)

нов в уравнениях (2)-(3) вносят только слагаемые,

Np1Np2N₁N₂

соответствующие индуцированным переходам меж-

и нелинейное дифференциальное уравнение, описы-

ду различными диполяритонными состояниями. При

вающее временную эволюцию плотности диполяри-

больших уровнях возбуждения именно эти слагае-

тонов сигнальной моды на средней ветви закона дис-

мые являются определяющими. Считаем, что харак-

персии N₁(t):

терные времена спонтанных процессов намного боль-

dN₁

(

ше характерных времен индуцированных переходов,

= ±2g₁

N₁(N₁ + N₂₀ - N₁₀)(Np10 + N10 - N1) ×

так что за время протекания индуцированных пере-

)_1/2

ходов спонтанные переходы не успевают совершить-

× (Np20 + N10 - N1) - Np10Np20N10N20 cos² θ12,0

ся. Поэтому далее мы ими пренебрегаем.

(7)

Дополним систему (3) начальными условиями:

Из (7) видно, что особенности эволюции плотно-

N_p

1|t=0

= Np10, Np2|t=0^=Np20^,Nj|t=0^=Nj0^(j=

сти диполяритонов N₁(t) определяются начальны-

= 1, . . . , 4), θ_12|

t=0

= θ_12,0, θ_34|

t=0

= θ_34,0. Из (3) уда-

ми плотностями N₁₀, N₂₀ и Np10, Np20, начальной

ется получить следующие интегралы движения:

разностью фаз θ_12,0, а также направлением измене-

ния начальной скорости

N₁(t)_|t=0, т.е. знаками (+)

Np1 + N_p2 + 2(N₁ + N₃) = Np10 + Np20 + 2(N10 + N30),

и (-) в (7). Если начальная разность фаз θ_12,0 =

N₂ - N₁ = N₂₀ - N₁₀, N₄ - N₃ = N₄₀ - N₃₀,

= ±(2n + 1)π/2, n = 0, 1, 2, . . ., то мгновенная раз-

√

ность фаз θ₁₂(t) в процессе эволюции сохраняется

g₁

Np1Np2N₁N₂ cosθ₁₂ + g₂

Np1Np2N₃N₄ cosθ₃₄ +

равной θ_12,0. Поэтому рассмотрим наиболее простой

√

N₁N₂N₃N₄ cos(θ₁₂ - θ₃₄) =

случай

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

582

О.Ф.Васильева, А.П.Зинган, В.В.Васильев

эволюции, когда θ_12,0 = ±(2n + 1)π/2. В этом слу-

Рассмотрим эволюцию системы, когда начальная

чае, используя интегралы движения, уравнение (7)

плотность накачки первого импульса больше началь-

можно привести к виду:

ной плотности накачки второго импульса Np10 >

> Np20. При этом будем считать, что началь-

+ W(N₁) = 0,

(8)

ная плотность диполяритонов холостой моды боль-

ше начальной плотности сигнальной моды на сред-

где W (N₁) - потенциальная и

- кинетическая

ней ветви закона дисперсии N₂₀ > N₁₀. Уравнение

энергии эквивалентного нелинейного осциллятора.

для потенциальной энергии нелинейного осциллято-

Потенциальная энергия W(N₁) определяется выра-

ра W (N₁) = 0 в этом случае имеет четыре действи-

жением:

тельных корня, которые располагаются в следующем

W (N₁) = -4g²¹N₁(N₁ + N₂₀ - N₁₀) ×

порядке: N₁₀+Np10 > N10+Np20 > 0 > N10-N20. Ди-

намика системы в этом случае является периодиче-

(9)

× (Np10 + N10 - N1)(Np20 + N10 - N1).

ской (рис. 2а), диполяритоны накачки попарно пре-

Вид решения N₁(t) уравнения (8) определяется

вращаются в диполяритоны сигнальной и холостой

корнями алгебраического уравнения W (N₁) = 0, ко-

мод на средней ветви закона дисперсии и обратно.

торые зависят от начальных параметров системы

Решение уравнения (8) запишется в виде:

N₁₀, N₂₀, Np10, Np20.

√

(N₂₀ - N₁₀)(Np20 + N10)sn(

(Np20 + N10)(Np10 + N10)g1t ± f(ϕ0, k))

N₁ =

√

(10)

Np20 + N20 - (Np20 + N10)sn²(

(Np20 + N10)(Np10 + N10)g1t ± f(ϕ0, k)

где sn(x) - эллиптическая функция Якоби, f(ϕ₀, k) = F (ϕ₀, k)-K(k), F (ϕ₀, k) - неполный эллиптический ин-

теграл первого рода с модулем k и параметром ϕ₀, K(k) - полный эллиптический интеграл [37,38]. Величины

k и ϕ₀ выражаются формулами:

√

(N₂₀ + Np10)(N10 + Np20)

(N₂₀ + Np20)N10

k² =

ϕ₀ = arcsin

(11)

(N₁₀ + Np10)(N20 + Np20)

(N₁₀ + Np20)N20

Из (10) легко получить амплитуду A и период T колебаний плотности диполяритонов сигнальной моды

2K(k)

A=N₁₀ +Np20, T =

√

(12)

g₁

(Np20 + N10)(Np10 + N10)

Из (12) видно, что амплитуда колебаний плотности диполяритонов сигнальной моды на средней ветви

закона дисперсии определяется начальной плотностью диполяритонов накачки второго импульса, т.е. наи-

меньшей плотностью накачки. Амплитуда колебаний линейно растет с ростом N₁₀ и Np20. Что касается пе-

риода колебаний, то с ростом начальной плотности диполяритонов сигнальной моды на средней ветви закона

дисперсии, период колебаний монотонно уменьшается.

Если N₂₀ < N₁₀, то уравнение W (N₁) = 0 имеет четыре действительных корня которые располагаются

следующим образом: N₁₀ + Np10 > N10 + Np20 > N10 - N20 > 0. Динамика системы в этом случае также

является периодической (рис. 2b) и решение уравнения (9) запишется в виде:

(N₁₀ - N₂₀)(Np20 + N10)

N₁ =

√

(13)

Np20 + N10 - (Np20 + N20)sn²(

(Np20 + N10)(Np10 + N20)g1t ± f(ϕ0, k))

где k и ϕ₀ выражаются формулами:

√

(N₁₀ + Np10)(N20 + Np20)

(N₁₀ + Np20)N20

k² =

ϕ₀ = arcsin

(14)

(N₁₀ + Np20)(N20 + Np10)

(N₂₀ + Np20)N10

Из (13) можно получить амплитуду A и период T колебаний плотности диполяритонов сигнальной моды

2K(k)

A=N₂₀ +Np20, T =

√

(15)

g₁

(Np20 + N10)(Np10 + N20)

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

Нелинейная динамика оптического параметрического осциллятора на диполяритонах

583

Рис. 2. Временная эволюция плотности диполяритонов N1/Np₁0 в зависимости от нормированной начальной плотно-

сти диполяритонов сигнальной моды на средней ветви закона дисперсии и при фиксированных значениях начальных

плотностях диполяритонов N20/Np₁0 = 0, 8, Np₂0/Np₁0 = 0.6 (а); N20/Np₁0 = 0.5, Np₂0/Np₁0 = 0.6 (b); N20/Np₁0 = 0.8,

Np₂0/Np₁0 = 1.6 (c); N20/Np₁0 = 0.5, Np₂0/Np₁0 = 1.6 (d). Здесь τ = g1t

Если начальная плотность накачки первого импульса меньше начальной плотности накачки второго им-

пульса Np10 < Np20. При этом будем считать, что N20 > N10, уравнение для потенциальной энергии нели-

нейного осциллятора W (N₁) = 0 также имеет четыре действительных корня N₁₀ + Np20 > N10 + Np10 > 0 >

N₁₀ - N₂₀. Эволюция диполяритонов является периодической (рис.2c) и решение уравнения (8) запишется в

виде:

√

(N₂₀ - N₁₀)(Np10 + N10)sn²(

(Np20 + N10)(Np10 + N20)g1t ± f(ϕ0, k))

N₁ =

√

(16)

Np10 + N20 - (Np10 + N10)sn²(

(Np20 + N10)(Np10 + N20)g1t ± f(ϕ0, k))

Величины k и ϕ₀ выражаются формулами:

√

(N₂₀ + Np20)(N10 + Np10)

(N₂₀ + Np10)N10

k² =

ϕ₀ = arcsin

(17)

(N₁₀ + Np20)(N20 + Np10)

(N₁₀ + Np10)N20

Амплитуда A и T период колебаний плотности диполяритонов сигнальной моды

2K(k)

A=N₁₀ +Np10, T =

√

(18)

g₁

(Np20 + N10)(Np10 + N20)

Из (18) следует, что амплитуда колебаний определяется наименьшей плотностью накачки.

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

584

О.Ф.Васильева, А.П.Зинган, В.В.Васильев

Если N₂₀ < N₁₀, уравнение W (N₁) = 0 по-прежнему имеет четыре действительных корня N₁₀ + Np20 >

> N₁₀ + Np10 > N10 - N20 > 0 и решение уравнения (8) запишется в виде:

(N₁₀ - N₂₀)(Np10 + N10)

N₁ =

√

(19)

Np10 + N10 - (Np10 + N20)sn²(

(Np20 + N20)(Np10 + N10)g1t ± f(ϕ0, k))

где k и ϕ₀ выражаются формулами:

√

(N₁₀ + Np20)(N20 + Np10)

(N₁₀ + Np10)N20

k² =

ϕ₀ = arcsin

(20)

(N₁₀ + Np10)(N20 + Np20)

(N₂₀ + Np10)N10

Из (19) амплитуда A и период T колебаний плотности диполяритонов сигнальной моды

2K(k)

A=N₂₀ +Np10, T =

√

(21)

g₁

(Np20 + N20)(Np10 + N10)

Из (19) и рисунка 2d, видно, что эволюция системы является периодической.

На рисунке 2 представлены графики временной эволюции плотности диполяритонов сигнальной моды.

Эволюция системы представляет собой периодические превращения диполяритонов сигнальной и холостой

мод в диполяритоны накачки обоих импульсов и обратно. Амплитуда колебаний линейно увеличивается с

ростом начальной плотности диполяритонов сигнальной (холостой) моды на средней ветви закона диспер-

сии.

Если в начальный момент времени плотность диполяритонов сигнальной и холостой моды на средней

ветви закона дисперсии равны N₂₀ = N₁₀, то уравнение для потенциальной энергии нелинейного осциллято-

ра W (N₁) = 0 имеет один двукратно вырожденный корень, равный нулю. Эволюция диполяритонов в этом

случае будет апериодической (рис. 3) и решение уравнения (8) запишется в виде:

(

)

√

ab_a

(1 - th²(±

abg₁t))

− N^p20Np10

N₁ =

(√

)₂

)₂ ,

(22)

√

(√

√

Np20

th(±

abg₁t)

-b

- bath(±

abg₁t)

Np10

где a = Np10 + N10, b = Np20 + N10.

На рисунке 3 представлена апериодическая эво-

бо диполяритоны накачки второго импульса, то, как

люция плотности диполяритонов сигнальной моды

видно из (4), будет работать только третий канал

на средней ветви закона дисперсии. Из (22) и рисун-

рассеяния, т.е. будут возникать периодические и апе-

ка 3 видно, что решение со знаком “+” монотонно

риодические режимы превращения диполяритонов

растет со временем от значения N₁ = N₁₀ до предель-

сигнальной и холостой мод на средней ветви зако-

ного значения N₁ = Np20 + N10, затем происходит

на дисперсии в диполяритоны сигнальной и холостой

монотонное убывание плотности диполяритонов сиг-

моды на верхней и нижней ветви закона дисперсии

нальной моды до нуля, чем эволюция и завершается.

без участия диполяритонов накачки обоих импуль-

Если рассматривать решение (22) со знаком “-”, то

сов [34].

плотность диполяритонов сигнальной моды на сред-

Таким образом, при накачке средней диполяри-

ней ветви закона дисперсии монотонно уменьшается

тонной ветви в двух близких точках закона дис-

от значения N₁ = N₁₀ до нуля. Таким образом, все

персии возможен периодический и апериодический

диполяритоны сигнальной моды попарно преврати-

процессы превращения пары диполяритонов накач-

лись в диполяритоны накачки обоих импульсов, чем

ки обоих импульсов в диполяритоны сигнальной и

эволюция и завершилась. Процесс эволюции проис-

холостой мод. Также необходимо отметить, что при

ходит с истощением диполяритонов сигнальной (хо-

накачке диполяритонной ветви в одной точке зако-

лостой) моды.

на дисперсии при начальной разности фаз θ_12,0 =

Если в начальный момент времени отсутствуют

= ±(2n + 1)π/2 наблюдался только апериодический

либо диполяритоны накачки первого импульса, ли- режим эволюции превращения пары диполяритонов

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

Нелинейная динамика оптического параметрического осциллятора на диполяритонах

585

15.

П. И. Хаджи, О. Ф. Васильева, Оптика и спектроско-

пия 111, 831 (2011).

16.

П. И. Хаджи, О. Ф. Васильева, ФТТ 53, 1216 (2011).

17.

P. I. Khadzhi and O. F. Vasilieva, J. Nanophotonics 6,

061805 (2012).

18.

P. I. Khadzhi and O. F. Vasilieva, J. Nanoelectronics and

Optoelectronics 9, 295 (2014).

19.

C. J. Mc Konstrie, S. Radic, and M. G. Raymer, Opt.

Express 12, 5037 (2004).

20.

Y. Okawachi, M. Yu.K. Luke, D. O. Carvalho,

Рис. 3. Временная эволюция плотности диполярито-

S. Ramelow, A. Farsi, M. Lipson, and A.L. Gaeta, Opt.

нов N1/Np₁0 при фиксированных значениях начальных

Lett. 40, 5267 (2015)

плотностях диполяритонов N10/Np₁0 = N20/Np10 =

21.

О. Ф. Васильева, А.П. Зинган, П. И. Хаджи, Оптика

= 0.3, Np₂0/Np₁0 = 0.8. Здесь τ = g1t

и спектроскопия 125, 425 (2018).

22.

О. Ф. Васильева, А.П. Зинган, В. В. Васильев,

накачки в диполяритоны сигнальной и холостой мод

ЖЭТФ 157(1), 144 (2020).

[34]. Таким образом, введение двух независимых на-

23.

О. Ф. Васильева, А. П. Зинган, В. В. Васильев, Опти-

качек приводит к увеличению степеней свободы си-

ка и спектроскопия 128(2), 242 (2020).

стемы и к возникновению новых бифуркационных

24.

P. Cristofolini, G. Christmann, S. I. Tsintzos,

переходов от апериодического режима эволюции к

G. Deligeorgis, G. Konstantinidis, Z. Hatzopoulos,

периодическому.

P. G. Savvidis, and J. J. Baumberg, Science 336, 704

(2012).

25.

A. V. Nalitov, D. D. Solnyshkov, N. A. Gippius, and

A.V. Kavokin and G. Malpuech, Thin Films,

G. Malpuech, Phys. Rev. B 90, 235304 (2014).

Nanostructures:

Cavity

Polaritons,

ed.

26.

O. Kyriienko, A. V. Kavokin, and I. A. Shelykh, Phys.

V.M. Agranovich and D. Taylor, Elsevier, Amsterdam

Rev. Lett. 111, 176401 (2013).

(2003).

27.

K. Kristinsson, O. Kyriienko, T. C. H. Liew, and

H. Deng, H. Haug, and Y. Yamamoto, Rev. Mod. Phys.

82, 1489 (2010).

I. A. Shelykh, Phys. Rev. B 88, 245303 (2013).

A. Kavokin, Appl. Phys. A 89, 241. (2007).

28.

K. Kristinsson, O. Kyriienko, and I.A. Shelykh, Phys.

Rev. A 89, 023836 (2014).

M. M. Glazov and K. V. Kavokin, Phys. Rev. B 73,

245317 (2006).

29.

O. Kyriienko, I. A. Shelykh, and T. C. H. Liew, Phys.

Rev. A 90, 033807 (2014).

I. A.

Shelykh, R. Johne, D. D. Solnyshkov,

A.V. Kavokin, N. A. Gippius, and G. Malpuech,

30.

I. A. Shelykh, O. Kyriienko, K. Kristinsson, and

Phys. Rev. B 76, 155308 (2007).

T. C. H. Liew, Proc. Intern. Const. Nanomaterials:

Applications and Properties 3, 02NAESF03 (2014).

D. M. Whittaker, Phys. Rev. B 63, 193305 (2001).

31.

J.-Y. Li, S.-Q. Duan, and W. Zhang, EPL 108, 67010

C. Ciuti, P. Schwendimann, B. Deveaud, and

(2014).

A. Quattropani, Phys. Rev. B 62, R4825 (2000).

32.

O. Kyriienko, O. V. Kibis, and I. A. Shelykh, Opt. Lett.

P. G. Savvidis, J. J. Baumberg, R. M. Stevenson,

M. S. Skolnick, D. M. Whittaker, and J. S. Roberts,

42(12), 2398 (2017).

Phys. Rev. Lett. 84, 1547 (2000).

33.

П. И. Хаджи, О. Ф. Васильева, Письма в ЖЭТФ

J. J. Baumberg, P. G. Savvidis, R. M. Stevenson,

102(9), 665 (2015).

A.I. Tartakovskii, M. S. Skolniсk, D. M. Whittaker, and

34.

П. И. Хаджи, О. Ф. Васильева, И. В. Белоусов,

J. S. Roberts, Phys. Rev. B 62, R16247 (2000).

ЖЭТФ 153(2), 179 (2018).

10.

C. Ciuti, Phys. Rev. B 69, 245304 (2004).

35.

A. Seedhouse, J. Wilkes, V. D. Kulakovskii, and

11.

P. Schwendimann, C. Ciuti, and A. Quattropani, Phys.

E. A. Muljarov, Opt. Lett. 44(17), 4339 (2019).

Rev. B 68, 165324 (2003).

36.

T. Byrnes, G. V. Kolmakov, R. Y. Kezerashvili, and

12.

P. G. Savvidis, J. J. Baumberg, D. Porras,

Y. Yamamoto, Phys. Rev. B 90, 125314 (2014).

D. M. Whittaker, M. S. Skolnick, and J. S. Roberts,

37.

И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегра-

Phys. Rev. B 65, 073309 (2002).

лов, сумм, рядов и произведений, Физматлит, М.

13.

I. A. Shelykh, A. V. Kavokin, and G. Malpuech, Phys.

(1963).

Status Solidi B 242, 2271 (2005).

38.

Г. Корн, Т. Корн, Справочник по математике для

14.

О. Ф. Васильева, П.И. Хаджи, Оптика и спектроско-

научных работников и инженеров, Наука, М. (1971).

пия 115, 922 (2013).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020