Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 9, с. 615 - 622

Сравнение методов томографии чистых и почти чистых

квантовых состояний

Б.И.Бантыш¹⁾, А.Ю.Чернявский, Ю.И.Богданов

Физико-технологический институт им. К. А. Валиева РАН, 117218 Москва, Россия

Поступила в редакцию 7 апреля 2020 г.

После переработки 7 апреля 2020 г.

Принята к публикации 7 апреля 2020 г.

Квантовая томография (КТ) является наиболее информативным инструментом оценки качества при-

готовления и преобразования квантовых состояний. Развитие ее методов критически необходимо для от-

ладки разрабатываемых квантовых процессоров. Существует большое число методов КТ, отличающих-

ся как типами производимых измерений, так и способами обработки их результатов. При практическом

применении КТ возникает задача сравнения различных методов, сталкивающаяся с трудностями отсут-

ствия общей методологии оценки. В настоящей работе представлена универсальная методология оценки

качества методов томографии квантовых состояний на основе численного эксперимента. Разработанная

методология применена к трем методам КТ (корневому подходу, сжатым измерениям и адаптивной то-

мографии), характеризуемым эффективной работой с почти чистыми состояниями, что актуально для

современного уровня развития технологической базы эксперимента.

DOI: 10.31857/S1234567820090074

1. Введение. За последние несколько лет техно-

состояния оказывается пренебрежимо малой по срав-

логии создания квантовых вычислителей позволили

нению со статистическими флуктуациями, а сами

оперировать квантовыми регистрами, содержащими

состояния проявляют себя как чистые [9]. В таких

более 50 кубитов [1,2], однако точность приготовле-

условиях методы, реконструирующие матрицу плот-

ния состояний в таких квантовых системах пока еще

ности общего вида, оказываются неэффективными,

недостаточно велика для успешного решения при-

поскольку закладывают избыточное число парамет-

кладных задач. Методы квантового распределения

ров в модель квантового состояния. К таким методам

ключа в скором времени должны получить широ-

можно отнести линейную инверсию с проецировани-

кое распространение, позволяющее осуществлять об-

ем [10], стандартную выпуклую оптимизацию [11],

мен сообщениями больших объемов в режиме прак-

метод на основе разложения Холецкого [12], проек-

тически абсолютной секретности [3, 4]. Для отладки

тивный градиентный спуск [13, 14] и другие.

и контроля качества приготовления состояний следу-

Известно, что томография квантовых состояний

ет прибегать к методам квантовой томографии (КТ)

неполного ранга посредством такого рода неэффек-

[5-8]. Выбор того или иного метода зависит от ряда

тивных методов приводит к сходимости потерь точ-

факторов, включая экспериментальную сложность

ности по закону ∝ 1/N^1/2, где N - полный объем

реализации, типы рассматриваемых состояний, вы-

выборки по всем измерениям (число представителей

числительную сложность обработки результатов из-

квантового статистического ансамбля) [9, 15-18]. В

мерений и т.д. Несмотря на то, что большинство ме-

то же время, для наиболее эффективных методов то-

тодов позиционируются как универсальные, их точ-

мографии можно добиться сходимости ∝ 1/N.

ность может существенно зависеть от такого рода

Для рассматриваемой нами задачи существует

факторов.

ряд методов, которые направлены на то, чтобы при-

Важно отметить, что в современных квантовых

близиться к зависимости ∝

1/N. При практиче-

регистрах возможно создание квантовых состояний,

ском экспериментальном применении КТ естествен-

близких к чистым. Все собственные значения, кро-

ным образом возникает необходимость сравнения ка-

ме одного, матрицы плотности почти чистого состо-

чества различных ее методов. Не менее важны та-

яния, близки к нулю. Более того, при не слишком

кие сравнения и при создании новых методов КТ.

высоких объемах выборки такая слабая засоренность

Однако задача сравнения сталкивается с трудностя-

ми отсутствия общей методологии оценки: в работах

¹⁾e-mail: bbantysh60000@gmail.com

рассматриваются разные задачи и условия тестиро-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

615

616

Б.И.Бантыш, А.Ю.Чернявский, Ю.И.Богданов

вания, используются также и различные показатели

рицы плотности) и экспериментальных частот раз-

эффективности. К примеру, в работе [19] по сжатым

личных событий (LSDM - least squares for density

измерениям (compressed sensing) при представлении

matrix). Для обеспечения физически корректного ре-

результатов основной упор делается на сравнении

зультата данная минимизация выполняется с огра-

протоколов измерений различной размерности, в то

ничением на неотрицательную определенность мат-

время как на зависимости от объема выборки акцен-

рицы плотности. Такая задача эффективно решает-

тируется меньше внимания. В работе [20] по томогра-

ся методами выпуклой оптимизации [11]. В качестве

фии с использованием корневого подхода демонстра-

протокола измерений мы рассматриваем фактори-

ция метода производится на примере только одного

зованный протокол их взаимно-несмещенных бази-

смешанного состояния. Сравнение методов в работе

сов (FMUB - factorized mutually unbiased bases): каж-

[9] по адаптивной томографии производится только

дый кубит измеряется независимо в трех взаимно-

для случайных (по мере Хаара) чистых состояний и

несмещенных базисах, соответствующих операторам

случайных (по мере Бюреса) смешанных состояний,

Паули σ_x, σ_y и σ_z [21]. При этом на измерение каж-

что не позволяет судить об эффективности метода

дого базиса отводится одинаковое число предста-

применительно к почти чистым состояниям.

вителей статистического ансамбля. Решение опти-

Описанная проблема осложняется еще и тем, что

мизационной задачи выполняется на базе открытой

большинство методов КТ оказываются непростыми

программной библиотеки по выпуклой оптимизации

в реализации. Это не позволяет выполнить быстрое

CVX [22].

сравнение методов в каких-то частных случаях для

2.2. Метод максимального правдоподобия с ис-

определения наиболее эффективного из них.

пользованием корневого подхода. Метод максималь-

В настоящей работе мы предлагаем универсаль-

ного правдоподобия является одним из наиболее рас-

ную методологию практической оценки качества ме-

пространенных методов статистической реконструк-

тодов томографии квантовых состояний и применя-

ции квантовых состояний. При определенных доста-

ем ее к методам на основе выпуклой оптимизации,

точно общих условиях метод обладает оптимальны-

корневого подхода, сжатых измерений и адаптив-

ми асимптотическими свойствами [23].

ной томографии. Краткие описания методов пред-

2.2.1. Факторизованные измерения во взаимно-

ставлены в разделе 2. Для каждого метода произ-

несмещенных базисах, корневой подход с известным

водится множество численных экспериментов в од-

рангом (FMUB-RootTR). При корневом оценивании

них и тех же условиях, после чего производится

параметров квантового состояния вместо непосред-

анализ, основанный на заранее заданных количе-

ственно самой матрицы плотности рассматривается

ственных показателях эффективности, сформулиро-

ее квадратный корень: матрица ψ размерности d × r

ванных в разделе 3. По результатам выполненно-

такая, что матрица плотности есть ρ = ψψ^†. Здесь

го анализа мы произвели сравнение методов (раз-

ранг состояния r может принимать значения от 1

дел

4), которое показало их относительную эф-

до d (d - размерность гильбертова пространства).

фективность по отношению друг к другу, а так-

Сам поиск максимума правдоподобия для ψ сводится

же выявило некоторые весьма существенные тонкие

к решению квазилинейного уравнения методом про-

различия.

стых итераций [20,24].

2. Описание методов. Ниже мы приводим

Случай r = 1 описывает модель чистого кванто-

краткое описание всех рассматриваемых нами мето-

вого состояния, а случай r = d - полностью смешан-

дов. Каждый метод определяется как типом прово-

ного. В рамках метода FMUB-RootTR мы использу-

димых измерений, так и способом обработки резуль-

ем значение r_t, отвечающее истинному рангу (TR -

татов измерений. Отметим, что все рассматриваемые

true rank) матрицы плотности состояния, который

методы основаны на факторизованных измерениях

мы считаем априори известным. Заметим, что при

(каждый кубит измеряется независимо от других),

выборе r = d мы получаем оценку, которая числен-

поскольку такие измерения наиболее просты и акту-

но совпадает с теми оценками, которые дают методы

альны с точки зрения практической реализации.

на основе разложения Холецкого [12] и проективного

2.1. Факторизованные измерения во взаимно-

градиентного спуска [13, 14].

несмещенных базисах, метод наименьших квадра-

Как и в случае с FMUB-LSDM, мы рассматри-

тов для матрицы плотности (FMUB-LSDM). В ос-

ваем факторизованный протокол MUB измерений.

нове метода лежит нахождение параметров матри-

Реконструкция квантового состояния с использова-

цы плотности общего вида путем минимизации квад-

нием корневого подхода производится на основе его

ратов разниц теоретических (на основе оценки мат-

открытой программной реализации [25].

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

Сравнение методов томографии чистых и почти чистых квантовых состояний

617

2.2.2 Факторизованные измерения во взаимно-

2.4. Адаптивная томография. Во введении мы

несмещенных базисах, корневой подход с адекват-

упоминали, что методы, восстанавливающие матри-

ным рангом (FMUB-RootAR). Часто в эксперименте

цу плотности общего вида, неэффективны в задаче

нет априорной информации об истинном ранге изу-

томографии чистых и почти чистых состояний. Этот

чаемого квантового состояния. Выбор адекватного

недостаток может быть устранен посредством выбо-

ранга (AR - adequate rank) тогда осуществляется на

ра подходящего протокола измерений: такого, кото-

основе критерия хи-квадрат [20]. Для этого в насто-

рый увеличивает информацию о компонентах мат-

ящей работе поочередно перебирались значения r от

рицы плотности с малыми весами. Это достигает-

1 до d, выполнялась реконструкция состояния и оце-

ся надлежащим поворотом многокубитового прото-

нивалось p-value модели P_r согласно критерию хи-

кола измерений таким образом, чтобы один из про-

квадрат. Если для некоторого значения ранга было

екторов оказался ортогональным как можно боль-

выполнено условие P_r ≥ α, где α = 5 % есть уровень

шему числу главных компонент матрицы плотно-

значимости, то процедура останавливалась, и ранг

сти изучаемого состояния. Поскольку истинное со-

rt = r выбирался в качестве истинного. Процедура

стояние неизвестно, это достигается адаптивным пу-

также останавливалась в том случае, если P_r+1 < P_r

тем: с появлением новых результатов измерений вы-

(тогда r_t = r). Описанный алгоритм означает, что в

полняется оценка матрицы плотности и подбирают-

качестве нулевой статистической гипотезы выбира-

ся необходимые измерения для следующей итерации

ется состояние с минимальным рангом (в частности,

[9, 18, 27-29].

чистое), при этом α = 5 % задает так называемую ве-

2.4.1. Факторизованные ортогональные изме-

роятность ошибки первого рода (отклонить нулевую

рения, метод максимального правдоподобия для

гипотезу при условии, что она верна). Кроме того,

матрицы плотности (FO-MLDM). Адаптивный

такая процедура способна обеспечить определенную

протокол факторизованных ортогональных (FO -

экономию вычислительных затрат за счет меньшего

factorized orthogonal) измерений, предложенный в

обращения к моделям более высокого ранга.

работе [9], подразумевает реализацию итерационной

2.3. Измерение операторов Паули, подход сжа-

процедуры, на каждом шаге которой на основе

тых измерений (Pauli-CS). Подход сжатых измере-

всех произведенных ранее измерений находится

ний (CS - compressed sensing) является расширением

оценка

ρ матрицы плотности. После этого вы-

метода наименьших квадратов, в котором вместе с

числяется факторизованный n-кубитный вектор

суммой квадратов минимизируется также след мат-

|ϕ〉₁ ⊗ . . . ⊗ |ϕ〉_n ортогональный не более, чем к

рицы плотности [19, 26]:

K_max = n главным компонентам ρ. Затем векторы

|ϕ〉₁, . . . , |ϕ〉_n дополняются до полных ортонор-

]

мированных однокубитных базисов, в которых

ρ = argmin

∥O_T (X) - O_M ∥²² +

√ Tr X .

(1)

X≥0

и выполняются следующие измерения. Оценка

матрицы плотности на каждом итерационном шаге

Здесь O_T (X) и O_M есть вектора соответственно

осуществлялась методом максимального правдо-

теоретических (на основе матрицы плотности X) и

подобия (MLDM - maximum-likelihood for density

экспериментальных средних значений наблюдаемых,

matrix). В оригинальной статье это выполнялось

отвечающих различным измерениям. Протокол из-

посредством ускоренного проективного градиент-

мерений задается тензорным произведением набора

ного спуска. При моделировании мы использовали

операторов Паули совместно с единичным операто-

корневой подход полного ранга (см. раздел 2.2.1).

ром σ₀: P_n = {σ₀, σ_x, σ_y , σ_z}^⊗n. На измерение каждой

Как и в работе [9], на измерение нового базиса при-

наблюдаемой отводится одинаковое число предста-

ходилось N_k

= max(100, ⌊N₀/30⌋) представителей

вителей статистического ансамбля. В оригинальных

статистического ансамбля. Здесь N0 - суммарное

работах [19, 26] также рассматриваются образован-

число представителей, измеренных на предыдущих

ные подмножествами операторов из P_n протоколы,

итерациях.

которые не являются информационно полными для

2.4.2. Факторизованные ортогональные измере-

матриц плотности общего вида. Здесь, однако, мы

ния во взаимно-несмещенных базисах, метод мак-

будем рассматривать только полный набор из 4ⁿ из-

симального правдоподобия для матрицы плотности

мерений.

(FOMUB-MLDM). Метод FO-MLDM не может быть

Для решения оптимизационной задачи (1) ис-

применен к томографии одиночного кубита, посколь-

пользовалась открытая программная библиотека по

ку ортогональные измерения в этом случае опре-

выпуклой оптимизации CVX [22].

деляются всегда однозначно, и в результате итера-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

618

Б.И.Бантыш, А.Ю.Чернявский, Ю.И.Богданов

Рис. 1. (Цветной онлайн) Метод определения ресурсов на основе полученных статистических данных. (а) - Вычис-

ляется 95-й процентиль (95th percentile) потерь точности для каждого значения полного объема выборки N. Для

выбранного значения гарантированной точности FB вычисляется требуемое значение NB с использованием линейной

интерполяции (в логарифмическом масштабе). (b) - Вычисляется количество измерений по значению в точке NB

ций не возникает информационной полноты²⁾. Кро-

Число представителей ансамбля, приходящихся

ме того, вычислительная сложность метода, обуслов-

на каждый измерительный базис, мы также брали

ленная необходимостью поиска оптимального бази-

равным N_k.

са на каждом адаптивном шаге, затрудняет его мно-

3. Методология анализа. Одна из основных

гократное моделирование для накопления достаточ-

характеристик КТ - это точность реконструкции

ной статистики, в особенности, когда требуется про-

неизвестного квантового состояния, которую можно

водить анализ для больших значений N. Эти осо-

получить, имея в распоряжении определенное число

бенности побудили нас к созданию на основе FO-

представителей статистического ансамбля N (объ-

MLDM нового адаптивного протокола, в котором на

ем выборки). В качестве меры точности мы рас-

каждом итерационном шаге происходит унитарный

сматриваем распространенную меру fidelity, задаю-

“поворот” однокубитового набора MUB так, чтобы

щую вероятность совпадения между истинной σ и

один из его векторов совпал с |ϕ〉_j (j = 1, ..., n). Та-

реконструированной ρ матрицами плотности: F

(

ким образом, на каждом шаге формируются инфор-

Tr√√ρσ√ρ)2 [30]. В реальных экспериментах,

мационно полные измерения каждого кубита, при-

однако, часто ставится обратный вопрос: сколько ре-

чем одно из них совпадает с тем, которое произ-

сурсов необходимо задействовать, чтобы обеспечить

водится на каждой итерации в рамках метода FO-

требуемый уровень точности (fidelity benchmark) F_B?

MLDM³⁾. Такой подход может быть применен к

В качестве базовых ресурсов мы рассматриваем:

анализу однокубитных состояний и позволяет ре-

- объем выборки N_B - данное число определя-

же производить поиск ортогональных факторизо-

ет требуемое количество одинаково приготовленных

ванных измерений.

представителей неизвестного квантового состояния;

- число различных измерительных базисов M_B -

эта характеристика описывает, сколько раз необходи-

мо перестроить конфигурацию измерительной уста-

²⁾Информационная полнота по отношению к текущей оцен-

новки за время одного томографического экспери-

ке состояния может быть достигнута добавлением новых из-

мерений, близких к уже найденному [32].

мента.

³⁾Это справедливо только для рассматриваемых здесь двух-

Рассматриваемые характеристики вычисляются

уровневых подсистем. Для подсистем размерности 3 и выше

для двух различных групп состояний: случайные

дополнение |ϕ〉_j до базиса не однозначно и поэтому, как пра-

вило, не совпадает ни с одним из базисов преобразованного

чистые состояния (СЧС) и деполяризованные слу-

MUB.

чайные чистые состояния (ДСЧС). Рассматривают-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

Сравнение методов томографии чистых и почти чистых квантовых состояний

619

Рис. 2. (Цветной онлайн) Значение 95-го процентиля потерь точности для различных методов томографии в зависимо-

сти от объема выборки. Отражены случаи томографии случайных чистых состояний для одного (а), двух (b) и трех

ся системы из n кубитов. Соответствующие кван-

5. Выполняется линейная интерполяция зависи-

товые состояния заданы в гильбертовом простран-

мости M от log N и определяется значение M_B в точ-

стве размерности d = 2ⁿ. Поскольку точность са-

ке log N_B.

ма является случайной величиной, для определения

Использование 95-го процентиля потерь точности

исследуемых характеристик необходимо произвести

позволяет говорить нам о том, что, имея в распоря-

большой набор численных томографических экспе-

жении N_B представителей квантового состояния, ме-

риментов. Заметим, что во многих важных случа-

тод позволяет получить точность не хуже F_B с веро-

ях возможна априорная оценка качества томогра-

ятностью 95 %. Выбор линейной интерполяции зави-

фических протоколов с использованием универсаль-

симости log[1-F ]₉₅ от log N обусловлен тем, что, как

ного распределения точности [20]. Кроме того, точ-

отмечалось выше, для КТ имеет место зависимость

ность зависит от самих исследуемых состояний, ко-

1 - F ∝ 1/N^q, где 0 < q ≤ 1.

торые мы выбираем случайно в каждом эксперимен-

4. Сравнение методов. Ниже мы приводим по-

те. Для СЧС состояние |ψ〉 генерируется по мере

лученные результаты сравнения различных методов

Хаара [31]. Для ДСЧС матрица плотности выбира-

томографии. В качестве эталонного значения точно-

ется на основе случайного чистого состояния по фор-

сти была взята величина F_B = 99.9 %. Были рас-

муле ρ = (1 - p)|ψ〉〈ψ| + p · I_d/d, где I_d - единичная

смотрены системы из одного, двух и трех кубитов.

матрица размерности d × d, p - равномерно распре-

Отметим, что для всех методов использовались од-

деленная случайная величина от 0 до 0.1.

ни и те же состояния. Методы, основанные на иден-

Для вычисления ресурсов, требуемых методу КТ,

тичных протоколах измерений (например, протоколе

мы используем следующий алгоритм (рис. 1):

FMUB), оперировали одними и теми же статистиче-

1. Выполняется серия из 1000 независимых чис-

скими данными.

ленных экспериментов по КТ для различных зна-

4.1. Случайные чистые состояния (СЧС). Рису-

чений объема выборки N. В каждом эксперимен-

нок 2 отражает результаты моделирования для теста

те генерируется случайное состояние и выполняет-

случайных (по мере Хаара) чистых состояний. Соот-

ся симуляция его измерений методом Монте-Карло.

ветствующие количественные оценки представлены

Протокол измерений определяется методом КТ. По

в табл. 1.

результатам измерений выполняется реконструкция

4.2. Деполяризованные случайные чистые состо-

состояния и определяется точность F.

яния (ДСЧС). На рисунке 3 и в табл. 2 показа-

2. Для каждого N вычисляется 95-й процентиль

ны результаты моделирования для деполяризован-

(перцентиль) потерь точности [1 - F ]₉₅.

ных случайных чистых состояний. Анализ метода

3. Выбирается эталонное значение точности F_B.

FO-MLDM в данных условиях не проводился в силу

4. Выполняется линейная интерполяция зависи-

довольно высокой вычислительной сложности. Заме-

мости log[1 - F ]₉₅ от log N и определяется объем вы-

тим, что оценка квантового состояния с использова-

борки N_B, для которого [1 - F]₉₅ = 1 - F_B.

нием корневого подхода с известным рангом (FMUB-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

620

Б.И.Бантыш, А.Ю.Чернявский, Ю.И.Богданов

Таблица 1. Результат количественного оценивания ресурсов, затрачиваемых различными методами КТ для достижения точ-

ности F_B = 99.9 % в случае СЧС-теста

1 кубит

2 кубита

3 кубита

N_B

M_B

N_B

M_B

N_B

M_B

FMUB-LSDM

847 475

> 10⁶

FMUB-RootTR

3 302

7 163

12 796

FMUB-RootAR

3 690

8 022

17 596

Pauli-CS

5 080

21 859

85 581

FO-MLDM

188 490

157

638 732

194

FOMUB-MLDM

10 667

187 391

175

> 10⁶

> 297

Рис. 3. (Цветной онлайн) Значение 95-го процентиля потерь точности для различных методов томографии в зависи-

мости от объема выборки. Отражены случаи томографии деполяризованных случайных чистых состояний для одного

(а), двух (b) и трех (c) кубитов. Горизонтальная линия откладывает эталонное значение потерь точности 1 - FB

RootTR) в данном случае, когда ранг истинного

тодами томографии чистых и почти чистых кванто-

квантового состояния является полным (r_t = d), чис-

вых состояний для систем размерности от одного до

ленно эквивалентна любой оценке матрицы плотно-

трех кубитов. Для чистых состояний корневой под-

сти общего вида методом максимального правдопо-

ход (FMUB-RootTR, FMUB-RootAR), сжатые изме-

добия (MLDM).

рения (Pauli-CS) и факторизованные ортогональные

5. Обсуждение результатов. В настоящее вре-

измерения (FO-MLDM) позволили приблизиться к

мя существует большое число методов КТ. Анализ

сходимости потерь точности вида ∝ 1/N. Констан-

эффективности различных методов на основе лишь

ты пропорциональности, однако, отличаются: корне-

изучения соответствующих публикаций представля-

вой подход показал наилучшие характеристики по

ет собой весьма непростую задачу, так как условия, в

объему требуемых ресурсов. Разница в константе для

которых эти методы тестируются, могут существен-

метода Pauli-CS, возможно, может быть частично

но разниться. В данной работе мы предложили об-

компенсирована переходом от анализа средних зна-

щую методологию количественного сравнения раз-

чений наблюдаемых к частотам различных исходов.

личных методов КТ. В ее основе лежит моделирова-

Для FO-MLDM, как отмечали авторы оригинальной

ние реальных экспериментальных условий, идентич-

статьи [9], показатели могут быть улучшены, если

ных для каждого из рассматриваемых методов томо-

на каждом адаптивном шаге вместо реконструкции

графии. Выбирая в качестве основы некоторое эта-

матрицы плотности общего вида рассматривать мат-

лонное значение точности, которое необходимо до-

рицу плотности с ограниченным рангом. При восста-

стичь в эксперименте по КТ, мы вычисляем ресур-

новлении матрицы плотности общего вида методом

сы, необходимые каждому методу для достижения

наименьших квадратов (FMUB-LSDM), как и ожида-

такого значения.

лось, потери точности убывают приблизительно как

Полученные результаты выявили тонкие и весь-

1/N^1/2. Адаптивный метод на основе протокола из-

ма существенные различия между несколькими ме- мерений в факторизованных взаимно-несмещенных

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

Сравнение методов томографии чистых и почти чистых квантовых состояний

621

Таблица 2. Результат количественного оценивания ресурсов, затрачиваемых различными методами КТ для достижения точ-

ности F_B = 99.9 % в случае ДСЧС-теста

1 кубит

2 кубита

3 кубита

N_B

M_B

N_B

M_B

N_B

M_B

FMUB-LSDM

26 732

1 624 133

31 844 790

FMUB-RootTR

26 862

1 379 537

18 751 495

FMUB-RootAR

52 829

4 388 900

> 10⁸

Pauli-CS

> 10⁶

> 10⁷

> 10⁸

FOMUB-MLDM

6 361

420 015

203

12 261 609

388

базисах (FOMUB-MLDM), являющийся своего рода

эффективности методов в приложении к различным

объединением FMUB-LSDM и FO-MLDM, был раз-

практически важным задачам.

работан нами в ходе моделирования и сравнения раз-

6. Выводы. В работе представлен основанный

личных методов. Для него, в случае чистых состоя-

на численном эксперименте подход к оценке качества

ний, с увеличением размерности системы сходимость

методов КТ при восстановлении чистых и почти чи-

потерь точности постепенно ухудшалась от закона

стых состояний. Главной сравнительной мерой явля-

1/N к закону 1/N^1/2.

ется необходимое число измерений для достижения

заданной точности, что актуально для современных

Оценка матрицы плотности общего вида мето-

экспериментальных задач. Проведены анализ и срав-

дом максимального правдоподобия или методом наи-

нение шести современных методов КТ. Полученные

меньших квадратов дает оптимальную сходимость

результаты и сама методология могут быть исполь-

вида 1/N для смешанных состояний, но только в

зованы как для выбора метода и числа измерений в

том случае, если все собственные значения матри-

эксперименте, так и при разработке и оптимизации

цы плотности достаточно велики. В противном слу-

новых методов КТ. Для квантовых состояний, близ-

чае такая сходимость наблюдается лишь при весьма

ких к чистым, актуальной задачей является даль-

большом объеме выборки. Наш количественный ана-

нейшее развитие адаптивных стратегий квантовых

лиз для случая почти чистых состояний показал, что

измерений. Такие стратегии должны обеспечивать,

можно добиться перехода к закону 1/N и при мень-

при заданных ограничениях на имеющиеся экспери-

ших значениях N, используя метод FOMUB-MLDM,

ментальные ресурсы, максимум информации о ком-

в котором однокубитовые наборы MUB на каждом

понентах матрицы плотности с малыми весами.

адаптивном шаге “поворачиваются” ортогонально те-

Работа выполнена в рамках Государственного за-

кущей оценке состояния.

дания ФТИАН им. К. А. Валиева РАН Минобрнауки

Методы FMUB-RootAR и Pauli-CS дают суще-

РФ по теме # 0066-2019-0005.

ственно меньшую точность в задаче томографии по-

Авторы также выражают благодарность Глебу

чти чистых состояний, но универсальность FMUB-

Стручалину за ценные обсуждения и помощь в про-

RootAR, обусловленная возможностью адаптации

ведении вычислений.

ранга модели состояния под имеющиеся статистиче-

ские данные, позволяет переходить к закону 1/N су-

щественно раньше, чем при использовании Pauli-CS.

1. F. Arute, K. Arya, R. Babbush et al. (Collaboration),

Заметим, что метод адаптивных сжатых измерений,

Nature 574, 505 (2019).

описанный в работе [29], способен обеспечивать вы-

2. H. Bernien, S. Schwartz, A. Keesling, H. Levine,

сокую точность для состояний произвольного уровня

A. Omran, H. Pichler, S. Choi, A. S. Zibrov, M. Endres,

M. Greiner, V. Vuletic, and M. D. Lukin, Nature 551,

засоренности. Однако, как и любые другие существу-

579 (2017).

ющие адаптивные методы, это требует значительных

3. К. А. Балыгин, В. И. Зайцев, А. Н. Климов,

затрат на вычисление протокола и на многократную

А. И. Климов, С. П. Кулик, С. Н. Молотков, Письма

подстройку измерительной аппаратуры для измене-

в ЖЭТФ 105, 570 (2017).

ния базиса измерений.

4. К. А. Балыгин, В. И. Зайцев, А. Н. Климов, С. П. Ку-

Развитие предложенной в данной работе методо-

лик, С. Н. Молотков, Письма в ЖЭТФ 106, 451

логии и приобщение к ней других методов томогра-

(2017).

фии позволит со временем систематизировать зна-

5. K. Banaszek, M. Cramer, and D. Gross, New J. Phys.

ния по данной области и получить общую картину

12, 125020 (2013).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

622

Б.И.Бантыш, А.Ю.Чернявский, Ю.И.Богданов

G. M. D’Ariano, M. G. A. Paris, and M. F. Sacchi,

21.

I. Bengtsson, AIP Conference Proceedings 889,

[Quantum State Estimation] Lecture Notes in Physics,

(2007).

Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg (2004),

22.

M. Grant and S. Boyd, CVX: Matlab software

v.649, 519 p.

for disciplined convex programming, version

2.0

G. M. D’Ariano, M. G. A. Paris, and M. F. Sacchi, Adv.

beta [Electronic resource]; URL: http://cvxr.com/cvx,

Imaging Electron Phys. 128, 206 (2003).

September 2013.

A.I. Lvovsky and M. G. Raymer, Rev. Mod. Phys. 81,

23.

M. G. Kendall and A. Stuart, The Advanced Theory of

299 (2009).

Statistics, Inference and Relationship, Charles Griffin &

G. I. Struchalin, E. V. Kovlakov, S. S. Straupe, and

Company Ltd., London (1961), v. 2.

S. P. Kulik, Phys. Rev. A. 98, 032330 (2018).

24.

Yu. I. Bogdanov, M. V. Chekhova, L. A. Krivitsky,

10.

J. A. Smolin, J. M. Gambetta, and G. Smith, Phys. Rev.

S. P. Kulik, A.N. Penin, A. A. Zhukov, L. C. Kwek,

Lett. 108, 070502 (2012).

C. H. Oh, and M. K. Tey, Phys. Rev. A 70, 042303

11.

M. D. de Burgh, N. K. Langford, A. C. Doherty, and

(2004).

A. Gilchrist, Phys. Rev. A. 78, 052122 (2008).

25.

Quantum tomography by MLE and root

12.

K. Banaszek, G. M. D’ariano, M. G. A. Paris, and

approach

[Electronic

resource];

URL:

M. F. Sacchi, Phys. Rev. A 78, 052122 (2008).

https://github.com/PQCLab/RootTomography,

13.

E. Bolduc, G. C. Knee, E. M. Gauger, and J. Leach,

2019.

Quantum Inf. 3, 44 (2017).

26.

A. Steffens, C. A. Riofrio, W. McCutcheon, I. Roth,

14.

J. Shang, Z. Zhang, and H. K. Ng, Phys. Rev. A 95,

B. A. Bell, A. McMillan, M. S. Tame, J. G. Rarity, and

062336 (2017).

J. Eisert, Quantum Sci. Technol. 2, 025005 (2017).

15.

Ю. И. Богданов, А. К. Гавриченко, К. С. Кравцов,

27.

C. Ferrie, Phys. Rev. Lett. 113, 190404 (2014).

С. П. Кулик, Е. В. Морева, А. А. Соловьев, ЖЭТФ

28.

C. Granade, J. Combes, and D. G. Cory, New J. Phys.

140, 224 (2011).

18, 033024 (2016).

16.

F. Huszár and N. M. T. Houlsby, Phys. Rev. A 85,

29.

D. Ahn, Y.S. Teo, H. Jeong, F. Bouchard, F. Hufnagel,

052120 (2012).

E. Karimi, D. Koutny, J.

Řeháček, Z. Hradil, G. Leuchs,

17.

E. Bagan, M. A. Ballester, R. D. Gill, R. Munoz-Tapia,

and L. L. Sanchez-Soto, Phys. Rev. Lett. 122, 100404

and O. Romero-Isart, Phys. Rev. Lett. 97,

130501

(2019).

(2006).

30.

A. Uhlmann, Phys. Rev. A 62, 032307 (2000).

18.

S. S. Straupe, JETP Lett. 104, 510 (2016).

31.

K. Zyczkowski and H.-J. Sommers, J. Phys. A Math.

19.

S. T. Flammia, D. Gross, Y.-K. Liu, and J. Eisert, New

Gen. 34, 7111 (2001).

J. Phys. 14, 095022 (2012).

32.

Yu. I. Bogdanov, N. A. Bogdanova, B. I. Bantysh, and

20.

Ю. И. Богданов, ЖЭТФ 135, 1068 (2009).

Yu. A. Kuznetsov, Proc. SPIE 11022, 110222O (2019).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020