Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 9, с. 632 - 638

Иерархия времен открытых оптических квантовых систем и роль

эффективного гамильтониана при применении

приближения белого шума

А. И. Трубилко, А. М. Башаров¹⁾

Санкт-Петербургский университет Государственной противопожарной службы МЧС России, 196105 С.-Петербург, Россия

Национальный исследовательский центр “Курчатовский институт”, 123182 Москва, Россия

Кафедра математики и математических методов физики Московского физико-технического института,

141701 Долгопрудный, Россия

Поступила в редакцию 3 апреля 2020 г.

После переработки 3 апреля 2020 г.

Принята к публикации 4 апреля 2020 г.

Иерархия характерных времен естественным образом служит обоснованием необходимости перехода

от исходного “точного“’ гамильтониана открытой квантовой системы и ее окружения к приближенно-

му эффективному гамильтониану для дальнейшего использования марковского приближения и модели

дельта-коррелированного окружения открытой системы. Переход к эффективному гамильтониану в рам-

ках алгебраической теории возмущений позволяет учитывать интерференционные каналы релаксации

и своеобразную интерференцию случайных процессов, которые невозможно обнаружить и отсутствуют

при использовании приближения вращающейся волны. Показано, что в случае ансамбля одинаковых

квантовых осцилляторов своеобразная интерференция приводит к невинеровской динамике ансамбля.

DOI: 10.31857/S1234567820090104

1. Особенностью теоретического анализа оптиче-

У разработчиков новых подходов к получению

ских открытых систем является необходимость по-

кинетического уравнения при формулировке иссле-

строения эффективного гамильтониана для каждого

дуемых моделей и их теоретическом описании про-

рассматриваемого случая взаимодействия электро-

является желание применить разработанные общие

магнитных полей с квантовой системой. Этот этап

методы для получения кинетического уравнения

часто опускается. Вместо построения эффективного

(master equation) непосредственно к исходному га-

гамильтониана предполагается описание процессов

мильтониану системы, чтобы, как бы, точнее опи-

взаимодействия в приближении вращающейся волны

сать исходную систему. Такой подход также является

[1] и дальнейшее получение кинетического уравнения

весьма распространенным [9,10]. В другой классиче-

системы. Или вообще используется готовое кинети-

ской монографии [11] вообще не обсуждается про-

ческое уравнение [2, 3].

блема формулировки исходного гамильтониана для

Подход с использованием приближения враща-

последующего получения кинетического уравнения.

ющейся волны упускает из рассмотрения процессы

Но давно было замечено [12], что применительно

второго порядка по взаимодействию с широкополос-

к квантовому осциллятору, взаимодействующему с

ными квантованными полями, а также разного рода

широкополосным квантованным полем, использова-

интерференционные процессы (см., например, [4, 5] и

ние исходного и как бы точного гамильтониана при-

приведенные в работах ссылки). Типичный пример

водит к некорректному результату. Корректный ре-

широкополосного квантованного поля дает вакуум-

зультат получается при применении общих методов

ное электромагнитное поле.

теории открытых квантовых систем не к исходному

Использование готового кинетического уравне-

гамильтониану осциллятора, взаимодействующего с

ния часто выводит исследователя за рамки приме-

квантованным широкополосным полем, а к гамиль-

нимости этого уравнения, например, при рассмотре-

тониану в приближении вращающейся волны.

нии дисперсионных пределов. Анализ таких ситуа-

Главным отличием приближения вращающейся

ций приведен в работах [6-8].

волны является отсутствие в операторе взаимодей-

ствия быстроменяющихся во времени слагаемых, ес-

¹⁾e-mail: basharov@gmail.com

ли его рассматривать в представлении взаимодей-

632

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

Иерархия времен открытых оптических квантовых систем и роль эффективного гамильтониана...

633

ствия. Природу и важность этого факта не рассмат-

рим о времени корреляции, причем должно выпол-

ривали в контексте задач теории открытых кванто-

няться условие τav ≫ τcor. При переходе к реаль-

вых систем. В упомянутых монографиях [9, 10] раз-

ным системам, где все времена конечны, соотнесение

работанные новые методы получения кинетическо-

упомянутых величин требует детализации и учета

го уравнения для открытых квантовых систем при-

при построении модели. Поскольку наряду со вре-

менялись как к гамильтониану в приближении вра-

менем корреляции термостата τ_cor есть характерный

щающейся волны, так и к исходному гамильтониа-

и очень малый масштаб 10^-15 c изменения быстро-

ну взаимодействия, содержащему в представлении

меняющихся слагаемых гамильтониана открытой си-

взаимодействия как медленно меняющиеся функции

стемы, то время корреляции термостата не может

времени, так и быстро меняющиеся. Но каких-либо

быть порядка 10^-15 c - оно его существенно превос-

общих выводов из сравнения результатов примене-

ходит, τ_cor ≫ 10^-15 c, поскольку здесь идет реальный

ния общих подходов к различным гамильтонианам

и достаточно инерционный процесс межчастичных

сделано не было.

взаимодействий, приводящий к установлению равно-

Следует заметить, что упомянутые работы ис-

весия внутри самого термостата. Кроме того, долж-

пользовали наиболее эффективное приближение в

но быть выполнено условие γ^-1, τ_d ≫ τ_av ≫ τ_cor ≫

теории открытых квантовых систем - марковское

≫ 10^-15 c, где τ_d - характерное время динамики от-

приближение. В рамках марковского подхода все об-

крытой системы, γ^-1 - характерное время ее релак-

щие методы теории открытых квантовых систем, так

сационной динамики. В реальной физической ситу-

или иначе, используют представления о белом шу-

ации открытой квантовой оптической системы это

ме - квантовом или классическом случайном про-

невозможно! Поэтому, чтобы применять какие-либо

цессе с нулевым временем корреляции. Общие осно-

общие методы для получения кинетического урав-

вания здесь лежат в “вездесущности” центральных

нения рассматриваемой открытой системы, основан-

предельных теорем.

ные на представлении о белом шуме, необходимо,

Впервые представления о белом шуме были при-

прежде всего, построить модель рассматриваемой

менены Ланжевеном [13] в теории броуновского дви-

системы и избавиться от быстро меняющихся сла-

жения. Динамика броуновской частицы определя-

гаемых в гамильтониане. Речь идет о быстроменяю-

лась масштабом времени, задаваемым коэффициен-

щихся слагаемых в представлении взаимодействия.

том вязкого трения и размерами частицы, тогда как

Таким образом, необходима процедура, состоящая в

время корреляции случайной силы, введенной в рас-

построении модели и ее гамильтониана без быстро-

смотрение Ланжевеном, было существенно меньше и

меняющихся слагаемых в представлении взаимодей-

могло быть положено равным нулю. Это позволило

ствия. Это мы называем построением эффективного

впервые эффективно применить представления о бе-

гамильтониана открытой системы, т.е. по заданному

лом шуме и получить результаты, согласующиеся с

исходному гамильтониану необходимо построить эф-

другими теориями.

фективный гамильтониан и уже для него развивать

марковское приближение и представления о белом

2. В открытых оптических квантовых системах

шуме. Если в эффективном гамильтониане не бу-

существуют характерные времена, которые, в боль-

шинстве случаев, ничтожно малы и никак не могут

дет быстроменяющихся во времени слагаемых, то бу-

дет оправданным полагать τ_cor = 0, поскольку в от-

рассматриваться больше времени корреляции кван-

тового белого шума. Но время корреляции кван-

сутствии быстроменяющихся во времени слагаемых

условие γ^-1, τ_d ≫ τ_av ≫ τ_cor вполне можно удовле-

тового белого шума равно нулю! Таким временем

в теории открытых квантовых оптических систем

творить. К такой модельной системе можно успеш-

но применять приближение белого шума! Заметим,

является, например, время “оборота” электрона во-

что такой анализ теории открытых оптических кван-

круг ядра. В оптике это время порядка 10^-15 c. Бу-

товых систем отсутствует в известных монографиях

дем рассматривать эту величину как имя нарица-

[9-11].

тельное, говоря о быстрых процессах, связанных со

структурой рассматриваемых объектов. Если взаи-

3. Под эффективным гамильтонианом кванто-

модействие с окружением рассматривать в марков-

вой системы имеют в виду различные представле-

ском приближении, то формальное определение мар-

ния. Помимо простого отбрасывания “неудобных”

ковского процесса взаимодействия сводится к ап-

слагаемых, широко используют различные преоб-

проксимации термостата математическим белым шу-

разования. В квантовой теории большинство таких

мом с нулевым временем корреляции. При этом еще

преобразований используют унитарную симметрию

есть характерное время усреднения τ_av, если гово-

квантовой теории. Так с самого зарождения кван-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

634

А. И. Трубилко, А. М. Башаров

товой механики - в работе ван Флека [14] унитар-

Это же касается и формулировки марковского

ное преобразование стало применяться для исключе-

приближения.

ний неудобных слагаемых. А в работах [15-17] раз-

Чтобы удобнее было отделять быстроменяющи-

вит метод непрерывного унитарного преобразования

еся слагаемые во времени от медленно меняющих-

гамильтониана, приводящего к его диагонализации.

ся, необходимо перейти в представление взаимодей-

Подход с использованием диагонализации исходного

ствия, в котором остаются только операторы взаимо-

гамильтониана известен как глобальный подход [18]

действия между элементами системы V_S (t) и между

и во многих работах сравнивают результаты, полу-

системой и окружением системы V_S-F (t):

ченные в рамках глобального подхода и подхода, ос-

нованного на тех или иных приближения. В послед-

iℏ

|Ψ^S+F (t)〉 = (V_S-F (t) + V_S (t))|Ψ^S+F (t)〉.

(1)

нем случае говорят о локальном подходе. Стоит от-

метить, что при использовании марковского прибли-

Здесь явное написание аргумента времени служит

жения глобальный подход в оптических квантовых

указанием на использование представления взаимо-

системах зачастую является избыточным и удобнее

действия.

пользоваться локальным подходом. Реальная суть

Важно отметить, что часто взаимодействие меж-

локального подхода в свете отмеченной иерархии ха-

ду элементами системы является следствием вза-

рактерных времен системы должна состоять, прежде

имодействия между системой и окружением. При-

всего, в исключении быстроменяющихся слагаемых в

мером здесь служит диполь-дипольное взаимодей-

представлении взаимодействия.

ствие между атомами атомного ансамбля, рассмат-

риваемого как открытая система в электромагнит-

Еще Крыловым, Боголюбовым и Митропольским

ном широкополосном окружении [31]. Поэтому одна

[19, 20] разработан метод усреднения дифференци-

из идей глобального подхода к открытым системам

альных уравнений, содержащих слагаемые с разны-

[32] о необходимости диагонализации гамильтониана

ми масштабами изменения во времени. В моногра-

открытой системы перед дальнейшим ее изучением,

фии [21] этот метод применен к дифференциальным

вообще говоря, в открытых оптических квантовых

уравнениям, описывающим динамику квантовых оп-

системах не актуальна. При этом мнение об “ущерб-

тических систем. В монографии [22] изложен алгеб-

ности” локального подхода находит опору в ошибоч-

раический вариант метода Крылова-Боголюбова-

ных выводах, подобных [33], где вместо использова-

Митропольского, а в работе [23] для исключения

ния алгебраической теории возмущений и анализа

быстроменяющихся во времени слагаемых предложе-

характерных времен задачи приближение вращаю-

но использовать унитарное преобразование исходно-

щейся волны использовано за рамками его примени-

го гамильтониана. Этот подход отличается от других

мости.

подходов [24-28] с использованием унитарной сим-

В силу унитарной симметрии квантовой теории

метрии квантовой теории (сравнение двух подходов

перейдем от исходных векторов и операторов к пре-

можно найти в [29]). Использование унитарной сим-

образованным по формулам

метрии квантовой теории в построении эффективно-

го гамильтониана с целью исключения переменных,

|Ψ(t)〉 = T (t)|Ψ(t)〉, T (t) = e^-iS(t), S⁺(t) = S(t).

быстроменяющихся во времени в представлении вза-

Преобразованный вектор будет удовлетворять урав-

имодействия, приводит к формулировке оригиналь-

ной теории возмущений, которую естественно назы-

нению Шредингера iℏ^d|Ψ(t)〉dt = H(t)|Ψ(t)〉 с преобра-

вать алгебраической теорией возмущений (аналогич-

зованным гамильтонианом

но [22]). Эту теорию удобно применять к квантовым

H (t) = T (t)V (t)T⁺(t) - iℏT (t)

T⁺(t),

открытым системам [4,30] и в нашем случае такое

применение состоит в следующем.

V (t) = V_S-F (t) + V_S (t).

В расширенном пространстве состояний откры-

В дальнейшем удобно использовать формальное

той системы и квантованного электромагнитного

решение уравнение Шредингера для оператора эво-

поля исходный гамильтониан H^Ini определяет

люции U(t, t₀) c преобразованным гамильтонианом,

уравнение Шредингера для волнового вектора:

которое выражается с помощью Т-оператора

iℏ^ddt|Ψ^S+F 〉

= H^Ini|Ψ^S+F 〉. Предположения о ха-

рактере начального состояния |Ψ^S+F 〉 при t = 0 в

(

)∫t

(

)₂

алгебраической теории возмущений делаются после

U (t, t₀) = I +

H (t^′)dt^′ +

ℏ

построения эффективного гамильтониана задачи.

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

Иерархия времен открытых оптических квантовых систем и роль эффективного гамильтониана...

635





∫^t∫

t^′

∫

H^Eff(t) =

H (1,0)(t)+ H(0,1)(t)+ H(1,1)(t)+ H(2,0)(t)+. . .

−

H(t^′)H(t^′′)dt^′dt^′′+. . . =T exp-

H (t′)dt′,

должны остаться только величины, медленно меняю-

ℏ

t0 t0

щиеся во времени [4, 23, 34]. Это условие однозначно

определяет (в предположении адиабатического

|Ψ(t)〉 = U(t, t₀)|Ψ(₀)〉.

включения полей) величины S^(i,j) и накладывает

Алгебраическая теория возмущений основана на

ограничение на спектр мод широкополосных полей,

разложении генераторов преобразования во време-

учитываемых в эффективном гамильтониане H^Eff(t)

ни

H (t) и рассматриваемого унитарного преобразо-

[4, 5, 34-36]. Тогда величины S^(i,j) вбирают в себя все

вания S(t) в ряд по константам взаимодействий

быстро меняющиеся во времени величины и можно

упростить выражения (2), представив их в виде

S(t) = S^(1,0)(t) + S^(0,1)(t) + S^(2,0)(t) + . . . ,

H (1,0)_(t)=V ′

(t),

H (0,1)_(t)=V ′

(t),

S-F

H (t) =

H (1,0)(t)+ H(0,1)(t)+ H(1,1)_(t)+

+ H^(2,0)(t) +

H (0,2)(t)+ . . .

H (1,1)_(t)=-

[S^(1,0)(t), V^′′S(t)]^′ -

[S^(0,1)(t), V^′′S-F (t)]^′,

Левый индекс каждой пары верхних индексов

H (2,0)_(t)=-

[S^(1,0)(t), V^′′S-F (t)]^′,

(3)

описывает порядок слагаемого по константе связи

γ_S-F между открытой системой и окружением, а

правый индекс - порядок по константе g_S меж-

H (0,2)_(t)=-

[S^(0,1)(t), V^′′S(t)]^′

ду элементами системы. Реально порядок взаимо-

действия с полями грубо определяется отношением

энергии взаимодействия между полями к энергии

Одним штрихом обозначено выражение, пред-

кванта осциллятора, а параметров взаимодействия

ставленное в виде суммы слагаемых, из которой ис-

может быть несколько в силу возможности участия

ключены все слагаемые, содержащие быстро меняю-

нескольких полей и/или различных элементов систе-

щиеся функции времени. Двумя штрихами отмечено

мы.

выражение, после отбрасывания из его составляю-

С учетом формулы Бейкера-Хаусдорфа (см., на-

щих всех медленно меняющихся слагаемых.

пример, [27, 34]) нетрудно получить

Подчеркнем, что работ, в которых использовался

подход на основе формул Бейкера-Хаусдорфа, слиш-

H (1,0)(t)= ℏdS(1,0)(t)

+ V_S-F(t),

ком много, чтобы их перечислять, но в них были

дальше применены другие принципы отбора слага-

емых (в дополнение к [25-27], см. [37-42]). При этом

H (0,1)(t)= ℏdS(0,1)(t)

+ V_S(t),

в качестве основы для отбора слагаемых в эффектив-

ный гамильтониан нигде не рассматривалась иерар-

H (1,1)(t)= ℏdS(1,1)(t)

[S^(1,0)(t), V_S (t)] -

хия характерных времен задачи, как и требование

отсутствия быстроменяющихся во времени слагае-

[S^(1,0)(t),

H (0,1)_(t)]-

[S^(0,1)(t), V_S-F (t)] -

мых в представлении взаимодействия. Во многих ра-

ботах просто исключалось линейное по константе

связи слагаемое при рассмотрении многофотонных

−

[S^(0,1)(t),

H (1,0)_(t)],

(2)

процессов [38-40].

Слагаемые

H (1,0)(t) и

H (0,1)(t) в случае однофо-

H (2,0)(t)= ℏdS(2,0)(t)

тонных резонансов [32] отвечают приближению вра-

щающейся волны, т.е. эффективный гамильтониан,

[S^(1,0)(t), V_S-F (t)] -

[S^(1,0)(t),

H (1,0)_(t)],

ограниченный этими слагаемыми,

Формулы (2) могут лежать в основе разных

H (1,0)(t)+ H(0,1)_(t)≡HRW_(t)

H^Eff(t) =

(4)

алгоритмов построения эффективного гамиль-

тониана. Алгебраическая теория возмущений

и есть используемый в многочисленных подходах к

следует идеям метода усреднения Крылова-

теории открытых систем.

Боголюбова-Митропольского и определяет такой

Однако, если в качестве эффективного гамильто-

отбор слагаемых в формулах

(2)

- в представ-

ниана выбрать, например, такой

H (1,0)_(t),

лении взаимодействия в слагаемых

H (0,1)(t) и др. эффективного гамильтониана

H^Eff(t) =

H (1,0)(t)+ H(0,1)(t)+ H(1,1)_(t),

(5)

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

636

А. И. Трубилко, А. М. Башаров

то он будет описывать новый канал взаимодействия

которых лежат в различных областях спектра, кото-

и релаксации открытой системы.

рые далеки друг от друга и не перекрываются между

4. Обсудим типичный пример, описываемый вза-

собой.

имодействием (5) - один осциллятор связан с други-

Тот же канал будет и в случае двухфотонной свя-

ми, которые в свою очередь взаимодействуют с об-

зи между обсуждаемыми осцилляторами [7], одна-

щим термостатом. Операторы взаимодействий здесь

ко обычно, при обсуждении многоквантовых взаимо-

такие

действий внутри системы такие процессы остаются

V_S-F (t) =

незамеченными (см., например, [40, 41]).

Алгебраическая теория возмущений позволя-

∑∑

ет учесть и следующее слагаемое

H (2,0)(t) и/или

γ_S-F,j(c_je-iωjt + c^+jeiωjt)(a_ωe^-iωt + a^+ωe^iωt),

H (0,2)(t). Пусть теперь в открытой системе отсут-

j=1

ствует осциллятор s и открытая система состоит из

V_S(t) =

N одинаковых осцилляторов, операторы рождения

и уничтожения которых c⁺ и c. Эти осцилляторы

∑∑

g_sj(c_je-iωjt + c^+jeiωjt)(c_se-iωst + c^+seiωst).

взаимодействуют с общим термостатным полем

j=1

окружения, но совсем не взаимодействуют между

собой. Такая модельная система может описывать

Здесь частоты осцилляторов и их бозонные операто-

пучок световодов, многоканальный направленный

ры рождения и уничтожения ω_j , c^+j, c_j , j = 1, . . . , N.

ответвитель [43] и т.п. Будем говорить об ансам-

Введен индекс s для выделенного осциллятора, ко-

бле резонаторов, связанных на зеркале с общим

торый не взаимодействует напрямую с термостатом.

электромагнитным полем окружения. Тогда

Подчеркнем, что осциллятор s есть элемент откры-

той системы и не взаимодействует с окружением от-

H^Eff(t) =

H (1)(t)+ H(2)_(t).

(6)

крытой системы, т.е. в начальном операторе взаимо-

Здесь возникает своеобразная интерференция, в ко-

действия отсутствует слагаемое, которое описывает

торой конкурируют процессы ухода фотона из резо-

его взаимодействие с окружением открытой систе-

натора в окружающее поле и процесс переизлучения

мы. Будем считать, что все другие осцилляторы оди-

фотона - аналог высокочастного штарк-эффекта в

наковые ω_j = ω_c, j = 1, . . . , N, и вместе с выделен-

атомах, - когда число фотонов в резонаторе не ме-

ным осциллятором образуют открытую систему. Эта

няется. Общий оператор взаимодействия, после пе-

ситуация отличается от двойственной ситуации, в ко-

ренормировки частоты и формулировки марковско-

торой “другие” осцилляторы различны и моделиру-

го приближения [1,4,34], дается выражением

ют термостатное окружение первого осциллятора.

∑

Пусть только один осциллятор рассматривается

H (1)= γ

(Ca^+ωei(ω-ωc)t + C⁺a_ωe-i(ω-ωc)t),

в качестве “других”, N = 1. Тогда возможны такие

∑

характерные случаи. Случай “изолированного” выде-

H (2)(t)= γ⁽²⁾N

a^+ωa_ω′ ei(ω-ω′)t.

(7)

ленного осциллятора. У этого осциллятора появляет-

ω,ω^′

ся свой канал релаксации [5], которого в приближе-

Здесь γ - константа связи осциллятора открытой си-

нии вращающейся волны не существует и поэтому в

стемы с полем общего термостата, γ⁽²⁾ ∼ γ². При

принципе невозможно в общепринятом приближении

этом C = c ⊗ . . . ⊗ c

- операторы уничтожения ос-

описать. С точностью до слагаемых первого поряд-

}

ка (приближение вращающейся волны) осцилляторы

цилляторов действуют в разных пространствах со-

ведут себя как независимые, поскольку в (4)

стояний каждого осциллятора (резонатора).

Уравнение Шредингера iℏ^d|Ψ(t)〉dt = H^Eff(t)|Ψ(t)〉 с

H (1,0)_(t)=V ′

(t),

H (0,1)_(t)=V ′

(t) = 0.

S-F

гамильтонианом (6), (7) математически не определе-

но, однако приобретает корректный статус как кван-

Однако во втором порядке имеем в (5)

товое стохастическое дифференциальное уравнение

[1, 4, 34] в случае дельта коррелированности фотонов

H (1,1)_(t)=-

[S^(1,0(t), V^′′S(t)]^′ -

[S^(0,1)(t), V^′′S-F (t)]^′.

окружения 〈a_ωa^+ω′〉 = δ(ω - ω^′). При этом стохасти-

ческое дифференциальное уравнение для оператора

Это слагаемое определяет прямой распад “изолиро-

эволюции U(t) ≡ U(t, t₀) имеет стандартный общий

ванного” осциллятора в термостат, с которым связан

вид [4, 11]

другой осциллятор. При этом происходит взаимодей-

ствие осцилляторов с квантами термостата, частоты

dU(t) = -H^Eff-S (t)dtU(t) +

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

Иерархия времен открытых оптических квантовых систем и роль эффективного гамильтониана...

637

(

Y eΛ + iY_Λ

считывающим свойством и “встраивается” в процес-

+ Y⁺

Y dt+ Y⁺

^Λ dB(t) +

(Y_Λ)²

Y_Λ

сы первого порядка. Это и нашло отражение в имен-

)

но такой перенормировке константы γ.

YeΛ

Y dB⁺(t) + Y ^eΛdΛ(t) U(t).

(8)

5. Таким образом, алгебраическая теория возму-

Y_Λ

щений дает путь решения проблемы, связанной с со-

Здесь Y

= γC, Y_Λ = γ⁽²⁾N, Y^eΛ = e-iYΛ - 1. Вве-

отношением времени корреляции случайных полей,

дены стандартные операторы, определяющее кван-

моделирующих термостат, и наличием быстропере-

товое стохастическое уравнение невинеровского типа

менных слагаемых в оптических системах, характер-

[43]:

ное время изменения которых много меньше вре-

мени корреляции шумовых полей. При этом возни-

∫

кают новые аспекты, которые не учитывались ра-

B(t) = dt^′a(t^′), Λ(t) = dt^′a⁺(t^′)a(t^′),

нее без применения алгебраической теории возмуще-

ний. Важным следствием переосмысления уравнения

∫∞

Шредингера как квантового стохастического уравне-

a(t) =

√

dωe-i(ω-ωc)ta_ω,

ния является необходимость учета слагаемых более

2π

высокого порядка в открытых оптических системах,

-∞

поскольку именно они ответственны за своеобраз-

а также их дифференциалы Ито, удовлетворяющие

ный новый тип интерференции. Наконец, квантовое

алгебре Хадсона-Партасорати [43]:

стохастическое уравнение (8), которое получается в

рамках алгебраической теории возмущений, являет-

dΛ(t) = Λ(t+ dt) - Λ(t), dB(t) = B(t+ dt) - B(t),

ся универсальным [4, 11], управляется всеми основ-

ными квантовыми случайными процессами - рож-

dΛ(t)dΛ(t) = dΛ(t), dB(t)dB⁺(t) = dt,

дающим, уничтожающим и считывающим [4, 44-51],

dΛ(t)dB⁺(t) = dB⁺(t), dB(t)dΛ(t) = dB(t),

чего нет в подходах [1, 9, 10].

dΛ(t)dB(t) = dΛ(t)dt = dB⁺(t)dΛ(t) =

Обсуждая иерархию характерных времен откры-

той оптической системы не следует забывать факты,

= dB⁺(t)dt = dB(t)dt = dtdt = 0.

установленные еще в 1950-х гг. [52, 53]. Марковское

Черта над символом отмечает его обезразмеренный

приближение приводит к экспоненциальной динами-

вариант, например, t= ω_ct.

ке открытой системы, которая не может быть “веч-

Зависимость от N коэффициента Y_Λ = γ⁽²⁾N пе-

ной”. За масштабом времен, много больших γ^-1, на-

ред дифференциалом Ито считывающего процесса

ступает царство редких событий, которые представ-

dΛ(t) и считывающее свойство dB(t)dΛ(t) = dB(t)

ленная теория неспособна пока описывать.

обеспечивают рост влияния слагаемых второго по-

Работа выполнена при частичной финансовой

рядка малости с ростом N. Тогда константа связи γ

поддержке Российского фонда фундаментальных ис-

перенормируется, как и в случае атомной открытой

следований (грант # 19-02-00234а).

системы [45-48], и в обычных ситуациях все процес-

сы в рассматриваемой системе могут быть описаны

1. C. W. Gardiner and P. Zoller, Quantum noise, Springer-

обычными формулами с заменой γ → 2γ1-cos(γ(2)N)

(γ⁽²⁾N)²

Verlag, Berlin (2000, 2004).

Здесь роль такой перенормировки зависит от числа

2. G. Lindblad, Comm. Math. Phys. 48, 119 (1976).

N осцилляторов в ансамбле. Возможна такая иде-

ализированная ситуация, когда γ⁽²⁾N = 2π и про-

3. V. Gorini, A. Frigerio, М. Verri, A. Kossakowski,

E. C. G. Sudarshan, Rep. Math. Phys. 13, 149 (1978).

цессы второго порядка полностью подавят процес-

4. А. М. Башаров, ЖЭТФ 142, 419 (2012).

сы первого порядка! Однако в оценке реальной ситу-

ации необходимо помнить о сделанном марковском

5. А. И. Трубилко, А. М. Башаров, ЖЭТФ 157,

(2020).

приближении и процедуре введения квантовых слу-

чайных процессов.

6. A. M. Basharov, V. N. Gorbachev, and A. A. Rodichkina,

Выявленная перенормировка константы релакса-

Phys. Rev. A 74, 042313 (2006).

ции открытой системы есть результат отмеченной

7. А. И. Трубилко, А. М. Башаров, Письма в ЖЭТФ

выше своеобразной интерференции, в которой хоть

110, 505 (2019).

и конкурируют, казалось бы, несоразмерные процес-

8. A. M. Basharov, J. Phys.: Conf. Ser. 613, 012007 (2015).

сы первого и второго порядка алгебраической теории

9. L. Accardi, Y. G. Lu, and I. Volovich, Quantum theory

возмущений, но процесс второго порядка обладает

and its stochastic limit, Springer-Verlag, Berlin (2002).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

638

А. И. Трубилко, А. М. Башаров

10.

H.-P. Breuer and F. Petruccione, Theory of Open

31.

C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc, and G. Gryn-

Quantum Systems, OUP, Oxford (2002).

berg, Photons and atoms. Introduction to quantum

11.

А.С. Холево, Квантовая вероятность и кванто-

electrodynamics, Wiley, N.Y. (1997).

вая статистика. Итоги науки и техн. Совр. про-

32.

P. P. Hofer, M. Perarnau-Llobet, L. D. M. Miranda,

бл. математики. Фунд. Направления, ВИНИТИ 83,

G. Haack, R. Silva, J. B. Brask, and N. Brunner, New

3 (1991).

J. Phys. 19, 123037 (2017).

12.

D. F. Walls, Z. Phys. 234, 231 (1970).

33.

A. Levy and R. Kozloff, EPL 107, 20004 (2014).

13.

P. Langevin, C.R. Acad. Sci. (Paris) 146, 530 (1908).

34.

A. I. Maimistov and A. M. Basharov, Nonlinear optical

14.

J. H. van Vleck, Phys. Rev. 33, 467 (1929).

waves, Kluwer Academic, Dordrecht (1999).

15.

F. Wegner, Ann. Phys. 3, 77 (1994).

35.

А. М. Башаров, ЖЭТФ 102, 1126 (1992).

16.

S. D. Glazek and K. G. Wilson, Phys. Rev. D 48, 5863

36.

А. И. Трубилко, А. М. Башаров, ЖЭТФ 156, 407

(1993).

(2019).

17.

S. D. Glazek and K. G. Wilson, Phys. Rev. D 49, 4214

37.

H. Frohlich, H. Pelzer, and S. Zienau, Philos. Mag. 44,

(1994).

329 (1953).

18.

A.E. Teretenkov, Infin. Dimens. Anal. Quantum

38.

M. Takatsuji, Phys. Rev. 11, 619 (1975).

Probab. Relat. Top. 22(04), 1930001 (2019).

39.

С. Д. Ганичев, С. А. Емельянов, Е. Л. Ивченко,

19.

Н. М. Крылов, Н.Н. Боголюбов, Введение в нелиней-

Е. Ю. Перлин, И. Д. Ярошецкий, Письма в ЖЭТФ

ную механику, РХД, М. (2004) (переиздание книги

37, 479 (1983).

1937 г.).

40.

С. Д. Ганичев, С. А. Емельянов, Е. Л. Ивченко,

20.

Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, Асимпто-

Е. Ю. Перлин, Я. В. Терентьев, А. В. Федоров,

тические методы в теории нелинейных колебаний,

И. Д. Ярошецкий, ЖЭТФ 91, 1233 (1986).

ГИФМЛ, М. (1958).

41.

R. Ramesh and M. S. Krishnan, J. Chem. Phys. 114,

21.

В. С. Бутылкин, А. Е. Каплан, Ю. Г. Хронопуло,

5967 (2001).

Е. И. Якубович, Резонансные взаимодействия света

42.

G.V. Varada and G. S. Agarwal, Phys. Rev. A 45, 6721

с веществом, Наука, М. (1977).

(1992).

22.

V.N. Bogaevski and A. Povzner, Algebraic Methods in

43.

G. Agrawal, Applications of Nonlinear Fiber Optics,

Nonlinear Perturbation Theory, Springer, Berlin (1991).

Academic Press, N.Y. (2008).

23.

А.М. Башаров, А.И. Маймистов, Э. А. Маныкин,

44.

R. L. Hudson and K. R. Parthasarathy, Comm. Math.

ЖЭТФ 84, 487 (1983).

Phys. 93, 301 (1984).

24.

H. Frohlich, Phys. Rev. 79, 845 (1950).

45.

А. М. Башаров, Письма в ЖЭТФ 94, 28 (2011).

25.

W. Heitler, The quantum theory of radiation, Clarendon

46.

A. M. Basharov, Phys. Rev. A 84, 013801 (2011).

Press, Oxford (1954).

47.

А. М. Башаров, Письма в ЖЭТФ 107, 151 (2018).

26.

Г. Л. Бир, Г. Е. Пикус, Симметрия и деформацион-

48.

А. И. Трубилко, А. М. Башаров, Письма в ЖЭТФ

ные эффекты в полупроводниках, Наука, М. (1972).

107, 555 (2018).

27.

M. Wagner, Unitary transformations in solid state

49.

В. П. Белавкин, УМН 47, 47 (1992).

physics, North-Holland, Amsterdam (1986).

50.

A. M. Chebotarev, Lectures on quantum probability,

28.

H. Haas, D. Puzzuoli, F. Zhang, and D. G. Cory, J. Phys.

21, 103011 (2019).

Sociedad Mathematica Mexicana, Mexico (2000).

29.

А.М. Башаров, Оптика и спектроскопия 128, 186

51.

K. R. Parthasarathy, An Introduction to Quantum

(2020).

Stochastic Calculus, Birkhauser, Basel (1992).

30.

А.М. Башаров, Оптика и спектроскопия 116, 532

52.

Л. A. Халфин, ДАН СССР 115, 277 (1957).

(2014).

53.

Л. A. Халфин, ЖЭТФ 33, 1371 (1958).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020