Письма в ЖЭТФ, том 111, вып. 10, с. 653 - 667

Формирование и затухание вихревого движения

на поверхности жидкости

(Миниобзор)

С. В. Филатов, А. А. Левченко¹⁾, Л. П. Межов-Деглин

Институт физики твердого тела РАН, 142432 Черноголовка, Россия

Поступила в редакцию 13 апреля 2020 г.

После переработки 13 апреля 2020 г.

Принята к публикации 14 апреля 2020 г.

В этом кратком обзоре представлены результаты экспериментальных исследований, которые выпол-

нялись в рамках проекта Российского научного фонда # 17-01525. Изучались процессы формирования

и затухания вихревых структур на поверхности воды. Вихревые движения в жидкости возбуждались

гравитационными волнами, распространяющимися на поверхности под углом друг к другу. Показано,

что процесс формирования и затухания завихренности на поверхности может быть описан суммой двух

механизмов: стоксовым увлечением и генерацией соленоидального течения взаимодействующими меж-

ду собой нелинейными поверхностными волнами. Установлено, что после включения (или выключения)

волновой накачки на временах, меньших времени вязкого затухания волны, процессы формирования и

затухания вихревых структур обусловлены изменениями в волновой системе. На временах, много больше

времени вязкого затухания, процесс формирования обусловлен только нелинейным механизмом генера-

ции завихренности, а процесс затухания обусловлен вязкими потерями. В промежуточном временном

интервале интенсивное взаимодействие вихрей приводит к перераспределению энергии между разными

масштабами.

DOI: 10.31857/S1234567820100031

Введение. Волны и вихри играют определяю-

компьютерные программы моделирования процессов

щую роль в динамике атмосферы и океанов на Земле

взаимодействия нелинейных систем.

[1-3]. В этих системах происходит, в основном, по-

Таким образом, изучение механизмов взаимодей-

глощение солнечной энергии и последующее ее пере-

ствия волновых и вихревых систем важно и актуаль-

распределение по поверхности планеты. Две систе-

но для понимания глобальных процессов в атмосфе-

мы непрерывно взаимодействуют друг с другом: ат-

ре и в океане.

мосфера получает энергию от более теплых вод и

Впервые генерацию вихревого движения на по-

суши, энергия ветра разгоняет волны на поверхно-

верхности воды нелинейными волнами наблюдали

сти, волны на поверхности, возбуждаемые ветрами

при изучении параметрической неустойчивости в со-

в атмосфере, генерируют вихри в океане, которые в

суде, совершающем вертикальные колебания [5] (фа-

свою очередь изменяют распределение температур-

радеевская неустойчивость [6]). Совсем недавно [7, 8]

ного поля и влияют на формирование ветра. Кро-

мы обнаружили новый механизм генерации вихрей

ме этого, система волн на поверхности воды взаимо-

нелинейными волнами на поверхности воды: взаимо-

действует с вихревым движением на поверхности и в

действие двух нелинейных взаимно перпендикуляр-

объеме океанов. Можно сказать, что именно от состо-

ных волн одинаковой частоты приводит к форми-

яния этих двух глобальных систем зависят условия

рованию на поверхности жидкости квадратной ре-

жизни и деятельности человека.

шетки из вихрей с периодом, равным длине волны

В теории поведение этих двух сложных нели-

возбуждения [8,9]. В дальнейшем было эксперимен-

нейных систем описывают в рамках статистического

тально показано, что генерация вихрей обусловлена

подхода. В настоящее время развиты общие методы,

взаимодействием нелинейных волн, распространяю-

описывающие механизмы формирования турбулент-

щихся под углом друг к другу, так что генерация

ных энергетических каскадов, как в системе нели-

вихрей не является уникальной особенностью волн

нейных волн, так и в системе вихрей [1-4], развиты

Фарадея, как предполагалось в работе [5].

Каскад энергии в системе вихрей, формирование

¹⁾e-mail: levch@issp.ac.ru

которого наблюдали в работах [10, 11], был похож

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

653

654

С. В. Филатов, А. А. Левченко, Л. П. Межов-Деглин

на обратный каскад, присущий двумерным системам

В случае волн, бегущих по поверхности, завих-

[3, 4, 12, 13]. Эти результаты были получены на глу-

ренность не зависит от разности фаз ψ и описывается

бокой воде, и скорости жидкости существенно зави-

выражением

сели от всех трех координат. Однако формирование

√

обратного турбулентного каскада энергии, в резуль-

Ω = (1 +

2)H₁H₂ωk² sin(kx - ky).

(3)

тате которого на поверхности формируются крупно-

Как видно из выражений (2) и (3), завихренность

масштабные вихри, невозможно объяснить в рамках

на поверхности определяется суммой двух членов

трехмерного подхода. В работах [14, 15] мы показали,

[10-16]. Первый член обусловлен стоксовым увлече-

что подобные крупномасштабные вихри формируют-

нием, а за второй ответственно нелинейное взаимо-

ся в результате нелинейного взаимодействия волн,

действие волн (эйлерово течение).

которые возникают в результате распада волны на

Процесс формирования вихревого движения вол-

частоте накачки. Энергия, которая поступает в про-

нами может существенно измениться при возникно-

цессе волновой накачки, переносится в большие мас-

вении примесной пленки на исходно чистой поверх-

штабы по системе волн, и далее она передается в вих-

ности жидкости [17, 18], например, при конденсации

ревое движение.

на поверхности воды примесных паров из окружаю-

В настоящее время работы по изучению вих-

щей атмосферы. Поэтому при проведении измерений

ревых течений, порождаемых поверхностными вол-

для правильного учета влияния объемной вязкости

нами, находятся в самом начале, поэтому имеет-

на процесс генерации завихренности нелинейными

ся большое число задач, которые только предстоит

волнами и последующее затухание вихрей при вы-

решить. Наши исследования направлены на экспе-

ключении волновой накачки необходимо тщательно

риментальное исследование некоторых из этих за-

контролировать состояние поверхности жидкости.

дач: во-первых - формирование вихревого движе-

При учете влияния тонкой сжимаемой поверх-

ния нелинейными поверхностными волнами, и во-

ностной пленки установившееся распределение за-

вторых - затухание вихрей после выключения накач-

вихренности на поверхности Ω, которая формируется

ки.

при взаимодействии двух перпендикулярных волн,

Теоретическая модель, описывающая формирова-

можно описать выражением [18]:

ние вихрей волнами, была предложена в [8], где было

[

]

показано, что за генерацию завихренности на поверх-

√

ε²

Ω= 1+

√

Λ,

(4)

ности жидкости ответственно нелинейное взаимодей-

2γ(ε² - ε

2 + 1)

ствие поверхностных волн. Результаты прямых из-

мерений [9] подтвердили предсказанную теорией за-

где

висимость завихренности от амплитуды и разности

Λ = -H₁H₂ωk2 sin(ψ)sin(kx)sin(ky)

(5)

фаз для волн, распространяющихся вдоль поверхно-

√

и γ =

νk²/ω ≪ 1 - безразмерный параметр, ха-

сти под углом в 90^◦. Вертикальная завихренность на

рактеризующий слабое затухание волны на чистой

поверхности жидкости Ω определяется как

поверхности жидкости. Здесь ν - коэффициент ки-

нематической вязкости жидкости, ε - параметр, учи-

∂V_x

∂V_y

тывающий наличие вязких потерь в пленке. В отсут-

Ω=

(1)

∂y

∂x

ствие пленки ε = 0 и формула (4) переходит в (2).

После включения волновой накачки процесс фор-

мирования эйлеровой завихренности Ω_E на поверх-

где V_x и V_y - компоненты скорости жидкости.

ности жидкости [18] описывается выражением (6)

В соответствии с предсказаниями теории [8] в слу-

[

]

чае, когда на свободной поверхности жидкости воз-

√

ε²

Ω_E(t) =

√

Λ × Erf(

2νk²t),

буждаются стоячие волны на частоте ω в двух взаим-

2γ(ε² - ε

2 + 1)

но перпендикулярных направлениях, завихренность

(6)

Ω, которую рассчитывают по трекам декорирующих

∫

частиц, локализованных в тонком слое под поверхно-

Erf(x) =

dζe-ζ2 .

√π

стью, зависит от амплитуды волн H₁ и H₂ , волнового

вектора κ, и разности фаз между волнами ψ:

Что существенно для эксперимента, на коротких вре-

менах, t ≪ τ_vis, эйлерова компонента завихренности

√

Ω = -(1 +

2) sinψH₁H₂ωk² sin(kx)sin(ky).

(2)

должна возрастать в среднем по корневому закону,

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

Формирование и затухание вихревого движения на поверхности жидкости

655

Рис. 1. (Цветной онлайн) Рисунок из работы [15]. (a) - Схема экспериментальной установки. 1 - видеокамера; 2 - саб-

вуферы; 3 - плунжеры; 4 - прозрачная ванна размерами 70 × 70 × 25 см³; 5 - слой воды. Рисунок из работы [9]. (b) -

Левый кадр - треки полиамидных частиц на поверхности воды, которые наблюдали при накачке двумя плунжерами

на частоте 3 Гц с угловой амплитудой волны в центре ванны 0.035 рад; правый кадр - распределение завихренности

на поверхности при разности фаз между волнами ψ = 90^◦

Ω_E ∼ (2νk²t)^1/2, а на временах t ≫ τ_vis завихрен-

Естественно, что время формирования решетки

ность будет возрастать по экспоненциальному зако-

вихрей гравитационными волнами определяется вяз-

ну, Ω_E ∼ (1 - exp(-2νk²t)). Таким образом, при дли-

ким временем τ_vis и временем пробега волной τ_tf рас-

тельной волновой накачке изменение амплитуды за-

стояния между противоположными стенками прямо-

вихренности будет связано только с эйлеровым дви-

угольной экспериментальной ванны. При этом время

жением жидкости, возбуждаемым нелинейными вол-

формирования вихрей большого масштаба определя-

нами, тогда как стоксова завихренность Ω_S к этому

ется интенсивностью нелинейных процессов, и зави-

времени выйдет на константу. Тем не менее, достичь

сит, в основном, от частоты и амплитуды волн на-

стационарного распределения завихренности, описы-

качки. При постановке исследований, обсуждаемых

ваемого выражением (2), на больших временах не

в настоящем обзоре, частоту и амплитуду волн вы-

очень сложно, так как при длительной накачке на

бирали таким образом, чтобы можно было просле-

поверхности должно успеть сформироваться крупно-

дить за процессами формирования решетки вихрей,

масштабное вихревое течение [19], которое уменьша-

возникновением крупномасштабного вихря, сравни-

ет значение амплитуды завихренности узлов решет-

мого с размерами ванны, и за процессами затухания

ки в силу их растяжения [20].

вихрей.

После выключения накачки волны и вихри на по-

Были предприняты специальные усилия, чтобы

верхности затухают в результате вязкого трения. Ха-

доказать, что завихренность, генерируемая нелиней-

рактерные времена вязкого затухания в объеме жид-

ными волнами, действительно обусловлена двумя

кости t_vis зависят от масштаба структуры L и ко-

вкладами: стоксовым увлечением и соленоидальным

эффициента кинематической вязкости жидкости ν,

течением, формируемым волнами в вязком подслое

tvis ∼ L2/ν [21]. Поэтому если при длительном воз-

(эйлерова завихренность). В настоящий обзор вошли

буждении волн на поверхности жидкости в результа-

материалы, которые ранее были опубликованы в ра-

те их нелинейного взаимодействия сформировались

ботах [18-20,22-25].

вихри масштаба, сравнимого с размером эксперимен-

Экспериментальная методика. Схема уста-

тальной ячейки, их можно будет наблюдать и после

новки и пример решетки вихрей, сформированной

полного затухания поверхностных волн.

стоячими взаимно перпендикулярными волнами на

В цели настоящих экспериментов входило изу-

поверхности воды, показаны на рис. 1. Воду залива-

чение процессов формирования вихревого движения

ют в прозрачную прямоугольную ванну 3 размерами

поверхностными гравитационными волнами, наблю-

70 × 70 × 25 см³, изготовленную из листового стек-

дение вихревого движения масштаба больше длины

ла толщиной 1 см. Толщина слоя воды составляет

волны накачки, а также исследование процессов за-

примерно 10 см. Для возбуждения волн на поверх-

тухания вихревого движения после выключения на-

ности воды используются два горизонтальных плун-

качки.

жера 5, изготовленных из трубки из нержавеющей

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

656

С. В. Филатов, А. А. Левченко, Л. П. Межов-Деглин

стали диаметром 10 мм. Плунжеры наполовину по-

неконтролируемого течения жидкости на поверх-

гружены в воду и совершают вертикальные колеба-

ности много меньше скорости соленоидального

ния. Для создания вертикальных колебаний плунже-

течения, формируемого нелинейными поверх-

ров используются сабвуферы 2 (TS-W254R фирмы

ностными волнами. Чтобы свести к минимуму

Pioneer, номинальной мощностью 250 Вт).

скорость конвективного течения, возникающего

Для регистрации вихревого движения поверх-

из-за перепада температуры между придонными и

ность воды декорируется белыми частичками поли-

поверхностными слоями жидкости, дно и боковые

амида PA-12. Средний размер полиамидных частиц

стенки экспериментальной ванны были теплоизо-

30 мкм. На поверхности воды частицы собираются

лированы - покрыты слоем пенопласта толщиной

в плоские агрегаты - трассеры, средним диаметром

5 см. Для предотвращения конденсации примесей

0.2-0.3 мм. Чтобы не возникало паразитной засветки,

из окружающего воздуха при длительных экспе-

съемки проводили в затемненном помещении. Трас-

риментах сверху ванна была закрыта прозрачным

серы на поверхности подсвечиваются светодиодами,

стеклом.

расположенными по периметру ванны. Для записи

При изучении проникновения завихренности в

явлений на поверхности жидкости использовали фо-

объем жидкости применялась методика лазерного

токамеру Canon EOS 70D с частотой записи 24 (25)

листа [27]. Лазерный луч, проходя через цилиндри-

кадров в секунду, соединенную с наружной систе-

ческую линзу, раскрывался в расходящийся плоский

мой записи и обработки результатов наблюдений. Та-

лист толщиной около 1 мм, так что подсвечивались

кая частота съемки позволяет выбирать снимки ко-

только те частицы полиамида, которые находились

леблющейся поверхности, находящейся в одной фа-

в плоскости листа. Частицы, имеющие нулевую пла-

зе волны и исключать из дальнейшей обработки ос-

вучесть, были предварительно отобраны из порошка

циллирующую составляющую перемещения пробной

PA-12 в разделительной колонне.

частицы, плавающей на поверхности. Для выявле-

Экспериментальные результаты. На рисун-

ния треков движения частиц на поверхности снимки

ке 2 показана зависимость от времени модуля за-

суммируются. Обработка полученных изображений

вихренности |Ω|(t) на поверхности воды, на которой

программой PIVLab [26] позволяет вычислить скоро-

сти движения частиц вдоль поверхности V_x и V_y, за-

тем рассчитать вертикальную завихренность на по-

верхности по формуле (1) и распределение энергии

по поверхности, воспользовавшись выражением

E(x, y) =

ρ(V^2x + V^2y).

(7)

Распределение энергии по волновому векто-

ру E(k) вычисляется усреднением по кольцу в

k-пространстве:

∫

d²q

E(k) =

[|V_k|²],

(8)

2SΔk

(2π)²

где интегрирование проводится по кольцу k < q <

< k+Δk. Полученное значение нормируется на пло-

щадь поверхности жидкости S. Здесь V_k - фурье-

компонента скорости частицы.

Рис. 2. (Цветной онлайн) Зависимость модуля завих-

Амплитуду волн на поверхности воды рассчиты-

ренности |Ω| от времени при включении в момент t =

вали по измеряемой скорости колебаний частиц в

= 4.5 с и выключении в момент t = 287 с возбуждения

волновом поле по методике, описанной в работе [14],

поверхностных волн на частоте 4 Гц с угловой ампли-

а также по перемещению точек трафарета, располо-

тудой, равной 0.1 рад

женного на дне ванны, при отклонении поверхности

воды от равновесной плоской формы, возбуждаемой

возбуждаются стоячие волны на частоте f = 4 Гц с

волной, как описано в статье [25].

угловой амплитудой H, равной 0.1 рад. Разность фаз

Применение описанной выше методики изме-

волн, распространяющихся в перпендикулярных на-

рения завихренности предполагает, что скорость

правлениях, составляет 90^◦. Через 4.5 с после нача-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

Формирование и затухание вихревого движения на поверхности жидкости

657

Рис. 3. (Цветной онлайн) Распределение завихренности Ω (a) и энергии E(xy) (b) по поверхности воды после накачки

в течение 3.5 с волнами с угловой амплитудой, равной 0.1 рад на частоте 4 Гц. (c) - Фурье-распределение энергии в

k-пространстве

Рис. 4. (Цветной онлайн) (а) - Распределение завихренности по поверхности после возбуждения поверхности волнами

на частоте 4 Гц с угловой амплитудой 0.1 рад в течение 19 с. (b) - Распределение энергии по поверхности E(xy). (c) -

Фурье-распределение энергии в k-пространстве

ла записи на приводы плунжеров подали переменное

Отметим, что амплитуда распределения энергии

напряжение. Видно, что сначала амплитуда модуля

вдоль диагональных валов изменяется почти в четы-

завихренности быстро возрастает и достигает макси-

ре раза (при этом скорость изменяется в два раза).

мума, а потом значительно уменьшается. Начиная с

На рисунке 3c показано Фурье-распределение энер-

20-й секунды, модуль завихренности вновь растет и

гии в пространстве волновых векторов. На рисун-

выходит на стационарное значение приблизительно

ке видны два хорошо выраженных пика, имеющих

к 200-й секунде. В момент t = 287 с волновую на-

координаты в k-пространстве, равные

(0.64 см^-1;

качку выключают, и завихренность на поверхности

0.64 см^-1) и (-0.64 см^-1; -0.64 см^-1). Так как вол-

воды начинает быстро затухать.

новой вектор волны на частоте 4 Гц равен 0.64 см^-1,

На рисунке 3 показано распределение завихрен-

очевидно, что масштаб возникшей структуры совпа-

ности Ω(xy) (рис. 3a) и энергии E(xy) (рис. 3b) по по-

дает с длиной волны накачки.

верхности воды после накачки в течение 3.5 с волна-

Через 19 с после включения накачки распределе-

ми с угловой амплитудой, равной 0.1 рад на частоте

ния как энергии, так и завихренности существенно

4 Гц. Через 3.5 с после включения накачки распреде-

изменяются. На рисунке 4а, где показано распреде-

ление завихренности по поверхности Ω(xy) на рис. 3а

ление завихренности Ω по поверхности, хорошо вид-

представляет собой систему валов, идущих парал-

на решетка вихрей, которая уже начала размывать-

лельно диагонали экспериментальной ванны, как это

ся вихревыми течениями большого масштаба. Это

и предсказывается формулой (3).

отчетливо видно в центре рис.4а и b. В распреде-

Распределение энергии по поверхности E(xy) на

лении энергии по поверхности E(xy) можно отме-

рис. 3b выглядит аналогично распределению Ω(xy).

тить присутствие пиков, отражающих решетку вих-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

658

С. В. Филатов, А. А. Левченко, Л. П. Межов-Деглин

рей, а также наличие предпочтительного направле-

бы в системе волн, эксперименты были проведены

ния вдоль диагонали, идущей от нижнего правого уг-

на вязких растворах вода-глицерин при малых ам-

ла к верхнему левому. В Фурье-распределении энер-

плитудах накачки. Эффективное число Рейнольдса

гии по волновым векторам (рис. 4c) имеются четы-

для рассматриваемых экспериментов можно оценить

ре хорошо выраженные пика, свидетельствующие о

как Re = Ω/(νk²) ≈ 1. В этом случае решетка вих-

наличии квадратной решетки. Однако их интенсив-

рей сохраняется при больших временах накачки. На

ность попарно отличается примерно вдвое. Кроме

рисунке 5 приведена зависимость завихренности от

этого, можно отметить присутствие энергии на мас-

времени |Ω|(t) на поверхности 38 % раствора вода-

штабах как больше, так и меньше масштаба накачки,

глицерин после включения накачки волн с крутизной

равного 0.64 см^-1.

kH₁ = 5.4 · 10^-3 и kH₂ = 4.8 · 10^-3. Массовая плот-

Напомним, что групповая скорость V_gr =^dωdk гра-

ность жидкости ρ = 1.091 г/см³, кинематическая вяз-

витационной волны определяется выражением V_gr =

кость ν = (3.1 ± 0.05) · 10^-2 см²/с (это было измерено

√_g

=¹

и составляет ≈ 19.6 см/с для волны частотой

специально с помощью вискозиметра).

4 Гц. Расстояние от плунжера до стенки ванны волна

На рисунке 5а показана экспериментальная за-

пробегает за время τ_tf = 68/19.6 = 3.5 с. На рисун-

висимость модуля завихренности от времени |Ω|(t),

ке 3 приведены распределения завихренности и энер-

кривая 1, а также приведены результаты теорети-

гии по поверхности в момент, когда бегущие волны от

ческого расчета по формуле (6) - кривая 2. Мо-

плунжеров достигли противоположных стенок ван-

дуль завихренности вихревых течений можно опи-

ны. Из рисунка 2 видно, что максимальная завихрен-

сать как сумму дрейфа Стокса и вклада Эйлера, т.е.

ность достигается к 7-й секунде после включения на-

Ω = Ω_S + Ω_E. Оба вклада одинаково зависят от го-

качки, за время удвоенного пробега волны от стенки

ризонтальных координат (в том числе от знака), по-

до стенки, т.е. когда на поверхности успела сформи-

этому |Ω| = |Ω_S| + |Ω_E|. Зависимость стоксова вкла-

роваться решетка вихрей. Последующее уменьшение

да от времени довольно проста: |Ω_S | = e^2kz |Λ(t)|, и

модуля завихренности связано, по-видимому, с бие-

это слагаемое легко найти, воспользовавшись выра-

ниями, возникающими в системе стоячих волн, так

жением (5), поскольку мы измеряем H_1,2(t) и ψ(t)

как частота накачки, равная f_r = 4.00 Гц, немного

(см. кривую 3 на рис. 5а).

меньше резонансной частоты резонансной моды на-

Эйлеров вклад |Ω_E | описывается уравнением (6).

шей ванны, f_r = 4.075 Гц. К 25-й секунде переходные

Следовательно, единственным неизвестным пара-

процессы в системе стоячих волн практически завер-

метром является модуль эластичности пленки ε. Ва-

шились - на кривой Ω(t) наблюдается только неболь-

рьируя решение по этому параметру и находя наи-

шой второй пик. Расстояние по времени между дву-

лучшее соответствие экспериментальным данным,

мя пиками составляет приблизительно 12 с, что близ-

получаем ε = 0.33 ± 0.02, что соответствует синей

ко к обратной разности частоты накачки и резонанс-

кривой 2 на рис. 5а. Пунктирными горизонтальными

ной частоты, (f_r - f_p)^-1 = 13 с.

линиями показаны значения завихренности для слу-

После прохождения минимума завихренность

чая свободной поверхности ε = 0 и для найденного

Ω(t) возрастает в интервале от 19-й до 150-й се-

параметра ε = 0.33. Видно, что при одинаковом вол-

кунды, и к 200-й секунде выходит на стационарное

новом движении наблюдаемые в данных измерениях

значение. Рост Ω обусловлен генерацией эйлеровой

вихревые течения были бы в несколько раз слабее,

завихренности в вязком подслое, толщина которого

если бы поверхность жидкости не была загрязнена.

√_ν

δ ≈

равна приблизительно 40 мкм, что меньше

В наших экспериментах эйлерово время t_E

размера полиамидных частиц, т.е. все декориру-

= 2νk² составляет ≈ 125 с и оказывается значительно

ющие частицы увлекаются течением жидкости.

длиннее стоксова времени t_S ≈ 10 с, которое опреде-

Отличие экспериментальной зависимости Ω(t) от

ляли по затуханию волн (рис. 5b). Поэтому два меха-

предсказаний теории

(3) может быть связано с

низма можно хорошо разделить по временной зави-

развитием крупномасштабного вихревого течения.

симости |Ω|(t) (рис. 5а). Колебания с периодом ≈24 с,

Отметим, что в разных измерениях кривые Ω(t)

которые видны на экспериментальной кривой фор-

после максимума могут кардинально различаться.

мирования, соответствуют случаю биения волн. С

По-видимому, это связано со структурой боль-

учетом этого замечания можно заключить, что экс-

ших вихрей, случайным образом возникающих на

периментальные данные достаточно хорошо согласу-

поверхности воды после включения накачки.

ются с аналитическими расчетами.

Чтобы ослабить нелинейное взаимодействие вих-

При выключении накачки амплитуда колебаний

рей и процесс передачи энергии в большие масшта-

плунжеров падает до нуля в течение одной секун-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

Формирование и затухание вихревого движения на поверхности жидкости

659

Рис. 5. (Цветной онлайн) (а) - Завихренность |Ω| = |ΩS | + |ΩE | как функция времени для 38 % раствора глицерина

и воды. Зеленая кривая 1 соответствует экспериментальным данным, а синяя кривая 2 показывает результаты чис-

ленного расчета по формуле (9) (см. ниже). Красная кривая 3 демонстрирует зависимость стоксова вклада |ΩS | от

времени, найденную по экспериментально измеренным значениям амплитуд волн H1,2(t) и ψ(t). Пунктирные горизон-

тальные прямые показывают временные асимптотические решения для случая свободной чистой поверхности ε = 0 и

для найденного параметра ε = 0.33. (b) - Затухание амплитуды волны после выключения накачки. Сплошная красная

линия - расчет по формуле A = Ae^-Δt/τ + B

ды. Этим определяется начальная стадия процесса

затухания возбуждений в жидкости. Эта стадия и

последующая эволюция завихренности на поверхно-

сти жидкости хорошо различимы на рис.5а. Видно,

что наблюдается хорошее согласие между экспери-

ментальными данными и аналитическими кривыми.

Здесь важно отметить, что вклад стоксова дрейфо-

вого движения затухает намного быстрее, чем вклад

эйлерова течения, это позволяет в нашем экспери-

менте наблюдать вихревые течения тогда, когда вол-

новое движение уже затухло. Эти наблюдения одно-

значно доказывают существование вклада эйлеровой

составляющей в вихревые течения и показывают, что

соотношение t_E ≫ t_S справедливо.

Рис. 6. (Цветной онлайн) Зависимость от времени ам-

Отметим, что при распространении волны вдоль

плитуды колебаний поверхности воды после выключе-

поверхности возникают как вертикальные, так и го-

ния накачки на частоте 3 Гц. Сплошная кривая - зави-

ризонтальные колебания жидкости. Это позволяет

симость 0.58 + 0.60e^-t/75

рассчитать амплитуду волновых колебаний, измерив

только горизонтальную скорость по методике, опи-

санной в [25]. На рисунке 6 показана зависимость из-

Колебания амплитуды волны экспоненциально

меренной в эксперименте амплитуды колебаний по-

затухают с характерным временем τ около 75 с.

верхности воды от времени H(t) после выключения

Сплошная кривая на рис. 6 соответствует функции

накачки на частоте 3 Гц. Видно, что в течение пер-

0.58 + 0.60e^-t/75. Следовательно, затухание волн на

вых нескольких минут амплитуда волны колеблется

поверхности можно приблизительно описать форму-

относительно среднего положения.

лой

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

6^∗

660

С. В. Филатов, А. А. Левченко, Л. П. Межов-Деглин

H_x = H₀(1 + sin(ω₀t)e^-t/τ ),

(7)

Рассмотрим теперь распределение завихренности

по глубине воды. На рисунке 8 представлена зави-

где ω₀ ≈ 0.34 с^-1, и оцененное по экспериментальной

зависимости время τ_s ≈ 75 с. Зная зависимость ам-

плитуды волны от времени, можно установить эво-

люцию во времени стоксового вклада в завихрен-

ность по формуле (3):

Ω_S ∼ H_xH_y ∼ H²⁰(1+2 sin(ω₀t)e^-t/τ +sin²(ω₀t)e^-2t/τ ).

(8)

Усредняя по периоду 2π/ω₀, получим

〈Ω_S 〉 ∼ H²⁰(1 + 1/2e^-2t/τ ).

(9)

Из выражений (8), (9) видно, что амплитуда за-

вихренности на поверхности жидкости, вызванная

стоксовым дрейфом, должна осциллировать, и ее ам-

плитуда колебаний должна уменьшаться с харак-

терным временем τ/2. Среднее значение завихрен-

Рис. 8. (Цветной онлайн) Распределение среднего мо-

ности Ω_S также должно уменьшаться с характер-

дуля завихренности решетки вихрей по глубине жид-

ным временем около 37 с. Однако, как видно на

кости на 600-й секунде после включения накачки.

рис. 7, наблюдавшееся в экспериментах поведение

Сплошная прямая соответствует функции |Ω| = 6.3 ×

√

× 10^-3(e^-2kz + e^-

^2kz )

симость модуля завихренности вихревой решетки от

глубины z на 600-й секунде после включения накач-

ки. Полагаем, что к 600-й секунде значение завихрен-

ности в узлах решетки вихрей близко к стационарно-

му значению, описываемому формулой (5). Распре-

деление завихренности по глубине описывается сум-

мой двух членов [8]

√

Ω(z) = (e^-2kz +

2e^-

^2kz )Λ.

(10)

На рисунке 8 сплошной линией показана зави-

√

симость, пропорциональная e^-2kz +

2e^-

^2kz , где

k = 0.36см^-1. Видно, что наблюдается хорошее со-

Рис. 7. (Цветной онлайн) Зависимость от времени сред-

гласие между экспериментальными точками и теоре-

него модуля завихренности вихревой решетки |Ω| в

тической зависимостью (5).

слое воды на разных глубинах: равных сверху вниз

Итак, экспериментально показано, что в фор-

z = 0.5, 1.25, 2.0, 2.75 и 3.5cм. Сплошная линия соот-

ветствует зависимости (1.4 · 10^-2-8 · 10^-3)e^-t/165. Ам-

мирование завихренности поверхностными волнами

плитуда волны на частоте накачки равняется 0.5 мм

вносят вклад два механизма: стоксово увлечение

и генерация вихревого движения в вязком подслое

Ω_S(t) противоположно этому: среднее значение ам-

нелинейными волнами - эйлерово течение. Присут-

плитуды завихренности вихревой решетки |Ω| со вре-

ствие упругой пленки на поверхности жидкости уве-

менем только увеличивается. Таким образом, рассчи-

личивает значительно вклад эйлерова течения. Вих-

танная по результатам измерений зависимость за-

ревое течение со временем распространяется в объ-

вихренности вихревой решетки от времени не мо-

ем жидкости. В стационарном состоянии распределе-

жет быть объяснена вкладом только стоксова увле-

ние завихренности по глубине хорошо описывается в

чения. На рисунке 7 видно, что биение волны зату-

рамках развитой теоретической модели [8].

хает к 300-й секунде после включения накачки, за-

Распад решетки вихрей. На рисунке 9a-c по-

вихренность Стокса Ω_S достигает постоянного зна-

казаны треки полиамидных частиц перед выключе-

чения, и на больших временах изменение амплитуды

нием накачки на частоте 3 Гц, которая длилась раз-

завихренности связано только с эйлеровым движени-

ное время. После 5 с накачки на поверхности сформи-

ем жидкости, возбужденным нелинейными волнами.

рована вихревая решетка с периодом, равным длине

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

Формирование и затухание вихревого движения на поверхности жидкости

661

Рис. 9. (Цветной онлайн) Треки полиамидных частиц (а)-(c) и распределение завихренности (d)-(f) на поверхности

воды после возбуждения поверхности взаимно перпендикулярными стоячими волнами частотой 3 Гц и амплитудой

0.062 рад при накачке в течение 5, 60 и 300 с

волны накачки. Через 60 с после начала накачки на-

буждается плунжерами в течение 5, 60 и 300 с. Ре-

блюдается объединение соседних узлов решетки в

зультаты измерений показаны на рис. 10а в двойном

единые вихри большего масштаба. Это хорошо видно

логарифмическом масштабе, а на рис. 10b - в полу-

в верхнем правом углу рис.2b,c. Через 300 с процесс

логарифмических координатах.

объединения в единый вихрь нескольких узлов ре-

Хорошо видно, что после выключения накачки

шетки виден более отчетливо. На распределении за-

зависимость от времени энергии вихревого движе-

вихренности по поверхности (рис. 9d-f) этот процесс

ния E(t) определяется длительностью времени на-

прекрасно виден. Через 5 с после включения накачки

качки. Сразу после выключения длительной накач-

решетка выглядит совершенной, через 60 с решетка

ки энергия быстро убывает. Убывание энергии мож-

выглядит деформированной, а через 300 с на поверх-

но описать экспоненциальной зависимостью E

∼

ности появляются валы, направленные по диагонали

∼ exp(-t/τ₁) с характерным временем τ₁, равным

ванны, что свидетельствует об установлении движе-

приблизительно 7 с для всех трех кривых. На рисун-

ния частиц, направленного от одной стенки ванны к

ке 10b прекрасно видно, что после 60 и 300 с накач-

противоположной. Тут следует отметить, что в вы-

ки затухание энергии вихревого движения на боль-

бранных нами условиях накачки крупномасштабные

ших временах, более 100 с после выключения накач-

вихри не успевают сформироваться.

ки, происходит по экспоненциальному закону E ∼

∼ exp(-t/τ₂) с характерным временем, близким к

На рисунке 10 приведены зависимости от време-

τ₂ = 130 ± 20 с для кривой 2 и 180 ± 20 c - для кри-

ни энергии вихревого движения на поверхности воды

в интервале волновых векторов от 0 до 2.5 см^-1 по-

вой 3. Отметим, что после накачки в течение 5 с вто-

рой экспоненциальный участок кривой E(t) не на-

сле выключения накачки. Вихри генерируются дву-

мя перпендикулярно распространяющимися волна-

блюдается, по-видимому, из-за близости измеряемых

величин скорости движения частиц к пределу чув-

ми с разностью фаз, равной 90^◦. Частота волн на-

качки равняется 3 Гц. Угловая амплитуда волны в

ствительности нашей методики.

установившемся режиме составляет 0.062 рад. До мо-

На рисунке 11 показаны зависимости от времени

мента выключения накачки поверхность воды воз- плотности энергии W на разных масштабах волно-

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

662

С. В. Филатов, А. А. Левченко, Л. П. Межов-Деглин

Рис. 10. (Цветной онлайн) Зависимость энергии вихревого движения от времени E(t) при длительности волновой

накачки в течение 5 (кривая 1), 60 (кривая 2) и 300 с (кривая 3). Частота накачки 3 Гц, амплитуда волны в устано-

вившемся режиме 0.062 рад. (а) - Двойной логарифмический масштаб. (b) - Полулогарифмический масштаб

из-за затухания волнового движения. Это приводит

к уменьшению стоксова вклада в суммарную завих-

ренность и, следовательно, в энергию вихревого те-

чения.

Хорошо видно, что во временном интервале от

20 до 250 с экспериментальные данные хорошо опи-

сываются степенными зависимостями W

∼ t^m с

показателями m, равными -1.86 и -0.84. Степен-

ные зависимости свидетельствуют о наличии разви-

того нелинейного взаимодействия между вихревы-

ми структурами [28, 29]. Оценка числа Рейнольдса

по выражению Re ∼ ΩL²/ν дает значение, близ-

кое к Re ∼ 1000 при возбуждении вихревого движе-

ния в течение 300 с волнами с амплитудой 0.031 рад,

Re ∼ 2000 - при возбуждении волнами амплиту-

Рис. 11. (Цветной онлайн) Зависимость плотности

дой 0.062 рад и Re ∼ 4000 - при накачке волнами

энергии W от времени после выключения накачки на

амплитудой 0.093 рад. Таким образом, следует отме-

разных масштабах волновых векторов. Верхняя кри-

тить, что вихревое движение является сильно нели-

вая - плотность энергии в круге волновых векто-

нейным, что и приводит к сильному вихревому вза-

ров диаметром 0.3 см^-1; нижняя кривая - в кольце,

имодействию.

ограниченном радиусами 0.3-2 см^-1. Амплитуда волн

На рисунке 10 видно, что экспоненциальное за-

накачки 0.093 рад. Прямые синие линии соответству-

тухание энергии начинается приблизительно с 250-й

ют степенной зависимости (верхняя часть t^-0.8, ниж-

секунды после выключения накачки. Энергия вих-

няя - t^-1.86). Красные кривые (наложены на экспе-

рей к этому времени уменьшается в несколько сотен

риментальные кривые при t свыше 100 с) соответству-

раз, число Рейнольдса падает до Re ∼ 100, и про-

ют экспоненциальным зависимостям (верхняя кривая -

exp(-t/290), нижняя - exp(-t/160))

цесс нелинейного взаимодействия вихрей останавли-

вается. На больших временах затухание обусловле-

вых векторов, в круге 0-0.3 см^-1 W_0-0.3(t) и в кольце

но вязкими потерями, поэтому энергия уменьшается

0.3-2 см^-1 W_0.3-2(t) после выключения накачки. На

экспоненциально с характерными временами, равны-

первом этапе, сразу после выключения накачки, при-

ми τ₁ = 160 с в кольце радиусом от 0.3 до 2 см^-1 и

близительно до 20-й секунды, энергия уменьшается

τ₂ = 290 с в круге радиусом 0.3 см.

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

Формирование и затухание вихревого движения на поверхности жидкости

663

Рис. 12. (а) - Треки полиамидных трассеров на поверхности воды, сформировавшиеся через 20 мин после включения

накачки двумя плунжерами частотой 6 Гц. (b) - Треки трассеров на поверхности воды, которые сформировались через

20 с после выключения накачки

Время затухания вихря размером L = 2π/0.3 ≈

масштаба. В вихревом движении формируется рас-

≈ 20 см, обусловленное вязкими потерями в объеме

пределение энергии по волновому вектору - пря-

жидкости, можно оценить как ∼ L²/ν ≈ 4 · 10⁴ с. Это

мой каскад энергии [14, 15]. В системе нелинейных

время более чем на два порядка больше, чем экспе-

волн энергия накачки переносится в крупные мас-

риментально измеренное время затухания, следова-

штабы, а затем передается в вихревое движение.

тельно, вихри проникают в объем жидкости и силь-

Поэтому затухание вихревого движения, сформи-

но взаимодействуют с дном и стенками эксперимен-

рованного поверхностными волнами, определяется

тальной ванны, а также теряют энергию в примесной

процессами, протекающими как в системе поверх-

пленке, образующейся на поверхности воды при дли-

ностных волн, так и в вихревом движении. Та-

тельных измерениях.

кими процессами являются нелинейное взаимодей-

В области от 1000 до 1500 с затухание вихревого

ствие в системах волн и вихрей, приводящее к пе-

движения в интервале от 0.3 до 2 см^-1 закончилось,

рераспределению энергии в пространстве волновых

плотность энергии достигла уровня шума. Однако в

векторов, и перевод энергии волн и вихрей в теп-

круге радиусом 0.3 см^-1 плотность энергии W_0-0.3

ло в результате вязких потерь в объеме жидко-

продолжает экспоненциально уменьшаться до уров-

сти, а также в результате трения о дно и стен-

ня шума.

ки рабочей ванны. Затухание турбулентных рас-

Таким образом, в процессе затухания решетки

пределений в системах капиллярных и гравитаци-

вихрей, сформированной взаимодействием нелиней-

онных волн было исследовано недавно в работах

ных гравитационных волн на поверхности жидкости,

[30, 31].

наблюдается нелинейное взаимодействие вихревых

На рисунке 12а показаны треки трассеров из по-

течений. Энергия переносится в большие масштабы

лиамидных частиц, которые сформировались на по-

за счет слияния вихрей решетки. На коротких време-

верхности воды в результате непрерывной волновой

нах энергия уменьшается экспоненциально в резуль-

накачки на частоте 6 Гц в течение 20 мин. Хорошо

тате затухания стоксова увлечения, а на длинных -

видно, что перед выключением накачки на поверхно-

из-за вязких потерь.

сти успел сформироваться вихрь размером, близким

Затухание крупномасштабных вихрей. Уве-

к длине прямоугольной ванны, а также множество

личение амплитуды и длительности волновой накач-

мелких вихрей, формирующих решетку с периодом,

ки приводит к формированию на поверхности во-

равным длине волны накачки. В углах ванны рас-

ды крупномасштабного вихревого течения [19]. При

положились смазывающие вихри с завихренностью,

непрерывной накачке вихревая решетка со време-

противоположной по знаку завихренности большого

нем разрушается с образованием вихрей большего

вихря.

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

664

С. В. Филатов, А. А. Левченко, Л. П. Межов-Деглин

Рис. 13. (Цветной онлайн) (а) - Распределение энергии вихрей E(kx, ky ) в векторном пространстве через 20 мин после

непрерывной волновой накачки на частоте 6 Гц двумя плунжерами. (b) - Одномерное распределение энергии вихрево-

го движения E(κ) по волновым векторам. Кривая 1 - после

20 мин непрерывной накачки на частоте 6 Гц, кривые 2-5 -

через 4, 10, 20, 40 с после выключения накачки

Через 20 с после выключения накачки на поверх-

вихря, легко получить оценку для скорости сноса уз-

ности наблюдается один вихрь максимальных разме-

лов решетки большим вихрем из простого соотноше-

ров, рис. 12b. В то же время вихри малых размеров

ния:

на поверхности воды почти полностью исчезли, лишь

κ + Δκ = 2π/(L + ΔL),

несколько небольших вихрей наблюдаются в углах

ванны.

где L - расстояние между узлами решетки.

На рисунке 13 показано распределение вихре-

Отсюда скорость смещения V_сн = (2π/(Δκ + κ) -

вой энергии в двумерном векторном пространстве

- L)/Δτ ≈ 1 cм/c.

E(k_x, k_y), в диапазоне векторов κ от 0 до 2 см^-1, ко-

С другой стороны, среднюю азимутальную ско-

торое сформировалось на поверхности через 20 мин

рость в большом вихре легко оценить из соотноше-

непрерывной накачки двумя плунжерами на частоте

ния Ω · R/2 ≈ V_az, где R - радиус вихря. Подстав-

6 Гц. Обратим внимание на присутствие четырех пи-

ляя Ω = 0.1 см^-1, R = 25 см, получим, что сред-

ков, соединенных прямыми линиями на рис. 13а. Эти

няя азимутальная скорость V_az ≈ 1.25 см/с. Найден-

пики в распределении вихревой энергии свидетель-

ное значение V_az оказывается близко к эксперимен-

ствуют о формировании на поверхности воды решет-

тально найденной скорости смещения вихрей решет-

ки вихрей в результате нелинейного взаимодействия

ки V_сн ≈ 1 cм/c. Это свидетельствует в пользу того,

между собой волн частотой 6 Гц [8]. Хорошо видно,

что большой вихрь на поверхности воды деформи-

что квадрат слегка повернут вокруг центра рис. 13a.

рует решетку вихрей, создаваемую взаимодействием

Эти изменения положения пиков в κ-пространстве

нелинейных волн накачки. Отметим также пики, со-

обусловлены “сносом” малых вихрей решетки боль-

ставляющие ромб вблизи центрального пика. Эти пи-

шим вихрем, сформировавшимся на поверхности во-

ки свидетельствуют об образовании решетки волна-

ды.

ми частотой 3 Гц, возникшими в результате распада

Как видно на рис.13а, величина смещения узла

волны накачки частотой 6 Гц и распространяющими-

решетки на уровне κ ≈ 1.3 см^-1 равна приблизитель-

ся под углом друг к другу [15].

но Δκ ≈ 0.2 см^-1. Характерное время смещения узла

Через 20 с после выключения накачки узлы вих-

решетки Δτ по порядку величины близко к периоду

ревой решетки на поверхности успели затухнуть. На-

волны накачки, поэтому положим Δτ ≤ 0.16 с. По-

помним, что энергия в вихревое движение поступа-

лагая, что смещение узлов решетки в реальном про-

ет из волнового поля, причем она поступает в уз-

странстве ΔL = V_снΔτ, где V_сн - скорость смещения

лы вихревой решетки, а затем распространяется по

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

Формирование и затухание вихревого движения на поверхности жидкости

665

разным масштабам. На рисунке 13b видно, что к

нения энергии по каскаду оказалось значительно

20-й секунде энергия волнового движения на час-

меньше характерного времени затухания первого

тоте накачки падает почти в десять раз, так что

основного пика.

энергия практически перестает поступать в вихре-

Нужно подчеркнуть, что отмеченный стрелкой на

вое движение. Приведенные одномерные распреде-

рис. 13b пик энергии на распределении 1 сформи-

ления вихревой энергии по волновому вектору E(κ)

ровался в результате взаимодействия между собой

были получены в разные моменты времени: распре-

нелинейных волн накачки. На рисунке 13b хорошо

деление 1 сформировалось после 20-ти минут накач-

видно, что по мере затухания положение максимума

ки, кривые 2-5 получены через 4, 10, 20 и 40 с по-

пика смещается в сторону малых волновых векто-

сле выключения накачки. На кривой 1 четко разли-

ров: от 1.85 см^-1 после накачки в течение 20 мин до

чаются два пика. Первый пик, отмеченный стрел-

1.7 см^-1 через 40 с после выключения накачки. Как

кой при волновом векторе κ = 1.85 см^-1, соответ-

можно оценить из рис. 13b, амплитуда пика энер-

ствует энергии, сосредоточенной в вихревой решет-

гии большого вихря при κ = 0.12 см^-1 за это вре-

ке, созданной нелинейными волнами. Второй мощ-

мя уменьшилась более, чем в 4 раза, что привело

ный пик при волновом векторе κ ≈ 0.12 см^-1 со-

к уменьшению средней скорости сноса вихрей V_сн

ответствует энергии, сосредоточенной в крупномас-

вдвое и, соответственно, к ослаблению степени де-

штабном вихре, прекрасно видимом на рис. 1а. Рас-

формации решетки вихрей.

пределение энергии в интервале волновых векторов

На рисунке 14 представлена зависимость ампли-

κ от 0.2 до 6 см^-1 можно описать в среднем степен-

туды пика энергии вихря при волновом векторе

ной функцией, пропорциональной κ^-5/3, характер-

ной для прямых каскадов вихревой энергии на глу-

бокой воде [4]. Турбулентное распределение сформи-

ровалось на волновых векторах как выше, так и ни-

же вектора волны накачки. Через 4 с после выклю-

чения накачки (кривая 2) пик на волновом векто-

ре κ = 1.85 см^-1 заметно уменьшился, но он еще

виден на кривых 3-5, полученных через 10, 20 и

40 с после выключения накачки. Наиболее быстро

энергия затухает на волновых векторах, превосхо-

дящих 2 см^-1. Каскад энергии затухает со стороны

больших волновых векторов - край распределения

E(κ) перемещается в сторону малых волновых век-

торов. Важно отметить, что все распределения энер-

гии E(κ), полученные до 40 с, в интервале волно-

Рис. 14. (Цветной онлайн) Зависимость амплитуды пи-

вых векторов 0.2-2 см^-1 можно описать степенной

ка энергии вихря при волновом векторе κ = 0.12 см^-1

функцией, пропорциональной κ^-5/3. Для наглядно-

от времени после выключения накачки

сти на рис.13b приведены две прямые линии, про-

порциональные κ^-5/3, подчеркивающие сохранение

κ = 0.12см^-1 от времени после выключения накач-

функциональной зависимости. Такое поведение за-

ки в двойном логарифмическом масштабе. Отчетли-

тухания турбулентного каскада свидетельствует о

во видно, что на зависимости E(t) можно выделить

квазистационарном режиме затухания, когда энер-

четыре участка. На первом отрезке от 0 до 3 с экс-

гия в каскад поступает из области больших масшта-

периментальные данные хорошо описываются экспо-

бов. При этом энергия перераспределяется по кас-

ненциальной функцией E(t) ∼ exp(-t/τ_tn) c харак-

каду за время нелинейного взаимодействия вихрей,

терным временем τ_tn = 8 ± 1 с. Уменьшение энергии

которое много короче времени затухания большого

связано с затуханием волнового движения после вы-

вихря.

ключения накачки. Далее хорошо выделяются два

Квазиадиабатическое затухание турбулентного

участка со степенной зависимостью энергии от вре-

каскада энергии наблюдалось ранее в системе капил-

мени: на втором участке от 3 до 20 с E(t) ∼ t^-0.4, и

лярных волн на поверхности жидкого водорода [30].

на третьем участке от 30 до 100 с E(t) ∼ t^-0.8, где

Энергия каскада была сосредоточена в основном в

уменьшение энергии обусловлено передачей энергии

первом пике, который, затухая, поставлял энергию в

по каскаду в результате нелинейного взаимодействия

турбулентный каскад. При этом время распростра-

большого и малых вихрей. На четвертом участке от

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020

666

С. В. Филатов, А. А. Левченко, Л. П. Межов-Деглин

200 до 600 с зависимость E(t) опять близка к экспо-

реносится на малые масштабы, где и затухает в ре-

ненциальной E(t) ∼ exp(-t/τ₂) с характерным вре-

зультате вязких потерь.

менем τ₂ = 930 с, т.е. наблюдается экспоненциальное

затухание классического вихря в результате его тре-

V. E. Zakharov, V. S. L’vov, and G. Falkovich,

ния о стенки и дно ванны [21], так как время вязкого

Kolmogorov Spectra of Turbulence I, Springer-Verlag,

затухания свободного вихря, которое можно оценить

Berlin, Heidelberg (1992).

как L²/ν ∼ 10⁵ с, существенно больше τ₂.

А. С. Монин, Г.М. Жихарев, УФН 160, 1 (1990).

Таким образом, затухание развитого турбулент-

ного каскада, как показали измерения, происходит в

R. H. Kraichnan and D. Montgomery, Rep. Prog. Phys.

43, 549 (1980).

квазиадиабатическом режиме. В течение длительно-

го времени после выключения накачки, когда транс-

R. H. Kraichnan, Phys. Fluids 10, 1417 (1967).

порт энергии по каскаду обусловлен в основном нели-

A. von Kameke, F. Huhn, G. Fernandez-Garcia,

нейным взаимодействием между вихрями, сохраня-

A. P. Muñuzuri, and V. Pérez-Muñuzuri, Phys. Rev.

ется степенное распределение энергии по волновому

Lett. 107, 074502 (2011).

вектору.

M. Faraday, Philos. Trans. R. Soc. London 121, 299

Заключение. Процессы формирования вихрево-

(1831).

го движения нелинейными гравитационными волна-

С. В. Филатов, М. Ю. Бражников, А. А. Левченко,

ми, а также затухание вихрей, определяются экспе-

Письма в ЖЭТФ 102, 486 (2015).

риментально измеряемыми параметрами: временем

S. V. Filatov, V.M. Parfenyev, S. S. Vergeles,

затухания волны (стоксово время), временем вязкого

M. Y. Brazhnikov, A. A. Levchenko, and V. V. Lebedev,

затухания волны (эйлерово время) и временем пробе-

Phys. Rev. Lett. 116, 054501 (2016).

га волны накачки от плунжеров до противоположной

С. В. Филатов, С. А. Алиев, А. А. Левченко,

стенки.

Д. А. Храмов, Письма в ЖЭТФ 104, 714 (2016).

Появление упругой пленки на поверхности жид-

10.

N. Francois, H. Xia, H. Punzmann, and M. Shats, Phys.

кости существенно изменяет динамику формирова-

Rev. Lett. 110, 194501 (2013).

ния завихренности и приводит к значительному уве-

11.

N. Francois, H. Xia, H. Punzmann, S. Ramsden, and

личению эйлерова вклада.

M. Shats, Phys. Rev. X 4, 021021 (2014).

Результаты изучения процессов формирования

12.

B. H. Burgess and R. K. Scott, J. Fluid Mech. 811, 742

завихренности после включения накачки можно опи-

(2017).

сать только с учетом вкладов двух механизмов гене-

13.

И. В. Колоколов, В. В. Лебедев, Письма в ЖЭТФ

рации завихренности: стоксова и эйлерова течения.

106, 633 (2017).

Завихренность, которая формируется нелиней-

14.

С. В. Филатов, Д. А. Храмов, А. А. Левченко, Письма

ными поверхностными волнами, проникает в объ-

в ЖЭТФ 106, 330 (2017).

ем жидкости. Распределение завихренности по глу-

15.

С. В. Филатов, А. В. Орлов, М. Ю. Бражников,

бине слоя жидкости хорошо описывается в рамках

А. А. Левченко, Письма в ЖЭТФ 108, 550 (2018).

модели, учитывающей стоксовы и эйлеровы вклады.

16.

O. N. Mesquita, S. Kane, and J. P. Gollub, Phys. Rev.

При формировании вихревой решетки на поверхно-

A 45, 3700 (1992).

сти энергия переносится в большие масштабы в ре-

17.

V. M. Parfenyev and S. S. Vergeles, Phys. Rev. Fluids 3,

зультате слияния вихрей.

064702 (2018).

Распад вихревой решетки после выключения на-

18.

V. M. Parfenyev, S.V. Filatov, M. Yu. Brazhnikov,

качки происходит в нелинейном режиме. При числах

S. S. Vergeles, and A. A. Levchenko, Phys. Rev. Fluids

Рейнольдса Re порядка 1000 наблюдается степенная

4, 114701 (2019).

зависимость энергии от времени. На больших време-

19.

С. В. Филатов, Д. А. Храмов, А. М. Лихтер,

нах затухания, при числах Рейнольдса Re ≈ 100 и

А. А. Левченко, Поверхность, рентгеновские,

менее вихри затухают классически экспоненциально

синхротронные и нейтронные исследования 12, 73

в результате вязких потерь.

(2017).

Затухание развитого каскада энергии вихревого

20.

S. V. Filatov, A.A. Levchenko, and L. P. Mezhov-Deglin,

течения, сформированного на поверхности воды в ре-

Physics of Wave Phenomena 27, 327 (2019).

зультате взаимодействия нелинейных волн, происхо-

21.

L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Course of Theoretical

дит в квазиадиабатическом режиме. Энергия посту-

Physics, Fluid Mechanics, Pergamon, N.Y. (1989), v. 6.

пает в каскад со стороны большого масштаба, уста-

22.

S. V. Filatov and A. A. Levchenko, Journal of Surface

навливается прямой каскад, энергия по каскаду пе-

Investigations 14(4), (2020).

Письма в ЖЭТФ том 111 вып. 9 - 10

2020