Письма в ЖЭТФ, том 112, вып. 2, с. 73 - 78

Фазовый контроль гигантского резонансного сдвига Гуса-Хенхен

А. А. Жаров⁺, Н. А. Жарова^∗1), А. А. Жаров^+×, мл.

⁺Институт физики микроструктур РАН, 603950 Н. Новгород, Россия

^∗Институт прикладной физики РАН, 603950 Н. Новгород, Россия

^×Université de Lorraine, CNRS, IJL, F-88000 Epinal, France

Поступила в редакцию 19 мая 2020 г.

После переработки 19 мая 2020 г.

Принята к публикации 4 июня 2020 г.

Продемонстрирована возможность эффективного управления латеральным сдвигом Гуса-Хенхен

световых пучков, отраженного и прошедшего через слоистую диэлектрическую структуру, за счет фо-

кусировки (дефокусировки) падающего пучка. Зависимость сдвига отраженного и прошедшего пучков

от кривизны фазового фронта падающего пучка имеет место при наличии достаточно узкой угловой

линии прохождения через структуру и связана с уширением его пространственного спектра, а также с

различием коэффициентов отражения (прохождения) пространственных гармоник, формирующих пу-

чок. В результате достигается многократное изменение сдвигов Гуса-Хенхен по сравнению со случаем

падающего излучения с плоским фазовым фронтом вплоть до смены знака сдвига.

DOI: 10.31857/S1234567820140013

Эффект Гуса-Хенхен (ГХ) [1], т.е. латеральный

неприменимой, но пространственный сдвиг отражен-

сдвиг отраженного светового пучка относительно ко-

ного пучка может оказаться сравнимым с его шири-

ординаты его зеркального отражения, впервые на-

ной, и реализуется т.н. “гигантский” эффект ГХ [4-7].

блюдался экспериментально при отражении света от

Существуют различные механизмы латерального

плоской границы раздела двух сред в условиях пол-

переноса энергии при отражении падающего излу-

ного внутреннего отражения (см. обзор [2]). Для ко-

чения от слоистых структур, связанные с возбужде-

личественного описания сдвига чаще всего исполь-

нием поверхностных плазмонов и волноводных мод

зуют формулу Артмана [3], полученную для случая

[8-10]. Структурирование самой поверхности отра-

|R| = 1 (полное внутреннее отражение)

жения (метаповерхность) также может приводить к

гигантскому эффекту ГХ, что, в частности, проде-

Δ_GH = -∂φ_R/∂k_∥,

(1)

монстрировано в работе [11].

Интерес к изучению эффекта ГХ обусловлен по-

где φ_R - фаза комплексного коэффициента отраже-

тенциальными “сенсорными” приложениями в химии

ния, k_∥ - компонента волнового вектора вдоль грани-

и биологии [9, 12, 13], возможностью использования

цы раздела. При выводе формулы Артмана исполь-

его для создания полностью оптических переключа-

зовался метод стационарной фазы, и, таким обра-

телей [14] и др. В этой связи необходим поиск пу-

зом, эта формула применима лишь в случае доста-

тей управления сдвигом пучка и, что особено важ-

точно широких волновых пув (соответственно, узких

но для приложений, достижения максимального уве-

в k_∥-пространстве), для которых фаза коэффициента

личения сдвига. Способы контроля сдвига ГХ с по-

отражения может быть аппроксимирована линейной

мощью внешних электрического и магнитного полей

функцией k_∥. В результате в рамках этого приближе-

изучались применительно к отражению терагерцо-

ния величина Δ_GH оказывается малой по сравнению

вого излучения от графеновых пленок на подложке

с шириной пучка.

из метаматериала с близкой к нулю диэлектрической

С другой стороны, при резонансном возбужде-

проницаемостью [15] и плазмонных градиентных ме-

нии в среде собственной квазилокализованной мо-

таповерхностей [16].

ды, обеспечивающей латеральный перенос энергии,

В данной работе предлагается способ эффектив-

изменение фазы коэффициента отражения на спек-

ного управления сдвигом ГХ с помощью модуляции

тральной ширине Δk_∥ пучка может стать значитель-

фазового фронта падающего светового пучка.

ным. В этом случае формула Артмана становится

В качестве примера рассмотрим планарную ди-

¹⁾e-mail: zhani@appl.sci-nnov.ru

электрическую структуру, изображенную на рис. 1,

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 1 - 2

2020

А. А. Жаров, Н. А. Жарова, А. А. Жаров, мл.

Рис. 1. (Цветной онлайн) Планарная диэлектрическая структура, рассматриваемая в этой работе

в которой центральный слой с проницаемостью ε_w и

а туннельные барьеры (обкладки центрального слоя

толщиной 2b расположен между слоями с проницае-

толщиной d) достаточно широки, чтобы обеспечить

мостью ε_c и толщиной d, а вся эта структура поме-

малые радиационные потери волновода. В этих усло-

щена в среду с диэлектрической проницаемостью ε_bg.

виях волновое число моды удовлетворяет дисперси-

Пусть на эту структуру падает двумерный световой

онному уравнению

пучок TE-поляризации E = Ey₀, H = H_xx₀ + H_zz₀,

поля в котором зависят от времени как ∼ exp(-iωt).

h/k₀ ≈

√ε_c + (ε_w - ε_c)²k²⁰b²/2√ε_c,

(3)

Тогда единственная компонента электрического по-

а коэффициент радиационного затухания²⁾ имеет

ля E удовлетворяет уравнению Гельмгольца

вид [17]

∂^2xxE + ∂^2zzE + k²⁰εE = 0,

k³⁰b³(ε_w - ε_c)³

γ_r = 4k₀

√

e-2k0(εw-εc)bd.

(4)

где k₀ = ω/c - волновое число излучения в свобод-

ε_c(ε_bg - ε_c)

ном пространстве, c - скорость света, и зависимость

диэлектрической проницаемости от координаты z да-

В качестве примера, в дальнейшем мы будем изу-

ется функцией

чать рассеяние светового пучка на диэлектрической



структуре со следующими материальными и геомет-



ε_bg,

|z| ≥ d + b,

рическими параметрами: ε_w

= 2.1 (стекло, fused

ε(z) =

ε_c,

a < |z| < d + b,

(2)

silica), εc = 1 (воздух), εbg = 5.29 (TiO2), вакуум-



ная длина волны излучения λ = 2π/k₀ = 1.5 мкм,

ε_w,

|z| ≤ b.

b = 0.2мкм, d = 0.9мкм.

Центральный слой структуры может образовы-

При условии возбуждения высокодобротной вол-

вать диэлектрический волновод, туннельно связан-

новодной моды (h ≫ γ_r) коэффициенты отражения

ный с окружающим пространством и поддерживаю-

R и прохождения T плоских волн через рассматрива-

щий таким образом распространение квазилокализо-

емую структуру имеют характерную лоренцовскую

ванной волноводной моды ∼ exp(ihx). Для существо-

форму линии

вания такого волновода диэлектрические проницае-

iΔ

γ_r

мости слоев должны удовлетворять неравенству

R(k_x) =

, T(k_x) =

(5)

iΔ + γ_r

ε_bg, ε_w > ε_c,

где Δ

= k_x - h - линейная отстройка излуче-

а волновое число моды h ограничивается условием

ния от резонанса с собственной модой. Соответ-

ствующие зависимости модулей и фаз коэффициен-

√ε_bg,√ε_w > h/k₀ >√ε_c.

тов R = |R| exp(iφ_R), T = |T | exp(iφT ) приведены

на рис. 2. Дисперсия коэффициентов отражения и

Предположим для простоты, что центральный

(волноведущий) слой структуры является достаточ-

²⁾Мы будем пренебрегать джоулевыми потерями в диэлек-

но тонким в масштабе длины волны,

√ε_wk₀b ≪ 1,

трике по сравнению с радиационными потерями.

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 1 - 2

2020

Фазовый контроль гигантского резонансного сдвига Гуса-Хенхен

ref или tr) в падающем, отраженном и прошедшем

волновых пучках

∫ ∞

x_s =

x|E_s(x)|²dx/

|E_s(x)|²dx,

-∞

где E_inc (E_ref, E_tr) - поле в падающем (отраженном,

прошедшем) пучке в координатном представлении

при z = -d - b (z = -d - b, z = d + b), x_inc -

(интегральная) координата точки зеркального отра-

жения, а сдвиги ГХ для отраженного и прошедше-

го пучков определяются естественным образом как

Δx_ref,tr = x_ref,tr - x_inc.

Используя Фурье-представление полей через их

√

∫

спектр E_s(x) = 1/

2π

E_s(k)exp(ikx)dk, нетрудно

получить для каждого из них

∫

∫∫

|E_s(x)|²dx =

E^∗s(k - q)E_s(k)δ(q)dkdq =

∫

|E_s|²(k)dk,

∫

∫∫

Рис. 2. (Цветной онлайн) (a) - Зависимость модуля ко-

x|E_s(x)|²dx =

E^∗s(k - q)E_s(k)δ^′(q)dkdq =

эффициентов отражения (кривая 1) и прохождения

∫

(кривая 2) как функция линейной отстройки простран-

|E_s|²(k)ψ^′sdk,

ственного спектра от резонанса прохождения; (b) -

производная от фазы коэффициента отражения по

где ψ_s(k) - фаза комплексной амплитуды поля E_s(k)

продольному волновому числу ∂φR/∂kx. Сплошные ли-

(E_s(k) = |E_s| exp(iψ_s)), δ(k) - дельта-функция Дира-

нии отвечают дисперсии коэффициентов R, T, полу-

ка и штрих означает производную по k_x. Учитывая

ченной численно методом трансфер-матриц, символы

простую связь полей в k-представлении, E_ref = RE_inc,

“ ◦” соответствуют аналитической зависимости (5). Ре-

зультаты получены для толщины d = 0.9 мкм. Соот-

E_tr = TE_inc, найдем окончательно

ветствующий коэффициент радиационного затухания

∫

γr = 5.1 · 10^-3 мкм^-1

x_inc = -

|E_inc|²φ^′incdk/

|E_inc|²dk,

∫

прохождения, полученная по формулам (5) (симво-

x_ref = -

|R|²|E_inc|²(φ^′R + φ^′inc)dk/

|R|²|E_inc|²dk, (6)

лы “◦” на рис. 2) хорошо совпадает с результатами

∫

непосредственных вычислений методом трансфер-

x_tr = -

|T |²|E_inc|²(φ^′T + φ^′inc)dk/

|T |²|E_inc|²dk.

матриц (сплошные линии).

Непосредственное дифференцирование фазы ко-

Полученные выражения (6) приводят к важным

эффициента отражения (5) дает

следствиям. Прежде всего нужно отметить, что каж-

дая из координат x_inc, x_ref, x_tr зависит от φ^′inc, одна-

-∂φ_R/∂k_x = γ_r/(Δ² + γ^2r).

ко для случая полного внутреннего отражения (ко-

Эта величина сильно меняется на ширине лоренцов-

гда модуль коэффициента отражения |R| = 1) эта

ского резонанса, и, очевидно, что для пучков с шири-

зависимость полностью компенсируется при вычис-

ной пространственного спектра большей γ_r ее нельзя

лении сдвигов ГХ отраженного и прошедшего пуч-

рассматривать в качестве сдвига ГХ. Иными слова-

ков, и вклад от φ^′inc в Δx_ref,tr оказывается нулевым.

ми, формула Артмана в этом случае неприменима.

Для того, чтобы сдвиги отраженного и прошедшего

Ниже предлагается обобщение формулы (1), кото-

пучков зависели от кривизны фазового фронта па-

рое остается справедливым для спектрально широ-

дающего пучка, необходимо наличие достаточно уз-

ких волновых пучков и основано на интегральном

кой линии прохождения излучения через рассматри-

представлении “центра тяжести” распределения по-

ваемую структуру с шириной, соизмеримой с шири-

ля E_s (здесь индекс s может принимать значения inc,

ной углового спектра падающего пучка. Далее, если

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 1 - 2

2020

А. А. Жаров, Н. А. Жарова, А. А. Жаров, мл.

для каждого из полей E_s фазы меняются при из-

ле поля в спектральном представлении (см. форму-

менении k_x медленно по сравнению с амплитудами,

лу (9)), и может привести к существенному ушире-

то сдвиги также не зависят от φ^′inc. В этом случае

нию спектра по сравнению со случаем падения пуч-

Δx_ref,tr = -∂φ_R,T /∂k_x, что для отраженного излуче-

ка с плоским фазовым фронтом. В пределе αa² ≫ 1

ния совпадает с формулой Артмана (при рассеянии

ã → 1/(αa) и β → -1/α, т.е. спектр сильно уши-

излучения на рассматриваемой структуре это усло-

ряется, а его фазовая модуляция становится слабой.

вие медленности выполняется лишь для спектрально

Спектральное уширение сфокусированного волново-

узких пучков, см. выше).

го пучка иллюстрируется на рис.3a, где показаны

Более интересной представляется ситуация, когда

φ^′inc влияет на сдвиги ГХ, поскольку легко реализу-

емая модуляция фазового фронта падающего излу-

чения может служить средством контроля эффекта

ГХ. Простейшая модуляция такого рода - это квад-

ратичная фазовая коррекция, ∼ x², которая получа-

ется, например, при линзовой или зеркальной фо-

кусировке/дефокусировке волнового пакета с плос-

ким фазовым фронтом. Эта фазовая модуляция в x-

пространстве преобразуется в квадратичную по k_x

модуляцию фазы поля в спектральном представле-

нии.

Пусть падающее излучение представляет собой

гауссов пучок шириной a с квадратичным фазовым

фронтом, кривизна которого характеризуется пара-

метром α

E_inc = exp(-0.5x²/a² - 0.5iαx²).

(7)

Будем считать, что в соответствующем волновом па-

кете x-компонента волнового числа заполнения сдви-

нута относительно резонанса прохождения на δk_x, и

Рис. 3. (Цветной онлайн) (a)

- Модуль спектра

введем переменную

Δ= k_x - (h + δk_x). Тогда поле в

|Einc|(Δ/γr ) гауссова пучка (7) с волновым числом за-

спектральном представлении будет также иметь вид

полнения, отвечающем резонансу прохождения (δkx =

гауссова пучка

= 0), с шириной a = 0.89 мм и кривизной фазового

фронта α = 0 (кривая 1) и α = 29 мм^-2 = 1.12γ2r (кри-

E_inc = exp(-0.5Δ2ã² - 0.5iβΔ2),

(8)

вая 2); соответствующие ширины пространственного

спектра различаются в 23 раза. Для сравнения пока-

с характерной шириной 1/ã и квадратичной фазой,

заны также функция Im(Einc) (кривая 3) и модуль ко-

пропорциональной параметру β:

эффициента прохождения |T | (штриховая линия). (b) -

ã² = a²/(1 + α²a⁴), β = -αa⁴/(1 + α²a⁴).

(9)

Сдвиги ГХ для отраженного (кривые 1, 1^′) и прошед-

шего (кривые 2, 2^′) излучения в зависимости от δkx;

штриховые линии отвечают падающему излучению с

Производная от фазы при этом φ^′inc = -βΔ, и изме-

плоским фазовым фронтом, а сплошные - сфокусиро-

нение сдвигов ГХ, обусловленное кривизной фронта,

ванному пучку с параметром α = 29 мм^-2. Максималь-

будет пропорционально параметру β. Очевидно, что

ный сдвиг отраженного сфокусированного пучка в 4.4

для симметричного по x распределения амплитуды

раза больше, чем пучка с плоским фазовым фронтом,

(7) x_inc = 0, поэтому Δx_ref,tr совпадают в этом слу-

для прошедшего излучения отношение сдвигов ГХ ока-

чае с x_ref,tr.

зывается равным 8. Материальные и геометрические

Для угла падения пучка, отвечающего максиму-

параметры рассматриваемой системы даны в подписи

му прохождения, поправка из-за кривизны к Δx_ref,tr

к рис.2

также исчезает: поскольку в этом случае

Δ= Δ, то

из соображений симметрии следует, что слагаемое,

спектральные линии для гауссовых пучков одинако-

пропорциональное β, обращается в нуль.

вой ширины, но имеющих плоский и квадратичный

Очевидно, что фокусировка падающего излуче-

фазовые фронты. Оказывается, что для выбранных

ния сказывается не только на фазе, но и на моду-

параметров спектральная ширина сфокусированно-

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 1 - 2

2020

Фазовый контроль гигантского резонансного сдвига Гуса-Хенхен

го пучка в 23 раза больше, чем ширина линии пучка

с плоским фронтом. Рисунок 3a отвечает случаю с

волновым числом заполнения δk_x = 0, когда сдви-

ги ГХ для сфокусированного и несфокусированно-

го пучков совпадают, несмотря на существенно раз-

личные ширины спектра. Однако при изменении от-

стройки волнового пакета от резонанса прохожде-

ния сдвиги ГХ могут заметно вырасти. Поведение

Δx_ref,tr в зависимости от δk_x/γ_r иллюстрируется на

рис. 3b, где (в максимуме) достигается усиление эф-

фекта ГХ в 4 раза для отраженного и в 8 раз для

прошедшего излучения. Более того, при изменении

δk_x оказывается возможным обратить знак сдвигов

ГХ, что недостижимо для падающего излучения с

плоским фазовым фронтом. Перемена знака Δx_ref,tr

также происходит при замене α → -α, т.е. при ис-

пользовании, например, дефокусирующей линзы.

Пространственная структура прошедшего и отра-

женного полей представлена на рис. 4 в зависимости

от параметра отстройки δk_x, где опять для сравнения

показаны поля, возбуждаемые гауссовыми волновы-

ми пакетами с квадратичным (рис. 4a, b) и с плоским

(рис. 4c, d) фазовым фронтом. Почти симметричная

относительно x = 0 (точки зеркального отражения)

структура полей |E_ref,tr| на рис.4c,d меняется при

фокусировке падающего пучка на заметно асиммет-

ричную на рис. 4a, b, что и является причиной уси-

ления эффекта ГХ. Также очевидной при взгляде на

структуру полей становится возможность достиже-

ния отрицательных сдвигов ГХ. Сдвиги ГХ зависят,

таким образом, от многих параметров, и чтобы най-

ти максимальное значение Δx_ref,tr, нужно провести

вычисления по формулам (6), по крайней мере, для

трехмерного массива параметров a, α, δk_x, которые

легко (в отличие от γ_r) контролируются в экспери-

менте. Однако оценить как оптимальные значения

a, α, δk_x, так и максимально достижимые величины

Δx_ref,tr, можно аналитически. Если в выражениях

(6) приближенно заменить |E_inc| = exp(-0.5(Δ)²ã²)

на |E_inc| ≈ 0.5[θ(Δ + 1/ã) - θ(Δ - 1/ã)] (θ(ξ) - степ-

функция Хевисайда), то интегрирование дает Δx_tr =

Рис. 4. (Цветной онлайн) Пространственная структура

= -I₁/I₀, где

модуля отраженного |E_ref|(x) (a) и прошедшего |Etr|(x)

(b) излучения при возбуждении собственной моды

I₁ = [-0.5ξ/(1 + ξ²) + (γ_rβδk_x - 0.5)arctanξ -

гауссовым пучком с квадратичным фазовым фронтом

для различных значений параметра отстройки δkx; то

- 0.5γ^2rβln(1 + ξ²)]|^ξ+ξ-,

же для отраженного (c) и прошедшего (d) полей при

падении несфокусированного гауссова пучка. Сильная

асимметрия, вносимая модуляцией фазы падающего

I₀ = γ_rarctanξ|^ξ+ξ-

излучения, приводит к значительному росту сдвигов

ГХ. Параметры падающего пучка приведены в подпи-

и ξ± = (δk_x ± 1/ã)/γ_r.

си к рис. 3

Численное исследование показывает, что при

условии a² ≫ 1/α, 1/γ^2r максимум модуля сдвига для

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 1 - 2

2020

А. А. Жаров, Н. А. Жарова, А. А. Жаров, мл.

получить за счет фокусировки/дефокусировки, ра-

вен полуширине (на уровне 0.5 от максимума поля)

падающего пучка, и такой сдвиг может быть лег-

ко зафиксирован в эксперименте. Величина макси-

мального сдвига отраженного излучения оказывает-

ся порядка Δx_ref, достигаемой для падающего пучка

с плоским фронтом, но поскольку Δx_ref зависит от

α, то эта зависимость позволяет контролировать эф-

фект ГХ.

В заключение, в работе предложен способ управ-

нения сдвигом Гуса-Хенхен отраженного и прошед-

шего через слоистую диэлектрическую структуру

световых пучков. Показано, что существенное изме-

нение ГХ сдвигов, вплоть до изменения их знака, мо-

жет быть достигнуто за счет квадратичной коррек-

ции фазового фронта, т.е. фокусировки или дефоку-

сировки падающего излучения.

Работа поддержана грантом Минобрнауки

(проект 2020-538-02-НЦМУ-1-10).

F. Goos and H. Hanchen, Ann. Phys. (Leipzig) 1, 333

(1947).

K. Y. Bliokh and A. Aiello, J. Opt. 15, 014001 (2013).

K. V. Artmann, Ann. Phys. (Leipzig) 2, 87 (1948).

D. Felbacq, A. Moreau, and R. Smaali, Opt. Lett. 28,

1633 (2003).

R. Yang, W. Zhu, and J. Li, Opt. Express 22, 2043

(2014).

I. V. Shadrivov, A. A. Zharov, and Y. S. Kivshar, Appl.

Phys. Lett. 83, 2713 (2003).

I. V. Shadrivov, R. W. Ziolkowski, A.A. Zharov, and

Y. S. Kivshar, Opt. Express 13, 481 (2005).

Рис. 5. (Цветной онлайн) (a) - Сдвиг ГХ для прошед-

C. Luo, J. Guo, Q. Wang, Y. Xiang, and S. Wen, Opt.

Express 21, 10430 (2013).

шего излучения Δxtr как функция параметров a и α.

(b) - Δxtr в зависимости от α: кривые [1, 2, 3, 4, 5] отве-

Y. Hirai, K. Matsunaga, Y. Neo, and T. Matsumoto,

чают ширине пучка a = [0.2196, 0.4151, 0.6106, 0.8061,

Appl. Phys. Lett. 112, 051101 (2018).

10.

F. Huerkamp, T. A. Leskova, A. A. Maradudin, and

1.0016] мм. (c) - Δxtr в зависимости от a: кривые [1, 2,

B. Baumeier, Opt. Express 19, 15483 (2011).

3, 4, 5, 6] отвечают кривизне фазового фронта α = [0,

11.

V. Yallapragada, A. Ravishankar, G. Mulay,

0.9776, 2.9327, 6.8429, 14.6633, 30.3042] мм^-2; при вы-

G. Agarwal, and V. Achanta, Sci. Rep.

19319

числениях считалось, что δkx = 1/ã. Параметры пада-

(2016).

ющего пучка приведены в подписи к рис.3

12.

C. W. Chen, W. C. Lin, L. S. Liao, Z. H. Lin,

прошедшего излучения достигается при δk_x ≈ ±1/ã,

H. P. Chiang, P. T. Leung, E. Sijercic, and W. S. Tse,

Appl. Opt. 46, 5347 (2007).

а сама величина Δx_tr приближенно равна

13.

X. Yin and L. Hesselink, Appl. Phys. Lett. 89, 261108

Δx_tr ≈ 1/γ_r ± β/ã + 0.5βγ_r ≈ 1/γ_r ± a,

(2006).

14.

T. Sakata, H. Togo, and F. Shimokawa, Appl. Phys.

что согласуется с результатами непосредственных

Lett. 76, 2841 (2000).

вычислений (см. рис. 3b).

15.

Y. Fan, N. Shen, F. Zhang, Z. Wei, H. Li, Q. Zhao,

Более интересной с точки зрения эксперимента

Q. Fu, P. Zhang, T. Koschny, and C. M. Soukoulis, Adv.

является зависимость сдвигов ГХ от ширины a и кри-

Optical Mater. 4, 1824 (2016).

16.

H. Wu, Q. Luo, H. Chen, Y. Han, X. Yu, and Sh. Liu,

визны фазового фронта α. Результаты вычислений

Phys. Rev. A 99, 033820 (2018).

представлены на рис. 5, где для простоты считалось,

17.

A. A. Zharov, D. A. Smirnova, and A. I. Smirnov, J. Opt.

что δk_x = 1/ã. Эти результаты также подтверждают,

Soc. Am. B 29, 443 (2012).

что максимальный сдвиг ГХ Δx_tr, который можно

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 1 - 2

2020