Письма в ЖЭТФ, том 112, вып. 3, с. 196 - 202

Моделирование квантового эффекта Холла в образцах

с длинноволновым слабым беспорядком¹⁾

О.А.Ткаченко⁺²⁾, В.А.Ткаченко^+∗, Д.Г.Бакшеев^∗, О.П.Сушков^×

⁺Институт физики полупроводников им. А. В. Ржанова Сибирского отделения РАН, 630090 Новосибирск, Россия

^∗Новосибирский государственный университет, 630090 Новосибирск, Россия

^×School of Physics, University of New South Wales, 2052 Sydney, Australia

Поступила в редакцию 1 июня 2020 г.

После переработки 3 июля 2020 г.

Принята к публикации 7 июля 2020 г.

В режиме квантового эффекта Холла численно изучена тонкая структура плотности состояний при

баллистическом прохождении электрона через площадку 1 мкм² двумерного электронного газа со сла-

бым длинноволновым беспорядком. Найденные ширины строгих квантовых плато соответствуют экс-

периментальным данным. В центральной части нижней зоны Ландау обнаружены периодические ос-

цилляции кондактанса, отвечающие добавлению двух электронов к моделируемой площадке. Внутри

площадки и на ее краю обнаружены одномерные противотоки, разделенные магнитной длиной и объяс-

няемые движением электрона с малой дрейфовой скоростью.

DOI: 10.31857/S1234567820150094

Квантовый эффект Холла (КЭХ) [1, 2] широко

чительно больше, чем в макросистемах, для кото-

известен благодаря своей связи с мировыми констан-

рых так же велика роль декогерентности [5], сжи-

тами и узнаваемости экспериментальных проявле-

маемых/несжимаемых полос [12] и неоднородностей

ний в разнообразных двумерных проводящих систе-

холловских полей [13]. Моделирование эксперимен-

мах (см. обзоры [3-6] и ссылки там). Несмотря на

тальных наблюдений КЭХ в небольших мезоскопи-

обширность литературы по механизму КЭХ, неяс-

ческих структурах позволило бы ответить на часть

ным остается: как происходит переход между ре-

вопросов.

жимами локализованных, делокализованных и кра-

Благодаря совершенствованию технологии и из-

евых состояний [3, 7, 8], сосуществуют ли они, как

мерений [6, 18-20] недавно удалось наблюдать КЭХ

соотносятся между собой ширины плато квантован-

в очень чистой баллистической структуре с квад-

ных значений сопротивления и переходных областей,

ратом ДЭГ размером 1 мкм² и довольно резкими

как эти ширины зависят от типа, амплитуды бес-

краями (почти без несжимаемых полос) [21]. Важно,

порядка и крупномасштабных особенностей потен-

что в малых образцах холловские плато наблюдаемы

циала [9-13], как беспорядок влияет на квантова-

не только в сопротивлении R_xy [22, 23], но также в

ние Ландау [3, 4, 14, 15] и какую роль в КЭХ иг-

кондактансе по диагонали через образец G_xy [21, 24]

рают спин, взаимодействие, корреляции и фазовые

и в обычном двухтерминальном кондактансе [25, 26].

переходы в многочастичной системе [4-6, 13, 16, 17].

Трактовка последнего в подходе Ландаура [27] не

Для объяснения КЭХ было выполнено множество

нуждается в рассмотрении холловских полей и рас-

квантово-механических расчетов, в том числе, весь-

пределений химпотенциала внутри образца, которое

ма сложных [16, 17]. При этом результаты авто-

необходимо для макросистем [13].

матически распространялись на макроскопические

Целью настоящей работы является моделирова-

системы с двумерным электронным газом (ДЭГ),

ние целочисленного КЭХ в структурах с чистым

хотя были получены для субмикронных размеров

ДЭГ, которое ограничивается расчетом когерентно-

области счета. При таких размерах вклад крае-

го рассеяния частицы на слабом длинноволновом

вых состояний в ширины квантованных плато зна-

беспорядке в квадратных образцах со стороной от

1 до 4 мкм в двухтерминальной ситуации. Беспоря-

док считается длинноволновым, если его корреля-

¹⁾См. дополнительные материалы к данной статье на сайте

нашего журнала www.jetpletters.ac.ru.

ционная длина L_corr много больше магнитной дли-

²⁾e-mail: otkach@isp.nsc.ru

ны l_B. Универсальным способом решения задачи од-

196

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 3 - 4

2020

Моделирование квантового эффекта Холла в образцах с длинноволновым слабым беспорядком

197

ночастичного квантового рассеяния является метод

неравновесных функций Грина [27, 28], который поз-

воляет численно находить локальную и полную плот-

ность состояний (LDoS(x, y) и DoS), кондактанс G и

распределение неравновесного тока J(x, y) практи-

чески для любой малой двумерной системы, встро-

енной в однородный канал [29-32]. В этой работе

двумерный эффективный потенциал U(x, y) полу-

чен в результате численного решения задачи трех-

мерной электростатики твердотельной структуры по

найденному коррелированному распределению ло-

кализованных зарядов на плоскости, удаленной от

Рис. 1. (Цветной онлайн) Схематическое изображение

ДЭГ [33]. Беспорядок в U(x, y) характеризуется кор-

моделируемой ситуации: область рассеяния c потенци-

реляционной функцией Гаусса exp[-(|Δr|/L_corr)²].

алом U(x, y) ограничена пунктирными линиями в ка-

Расчеты показывают, что в зависимости от рассто-

нале, U - потенциал в двумерном уравнении Шредин-

гера, µL, µR, - химпотенциалы, V - напряжение между

яния z между плоскостью локализованных зарядов

резервуарами ДЭГ

и ДЭГ длина корреляции L_corr меняется от 30 до

100 нм. При z ≥ 40 нм (L_corr ≥ 80 нм) в квантую-

щих магнитных полях B ≥ 1 Тл (l_B ≤ 26 нм) бес-

и малых образцах [10, 11, 18, 19, 21, 23]. Дробные

порядок можно считать длинноволновым: L_corr ≫

особенности кондактанса [21, 25, 26] остаются за пре-

≫ l_B. Способ расчета U(x,y) и L_corr приведен в при-

делами предложенной модели.

ложении (см. дополнительный материал к данной

Рисунки 2, 3 демонстрируют вычисленные по ал-

работе). Чтобы промоделировать ослабление влия-

горитму [28] зависимости DoS(n), G(n) и E_F (n) для

ния беспорядка, мы использовали вычисленный из

одной реализации двумерного потенциала U, отве-

трехмерной электростатики потенциал U(x, y), умно-

чающей некоторому рабочему состоянию мезоскопи-

женый на некоторый коэффициент, меньший еди-

ческого образца. В расчете использован потенциал

ницы. Диапазоны изменения амплитуд флуктуаций

U (x, y) с Lcorr = 80 нм, заданный на квадрате со

потенциала 0.05-1.5 мэВ и, соответственно, средне-

стороной 1 мкм и показанный на рис.4 вместе с ко-

квадратичных отклонений δU_rms от 0.016 до 0.5 мэВ

ординатными зависимостями локальной плотности

отвечают высокому качеству структур с подвижно-

состояний и неравновесного тока. Задача квантово-

стью (10⁶-10⁷ см²/Вс) [6, 18, 20]. В предлагаемой мо-

го рассеяния решалась при характерном для КЭХ

дели КЭХ область рассеяния встроена в однородный

фиксированном перпендикулярном магнитном поле

канал, внутри которого потенциал U принят рав-

B = 2Тл (ℏω_c = 3.46мэВ). Плотность состояний DoS

ным -ΔU, а на границах - бесконечным (рис. 1).

в области рассеяния и двухтерминальный кондак-

Канал находится между широкими резервуарми с

танс G вычислялись через функции Грина [27] в за-

ДЭГ. Функции распределения электронов, падаю-

висимости от энергии электрона E, меняемой с ма-

щих на область рассеяния слева (k_x > 0) и спра-

лым шагом ∼ 10^-6 мэВ. Суммированием DoS(E), на-

ва (k_x

< 0) есть f⁺(E) = Θ(µ_L - E), f^-(E) =

чиная от состояния с DoS = 0 до текущей энер-

= Θ(µ_R - E) [27]. Двухтерминальный кондактанс

гии Ферми E_F , находилась плотность ДЭГ n(E_F )

определяется по формуле Ландауэра для нулевой

в области рассеяния. Затем строились зависимости

температуры при V → 0. Одночастичные состояния

от затворно-управляемой переменной концентрации

при V = 0 заполняются вплоть до уровня Ферми E_F .

n. Анализ этих зависимостей является основным со-

Спиновое расщепление состояний [3, 5] и зависимость

держанием данной работы, поскольку их легко со-

двумерного потенциала U от B и n - концентрации

поставлять с измерениями электронного транспор-

ДЭГ [4, 9, 18] не учитываются. Мы строим зависи-

та. Подробности расчетов, в том числе, вычислен-

мости DoS, G и E_F от n при фиксированном B, а не

ные зависимости по энергии, вынесены в дополни-

наоборот, что требовало бы самосогласованного рас-

тельный материал. В контрасте с исходной зависи-

чета E_F (B, n). Такие расчеты без дополнительных

мостью DoS(E) (Fig. S2 дополнительного материа-

гипотез позволяют получить ширины квантованых

ла) уровни Ландау, имеющие при слабом плавном

плато кондактанса, тонкую структуру уровней Лан-

беспорядке ширину Γ ∼ δU_rms = 0.016 мэВ ≪ ℏω_c

дау и распределение одномерных токовых состояний.

превратились на зависимости DoS(n) в широкие зо-

Результаты сравниваются с измерениями в больших

ны, а провалы между ними резко сузились (рис. 2a).

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 3 - 4

2020

198

О.А.Ткаченко, В.А.Ткаченко, Д.Г.Бакшеев, О.П.Сушков

Рис. 2. (Цветной онлайн) Зависимости плотности состояний DoS(n), уровня Ферми EF (n) (a) и кондактанса G(n)

(b) при B

= 2Тл для одной из реализаций потенциала в области рассеяния 1мкм² с Umax - Umin = 0.1 мэВ,

δUrms = 0.016 мэВ, Lcorr = 80 нм, ΔU = 0.25 мэВ. Горизонтальные стрелки показывают ширины строгих квантовых

плато кондактанса

Хорошо видна тонкая структура зон Ландау. Эти

ких условиях [21], действительно, наблюдался сдвиг

зоны состоят из сотен узких пиков DoS, причем

центров плато R_xy к более высоким B по сравне-

их высота в довольно широкой окрестности центра

нию с предсказанными по классическому эффекту

зоны на порядки ниже, чем на хвостах зоны. За-

Холла. На рисунке 2 ширина переходных областей

метим, что с увеличением размера изучаемой об-

G(n), содержащих узкие пики, провалы кондактан-

ласти рассеяния количество пиков DoS растет. В

са и плавные изменения G(n), соизмерима с шири-

макроскопическом образце происходит усреднение

ной строгого плато. Об этом говорят приблизитель-

зависимости DoS(E), и информация о распределе-

но равные дистанции 3 · 10¹⁰ см^-2 между соседни-

нии локализованных и делокализованных состояний

ми вертикальными пунктирными разделительными

пропадает.

линиями (рис. 2a, b). Исходя из рис. 2, можно ожи-

Из рисунка 2b видно, что на левой стороне каж-

дать, что ширина строгих плато в чистых струк-

дого плато квантования кондактанса есть узкие про-

турах с учетом снятия спинового вырождения бу-

валы. Участки непрерывных плато строгого кванто-

дет 1.5 · 10¹⁰ см^-2. Это значение почти совпадает

вания, окружающих характерные значения плотно-

с измеренной шириной квантовых плато при фак-

сти n = 10, 16, 23 · 10¹⁰ см^-2, одинаковы по ширине.

торах заполнения ν

= 1 и ν = 2 в случае мак-

Сравнение графиков G(n), DoS(n) и E_F (n) (рис. 2)

роскопических образцов с подвижностями (0.5-4) ×

показывает, что возле этих характерных значений n

10⁶ см²/Вс [18]. В мезоскопическом холловском мо-

находятся глубокие провалы DoS и резкие перехо-

стике размером 2×13 мкм экспериментально обнару-

ды между широкими, почти горизонтальными участ-

жена тонкая структура в DoS(n) с большим числом

ками E_F (n). Непрерывные строгие плато квантова-

тонких пиков на краю зоны Ландау и ее проникно-

ния кондактанса проникают в соседние зоны Лан-

вение вглубь плато R_xy = h/2e² [23], что напоминает

дау, причем гораздо глубже в начало зон с более вы-

поведение при n ≈ 10¹¹ см^-2 на рис. 2.

соким номером, так что центры строгих плато ле-

На рисунке 3 в увеличенном масштабе показа-

жат по n справа от точек минимального DoS, на-

ны периодические антифазные осцилляции DoS(n)

пример, от 2eB/h. Отметим, что подобный сдвиг

и G(n) в центральной области первой зоны Ландау.

в экспериментах является редкостью, но при близ-

Период осцилляций отвечает добавлению к области

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 3 - 4

2020

Моделирование квантового эффекта Холла в образцах с длинноволновым слабым беспорядком

199

Рис. 3. (Цветной онлайн) Зависимости DoS(n) и G(n), отвечающие области внутри пунктирного прямоугольника возле

центра нижней зоны Ландау из рис. 2

рассеяния приблизительно 2.5 электронов, что будет

не проявляет себя на этих линиях и в области

обсуждаться ниже.

изолятора.

Наиболее простые картины LDoS(x, y) и J(x, y)

Ситуация качественно меняется для состояний,

получаются для глубоких провалов DoS, т.е. со-

отвечающих области периодических осцилляций

стояний глубоко внутри строго квантованных пла-

кондактанса возле центра нижней зоны Ландау

то кондактанса, когда E_F - ℏω/2 ≫ δUrms (при-

E_F - ℏω_c/2 < δU_rms. Это показано на рис.4d,e,f.

мер на рис. 4a, b). Видны обычные краевые состоя-

Из сравнения с рис.4c видно, что электроны на

ния в виде тонких линий повышенной LDoS на кра-

уровне Ферми заполняют лишь сеть линий LDoS

ях канала, отвечающие равновесному току при нуле-

(рис. 4e), совпадающих с изолиниями потенциа-

вом тянущем напряжении (рис.4a). Неравновесный

ла при U(x, y)

= 0. Ширины извилистых линий

ток присутствует лишь на том краю квадрата, ко-

LDoS(x, y) определяются магнитной длиной. В

торый отвечает заданному знаку разности химпо-

промежутках между линиями LDoS(x, y) падает на

тенциала в подводящих идеальных каналах. Распре-

порядки. Отметим, что аналогичная сеть в LDoS на-

деление тока по y на этом краю выглядит одиноч-

блюдалась экспериментально, но для более сильного

ной узкой линией, и его направление указано стрел-

и менее плавного беспорядка [10]. Неравновесный

кой (рис. 4b). Пространство вне указанных линий яв-

ток на рис.4d,f тоже течет вдоль изолиний нулевого

ляется изолятором, поскольку LDoS(x, y) и J(x, y)

потенциала, но не в одном, как было на рис. 4b, а в

здесь меньше, чем на линиях почти на 8 поряд-

двух встречных направлениях, что проявляется в

ков. Слабый плавный беспорядок в U(x, y), найден-

раздвоенности линий плотности тока J, показанной

ный решением задачи 3D электростатики (рис. 4c),

мелкими стрелками (направление стрелок можно

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 3 - 4

2020

200

О.А.Ткаченко, В.А.Ткаченко, Д.Г.Бакшеев, О.П.Сушков

Рис. 4. (Цветной онлайн) Картины LDoS (a), (e), (g) и неравновесного тока (b), (d), (f), (h) в области рассеяния. (a),

(b) - Случай наиболее глубокого провала DoS из рис. 2 (n = 2eB/h, EF = ℏωc, G = 2e²/h): обычное краевое состояние

с однонаправленным током (b), направление указано стрелкой. (с) - U(x, y), использованный при построении рис. 2, 3.

(e) - Пример линий повышенной LDoS, идущих вдоль изолиний U(x, y) = 0 для состояний возле центра нижней зоны

Ландау с EF ≈ ℏωc/2, G = 0.7 · 2e²/h. (d), (f) - Примеры линий повышенной плотности тока J, идущего во встречных

направлениях вдоль изолиний U(x, y) = 0. (d) - Случай G = 0.99 · 2e²/h при n = 4.68 · 10¹⁰ см^-2, отвечающий узкому

пику на рис.3. (f) - Случай G = 0.084·2e²/h при n = 5.05·10¹⁰ см^-2, отвечающий узкому провалу. (g), (h) - Состояние

возле центра второй зоны Ландау с EF ≈ 3ℏωc/2, G = 1.98 · 2e² /h. Видны идущие вдоль изолиний U(x, y) = 0 двойные

линии повышенной LDoS и сдвоенные линии встречных токов, обозначенных стрелками

разглядеть в сильно увеличенном масштабе, см.

В данном случае скорость кругового движения

дополнительный материал). Этот эффект объяс-

электрона ω_cr_c ≈ 10⁶ см/с в 50 раз выше дрейфо-

няется малой дрейфовой скоростью электрона.

вой. Видно, что на изолиниях потенциала LDoS

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 3 - 4

2020

Моделирование квантового эффекта Холла в образцах с длинноволновым слабым беспорядком

201

неоднородна из-за плавных и резких изменений

части зоны Ландау одночастичные токи текут вдоль

величины и направления дрейфовой скорости. Если

изолиний нулевого потенциала в двух противополож-

с повышением n электроны заполняют лишь невы-

ных направлениях, что связано с медленным дрей-

рожденные квазидискретные уровни, то резонансы

фом электрона. На краях зоны Ландау кольцевые

следуют с периодом по n, отвечающим добавлению

токи внутри образца сосуществуют с краевыми то-

двух электронов ко всей моделируемой площадке.

ками. Квазипериодические осцилляции в DoS(n) от-

Простой расчет для развилки одномерных провод-

вечают добавлению двух электронов к области рассе-

ников [29] показывает, что средний период по n

яния. Ширины плато кондактанса и переходных об-

может увеличиваться до 2.5 электронов.

ластей согласуются с измерениями.

Рисунок 4g, h в дополнение к рис. 4d, e, f демон-

Работа выполнена при поддержке Российского

стрирует универсальность эффекта движения элек-

научного фонда (грант 19-72-30023). Использова-

трона вдоль изолиний U(x, y) = 0, когда речь идет о

лись вычислительные ресурсы Межведомственно-

состояниях возле центра зоны Ландау. В данном слу-

го суперкомпьютерного центра РАН, авторы бла-

чае зона является второй и кондактанс чуть ниже,

годарят A. R. Hamilton, А. А. Быкова, З. Д. Квона,

чем 2·2e²/h. Линии LDoS теперь раздвоены (два мак-

Г. М. Минькова, Д. Г. Полякова, И. В. Горного за об-

симума плотности вероятности). Заметим, что подоб-

суждение.

ное раздвоение извилистых линий LDoS недавно на-

блюдалось экспериментально при менее плавном бес-

порядке [11]. Линии J на рис. 4h, как и на рис. 4d, f,

K. von Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper, Phys. Rev.

Lett. 45, 494 (1980).

состоят из двух противотоков. В дополнительном ма-

териале показано, что аналогичные противотоки су-

D. C. Tsui, H. L. Stormer, and A.C. Gossard, Phys. Rev.

Lett. 48, 1559 (1982).

ществуют на краю структур, как при более сильном

беспорядке, так и в его отсутствии. Их причиной яв-

H. Aoki, Rep. Prog. Phys. 50, 655 (1987).

ляется быстрое движение частицы по окружности,

I. V. Kukushkin and V. B. Timofeev, Adv. Phys. 45, 147

центр которой медленно дрейфует. Краевые состо-

(1996).

яния появляются в виде противотоков, когда элек-

В. Т. Долгополов, УФН 184, 113 (2014).

троны населяют примерно половину уровня Ландау

M. J. Manfra, Annu. Rev. Condens. Matter Phys. 5, 347

(дрейфовая скорость близка к нулю), а затем пре-

(2014).

образуются в однонаправленные токи в провале DoS

H. Levine, S. Libby, and A. M. M. Pruisken, Phys. Rev.

между уровнями Ландау (дрейфовая скорость высо-

Lett. 51, 1915 (1983).

кая). В дополнительном материале также показано,

K. Shizuya, Phys. Rev. Lett. 73, 2907 (1994).

что узким пикам на краях (хвостах) зон Ландау от-

A. L. Efros, F. G. Pikus, and V. G. Burnett, Phys. Rev.

вечают локализованные состояния в виде кольцевых

B 47, 2233 (1993).

токов, которые сосуществуют с краевым током. Вме-

10.

K. Hashimoto, C. Sohrmann, J. Wiebe, T. Inaoka,

сте с рис.2-4 это уточняет предсказания проникнове-

F. Meier, Y. Hirayama, R. A. Römer, R. Wiesendanger,

ния квантовых плато R_xy в область локализованных

and M. Morgenstern, Phys. Rev. Lett. 101, 256802

состояний [3, 8].

(2008).

Мы проверили устойчивость плато кондактанса

11.

J. R. Bindel, J. Ulrich, M. Liebmann, and

к изменению B от 1 до 3 Тл, ширины канала от 1 до

M. Morgenstern, Phys. Rev. Lett.

118,

016803

3 мкм и к изменению параметров потенциала. Если

(2017).

беспорядок оставался длинноволновым и меньшим,

12.

D. B. Chklovskii, B. I. Shklovskii, and L. I. Glazman,

чем ℏω_c, то строгие плато G(n) глубоко проникали

Phys. Rev. B 46, 4026 (1992).

в зоны Ландау. Однако при указанных B этот эф-

13.

J. Weis and K. von Klitzing, Phil. Trans. R. Soc. A 369,

фект исчез, когда длинноволновый беспорядок был

3954 (2011).

заменен короткодействующим с сохранением δU_rms.

14.

E. Brezin, D. J. Gross, and C. Itzykson, Nucl. Phys. B

Наконец, в дополнительном материале показано, что

235, 24 (1984).

в случае отсутствия беспорядка увеличение ширины

15.

I. S. Burmistrov and M. A. Skvortsov, JETP Lett. 78,

канала до 3 мкм резко сужает квантованные плато

156 (2003).

кондактанса, т.е. убивает квантовый эффект Холла.

16.

J. Oswald and R. A. Römer, Phys. Rev. B 96, 125128

Итак, при слабом длинноволновом беспорядке

(2017).

численно изучена тонкая структура плотности со-

17.

W. Zhu and D. N. Sheng, Phys. Rev. Lett. 123, 056804

стояний в квантовом эффекте Холла. В центральной

(2019).

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 3 - 4

2020

202

О.А.Ткаченко, В.А.Ткаченко, Д.Г.Бакшеев, О.П.Сушков

18. S. Ilani, J. Martin, E. Teitelbaum, J. H. Smet,

27. S. Datta, Electronic transport in mesoscopic systems,

D. Mahalu, V. Umansky, and A. Yacoby, Nature 427,

Cambridge University Press, Cambridge, UK (1997).

328 (2004).

28. A. Cresti, R. Farchioni, G. Grosso, and G. P. Parravicini,

19. O. E. Dial, R. C. Ashoori, L. N. Pfeiffer, and K. W. West,

Phys. Rev. B 68, 075306 (2003).

Nature 448, 176 (2007).

29. O. A. Tkachenko, V. A. Tkachenko, Z. D. Kvon,

20. M. Sammon, M. A. Zudov, and B. I. Shklovskii, Phys.

A. L. Aseev, and J.-C. Portal, Nanotechnology

23,

Rev. Mater. 2, 064604 (2018).

095202 (2012).

21. J. Nakamura, S. Fallahi, H. Sahasrabudhe, R. Rahman,

30. О. А. Ткаченко, В. А. Ткаченко, Письма в ЖЭТФ

S. Liang, G. C. Gardner, and M. J. Manfra, Nature Phys.

15, 563 (2019).

99, 231 (2014).

22. Z. D. Kvon, E. B. Ol’shanestkii,

M. I. Katkov,

31. O. A. Tkachenko, V. A. Tkachenko, I. S. Terekhov, and

A.E. Plotnikov, A. I. Toropov, N. T. Moshegov,

O. P. Sushkov, 2D Materials 2, 014010 (2015).

M. Cassé, and J. C. Portal, Semiconductors 33, 1238

32. O. Tkachenko, V. Tkachenko, Z. Kvon, D. Sheglov,

(1999).

and A. Aseev, in Advances in Semiconductor

23. O. Couturaud, S. Bonifacie, B. Jouault, D. Mailly,

Nanostructures, Growth, Characterization, Properties

A. Raymond, and C. Chaubet, Phys. Rev. B 80, 033304

and Applications, ed. by A. Latyshev, A. Dvurechenskii,

(2009).

and A. Aseev, Elsevier, Amsterdam (2017), p. 131.

24. N. Pascher, C. Rössler, T. Ihn, K. Ensslin, C. Reichl,

33. О. А. Ткаченко, Д. Г. Бакшеев, В. А. Ткаченко,

and W. Wegscheider, Phys. Rev. X 4, 011014 (2014).

О. П. Сушков, Труды международной конферен-

25. X. Du, I. Skachko, F. Duerr, A. Luican, and

E. Y. Andrei, Nature 462, 192 (2009).

ции “Актуальные проблемы вычислительной и при-

кладной математики”, Новосибирский националь-

26. A. Grivnin, H. Inoue, Y. Ronen, Y. Baum, M. Heiblum,

V. Umansky, and D. Mahalu, Phys. Rev. Lett. 113,

ный исследовательский государственный универси-

266803 (2014).

тет, Новосибирск (2019), c. 509, 515.

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 3 - 4

2020