Письма в ЖЭТФ, том 112, вып. 4, с. 246 - 250

Локализация экситонов на плоских дефектах в полупроводниковых

кристаллах

М. М. Махмудиан^+∗1), А. В. Чаплик^+∗1)

⁺Институт физики полупроводников им. А. В. Ржанова Сибирского отделения РАН, 630090 Новосибирск, Россия

^∗Новосибирский государственный университет, 630090 Новосибирск, Россия

Поступила в редакцию 18 июня 2020 г.

После переработки 27 июня 2020 г.

Принята к публикации 10 июля 2020 г.

Теоретически исследованы локализованные состояния экситона большого радиуса на плоском корот-

кодействующем дефекте, который моделируется потенциалом -V δ(z). Отношение амплитуды V к e²/ε

(ε - диэлектрическая постоянная) определяет два асимптотических режима - слабая или сильная лока-

лизация. В обоих случаях радиационное время жизни экситона увеличивается с ростом V по степенным

законам: V^1/4 в случае слабой и V в случае сильной локализации.

DOI: 10.31857/S1234567820160053

Введение. В физике экситонов существенный

Основное состояние локализованного экситона най-

интерес представляет проблема образования связан-

дено прямым вариационным методом, причем дыр-

ных состояний экситонов с разного рода дефекта-

ка считается жестко локализованной на плоскости

ми. В случае заряженных примесных центров вза-

дефекта (длина локализации равна нулю). В такой

имодействие экситона с дефектом является даль-

асимметричной системе экситон обладает большим

нодействующим и приводит к образованию атомно-

дипольным моментом вдоль нормали к плоскости

подобного комплекса. Типичный пример - локализа-

дефекта [5].

ция на заряженном доноре, наблюдавшаяся в кван-

Особый интерес могут представить плоские де-

товых ямах арсенида галлия [1]. Такая же локализа-

фекты с локализованными на них экситонами для

ция экситона по всем трем измерениям реализуется

исследования коллективных эффектов в экситонном

на флуктуациях толщины квантовой ямы [2]. Дву-

газе. Коррелированная на макроскопических мас-

мерные структурные дефекты решетки приводят к

штабах фаза в экситонной системе, аналогичная кон-

одномерной локализации экситона, когда движение

денсату Бозе-Эйнштейна, изучается довольно дав-

его центра масс вдоль дефекта остается свободным.

но (см. [6-11]). Обычно экспериментируют с двойны-

Такие дефекты могут соответствовать короткодей-

ми или широкими одинарными квантовыми ямами,

ствующему потенциалу. Примерами являются плос-

в плоскости которых создаются электростатические

кие дефекты упаковки (stacking faults), двойниковые

ловушки (traps) для экситонов. В случае плоских де-

границы (twins), границы блоков. В работе [3] иссле-

фектов возможно (как будет показано) существова-

довалось связанное состояние экситона на двойнико-

ние более одного уровня поперечного квантования

вой границе. Авторы провели численные расчеты из

центра масс экситона. Это ставит интересный с обще-

первых принципов для GaAs и показали, в частно-

физической точки зрения вопрос о сосуществовании

сти, что радиационное время жизни экситона в при-

нескольких компонент конденсата.

сутствии двойника возрастает. Работа [4] посвяще-

Нам представляется интересным получить ана-

на локализации экситона на плоском дефекте дру-

литическое описание экситона, локализованного на

гого типа, когда существенно встроенное электриче-

плоскости короткодействующего дефекта в рамках

ское поле. Оно соответствует двойному слою и, сле-

простой модели, позволяющей качественно выяснить

довательно, скачку потенциала при переходе через

зависимость характерных параметров связанного эк-

плоскость дефекта. В модели [4] эффективный по-

ситона (в том числе и времени жизни) от амплитуды

тенциал дефекта упаковки состоит из прямоуголь-

потенциала взаимодействия с дефектом. Этому по-

ного барьера и дельта-образной ямы на его краю.

священа предлагаемая работа.

Пусть электрон и дырка взаимодействуют с плос-

¹⁾e-mail: mahmood@isp.nsc.ru; chaplik@isp.nsc.ru

ким дефектом, расположенным при z

= 0 как

246

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 3 - 4

2020

Локализация экситонов на плоских дефектах в полупроводниковых кристаллах

247

с короткодействующим центром. Это взаимодей-

дефектом и определяется параметрами V₁, V₂. Мат-

ствие моделируется дельта-образными потенциалами

ричный элемент этого взаимодействия U_nn′ (Z) имеет

V_1,2δ(z_1,2), где индексы 1 и 2 относятся к электро-

вид:

(

)

ну и дырке соответственно. Постоянные V₁, V₂ могут

U_nn′ (Z) =

V₁Φ_nn′

M Z +

иметь любые знаки, но нас, естественно, будет инте-

m₂

ресовать случай, когда хотя бы одна из этих величин

(

)

соответствует притяжению. Таким образом, исследу-

V₂Φ_nn′

(4)

m₁

ется вопрос об экситоне, локализованном на плоском

∫

дефекте.

где Φ_nn′ (Z) =

ϕ^∗n′ (ρ, Z)ϕn(ρ, Z)dρ, ρ - проекция

Полная потенциальная энергия системы имеет

вектора относительного положения электрона и дыр-

вид

ки на плоскость дефекта. Обычным путем получаем

(Z):

систему уравнений для функций C_n

(

)

U (r₁, r₂) = -

+ V₁(z₁) + V₂(z₂),

(1)

P²

d²C_n(Z)

∥

ε|r₁ - r₂|

+ ε_n - E C_n(Z) =

2M dZ²

где ε - диэлектрическая проницаемость. Перейдя в

∑

= C_n′(Z)U_nn′(Z).

(5)

двухчастичном уравнении Шредингера к координа-

n^′

там R - центр масс и r = r₁ - r₂, получим (ℏ = 1):

Исходные термы быстрой подсистемы “плоские”, т.е.

[

(

)

m₂

. Зависи-

−

Δ_R -

Δ_r -

+V₁δ Z +

2µ

εr

мость от Z потенциала, в котором движется центр

]

масс экситона, дается диагональными элементами

(

)

m₁

+V₂δ Z -

z Ψ = EΨ.

(2)

U_nn. Недиагональные элементы этой матрицы ответ-

ственны за неадиабатические переходы n → n^′, т.е.

за связь движения экситона как целого с его внут-

Здесь M и µ - полная масса экситона и приведен-

ренним движением.

ная масса электрона и дырки соответственно. Раз-

Таким образом, вопрос о существовании связан-

ложим искомое решение уравнения (2) по функци-

ных состояний экситона на плоском дефекте стано-

ям свободного экситона и учтем, что импульс центра

вится вполне аналогичным вопросу о существовании

масс вдоль плоскости дефекта P_∥ сохраняется:

устойчивой молекулы в том или ином электронном

состоянии. Конкретней: в зависимости от вида по-

iP_∥R_∥

∑

Ψ_P

(Z, r) =

√

C_n(Z)ϕ_n(r),

(3)

тенциала U_nn(Z) (и, разумеется, от параметров V₁,

∥

S n

V₂) в нем может существовать или не существовать

уровень (уровни) энергии, отвечающие локализован-

где ϕ_n(r) - волновая функция внутреннего движения

ным состояниям экситона. Адиабатическое прибли-

экситона для n-го уровня энергии ε_n, R_∥ - проекция

жение требует, чтобы частота внутреннего движения

R на плоскость дефекта, Z - расстояние от дефект-

экситона, т.е. (деленный на ℏ) эффективный ридберг

ной плоскости до центра масс экситона, S - площадь

µe⁴/ε², была много больше частоты колебаний цен-

системы в сечении, перпендикулярном оси z.

тра масс в потенциальной яме U_nn(Z). Приведем для

Дальнейшее вполне аналогично адиабатическому

примера этот потенциал, соответствующий основно-

приближению в теории молекул (в данном случае

му состоянию экситона в водородоподобной модели.

двухатомных). Функции ϕ_n(r) соответствуют “быст-

Будем считать, что дефект притягивает лишь одну

рой” подсистеме, термы которой (аналог электрон-

частицу, например, с массой m₁ и не взаимодейству-

ных термов молекулы) даются величинами ε_n

ет с другой. Простое вычисление дает:

уровнями энергии внутреннего движения в экситоне.

)

|V₁|

|Z|

Роль ядерных волновых функций играют величи-

U_1s1s(Z) = -

e-2a1|

(6)

a₁

ны C_n(Z), описывающие движение центра масс эк-

ситона. Особенность рассматриваемой нами ситуа-

где a₁ - эффективный боровский радиус частицы 1.

ции состоит в том, что в отличие от обычных мо-

Видно, что если притягивается легкая частица, то

лекул функции ϕ_n(r) не зависят (параметрически)

потенциальная яма для центра масс получается бо-

от “ядерной координаты”, т.е. от Z. Связь между

лее мелкой и широкой, чем в случае притяжения тя-

быстрой и медленной подсистемами здесь реализует-

желой, поскольку a₂ < a₁. Число уровней в яме, ко-

ся только через взаимодействие электрона и дырки с

гда оно велико, равно

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 3 - 4

2020

248

М. М. Махмудиан, А. В. Чаплик

∫ √

√

N =

2M|U|dZ ≈ 0.3

Ma₁|V₁|.

(7)

2π

Если N ≫ 1, то нижние колебательные состояния

можно описывать в гармоническом приближении:

|V₁|

2|V₁|Z

U_1s1s(Z) ≈ -

(8)

2a₁

a³

Частота колебаний центра масс равна при этом ω =

= 2(|V₁|/Ma³¹)^1/2, а условие адиабатичности требует

выполнения неравенства µe⁴/ε² ≫ ω. Если m₁ ≪ M,

то приведенная масса близка к массе легкой частицы

m₁, и тогда критерий применимости адиабатическо-

√

го приближения принимает вид M/m₁ ≫

Ma₁|V₁|,

т.е. отношение масс дырки и электрона должно быть

существенно больше числа связанных состояний эк-

ситона на дефекте.

Если число уровней в яме не велико (напри-

Рис. 1. График потенциала Unn(Z) для уравнения (6)

мер, всего один), то вместо ω надо написать |V₁|/a₁.

и численно найденное положение нижнего уровня для

Это дает условие адиабатичности в виде µe⁴/ε² ≫

|V1| = 60 мэВ · нм, ε = 12.5, m1 = 0.1m0 (m0 - масса

≫ |V₁|/a₁, что эквивалентно |V₁| ≪ e²/ε. Интерес-

электрона)

но отметить (см. уравнение (7)), что при заданной

амплитуде потенциала притяжения большее число

уровней возникает, если притягивается электрон (бо-

лее легкая частица, так как a₁ > a₂).

На рисунке

приведен график потенциала

U_nn(Z) для уравнения (6) и численно найденное по-

ложение нижнего уровня для m₁ = 0.1m₀. Значения

использованных в расчете параметров приведены в

подписи к рисунку. Зависимость положения нижнего

уровня от m₁ для тех же параметров приведена на

рис. 2.

Совсем иная ситуация возникает в противопо-

ложном пределе, когда взаимодействие одной из час-

тиц с плоским дефектом столь велико, что частота

ее движения в связанном на дефекте состоянии пре-

восходит ридберговскую частоту экситона.

Пусть притягивается тяжелая частица 2. Уровень

ее энергии в потенциале -|V₂|δ(z₂) равен -m₂V²²/2

Рис. 2. Зависимость положения нижнего уровня от m1.

и существенно превышает (по модулю) величину

Параметры V1, ε - те же, что и на рис. 1

µe⁴/ε². Тогда медленной подсистемой становится

внутреннее движение экситона. Оно соответствует

относительное движение электрона и дырки в усред-

движению частицы с анизотропной массой m_xx =

ненном потенциале:

= m_yy = µ, m_zz = m₁ в кулоновом поле заря-

∫

да, который распределен в пространстве с плот-

e²

e-2m2|V2z²|

U (ρ, z₁) = -

m₂|V₂|

√

dz₂.

(9)

ностью e|ψ|², где ψ₂

- волновая функция свя-

ρ² + (z₁ - z₂)²

занного состояния в потенциале -|V₂|δ(z₂): ψ₂

√

Это уравнение имеет вид:

m₂|V₂| exp(-m₂|V₂z₂|). Спектр быстрой подси-

[

]

стемы состоит из одного дискретного уровня ε₀ и

P^2∥

d²ϕ

Δ_ρϕ -

+ U(ρ,z₁) +

ϕ = Eϕ,(10)

непрерывного спектра E ≥ 0. Поскольку предпола-

2µ

2m₁ dz²¹

гается выполненным условие адиабатичности (|ε₀| ≫

≫ µe⁴/ε²), то в системе (5) можно оставить лишь

и описывает движение частицы с анизотропной мас-

одно уравнение на функцию ϕ(ρ, z₁), описывающую

сой в поле заряженной нити с экспоненциально спа-

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 3 - 4

2020

Локализация экситонов на плоских дефектах в полупроводниковых кристаллах

249

дающей от середины к краям линейной плотностью

ся с нулевым продольным импульсом. В рассмотрен-

заряда κ(z) = m₂|V₂| exp(-2m₂|V₂z|). Если размер

ной выше осцилляторной модели в пределе R^∗y ≫ ω,

локализации дырки много меньше эффективного бо-

т.е. (M/m₁)e²/ε ≫ |V₁|, параметр P для основного

ровского радиуса электрона, т.е. m₂|V₂|a₁ ≫ 1, то

осцилляторного уровня равен (на единицу площади

электрон движется в основном на больших расстоя-

дефекта)

ниях от дырки, на которых поле распределенного за-

ряда можно представить разложением по мультипо-

P_n = |ϕ_n(0)|²(a³¹/M|V₁|)^1/4.

(13)

лям. Дипольный момент, очевидно, исчезает, а квад-

рупольный дает поправку, аналогичную поправке на

Индекс n указывает на образование экситона в n-

несферичность атомного ядра. Квадрупольный мо-

м состоянии по внутреннему движению. Видно, что

мент локализованной дырки с волновой функцией ψ₂

вероятность перехода уменьшается, а радиационное

имеет вид:

время жизни растет с усилением локализации про-

порционально |V₁|^1/4.

D_α,β = 0, при α = β;

В случае сильно локализованной дырки (|V₂| ≫

≫ e²/ε) имеем: Ψ(r₁, r₂)

= ϕ_n(ρ, z₁)ψ₂(z₂) ×

√

D_xx = D_yy = -

, D_zz =

(11)

4m²²V²²

2m²²V²

× eiP∥R^∥/

S. В водородоподобной модели для

основного состояния n = 1 получается

Поправка к потенциалу точечного заряда равна

(

)

m₂|V₂|

P₁ =

(14)

δU_Q = -

sin² θ

(12)

a³¹(1/a₁ + m₂|V₂|)²

2εm²²V²²

r³

Поскольку условие сильной локализации дырки тре-

где θ - полярный угол сферической системы коорди-

бует выполнения неравенства m₂|V₂|a₁ ≫ 1, то время

нат с осью z, нормальной к плоскости дефекта.

жизни экситона растет пропорционально |V₂|.

Возмущение (12) понижает симметрию эксито-

Таким образом, в обеих рассмотренных модель-

на со сферической до цилиндрической, что снима-

ных ситуациях локализация приводит к увеличе-

ет вырождение уровней в водородоподобной моде-

нию времени излучательной рекомбинации экситона,

ли экситона по орбитальному числу l (магнитное

что согласуется с численными расчетами из первых

число m сохраняется). В первом приближении по

принципов, проведенными в работе [3].

δU_Q s-состояния не смещаются. Например, уровень

Авторы благодарят М. М. Глазова за возмож-

с главным квантовым числом 2 расщепляется на

ность познакомиться с работой [4] до опубликования.

три подуровня 2s₀, 2p₀ и 2p_±1: δE2s0 = 0, δE2p0 =

= -e²/40a³¹V²²m²¹, δE2p±1 = e²/80a³¹V²²m²¹. Здесь ис-

пользовано приближение m₂ ≫ m₁, когда µ ≈ m₁.

1. О. В. Волков, С. В. Товстоног, И. В. Кукушкин,

Таким образом, линия основного перехода в экси-

К. фон Клитцинг, К. Эберл, Письма в ЖЭТФ 70,

тоне 1s - 2p становится дублетом 1s - 2p₀, 1s - 2p_±1.

588 (1999).

Имеется еще возмущение, связанное с анизотро-

2. П. С. Копьев, Б. Я. Мельцер, И. Л. Уральцев,

пией массы, которое мало по параметру m₁/m₂ и

Ал.Л. Эфрос, Д. Р. Яковлев, Письма в ЖЭТФ 42,

дается оператором -p^2z/2m₂. Легко видеть из тео-

325 (1985).

ремы вириала, что это возмущение приводит к об-

3. K. Shimamura, Z. Yuan, F. Shimojo, and A. Nakano,

щему отрицательному сдвигу всех вырожденных

Appl. Phys. Lett. 103, 022105 (2013).

состояний каждого уровня экситона на величину

4. M. V. Durnev, M. M. Glazov, X. Linpeng,

(-1/3)(m₁/m₂)|ε_n| и, следовательно, не дает вкла-

M. L. K. Viitaniemi, B. Matthews, S. R. Spurgeon,

да в расщепление уровня. При этом центр тяжести

P. V. Sushko, A. D. Wieck, A. Ludwig, and K.-M. C. Fu,

линии перехода 1s - 2p смещается (частота увеличи-

Phys. Rev. B 101, 125420 (2020).

вается) на (1/3)(m₁/m₂)(ε₂ - ε₁).

5. T. Karin, X. Linpeng, M. M. Glazov, M. V. Durnev,

Обсудим теперь влияние локализации на ради-

E. L. Ivchenko, S. Harvey, A. K. Rai, A. Ludwig,

ационное время жизни экситона. Вероятность пе-

A. D. Wieck, and K.-M. C. Fu, Phys. Rev. B

94,

рехода с образованием (или рекомбинацией) экси-

041201(R) (2016).

тона определяется безразмерным параметром P =

6. L. V. Butov, A. C. Gossard, and D. S. Chemla, Nature

∫

Ψ(r₁ = r₂ = R)dR|². Поскольку двухчастичная

418, 751 (2002).

волновая функция пропорциональна exp(iP_∥R_∥), то

7. А. В. Горбунов, В. Б. Тимофеев, Письма в ЖЭТФ 80,

интегрирование по R_∥ дает δ(P_∥): экситон рождает-

210 (2004).

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 3 - 4

2020